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1

5. Il Metodo del Luogo delle Radici

Controlli Automatici A – Prof. Aurelio Piazzi 11 maggio 2003

Controlli Automatici A

Corsi di laurea triennali in Ingegneria Elettronica, Informatica, Telecomunicazioni

a.a. 2001/2002Docente: Prof. Aurelio Piazzi

Email: [email protected]://www.ce.unipr.it/people/piazzi/

2



5.1 Il luogo delle radici

5.2 Proprietà del luogo delle radici

5.3 Esempi di luoghi delle radici

5.4 Il contorno delle radici

5.5 Complementi

3



5.1 Il luogo delle radici

Il progetto di un sistema in retroazione richiede la conoscenza dei poli retroazionati e delle variazioni di questi al variare dei più importanti parametri di progetto: fra questi c’è la costante di trasferimento K1 del guadagno di anello L(s).

11

1

( ) ( )( )

( ) ( )m

n

s z s zL s K

s p s p

− −=− −

Equazione caratteristica del sistema in retroazione: 1 1

11

1

1 ( ) 0

( )( )

( ) : :( ) ( )

m

iin

ii

K G s

s zz s

G sp s s p

=

=

+ =

−= =

−

∏

∏

4



Definizione:

Luogo delle radici (diretto) è il luogo geometrico descritto dalle radici dell’eq. 1 + K1G1(s) = 0 al variare di K1 da 0 a +∞.

Luogo delle radici (inverso) è il luogo geometrico descritto dalle radici dell’eq. 1 + K1G1(s) = 0 al variare di K1 da 0 a −∞.

{ }

{ }

1

1

1 11

1

1

1

1 11

1

Se 0 allora:

arg ( ) mod 2

1 ( ) 0 1( )

Se 0 allora:

arg ( ) 0 mod 2

1 ( ) 0 1( )

K

G s

K G sG s

K

K

G s

K G sG s

K

π π

π

>=

+ = ⇔ =<

=+ = ⇔ = −

5



Esempio: 0, (0, )Kτ > ∈ +∞

−K ( )

1

1s sτ+

1 1

eq. car.: 1 0(1 )

11 0

1

1, ( )

1

K

s s

K

s s

KK G s

s s

τ

ττ

ττ

+ =+

+ ⋅ = +

= = +

1

2

1

1 2

2

1arg mod 2

1

1

j

j

s s

s e

s e

ϕ

ϕ

π π

τρ

ϕ ϕ πρ

τ

= +

= ⇒ + =

+ =

s

1ρ

1ϕ2ϕ

6



5.2 Proprietà del luogo delle radici

Proprietà 1: Il luogo ha tanti rami quanti sono i poli di G1(s). Ogni ramo parte da un polo di G1(s) e termina in uno zero di G1(s) o in un punto all’infinito. I rami si intersecano in corrispondenza delle radici multiple.

1 1 1

1 1

1 1

Dim.: (si ricorda che )

1+K ( ) 0 p(s)+K ( ) 0 (eq. polinomiale di grado )

K 0 G ( ) , 1,

K G ( ) 0 , 1, oppure

i

i

m n

G s z s n

s s p i n

s s z i m s

≤= ⇔ =

→ ⇒ → +∞ ⇔ → =

→ +∞ ⇒ → ⇔ → = → +∞

…

…

7



Proprietà 2: Il luogo delle radici è simmetrico rispetto all’asse reale.

Dim.: Le radici complesse di un'eq. polinomiale a coefficienti reali si presentano a coppie coniugate.

Proprietà 3: Nel luogo delle radici diretto (K1 > 0) un punto dell’asse reale fa parte del luogo se si lascia alla sua destra un numero totale dispari di zeri e poli di G1(s). Nel luogo delle radici inverso (K1 < 0) un punto dell’asse reale fa parte del luogo se si lascia alla sua destra un numero totale pari di zeri e poli di G1(s).

Esempio:

Luogo diretto Luogo inverso

8



Dim. P. 3 (cenno): Per il luogo diretto la proprietà discende facilmente dalla condizione

arg G1(s) = π mod 2 π ; analogamente per il luogo inverso…

• Def.: Angoli di partenza e di arrivo nel luogo

angolo di partenza da ip

angolo di arrivo su iz

iz

ip

tangente al luogo

tangente al luogo

9



Proprietà 4: Nel luogo delle radici diretto (K1 > 0) l’angolo di partenza da un polo pi semplice è dato dalla relazione:

l’angolo di arrivo sullo zero zi semplice è dato da

Se il luogo delle radici è inverso (K1 < 0) nelle relazioni si sostituisce 0 a π.

{ }1

angolo di p. da arg( ) arg( )m

i i j i jj j i

p p z p pπ= ≠

= + − − −∑ ∑

{ }1

angolo di a. su arg( ) arg( )n

i i j i jj j i

z z p z zπ= ≠

= + − − −∑ ∑

( )

1

Dim. (cenno): Determinazione dell'angolo di p. da

Si impone il cambio di variabile , 0

Quindi si valuta al limite la la relazione arg ( ) mod 2 ...

i

i i

ji

p

s p e

G s

ϕ

ϕ

ρ ρπ π

= + → +=

10



• Nota sulla Proprietà 4 [luogo diretto]

Se il polo pi è multiplo con molteplicità h > 1 gli h angoli di partenza φi da pi si determinano con la relazione:

1

arg( ) arg( ) mod 2m

i i j i jj j i

h p z p pϕ π π= ≠

= + − − −∑ ∑

Se lo zero zi è multiplo con molteplicità h > 1 gli h angoli di arrivo ψi su zi si determinano con la relazione:

1

arg( ) arg( ) mod 2n

i i j i jj j i

h z p z zψ π π= ≠

= + − − −∑ ∑

11



Proprietà 5: Una radice del luogo di molteplicità h corrisponde a un punto comune ad h rami in cui oltre all’eq. 1 + K1 G1(s) = 0 sono soddisfatte le relazioni Di G1(s) = 0, i = 1, … ,h − 1.

( )1 1 1

Dim.:

1 ( ) 0 , 1, , 1 ( ) 0 , 1, , 1 QEDi iD K G s i h D G s i h+ = = − ⇒ = = −… …

• Una radice doppia del luogo soddisfa l’eq.:

1 1

1 10

n m

i ii is p s z= =

− =− −∑ ∑

12



Proprietà 6: In corrispondenza di una radice di molteplicità h il luogo presenta h rami entranti ed h rami uscenti, alternati fra loro, le cui tangenti suddividono lo spazio circostante in settori uguali di π/h radianti.

Esempi:

13



• n rami partano dai poli di G1(s), di questi m terminano sugli zeri di G1(s), i rimanenti n − m divergono all’infinito adagiandosi ad asintoti rettilinei.

Proprietà 7: Gli asintoti del luogo delle radici formano una stella di raggi con centro nel punto dell’asse reale di ascissa

Se il luogo è diretto (K1 > 0) gli asintoti formano con l’asse reale gli angoli:

Se il luogo è inverso (K1 < 0) gli asintoti formano con l’asse reale gli angoli:

( )1 1

n m

a i ii i

p z n mσ= =

= − − ∑ ∑

( ) ( ), 2 1 , 0,1, , 1.a n m n mνϑ ν π ν= + − = − −…

( ), 2 , 0,1, , 1.a n m n mνϑ νπ ν= − = − −…

14



• Asintoti del luogo diretto (K1 > 0)

aσ

aσ

aσ

1ρ =

2ρ =

3ρ =

aσ4ρ =

aσ5ρ =

60

45

36

( )1: ordine relativo di ( )n m G sρ = −

15



• Asintoti del luogo inverso (K1 < 0)

aσ

aσ

aσ

1ρ =

2ρ =

3ρ =

aσ4ρ =

aσ5ρ =

12072

( )1: ordine relativo di ( )n m G sρ = −

16



5.3 Esempi di luoghi delle radici

• Luoghi (diretti) del primo ordine

• Luoghi (diretti) del secondo ordine

17



• Luoghi (diretti) del secondo ordine

R

1d

2d1 2R d d=

R

18



5.4 Il contorno delle radici

• É un luogo delle radici (dell’eq. carat.) per variazioni di un parametro diverso dalla costante di trasferimento del guadagno di anello.

• Questa tecnica è applicabile quando l’eq. caratteristica 1+L(s;p) = 0 con p parametro variante è riconducibile all’eq. carat. standard 1 + K1G1(s) = 0 con K1 = K1 (p) funzione biunivoca di p.

19



• Contorno delle radici per variazione di un polo

( )( ; ) , ( ) funzione razionale

1( )

1 ( ; ) 0 1 0 1+ ( ) 01

R sL s R s

sR s

L s s R ss

ττ

τ ττ

=+

+ = + = + =+

1 01 ( )

s

R sτ+ =

+

( ; ) bipropria ( ) impropria bipropria1 ( )

( ; ) stret. propria ( ) propria impropria1 ( )

sL s R s

R s

sL s R s

R s

τ

τ

⇒ ⇒+

⇒ ⇒+

20



2

2

Esempio:

( ; )(1 )

per 0 1 0

per 0 1+ 0(1 )

0

1 0

KL s

s s

K

sK

s s

s s K

s

s K

ττ

τ

ττ

τ

τ

=+

= + =

> =+

+ + =

+ =+

21



• Contorno delle radici per variazione di uno zero

( )( )

( ; ) ( ) 1 , ( ) funzione razionale

1 ( ; ) 0 1 ( ) 1 0 1 ( )+ ( ) 0

L s R s s R s

L s R s s R s sR s

τ ττ τ τ= +

+ = + + = + =

( )1 0

1 ( )

sR s

R sτ+ =

+

( )( ; ) propria ( ) stret. propria propria

1 ( )

sR sL s R s

R sτ ⇒ ⇒

+

22



• L’eq. caratteristica 1+L(s;p) = 0 è riconducibile alla forma standard quando trasformata in equazione polinomiale i suoi coefficienti sono funzioni affini del parametro p.

( )

( )

( )

2

2

Esempio:

51 0

3

3 5 0

3 51 0

531 3 01

s pp

s s p

s ps s p

p s

s s

sp

s s

+++ = ∈+

+ + + =+

+ =+

++ =

+

23



5.5 Complementi

• Teorema del baricentro del luogo delle radici

( )

{ }( )

11 1 1 1

1

1 2

1 1

( )1 0 1 ; , , 0

( )

, , , siano le radici dell'eq. carat.

; , ,

m

ii

mn

ii

C C Cn

Ci Ci m

s zK K G s z z

s p

p p p

p p K z z

=

=

−+ = + =

−

≡

∏

∏…

…

…

11 1

Se il guadagno di anello ha ordine relativo 2 vale la relazione:

e , 1, , .n n

Ci i ii i

p p K z i m

ρ

= =

≥

= ∀ ∈ ∀ ∈ =∑ ∑ …

24



11

1

2 12 1

1 21

1

1

1

Dim.: (si ricorda che )

( ) ( )1 0

( ) ( )

0 se 21 0

1 se 2

0 eq. carat. polinomiale

m

m

n nn n

nnn n

ii

nn n

ii

ni

i

n m

s z s zK

s p s p

s sK

s p s

s p s

s p

ρ

ρβ β βρ

− −− −

−−

=

−

=

= −− −+ =− −

>+ ++ = = =− +

+ − + =

+ −

∑

∑

( ) ( ) ( )11 2

1

1 1

QED

nn

C C Cn

n n

i Cii i

s s p s p s p

p p

−

=

= =

+ = − − −

⇒ − = −

∑

∑ ∑

25



• Sensibilità delle radici a variazioni di K1

1

1

1 1

1 11

1

1

1 11

1

Sia una radice del luogo:

1:

( ) 1 dove ( )

( )

K

K

s

dsK ds KsS

dK dKs dK sK ds

K dK sS K s

s ds G s

−

= = ⋅ = ⋅

= ⋅ = −

1: Se è una radice multipla del luogo allora .Ks S = ∞Proprietà

1 1( ) ( )Dim.: Se è una radice multipla 0 0 .

dG s dK ss

ds ds⇒ = ⇒ =

• Conseguenza: può non essere opportuno assegnare (progettare) un valore di K1 corrispondente ad una sensibilità infinita …

26



• Grado di stabilità

Sia dato un sistema Σ asintoticamente stabile ( Re pi < 0, i = 1, .. ,n ; dove i pi sono i poli di Σ ):

Def.: Si definisce grado di stabilità di Σ (nel piano complesso)

{ }1 2: max Re , Re , , ReS nG p p p= − …

• È la distanza minima dei poli di Σ dall’asse immaginario (ovvero dal piano “instabile”).

• Nell’ipotesi che fra i poli di Σ esista una coppia dominante vale approssimativamente: 3

aS

TG

≈

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