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GianLuca DeMichelis Controlli Automatici

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Politecnico di Torino Anno accademico 96-97

Corso di Controlli Automatici generaleProf. Enrico Canuto

Asservimento digitale di posizione ad ungrado di libertà

DeMichelis GianLuca - gruppo 53


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Sommario

1. Obiettivi e Specifiche2. Scelta dei Componenti

Scelta del Riduttore Scelta del Motore Scelta dell’Alimentatore Scelta del Trasduttore di Posizione Convertitore D/A

3. Il Controllo Digitale Modello fine dell’impianto Il modello semplificato Architettura del sistema di controllo Programmatore Osservatore Compensatore

4. La Prova Migliore Scelta dei parametri Traiettoria del braccio Velocità del braccio Errori Andamento del comando Coppia sul riduttore Prova con forza utile Risultati

5. Analisi dei Costi Costi di produzione Ricavi attesi Costo di esercizio Utile


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1. Obiettivi e SpecificheLo scopo ultimo del progetto è quello di simulare tramite elaboratore un sistema per il

controllo automatico della posizione di un braccio meccanico ad un grado di libertà.

Il braccio meccanico, incernierato ad un estremo, è in grado di muoversi di solo moto

rotatorio intorno ad un punto fisso, ed ha lo scopo di portare un utensile in una data

posizione e di mantenervelo durante un ciclo di lavorazione.

Lo schema di principio del sistema da controllare è schematizzato nella seguente figura:

La funzione del contrappeso è quella di equilibrare il braccio, in modo che l’asse di

rotazione, in assenza di utensile, sia baricentrico.

Dati del sistema:

• J b : momento d’inerzia del sistema composto da braccio meccanico e contrappeso;

• Mu : massa dell’utensile;

• Fu : massima forza esercitata dall’utensile sul braccio meccanico durante la lavorazione;

• ω : velocità angolare massima raggiungibile dal braccio meccanico;

• α : accelerazione angolare massima raggiungibile dal braccio meccanico;

• ε : tolleranza relativa alla posizione del braccio meccanico in posizione;

• ε m : tolleranza relativa alla posizione del braccio meccanico in movimentazione;

•

: lunghezza del braccio;

• τs : tempo d’assestamento nominale.

Personalizzazione:

Y

X

x

Utensile M l

ϑ

Contrappeso


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1. Inerzia del braccio Jb = 6(G/75 + ( N -1)2 + (9 - S)0,5) dove:

• G = numero di gruppo = 53

• N = numero di componenti del gruppo = 1

• S = appello estratto = 6

2. Massa utile Mu < 0,2* Jb

3. Forza utile Fu < 10 N

Dunque le specifiche sulle quali basare il lavoro sono:

Dato Valore UnitàJb 13,24 kg m2

Mu 2,65 kgFu 10 Nω 1,5 rad / sα 1,5 rad / s2

ε 1 mradεm 30 mradl 1 mτs 0,5 s


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2. Scelta dei componenti

Scelta del Riduttore

La scelta del riduttor fatta sulla base delle specifiche di movimentazione: velocità

massima ed accelerazione massima del braccio.

Poiché ω pari a 1,5 rad/s e la velocità nominale di un generico motore elettrico a

corrente continua può essere presa pari a 300 rad/s, il rapporto di riduzione τ dovrebbe

assestarsi intorno a 200; se però considero i 300 rad/s come limite superiore per la

velocità del motore, posso scegliere un τ più piccolo, portando la massima velocità del

motore, corrispondente a 1,5 rad/s del braccio, intorno ai 250 rad/s.

Il componente scelto un modello Harmonic Drive taglia 50 con esecuzione BL3 a giochi

ridotti; riporto le specifiche :

Taglia riduttore T 50 BL3 unità

Inerzia primario 0,0015 kg m 2

Inerzia secondario 19,2 kg m 2

Rapporto di riduzione 160Rigidità torsionale 298800 N m / radGioco torsionale 0,87 mradCoppia al limite del gioco susecondario

16,95 N m

Coefficiente di attritoviscoso sul primario

0,00293 N m s

Coppia di attrito radente sulprimario

0,26 N m

Coppia nominale sulsecondario

476 N m

Velocità nominale sulprimario

298 rad /s

con questo componente i calcoli approssimati diventano: τ = 160,

ωmot = τ ω = 240 rad/s

Sarà in seguito necessario verificare che il motore scelto non presenti coppie comunque

superiori ai 476 N m .


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Scelta del Motore

Per quanto riguarda la scelta del motore, ho inserito in una tabella elettronica i dati di

alcuni modelli elettrici a corrente continua AXEM, calcolandone le caratteristiche e

confrontandole con le specifiche richieste al fine di effettuare una scelta opportuna. In

particolare, si rivelata determinante la corrente richiesta dal motore nelle peggiori

condizioni dinamiche:

IdCd

=⋅τ φ

che deve essere inferiore alla corrente nominale Im ; mentre sia la coppia statica sul

secondario del riduttore:

( )C Fu l M l g A Am rs = ⋅ + ⋅ ⋅ + + τ

sia la coppia dinamica:

( )[ ] ( )Cd J J J J Ml A A ( ) Mlgm r1 r 2 b2

m r= + + + + + + + + +τ α τ β β ω τ2m r m

si sono rivelate inferiori alla massima coppia sopportabile dal riduttore, per ognuno dei

motori provati.

Qui di seguito riporto le tabelle con i dati del costruttore e le coppie calcolate:

tipo di motore MD 17 HS MC 13 S MD 15 HS MD 17 CS MD 17 B unità

Coppia nominale Cm 3,18 1,27 1,9 2,7 1,2 N m

Velocità nominale ωm314 314 314 314 334,93 rad / s

Massimo carico Fm 450 300 450 450 600 N

Inerzia J m 0,000815 0,000235 0,000423 0,000815 0,00079 kg m 2

Flusso concatenato Φ 0,318 0,15875 0,230303 0,27 0,05 V s

Coefficiented'attrito viscoso

βm0,000364 0,000143 0,000258 0,000286 0,0001528 N m s

Coppia d'attritoradente

Am 0,06 0,026 0,06 0,06 0,12 N m

Resistenzad'armatura

Rm 1 1,5 1,25 1 0,175 Ω

Induttanzad'armatura

Lm 0,1 mH

Corrente nominale I m 10 8 8,25 10 24 A

Corrente massima abasse velocità

I 0 9,22 0,253 8 8,8 21 A

Tensione nominale Vm 116 65 88 100 24 V

Potenza nominale Pm 1000 400 600 850 400 W

Coppia statica 87,15 81,71 87,15 87,15 96,75 N m

Coppia dinamica 384,169 345,353 363,791 380,275 392,524 N m

Coppia di stallo 2,932 0,040 1,842 2,376 1,05 N m

Corrente richiesta 7,55 13,597 9,873 8,803 49,065 A

Rapporto di τ 160 160 160 160 160


Pagina 7

riduzione

Accelerazione massima 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 rad /s2

Massima coppia statica 0,545 0,511 0,545 0,545 0,605 N m

Per visualizzare chiaramente le differenze tra i motori, ho riportato l’istogramma delle

coppie dinamiche calcolate per i cinque motori presi in esame. Si osservi che il fondoscala

dell’asse vertical proprio 476, coppia nominale sopportabile del riduttore.

MD 17 HS MC 13 S MD 15 HS MD 17 CS MD 17 B

384

345364

380393

200

250

300

350

400

450


coppia dinamica sul secondario

Tutti i motori presi in considerazione soddisfano la richiesta di una coppia dinamica

massima inferiore a 476 N m.

MD 17 HS MC 13 S MD 15 HS MD 17 CS MD 17 B0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50


corrente nominale


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In questo grafico vengono evidenziate le richieste di corrente da parte dei vari motori

nelle peggiori condizioni dinamiche (barre rosse), e le correnti nominali (barre azzurre);

occorre che la corrente richiesta dal motore sia inferiore alla corrente nominale: in questo

caso solo due motori soddisfano le specifiche: il MD 17 HS ed il MD 17 CS.

Scelta

Sulla base dei dati in tabella, scelgo il motore MD 17 HS; controllo la correttezza della

scelta effettuata calcolando la massima coppia di stallo possibile al motore :

Cst = φ I0 = 2,93 Nm dove I0 la corrente massima a basse velocità ,e φ = Cm/Im il

flusso concatenato, ed osservo ch ampiamente maggiore della massima coppia statica

richiesta : Cs/τ = 0,5447 Nm.


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Scelta dell’Alimentatore

La scelta dell’alimentatore viene effettuata sulla base delle specifiche del motore e del

passo di campionamento imposto dal controllo; in particolare il ritardo complessivo di

regolazione τa deve essere minore del passo di campionamento T: occorre cio che la

banda passante dell’alimentatore sia superiore alla frequenza di campionamento.

Inoltre la tensione massima di uscita dell’alimentatore deve essere maggiore della

tensione nominale del motore, e la corrente nominale almeno pari a quella richiesta dal

motore: Va > Vm; Ia >= Im

Nella tabella seguente ho riportato i dati tecnici di quattro alimentatori, al fine di

effettuare una scelta opportuna:

nomedell'alimentatore

SAT 20k4/8/150

SAT 20k8/16/150

SAT 5k12/20/200

SAT 5k20/40/200 unità

Banda passante fa 2000 2000 500 500 Hz

Frequenza dicommutazione

fc 20000 20000 5000 5000 Hz

Corrente di picco Imax 8 16 20 40 A

Corrente nominale Ia 4 8 12 20 A

Induttanza zavorra La 2 2 6 4.05 mH

Tensione massima V 150 150 200 200 V

Potenza nominale Pa 600 1200 2400 4000 W

Come si può vedere la tensione massima di ognuno di questi alimentatori superiore alla

tensione nominale del motore, ch di 116 V.

Per quanto riguarda invece la corrente nominale continuativa erogabile dall’alimentatore,

si veda il grafico seguente:


Pagina 10

4

8

12

20

0

5

10

15

20

25

SAT 20k 4/8/150 SAT 20k 8/16/150 SAT 5k 12/20/200 SAT 5k 20/40/200

Am

per

e

Le barre viola rappresentano la massima richiesta di corrente del motore, mentre quelle

verdi la corrente erogabile dall’alimentatore. Si può chiaramente vedere che i modelli di

tipo SAT 20k non soddisfano la condizione Ia >= Im; la scelta cade quindi sull’alimentatore

SAT 5k 12/20/200.

Osservo che la banda passante di questo alimentator fa=500 Hz, ampiamente superiore

ai 200 Hz scelti per la frequenza di campionamento.

E’ inoltre necessario verificare che la caduta di tensione effettiva, somma dei contributi

induttivi, resistivi e controelettromotori, sia inferiore a quella nominale del motore:

V 2 L I f R Ifm m m> ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ +

⋅ ⋅φ α τ

dove L = Lm + La = 0,1 mH + 6 mH = 6,1 mH

e R = Rm + Ra = 1 Ω + 1 Ω = 2 Ω ; Ra detta resistenza di misura

Sostituendo i valori nell’equazione e calcolando il risultato si ottiene Vm > 44,78 ;

diseguaglianza ampiamente verificata essendo Vm = 116 V.


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Scelta del Trasduttore di Posizione

Il dispositivo in question un encoder ottico incrementale.

La scelta del trasduttor stata effettuata sulla base dei seguenti parametri:

• ρ: risoluzione del dispositivo, che rappresenta la minima rotazione (in radianti) del

braccio che lo strumento in grado di apprezzare;

• f t : frequenza massima di conteggio, ovvero il numero massimo di tacche che il

dispositivo in grado di contare in un secondo.

La risoluzione ideale dovrebbe essere di un ordine di grandezza inferiore alla precisione ε

dell’asservimento, quindi ρ ε< ⋅ =1

100 1, mrad, ma sono accettabili risoluzioni sino ad

almeno ρ <1

2ε = 0,5 mrad.

Trasduttori che soddisfano tale requisito sono costosi, pertanto sono preferibili encoder

ottici incrementali che moltiplichino in modo fittizio, grazie all’elettronica di cui sono

dotati, il numero di tacche e quindi la risoluzione.

In particolare utilizzando due rivelatori sfasati di 90° elettrici si aumenta la risoluzione di

un fattore quattro.

Nel dispositivo utilizzato la relazione che lega la risoluzione al numero di righ quindi

la seguente:

ρπ

=2

4 N t

Ne deriva che il trasduttore, nel caso di risoluzione ideale, deve essere dotato di un

numero di righe : N t >15708 , senza comunque poter scendere sotto le 3142 righe.

Il caso ideal ffettivamente troppo stringente. Adotto un numero di righe almeno

superiore al doppio del minimo: Nt > 6284, la risoluzione diventa allora ρ < 0,25 mrad.

Relativamente alla frequenza di conteggio dovrà invece sottostare al seguente vincolo:

f t > =ωρ

6000 Hz

La bontà del dispositivo funzione dei seguenti parametri:


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• imprecisione della graduazione (errore casuale);

• eccentricità della graduazione rispetto all’asse di rotazione (errore sistematico);

• deviazione radiale dei supporti che determinano una eccentricità variabile (errore

casuale);

• errori dell’elettronica.

L’errore di misura risulta dalla somma di tre contributi:

• rumore gaussiano bianco caratterizzato da una deviazione standard σ t ;

• errore sistematico dovuto all’eccentricità costante;

• rumore di quantizzazione.

Alla luce di queste considerazioni stato scelto il trasduttore Heidenhain RON 275, che ha

le seguenti caratteristiche:

parametro simbolo valore un itàNumero righe Nt 8192 x 4Risoluzione ρt 192 µradAccuracy 3st ± 8 "Dispersione del rumore st 12,9 µradEccentricità di montaggio e < 2 µmVelocità massimaimposta dalla meccanica

ωt 314 rad/s

Momento d’inerzia Jt 6 10-5 kg m2

Massa Mt 1 kgCoppia resistente Ct < 0,08 N mFrequenza di conteggio ft 4 x 25 kHz


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Convertitore D/A

Il convertitore D/A trasforma il comando discreto all’uscita del controllo nel

corrispondente comando analogico all’alimentatore.

La corrente nominale del motor di 10 A, quindi la massima dinamica ∆U del comando

risulta essere di 20 A.

La risoluzione del comando di corrente ρu deve essere tale che i suoi effetti sull’uscita

dell’impianto risultino trascurabili rispetto alla risoluzione ρ t del trasduttore di

posizione.

Modellizzando il sistema come un unico corpo rigido, immagino di applicare un impulso

di corrente di ampiezza ρu e durata pari al passo di campionamento T, determino il

conseguente spostamento angolare del braccio yu .

12s ( )y su

T

uρ J

⋅φ τ

( )y TT

Juu=

⋅ ⋅ ⋅⋅

φ τ ρ2

2

in cui l’inerzia totale sul secondario J viene calcolata in assenza di massa collegata al

braccio per considerare i massimi effetti del comando:

( )J J J J Jm r r b= + ⋅ + + =12

2τ 91,7 kg m⋅ 2

Imponendo la condizione ( )y Tu t≤ ⋅1

100ρ , si ottiene la risoluzione del comando in

corrente ρ u ≤ 0,277 A .

Utilizzando un convertitore da 8 bit ottengo: ρu

U= =

∆28 0,078 A .


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3.Il Controllo Digitale

Modello fine dell’impianto

Per simulare il funzionamento dell’impianto al calcolator necessario produrne un

modello matematico dettagliato, il modello fine.

Il sistema costituito dall’insieme di due masse rotanti, motore e braccio, ciascuna con il

proprio momento d’inerzia, connesse da un riduttore di velocità avente una rigidità

torsionale non lineare. Affinché il modello sia sufficientemente aderente alla realtà,

occorre tener conto degli attriti viscosi e di quelli radenti non lineari.

( )I t

( )V t

R L

φ

mω rω

ωτ

β1 β2

J1 J2

C Cg u+

Kr

A1

Le equazioni di stato utilizzate dal simulatore numerico dell’impianto si ricavano

imponendo gli equilibri delle tensioni nella maglia di armatura del motore elettrico e

delle coppie sugli alberi a monte e a valle del riduttore.


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( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

LdI t

dtR I t t V t

Jd t

dtI t A t t

C t

d t

dtt

Jd t

dtC t t C t C t

d t

dtt

m

mm m

r

mm

r g u

⋅ = − ⋅ − ⋅ +

⋅ = ⋅ − − ⋅ −

=

⋅ = − ⋅ − −

=

φ ω

ωφ ω β ω

τ

ϑω

ωβ ω ϑ

ϑω

1 1 1

2 2

∆ϑ

∆ϑ

Dove:

• J J Jm r1 1= + il momento d’inerzia totale del primario;

• J J J M lb r2 22= + + ⋅ il momento d’inerzia totale del secondario; β β β1 = +m r il

coefficiente di attrito viscoso complessivo sull’albero motore;

• β 2 il coefficiente di attrito viscoso sull’albero condotto;

• A1 la coppia di attrito radente sull’albero motore;

• C r la coppia resistente non lineare dovuta al riduttore;

• Cg la coppia di gravità;

• Cu la coppia esercitata dall’utensile durante la lavorazione;

• ( )∆ϑ t la deformazione angolare tra primario e secondario del riduttore;

• τ il rapporto di riduzione;

• φ il flusso concatenato con gli avvolgimenti del motore elettrico.

Poiché l’alimentatore a commutazione scelto capace di garantire una costante di tempo

di regolazione inferiore al passo di campionamento, può essere considerato con buona

approssimazione privo di ritardo tra corrente desiderata e corrente imposta dal motore. Si

assume dunque la corrente al motore come comando di tutto l’impianto e le variabili di

stato del modello fine si riducono a quattro: ϑ ω ϑ ωm m, , , .


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È possibile introdurre alcune semplificazioni trascurando l’attrito viscoso sul secondario

(β2 0= ), ipotizzando di muovere il braccio sul piano orizzontale ( Cg = 0 ) e di applicare

la forza utile solo in condizioni statiche ( Cu = 0 durante la movimentazione ).

Infine scrivendo le equazioni di stato adotto l’ipotesi di linearità, trascurando fenomeni

non lineari quali l’attrito radente (A1 0= ) e il gioco tra gli ingranaggi

( ( )C Kr r m= ⋅ −ϑ τ ϑ ) che comunque vengono tenuti in conto opportunamente dal

simulatore numerico dell’impianto come descritto in seguito.

Le equazioni di stato diventano:

d

dt

d

dt

d

dt

d

dt

k

J

k

J

k

J

k

J J J

Im

m

r r

r r

m

m

ϑ

ω

ϑ

ω

τ

τ τβ

ϑ

ω

ϑ

ωφ

=

−⋅

⋅−

⋅−

⋅

+

⋅

0 1 0 0

0 0

0 0 0 1

0

0

0

0

2 2

1 12

1

1 1

Attrito radente.

Le condizioni di attrito radente sono sempre molto incerte e fortemente dipendenti dallo

stato delle superfici di contatto. Tuttavia se ne possono individuare caratteristiche generali

quali quella di rimanere pressoché costante a velocità relativamente elevate e di

comportarsi in modo imprevedibile a basse velocità (inizio e fine della movimentazione).

Gli effetti dell’attrito radente sono particolarmente negativi nel momento in cui si deve

mantenere in posizione il braccio meccanico; infatti, poiché il corpo non potrà mai essere

mantenuto esattamente fermo ma oscillerà attorno alla posizione desiderata la coppia di

attrito radente avrà un comportamento imprevedibile ad ogni inversione di velocità.

Il simulatore dell’impianto trascura l’effetto di primo distacco e modellizza l’attrito

radente con una coppia viscosa alle basse velocità ed una coppia costante a velocità

elevate.


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Gioco del riduttore.

Al fine di garantire un funzionamento del riduttore senza pericoli di forzamento tra i

denti degli ingranaggi necessario consentire un leggero gioco tra essi. Ciò impedisce in

alcune condizioni la trasmissione della coppia dal primario al secondario. Il gioco tenuto

in conto nel modello fine introducendo una zona morta nella caratteristica elastica del

riduttore, descritta raccordando in modo dolce i due rami a pendenza costante

corrispondenti al comportamento “in presa” del riduttore. La caratteristica coppia-

deformazione del riduttore ha la seguente espressione matematica:

per ∆ϑ < −g

per − < <g g∆ϑ

per ∆ϑ > g

essendo g K Cr, , lg , rispettivamente il gioco, la costante di elasticità torsionale e la coppia

al limite del gioco del riduttore.

Le costanti c e γ si ricavano imponendo la continuità della funzione e della sua derivata

nei punti di raccordo, ottenendo :

γ

γ

=⋅

=

K g

C

cC

g

r

lg

lg

( )

( )( )

C K g C

C c

C K g C

r r

r

r r

= ⋅ + −

= ⋅ ⋅

= ⋅ − +

∆ϑ

∆ϑ ∆ϑ

∆ϑ

lg

lg

sgn γ


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Il modello semplificato

Le funzioni implementate nel sistema di controllo si basano in realtà su un modello

semplificato dell’impianto in cui sono descritte solo le relazioni causali ritenute essenziali

per il controllo in tempo reale dell’impianto.

Nella costruzione di tale modello il gruppo motore-riduttore-braccio viene considerato

come un unico corpo rigido rotante di cui si trascurano tutti i fenomeni non lineari, elastici

e di attrito. Si perviene così ad un modello a due variabili di stato: posizione angolare ϑ e

velocità di rotazione ω .

Nel dominio del tempo continuo le equazioni di stato del modello approssimato sono

quindi:

C

J

ϑ ω

( ) ( )( ) ( )

d t

dt

C

J JI t

d t

dtt

ω φ τ

ϑω

= = ⋅ ⋅

=

dove:

• C la coppia sul corpo rigido considerata a valle del riduttore;

• J J J= ⋅ +12

2τ il momento d’inerzia globale del corpo rigido.

Mediante opportune trasformazioni matematiche si perviene al modello a dati

campionati:


Pagina 19

( )

( )

( )

( )( )

ϑ

ω

ϑ

ω

i

i

T i

i

T

J

T

J

I i

+

+

=

⋅

+

⋅⋅⋅

⋅1

1

1

0 1

2

2 Φ

Φ

dove T il passo di campionamento e Φ = ⋅φ τ il flusso riportato a valle del riduttore.

Nell’ipotesi di trascurare il contributo diretto del comando sulla posizione, ed inoltre

introducendo la grandezza “velocità discreta” v T= ⋅ω , dimensionalmente omogenea alla

posizione angolare, si giunge alle equazioni di stato a tempo discreto:

( )

( )

( )

( )( )

ϑ ϑi

v i

i

v i b

I i

+

+

=

⋅

+

⋅1

1

1 1

0 1

0

essendo b T J= ⋅Φ 2 .

Per completare il modello semplificato necessario tener conto dei disturbi; essi sono

considerati additivi al comando e vengono modellizzati come la somma di un rumore

bianco w1 e di una deriva aleatoria z :

( ) ( )( ) ( )

d i z i w i

z i z i w i

= +

+ = +

1

21

( )

( )

dove w 2 anch’esso un rumore gaussiano bianco.


Pagina 20

Il modello semplificato così ottenuto il seguente:

b+

+

v(0)

v(i)

v(i)

Σ Σ

( )

( )a i

d i

( )0ϑ

( )iϑ( )I i


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Architettura del sistema di controllo

Il controllo digitale dell’impianto realizzato mediante un sistema ad anello chiuso che

consente di ottenere i seguenti vantaggi:

− controllabilità della stabilità del sistema;

− controllabilità della “prontezza” del sistema.

Compito del controllo automatico interpretare i riferimenti imposti dall’operatore e

soddisfarne nel minor tempo possibile le richieste, garantendo che tutte le specifiche di

movimentazione siano rispettate.

OPERATORE

PROGRAMMATORE COMPENSATORE R

OSSERVATORE

MISURATORE

IMPIANTO

I(i)

I(i+1) I(i)

Ymis

X(i+1)

I(i+1)

Y

( )d i +1

( )X i + 1

( )ϑ i

( )ϑ i


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Il sistema di controllo si compone dei seguenti blocchi fondamentali:

Programmatore

Sulla base dei riferimenti Y introdotti dall’operatore esegue una programmazione punto-

punto del comando I(i+1) da fornire all’impianto e degli stati X(i+1) che esso deve

assumere.

Misuratore

Fornisce in tempo reale la misura ( )y imis della posizione ( )ϑ i del braccio mediante un

trasduttore di posizione angolare.

Osservatore

A partire da ( )y imis e ( )I i effettua una previsione degli stati dell’impianto ( )X i + 1 e del

disturbo ( )d i + 1 relativi al passo di simulazione successivo.

Compensatore

Sulla base delle stime effettuate dall’osservatore corregge il comando programmato I(i+1)

e calcola l’effettivo comando ( )I i + 1 da inviare all’impianto al passo successivo.


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Programmatore

Si occupa della prima funzione di controllo realizzando, nell’ipotesi di assenza di disturbi

( )d i , la programmazione degli stati e del comando da fornire all’impianto per spostare nel

minor tempo possibile il braccio dalla posizione iniziale ϑ 0 a quella finale ϑ f rispettando

le specifiche di movimentazione. Esse comprendono:

− la risoluzione del programmatoreρ : rappresenta la minima discrepanza che il

programmator in grado di rilevare rispetto alla posizione finale;

− il fattore di smorzamento della decelerazione δ : se diverso da zero rende più graduale

la fase di frenata evitando pericolose sollecitazioni sul riduttore ed eccessivi picchi di

assorbimento di corrente da parte del motore;

− i vincoli sulla velocità e sull’accelerazione:

α = 1 5, rad s2

ω = 1 5, rad s

corrispondenti nel tempo discreto ( T=5ms ) a:

a T= ⋅ =α 2 37 5, µrad

v T= ⋅ =ω 7 5, mrad


Pagina 24

( )ϑ i

OPERATORE

CONTROLLOBANG-BANG

Σ Σ

1/b

a(i) v(i)

v(i)

I(i)

Y

Il programmatore calcola, durante il passo i-esimo, la posizione ( )ϑ i + 1 e la velocità

( )v i + 1 del braccio desiderate al passo successivo, nonch il comando ( )I i + 1 da dare

all’impianto; tutto ciò sfruttando le equazioni:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

ϑ ϑi i v i

v i v i a i

I ia i

b

+ = +

+ = +

+ =+

1

1

11

dove ( )a i + 1 viene calcolata dal controllo Bang-Bang . Esso un controllo ad anello chiuso,

basato su un algoritmo di tipo punto-punto e che prevede l’uso di una variabile , la

quale può assumere tre valori a seconda delle diverse fasi di movimentazione:

• = 0 braccio fermo:

a

v

=

=

0

0


Pagina 25

• = 1 il braccio si muove con accelerazione pari a quella massima ammessa:

( ) ( )( )a i a x i+ = ⋅1 sgn ∆

oppure con velocità pari a quella massima ammessa ( condizione detta di “folle” ):

( )

( )

a i

v i v

+ =

+ =

1 0

1

• = 2 il braccio decelera per giungere in posizione con velocità nulla:

( ) ( ) ( ) ( )( )a i i X i+ = − ⋅ + ⋅1 1α δ sgn ∆

dove ( ) ( )∆X i if= −ϑ ϑ lo scarto di posizione al passo i-esimo

e ( ) ( )( ) ( )

α iv i

X i v i=

⋅ −

2

2 ∆ la decelerazione necessaria ad arrestare il braccio nella

posizione specificata.

Per minimizzare il tempo di movimentazione il programmatore durante la fase

= 1 induce l’impianto ad utilizzare i valori massimi ammessi per velocità e

accelerazione, ed inizia la fase = 2 in corrispondenza dell’ultimo istante utile a fermare

il braccio nella posizione prestabilita senza superarla.

Il verificarsi della condizione ( ) ( )ϑ ϑf i v i− + < +1 1 oppure ( )ϑ ϑ ρf i− + <1 , determina,

per il programmatore, la fine della movimentazione.

L’impianto entra quindi nella fase di assestamento al termine della quale il braccio inizia

ad oscillare intorno alla posizione richiesta.


Pagina 26

Osservatore

L’osservatore costituisce la parte più critica del controllo, dovendo assicurare il legame tra

modello semplificato e realtà fisica. Per colmare in parte la differenza tra i due vengono

tenuti in conto i disturbi che possono agire sull’impianto; ciò tuttavia non sufficiente

perch permangono gli errori di modello dovuti alle non linearità, alle vibrazioni ( legate

all’elasticità del riduttore ) e al fatto che in realtà una corretta modellizzazione del sistema

porterebbe ad equazioni a parametri distribuiti.

Nell’ambito delle funzioni di controllo l’osservatore riveste il ruolo di “trasduttore degli

stati”, ma anche di stimatore dei disturbi, al fine di una loro successiva compensazione, e

di filtro degli errori di modello.

L’utilizzo di un osservatore con retroazione statica proporzionale implicherebbe di dover

apportare la correzione sia sull’accelerazione che sulla velocità, in contrasto con l’ipotesi

di corpo rigido adottata. Dovendo dunque applicare una retroazione solo a monte dei due

integratori, e al fine di garantire la stabilità, la correzione viene applicata sia direttamente

tramite l’errore di stima della misura sia indirettamente tramite la sua derivata simulata

da un filtro passabasso opportunamente inserito nel circuito di retroazione.

L’osservatore ha come ingressi:

• il comando I fornito all’impianto fine;

• la misura ymis .

e come variabili di stato:

• la posizione stimata ϑ del braccio;

• la velocità stimata v del braccio;

• la deriva aleatoria z ;

• lo stato q relativo al derivatore.


Pagina 27

b

β

Σ

Σ

Σ Σ

MISURATORE

+

+

+

+

+

+

-

+

+

-

+

+

ymis

( )I i

( )z i

( )ϑ i

( )v i

( )q i

( )d i

( )w i1

( )w i2

( )a i

" 1

" 2

" 4

"3

Il blocco di retroazione, evidenziato nella figura precedente, riceve in ingresso l’errore di

stima della misura ymis −ϑ , differenza tra misura effettuata sull’impianto e stima della

posizione calcolata usando il modello approssimato, e produce la stima dei disturbi che

chiude l’anello.

Le equazioni di stato dell’osservatore sono le seguenti:


Pagina 28

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

ϑ

β

ϑi

v i

q i

z i

i

v i

q i

z i

y b I

y

y

mis

mis

mis

+

+

+

+

=−

− −

−

⋅

+⋅ + ⋅

⋅

1

1

1

1

1 1 0 0

1 1

1 0 1 0

0 1

0

2 1

3 4

2

3

Gli autovalori della matrice di stato dell’osservatore si ricavano imponendo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )det *λ γ γ γ γ γ γ γ γ⋅ − = + ⋅ + ⋅ + ⋅ + =I A 1 2 3 4 0

dove: γ λ

γ λ

= −

= −

1

1k k

k = 1 4, ,

si ricavano così le relazioni tra coefficienti e autovalori:

( ) ( )

( ) ( )[ ]

β γ γ γ γ

γ γ γ γ γ γ γ γ

γ γ γ γ γ γ γ γ β

γ γ γ γ β

= + + +

=

= ⋅ + + ⋅ + + ⋅

= ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + − ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅

1 2 3 3

1

2 1 2 1 2 3 4 3 4

3 1 2 3 4 3 4 1 2 2

4 1 2 3 4 3

0

dove si speso il grado di libertà a disposizione annullando

1 .

Nel dimensionare i coefficienti

2 3 4, , e β , al fine di assegnare gli autovalori della

matrice di stato dell’osservatore, si rilevano esigenze contrastanti che scaturiscono dalla

complessità del ruolo che esso riveste nell’ambito delle funzioni di controllo. Per

aumentare la velocità di risposta alla variazione degli ingressi, bisognerebbe assegnare gli

autovalori il più vicino possibile all’origine; viceversa per filtrare gli errori di modello

sarebbero auspicabili autovalori prossimi all’unità.

Si rivela quindi indispensabile un’oculata scelta di compromesso, alla qualecontribuiscono

in modo determinante i risultati delle simulazioni al calcolatore.


Pagina 29

Compensatore

La compensazione dei disturbi agenti sull’impianto una funzione svolta dal controllo ad

anello chiuso: il compensatore determina il comando da fornire effettivamente al sistema

sulla base dell’osservazione del sistema stesso.

Il compensatore acquisisce:

− dal programmatore:

• i riferimenti degli stati desiderati al passo successivo ( )ϑ i + 1 e ( )v i + 1 ;

• il comando ( )I i + 1 programmato per il passo successivo.

− dall’osservatore:

• le predizioni degli stati ( )ϑ i +1 e ( )

v i +1 ;

• la stima dei disturbi ( )d i + 1 .

Sulla base di questi dati viene corretto il comando ( )I i + 1 sia con una compensazione

automatica che con una compensazione diretta.

Compensazione automatica

È un tipo di compensazione che, prescindendo dal tipo di disturbo che deve essere

compensato, si propone di minimizzare la differenza tra stati programmati e stati stimati:

al comando programmato viene aggiunto un termine correttivo proporzionale a questa

differenza.

Il comando da impartire all’impianto ha quindi la forma:

( ) ( ) ( )U i K e i U i+ = ⋅ + + +1 1 1

dove:

( ) ( ) ( )e i X i X i= −

in questo modo possibile controllare la dinamica dell’errore tra stati programmati e

stimati attraverso gli autovalori della matrice ( )A B K− ⋅ .


Pagina 30

Compensazione diretta

Si basa sulla possibilità di conoscere i disturbi agenti sull’impianto e consiste nel

correggere il comando aggiungendo direttamente la stima dei disturbi ( )d i + 1 effettuata

dall’osservatore.

Poich lo stimatore ottimo di un rumore gaussiano bianco, processo perfettamente

incorrelato, il suo valor medio cio zero, nel nostro caso la stima dei disturbi coincide

con quella della deriva aleatoria z .

In definitiva il comando da impartire all’impianto ha l’espressione:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )I i I i K X i X i

z i

b+ = + + ⋅ + − + −

+1 1 1 1

1

che essendo:

[ ]K k k= 1 2 X

v

=

ϑ

diventa:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )I i I i k i i k v i v i

z i

b+ = + + ⋅ + − + + ⋅ + − + −

+1 1 1 1 1 1

11 2ϑ ϑ


Pagina 31

Qui sotto riporto lo schema del compensatore:

( ) ( )ϑ ϑi i+ − +1 1

( )z i

b

+ 1

( )I i + 1( )I i + 1 ( )I i

+ +

+-

++

k1k2

R

( ) ( )v i v i+ − +1 1

Il progetto del compensatore consiste nell’assegnazione dei guadagni k1 e k 2 che

determinano gli autovalori della matrice ( )A B K− ⋅ da cui dipende la dinamica dell’errore

( ) ( ) ( )e i X i X i= −

.

A B K

b k b k

− ⋅ =− ⋅ − ⋅

1 1

11 2

( )[ ] ( ) ( )det λ λ λ⋅ − − ⋅ = + ⋅ − ⋅ + ⋅ − + =I A B K b k b k k22 1 22 1 0

da cui si deduce il seguente risultato:

( ) ( )

( )

kb

kb

1 1 2

2 1 2

1 11

21

= − ⋅ − ⋅

= − − ⋅

λ λ

λ λ

La controllabilità della coppia ( )A B, permetterebbe di assegnare gli autovalori della

matrice ( )A B K− ⋅ tutti nell’origine, in modo da portare a zero in un numero finito di

passi l’errore ( ) ( ) ( )e i X i X i= −

. Tuttavia in questo modo i coefficienti k1 e k 2


Pagina 32

risulterebbero troppo elevati determinando brusche correzioni del comando, responsabili

di picchi di corrente al motore e di eccessivi valori di coppia sul riduttore. Sono dunque

preferibili autovalori più elevati, dell’ordine di 0,5 .


Pagina 33

4.La Prova Migliore

La simulazione al calcolatore del sistema di controllo viene effettuata nelle seguenti

condizioni:

• gli attriti viscosi sull’albero primario sono stati posti al loro valore minimo per essere

conservativi;

• l’accelerazione di gravità stata posta a zero per simulare una movimentazione nel

piano orizzontale;

• l’angolo di movimentazion assunto pari a π radianti .

Per valutare la bontà del controllo automatico necessario introdurre i seguenti indici di

prestazione :

Errore di asservimento in fase di movimentazione : indica la differenza tra la posizione

misurata del braccio e la posizione di riferimento stabilita dal programmatore, durante la

movimentazione ;

Errore di asservimento in posizione : l'andamento nel tempo della differenza tra la

posizione misurata del braccio e quella di riferimento, quando si in posizione ;

Tempo di assestamento : l'intervallo di tempo che intercorre tra l'istante in cui la

posizione programmata raggiunge la posizione finale e quello in cui l'errore di

asservimento si stabilizza definitivamente all' interno della fascia di tolleranza stabilita ;

Valore efficace dell'errore di asservimento : indica la variabilità dell'errore di

asservimento in posizione .


Pagina 34

Scelta dei parametri

La prova stata effettuata utilizzando nei vari paramtetri i seguenti valori:

• accelerazione massima del braccio α= 1,5 rad s2 ;

• velocità massima del braccio ω=1,5 rad s ;

• coefficiente di smorzamento della decelerazione δ = 0,5 ;

• autovalori dell osservatore : λ λ λλ

o o o

o1 2 3 0 96

4 0 95

= = ==

,

,

• autovalori del compensatore : λ λc c1 2= = 0,54

passo di campionamento T= 5 ms .

Traiettoria del braccio

Di seguito sono riportati i diagrammi di posizione angolare e di velocità del braccio.

Obiettivo del controllo far seguire all impianto il riferimento di posizione ,calcolato dal

programmatore, mantenendo le differenze di traiettoria entro una precisione ε m in fase di

movimentazione ed ε in fase di posizione, cio dopo l intervallo di assestamento τs .

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5Posizione del braccio

[sec]

[rad]

4 5 6 7 8 9

3.134

3.136

3.138

3.14

3.142

3.144

3.146

Zoom del la posizione del braccio

[sec]

[rad]

Come si può notare, il braccio non si stabilizza sulla posizione finale, bensì continua ad

oscillarvi attorno, a causa dell attrito radente e del gioco del riduttore.


Pagina 35

Velocità del braccio

Analizzo ora l andamento della velocità del braccio raffrontandola con quella

programmata in modo da evidenziarne le differenze :

0 2 4 6 8 10-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6Velocità del braccio

[sec]

[rad/s]

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5Velocità programmata

[sec]

[rad/s]

Dall analisi del grafico possibile individuare tre fasi del moto del braccio:

• la fase iniziale durante la quale la velocità cresce linearmente ;

• la fase intermedia durante la quale la velocità oscilla intorno al valore programmato ;

• la fase finale durante la quale il braccio frena gradualmente in accordo al coefficiente di

smorzamento δ ;


Pagina 36

Rispetto al riferimento si evidenziano le oscillazioni in fase di folle e di posizione, dovute

al gioco del riduttore.

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

1.35

1.4

1.45

1.5

1.55Zoom del la veloci tà in fase di fol le.

[sec]

[rad/s]

4 5 6 7 8 9-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

Zoom del la veloci tà in fase di posizione

[sec]

[rad/s]


Pagina 37

Errori

La figura sottostante riporta l andamento della differenza tra la posizione programmata e

la posizione misurata , cio quello che viene chiamato errore di asservimento.

0 2 4 6 8 10

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

Errore di asservimento

[sec]

[rad]

Si osservi che :

• l errore di asservimento in fase di movimentazion sempre largamente minore del

valore limite imposto dalle specifiche in particolare si ottiene:

e movimentazionemax. = ( ) max ϑ i ymis movimentazione− = 9,25 mrad < 30 mrad ;

• l errore di asservimento in posizion minore del valore imposto dalle specifiche infatti

si ha :


Pagina 38

e posizionemax. = ( ) max ϑ i ymis posizione− = 0,59 mrad < 1 mrad ;

Si noti inoltre che durante la fase di decelerazione il picco dell errore di asservimento minore di quello presente in fase di accelerazione grazie all’utilizzo del fattore di

smorzamento δ ,introdotto per addolcire la frenata.

L’errore di stima della misura y mis −ϑ che costituisce l’ingresso del blocco di retroazione

dell’osservatore, ha un andamento praticamente coincidente, a meno del segno, con quello

l’errore di asservimento ϑ − y mis ;

0 2 4 6 8 10-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015 Errore di stima della misura

infatti l’errore di asservimento stimato ϑ ϑ− molto piccolo, come si può notare dalla

figura seguente :


Pagina 39

0 2 4 6 8 10-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

-4 Errore di asservimento stimato

[sec]

[rad]


Pagina 40

Andamento del comando

Le figure seguenti illustrano la differenza tra corrente programmata e quella realmente

fornita al motore.

Nelle fasi di accelerazione e folle la corrente fornita al motor maggiore di quella ideale

poich il modello semplificato, adottato dal programmatore, non tiene conto degli attriti.

In particolare in fase di accelerazione il comando aumenta pressoch linearmente per

vincere l’attrito viscoso proporzionale alla velocità; mentre in fase di folle oscilla intorno

al valore costante necessario a compensare gli attriti.

In decelerazione, invece, la corrent minore di quella programmata poich gli attriti

favoriscono la frenata.

0 2 4 6 8 10-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8Corrente fornita al motore

[sec]

[A]

0 2 4 6 8 10-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4Corrente programmata

[sec]

[A]

Nell’andamento del comando di corrente sono chiaramente visibili due picchi che

separano le tre fasi della movimentazione: accelerazione, folle, frenata; anche in

corrispondenza di essi la corrente rimane comunque sempre al di sotto del valore

massimo sopportato dal motore.


Pagina 41

Coppia sul riduttore

In figura riportato il grafico delle sollecitazioni sul riduttore.

0 2 4 6 8 10-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200Coppia sul riduttore

[sec]

[Nm]

All’inizio e alla fine della fase di folle, in cui la coppia sul riduttore oscilla intorno allo

zero, si osservano i picchi di ampiezza maggiore causati dalle brusche variazioni della

velocità del motore.

Nella fase di posizione sono visibili picchi periodici e alternati in concomitanza delle

inversioni di velocità del braccio meccanico che oscilla all’interno della fascia di

tolleranza.

Si osservi che durante tutta la movimentazione del braccio la coppia sul riduttore rimane

abbondantemente al di sotto del valore limite fissato a Cnom=476 Nm.


Pagina 42

Prova con forza utile

Per simulare il comportamento dell impianto durante la lavorazione si introdotto un

comando di forza utile che si attiva a 5 secondi dall’inizio della movimentazione, cio quando già ultimata la fase di assestamento del braccio.

Ovviamente l attivazione della forza utile perturba l andamento della posizione del

braccio; ciò visibile nello zoom della posizione misurata durante la lavorazione.

.

4 5 6 7 8 9

3.14

3.141

3.142

3.143

3.144

3.145

3.146

Posizione misurata (con forza utile)

[sec]

[rad]

All inizio dell’attivazione dell utensile corrisponde una brusca variazione della posizione

del braccio, che esce dalla fascia d’errore imposta dalle specifiche; il controllo interviene e

riporta il braccio in posizione.

Si osserva la presenza di vibrazioni intorno alla posizione finale, differenti dalle

oscillazioni che caratterizzano la prova senza forza utile, visto ch cambiato il punto di

lavoro del riduttore ora sempre in presa.

Riporto infine gli andamenti dell errore di asservimento, comando di corrente e coppia sul

riduttore :


Pagina 43

0 2 4 6 8 10-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015Errore di asservimento (con forza utile)

[sec]

[rad]

0 2 4 6 8 10-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200Coppia sul riduttore (con forza utile)

[sec]

[Nm]

0 2 4 6 8 10-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8Corrente fornita al motore (con forza utile)

[sec]

[A]

Per contrastare l’improvviso spostamento del braccio causato dall’accensione dell’utensile

il controllo invia un picco di corrente evidente dal conseguente picco di coppia sul

riduttore.


Pagina 44

Risultati

Nella tabella seguente ho riportato i valori numerici degli indici di prestazione:

Indice Senza forzautile

Con forzautile

unità

Errore di asservimento inmovimentazione

9,25 9,25 mrad

Errore di asservimento in posizione 0,59 1,02 mradTempo di assestamento 0,425 0,425 secIntervallo di movimentazione 3,418 3,418 secValor medio dell'errore diasservimento in posizione

0,06 0,31 mrad

Valor efficace dell'errore diasservimento in posizione

0,289 0,561 mrad


Pagina 45

5.Analisi dei Costi

Costi di produzione

I costi di produzione si suddividono nei seguenti comparti:

• Braccio: cb = pb Jb = 0,1 * 13,24 = 1,324

dove Jb l’inerzia del braccio.

• Motore: cm = pm (Mm + αm Pm) = 1 ( 6,5 + 0,002 * 1000) = 8,5

Mm = massa del motore, Pm potenza in Watt.

• Riduttore: cr = pr Mr (1 + αi) = 2 * 4,6 ( 1 + 0,75) = 16,1

Mr = massa del riduttore; αi = 0.75 per il montaggio BL3.

• Trasduttore: ct = pt (Mt + αt Nt) = 1,5 ( 1 + 0,001 * 8192) = 13,788

Mt = massa dell’encoder, Nt = numero di righe ottiche.

• Alimentatore: ca = pa Pa = 0,0015 * 2400 = 3,6

Pa = potenza in Watt dell’alimentatore.

• Convertitore D/A cda = pda Nda = 0,05 * 8 = 0,4

Nda = numero di bit del convertitore D/A.

• Controllo: cc = pi Ni + pd Nd + pl Nl = 0,1 * 9,31 + 0,1 *27 + 10 * 1,036 = 13,991

Ni = dimensione in Kbyte del file control.obj,

Nd = dimensione in Kbyte dei dati compilati allocati

dinamicamente,

Nl = dimensione in Kbyte dei dati letti dagli archivi.


Pagina 46

Nel grafico seguente ho riportato la ripartizione dei costi nelle varie componenti:

Ripartizione dei costi

Braccio

Motore

Riduttore

Trasduttore

Alimentatore

Convertitore A/D

Controllo

Ricavi attesi

Per calcolare il ricavo atteso moltiplico per opportuni coefficienti la massa utile e la forza

utile fornite dalle specifiche:

R = pu Mu + pf Fu = 15 * 2,65 + 4 * 10 = 79,75

dove Mu la massa utile, Fu la forza utile.


Pagina 47

Costo di esercizio

Applico la formula per il calcolo del costo di esercizio: α = αm + αp + αr , così suddiviso:

• Movimentazione più assestamento = 3,418 + 0, 5 sec.

• Precisione: αp = pp σ = 0,2 * 0,298 = 0, 0578 , dove σ il valore efficace dell’ errore di

asservimento in posizione con massa in presa, espresso in mrad.

• Sollecitazione massima sul riduttore: αr = pr (Cmax/Cnom)2 = 0,1*(192/476)2 = 0,01627,

dove Cmax la coppia massima registrata, mentre Cnom la coppia nominale = 476 N m.

Ottengo infine α =0,26997, e riporto nel grafico la distribuzionedei costi:

am73%

ap21%

ar6%


Pagina 48

Utile

L’utile si ricava dalla formula U = R (1 - α) - C = 79,75 ( 1- 0,26997) - 57,703 = 0,517

come si può vedere nel grafico seguente, i ricavi e i costi si equiparano:

Ricavi attesi Ricavi reali Costi Utile0

10

20

30

40

50

60

70

80

Ricavi attesi Ricavi reali Costi Utile

(…purtroppo non sono riuscito ad ottenere di meglio.)

GianLuca DeMichelis Controlli Automatici -...

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