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Prof. L. Marconi Controlli Automatici T

Parte 10, 1

Controlli Automatici T Progetto reti correttrici

Prof. Lorenzo Marconi DEIS-Università di Bologna Tel. 051 2093788 Email: [email protected] URL: www-lar.deis.unibo.it/~lmarconi

Parte 10 Aggiornamento: Settembre 2010


Parte 10, 2 Reti ritardatrici

errore

Effetto utile: attenuazione ad alta frequenza con sfasamento trascurabile


Parte 10, 3

fissato fissato

....Reti ritardatrici Ruolo dei parametri

Variando il parametro si sposta il punto di intervento della rete lasciando fisso il livello di attenuazione massimo

Variando il parametro si varia il livello di attenuazione massima lasciando fisso il punto di intervento


Parte 10, 4 ....Reti ritardatrici Caratteristiche significative

Cerchiamo di valutare l’errore che si commette confondendo la rete con una attenuazione di senza sfasamento per dove

Errore approssimazione attenuazione

Entità dello sfasamento residuo

Nota: dipendono da

~ una decade dallo zero


Parte 10, 5 ....Reti ritardatrici

grad

i

A ~ una decade dalla pulsazione di intervento dello zero la fase residua è < -5o

Entità dello sfasamento residuo


Parte 10, 6 ....Reti ritardatrici Errore approssimazione attenuazione

Sopra la pulsazione di intervento dello zero l’errore è sempre < 1 db


Parte 10, 7 ....Reti ritardatrici “Tuning pratico” della rete

Dati del problema

  Sistema esteso

  Pulsazione di attraversamento desiderata

Problema: Trovare i parametri della rete che assicurano una pulsazione di attraversamento di pari a e

Come visto nella parte precedente, il progetto della rete ritardatrice può praticamente essere eseguito imponendo l’attraversamento ad una pulsazione desiderata senza alterare di troppo la fase

Algoritmo

Step 1: Calcolare in modo che

Step 2: Calcolare in modo che

Livello di attenuazione

Lo zero una decade prima di


Parte 10, 8

Esempio “tuning pratico” ....Reti ritardatrici

Il margine di fase imposto è 5o gradi in meno rispetto a quello desiderato (vedi grafico “entità sfasamento residuo”)


Parte 10, 9 ….Esempio “tuning pratico”

Scegliendo in modo da piazzare lo zero a frequenze ancora più basse:

Il valore della fase di è più simile a quello di rispetto al caso precedente. Il margine di fase è più prossimo al valore limite di 60o


Parte 10, 10 ....Reti ritardatrici Formule di inversione

L’obiettivo è identificare delle formule per il progetto dei gradi di libertà al fine di assegnare una certa pulsazione di attraversamento e un certo margine di fase desiderati.

Passo intermedio: Dati valori desiderati (con ) identificare delle formule per trovare della rete che alla pulsazione attenui di e sfasi di

Nota: La rete attenua e sfasa in ritardo. Quindi la pulsazione di attraversamento desiderata deve essere a quella del sistema esteso e inoltre la fase del sistema esteso per deve essere maggiore di .

Queste sono tuttavia le condizioni tipiche dello scenario A

( margine di fase desiderato)



ovvero

che e’ equivalente a (uguagliando parte reale e immaginaria)

che risolta restituisce le formule precedenti

I valori di che garantiscono una attenuazione pari a e uno sfasamento (con e ) per sono

Infatti:



Warning: Non tutti gli sfasamenti e le attenuazioni possono essere arbitrariamente ottenuti con e . Infatti, mentre è facile verificare che e garantiscono che e , si ha che


Parte 10, 13 ....Reti ritardatrici Imposizione del margine di fase mediante

formule di inversione Dati del problema

  Sistema esteso

  Pulsazione di attraversamento desiderata e margine di fase desiderato

Algoritmo per il progetto della rete ritardatrice

Step 1: Calcolare e (lettura diagramma Bode)

Step 3: Calcolare mediante le formule di inversione

Step 2: Calcolare

Verificando che (ovvero che )

(ovvero che )

Scenario A


Parte 10, 14 ....Reti ritardatrici Esempio

specifiche

Sistema non compensato

Sistema compensato


Parte 10, 15 ....Reti ritardatrici Procedura Matlab

function [alpha,tau]=ProgettaRR(Num,Den)

[M,P,W]=Bode(Num,Den); [V,i]=min(abs(W-Wcd)); GeWcd=M(i); ArgGeWcd=P(i); Pd=-180+MFd-ArgGeWcd; Md=1/GeWcd; Pd=Pd*pi/180;

Bode(Num,Den); grid; [Wcd,PAd]=ginput(1); disp('Margine di fase desiderato: ') MFd=180+PAd disp('Pulsazione di attraversamento desiderata: ') Wcd

if (Md>1 || Pd>0 || cos(Pd)<Md) disp('Studia!'); return;

end

tau=(cos(Pd)-1/Md)/(Wcd*sin(Pd)); alpha=(Md-cos(Pd))/(Wcd*sin(Pd))/tau;

Immissione mediante mouse del valore desiderato di per (e quindi immissione di )

Calcolo di

Check realizzabilità delle specifiche mediante rete ritardatrice

Formule di inversione


Parte 10, 16 Esempio (code di assestamento)

specifiche

possibile scelta

La dinamica che ci si aspetta in retro e’ quella di una coppia cc con

....Reti ritardatrici


Parte 10, 17 ….Esempio (code di assestamento)

Zoom sistema compensato

Ci aspettiamo quindi che il sistema in retro abbia: 1.  Coppia di poli cc

3.  Coppia polo-zero reale “molto vicini” (quasi cancellazione!!)

Ramo dovuto al regolatore

1

1

2



Coda di assestamento

Risposta al gradino del sistema in retro confrontata con quella di un sistema del 2o ordine con pari guadagno statico e

zoom


Parte 10, 19 Effetti collaterali introdotti dallo zero

Zero-polo della rete

1)  La funzione di trasferimento in retro avrà uno zero più vicino all’asse immaginario rispetto alla dinamica dominante

possibili overshoot da zero molto maggiori rispetto a quelli attesi

2)  Tale zero fungerà da attrattore per un ramo del luogo delle radici. Quindi il sistema in retro potrebbe avere una coppia polo-zero con valori comparabili (quasi cancellazione)

possibili code di assestamento

Esempio precedente

La calibrazione della rete piazza lo zero strutturalmente a frequenza inferiore rispetto a quella di attraversamento desiderata. Questo ha due possibili conseguenze:


Parte 10, 20

Effetto dello zero in reti ritardatrici: un rimedio

La criticità o meno dello zero deve essere verificata di volta in volta valutando la posizione del polo del sistema in retro che tende verso lo zero e la posizione dello zero della rete rispetto alle specifiche sul tempo di assestamento e sulla sovraelongazioni

Un rimedio spesso adottato (non sempre fattibile, da verificare caso per caso) e’ quello di mettere lo zero della rete in cancellazione con uno dei poli del sistema esteso

Esempio precedente:

Avendo fissato lo zero rimane da scegliere il tuning del polo per soddisfare le specifiche su e


Parte 10, 21 … un rimedio fissato

Nota: una volta fissato (eseguendo la cancellazione) e (imponendo la pulsazione di attraversamento ) è possibile trovare l’entità dello sfasamento residuo mediante il grafico a fianco con

Occorre poi valutare l’effetto dello sfasamento introdotto per

L’idea nel tuning del polo e’ quella di prendere la sua posizione sufficientemente a sx (ovvero sufficientemente piccolo) al fine di avere


Parte 10, 22

Algoritmo

Step 1 Fissare in cancellazione con il polo del plant (cancellando il primo polo prima della frequenza di attraversamento desiderata)

Step 2 Fissare ( e di conseguenza ) in modo che

… un rimedio

Step 3 Verificare il margine di fase per il sistema compensato valutando l’effetto dello sfasamento residuo della rete ovvero verificando che

fissando eventualmente un valore di (e quindi di ) diverso ma compatibile con l’intervallo di specifica


Parte 10, 23

Esempio progetto per cancellazione ....Reti ritardatrici

specifiche

possibili scelte

Cancellazione


Parte 10, 24 ....Esempio

Violato (di poco)



con cancellazione senza cancellazione

Valutando la risposta al gradino:

zoom


Parte 10, 26

grad

i

Approccio alternativo … un rimedio

Caratterizzazione zero (polo)

Nel caso del polo i diagrammi sopra vanno interpretati con il segno “-” nell’asse delle ordinate


Parte 10, 27 Algoritmo

… un rimedio

fissato Si puo’ valutare lo sfasamento ( ) e l’amplificazione ( ) dello zero alla pulsazione dai diagrammi sopra con

Step 1)

Step 2) Calcolare: Attenuazione desiderata del polo a

Step 3)

Step 4) Se si, scegliere , altrimenti provare con un diverso valore di

e il valore di che garantisce l’attenuazione

Valutare se lo sfasamento del polo per risulta essere compatibile con il margine di fase desiderato, ovvero


Parte 10, 28 … un rimedio Esempio progetto (seconda procedura)

specifiche

possibili scelte Cancellazione

prima scelta

grad

i

Lo zero in cancellazione alla amplifica di 15db e sfasa di 80o


Parte 10, 29 … esempio

Il polo ancora da scegliere dovrebbe quindi garantire una attenuazione di 23 db (per garantire l’attraversamento a )

grad

i Tuttavia lo sfasamento del polo per risulta essere da cui

Margine di fase


Parte 10, 30 seconda scelta

grad

i

… esempio

Lo zero in cancellazione alla amplifica di 7db e sfasa di 60o

Il polo ancora da scegliere dovrebbe quindi garantire una attenuazione di 25 db (per garantire l’attraversamento a )

Margine di fase


Parte 10, 31 Reti anticipatrici

Effetto utile: sfasamento positivo. “Purtroppo” il picco di fase è associato ad una amplificazione.


Parte 10, 32 ....Reti anticipatrici Ruolo dei parametri

fissato

Variando il parametro si sposta il punto di intervento della rete lasciando fisso il livello di sfasamento positivo

fissato

Variando il parametro si varia il livello e la posizione del picco di sfasamento positivo


Parte 10, 33 ....Reti anticipatrici Picco di sfasamento

grad

i

Massimo sfasamento in anticipo 90o ( ). Praticamente 70o-75o di anticipo massimo.


Parte 10, 34 Caratteristiche significative

Cerchiamo di valutare l’errore che si commette confondendo la rete con uno sfasamento positivo “puro” per frequenze “a cavallo” di dove

....Reti anticipatrici

Entità dello sfasamento positivo

Livello di amplificazione


Parte 10, 35

grad

i

Entità dello sfasamento positivo ....Reti anticipatrici

Frequenza di max sfasamento


Parte 10, 36 Livello di amplificazione ....Reti anticipatrici


Parte 10, 37

“Tuning pratico” della rete

Il tuning pratico risulta più complicato rispetto alla rete ritardatrice in quanto non è possibile “disaccoppiare” il progetto dei parametri.


Step 3: trovare per tentativi

Step 2: Stimare un valore di iniziale come

Picco si sfasamento sintonizzato su

“Algoritmo 1”

Step 1: Stimare un valore di come Margine di fase desiderato

Stima anticipo necessario per compensare lo sfasamento negativo del sistema esteso nell’intorno della pulsazione di attraversamento

Margine sicurezza


Parte 10, 38

Esempio “tuning pratico” ....Reti anticipatrici

Margine di fase del sistema non compensato

Anticipo necessario almeno



Primo tentativo: ( )

Anche variando il valore di il margine di fase desiderato non può essere imposto

Occorre un anticipo di fase maggiore, ovvero un valore di minore



secondo tentativo: ( )


Parte 10, 41

terzo tentativo:

….Esempio “tuning pratico”


Parte 10, 42 ....Reti anticipatrici

“Algoritmo 2” (un po’ più evoluto)

specifiche

Step 1: Identificare una all’interno dell’intervallo di specifica identificando e

Scegliamo per esempio



Step 2: Identificare sul diagramma “livello di amplificazione” tutte le possibili coppie associate ad una amplificazione pari a

In questo modo si identificano tutti i valori di tali che se è fissato in modo che

allora il sistema compensato ha


Parte 10, 44

Step 3: Verificare sul diagramma “entità dello sfasamento positivo” se esiste una coppia appartenente al set identificato al passo precedente a cui è associato uno sfasamento positivo >= di quello necessario per soddisfare la specifica sul margine di fase

grad

i

Tutte le coppie trovate sopra risultano essere caratterizzate da uno sfasamento positivo >= di quello necessario per la specifica sul margine di fase

Anticipo di fase necessario alla frequenza




Step 4: Se esiste una coppia allora scegliere

Nel caso dell’esempio:

In caso contrario si può provare con una diversa all’interno dell’intervallo di specifica ripartendo dallo Step 1

Tale scelta garantisce che la rete abbia una amplificazione di alla freq. con uno sfasamento positivo che è >= di quello necessario.


Parte 10, 46


L’obiettivo è identificare delle formule per il progetto dei gradi di libertà al fine di assegnare una certa pulsazione di attraversamento e un certo margine di fase desiderati.


Passo intermedio: Dati valori desiderati (con ) identificare delle formule per trovare della rete che alla pulsazione amplifichi di e sfasi di

Nota: La rete sfasa in anticipo e amplifica. Quindi la pulsazione di attraversamento desiderata deve essere a quella del sistema esteso e inoltre la fase del sistema esteso per deve essere minore di

Queste sono tuttavia le condizioni tipiche dello scenario B

( margine di fase desiderato)


Parte 10, 47

I valori di che garantiscono una attenuazione pari a e uno sfasamento (con e ) per sono


ovvero

che e’ equivalente a (uguagliando parte reale e immaginaria)

che risolta restituisce le formule precedenti

Infatti:


Parte 10, 48

Infatti, mentre è facile verificare che e garantiscono che e , si ha che

Warning: Non tutti gli sfasamenti e le attenuazioni possono essere arbitrariamente ottenuti con e .



Parte 10, 49

Imposizione del margine di fase mediante formule di inversione

Dati del problema

  Sistema esteso

  Pulsazione di attraversamento desiderata e margine di fase desiderato

Algoritmo per il progetto della rete anticipatrice

Step 1: Calcolare e (lettura diagramma Bode)

Step 3: Calcolare mediante le formule di inversione


Step 2: Calcolare

Verificando che (ovvero che )

(ovvero che )

Scenario B


Parte 10, 50

Esempio

specifiche


Sistema non compensato

Sistema compensato


Parte 10, 51 Procedura Matlab

function [alpha,tau]=ProgettaRA(Num,Den)

Bode(Num,Den); grid; [Wcd,PAd]=ginput(1); disp('Margine di fase desiderato: ') MFd=180+PAd disp('Pulsazione di attraversamento desiderata: ') Wcd

Immissione mediante mouse del valore desiderato di per (e quindi immissione di )

[M,P,W]=Bode(Num,Den); [V,i]=min(abs(W-Wcd)); GeWcd=M(i); ArgGeWcd=P(i); Pd=-180+MFd-ArgGeWcd; Md=1/GeWcd; Pd=Pd*pi/180;

Calcolo di

if (Md<1 || Pd<0 || cos(Pd)>1/Md) disp('Studia!'); return;

end

Check realizzabilità delle specifiche mediante rete anticipatrice

tau=(Md-cos(Pd))/(Wcd*sin(Pd)); alpha=(cos(Pd)-1/Md)/(Wcd*sin(Pd))/tau;




Parte 10, 52 Esempio (code di assestamento)

specifiche

possibile scelta


La dinamica che ci si aspetta in retro e’ quella di una coppia cc con



Zoom sistema compensato

Ci aspettiamo quindi che il sistema in retro abbia: 1.  Coppia di poli cc

3.  Coppia polo-zero reale “molto vicini” (quasi cancellazione!!)

1

1

2



Risposta al gradino del sistema in retro confrontata con quella di un sistema del 2o ordine con pari guadagno statico e

zoom

Coda di assestamento


Parte 10, 55 Effetti collaterali introdotti dallo zero

polo-zero della rete

1)  La funzione di trasferimento in retro avrà uno zero più vicino all’asse immaginario rispetto alla dinamica dominante

possibili overshoot da zero molto maggiori rispetto a quelli attesi

2)  Tale zero fungerà da attrattore per un ramo del luogo delle radici. Quindi il sistema in retro potrebbe avere una coppia polo-zero con valori comparabili (quasi cancellazione)

possibili code di assestamento

Esempio precedente

La calibrazione della rete piazza lo zero strutturalmente a frequenza inferiore rispetto a quella di attraversamento desiderata. Questo ha due possibili conseguenze:


Parte 10, 56

Un rimedio spesso adottato (non sempre fattibile, da verificare caso per caso) e’ quello di mettere lo zero della rete in cancellazione con uno dei poli del sistema esteso

Esempio precedente:

Avendo fissato lo zero rimane da scegliere il tuning del polo per soddisfare le specifiche su e

Effetto dello zero in reti anticipatrici: un rimedio

La criticità o meno dello zero deve essere verificata di volta in volta valutando la posizione del polo del sistema in retro che tende verso lo zero e la posizione dello zero della rete rispetto alle specifiche sul tempo di assestamento e sulla sovraelongazioni


Parte 10, 57 … un rimedio

fissato

L’idea nel tuning del polo e’ quella di prendere la sua posizione suff. a dx (ovvero suff. piccolo) al fine di avere

Occorre poi valutare l’effetto dell’amplificazione introdotta per

Margine di fase desiderato

Stima anticipo necessario per compensare lo sfasamento negativo del sistema esteso nell’intorno della pulsazione di attraversamento

Margine sicurezza

Primo algoritmo (poco conclusivo…)


Parte 10, 58

Algoritmo

Step 1 Fissare in cancellazione con il polo del plant (cancellando un polo a freq. più bassa della pulsazione di attraversamento desiderata)

Step 2 Fissare in modo che

… un rimedio

Step 3 Verificare il margine di fase per il sistema compensato valutando l’effetto dell’amplificazione introdotta dalla rete ovvero fissando eventualmente un valore di differente


Parte 10, 59

Esempio progetto per cancellazione ....Reti anticipatrici

specifiche

possibile scelta

Cancellazione

Anticipo di fase necessario almeno

( )



con cancellazione

senza cancellazione

zoom


Parte 10, 61

grad

i

… un rimedio

-

Caratterizzazione zero (polo)

Approccio alternativo


Parte 10, 62

fissato Si puo’ valutare lo sfasamento ( ) e l’amplificazione ( ) dello zero alla pulsazione dai diagrammi sopra con

Algoritmo

Step 1)

Step 2) Calcolare: Attenuazione desiderata del polo a

Step 3)

Step 4) Se si, scegliere , altrimenti provare con un diverso valore di

… un rimedio

e il valore di che garantisce l’attenuazione

Valutare se lo sfasamento del polo per risulta essere Compatibile con il margine di fase desiderato, ovvero


Parte 10, 63 Esempio (seconda procedura)

… un rimedio

specifiche

Cancellazione

Prima scelta

Polo che garantisce 5.5 db di attenuazione

Sfasamento del polo per

non compatibile con il ( )


Parte 10, 64

Seconda scelta

Polo che garantisce 0.4 db di attenuazione

Sfasamento del polo per

… esempio

compatibile con il ( )

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