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PROGETTO DI CONTROLLI AUTOMATICI

Andrea Francesconi 0000668942

Luca Nanni 0000652344

Giorgio Rambelli 0000653534

ANALISI DEL PROBLEMA

L’uscita del sistema con in ingresso un gradino di ampiezza 2 si presenta come sotto

I diagrammi di Bode del plant da controllare sono i seguenti

Uscita y(t) del sistema senza controllore

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Diagramma di Bode del plant

Notiamo un margine di ampiezza di 8.48 dB e un margine di fase di 12.8 dB

Il sistema da controllare presenta un guadagno statico di 1.0417, nessuno zero e tre poli, di cui

uno reale in 0 80s = − e due complessi coniugati di valori rispettivi 1 21 59 1 59s i s i= − − , = − + .

Il primo constraint inserito riguarda la specifica statica per l’inseguimento del riferimento con un

errore nullo a regime. E’ sufficiente introdurre un polo nell’origine.

Non è necessario introdurre un lower bound su ( )dB

L jω alle basse frequenze in quanto la

specifica indica un disturbo sull’uscita costante (frequenza nulla).

Il secondo constraint è dato dalla massima sovraelongazione, che nel nostro caso deve essere

% 5% 0 7S δ≤ ⇒ ≥ . che si traduce in un margine di fase desiderato di 100 70f fM Mδ≥ ⇒ ≥ °.

Il terzo constraint è dato dal tempo di assestamento, che nel nostro caso deve essere 1% 0 8aT , ≤ .

secondi: esso corrisponde ad imporre un lower bound su cω tale che

1%

4608 21

secc cf a

rad

M Tω ω

,

≥ ⇒ ≥ . .

In base alle specifiche fornite possiamo delimitare il nostro grafico nel dominio della frequenza

come nell’immagine sotto:

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Constraints nel dominio della frequenza

ERRORE A REGIME

Essendo la nostra G(s) di tipo 0, decidiamo di soddisfare la specifica di errore a regime nullo

introducendo un polo nell’origine del regolatore statico. Ciò equivale ad introdurre un regolatore

statico RS1 tale che ( )1

1RS s

s= .

Schema di controllo: polo nell'origine (RS1)

Otteniamo nel sistema in retroazione la seguente uscita in cui si nota l’aggiustamento del valore a

regime a 2.

Inseguimento a regime

8 21cω ≥ .

70fM ≥

Disturbo di misura definito spettralmente

Fisica realizzabilità

Uscita y(t) del sistema con polo nell'origine (RS1)

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I diagrammi di Bode diventano

Diagrammi di Bode del sistema in anello aperto con il polo nell'origine (RS1)

Margine di fase = 87.2°, Margine di ampiezza = 5.53 dB.

TENTATIVO FALLIMENTARE: due reti anticipatrici

Il primo approccio è quello di cercare di alzare la fase, la quale, a causa dei poli complessi coniugati

proprio in prossimità delle possibili cω di attraversamento desiderabili, si trova a essere minore di

- 270°. Per raggiungere il margine di fase di 70° desiderato abbiamo bisogno di un guadagno di

fase molto elevato (nell’ordine dei 150 °- 160°).

Dopo diversi tentativi con due reti anticipatrici portate ai limiti costruttivi (al massimo una rete

anticipatrice può alzare la fase di 75°), ci rendiamo conto che la soddisfazione del vicolo sul

margine di fase non può essere soddisfatta unicamente tramite il loro utilizzo.

TENTATIVO FALLIMENTARE: due reti anticipatrici e un pre-filtraggio

Si è tentato poi di trascurare la specifica sulla sovraelongazione introducendo un prefitro. In

questo modo possiamo limitarci ad alzare il margine di fase a 40° (come richiesto da specifica).

Il prefiltro ha fdt pari a ( )2

1

0 1Rpf

s=

.1 +.

Le due reti anticipatrici usate sono coincidenti e hanno fdt pari a 0 25 1

1 20 0025 1

sRa Ra

s

. += =. +

.

Lo schema della rete diventa

Schema di controllo: tentativo fallimentare con due reti anticipatrici e un pre-filtraggio

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L’uscita del sistema è

Uscita y(t) del sistema nel tentativo fallimentare di due reti anticipatrici e il pre-filtraggio

Notiamo che la specifica sul tempo di assestamento non è soddisfatta.

Decidiamo di attuare un’altra soluzione.

PROCEDURA RISOLUTIVA

Introduzione di uno zero – regolatore PID

Vogliamo alzare la fase.

Questo ci porta all’introduzione di uno zero, struttura la quale ci permette di avere un anticipo di

fase di ben + 90°.

Decidiamo di collocare lo zero alla frequenza di 15 rad / s in quanto abbiamo come obiettivo un

attraversamento a c

rad

sω = 35 (tempo di assestamento soddisfatto e sforzo di controllo limitato)

e quindi dobbiamo alzare la fase prima di esso.

Questa scelta è anche dettata dal fatto che dobbiamo stare attenti a non introdurre zeri troppo

vicini all’asse immaginario o a qualche altro polo, in modo da evitare indesiderate code di

assestamento.

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Luogo delle radici del sistema esteso con aggiunto lo zero in 15 rad/sec

Notiamo che la distanza relativa fra i poli e lo zero non crea particolari code di assestamento.

Inglobiamo lo zero dentro a ( )1RS s che diventa ( )1

11 1 015

s sRS s

s s

+ + .06667⋅= = la quale è la

struttura tipica di un regolatore PID.

Diagrammi di bode dello zero in 15 rad/sec (Verde), del sistema esteso (Rosso)

e del sistema con il regolatore PID (Blu)

Notiamo un innalzamento della fase del sistema di +90°.

Decidiamo di trascurare la specifica sulla sovraelongazione, che ci imponeva un margine di fase di

70°, e ci limitiamo a garantire la specifica di robustezza data dal problema e cioè 40fM ≥ °.

Introduzione di un’unica rete anticipatrice (FALLIMENTARE)

Come primo approccio decidiamo di usare un’unica rete anticipatrice.

Decidiamo di modificare la nostra c

rad

sω = 60 in quanto a 60 rad/s si ha la massima frequenza di

taglio in cui la fase è recuperabile con un’unica rete anticipatrice.

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Abbiamo scelto la frequenza più alta possibile in modo da rispettare il tempo di assestamento

(vedi sopra la modifica del margine di fase a 40°).

Ci rendiamo conto che il massimo tempo di assestamento raggiungibile è di circa 1.1 secondi, a

causa del fatto che lo zero della rete anticipatrice è troppo vicino all’asse immaginario e questo

causa una coda di assestamento.

Proviamo adesso con due reti anticipatrici.

Introduzione di due reti anticipatrici

Adesso vogliamo portare il margine di fase a più di 40° alla pulsazione di attraversamento scelta

( c

rad

sω = 35 ).

Decidiamo di impostare un fM ∗ = 43 °. La fase in corrispondenza di cω è -223.39°.

Lo sfasamento positivo che dobbiamo ottenere è (in gradi) 180 223 39 43 86 38ϕ∗ = − + . + = . °.

Utilizziamo due reti anticipatrici (coincidenti per semplicità).

Decidiamo di dividere il compito a metà: calcoliamo quindi la metà dello sfasamento positivo

desiderato 43 192ant

ϕϕ∗

∗ = = . ° (pienamente ottenibile da una rete anticipatrice).

Dalla formula 1

arcsin1ant

αϕα

∗ − = + ricaviamo

( )( )

1 sin0 1873

1 sin

ant

ant

ϕα

ϕ

∗

∗

−= = .

+.

Ricaviamo τ di conseguenza con 1

0 066c

τω α

= = . .

Quindi le nostre reti anticipatrici avranno fdt pari a 0 066 1

1 20 0124 1

sRa Ra

s

. += =. +

.

Per raggiungere la pulsazione di attraversamento desiderata dobbiamo aggiungere un guadagno di

34.43 dB quindi 52 64µ = . .

Schema di controllo: il regolatore comprende il PID e le due reti anticipatrici

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Uscita y(t) del sistema: regolatore con PID e due reti anticipatrici

Diagrammi di bode del sistema con il PID (Verde), delle due reti anticipatrici (Blu) e

del sistema controllato totale (Rosso)

Luogo delle radici del sistema controllato totale

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Pre-filtraggio

La specifica sulla sovraelongazione viene risolta con l’utilizzo di un pre-filtraggio all’ingresso del

sistema di controllo.

Il prefiltro ha fdt pari a ( )2

1

0 1Rpf

s=

.1 +.

L’uscita del sistema è la seguente: notiamo la risoluzione del problema della sovraelongazione.

Uscita del sistema controllato totale con l'aggiunta del pre-filtraggio

Notiamo un rallentamento della risposta a causa dell’introduzione del prefiltro. In ogni caso la

specifica sul tempo di assestamento è soddisfatta.

Schema di controllo del sistema totale con aggiunto il pre-filtraggio

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SFORZO DI CONTROLLO

Adesso osserviamo come è variata la ( )Q s del sistema nel corso del nostro progetto. Cercheremo

poi, nel caso presenti un andamento non desiderato, di modificarla in maniera da limitare lo sforzo

del controllo.

Prima dell’introduzione del pre-filtraggio la funzione di sensitività del controllo si presenta così:

Funzione di sensitività del controllo prima dell'aggiunta del pre-filtraggio

Notiamo un andamento passa-alto, ovviamente non voluto in quanto:

1. Amplifichiamo alle alte frequenze (e quindi abbiamo “controlli nervosi” sui disturbi di

misura);

2. In generale la ( )Q s deve essere “bassa”.

All’introduzione del pre-filtraggio la ( )Q s diventa:

Funzione di sensitività del controllo dopo l'aggiunta del pre-filtraggio

Si ha un notevole miglioramento alle alte frequenze: il prefiltro (in questo caso progettato come

un passa-basso) infatti, attenuando le frequenze “alte”, rallenta il segnale di riferimento (in questo

caso un gradino di ampiezza 2) e quindi il controllo per le frequenze attenuate viene moderato.

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DIMENSIONAMENTO DEL CONTROLLO

Il segnale di controllo ( )u t è il seguente:

Sforzo di controllo della rete a regolazione avvenuta

Notiamo che il controllo è ha un picco in 5≈ e, a regime, si oppone costantemente ai due disturbi

(di misura e sull’uscita).

Vogliamo cercare di limitarlo.

L’idea è quella di inserire un filtro del primo ordine in retroazione in modo da attenuare il disturbo

di misura.

Affinché il filtro attenui il disturbo correttamente e non influisca sulla dinamica a basse frequenze

(ricordiamo che 35c

rad

sω = ) occorre posizionare il polo del filtro almeno una decade dopo cω e

possibilmente una decade prima di 2000 rad/s. Scegliamo quindi il polo in 350 rad/s

Il filtro ha fdt pari a ( ) 1 11 1 0 0028571

350

retRf sss

= =+ .+

.

Schema di controllo del sistema con aggiunto il filtro in retroazione

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Sforzo di controllo dopo l'introduzione del filtro in retroazione

Il segnale di controllo a regime è decisamente attenuato dal filtro.

DIMENSIONAMENTO DEGLI ATTUATORI

Modelliamo l’attuatore come un blocco di saturazione e cerchiamo di capire di quanto possiamo

sottodimensionare gli attuatori senza incorrere a modifiche radicali del comportamento della rete.

Dopo vari tentativi riusciamo a sottodimensionare del 62% (corrispondente a una saturazione

nell’intervallo [- 1.9; + 1.9]).

Per gestire casi di incertezza decidiamo di sovradimensionare del 20% l’attuatore.

Nel modello del blocco di saturazione questo significa un intervallo di [- 2.28; + 2.28].

Sforzo del controllo con l'introduzione della saturazione degli attuatori

Sotto abbiamo la risposta finale del sistema. Sono rispettate tutte le specifiche: errore a regime

nullo, sovraelongazioni inferiori al 5%, attenuazione dei disturbi (sull’uscita e di misura), tempo di

assestamento inferiore a 0.8 secondi. Tutto questo cercando di tenere al minimo lo sforzo di

controllo e dimensionando opportunamente l’attuatore.

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Uscita y(t) del sistema finale