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Controlli Automatici LA Analisi dei sistemi dinamici lineari

Funzione di trasferimento stabilita dei sistemi lineari

proprietà generali della risposta al gradino

Prof. Carlo Rossi DEIS-Università di Bologna

Tel. 051 2093020 Email: [email protected]

URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi

Prof. Carlo Rossi – Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 2

Indice   1. Funzione di trasferimento   2. Antitrasformata di Laplace   3. Stabilità dei sistemi lineari   4. Proprietà generali della risposta al gradino unitario   5. Riferimenti bibliografici


Trasformata di Laplace Ai fini del controllo è interessante sapere come il

sistema risponde nel tempo a sollecitazioni esterne   non volendo ricorrere a costosi e talora pericolosi

esperimenti si può basare l'indagine sull'uso di un modello   bisogna risolvere le equazioni differenziali che lo compongono

  cosa complicata

Metodo alternativo   Uso della Trasformata di Laplace

  la trasformata di Laplace consente di trasformare una equazione differenziale in una corrispondente equazione algebrica detta funzione di trasferimento (f.d.t.)   l'analisi della f.d.t. consente di ricavare le stesse informazioni

dell'analisi diretta della equazione differenziale   informazioni importanti sulla risposta del sistema a sollecitazioni

esterne si possono ricavare dallo studio delle radici di polinomi associati alla f.d.t.   operazione assai più facile


Trasformata di Laplace Trasformata di Laplace di equazioni integro

/differenziali - un esempio   proprietà utilizzate

  linearità   si trasformano i singoli addendi

  teoremi della trasformata della derivata e dell'integrale

  se l'ingresso è applicato all'istante t=0   si separano le variabili e si raccolgono i termini comuni

condizione iniziale



/differenziali - un esempio   continua

  risolvendo per Y(s) si ha

  la funzione

  è detta Funzione di Trasferimento (f.d.t.)

trasformata della risposta libera

trasformata della risposta forzata



/differenziali - un esempio   se il sistema è inizialmente in quiete ⇒ y(0) = 0

  equazione algebrica

  metodo alternativo per lo studio di equazioni differenziali lineari

equivalenti dal punto di vista

informativo


Funzione di Trasferimento Da equazione differenziale a Funzione di

trasferimento y(t) è l'uscita; u(t) è l'ingresso ai coefficienti; an≠0 n = ordine dell'equazione differenziale n ≥ m ⇒ fisica realizzabilità

risposta forzata risposta libera

equazione algebrica

condizioni iniziali


Funzione di trasferimento Dalla Rappresentazione di stato alla Funzione di

trasferimento

  qualunque sia il punto di partenza   equazione differenziale di ordine n   sistema di n equazioni di primo grado (forma di stato)

  la funzione di Trasferimento (f.d.t.) è un modello equivalete del sistema dinamico a meno di possibili cancellazioni tra radici del numeratore (zeri) e radici del denominatore (poli) della f.d.t.

  se ci sono cancellazioni il contenuto informativo della f.d.t. è inferiore a quello delle altre rappresentazioni differenziali   non cattura dinamiche che non hanno effetto sulla relazione

ingresso uscita

x t( )= Ax t( )+ Bu t( )y t( )= Cx t( )+ Du t( )

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

Y s( )= G s( )U s( )

G s( )= CAdj sI− A( )det sI− A( )

B + D

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪


Funzione di trasferimento Dalla rappresentazione di Stato alla funzione di

trasferimento (f.d.t.)   sistemi lineari stazionari SISO

  poiché le variabili di stato, ingresso, uscita ( x(t), u(t), y(t)) sono segnali corrispondenti a grandezze fisiche si possono definire le loro trasformate di Laplace

x t( )= Ax t( )+ Bu t( )y t( )= Cx t( )+ Du t( )

sX s( )− x 0( )= AX s( )+ BU s( )Y s( )= CX s( )+ DU s( )

utilizzando le proprietà di linearità della trasformata di Laplace e ricordando che

L

dx t( )dt

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥= sX s( )− x0

X s( ) := L x t( )⎡⎣⎢⎤⎦⎥

Y s( ) := L y t( )⎡⎣⎢⎤⎦⎥

U s( ) := L u t( )⎡⎣⎢⎤⎦⎥

trasformate dei segnali

Il modello in forma di stato diventa


Funzione di trasferimento Dalla rappresentazione di Stato alla funzione di

trasferimento (f.d.t.)

sI− A( ) X s( )= BU s( )+ x 0( )Y s( )= CX s( )+ DU s( )

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

X s( )= sI− A( )−1BU s( )+ sI− A( )−1

x 0( )Y s( )= C sI− A( )−1

B + D⎡⎣⎢

⎤⎦⎥U s( )+ C sI− A( )−1

x 0( )

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

stato

uscita

G s( ) := C sI− A( )−1B + D

sX s( )− x 0( )= AX s( )+ BU s( )Y s( )= CX s( )+ DU s( )

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

evoluzione forzata evoluzione libera

funzione di trasferimento

Y s( )= G s( )U s( )+ C sI− A( )−1x 0( )

trasformata dell'uscita in funzione della trasformata dell'ingresso e dello stato iniziale


Funzione di trasferimento Esempio

  Sistema SISO del 2° ordine con condizione iniziale nulla (x(0) = 0)

A =

a11 a12

a21 a22

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟ B =

b1

b2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟ C = c1 c2( )

G s( ) := C sI− A( )−1B + D

sI− A( )=

s−a11 −a12

−a21 s−a22

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

1 solo ingresso 1 sola uscita 1 solo ingresso 1 sola uscita

sI− A( )−1

=

s−a22 a12

a21 s−a11

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

s2− a11 + a22( )s + a22a11−a12a21

determinante di A

aggiunta di A



  funzione di trasferimento

A =

a11 a12

a21 a22

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟ B =

b1

b2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

G s( ) := C sI− A( )−1B + D

sI− A( )−1=

s−a22

s2− a11 + a22( )s−a12a21

a12

s2− a11 + a22( )s−a12a21

a21

s2− a11 + a22( )s−a12a21

s−a11

s2− a11 + a22( )s−a12a21

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

sI− A( )−1=

p11n−1

detn

p12n−1

detn

p21n−1

detn

p22n−1

detn

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

piin-1 → polinomio generico di grado n-1

detn → determinante di (sI-A) di grado n n → dimensione del vettore di stato (matrice A)

In generale



  funzione di trasferimento – caso con D = 0

A =

a11 a12

a21 a22

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟ B =

b1

b2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

sI− A( )−1=

p11n−1

detn

p12n−1

detn

p21n−1

detn

p22n−1

detn

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

C sI− A( )−1B = c1 c2( )

p11n−1

detn

p12n−1

detn

p21n−1

detn

p22n−1

detn

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

b1

b2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

C sI− A( )−1

B =b1 c1 p11

n−1 + c2 p21n−1( )+ b2 c1 p12

n−1 + c2 p22n−1( )

detn

combinazione lineare di polinomi di grado n-1 grado n-1 grado n-1



  funzione di trasferimento – caso con D ≠ 0

A =

a11 a12

a21 a22

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟ B =

b1

b2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

G s( ) := C sI− A( )−1B + D

G s( ) := C sI− A( )−1

B + D =b1 c1 p11

n−1 + c2 p21n−1( )+ b2 c1 p12

n−1 + c2 p22n−1( )

detn + d

G s( )=

b1 c1 p11n−1 + c2 p21

n−1( )+ b2 c1 p12n−1 + c2 p22

n−1( )+ d detn

detn

grado n

In generale: la G(s) ha denominatore di grado n (dimensione del vettore di stato)

se D = 0 la G(s) ha numeratore con grado ≤ n-1 se D ≠ 0 la G(s) ha numeratore con grado = n


Funzione di trasferimento Struttura della f.d.t.

matrice i cui termini sono funzioni razionali in s numeratore di grado < n (matrice aggiunta) denominatore di grado n (determinante) (n=deg(A))

grado = n grado = n

grado < n grado = n

combinazione lineare dei termini di (sI-A)-1


Funzione di trasferimento   la f.d.t. rappresenta il legame tra la trasformata di Laplace

dell'ingresso (la causa forzante) e quella dell'uscita (l'effetto)

  la f.d.t. è una funzione razionale fratta (rapporto di polinomi)

  le proprietà della risposta dipendono essenzialmente dalle radici del polinomio a denominatore   poli del sistema

  anche le radici del polinomio a numeratore influenzano la risposta   zeri del sistema

  la maggior parte dei sistemi fisici ha funzione di trasferimento senza zeri, ma molto spesso nel progetto del regolatore ci farà comodo inserire degli zeri

  L'influenza degli zeri sulla risposta andrà quindi attentamente valutata


Funzione di trasferimento Funzione di trasferimento e rappresentazione a

blocchi

G(s) X(s) Y(s)

G(s) si dice propria se m≤n G(s) si dice strettamente propria se m<n


Rappresentazioni fattorizzate e parametri della f.d.t.   i polinomi a numeratore e denominatore possono sempre

essere scritti in forma fattorizzata   prodotto delle radici

Funzione di trasferimento

radici nulle

radici reali

radici complesse coniugate

Im(s)

Re(s)


Rappresentazioni fattorizzate e parametri della f.d.t.   passaggio dalla formulazione generica a quella standard

per polinomi del 2° ordine   la formulazione standard dei termini di 2° ordine delle f.d.t. è

comoda perchè, come vedremo, i coefficienti δ e ωn hanno un preciso significato fisico


si eguagliano i coefficienti dei termini

corrispondenti

si risolve il sistema

forma generica

forma standard nei controlli


  relazione tra la posizione dei poli dei termini di 2° grado e le pulsazioni naturali (αni , ωni) ed i coefficienti di smorzamento (ςi , δi)


2 reali coincidenti

G s( ) = ρ

sg

s + zk( ) s2 + 2ζ iα nis +α ni2( )i∏k∏

s + pk( ) s2 + 2δ iω nis +ω ni2( )i∏k∏

δi = 0 ωni

−ωni

δi < 0

δi =1 0 < δi <1

−δiωni

ωni 1−δi2

acos δi( )

δi =−1


Funzione di trasferimento Rappresentazioni fattorizzate e parametri della f.d.t.

G s( )=

ρsg

s + zk( ) s2 + 2ζiαnis +αn12( )i∏k∏

s + pk( ) s2 + 2δiωnis +ωni2( )i∏k∏

G s( )=

µsg

1+Tks( ) 1+ 2ζis / αni + s2 / αn12( )i∏k∏

1+ τks( ) 1+ 2δis / ωni + s2 / ωni2( )i∏k∏

alternative

I polinomi elementari

hanno i termini noti

unitari


Funzione di trasferimento Rappresentazione e parametri della f.d.t.

  esempio

  f.d.t. in forma fattorizzata

  f.d.t. in forma fattorizzata normalizzata

radici

i termini noti dei fattori sono unitari


Funzione di trasferimento Rappresentazione non fattorizzata della f.d.t.

m ≤ n

D s( )= det sI− A( )i poli (radici del denominatore) della f.d.t. coincidono con gli autovalori della matrice di stato A a meno di eventuali cancellazioni con zeri (radici del numeratore) dello stesso valore

Se non ci sono cancellazioni poli/zeri, la rappresentazione di stato e la funzione di trasferimento hanno identico contenuto informativo.

In presenza di cancellazioni, alcune informazioni che si riferiscono al comportamento interno del sistema e che non hanno effetto sulla relazione ingresso/uscita, vanno perse nella f.d.t..


Funzione di trasferimento Calcolo dell'andamento temporale dell'uscita

  utilizzando la trasformata di Laplace   a partire dall'ingresso e dallo stato iniziale

  per la proprietà di linearità della antitrasformata di Laplace le antitrasformate dei due termini (la risposta libera e quella forzata) possono essere calcolate separatamente

  se stiamo considerando il modello di un sistema fisico   U(s) è certamente una funzione razionale fratta

  trasformata di una funzione reale del tempo   il prodotto di due funzioni razionali fratte (G(s) e U(s)) è

una funzione razionale fratta   per il calcolo di y(t) occorre antitrasformare due funzioni razionali

fratte, corrispondenti ciascuna al rapporto di due polinomi

funzioni razionali fratte con lo stesso denominatore


Antitrasformata di Laplace Formulazioni alternative della f.d.t.

  se m < n si può ottenere una ulteriore formulazione detta sviluppo in fratti semplici o di Heaviside

  semplifica enormemente l'antitrasformazione   se m = n, dividendo i due polinomi di pari grado si ha

forma fattorizzata

G s( )= Ks + zi( )

i=1

m

∏

s + pi( )i=1

n

∏

forma polinomiale

sviluppo in fratti semplici o di Heaviside

G s( )=Ki

s + pii=1

n

∑

con grado di N'(s) = n-1


Antitrasformata di Laplace Osservazioni

  l'andamento esponenziale è governato dalla posizione delle radici del polinomio a denominatore   poli della f.d.t. (autovalori di A) per la risposta libera   poli della f.d.t. (autovalori di A) + radici del denominatore di U(s)

per la risposta forzata   gli zeri della f.d.t. e le condizioni iniziali (in generale il

numeratore della funziona razionale fratta) non influenzano gli andamenti degli esponenziali ma solo i coefficienti della combinazione lineare (residui)


Antitrasformata di Laplace

K1 =

5 −1( )+ 3

−1+ 2( ) −1+ 3( )=−1

Ki = s− pi( )N s( )D s( )

s= pi

K2 =

5 −2( )+ 3−2+1( ) −2+ 3( )

= 7

K3 =

5 −3( )+ 3−3+1( ) −3+ 2( )

=−6

Esempio

g t( )=−e−t + 7e−2t −6e−3t


Antitrasformata di Laplace Calcolo della risposta in presenza dell'ingresso

Y s( ) = N1i s( )

s − pGi( )rii=1

n1

∏ ∗N2i s( )

s − pUi( )ri+

i=n1+1

n2

∏N3i s( )

s − pGi( )rii=1

n1

∏Dinamiche

proprie Contributo ingresso

Condizioni iniziali

Governato dalle radici del denominatore

di U(s)

Governate dai poli della f.d.t.

Modi del sistema: dinamiche indipendenti dall'ingresso

G(s) U(s) Y(s)

funzioni razionali fratte con lo stesso denominatore


Antitrasformata di Laplace   La risposta forzata di un sistema lineare si ottiene

combinando linearmente le risposte forzate dei suoi sottosistemi elementari del 1° e del 2° ordine

Comando uscita sistema

Importanza dello studio delle risposte dei sistemi elementari

Comando uscita

Sottosistema 1

Σ Sottosistema 2

Sottosistema 3

Sottosistema 4

………………...


Antitrasformata di Laplace Deduzione della risposta y(t) al gradino unitario u(t)

di un sistema dinamico lineare stazionario

Y s( )= ρs + zi( )

i=1

m

∏

s + pi( )i=1

n

∏

1s

Y s( ) = ρKi

s + pii=1

n

∑ +Kn+1

s⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

y t( )= ρ Kn+1 + Kie

−pit

i=0

n

∑⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

trasformata del gradino unitario

costante modello differenziale

f.d.t. fattorizzata f.d.t. in fratti semplici

risposta

ai

d i y t( )dti

i=0

n

∑ = bi

d ix t( )dti

i=0

m

∑


Antitrasformata di Laplace Effetto dell'ingresso nella risposta forzata

  nello sviluppo in fratti semplici l'ingresso contribuisce con termini aggiuntivi (detti modi dell'ingresso) che si aggiungono ai modi naturali del sistema

  ci sono casi particolari, ma significativi, in cui la presenza dell'ingresso non si manifesta semplicemente con termini additivi ma   modifica le proprietà strutturali della risposta

  sovra-eccitazione della risonanza   non produce effetti sull'uscita

  proprietà bloccanti degli zeri



  caso di sistema risonante   coppia di poli immaginari puri

Re

Im

Modi propri esponenziale decrescente

sinusoidale persistente

2rad/s

impulso

U(s)=1

stiamo considerando un sistema risonante ⇒ ad es. massa/molla senza attrito

se eccitato, continua ad oscillare all'infinito

ωs = 2rad/s



  caso di sistema risonante   eccitazione della risonanza

Re

Im

1° caso: ωi ≠ 2rad/s

Modi propri Modo forzato

seno pulsazione ωi = 10

10rad/s

2rad/s

esponenziale decrescente

sinusoidali persistenti

modo proprio

modo forzato



  caso di sistema risonante   sovra-eccitazione della risonanza

Re

Im

2° caso: ωi = 2rad/s

y t( ) = 25L−1 s +1

s2 + 22( )2s + .3( )

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

y t( ) = k0e−.3t + k1 sin 2t +ϕ1( ) + k2t sin 2t +ϕ2( )

Modi propri Modo forzato

seno pulsazione ωi = 2

esponenziale decrescente

sinusoidale persistente

sinusoidale crescente

A fronte di un ingresso limitato l'uscita è illimitata


Antitrasformata di Laplace Proprietà bloccante degli zeri

  caso di sistema con una coppia di zeri immaginari puri   applichiamo in ingresso una sinusoide di pulsazione ωi

Re

Im

1° caso: ωi ≠ 2 rad/s

Modi propri Modo forzato sinusoidale persistente


Antitrasformata di Laplace Proprietà bloccante degli zeri

  caso di sistema con una coppia di zeri immaginari puri   applichiamo in ingresso una sinusoide di pulsazione ωi

Re

Im

2° caso: ωi = 2 rad/s

Modi propri I modi forzanti sono coincidenti con gli zeri della f.d.t.. ⇒ non hanno effetto sull'uscita


Stabilità dei sistemi lineari   Stabilità interna

  effetto che perturbazioni sullo stato iniziale hanno sulla traiettoria dello stato

  Stabilità esterna   effetto che perturbazioni sull’ingresso hanno sulla traiettoria di

uscita

G(s)


Stabilità dei sistemi lineari   Stabilità interna

  Data un certa traiettoria “nominale” (stato iniziale e ingresso), una perturbazione dello stato iniziale può produrre   una traiettoria perturbata che rimane sempre prossima a quella

nominale   stabilità semplice

  una traiettoria perturbata che rimane sempre prossima a quella nominale e tende asintoticamente ad essa   stabilità asintotica

  una traiettoria perturbata che diverge da quella nominale   instabilità

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+

-



Stabilità dei sistemi lineari   Le definizioni di stabilità enunciate per sistemi generici,

possono essere specializzate, per i sistemi lineari, al caso in cui l'ingresso è identicamente nullo e la traiettoria di riferimento è il punto di equilibrio x = 0   se il sistema ha determinate proprietà di stabilità in assenza di

ingresso e per perturbazioni rispetto allo stato iniziale nullo   mantiene le stesse proprietà con ingresso e stato iniziale

diversi da zero

M s( )= sI− A( )−1

traiettoria nominale

x t( )= L−1 M s( )BU s( )( )+L−1 M s( )x 0( )( )+L−1 M s( )δx 0( )( )traiettoria perturbata

x t( )− x t( ) = L−1 M s( )δx 0( )( )

Lo stato iniziale nominale x(0) non entra nella determinazione dell'errore

Infatti sia


Stabilità dei sistemi lineari Stabilità interna

M s( )= sI− A( )−1

=adj sI− A( )det sI− A( )

x t( )− x t( ) = L−1 M s( )δx 0( )( )la norma dell'errore è una combinazione lineare di segnali con decadimento esponenziale governato dalla parte reale degli autovalori della matrice di stato

Il sistema è internamente:

•  asintoticamente stabile se tutti gli autovalori di A hanno parte reale negativa

•  semplicemente stabile se tutti gli autovalori di A hanno parte reale non positiva, ed eventuali autovalori a parte reale nulla sono semplici

•  instabile se almeno un autovalore di A ha parte reale positiva, o almeno un autovalore a parte reale nulla è multiplo


Stabilità dei sistemi lineari Osservazione 1

  l'asintotica stabilità interna implica:   la stabilità asintotica della traiettoria di uscita (per una

perturbazione dello stato iniziale)   le traiettorie di uscita sono una combinazione lineare di quelle

dello stato   la limitatezza delle traiettorie dello stato/uscita a fronte di ingressi

limitati   Stabilità BIBS (bounded-input bounded-state)   Stabilità BIBO (bounded-input bounded-output)

converge a zero Stato o uscita

Sistema int. stabile



  verifica

U s( )=

* s( )D s( )

* s( )det sI− A)( )

* s( )

det sI− A)( )

* s( )det sI− A)( )

* s( )

det sI− A)( )

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

* s( )D s( )⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

* s( )D s( )

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=

* s( )det sI− A)D s( )( )

* s( )det sI− A)D s( )( )

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

qualunque numeratore

l'antirasformata di ciascun elemento del vettore di stato è la somma di termini elementari associati agli autovettori di A (esponenzialmente stabili)

ed alle radici di D(s) limitate



  se il sistema è "solo" internamente semplicemente stabile la stabilità BIBS (BIBO) non è più garantita   ingressi limitati ma "risonanti con gli autovalori di A a parte reale

nulla genera traiettorie instabili   solo i sistemi dinamici lineari possiedono la proprietà che

  asintotica stabilità del sistema in assenza di ingresso implica la stabilità BIBS

  per i sistemi non lineari non è sempre vero   esempio

x =−x + xu u≡→ x =−x

u≡ 2→ x = x

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

asintoticamente stabile

instabile


Stabilità dei sistemi lineari Stabilità esterna

  si cerca di caratterizzare le proprietà Ingresso-Uscita di un sistema a fronte di una perturbazione del segnale di ingresso (proprietà della funzione di trasferimento)

  data una traiettoria nominale del sistema (ovvero un certo stato iniziale e una certa funzione di ingresso) l’obiettivo è caratterizzare l’effetto di una perturbazione impulsiva sul segnale di ingresso.


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+

+

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Stabilità dei sistemi lineari Stabilità esterna

  per sistemi lineari si può considerare il punto di equilibrio   x(0) = 0 e u ≡ 0

  la stabilità esterna si può quindi verificare analizzando la risposta ad un impulso

  un sistema dinamico lineare con f.d.t. G(s) è esternamente   asintoticamente stabile

  se tutti i poli di G(s) hanno parte reale negativa   semplicemente stabile

  se tutti i poli di G(s) hanno parte reale non positiva ed eventuali poli a parte reale nulla sono semplici

  instabile   se esiste almeno un polo di G(s) a parte reale positiva o a parte

reale nulla ma multiplo

L δu t( )( )δ y t( )= L−1 G s( )δ( )= L−1 G s( )( )δstabilità esterna


Stabilità dei sistemi lineari Stabilità esterna/stabilità interna

  i poli di G(s) sono un sottoinsieme degli autovalori di A   in G(s) ci possono essere cancellazioni polo/zero

  la stabilità interna (semplice o asintotica) implica la stabilità esterna (semplice o asintotica)   il contrario può non esser vero se in G(s) ci sono state

cancellazioni di poli instabili   in caso di cancellazione di poli instabili

  nel sistema ci sono moti "interni" instabili che non sono visibili dall'"esterno" (uscita)


Stabilità dei sistemi lineari Stabilità esterna/stabilità interna

Stabilità BIBS Stabilità BIBO

Stabilità interna

Traiettorie di stato

Stabilità esterna

Traiettorie di uscita

Perturbazioni limitate

dell’ingresso

Perturbazioni impulsive

dello stato/ingresso


Proprietà generali della risposta al gradino unitario Valore a regime

  valore assunto dall'uscita per t → ∞

y(∞) = 0 se g = - 1 zero nell'origine

y(∞) = ∞ se g = 1 polo nell'origine

Applicando il teorema del valore finale

y ∞( ) = lims→0

s µsg

1+Tis( ) 1+ 2ζ is /αni + s2 /αn1

2( )i∏i∏1+ τ is( ) 1+ 2δ is /ωni + s

2 /ωni2( )i∏i∏

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟1s

y(∞) = µ se g = 0

limt→∞

y t( )Se il esiste

il teorema non si applica a sistemi instabili •  f.d.t. con poli a parte reale positiva •  f.d.t. con poli a parte reale nulla ma multipli


y ∞( )= lim

s→0s a

s + b⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟1s

=ab

y ∞( )= lim

s→0s as

s + b⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟1s

= 0

Proprietà generali della risposta al gradino unitario Valore assunto a regime dall'uscita per ingresso a

gradino unitario   esempi

y ∞( ) = lims→0

s as

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1s= ∞

non c'è valore di regime

teorema del valore finale


Proprietà generali della risposta al gradino unitario Valore dell'uscita in corrispondenza della

discontinuità unitaria dell'ingresso

y 0+( )= lims→∞

sbis

i

i=0

m

∑

aisi

i=0

n

∑

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

1s

Dalla f.d.t. (teorema del valore iniziale)

Ricordando il teorema della derivata (con condizioni iniziali nulle) il procedimento si può estendere al calcolo delle derivate

y 0+( )= lim

s→∞s sG s( )1

s⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

.

.




y 0+( )= lim

s→∞s a

s + b1s

= 0

y 0+( )= lim

s→∞s s a

s + b1s

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= a La derivata prima dell'uscita

è discontinua in t = 0

L'uscita è continua in t = 0

Sistema del primo ordine senza zeri

condizione iniziale


Proprietà generali della risposta al gradino unitario Uscita di un sistema in corrispondenza di una


y 0+( )= lim

s→∞s as

s + b1s

= a

y 0+( )= lim

s→∞s s sa

s + b1s

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟=∞

Sistema del primo ordine con zero nell'origine

La derivata prima dell'uscita è infinita in t = 0

L'uscita è discontinua in t = 0

condizione iniziale




y 0+( )= lim

s→∞s a

s2 + bs + c1s

= 0

y 0+( )= lim

s→∞s s a

s2 + bs + c1s

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= 0

y 0+( )= lim

s→∞s s s a

s2 + bs + c1s

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= a discontinua

continue

Sistema del secondo ordine senza zeri

direttamente dalla f.d.t usando il teorema del valore iniziale

condizione iniziale


Proprietà generali della risposta al gradino unitario Valore assunto dall'uscita a regime

Analisi dell'equazione differenziale

Analisi della f.d.t.





non c'è valore di regime



discontinuità dell'ingresso

si integra tante volte quante servono per ottenere la derivata

desiderata dell'uscita (n volte per ottenere l'uscita)

Si guarda l'ingresso: •  se compare direttamente, la derivata di y sarà discontinua •  se compare sotto integrale, la derivata di y è continua

dnydt n

= − aidyi

dt ii=0

n−1

∑ + bidixdt ii=0

m

∑Analisi dell'equazione differenziale




y 0( ) = lims→∞

sbis

i

i=0

m

∑

aisi

i=0

n

∑

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

1s

Analisi della f.d.t. (teorema del valore iniziale)

= 0 se m < n

= bman

se m = n

Ricordando il teorema della derivata (con condizioni iniziali nulle) il procedimento si può estendere al calcolo delle derivate

y 0( ) = lim

s→∞s sY s( )( )

.

.




G s( ) = as + b

y = −b ydt0

t

∫ + a xdt0

t

∫

dydt

= −by + ax per t = 0

per t = 0

y 0( ) = lims→∞

s as + b

1s= 0

y 0( ) = lims→∞

s s as + b

1s

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = a

Teorema del valore iniziale y 0( ) = lims→∞

sY s( )

y 0( ) = lim

s→∞s sY s( )( )




G s( ) = ass + b

dydt

= −by + a dxdt

y = −b ydt0

t

∫ + ax per t = 0

y 0( ) = lims→∞

s ass + b

1s= a

y 0( ) = lims→∞

s s sas + b

1s

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ∞


sY s( )

y 0( ) = lim

s→∞s sY s( )( )



discontinuità dell'ingresso   dall'equazione differenziale

G s( ) = as2 + bs + c

dydt

= −by − c ydt0

t

∫ + a x0

t

∫

d 2ydt 2

= −b dydt

− cy + ax

y = −b y0

t

∫ − c ydtt∫∫ + a xdt

t∫∫

per t = 0

per t = 0

per t = 0



discontinuità dell'ingresso   dalla G(s)

G s( ) = as2 + bs + c

y 0( ) = lims→∞

s as2 + bs + c

1s= 0

y 0( ) = lims→∞

s s as2 + bs + c

1s

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 0

y 0( ) = lims→∞

s s s as2 + bs + c

1s

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= a


sY s( )

y 0( ) = lim

s→∞s sY s( )( )

y 0( ) = lim

s→∞s s2Y s( )( )


Riferimenti bibliografici   Per approfondimenti

  Boltzern, Scattolini, Schiavoni "Fondamenti di Controlli Automatici", McGraw-Hill, II edizione   Capitolo 3, 4, 5, appendice B

  Marro "Controlli Automatici", Zanichelli, V edizione,   Capitolo 1, 2

Controlli Automatici Analisi dei sistemi dinamici lineari

Funzione di trasferimento stabilita dei sistemi lineari

proprietà generali della risposta al gradino Fine

Prof. Carlo Rossi DEIS-Università di Bologna

Tel. 051 2093020 Email: [email protected]

URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi

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