1 Fondamenti TLC

SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTISEZIONE 7

2 Fondamenti TLC

Sistema:

Da un punto di vista fisico e’ un dispositivo che modifica un segnale x(t), detto ingresso, generando il segnale y(t), detto uscita.

Da un punto di vista formale il segnale d’ingresso x(t) viene “manipolato” tramite un generico operatore matematico indicato con O[.]. Il risultato delle operazioni matematiche eseguite sull’ingresso e’ il segnale d’uscita y(t).

x(t) y(t)Sistema

O[ . ]

Definizione di Sistema

Schema a blocchi

3 Fondamenti TLC

Lineare: quando l’uscita generata dalla combinazione lineare di due o piu’ ingressi e’ uguale alla combinazione lineare delle uscite generate dai singoli ingressi

Tempo Invariante: quando l’uscita generata da un segnale ritardato e’ uguale all’uscita generata dal segnale originale ritardata.

x1(t)+x2(t) y1(t)+y2(t)Sistema Lineare

O[ x1(t)+x2(t) ]=O[ x1(t) ]+ O[ x2(t) ]

x(t y(tSistema Tempo Invariante

O[x(t)]

Sistemi Lineari Tempo-Invarianti (LTI)

4 Fondamenti TLC

Risposta all’impulso: e’ l’uscita del sistema quando l’ingresso e’ l’impulso.Viene solitamente indicata con il simbolo h(t)

)()( tOth

Risposta all’impulso

(t) h(t)Sistema

O[ (t) ]

Se il sistema e’ tempo-invariante, la forma della risposta all’impulso non dipende dall’istante in cui si applica l’impulso. Quando l’ingresso e’ un impulso anticipato o ritardato l’uscita e’ uguale ad h(t) anticipata o ritardata:

21

21)()(

tchtbhtah

tctbtaOty

Se il sistema e’ anche lineare, nota la risposta all’impulso, e’ possibile calcolare l’uscita del sistema quando l’ingresso e’ una qualsiasi combinazione lineare d’impulsi:

)()( tOth

5 Fondamenti TLC

t

x(t)

t

t

x(t-)dh(t)

h()

y(t)

nuova

0

0

0

y(t)= x(t-) h() d= x(t)*h(t)

x(t) h(t) ? y(t)

t

dy(t)=h()x(t-)d

6 Fondamenti TLC

-200 -100 0 100 200-2

-1

0

1

2

x

t

Rappresentazione dei segnali come combinazione lineare di impulsi

Un qualsiasi segnale x(t) puo’ essere rappresentato come somma integrale di impulsi

x(t)= x() (t-) d

(t-)

7 Fondamenti TLC

dtOxdtxOtxOty )()()()(

Come abbiamo visto:

1 - Nota la risposta all’impulso, e’ possibile calcolare l’uscita di un sistema LTI quando l’ingresso e’ una qualsiasi combinazione lineare d’impulsi

2 - Un qualsiasi segnale x(t) puo’ essere rappresentato come somma integrale di impulsi

Ne segue che:

La convoluzione

uscita = convoluzione tra ingresso e risposta all’impulso del sistema LTI

dthx

)(= dtxh

)(= = tx )( * th )(

Integrale di convoluzione (o semplicemente convoluzione)

8 Fondamenti TLC

I due modi di calcolare la convoluzione:

a) come somma dei contributi della risposta all’ impulso

y(t)= x(t-) h() d= x(t)*h(t)

b) Dalla definizione della trasformazione

y(t)= x() h(t-) d= x(t)*h(t)

nuova

Si ottengono reciprocamente scambiando t- con

9 Fondamenti TLC

t

x(t)

t

x(t-)h(t)

h()

nuova

0

0

y(t)= x(t-) h() d= x(t)*h(t)

x()

th() h(t-)

0

0

y(t)= x() h(t-) d= x(t)*h(t)

10 Fondamenti TLC

nuova

x()

th(t-)

0

0

y(t)= x() h(t-) d= x(t)*h(t)

11 Fondamenti TLC

L’ Integrando

Calcolo dell’integrale di convoluzione

e’ il prodotto tra il segnale x(t-) e la risposta all’impulso h() ribaltata in t

t

h

h

t1

t2

t3

x(t-) h()

x(t-) h() d= x(t)*h(t)

x(t)

x(t)

h

h

h

12 Fondamenti TLC

Esempi di calcolo della convoluzione (1)

tx

tht

t

-0.25 0.25

)2/1(rect)(

)2(rect)(

tth

ttx

1

1

1

y(t)= x(t-) h() d= x(t)*h(t)

13 Fondamenti TLC

)2/1(rect)(

)2(rect)(

tth

ttx

t

t = -1/4

t = 0

t = +1/4

t = +1/2

t = +3/4

t = +1

t = +5/4

t

y(t)

-0.25

1/2

-0.25 0.25 10.5 0.75 1.25

0.250.75

1.25

Esempi di calcolo y(t)= x(t-) h() d= x(t)*h(t)x(t)

x(t-)

h(-)

14 Fondamenti TLC

)(rect)()( tthtx

Esempi di calcolo della convoluzione (3)

tx

tht

t-0.5 0.5

1

1

y(t)= x(t-) h() d= x(t)*h(t)

15 Fondamenti TLC

)(rect)()( tthtx Integrando

Esempi di calcolo della convoluzione (4) thx )( x

th

t = -1

t = -2/3

t = -1/3

t = 0

t = +1/3

t = +1/3

t = +1

Integrale

t

y(t)

-1+

1

1

-1 -0.5 0.5 1

h

y(t)= x(t-) h() d= x(t)*h(t)

16 Fondamenti TLC

Definizione:

Un Sistema L.T.I. è detto causale se l’uscita y(t) per un t=t, dipende dai valori dell’ingresso x(t) solo per valori della variabile tt.La condizione di causalità è molto importante se la variabile indipendente è il tempo: in questo caso un sistema fisico deve essere causale. Se ciò non fosse infatti il sistema sarebbe in grado di predire il futuro.

Condizione da rispettare per garantire la causalità:

Causalità dei Sistemi L.T.I. (1)

0per 0)( tth

x(t) y(t)Sistema

17 Fondamenti TLC

Causalità dei Sistemi L.T.I. (2)Spesso utilizzeremo risposte all’impulso del tipo:

h(t)

t

Questa risposta all’impulso non è causale, puo’ essere resa causale attraverso: opportuni troncamenti (nel tempo, se h(t) si estende da - a ) e ritardi.

h1(t)

t

Utilizzare h(t) invece che h1(t) significa trascurare i ritardi necessari a rendere causale la risposta all’impulso.

18 Fondamenti TLC

Effetti della convoluzione (filtro passa-basso)

)(tx

)(th )()()( thtxty

Simbolo della convoluzione

Le componenti del segnale rapidamente varianti nel tempo (ad alta frequenza) vengono eliminate dalla convoluzione con una risposta all’impulso lentamente variante nel tempo (filtro passa-basso)

19 Fondamenti TLC

Effetti della convoluzione (filtro passa-alto)

)(tx

)(th )()()( thtxty

Simbolo della convoluzione

Le componenti del segnale lentamente varianti nel tempo (a bassa frequenza) vengono eliminate dalla convoluzione con una risposta all’impulso rapidamente variante nel tempo (filtro passa-alto)

20 Fondamenti TLC

Campionare i segnali

tT

Segnale originale x(t)

Campioni del segnale x(nT)

• T e’ detto periodo (o passo) di campionamento;• fc=1/T e’ detta frequenza di campionamento.

21 Fondamenti TLC

Espressione del segnale campionato: xc(t)= n x(t) (t-nT0)

Sistema di ricostruzione

T0

x(nT0) (t-nT0)

t

t

nuova

xc(t)h(t) y(t)= n h(t-nT0)

22 Fondamenti TLC

+

+

=-10 -5 0 5 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

T T T T

La ricostruzione del segnale tempo-continuo

h(t)