I controlli automatici ndash IIa parte 1

I controlli automatici ndash IIa

parte 1 ndash Definizione del modello matematico

Cerchiamo adesso di applicare quanto detto sui sistemi di controllo ad un caso pratico di processo (elementare) lo svuotamento ed il riempimento di un serbatoio quale ad esempio lo sciacquone del bagno di casa Lrsquooperazione puograve essere descritta attraverso 3 variabili

volume V di liquido contenuto nel serbatoio portata di liquido in ingresso Qin portata di liquido in uscita Qout

La variabile controllata egrave rappresentata dal volume V (noi vogliamo che lo sciacquone sia sempre pieno) il disturbo egrave dato dalla portata in uscita Qout che improvvisamente puograve passare dal valore zero ad un massimo che determina lo svuotamento del serbatoio La variabile manipolata egrave quindi la portata in ingresso Qin che permette di riempire nuovamente il serbatoio riportando il volume al valore originario V0 (set-point) che esso aveva prima del disturbo In assenza di un adatto sistema di controllo il riempimento del serbatoio deve essere fatto manualmente aprendo la valvola posta sulla tubazione di ingresso e chiudendola poi quando il volume di liquido abbia raggiunto il valore desiderato Le tre variabili su indicate sono legate tra loro da una relazione matematica che esprime il bilancio di materia sul serbatoio

t

VVQQ

inizialefinale

outin

minus

=minus

Dove coi simboli Q si sono indicate le portate volumetriche medie nel tempo t Eseguendo il bilancio relativo ad un intervallo di tempo infinitesimo dt ed indicando col simbolo Q le portate istantanee

dt

dVQQ

outin=minus (1)

In condizioni normali di funzionamento le portate Qin e Qout sono entrambe nulle ed il volume di liquido nel serbatoio egrave costante e pari a V0 Lrsquointervento della variabile di disturbo Qout che assume un valore diverso da zero determina improvvisamente lo svuotamento del serbatoio allrsquoistante t =

0 Lrsquoutilizzo della equazione (1) a partire da questo momento ci consente di studiare il comportamento del sistema ossia come il volume V di liquido contenuto nello sciacquone si modifichi nel tempo Naturalmente tale comportamento dipenderagrave dal valore fatto assumere alla variabile Qin dal sistema di controllo adoperato Una volta che lo scarico egrave avvenuto (e non ci sono perdite) Qout = 0 per cui lrsquoequazione di bilancio si semplifica in

I controlli automatici ndash IIa parte 2

dt

dVQ

in=

ossia esprimendo il volume V di liquido come prodotto tra lrsquoarea A della sezione dello sciacquone e il livello h

dt

dhAQ

insdot= (2)

Nel caso in cui invece la portata in uscita non sia nulla per la presenza di una perdita avremo avQ

outoutsdot=

In cui vout egrave la velocitagrave e a lrsquoarea della sezione di uscita del liquido Velocitagrave di flusso e livello h sono legati tra loro dallrsquoequazione di Bernoulli1

hgkvout

sdotsdotsdot= 2

In cui k egrave un coefficiente che dipende dalla geometria del sistema dalle caratteristiche fisiche del liquido noncheacute entro certi limiti dalla stessa velocitagrave di flusso vout Supponendo che questrsquoultima dipendenza sia poco significativa (ipotesi di moto turbolento pienamente sviluppato) e che quindi k sia costante nel tempo potremo scrivere

( )dt

dhAahgkQ

insdot=sdotsdotsdotsdotminus 2

dt

dhAhKQ

insdot=sdotminus (3)

La (2) o la (3) permettono una volta integrate noto il valore della portata Qin di ricavare lrsquoandamento nel tempo del livello h Saranno quindi possibili diversi casi riportati nel seguito a seconda del tipo di controllo impiegato Prima di effettuare lrsquointegrazione delle suddette equazioni perograve vale la pena di soffermarsi su alcune ipotesi semplificative che egrave opportuno fare per facilitare lrsquoanalisi matematica del problema

1 Qualunque sia la legge secondo la quale il controllore interviene per regolare la portata di ingresso Qin (proporzionale P proporzionale-derivativa PD proporzionale-integrale PI proporzionale-integrale-derivativa PID) si suppone che tale portata abbia sempre un valore inferiore a quello della portata massima che puograve alimentare lo sciacquone Tale portata massima Qinmax egrave funzione del diametro del tubo di alimentazione della pressione esistente nella rete idrica a monte della valvola di regolazione e della perdita di carico che si viene a determinare nella valvola quando questa egrave completamente aperta Se tale ipotesi non fosse soddisfatta dovremmo infatti scrivere

( )

==rArrlt

=rArrge

εfQQQQ se

QQQQ se

econtrollorininmaxinecontrollorin

maxininmaxinecontrollorin

Dove col simbolo ( )εf si egrave indicata la legge generica con la quale il controllore agisce sulla valvola di regolazione Ad esempio nel caso di controllore ad azione proporzionale ( ) εε sdot=

cKf e lrsquoequazione di bilancio di materia opportunamente integrata come vedremo

porta ad ottenere per il livello h dellrsquoacqua in funzione del tempo t lrsquoespressione

minussdot=

sdotminus tA

Kc

ehh 10

Mentre se la portata di ingresso fosse costante e pari a quella massima ammissibile Qinmax il livello varierebbe linearmente nel tempo secondo la legge

tA

Qh maxin

sdot=

1 Supponendo che la perdita sia alla base del serbatoio ovvero in corrispondenza della valvola di scarico dellrsquoacqua e

dovuta ad un difetto di chiusura di questa

I controlli automatici ndash IIa parte 3

Fig 1 - Risposta del sistema per Qincontrollore ge Qinmax

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

tempo t

live

llo

h Qin = Qinmax

Qin = Kcε

Qin = min(Qinmax Kcε)

Avremo pertanto che in base al valore fissato per la costante Kc del controllore e di quello assunto dallrsquoerrore ε

minussdot=rArrltniforall

sdot=rArrgeniforall

sdotminus tA

K

maxinecontrollorin

maxin

maxinecontrollorin

c

ehhQQ t

tA

QhQQ t

1

0

che si traduce nel diagramma rappresentato nella figura 1 Lrsquoipotesi suddetta serve proprio ad evitare questa inutile complicazione matematica

2 Nel caso di controllo di tipo integrale poicheacute lrsquoazione del controllore non si esaurisce allrsquoannullarsi dellrsquoerrore ε egrave inevitabile che il comportamento del sistema diventi oscillatorio (presenza di overshoot) Il calcolo cioegrave porta a definire per il livello del liquido un andamento nel tempo del tipo riportato in figura 2 Questo se da un lato egrave sicuramente possibile per un processo continuo (ad es caso di un serbatoio di accumulo alimentato con portate di ingresso e uscita continue nel tempo) egrave fisicamente impossibile per il nostro sciacquone che egrave un sistema discontinuo In altri termini quando il livello a causa dellrsquoazione del controllore integrale sale oltre il valore di set-point fino a raggiungere un massimo non esiste alcun meccanismo in grado di riportalo nuovamente al valore di regime Percheacute ciograve si verifichi sarebbe necessario che la portata di alimentazione Qin comandata dal sistema di controllo diventasse negativa (nel caso di processo continuo il controllore fa semplicemente diminuire Qin al di sotto del valore di regime che in condizioni di normale funzionamento e assenza di disturbi mantiene il livello sul set-point) Il controllore quindi dovrebbe essere capace di gestire anche la valvola di scarico dello sciacquone facendo in modo che

inoutQQ = quando Qin dovesse assumere valori negativi Naturalmente non esiste

nessun sistema di controllo di uno sciacquone cosigrave sofisticato ma noi supporremo di si percheacute questo ci permetteragrave di dedurre considerazioni sicuramente valide per ogni processo continuo gestito da un controllore di questo tipo

I controlli automatici ndash IIa parte 4

Fig 2 - Effetto dellazione di un controllo integrale

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 5 10 15 20 25 30 35

tempo t

liv

ello

h

3 Nel caso in cui si consideri una portata uscente Qout gt 0 ovvero si voglia integrare

lrsquoequazione (3) per ottenere la funzione h(t) egrave evidente che la soluzione della suddetta

equazione diviene complicata per la presenza del termine non lineare h In tal caso una semplificazione puograve consistere nellrsquoutilizzare nel bilancio differenziale al posto della

portata istantanea Qout la portata media outQ (assunta costante) valutabile come

0

0

3

0003

2

2

3

11

0

0

hKh

Kh

hKh

Q

h

h

outsdotsdot=sdotsdot=sdotsdot= int

In tutti i calcoli per i diversi tipi di controllori (tranne che per quello On-Off dove lrsquointegrazione egrave stata eseguita in modo esatto) si egrave adottata questa ipotesi semplificativa

2 ndash Controllore On-Off

In questo schema il controllore agisce mantenendo costante la portata di ingresso (valvola completamente aperta) fino al momento in cui il livello h raggiunge il valore fissato di set-point h0 Dallrsquoequazione di bilancio (2) separando le variabili ed integrando

intint sdot=

t

in

h

dtA

Qdh

00

tA

Qh in

sdot= (4)

Il livello dellrsquoacqua quindi aumenteragrave in misura lineare col tempo tanto piugrave rapidamente quanto maggiore egrave la portata Qin Ponendo nella relazione su scritta come valore per h quello h0 del livello finale egrave possibile ricavare il tempo necessario affincheacute il serbatoio si riempia

in

oriempimentQ

Aht

sdot

=0

I controlli automatici ndash IIa parte 5

Se la portata in uscita Qout non egrave nulla (ma comunque inferiore a quella in ingresso) lrsquointegrazione della (3) fornisce2

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdot+

sdotminus

21ln

2

(5)

Il tempo di riempimento del serbatoio si ottiene ponendo nella (5) 0hh =

+

sdotminussdotsdot

sdotminus=

0

01ln

2h

Q

hK

K

Q

K

At

in

in

oriempiment

La (3) egrave una equazione differenziale non lineare e come giagrave detto per semplificarne la soluzione si puograve considerare costante la portata uscente Qout ponendo il suo valore uguale alla portata media

0

3

2hKQhKQ

outoutsdotsdot=congsdot=

ottenendo cosigrave come risultato finale dellrsquointegrazione

A

QQth outin

minus

sdotcong (6)

Diagrammando le (4) (5) e (6) otteniamo le figure 3 e 4 Dai due grafici si deduce che come egrave logico nel caso di portata uscente non nulla il tempo di riempimento del serbatoio si allunga e che sempre nel caso in cui Qout sia diverso da zero la linearizzazione della funzione h(t) (equazione (6)) comporta un errore trascurabile rispetto alla soluzione esatta data dalla (5) solo per bassi valori del rapporto Qout Qin

Fig 3 - Controllore On-Off QoutQin = 070

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

livello

h

Eq (4)

Eq (5)

Eq (6)

Set-Point

Le figure 3 e 4 tuttavia non sono rappresentative di ciograve che effettivamente succede sotto lrsquoazione di un controllore di questo tipo in presenza di una portata uscente Qout ne 0 Infatti una volta che il livello dellrsquoacqua abbia raggiunto il valore di set-point il controllore chiude la valvola di alimentazione In presenza di una predita il serbatoio inizieragrave a svuotarsi con una velocitagrave deducibile dallrsquoequazione di bilancio fornita da 2 Si veda a tale proposito la dimostrazione nellrsquoAppendice ndeg 1

I controlli automatici ndash IIa parte 6

h

dhdt

A

K

dt

dhAhK

dt

dhAQ

out=sdotminusrArrsdot=sdotminusrArrsdot=minus

Relazione che inegrata tra lrsquoistante t1 e lrsquoistante t fornisce

( )2

11

211

minussdot

sdotminus=rArr=sdotminus intint tt

A

Khh

h

dhdt

A

Kh

h

t

t

(7)

Quando il livello saragrave sceso al di sotto del punto di intervento il controllore riapre la valvola di alimentazione ed il livello risale nuovamente con una legge data dallrsquoeq (5b) dellrsquoAppendice 1 Lrsquointera sequenza di svuotamentiriempimenti egrave raffigurata nella fig 5

Fig 4 - Controllore On-Off QoutQin = 030

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

livello

h

Eq (4)

Eq (5)

Eq (6)

Set-Point

Fig 5 - Effetto dellazione di un controllore On-Off per Qout ne 0

0

10

20

30

40

50

60

0 20 40 60 80 100 120

tempo t

liv

ello

h Serie1

Set Point

Punto Intervento

I controlli automatici ndash IIa parte 7

3 - Controllore proporzionale P

Se la portata in ingresso egrave proporzionale allrsquoerrore ε ( )hhKKQ

ccinminussdot=sdot=

0ε

Definito come la differenza tra il livello h0 dellrsquoacqua allrsquoinizio (prima del disturbo) e quello h allrsquoistante t lrsquoequazione (2) diventa

( )( )dt

hhdA

dt

dhAhhK

c

minus

sdotminus=sdot=minussdot0

0

Separando le variabili ed integrando tra il tempo 0 e lrsquoistante t

( )( )

( )

( )

0

0

0

0

00

0

lnln0

0

0

0

h

hhe

h

hhxt

A

K

x

dxdt

A

K

hh

hhddt

A

K

tA

K

hh

h

c

hh

h

t

cc

c minus=

minus==sdotminus

=sdotminusrArrminus

minus=sdotminus

sdotminus

minus

minus

intint

minussdot=

sdotminus tA

Kc

ehh 10

(8)

Se la portata in uscita non fosse nulla (lo sciacquone ha un difetto di chiusura) avremmo invece

( )dt

dhAQhhK

outcsdot=minusminussdot

0

Ovvero

( )( )[ ]

dt

QhhKd

K

AQhhK outc

c

outc

minusminussdot

sdotminus=minusminussdot0

0

Separando le variabili ed integrando ( )[ ]( )

( ) ( )

( )

outc

outct

A

K

outc

outcQhhK

QhK

c

outc

outcc

QhK

QhhKe

QhK

QhhKxt

A

K

QhhK

QhhKddt

A

K

c

outc

outc

minussdot

minusminussdot=

minussdot

minusminussdot==sdotminus

minusminussdot

minusminussdot=sdotminus

sdotminus

minusminussdot

minussdot

0

0

0

0

0

0

lnln0

0

minussdot

minus=

sdotminus tA

K

c

out

c

eK

Qhh 10

(9)

Le seguenti figure 6 7 e 8 rappresentano il diagramma delle eq (8) e (9) su scritte per diversi valori della costante Kc (guadagno o sensibilitagrave) del controllore Il calcolo porta a concludere che in presenza di un disturbo permanente il controllo proporzionale non consente al livello h di tornare al valore di set-point h0 Il livello tenderagrave ad un nuovo valore di regime che saragrave tanto piugrave vicino ad h0 quanto piugrave elevato saragrave il valore di Kc I grafici permettono anche di notare come allrsquoaumentare del guadagno lrsquoazione del controllore proporzionale sia sempre piugrave rapida e piugrave simile a quella di un controllore On-Off

I controlli automatici ndash IIa parte 8

Fig 6 - Controllore Proporzionale P

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h

Kc = 01

Kc = 02

Kc = 1

Set Point

Fig 7 - Controllore Proporzionale P

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h Qout = 0 Kc = 01

Qout gt 0 Kc = 01

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 9

Fig 8 - Controllore Proporzionale P

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

live

llo

h

Qout gt 0 Kc = 01

Qout gt 0 Kc = 02

Qout gt 0 Kc = 1

Set Point

4 - Controllore proporzionale-derivativo PD

In presenza di un controllo PD proporzionale derivativo lrsquoequazione di bilancio (relativa a una portata uscente Qout diversa da zero e costante) diventa

( )( )

dt

dhAQ

dt

hhdKhhK

outDccsdot=minus

minussdotsdot+minussdot

0

0τ

Ossia

( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )[ ]

dt

QhhKd

K

AKQhhK

dt

hhdAKQhhK

dt

hhdAQ

dt

hhdKhhK

outc

c

Dc

outc

Dcoutc

outDcc

minusminussdotsdot

+sdotminus=minusminussdot

minussdot+sdotminus=minusminussdot

minussdotminus=minus

minussdotsdot+minussdot

0

0

0

0

00

0

τ

τ

τ

Separando le variabili ed integrando

( )( )[ ]( )

( )( ) ( )

( ) ( )

outc

outct

AK

K

outc

outcQhhK

QhKDc

c

outc

outc

Dc

c

QhK

QhhKe

QhK

QhhKxt

AK

K

QhhK

QhhKddt

AK

K

Dc

c

outc

outc

minussdot

minusminussdot

=

minussdot

minusminussdot==sdot

+sdot

minus

minusminussdot

minusminussdot

=sdot

+sdot

minus

sdot

+sdot

minus

minusminussdot

minussdot

0

0

0

0

0

0

lnln0

0

τ

τ

τ

( )

minussdot

minus=

sdot

+sdot

minus tAK

K

c

out Dc

c

eK

Qhh

τ

10

(10)

Egrave evidente che ponendo nella (10) Qout = 0 si ottiene la risposta del sistema allrsquoazione del controllo PD per una portata uscente nulla

I controlli automatici ndash IIa parte 10

Le figure 9 10 ed 11 rappresentano il grafico della eq (10) per diversi valori delle costanti Kc e τD Come si puograve notare la presenza dellrsquoazione derivativa peggiora la risposta (h tenderagrave piugrave lentamente verso il valore di regime) e non serve ad eliminare lrsquooffset Il vantaggio dellrsquoimpiego di questo tipo di controllo sta perograve nel fatto che egrave possibile utilizzare valori elevati di Kc (riducendo lrsquooffset a regime) senza per questo avere risposte troppo brusche (vedi fig 11)

Fig 9 - Controllore PD

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h

τD = 0

τD = 5

τD = 10

Set Point

Fig 10 - Controllore PD

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h Qout gt 0 τD = 0

Qout gt 0 τD = 10

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 11

Fig 11 - Controllore PD

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h

Qout gt 0 Kc = 01 τD = 10

Qout gt 0 Kc = 02 τD = 10

Qout gt 0 Kc = 1 τD = 10

Set Point

5 - Controllore proporzionale-integrale PI

Nel caso di controllore PI proporzionale integrale il bilancio di materia diventa

( ) ( )( )dt

hhdAQdthh

KhhK

out

t

I

c

c

minus

sdotminus=minussdotminussdot+minussdot int 0

0

00

τ

Nellrsquoespressione su scritta ponendo

( ) ( )int sdotminus=

t

dthhty0

0

Avremo

2

2

dt

ydAQy

K

dt

dyK

out

I

c

csdotminus=minussdot+sdot

τ

Ovvero

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

ydout

I

cc=sdot

sdot

+sdot+

τ2

2

(11)

Che egrave unrsquoequazione differenziale lineare del secondo ordine (non omogenea) a coefficienti costanti Lrsquoequazione caratteristica della omogenea associata alla suddetta equazione egrave

02

=

sdot

+sdot+

I

cc

A

Kz

A

Kz

τ

Chiamando z1 e z2 le radici di tale equazione caratteristica la soluzione3 della (11) saragrave

Ideg caso rArrgtsdot

sdotminus

=∆ 04

2

I

cc

A

K

A

K

τc

I

K

Asdotgt 4τ

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110 (12)

Dove

3 Vedasi a tale proposito lrsquoAppendice ndeg 2

I controlli automatici ndash IIa parte 12

2

4

2

21

I

ccc

A

K

A

K

A

K

zτsdot

sdotminus

plusmnminus

=

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

ττ

IIdeg caso rArr=sdot

sdotminus

=∆ 04

2

I

cc

A

K

A

K

τc

I

K

Asdot= 4τ

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot (13)

Dove

A

Kzz

c

sdot

minus==

221

c

Iout

c

Iout

K

Qzhc

K

Qc

ττ sdotsdot+=

sdotminus=

1021

IIIdeg caso rArrltsdot

sdotminus

=∆ 04

2

I

cc

A

K

A

K

τc

I

K

Asdotlt 4τ

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

(14)

Dove

sdotsdotminus

minussdot=

sdotminus=sdotplusmn=

I

ccc

A

K

A

K

A

K iz

τβαβα 4

2

1

2

2

21

β

τα

τc

Iout

c

IoutK

Qh

c K

Qc

sdotsdot+

=sdot

minus=

0

21

Dal grafico della risposta di un controllore di questo tipo si deduce che 1 lrsquoazione integrale elimina lrsquooffset in altri termini pur in presenza di un disturbo

permanente il livello ritorna sempre al valore di set-point 2 la risposta del sistema tende perograve a diventare di tipo oscillatorio anche se tale tendenza egrave

meno pronunciata quando Qout ne 0 con un pendolarismo strettamente legato al valore delle costanti Kc e τI In ogni caso al diminuire dellrsquoampiezza dellrsquooscillazione aumenta il tempo affincheacute la variabile controllata si stabilizzi sul valore di regime

3 in questo tipo di controllo esiste un problema di scelta del valore ottimale da assegnare alle costanti suddette per rendere la risposta del sistema la migliore possibile

I controlli automatici ndash IIa parte 13

Fig 12 - Controllore PI

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout = 0 KcτIA gt 4

Qout = 0 KcτIA = 4

Qout = 0 KcτIA lt 4

Set Point

Fig 13 - Controllore PI

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout gt 0 KcτIA gt 4

Qout gt 0 KcτIA = 4

Qout gt 0 KcτIA lt 4

Set Point

6 - Controllore proporzionale-integrale-derivativo PID

Per un controllore proporzionale integrale derivativo PID il bilancio sul serbatoio si scrive

( ) ( )( ) ( )

dt

hhdAQ

dt

hhdKdthh

KhhK

outDc

t

I

c

c

minus

sdotminus=minus

minus

sdotsdot+sdotminussdot+minussdot int 00

0

00τ

τ

E con la solita posizione

I controlli automatici ndash IIa parte 14

( ) ( )int sdotminus=

t

dthhty0

0

Avremo

2

2

2

2

dt

ydAQ

dt

ydKy

K

dt

dyK

outDc

I

c

csdotminus=minussdotsdot+sdot+sdot τ

τ

Ovvero

( ) AK

Qy

AK

K

dt

dy

AK

K

dt

yd

Dc

out

DcI

c

Dc

c

+sdot

=sdot

+sdotsdot

+sdot

+sdot

+

ττττ2

2

(15)

Sono possibili tre casi (la dimostrazione viene tralasciata percheacute del tutto identica al caso del controllore PI con le uniche differenze legate alle espressioni del discriminante della equazione caratteristica e del termine noto dellrsquoequazione completa)

Ideg caso ( )

rArrgt+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdotgt

c

DI

K

Aττ 4

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110 (12)

Dove

( )

2

4

2

21

AK

K

AK

K

AK

K

zDcI

c

Dc

c

Dc

c

+sdotsdotsdotminus

+sdotplusmn

+sdotminus

=ττττ

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

τ

τ

IIdeg caso ( )

rArr=+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdot=

c

DI

K

Aττ 4

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot (13)

Dove

( )AK

Kzz

Dc

c

+sdotsdot

minus==

τ221

sdotsdot+=

sdotminus=

c

Iout

c

Iout

K

Qzhc

K

Qc

τ

τ

102

1

IIIdeg caso ( )

rArrlt+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdotlt

c

DI

K

Aττ 4

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

(14)

Dove

( ) ( )

+sdotsdotsdotminus

+sdotminussdot=

+sdotsdotminus=

sdotplusmn=

AK

K

AK

K

AK

K

iz

DcI

c

Dc

c

Dc

c

τττβ

τα

βα

42

1

2

2

21

I controlli automatici ndash IIa parte 15

sdotsdot+

=

sdotminus=

β

τα

τ

c

Iout

c

Iout

K

Qh

c

K

Qc

0

2

1

La risposta del sistema sottoposto ad unrsquoazione di controllo di questo tipo egrave diagrammata in fig 14 per Qout = 0

Fig 14 - Controllore PID

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) gt 4

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) = 4

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) lt 4

Set Point

Se ora disegniamo la risposta del controllore PID e la confrontiamo con quella di un controllore PI per un disturbo permanente otterremo un grafico del tipo illustrato nella fig 15

Fig 15 - Controllore PID vs PI

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h PID - KcτI(KcτD+A) lt 4

PI - KcτIA lt 4

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 16

Come si puograve notare la presenza dellrsquoazione derivativa comporta un peggioramento della risposta del sistema che diventa piugrave oscillatoria ossia con periodo e ampiezza dellrsquooscillazione maggiori Anche in questo caso inoltre come in quello giagrave discusso del controllore PI esiste un problema legato alla scelta ottimale dei valori dei parametri Kc τI e τD 7 ndash Conclusioni

Riassumendo dallrsquoanalisi delle risposte fornite dal sistema sotto lrsquoazione dei diversi controllori egrave possibile trarre le seguenti considerazioni

1 il controllore On-Off sarebbe in teoria il migliore tipo di controllo del nostro sciacquone per il suo basso costo e la sua maggiore efficienza in termini di tempo di riempimento Il suo limite principale egrave legato al fatto che la risposta al disturbo puograve essere molto brusca (a meno di non prendere opportune precauzioni) poicheacute la valvola di alimentazione si apre subito al massimo e rimane in questo stato fino al cessare dellrsquoazione del controllore Inoltre nel caso di perdite dovute a una non perfetta chiusura della valvola di scarico il livello dellrsquoacqua nel serbatoio oscilleragrave continuamente tra il valore impostato di set-point e il valore minimo al di sotto del quale il controllore si attiva

2 il controllore proporzionale (P) puograve essere reso simile al controllore On-Off aumentando il valore del guadagno Kc ma egrave anche possibile modulando opportunamente il valore di questa grandezza rendere piugrave ldquodolcerdquo la risposta del sistema ossia meno intensa la portata di adduzione dellrsquoacqua Tale portata andragrave comunque decrescendo nel tempo allungando i tempi di risposta rispetto al caso del sistema On-Off In effetti il controllore proporzionale egrave quello universalmente piugrave adoperato per questo tipo di processo anche se il suo limite principale risiede nellrsquoimpossibilitagrave di riportare il livello sul valore di set-point nel caso di disturbi protratti nel tempo (presenza di offset)

3 lrsquoaggiunta dellrsquoazione derivativa a quella proporzionale (PD) egrave inutile o addirittura dannosa in un processo discontinuo quale egrave il riempimento del nostro sciacquone In questo processo infatti il disturbo o ha una durata molto limitata (periodo nel quale il sistema di controllo in ogni caso non puograve agire date le caratteristiche costruttive dello sciacquone) o egrave costante nel tempo per cui lrsquoerrore ε egrave comunque una funzione monotona decrescente nel tempo Per tale motivo lrsquoaggiunta di questo tipo di controllo si traduce in un rallentamento della velocitagrave di riempimento e si puograve giustificare soltanto se contestualmente si incrementa il valore del guadagno proporzionale Kc in modo da avere una risposta rapida ma non troppo brusca e con basso offset

4 lrsquoazione integrale unita a quella proporzionale (PI) ha il grande vantaggio di eliminare lrsquooffset in presenza di disturbi costanti a spese perograve del comportamento oscillatorio assunto dal sistema Lrsquoopportuno settaggio dei parametri di controllo (Kc e τI) puograve comunque consentire di ottenere una risposta adeguata alle necessitagrave

5 non esiste alcun motivo realmente valido per utilizzare un controllo di tipo PID per il processo discontinuo in questione Oltre al maggior costo di questo tipo di apparecchiatura crsquoegrave da dire che lrsquoazione derivativa unita a quella integrale peggiora in modo molto marcato la risposta del sistema rallentandola e facendo aumentare lrsquoovershoot (mentre in un sistema continuo si otterrebbe lrsquoeffetto esattamente opposto) Lrsquounico vantaggio dellrsquoutilizzo contemporaneo dei tre meccanismi di controllo (proporzionale integrale e derivativo) si ha nella possibilitagrave di regolare tre parametri (Kc τI τD) al posto di uno solo (Kc) o due (Kc e τI oppure Kc e τD) per ottimizzare la risposta In effetti incrementando la costante Kc insieme al tempo derivativo τD egrave possibile rendere la risposta del sistema veloce (ma non troppo rapida come si avrebbe in un controllo di tipo puramente PI) e nello stesso tempo ridurne considerevolmente il comportamento oscillatorio (vedi fig 16 seguente)

I controlli automatici ndash IIa parte 17

Fig 16 - PI vs PID (KcPIDKcPI = 10)

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h PI

PID

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 18

Appendice 1 Integrazione dellrsquoequazione di bilancio per un controllore On ndash Off

Data lrsquoequazione

dt

dhAhKQ

insdot=sdotminus (3)

Eseguendo la sostituzione

dhdyyhyhy =sdotsdotrArr=rArr= 22

avremo

A

K

yA

Q

dt

dy

dt

dyyAyKQ

in

in

sdot

minus

sdotsdot

=

sdotsdotsdot=sdotminus

22

2

Ovvero ponendo

A

K

A

Qin

sdot

=

sdot

=

22βα

βαminus=

ydt

dy

E introducendo la nuova variabile

zdt

dz

z

dt

dz

zdt

dzy

dt

dy

dt

dy

ydt

dz

zy

yz

=sdot

+sdotminus

sdot

+sdotminus=sdotminus=rArrsdotminus=

+=rArrminus=

2

22

2

1

1

β

α

α

β

α

αα

α

β

αβ

α

Abbiamo trasformato lrsquoequazione originaria in una a variabili separabili

( ) αβ

dtdz

zzminus=sdot

+sdot2

1

La frazione a primo membro puograve essere scomposta col metodo dei coefficienti indeterminati ottenendo

( ) ( ) ( )( ) ( )

=

minus=+sdotminus

=

minus=

rArr

=

sdotminussdotsdotminus=

minus=

rArr

=sdot

=+sdot+sdotsdot

=+

=sdot+sdotsdot+sdot+sdot+sdotsdotsdot+sdot

=sdot++sdotsdot++sdotrArr+

++

+=+sdot

2

22

2

2

2

222

2

22

1

12

1

1

2

1

02

0

12

11

β

ββ

β

β

β

β

β

ββ

β

ββ

βββ

βββββ

A

C

B

A

BAC

AB

A

CBA

BA

zCzBzBAzAzA

zCzzBzAz

C

z

B

z

A

zz

Per cui lrsquointegrale fornisce

( ) ( ) ( ) intint int intint sdotminus=sdot

+

+sdot

+

+sdot=sdot

+sdot

dtdzz

Cdz

z

Bdz

z

Adz

zz αβββ

11

22

I controlli automatici ndash IIa parte 19

( )( )

αβαα

β

β

ααα

β

αα

αβ

α

αα

αβ

α

αββ

tyy

Cy

t

CtyCy

A

CtyC

yyA

Ct

y

C

yB

yA

Ct

z

CzBzA

minus=sdot

+

sdotminussdot

=rArr

=

=

+minus=sdot

minus

sdotminussdot

+minus=sdot

minus

minus

minussdot

+minus=

minus

sdot+

minussdot

+minus=+

minus+sdot+sdot

1ln1

00

0

1ln

lnln

lnln

lnln

2

α

β

α

β

α

β2

1ln sdotminus=sdot

+

sdotminus t

yy

Ovvero

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdot+

sdotminus

21ln

2

(5)

Mentre se le condizioni iniziali fossero diverse avremmo

αβαα

β

β

111

2

1

11ln

1

tyyC

yy

tt+

sdot+

sdotminussdot=rArr

=

=

Ossia

+

sdot+

sdotminussdot+minus=

sdot+

sdotminussdot

αβαα

β

βαβαα

β

β

111

221ln

11ln

1 tyytyy

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β 22

1

111ln1ln sdotminus=

sdot+

sdot+

sdotminusminus

sdot+

sdotminus tt

yyyy

ininininininQA

Kt

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdotsdotsdot+

sdot+

sdotminusminus

sdot+

sdotminus

221ln1ln

22

1

11 (5b)

Poicheacute la (5) non fornisce esplicitamente lrsquoaltezza h in funzione del tempo t egrave possibile approssimare il logaritmo del primo membro mediante espansione in serie Avremo allora

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) suminfin

=

minus=minus

+sdot

minus

minusminussdot

minus

minussdot

minus

minusminus=minus

+sdot++sdot+sdot+=

1

2

2

2

1ln

01

1

201

1

01

101ln1ln

02

000

n

n

n

n

n

n

n

xx

n

xxxx

n

xf

xfxffxf

I termini nella sommatoria sono decrescenti (si ricordi che il fattore in

Q

hKx

sdot

= egrave minore di 1 in

quanto rappresenta il rapporto tra la portata uscente e quella in ingresso al serbatoio) Limitando lrsquoespansione in serie ai primi tre termini non nulli e sostituendo in (5)

I controlli automatici ndash IIa parte 20

ininin

ininininin

QA

Kt

Q

hhK

Q

hK

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

sdotsdot

sdotcong

sdot

sdotsdot+

sdot

sdot

sdotsdot

sdotminuscongsdot

+

sdot

sdotminus

sdot

sdotminus

sdotminus

232

232

2

3

3

2

2

2

3

33

2

2

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotcong

sdotsdot+sdot

sdot

sdot

23

21

2

2

2

2

in

out

in

Q

QA

Qth

+

sdotsdotcong

1

1 (5c)

Dove col simbolo outQ si egrave indicata la portata media uscente ovvero

0

3

2hKQ

outsdotsdot=

La (5c) puograve essere ulteriormente semplificata espandendo in serie anche il fattore

in

out

Q

Q+1

1

( ) ( )

01

1

01

1

01

1

1

1

1

1 2

32+sdot

+

+sdot

+

minus

+

=

+

=

+

xxx

Q

Q

in

out

E trascurando i termini con esponente maggiore di 1 (in

out

Q

Q egrave minore di 1)

in

out

in

outQ

Q

Q

Qminuscong

+

1

1

1

Per cui la (5c) diventa

A

QQt

Q

Q

A

Qth outin

in

outinminus

sdot=

minussdotsdotcong 1 (6)

I controlli automatici ndash IIa parte 21

Appendice 2 Integrazione dellrsquoequazione di bilancio per un controllore PI

Come visto il bilancio di materia sul serbatoio in presenza di controllo proporzionale integrale porta a

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

ydout

I

cc=sdot

sdot

+sdot+

τ2

2

(11)

La soluzione generale y(t) della suddetta equazione si ottiene sommando ad una sua soluzione particolare y0(t) la soluzione generale della equazione omogenea associata

02

2

=sdot

sdot

+sdot+ yA

K

dt

dy

A

K

dt

yd

I

cc

τ

Poicheacute A

Qout (il termine a secondo membro della (1)) egrave una costante e puograve essere considerato un

polinomio di grado zero rispetto alla variabile tempo t e I

c

A

K

τsdot

(il coefficiente della funzione

incognita y) egrave diverso da zero la teoria risolutiva di questo tipo di equazioni impone che anche la soluzione particolare y0(t) sia un polinomio di grado zero del tipo y0(t) = a e che deve rispettare la condizione

( )c

Iout

c

Ioutout

I

ccout

I

cc

K

Qty

K

Qa

A

Qa

A

K

A

K

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

yd

τ

τ

ττ

sdot=

sdot=rArr=sdot

sdot

+sdot+rArr=sdot

sdot

+sdot+

0

0

0

2

0

2

00

Lrsquoequazione caratteristica della equazione differenziale omogenea associata alla suddetta equazione egrave

02

=

sdot

+sdot+

I

cc

A

Kz

A

Kz

τ

Avremo allora in base al segno del discriminante di tale equazione Ideg caso 0gt∆

c

I

I

c

I

cc

I

cc

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

KsdotgtrArrgtrArr

sdotsdotgt

rArrgt

sdotsdotminus

4

4404

22

τ

τττ

2

4

2

21

I

ccc

A

K

A

K

A

K

zτsdot

sdotminus

plusmnminus

=

E lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave tztz

ececysdotsdot

sdot+sdot=21

21

IIdeg caso 0=∆

A

Kzz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

c

I

I

c

I

cc

I

cc

sdotminus==

sdot=rArr=rArrsdot

sdot=

rArr=

sdotsdotminus

2

44

404

21

22

τ

τττ

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave ( )tcceytz

sdot+sdotsdot=sdot

21

1 IIIdeg caso 0lt∆

βα

ττττ

sdotplusmn=

sdotltrArrltrArrsdot

sdotlt

rArrlt

sdotsdotminus

iz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

I

I

c

I

cc

I

cc

21

22

44

404

I controlli automatici ndash IIa parte 22

sdotsdotminus

minussdot=

sdotminus=

I

ccc

A

K

A

K

A

K

τβα 4

2

1

2

2

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata diventa ( ) ( )[ ]tctceyt

sdotsdot+sdotsdotsdot=sdot ββα

sincos21

Lrsquointegrale generale dellrsquoequazione completa (11) saragrave allora Ideg caso ( )tyececy

tztz

021

21+sdot+sdot=

sdotsdot

IIdeg caso ( ) ( )tytcceytz

021

1+sdot+sdotsdot=

sdot

IIIdeg caso ( ) ( )[ ] ( )tytctceyt

021sincos +sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdot

ββα

Lrsquointegrale particolare ottenuto ponendo le condizioni al contorno ( ) ( )0

000 hyy == saragrave

Ideg caso

( )

( )

=sdot+sdot

sdotminus=+

rArr

=sdotsdot+sdotsdot=

=sdot

+sdot+sdot=

sdotsdot

sdotsdot

02211

21

0

0

22

0

11

0

2

0

1

21

21

0

00

hzczc

K

Qcc

hezcezcy

K

Qececy

c

Iout

zz

c

Ioutzz ττ

minus

sdotsdot

+

=

sdotminus

minus

sdotsdot

+

minus=

rArr

=sdot+sdot

sdot+minus

sdotminusminus=

12

10

2

12

10

1

02212

21

zz

zK

Qh

c

K

Q

zz

zK

Qh

c

hzczK

Qc

K

Qcc

c

Iout

c

Ioutc

Iout

c

Iout

c

Iout

τ

τ

τ

τ

τ

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

τ

τ

Per cui ( ) tztz

ezcezchhtysdotsdot

sdotsdot+sdotsdot=minus=21

22110

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110

IIdeg caso

( ) ( )

( ) ( )

sdotsdot+=

sdotminus=

rArr

=+sdot

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot+sdotsdotsdot=

=sdot

+sdot+sdotsdot=

sdotsdot

sdot

c

Iout

c

Iout

c

Iout

zz

c

Ioutz

K

Qzhc

K

Qc

hccz

K

Qc

hceccezy

K

Qccey

τ

τ

ττ

102

1

0211

1

02

0

21

0

1

21

0

11

1

00

000

Per cui ( ) ( )

22110

11 cetccezhhtytztz

sdot+sdot+sdotsdotsdot=minus=sdotsdot

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot

IIIdeg caso

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

=sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=

=sdot

+sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdotsdot

sdot

021

0

21

0

21

0

0cos0sin0sin0cos0

00sin0cos0

hcceccey

K

Qccey

c

Iout

ββββββα

τββ

αα

α

I controlli automatici ndash IIa parte 23

sdotsdot+

=

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot

sdotminus=

β

τα

τ

βα

τ

c

Iout

c

Iout

c

Iout

K

Qh

c

K

Qc

hcc

K

Qc

0

2

1

021

1

Per cui ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhty tt

sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=minus=sdotsdot

ββββββααα

cossinsincos21210

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

I controlli automatici ndash IIa parte 2

dt

dVQ

in=

ossia esprimendo il volume V di liquido come prodotto tra lrsquoarea A della sezione dello sciacquone e il livello h

dt

dhAQ

insdot= (2)

Nel caso in cui invece la portata in uscita non sia nulla per la presenza di una perdita avremo avQ

outoutsdot=

In cui vout egrave la velocitagrave e a lrsquoarea della sezione di uscita del liquido Velocitagrave di flusso e livello h sono legati tra loro dallrsquoequazione di Bernoulli1

hgkvout

sdotsdotsdot= 2

In cui k egrave un coefficiente che dipende dalla geometria del sistema dalle caratteristiche fisiche del liquido noncheacute entro certi limiti dalla stessa velocitagrave di flusso vout Supponendo che questrsquoultima dipendenza sia poco significativa (ipotesi di moto turbolento pienamente sviluppato) e che quindi k sia costante nel tempo potremo scrivere

( )dt

dhAahgkQ

insdot=sdotsdotsdotsdotminus 2

dt

dhAhKQ

insdot=sdotminus (3)

La (2) o la (3) permettono una volta integrate noto il valore della portata Qin di ricavare lrsquoandamento nel tempo del livello h Saranno quindi possibili diversi casi riportati nel seguito a seconda del tipo di controllo impiegato Prima di effettuare lrsquointegrazione delle suddette equazioni perograve vale la pena di soffermarsi su alcune ipotesi semplificative che egrave opportuno fare per facilitare lrsquoanalisi matematica del problema

1 Qualunque sia la legge secondo la quale il controllore interviene per regolare la portata di ingresso Qin (proporzionale P proporzionale-derivativa PD proporzionale-integrale PI proporzionale-integrale-derivativa PID) si suppone che tale portata abbia sempre un valore inferiore a quello della portata massima che puograve alimentare lo sciacquone Tale portata massima Qinmax egrave funzione del diametro del tubo di alimentazione della pressione esistente nella rete idrica a monte della valvola di regolazione e della perdita di carico che si viene a determinare nella valvola quando questa egrave completamente aperta Se tale ipotesi non fosse soddisfatta dovremmo infatti scrivere

( )

==rArrlt

=rArrge

εfQQQQ se

QQQQ se

econtrollorininmaxinecontrollorin

maxininmaxinecontrollorin

Dove col simbolo ( )εf si egrave indicata la legge generica con la quale il controllore agisce sulla valvola di regolazione Ad esempio nel caso di controllore ad azione proporzionale ( ) εε sdot=

cKf e lrsquoequazione di bilancio di materia opportunamente integrata come vedremo

porta ad ottenere per il livello h dellrsquoacqua in funzione del tempo t lrsquoespressione

minussdot=

sdotminus tA

Kc

ehh 10

Mentre se la portata di ingresso fosse costante e pari a quella massima ammissibile Qinmax il livello varierebbe linearmente nel tempo secondo la legge

tA

Qh maxin

sdot=

1 Supponendo che la perdita sia alla base del serbatoio ovvero in corrispondenza della valvola di scarico dellrsquoacqua e

dovuta ad un difetto di chiusura di questa

I controlli automatici ndash IIa parte 3

Fig 1 - Risposta del sistema per Qincontrollore ge Qinmax

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

tempo t

live

llo

h Qin = Qinmax

Qin = Kcε

Qin = min(Qinmax Kcε)

Avremo pertanto che in base al valore fissato per la costante Kc del controllore e di quello assunto dallrsquoerrore ε

minussdot=rArrltniforall

sdot=rArrgeniforall

sdotminus tA

K

maxinecontrollorin

maxin

maxinecontrollorin

c

ehhQQ t

tA

QhQQ t

1

0

che si traduce nel diagramma rappresentato nella figura 1 Lrsquoipotesi suddetta serve proprio ad evitare questa inutile complicazione matematica

2 Nel caso di controllo di tipo integrale poicheacute lrsquoazione del controllore non si esaurisce allrsquoannullarsi dellrsquoerrore ε egrave inevitabile che il comportamento del sistema diventi oscillatorio (presenza di overshoot) Il calcolo cioegrave porta a definire per il livello del liquido un andamento nel tempo del tipo riportato in figura 2 Questo se da un lato egrave sicuramente possibile per un processo continuo (ad es caso di un serbatoio di accumulo alimentato con portate di ingresso e uscita continue nel tempo) egrave fisicamente impossibile per il nostro sciacquone che egrave un sistema discontinuo In altri termini quando il livello a causa dellrsquoazione del controllore integrale sale oltre il valore di set-point fino a raggiungere un massimo non esiste alcun meccanismo in grado di riportalo nuovamente al valore di regime Percheacute ciograve si verifichi sarebbe necessario che la portata di alimentazione Qin comandata dal sistema di controllo diventasse negativa (nel caso di processo continuo il controllore fa semplicemente diminuire Qin al di sotto del valore di regime che in condizioni di normale funzionamento e assenza di disturbi mantiene il livello sul set-point) Il controllore quindi dovrebbe essere capace di gestire anche la valvola di scarico dello sciacquone facendo in modo che

inoutQQ = quando Qin dovesse assumere valori negativi Naturalmente non esiste

nessun sistema di controllo di uno sciacquone cosigrave sofisticato ma noi supporremo di si percheacute questo ci permetteragrave di dedurre considerazioni sicuramente valide per ogni processo continuo gestito da un controllore di questo tipo

I controlli automatici ndash IIa parte 4

Fig 2 - Effetto dellazione di un controllo integrale

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 5 10 15 20 25 30 35

tempo t

liv

ello

h

3 Nel caso in cui si consideri una portata uscente Qout gt 0 ovvero si voglia integrare

lrsquoequazione (3) per ottenere la funzione h(t) egrave evidente che la soluzione della suddetta

equazione diviene complicata per la presenza del termine non lineare h In tal caso una semplificazione puograve consistere nellrsquoutilizzare nel bilancio differenziale al posto della

portata istantanea Qout la portata media outQ (assunta costante) valutabile come

0

0

3

0003

2

2

3

11

0

0

hKh

Kh

hKh

Q

h

h

outsdotsdot=sdotsdot=sdotsdot= int

In tutti i calcoli per i diversi tipi di controllori (tranne che per quello On-Off dove lrsquointegrazione egrave stata eseguita in modo esatto) si egrave adottata questa ipotesi semplificativa

2 ndash Controllore On-Off

In questo schema il controllore agisce mantenendo costante la portata di ingresso (valvola completamente aperta) fino al momento in cui il livello h raggiunge il valore fissato di set-point h0 Dallrsquoequazione di bilancio (2) separando le variabili ed integrando

intint sdot=

t

in

h

dtA

Qdh

00

tA

Qh in

sdot= (4)

Il livello dellrsquoacqua quindi aumenteragrave in misura lineare col tempo tanto piugrave rapidamente quanto maggiore egrave la portata Qin Ponendo nella relazione su scritta come valore per h quello h0 del livello finale egrave possibile ricavare il tempo necessario affincheacute il serbatoio si riempia

in

oriempimentQ

Aht

sdot

=0

I controlli automatici ndash IIa parte 5

Se la portata in uscita Qout non egrave nulla (ma comunque inferiore a quella in ingresso) lrsquointegrazione della (3) fornisce2

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdot+

sdotminus

21ln

2

(5)

Il tempo di riempimento del serbatoio si ottiene ponendo nella (5) 0hh =

+

sdotminussdotsdot

sdotminus=

0

01ln

2h

Q

hK

K

Q

K

At

in

in

oriempiment

La (3) egrave una equazione differenziale non lineare e come giagrave detto per semplificarne la soluzione si puograve considerare costante la portata uscente Qout ponendo il suo valore uguale alla portata media

0

3

2hKQhKQ

outoutsdotsdot=congsdot=

ottenendo cosigrave come risultato finale dellrsquointegrazione

A

QQth outin

minus

sdotcong (6)

Diagrammando le (4) (5) e (6) otteniamo le figure 3 e 4 Dai due grafici si deduce che come egrave logico nel caso di portata uscente non nulla il tempo di riempimento del serbatoio si allunga e che sempre nel caso in cui Qout sia diverso da zero la linearizzazione della funzione h(t) (equazione (6)) comporta un errore trascurabile rispetto alla soluzione esatta data dalla (5) solo per bassi valori del rapporto Qout Qin

Fig 3 - Controllore On-Off QoutQin = 070

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

livello

h

Eq (4)

Eq (5)

Eq (6)

Set-Point

Le figure 3 e 4 tuttavia non sono rappresentative di ciograve che effettivamente succede sotto lrsquoazione di un controllore di questo tipo in presenza di una portata uscente Qout ne 0 Infatti una volta che il livello dellrsquoacqua abbia raggiunto il valore di set-point il controllore chiude la valvola di alimentazione In presenza di una predita il serbatoio inizieragrave a svuotarsi con una velocitagrave deducibile dallrsquoequazione di bilancio fornita da 2 Si veda a tale proposito la dimostrazione nellrsquoAppendice ndeg 1

I controlli automatici ndash IIa parte 6

h

dhdt

A

K

dt

dhAhK

dt

dhAQ

out=sdotminusrArrsdot=sdotminusrArrsdot=minus

Relazione che inegrata tra lrsquoistante t1 e lrsquoistante t fornisce

( )2

11

211

minussdot

sdotminus=rArr=sdotminus intint tt

A

Khh

h

dhdt

A

Kh

h

t

t

(7)

Quando il livello saragrave sceso al di sotto del punto di intervento il controllore riapre la valvola di alimentazione ed il livello risale nuovamente con una legge data dallrsquoeq (5b) dellrsquoAppendice 1 Lrsquointera sequenza di svuotamentiriempimenti egrave raffigurata nella fig 5

Fig 4 - Controllore On-Off QoutQin = 030

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

livello

h

Eq (4)

Eq (5)

Eq (6)

Set-Point

Fig 5 - Effetto dellazione di un controllore On-Off per Qout ne 0

0

10

20

30

40

50

60

0 20 40 60 80 100 120

tempo t

liv

ello

h Serie1

Set Point

Punto Intervento

I controlli automatici ndash IIa parte 7

3 - Controllore proporzionale P

Se la portata in ingresso egrave proporzionale allrsquoerrore ε ( )hhKKQ

ccinminussdot=sdot=

0ε

Definito come la differenza tra il livello h0 dellrsquoacqua allrsquoinizio (prima del disturbo) e quello h allrsquoistante t lrsquoequazione (2) diventa

( )( )dt

hhdA

dt

dhAhhK

c

minus

sdotminus=sdot=minussdot0

0

Separando le variabili ed integrando tra il tempo 0 e lrsquoistante t

( )( )

( )

( )

0

0

0

0

00

0

lnln0

0

0

0

h

hhe

h

hhxt

A

K

x

dxdt

A

K

hh

hhddt

A

K

tA

K

hh

h

c

hh

h

t

cc

c minus=

minus==sdotminus

=sdotminusrArrminus

minus=sdotminus

sdotminus

minus

minus

intint

minussdot=

sdotminus tA

Kc

ehh 10

(8)

Se la portata in uscita non fosse nulla (lo sciacquone ha un difetto di chiusura) avremmo invece

( )dt

dhAQhhK

outcsdot=minusminussdot

0

Ovvero

( )( )[ ]

dt

QhhKd

K

AQhhK outc

c

outc

minusminussdot

sdotminus=minusminussdot0

0

Separando le variabili ed integrando ( )[ ]( )

( ) ( )

( )

outc

outct

A

K

outc

outcQhhK

QhK

c

outc

outcc

QhK

QhhKe

QhK

QhhKxt

A

K

QhhK

QhhKddt

A

K

c

outc

outc

minussdot

minusminussdot=

minussdot

minusminussdot==sdotminus

minusminussdot

minusminussdot=sdotminus

sdotminus

minusminussdot

minussdot

0

0

0

0

0

0

lnln0

0

minussdot

minus=

sdotminus tA

K

c

out

c

eK

Qhh 10

(9)

Le seguenti figure 6 7 e 8 rappresentano il diagramma delle eq (8) e (9) su scritte per diversi valori della costante Kc (guadagno o sensibilitagrave) del controllore Il calcolo porta a concludere che in presenza di un disturbo permanente il controllo proporzionale non consente al livello h di tornare al valore di set-point h0 Il livello tenderagrave ad un nuovo valore di regime che saragrave tanto piugrave vicino ad h0 quanto piugrave elevato saragrave il valore di Kc I grafici permettono anche di notare come allrsquoaumentare del guadagno lrsquoazione del controllore proporzionale sia sempre piugrave rapida e piugrave simile a quella di un controllore On-Off

I controlli automatici ndash IIa parte 8

Fig 6 - Controllore Proporzionale P

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h

Kc = 01

Kc = 02

Kc = 1

Set Point

Fig 7 - Controllore Proporzionale P

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h Qout = 0 Kc = 01

Qout gt 0 Kc = 01

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 9

Fig 8 - Controllore Proporzionale P

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

live

llo

h

Qout gt 0 Kc = 01

Qout gt 0 Kc = 02

Qout gt 0 Kc = 1

Set Point

4 - Controllore proporzionale-derivativo PD

In presenza di un controllo PD proporzionale derivativo lrsquoequazione di bilancio (relativa a una portata uscente Qout diversa da zero e costante) diventa

( )( )

dt

dhAQ

dt

hhdKhhK

outDccsdot=minus

minussdotsdot+minussdot

0

0τ

Ossia

( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )[ ]

dt

QhhKd

K

AKQhhK

dt

hhdAKQhhK

dt

hhdAQ

dt

hhdKhhK

outc

c

Dc

outc

Dcoutc

outDcc

minusminussdotsdot

+sdotminus=minusminussdot

minussdot+sdotminus=minusminussdot

minussdotminus=minus

minussdotsdot+minussdot

0

0

0

0

00

0

τ

τ

τ

Separando le variabili ed integrando

( )( )[ ]( )

( )( ) ( )

( ) ( )

outc

outct

AK

K

outc

outcQhhK

QhKDc

c

outc

outc

Dc

c

QhK

QhhKe

QhK

QhhKxt

AK

K

QhhK

QhhKddt

AK

K

Dc

c

outc

outc

minussdot

minusminussdot

=

minussdot

minusminussdot==sdot

+sdot

minus

minusminussdot

minusminussdot

=sdot

+sdot

minus

sdot

+sdot

minus

minusminussdot

minussdot

0

0

0

0

0

0

lnln0

0

τ

τ

τ

( )

minussdot

minus=

sdot

+sdot

minus tAK

K

c

out Dc

c

eK

Qhh

τ

10

(10)

Egrave evidente che ponendo nella (10) Qout = 0 si ottiene la risposta del sistema allrsquoazione del controllo PD per una portata uscente nulla

I controlli automatici ndash IIa parte 10

Le figure 9 10 ed 11 rappresentano il grafico della eq (10) per diversi valori delle costanti Kc e τD Come si puograve notare la presenza dellrsquoazione derivativa peggiora la risposta (h tenderagrave piugrave lentamente verso il valore di regime) e non serve ad eliminare lrsquooffset Il vantaggio dellrsquoimpiego di questo tipo di controllo sta perograve nel fatto che egrave possibile utilizzare valori elevati di Kc (riducendo lrsquooffset a regime) senza per questo avere risposte troppo brusche (vedi fig 11)

Fig 9 - Controllore PD

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h

τD = 0

τD = 5

τD = 10

Set Point

Fig 10 - Controllore PD

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h Qout gt 0 τD = 0

Qout gt 0 τD = 10

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 11

Fig 11 - Controllore PD

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h

Qout gt 0 Kc = 01 τD = 10

Qout gt 0 Kc = 02 τD = 10

Qout gt 0 Kc = 1 τD = 10

Set Point

5 - Controllore proporzionale-integrale PI

Nel caso di controllore PI proporzionale integrale il bilancio di materia diventa

( ) ( )( )dt

hhdAQdthh

KhhK

out

t

I

c

c

minus

sdotminus=minussdotminussdot+minussdot int 0

0

00

τ

Nellrsquoespressione su scritta ponendo

( ) ( )int sdotminus=

t

dthhty0

0

Avremo

2

2

dt

ydAQy

K

dt

dyK

out

I

c

csdotminus=minussdot+sdot

τ

Ovvero

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

ydout

I

cc=sdot

sdot

+sdot+

τ2

2

(11)

Che egrave unrsquoequazione differenziale lineare del secondo ordine (non omogenea) a coefficienti costanti Lrsquoequazione caratteristica della omogenea associata alla suddetta equazione egrave

02

=

sdot

+sdot+

I

cc

A

Kz

A

Kz

τ

Chiamando z1 e z2 le radici di tale equazione caratteristica la soluzione3 della (11) saragrave

Ideg caso rArrgtsdot

sdotminus

=∆ 04

2

I

cc

A

K

A

K

τc

I

K

Asdotgt 4τ

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110 (12)

Dove

3 Vedasi a tale proposito lrsquoAppendice ndeg 2

I controlli automatici ndash IIa parte 12

2

4

2

21

I

ccc

A

K

A

K

A

K

zτsdot

sdotminus

plusmnminus

=

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

ττ

IIdeg caso rArr=sdot

sdotminus

=∆ 04

2

I

cc

A

K

A

K

τc

I

K

Asdot= 4τ

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot (13)

Dove

A

Kzz

c

sdot

minus==

221

c

Iout

c

Iout

K

Qzhc

K

Qc

ττ sdotsdot+=

sdotminus=

1021

IIIdeg caso rArrltsdot

sdotminus

=∆ 04

2

I

cc

A

K

A

K

τc

I

K

Asdotlt 4τ

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

(14)

Dove

sdotsdotminus

minussdot=

sdotminus=sdotplusmn=

I

ccc

A

K

A

K

A

K iz

τβαβα 4

2

1

2

2

21

β

τα

τc

Iout

c

IoutK

Qh

c K

Qc

sdotsdot+

=sdot

minus=

0

21

Dal grafico della risposta di un controllore di questo tipo si deduce che 1 lrsquoazione integrale elimina lrsquooffset in altri termini pur in presenza di un disturbo

permanente il livello ritorna sempre al valore di set-point 2 la risposta del sistema tende perograve a diventare di tipo oscillatorio anche se tale tendenza egrave

meno pronunciata quando Qout ne 0 con un pendolarismo strettamente legato al valore delle costanti Kc e τI In ogni caso al diminuire dellrsquoampiezza dellrsquooscillazione aumenta il tempo affincheacute la variabile controllata si stabilizzi sul valore di regime

3 in questo tipo di controllo esiste un problema di scelta del valore ottimale da assegnare alle costanti suddette per rendere la risposta del sistema la migliore possibile

I controlli automatici ndash IIa parte 13

Fig 12 - Controllore PI

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout = 0 KcτIA gt 4

Qout = 0 KcτIA = 4

Qout = 0 KcτIA lt 4

Set Point

Fig 13 - Controllore PI

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout gt 0 KcτIA gt 4

Qout gt 0 KcτIA = 4

Qout gt 0 KcτIA lt 4

Set Point

6 - Controllore proporzionale-integrale-derivativo PID

Per un controllore proporzionale integrale derivativo PID il bilancio sul serbatoio si scrive

( ) ( )( ) ( )

dt

hhdAQ

dt

hhdKdthh

KhhK

outDc

t

I

c

c

minus

sdotminus=minus

minus

sdotsdot+sdotminussdot+minussdot int 00

0

00τ

τ

E con la solita posizione

I controlli automatici ndash IIa parte 14

( ) ( )int sdotminus=

t

dthhty0

0

Avremo

2

2

2

2

dt

ydAQ

dt

ydKy

K

dt

dyK

outDc

I

c

csdotminus=minussdotsdot+sdot+sdot τ

τ

Ovvero

( ) AK

Qy

AK

K

dt

dy

AK

K

dt

yd

Dc

out

DcI

c

Dc

c

+sdot

=sdot

+sdotsdot

+sdot

+sdot

+

ττττ2

2

(15)

Sono possibili tre casi (la dimostrazione viene tralasciata percheacute del tutto identica al caso del controllore PI con le uniche differenze legate alle espressioni del discriminante della equazione caratteristica e del termine noto dellrsquoequazione completa)

Ideg caso ( )

rArrgt+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdotgt

c

DI

K

Aττ 4

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110 (12)

Dove

( )

2

4

2

21

AK

K

AK

K

AK

K

zDcI

c

Dc

c

Dc

c

+sdotsdotsdotminus

+sdotplusmn

+sdotminus

=ττττ

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

τ

τ

IIdeg caso ( )

rArr=+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdot=

c

DI

K

Aττ 4

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot (13)

Dove

( )AK

Kzz

Dc

c

+sdotsdot

minus==

τ221

sdotsdot+=

sdotminus=

c

Iout

c

Iout

K

Qzhc

K

Qc

τ

τ

102

1

IIIdeg caso ( )

rArrlt+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdotlt

c

DI

K

Aττ 4

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

(14)

Dove

( ) ( )

+sdotsdotsdotminus

+sdotminussdot=

+sdotsdotminus=

sdotplusmn=

AK

K

AK

K

AK

K

iz

DcI

c

Dc

c

Dc

c

τττβ

τα

βα

42

1

2

2

21

I controlli automatici ndash IIa parte 15

sdotsdot+

=

sdotminus=

β

τα

τ

c

Iout

c

Iout

K

Qh

c

K

Qc

0

2

1

La risposta del sistema sottoposto ad unrsquoazione di controllo di questo tipo egrave diagrammata in fig 14 per Qout = 0

Fig 14 - Controllore PID

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) gt 4

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) = 4

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) lt 4

Set Point

Se ora disegniamo la risposta del controllore PID e la confrontiamo con quella di un controllore PI per un disturbo permanente otterremo un grafico del tipo illustrato nella fig 15

Fig 15 - Controllore PID vs PI

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h PID - KcτI(KcτD+A) lt 4

PI - KcτIA lt 4

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 16

Come si puograve notare la presenza dellrsquoazione derivativa comporta un peggioramento della risposta del sistema che diventa piugrave oscillatoria ossia con periodo e ampiezza dellrsquooscillazione maggiori Anche in questo caso inoltre come in quello giagrave discusso del controllore PI esiste un problema legato alla scelta ottimale dei valori dei parametri Kc τI e τD 7 ndash Conclusioni

Riassumendo dallrsquoanalisi delle risposte fornite dal sistema sotto lrsquoazione dei diversi controllori egrave possibile trarre le seguenti considerazioni

1 il controllore On-Off sarebbe in teoria il migliore tipo di controllo del nostro sciacquone per il suo basso costo e la sua maggiore efficienza in termini di tempo di riempimento Il suo limite principale egrave legato al fatto che la risposta al disturbo puograve essere molto brusca (a meno di non prendere opportune precauzioni) poicheacute la valvola di alimentazione si apre subito al massimo e rimane in questo stato fino al cessare dellrsquoazione del controllore Inoltre nel caso di perdite dovute a una non perfetta chiusura della valvola di scarico il livello dellrsquoacqua nel serbatoio oscilleragrave continuamente tra il valore impostato di set-point e il valore minimo al di sotto del quale il controllore si attiva

2 il controllore proporzionale (P) puograve essere reso simile al controllore On-Off aumentando il valore del guadagno Kc ma egrave anche possibile modulando opportunamente il valore di questa grandezza rendere piugrave ldquodolcerdquo la risposta del sistema ossia meno intensa la portata di adduzione dellrsquoacqua Tale portata andragrave comunque decrescendo nel tempo allungando i tempi di risposta rispetto al caso del sistema On-Off In effetti il controllore proporzionale egrave quello universalmente piugrave adoperato per questo tipo di processo anche se il suo limite principale risiede nellrsquoimpossibilitagrave di riportare il livello sul valore di set-point nel caso di disturbi protratti nel tempo (presenza di offset)

3 lrsquoaggiunta dellrsquoazione derivativa a quella proporzionale (PD) egrave inutile o addirittura dannosa in un processo discontinuo quale egrave il riempimento del nostro sciacquone In questo processo infatti il disturbo o ha una durata molto limitata (periodo nel quale il sistema di controllo in ogni caso non puograve agire date le caratteristiche costruttive dello sciacquone) o egrave costante nel tempo per cui lrsquoerrore ε egrave comunque una funzione monotona decrescente nel tempo Per tale motivo lrsquoaggiunta di questo tipo di controllo si traduce in un rallentamento della velocitagrave di riempimento e si puograve giustificare soltanto se contestualmente si incrementa il valore del guadagno proporzionale Kc in modo da avere una risposta rapida ma non troppo brusca e con basso offset

4 lrsquoazione integrale unita a quella proporzionale (PI) ha il grande vantaggio di eliminare lrsquooffset in presenza di disturbi costanti a spese perograve del comportamento oscillatorio assunto dal sistema Lrsquoopportuno settaggio dei parametri di controllo (Kc e τI) puograve comunque consentire di ottenere una risposta adeguata alle necessitagrave

5 non esiste alcun motivo realmente valido per utilizzare un controllo di tipo PID per il processo discontinuo in questione Oltre al maggior costo di questo tipo di apparecchiatura crsquoegrave da dire che lrsquoazione derivativa unita a quella integrale peggiora in modo molto marcato la risposta del sistema rallentandola e facendo aumentare lrsquoovershoot (mentre in un sistema continuo si otterrebbe lrsquoeffetto esattamente opposto) Lrsquounico vantaggio dellrsquoutilizzo contemporaneo dei tre meccanismi di controllo (proporzionale integrale e derivativo) si ha nella possibilitagrave di regolare tre parametri (Kc τI τD) al posto di uno solo (Kc) o due (Kc e τI oppure Kc e τD) per ottimizzare la risposta In effetti incrementando la costante Kc insieme al tempo derivativo τD egrave possibile rendere la risposta del sistema veloce (ma non troppo rapida come si avrebbe in un controllo di tipo puramente PI) e nello stesso tempo ridurne considerevolmente il comportamento oscillatorio (vedi fig 16 seguente)

I controlli automatici ndash IIa parte 17

Fig 16 - PI vs PID (KcPIDKcPI = 10)

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h PI

PID

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 18

Appendice 1 Integrazione dellrsquoequazione di bilancio per un controllore On ndash Off

Data lrsquoequazione

dt

dhAhKQ

insdot=sdotminus (3)

Eseguendo la sostituzione

dhdyyhyhy =sdotsdotrArr=rArr= 22

avremo

A

K

yA

Q

dt

dy

dt

dyyAyKQ

in

in

sdot

minus

sdotsdot

=

sdotsdotsdot=sdotminus

22

2

Ovvero ponendo

A

K

A

Qin

sdot

=

sdot

=

22βα

βαminus=

ydt

dy

E introducendo la nuova variabile

zdt

dz

z

dt

dz

zdt

dzy

dt

dy

dt

dy

ydt

dz

zy

yz

=sdot

+sdotminus

sdot

+sdotminus=sdotminus=rArrsdotminus=

+=rArrminus=

2

22

2

1

1

β

α

α

β

α

αα

α

β

αβ

α

Abbiamo trasformato lrsquoequazione originaria in una a variabili separabili

( ) αβ

dtdz

zzminus=sdot

+sdot2

1

La frazione a primo membro puograve essere scomposta col metodo dei coefficienti indeterminati ottenendo

( ) ( ) ( )( ) ( )

=

minus=+sdotminus

=

minus=

rArr

=

sdotminussdotsdotminus=

minus=

rArr

=sdot

=+sdot+sdotsdot

=+

=sdot+sdotsdot+sdot+sdot+sdotsdotsdot+sdot

=sdot++sdotsdot++sdotrArr+

++

+=+sdot

2

22

2

2

2

222

2

22

1

12

1

1

2

1

02

0

12

11

β

ββ

β

β

β

β

β

ββ

β

ββ

βββ

βββββ

A

C

B

A

BAC

AB

A

CBA

BA

zCzBzBAzAzA

zCzzBzAz

C

z

B

z

A

zz

Per cui lrsquointegrale fornisce

( ) ( ) ( ) intint int intint sdotminus=sdot

+

+sdot

+

+sdot=sdot

+sdot

dtdzz

Cdz

z

Bdz

z

Adz

zz αβββ

11

22

I controlli automatici ndash IIa parte 19

( )( )

αβαα

β

β

ααα

β

αα

αβ

α

αα

αβ

α

αββ

tyy

Cy

t

CtyCy

A

CtyC

yyA

Ct

y

C

yB

yA

Ct

z

CzBzA

minus=sdot

+

sdotminussdot

=rArr

=

=

+minus=sdot

minus

sdotminussdot

+minus=sdot

minus

minus

minussdot

+minus=

minus

sdot+

minussdot

+minus=+

minus+sdot+sdot

1ln1

00

0

1ln

lnln

lnln

lnln

2

α

β

α

β

α

β2

1ln sdotminus=sdot

+

sdotminus t

yy

Ovvero

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdot+

sdotminus

21ln

2

(5)

Mentre se le condizioni iniziali fossero diverse avremmo

αβαα

β

β

111

2

1

11ln

1

tyyC

yy

tt+

sdot+

sdotminussdot=rArr

=

=

Ossia

+

sdot+

sdotminussdot+minus=

sdot+

sdotminussdot

αβαα

β

βαβαα

β

β

111

221ln

11ln

1 tyytyy

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β 22

1

111ln1ln sdotminus=

sdot+

sdot+

sdotminusminus

sdot+

sdotminus tt

yyyy

ininininininQA

Kt

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdotsdotsdot+

sdot+

sdotminusminus

sdot+

sdotminus

221ln1ln

22

1

11 (5b)

Poicheacute la (5) non fornisce esplicitamente lrsquoaltezza h in funzione del tempo t egrave possibile approssimare il logaritmo del primo membro mediante espansione in serie Avremo allora

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) suminfin

=

minus=minus

+sdot

minus

minusminussdot

minus

minussdot

minus

minusminus=minus

+sdot++sdot+sdot+=

1

2

2

2

1ln

01

1

201

1

01

101ln1ln

02

000

n

n

n

n

n

n

n

xx

n

xxxx

n

xf

xfxffxf

I termini nella sommatoria sono decrescenti (si ricordi che il fattore in

Q

hKx

sdot

= egrave minore di 1 in

quanto rappresenta il rapporto tra la portata uscente e quella in ingresso al serbatoio) Limitando lrsquoespansione in serie ai primi tre termini non nulli e sostituendo in (5)

I controlli automatici ndash IIa parte 20

ininin

ininininin

QA

Kt

Q

hhK

Q

hK

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

sdotsdot

sdotcong

sdot

sdotsdot+

sdot

sdot

sdotsdot

sdotminuscongsdot

+

sdot

sdotminus

sdot

sdotminus

sdotminus

232

232

2

3

3

2

2

2

3

33

2

2

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotcong

sdotsdot+sdot

sdot

sdot

23

21

2

2

2

2

in

out

in

Q

QA

Qth

+

sdotsdotcong

1

1 (5c)

Dove col simbolo outQ si egrave indicata la portata media uscente ovvero

0

3

2hKQ

outsdotsdot=

La (5c) puograve essere ulteriormente semplificata espandendo in serie anche il fattore

in

out

Q

Q+1

1

( ) ( )

01

1

01

1

01

1

1

1

1

1 2

32+sdot

+

+sdot

+

minus

+

=

+

=

+

xxx

Q

Q

in

out

E trascurando i termini con esponente maggiore di 1 (in

out

Q

Q egrave minore di 1)

in

out

in

outQ

Q

Q

Qminuscong

+

1

1

1

Per cui la (5c) diventa

A

QQt

Q

Q

A

Qth outin

in

outinminus

sdot=

minussdotsdotcong 1 (6)

I controlli automatici ndash IIa parte 21

Appendice 2 Integrazione dellrsquoequazione di bilancio per un controllore PI

Come visto il bilancio di materia sul serbatoio in presenza di controllo proporzionale integrale porta a

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

ydout

I

cc=sdot

sdot

+sdot+

τ2

2

(11)

La soluzione generale y(t) della suddetta equazione si ottiene sommando ad una sua soluzione particolare y0(t) la soluzione generale della equazione omogenea associata

02

2

=sdot

sdot

+sdot+ yA

K

dt

dy

A

K

dt

yd

I

cc

τ

Poicheacute A

Qout (il termine a secondo membro della (1)) egrave una costante e puograve essere considerato un

polinomio di grado zero rispetto alla variabile tempo t e I

c

A

K

τsdot

(il coefficiente della funzione

incognita y) egrave diverso da zero la teoria risolutiva di questo tipo di equazioni impone che anche la soluzione particolare y0(t) sia un polinomio di grado zero del tipo y0(t) = a e che deve rispettare la condizione

( )c

Iout

c

Ioutout

I

ccout

I

cc

K

Qty

K

Qa

A

Qa

A

K

A

K

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

yd

τ

τ

ττ

sdot=

sdot=rArr=sdot

sdot

+sdot+rArr=sdot

sdot

+sdot+

0

0

0

2

0

2

00

Lrsquoequazione caratteristica della equazione differenziale omogenea associata alla suddetta equazione egrave

02

=

sdot

+sdot+

I

cc

A

Kz

A

Kz

τ

Avremo allora in base al segno del discriminante di tale equazione Ideg caso 0gt∆

c

I

I

c

I

cc

I

cc

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

KsdotgtrArrgtrArr

sdotsdotgt

rArrgt

sdotsdotminus

4

4404

22

τ

τττ

2

4

2

21

I

ccc

A

K

A

K

A

K

zτsdot

sdotminus

plusmnminus

=

E lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave tztz

ececysdotsdot

sdot+sdot=21

21

IIdeg caso 0=∆

A

Kzz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

c

I

I

c

I

cc

I

cc

sdotminus==

sdot=rArr=rArrsdot

sdot=

rArr=

sdotsdotminus

2

44

404

21

22

τ

τττ

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave ( )tcceytz

sdot+sdotsdot=sdot

21

1 IIIdeg caso 0lt∆

βα

ττττ

sdotplusmn=

sdotltrArrltrArrsdot

sdotlt

rArrlt

sdotsdotminus

iz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

I

I

c

I

cc

I

cc

21

22

44

404

I controlli automatici ndash IIa parte 22

sdotsdotminus

minussdot=

sdotminus=

I

ccc

A

K

A

K

A

K

τβα 4

2

1

2

2

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata diventa ( ) ( )[ ]tctceyt

sdotsdot+sdotsdotsdot=sdot ββα

sincos21

Lrsquointegrale generale dellrsquoequazione completa (11) saragrave allora Ideg caso ( )tyececy

tztz

021

21+sdot+sdot=

sdotsdot

IIdeg caso ( ) ( )tytcceytz

021

1+sdot+sdotsdot=

sdot

IIIdeg caso ( ) ( )[ ] ( )tytctceyt

021sincos +sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdot

ββα

Lrsquointegrale particolare ottenuto ponendo le condizioni al contorno ( ) ( )0

000 hyy == saragrave

Ideg caso

( )

( )

=sdot+sdot

sdotminus=+

rArr

=sdotsdot+sdotsdot=

=sdot

+sdot+sdot=

sdotsdot

sdotsdot

02211

21

0

0

22

0

11

0

2

0

1

21

21

0

00

hzczc

K

Qcc

hezcezcy

K

Qececy

c

Iout

zz

c

Ioutzz ττ

minus

sdotsdot

+

=

sdotminus

minus

sdotsdot

+

minus=

rArr

=sdot+sdot

sdot+minus

sdotminusminus=

12

10

2

12

10

1

02212

21

zz

zK

Qh

c

K

Q

zz

zK

Qh

c

hzczK

Qc

K

Qcc

c

Iout

c

Ioutc

Iout

c

Iout

c

Iout

τ

τ

τ

τ

τ

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

τ

τ

Per cui ( ) tztz

ezcezchhtysdotsdot

sdotsdot+sdotsdot=minus=21

22110

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110

IIdeg caso

( ) ( )

( ) ( )

sdotsdot+=

sdotminus=

rArr

=+sdot

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot+sdotsdotsdot=

=sdot

+sdot+sdotsdot=

sdotsdot

sdot

c

Iout

c

Iout

c

Iout

zz

c

Ioutz

K

Qzhc

K

Qc

hccz

K

Qc

hceccezy

K

Qccey

τ

τ

ττ

102

1

0211

1

02

0

21

0

1

21

0

11

1

00

000

Per cui ( ) ( )

22110

11 cetccezhhtytztz

sdot+sdot+sdotsdotsdot=minus=sdotsdot

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot

IIIdeg caso

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

=sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=

=sdot

+sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdotsdot

sdot

021

0

21

0

21

0

0cos0sin0sin0cos0

00sin0cos0

hcceccey

K

Qccey

c

Iout

ββββββα

τββ

αα

α

I controlli automatici ndash IIa parte 23

sdotsdot+

=

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot

sdotminus=

β

τα

τ

βα

τ

c

Iout

c

Iout

c

Iout

K

Qh

c

K

Qc

hcc

K

Qc

0

2

1

021

1

Per cui ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhty tt

sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=minus=sdotsdot

ββββββααα

cossinsincos21210

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

I controlli automatici ndash IIa parte 3

Fig 1 - Risposta del sistema per Qincontrollore ge Qinmax

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

tempo t

live

llo

h Qin = Qinmax

Qin = Kcε

Qin = min(Qinmax Kcε)

Avremo pertanto che in base al valore fissato per la costante Kc del controllore e di quello assunto dallrsquoerrore ε

minussdot=rArrltniforall

sdot=rArrgeniforall

sdotminus tA

K

maxinecontrollorin

maxin

maxinecontrollorin

c

ehhQQ t

tA

QhQQ t

1

0

che si traduce nel diagramma rappresentato nella figura 1 Lrsquoipotesi suddetta serve proprio ad evitare questa inutile complicazione matematica

2 Nel caso di controllo di tipo integrale poicheacute lrsquoazione del controllore non si esaurisce allrsquoannullarsi dellrsquoerrore ε egrave inevitabile che il comportamento del sistema diventi oscillatorio (presenza di overshoot) Il calcolo cioegrave porta a definire per il livello del liquido un andamento nel tempo del tipo riportato in figura 2 Questo se da un lato egrave sicuramente possibile per un processo continuo (ad es caso di un serbatoio di accumulo alimentato con portate di ingresso e uscita continue nel tempo) egrave fisicamente impossibile per il nostro sciacquone che egrave un sistema discontinuo In altri termini quando il livello a causa dellrsquoazione del controllore integrale sale oltre il valore di set-point fino a raggiungere un massimo non esiste alcun meccanismo in grado di riportalo nuovamente al valore di regime Percheacute ciograve si verifichi sarebbe necessario che la portata di alimentazione Qin comandata dal sistema di controllo diventasse negativa (nel caso di processo continuo il controllore fa semplicemente diminuire Qin al di sotto del valore di regime che in condizioni di normale funzionamento e assenza di disturbi mantiene il livello sul set-point) Il controllore quindi dovrebbe essere capace di gestire anche la valvola di scarico dello sciacquone facendo in modo che

inoutQQ = quando Qin dovesse assumere valori negativi Naturalmente non esiste

nessun sistema di controllo di uno sciacquone cosigrave sofisticato ma noi supporremo di si percheacute questo ci permetteragrave di dedurre considerazioni sicuramente valide per ogni processo continuo gestito da un controllore di questo tipo

I controlli automatici ndash IIa parte 4

Fig 2 - Effetto dellazione di un controllo integrale

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 5 10 15 20 25 30 35

tempo t

liv

ello

h

3 Nel caso in cui si consideri una portata uscente Qout gt 0 ovvero si voglia integrare

lrsquoequazione (3) per ottenere la funzione h(t) egrave evidente che la soluzione della suddetta

equazione diviene complicata per la presenza del termine non lineare h In tal caso una semplificazione puograve consistere nellrsquoutilizzare nel bilancio differenziale al posto della

portata istantanea Qout la portata media outQ (assunta costante) valutabile come

0

0

3

0003

2

2

3

11

0

0

hKh

Kh

hKh

Q

h

h

outsdotsdot=sdotsdot=sdotsdot= int

In tutti i calcoli per i diversi tipi di controllori (tranne che per quello On-Off dove lrsquointegrazione egrave stata eseguita in modo esatto) si egrave adottata questa ipotesi semplificativa

2 ndash Controllore On-Off

In questo schema il controllore agisce mantenendo costante la portata di ingresso (valvola completamente aperta) fino al momento in cui il livello h raggiunge il valore fissato di set-point h0 Dallrsquoequazione di bilancio (2) separando le variabili ed integrando

intint sdot=

t

in

h

dtA

Qdh

00

tA

Qh in

sdot= (4)

Il livello dellrsquoacqua quindi aumenteragrave in misura lineare col tempo tanto piugrave rapidamente quanto maggiore egrave la portata Qin Ponendo nella relazione su scritta come valore per h quello h0 del livello finale egrave possibile ricavare il tempo necessario affincheacute il serbatoio si riempia

in

oriempimentQ

Aht

sdot

=0

I controlli automatici ndash IIa parte 5

Se la portata in uscita Qout non egrave nulla (ma comunque inferiore a quella in ingresso) lrsquointegrazione della (3) fornisce2

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdot+

sdotminus

21ln

2

(5)

Il tempo di riempimento del serbatoio si ottiene ponendo nella (5) 0hh =

+

sdotminussdotsdot

sdotminus=

0

01ln

2h

Q

hK

K

Q

K

At

in

in

oriempiment

La (3) egrave una equazione differenziale non lineare e come giagrave detto per semplificarne la soluzione si puograve considerare costante la portata uscente Qout ponendo il suo valore uguale alla portata media

0

3

2hKQhKQ

outoutsdotsdot=congsdot=

ottenendo cosigrave come risultato finale dellrsquointegrazione

A

QQth outin

minus

sdotcong (6)

Diagrammando le (4) (5) e (6) otteniamo le figure 3 e 4 Dai due grafici si deduce che come egrave logico nel caso di portata uscente non nulla il tempo di riempimento del serbatoio si allunga e che sempre nel caso in cui Qout sia diverso da zero la linearizzazione della funzione h(t) (equazione (6)) comporta un errore trascurabile rispetto alla soluzione esatta data dalla (5) solo per bassi valori del rapporto Qout Qin

Fig 3 - Controllore On-Off QoutQin = 070

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

livello

h

Eq (4)

Eq (5)

Eq (6)

Set-Point

Le figure 3 e 4 tuttavia non sono rappresentative di ciograve che effettivamente succede sotto lrsquoazione di un controllore di questo tipo in presenza di una portata uscente Qout ne 0 Infatti una volta che il livello dellrsquoacqua abbia raggiunto il valore di set-point il controllore chiude la valvola di alimentazione In presenza di una predita il serbatoio inizieragrave a svuotarsi con una velocitagrave deducibile dallrsquoequazione di bilancio fornita da 2 Si veda a tale proposito la dimostrazione nellrsquoAppendice ndeg 1

I controlli automatici ndash IIa parte 6

h

dhdt

A

K

dt

dhAhK

dt

dhAQ

out=sdotminusrArrsdot=sdotminusrArrsdot=minus

Relazione che inegrata tra lrsquoistante t1 e lrsquoistante t fornisce

( )2

11

211

minussdot

sdotminus=rArr=sdotminus intint tt

A

Khh

h

dhdt

A

Kh

h

t

t

(7)

Quando il livello saragrave sceso al di sotto del punto di intervento il controllore riapre la valvola di alimentazione ed il livello risale nuovamente con una legge data dallrsquoeq (5b) dellrsquoAppendice 1 Lrsquointera sequenza di svuotamentiriempimenti egrave raffigurata nella fig 5

Fig 4 - Controllore On-Off QoutQin = 030

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

livello

h

Eq (4)

Eq (5)

Eq (6)

Set-Point

Fig 5 - Effetto dellazione di un controllore On-Off per Qout ne 0

0

10

20

30

40

50

60

0 20 40 60 80 100 120

tempo t

liv

ello

h Serie1

Set Point

Punto Intervento

I controlli automatici ndash IIa parte 7

3 - Controllore proporzionale P

Se la portata in ingresso egrave proporzionale allrsquoerrore ε ( )hhKKQ

ccinminussdot=sdot=

0ε

Definito come la differenza tra il livello h0 dellrsquoacqua allrsquoinizio (prima del disturbo) e quello h allrsquoistante t lrsquoequazione (2) diventa

( )( )dt

hhdA

dt

dhAhhK

c

minus

sdotminus=sdot=minussdot0

0

Separando le variabili ed integrando tra il tempo 0 e lrsquoistante t

( )( )

( )

( )

0

0

0

0

00

0

lnln0

0

0

0

h

hhe

h

hhxt

A

K

x

dxdt

A

K

hh

hhddt

A

K

tA

K

hh

h

c

hh

h

t

cc

c minus=

minus==sdotminus

=sdotminusrArrminus

minus=sdotminus

sdotminus

minus

minus

intint

minussdot=

sdotminus tA

Kc

ehh 10

(8)

Se la portata in uscita non fosse nulla (lo sciacquone ha un difetto di chiusura) avremmo invece

( )dt

dhAQhhK

outcsdot=minusminussdot

0

Ovvero

( )( )[ ]

dt

QhhKd

K

AQhhK outc

c

outc

minusminussdot

sdotminus=minusminussdot0

0

Separando le variabili ed integrando ( )[ ]( )

( ) ( )

( )

outc

outct

A

K

outc

outcQhhK

QhK

c

outc

outcc

QhK

QhhKe

QhK

QhhKxt

A

K

QhhK

QhhKddt

A

K

c

outc

outc

minussdot

minusminussdot=

minussdot

minusminussdot==sdotminus

minusminussdot

minusminussdot=sdotminus

sdotminus

minusminussdot

minussdot

0

0

0

0

0

0

lnln0

0

minussdot

minus=

sdotminus tA

K

c

out

c

eK

Qhh 10

(9)

Le seguenti figure 6 7 e 8 rappresentano il diagramma delle eq (8) e (9) su scritte per diversi valori della costante Kc (guadagno o sensibilitagrave) del controllore Il calcolo porta a concludere che in presenza di un disturbo permanente il controllo proporzionale non consente al livello h di tornare al valore di set-point h0 Il livello tenderagrave ad un nuovo valore di regime che saragrave tanto piugrave vicino ad h0 quanto piugrave elevato saragrave il valore di Kc I grafici permettono anche di notare come allrsquoaumentare del guadagno lrsquoazione del controllore proporzionale sia sempre piugrave rapida e piugrave simile a quella di un controllore On-Off

I controlli automatici ndash IIa parte 8

Fig 6 - Controllore Proporzionale P

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h

Kc = 01

Kc = 02

Kc = 1

Set Point

Fig 7 - Controllore Proporzionale P

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h Qout = 0 Kc = 01

Qout gt 0 Kc = 01

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 9

Fig 8 - Controllore Proporzionale P

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

live

llo

h

Qout gt 0 Kc = 01

Qout gt 0 Kc = 02

Qout gt 0 Kc = 1

Set Point

4 - Controllore proporzionale-derivativo PD

In presenza di un controllo PD proporzionale derivativo lrsquoequazione di bilancio (relativa a una portata uscente Qout diversa da zero e costante) diventa

( )( )

dt

dhAQ

dt

hhdKhhK

outDccsdot=minus

minussdotsdot+minussdot

0

0τ

Ossia

( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )[ ]

dt

QhhKd

K

AKQhhK

dt

hhdAKQhhK

dt

hhdAQ

dt

hhdKhhK

outc

c

Dc

outc

Dcoutc

outDcc

minusminussdotsdot

+sdotminus=minusminussdot

minussdot+sdotminus=minusminussdot

minussdotminus=minus

minussdotsdot+minussdot

0

0

0

0

00

0

τ

τ

τ

Separando le variabili ed integrando

( )( )[ ]( )

( )( ) ( )

( ) ( )

outc

outct

AK

K

outc

outcQhhK

QhKDc

c

outc

outc

Dc

c

QhK

QhhKe

QhK

QhhKxt

AK

K

QhhK

QhhKddt

AK

K

Dc

c

outc

outc

minussdot

minusminussdot

=

minussdot

minusminussdot==sdot

+sdot

minus

minusminussdot

minusminussdot

=sdot

+sdot

minus

sdot

+sdot

minus

minusminussdot

minussdot

0

0

0

0

0

0

lnln0

0

τ

τ

τ

( )

minussdot

minus=

sdot

+sdot

minus tAK

K

c

out Dc

c

eK

Qhh

τ

10

(10)

Egrave evidente che ponendo nella (10) Qout = 0 si ottiene la risposta del sistema allrsquoazione del controllo PD per una portata uscente nulla

I controlli automatici ndash IIa parte 10

Le figure 9 10 ed 11 rappresentano il grafico della eq (10) per diversi valori delle costanti Kc e τD Come si puograve notare la presenza dellrsquoazione derivativa peggiora la risposta (h tenderagrave piugrave lentamente verso il valore di regime) e non serve ad eliminare lrsquooffset Il vantaggio dellrsquoimpiego di questo tipo di controllo sta perograve nel fatto che egrave possibile utilizzare valori elevati di Kc (riducendo lrsquooffset a regime) senza per questo avere risposte troppo brusche (vedi fig 11)

Fig 9 - Controllore PD

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h

τD = 0

τD = 5

τD = 10

Set Point

Fig 10 - Controllore PD

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h Qout gt 0 τD = 0

Qout gt 0 τD = 10

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 11

Fig 11 - Controllore PD

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h

Qout gt 0 Kc = 01 τD = 10

Qout gt 0 Kc = 02 τD = 10

Qout gt 0 Kc = 1 τD = 10

Set Point

5 - Controllore proporzionale-integrale PI

Nel caso di controllore PI proporzionale integrale il bilancio di materia diventa

( ) ( )( )dt

hhdAQdthh

KhhK

out

t

I

c

c

minus

sdotminus=minussdotminussdot+minussdot int 0

0

00

τ

Nellrsquoespressione su scritta ponendo

( ) ( )int sdotminus=

t

dthhty0

0

Avremo

2

2

dt

ydAQy

K

dt

dyK

out

I

c

csdotminus=minussdot+sdot

τ

Ovvero

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

ydout

I

cc=sdot

sdot

+sdot+

τ2

2

(11)

Che egrave unrsquoequazione differenziale lineare del secondo ordine (non omogenea) a coefficienti costanti Lrsquoequazione caratteristica della omogenea associata alla suddetta equazione egrave

02

=

sdot

+sdot+

I

cc

A

Kz

A

Kz

τ

Chiamando z1 e z2 le radici di tale equazione caratteristica la soluzione3 della (11) saragrave

Ideg caso rArrgtsdot

sdotminus

=∆ 04

2

I

cc

A

K

A

K

τc

I

K

Asdotgt 4τ

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110 (12)

Dove

3 Vedasi a tale proposito lrsquoAppendice ndeg 2

I controlli automatici ndash IIa parte 12

2

4

2

21

I

ccc

A

K

A

K

A

K

zτsdot

sdotminus

plusmnminus

=

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

ττ

IIdeg caso rArr=sdot

sdotminus

=∆ 04

2

I

cc

A

K

A

K

τc

I

K

Asdot= 4τ

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot (13)

Dove

A

Kzz

c

sdot

minus==

221

c

Iout

c

Iout

K

Qzhc

K

Qc

ττ sdotsdot+=

sdotminus=

1021

IIIdeg caso rArrltsdot

sdotminus

=∆ 04

2

I

cc

A

K

A

K

τc

I

K

Asdotlt 4τ

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

(14)

Dove

sdotsdotminus

minussdot=

sdotminus=sdotplusmn=

I

ccc

A

K

A

K

A

K iz

τβαβα 4

2

1

2

2

21

β

τα

τc

Iout

c

IoutK

Qh

c K

Qc

sdotsdot+

=sdot

minus=

0

21

Dal grafico della risposta di un controllore di questo tipo si deduce che 1 lrsquoazione integrale elimina lrsquooffset in altri termini pur in presenza di un disturbo

permanente il livello ritorna sempre al valore di set-point 2 la risposta del sistema tende perograve a diventare di tipo oscillatorio anche se tale tendenza egrave

meno pronunciata quando Qout ne 0 con un pendolarismo strettamente legato al valore delle costanti Kc e τI In ogni caso al diminuire dellrsquoampiezza dellrsquooscillazione aumenta il tempo affincheacute la variabile controllata si stabilizzi sul valore di regime

3 in questo tipo di controllo esiste un problema di scelta del valore ottimale da assegnare alle costanti suddette per rendere la risposta del sistema la migliore possibile

I controlli automatici ndash IIa parte 13

Fig 12 - Controllore PI

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout = 0 KcτIA gt 4

Qout = 0 KcτIA = 4

Qout = 0 KcτIA lt 4

Set Point

Fig 13 - Controllore PI

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout gt 0 KcτIA gt 4

Qout gt 0 KcτIA = 4

Qout gt 0 KcτIA lt 4

Set Point

6 - Controllore proporzionale-integrale-derivativo PID

Per un controllore proporzionale integrale derivativo PID il bilancio sul serbatoio si scrive

( ) ( )( ) ( )

dt

hhdAQ

dt

hhdKdthh

KhhK

outDc

t

I

c

c

minus

sdotminus=minus

minus

sdotsdot+sdotminussdot+minussdot int 00

0

00τ

τ

E con la solita posizione

I controlli automatici ndash IIa parte 14

( ) ( )int sdotminus=

t

dthhty0

0

Avremo

2

2

2

2

dt

ydAQ

dt

ydKy

K

dt

dyK

outDc

I

c

csdotminus=minussdotsdot+sdot+sdot τ

τ

Ovvero

( ) AK

Qy

AK

K

dt

dy

AK

K

dt

yd

Dc

out

DcI

c

Dc

c

+sdot

=sdot

+sdotsdot

+sdot

+sdot

+

ττττ2

2

(15)

Sono possibili tre casi (la dimostrazione viene tralasciata percheacute del tutto identica al caso del controllore PI con le uniche differenze legate alle espressioni del discriminante della equazione caratteristica e del termine noto dellrsquoequazione completa)

Ideg caso ( )

rArrgt+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdotgt

c

DI

K

Aττ 4

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110 (12)

Dove

( )

2

4

2

21

AK

K

AK

K

AK

K

zDcI

c

Dc

c

Dc

c

+sdotsdotsdotminus

+sdotplusmn

+sdotminus

=ττττ

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

τ

τ

IIdeg caso ( )

rArr=+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdot=

c

DI

K

Aττ 4

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot (13)

Dove

( )AK

Kzz

Dc

c

+sdotsdot

minus==

τ221

sdotsdot+=

sdotminus=

c

Iout

c

Iout

K

Qzhc

K

Qc

τ

τ

102

1

IIIdeg caso ( )

rArrlt+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdotlt

c

DI

K

Aττ 4

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

(14)

Dove

( ) ( )

+sdotsdotsdotminus

+sdotminussdot=

+sdotsdotminus=

sdotplusmn=

AK

K

AK

K

AK

K

iz

DcI

c

Dc

c

Dc

c

τττβ

τα

βα

42

1

2

2

21

I controlli automatici ndash IIa parte 15

sdotsdot+

=

sdotminus=

β

τα

τ

c

Iout

c

Iout

K

Qh

c

K

Qc

0

2

1

La risposta del sistema sottoposto ad unrsquoazione di controllo di questo tipo egrave diagrammata in fig 14 per Qout = 0

Fig 14 - Controllore PID

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) gt 4

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) = 4

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) lt 4

Set Point

Se ora disegniamo la risposta del controllore PID e la confrontiamo con quella di un controllore PI per un disturbo permanente otterremo un grafico del tipo illustrato nella fig 15

Fig 15 - Controllore PID vs PI

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h PID - KcτI(KcτD+A) lt 4

PI - KcτIA lt 4

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 16

Come si puograve notare la presenza dellrsquoazione derivativa comporta un peggioramento della risposta del sistema che diventa piugrave oscillatoria ossia con periodo e ampiezza dellrsquooscillazione maggiori Anche in questo caso inoltre come in quello giagrave discusso del controllore PI esiste un problema legato alla scelta ottimale dei valori dei parametri Kc τI e τD 7 ndash Conclusioni

Riassumendo dallrsquoanalisi delle risposte fornite dal sistema sotto lrsquoazione dei diversi controllori egrave possibile trarre le seguenti considerazioni

1 il controllore On-Off sarebbe in teoria il migliore tipo di controllo del nostro sciacquone per il suo basso costo e la sua maggiore efficienza in termini di tempo di riempimento Il suo limite principale egrave legato al fatto che la risposta al disturbo puograve essere molto brusca (a meno di non prendere opportune precauzioni) poicheacute la valvola di alimentazione si apre subito al massimo e rimane in questo stato fino al cessare dellrsquoazione del controllore Inoltre nel caso di perdite dovute a una non perfetta chiusura della valvola di scarico il livello dellrsquoacqua nel serbatoio oscilleragrave continuamente tra il valore impostato di set-point e il valore minimo al di sotto del quale il controllore si attiva

2 il controllore proporzionale (P) puograve essere reso simile al controllore On-Off aumentando il valore del guadagno Kc ma egrave anche possibile modulando opportunamente il valore di questa grandezza rendere piugrave ldquodolcerdquo la risposta del sistema ossia meno intensa la portata di adduzione dellrsquoacqua Tale portata andragrave comunque decrescendo nel tempo allungando i tempi di risposta rispetto al caso del sistema On-Off In effetti il controllore proporzionale egrave quello universalmente piugrave adoperato per questo tipo di processo anche se il suo limite principale risiede nellrsquoimpossibilitagrave di riportare il livello sul valore di set-point nel caso di disturbi protratti nel tempo (presenza di offset)

3 lrsquoaggiunta dellrsquoazione derivativa a quella proporzionale (PD) egrave inutile o addirittura dannosa in un processo discontinuo quale egrave il riempimento del nostro sciacquone In questo processo infatti il disturbo o ha una durata molto limitata (periodo nel quale il sistema di controllo in ogni caso non puograve agire date le caratteristiche costruttive dello sciacquone) o egrave costante nel tempo per cui lrsquoerrore ε egrave comunque una funzione monotona decrescente nel tempo Per tale motivo lrsquoaggiunta di questo tipo di controllo si traduce in un rallentamento della velocitagrave di riempimento e si puograve giustificare soltanto se contestualmente si incrementa il valore del guadagno proporzionale Kc in modo da avere una risposta rapida ma non troppo brusca e con basso offset

4 lrsquoazione integrale unita a quella proporzionale (PI) ha il grande vantaggio di eliminare lrsquooffset in presenza di disturbi costanti a spese perograve del comportamento oscillatorio assunto dal sistema Lrsquoopportuno settaggio dei parametri di controllo (Kc e τI) puograve comunque consentire di ottenere una risposta adeguata alle necessitagrave

5 non esiste alcun motivo realmente valido per utilizzare un controllo di tipo PID per il processo discontinuo in questione Oltre al maggior costo di questo tipo di apparecchiatura crsquoegrave da dire che lrsquoazione derivativa unita a quella integrale peggiora in modo molto marcato la risposta del sistema rallentandola e facendo aumentare lrsquoovershoot (mentre in un sistema continuo si otterrebbe lrsquoeffetto esattamente opposto) Lrsquounico vantaggio dellrsquoutilizzo contemporaneo dei tre meccanismi di controllo (proporzionale integrale e derivativo) si ha nella possibilitagrave di regolare tre parametri (Kc τI τD) al posto di uno solo (Kc) o due (Kc e τI oppure Kc e τD) per ottimizzare la risposta In effetti incrementando la costante Kc insieme al tempo derivativo τD egrave possibile rendere la risposta del sistema veloce (ma non troppo rapida come si avrebbe in un controllo di tipo puramente PI) e nello stesso tempo ridurne considerevolmente il comportamento oscillatorio (vedi fig 16 seguente)

I controlli automatici ndash IIa parte 17

Fig 16 - PI vs PID (KcPIDKcPI = 10)

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h PI

PID

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 18

Appendice 1 Integrazione dellrsquoequazione di bilancio per un controllore On ndash Off

Data lrsquoequazione

dt

dhAhKQ

insdot=sdotminus (3)

Eseguendo la sostituzione

dhdyyhyhy =sdotsdotrArr=rArr= 22

avremo

A

K

yA

Q

dt

dy

dt

dyyAyKQ

in

in

sdot

minus

sdotsdot

=

sdotsdotsdot=sdotminus

22

2

Ovvero ponendo

A

K

A

Qin

sdot

=

sdot

=

22βα

βαminus=

ydt

dy

E introducendo la nuova variabile

zdt

dz

z

dt

dz

zdt

dzy

dt

dy

dt

dy

ydt

dz

zy

yz

=sdot

+sdotminus

sdot

+sdotminus=sdotminus=rArrsdotminus=

+=rArrminus=

2

22

2

1

1

β

α

α

β

α

αα

α

β

αβ

α

Abbiamo trasformato lrsquoequazione originaria in una a variabili separabili

( ) αβ

dtdz

zzminus=sdot

+sdot2

1

La frazione a primo membro puograve essere scomposta col metodo dei coefficienti indeterminati ottenendo

( ) ( ) ( )( ) ( )

=

minus=+sdotminus

=

minus=

rArr

=

sdotminussdotsdotminus=

minus=

rArr

=sdot

=+sdot+sdotsdot

=+

=sdot+sdotsdot+sdot+sdot+sdotsdotsdot+sdot

=sdot++sdotsdot++sdotrArr+

++

+=+sdot

2

22

2

2

2

222

2

22

1

12

1

1

2

1

02

0

12

11

β

ββ

β

β

β

β

β

ββ

β

ββ

βββ

βββββ

A

C

B

A

BAC

AB

A

CBA

BA

zCzBzBAzAzA

zCzzBzAz

C

z

B

z

A

zz

Per cui lrsquointegrale fornisce

( ) ( ) ( ) intint int intint sdotminus=sdot

+

+sdot

+

+sdot=sdot

+sdot

dtdzz

Cdz

z

Bdz

z

Adz

zz αβββ

11

22

I controlli automatici ndash IIa parte 19

( )( )

αβαα

β

β

ααα

β

αα

αβ

α

αα

αβ

α

αββ

tyy

Cy

t

CtyCy

A

CtyC

yyA

Ct

y

C

yB

yA

Ct

z

CzBzA

minus=sdot

+

sdotminussdot

=rArr

=

=

+minus=sdot

minus

sdotminussdot

+minus=sdot

minus

minus

minussdot

+minus=

minus

sdot+

minussdot

+minus=+

minus+sdot+sdot

1ln1

00

0

1ln

lnln

lnln

lnln

2

α

β

α

β

α

β2

1ln sdotminus=sdot

+

sdotminus t

yy

Ovvero

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdot+

sdotminus

21ln

2

(5)

Mentre se le condizioni iniziali fossero diverse avremmo

αβαα

β

β

111

2

1

11ln

1

tyyC

yy

tt+

sdot+

sdotminussdot=rArr

=

=

Ossia

+

sdot+

sdotminussdot+minus=

sdot+

sdotminussdot

αβαα

β

βαβαα

β

β

111

221ln

11ln

1 tyytyy

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β 22

1

111ln1ln sdotminus=

sdot+

sdot+

sdotminusminus

sdot+

sdotminus tt

yyyy

ininininininQA

Kt

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdotsdotsdot+

sdot+

sdotminusminus

sdot+

sdotminus

221ln1ln

22

1

11 (5b)

Poicheacute la (5) non fornisce esplicitamente lrsquoaltezza h in funzione del tempo t egrave possibile approssimare il logaritmo del primo membro mediante espansione in serie Avremo allora

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) suminfin

=

minus=minus

+sdot

minus

minusminussdot

minus

minussdot

minus

minusminus=minus

+sdot++sdot+sdot+=

1

2

2

2

1ln

01

1

201

1

01

101ln1ln

02

000

n

n

n

n

n

n

n

xx

n

xxxx

n

xf

xfxffxf

I termini nella sommatoria sono decrescenti (si ricordi che il fattore in

Q

hKx

sdot

= egrave minore di 1 in

quanto rappresenta il rapporto tra la portata uscente e quella in ingresso al serbatoio) Limitando lrsquoespansione in serie ai primi tre termini non nulli e sostituendo in (5)

I controlli automatici ndash IIa parte 20

ininin

ininininin

QA

Kt

Q

hhK

Q

hK

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

sdotsdot

sdotcong

sdot

sdotsdot+

sdot

sdot

sdotsdot

sdotminuscongsdot

+

sdot

sdotminus

sdot

sdotminus

sdotminus

232

232

2

3

3

2

2

2

3

33

2

2

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotcong

sdotsdot+sdot

sdot

sdot

23

21

2

2

2

2

in

out

in

Q

QA

Qth

+

sdotsdotcong

1

1 (5c)

Dove col simbolo outQ si egrave indicata la portata media uscente ovvero

0

3

2hKQ

outsdotsdot=

La (5c) puograve essere ulteriormente semplificata espandendo in serie anche il fattore

in

out

Q

Q+1

1

( ) ( )

01

1

01

1

01

1

1

1

1

1 2

32+sdot

+

+sdot

+

minus

+

=

+

=

+

xxx

Q

Q

in

out

E trascurando i termini con esponente maggiore di 1 (in

out

Q

Q egrave minore di 1)

in

out

in

outQ

Q

Q

Qminuscong

+

1

1

1

Per cui la (5c) diventa

A

QQt

Q

Q

A

Qth outin

in

outinminus

sdot=

minussdotsdotcong 1 (6)

I controlli automatici ndash IIa parte 21

Appendice 2 Integrazione dellrsquoequazione di bilancio per un controllore PI

Come visto il bilancio di materia sul serbatoio in presenza di controllo proporzionale integrale porta a

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

ydout

I

cc=sdot

sdot

+sdot+

τ2

2

(11)

La soluzione generale y(t) della suddetta equazione si ottiene sommando ad una sua soluzione particolare y0(t) la soluzione generale della equazione omogenea associata

02

2

=sdot

sdot

+sdot+ yA

K

dt

dy

A

K

dt

yd

I

cc

τ

Poicheacute A

Qout (il termine a secondo membro della (1)) egrave una costante e puograve essere considerato un

polinomio di grado zero rispetto alla variabile tempo t e I

c

A

K

τsdot

(il coefficiente della funzione

incognita y) egrave diverso da zero la teoria risolutiva di questo tipo di equazioni impone che anche la soluzione particolare y0(t) sia un polinomio di grado zero del tipo y0(t) = a e che deve rispettare la condizione

( )c

Iout

c

Ioutout

I

ccout

I

cc

K

Qty

K

Qa

A

Qa

A

K

A

K

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

yd

τ

τ

ττ

sdot=

sdot=rArr=sdot

sdot

+sdot+rArr=sdot

sdot

+sdot+

0

0

0

2

0

2

00

Lrsquoequazione caratteristica della equazione differenziale omogenea associata alla suddetta equazione egrave

02

=

sdot

+sdot+

I

cc

A

Kz

A

Kz

τ

Avremo allora in base al segno del discriminante di tale equazione Ideg caso 0gt∆

c

I

I

c

I

cc

I

cc

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

KsdotgtrArrgtrArr

sdotsdotgt

rArrgt

sdotsdotminus

4

4404

22

τ

τττ

2

4

2

21

I

ccc

A

K

A

K

A

K

zτsdot

sdotminus

plusmnminus

=

E lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave tztz

ececysdotsdot

sdot+sdot=21

21

IIdeg caso 0=∆

A

Kzz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

c

I

I

c

I

cc

I

cc

sdotminus==

sdot=rArr=rArrsdot

sdot=

rArr=

sdotsdotminus

2

44

404

21

22

τ

τττ

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave ( )tcceytz

sdot+sdotsdot=sdot

21

1 IIIdeg caso 0lt∆

βα

ττττ

sdotplusmn=

sdotltrArrltrArrsdot

sdotlt

rArrlt

sdotsdotminus

iz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

I

I

c

I

cc

I

cc

21

22

44

404

I controlli automatici ndash IIa parte 22

sdotsdotminus

minussdot=

sdotminus=

I

ccc

A

K

A

K

A

K

τβα 4

2

1

2

2

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata diventa ( ) ( )[ ]tctceyt

sdotsdot+sdotsdotsdot=sdot ββα

sincos21

Lrsquointegrale generale dellrsquoequazione completa (11) saragrave allora Ideg caso ( )tyececy

tztz

021

21+sdot+sdot=

sdotsdot

IIdeg caso ( ) ( )tytcceytz

021

1+sdot+sdotsdot=

sdot

IIIdeg caso ( ) ( )[ ] ( )tytctceyt

021sincos +sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdot

ββα

Lrsquointegrale particolare ottenuto ponendo le condizioni al contorno ( ) ( )0

000 hyy == saragrave

Ideg caso

( )

( )

=sdot+sdot

sdotminus=+

rArr

=sdotsdot+sdotsdot=

=sdot

+sdot+sdot=

sdotsdot

sdotsdot

02211

21

0

0

22

0

11

0

2

0

1

21

21

0

00

hzczc

K

Qcc

hezcezcy

K

Qececy

c

Iout

zz

c

Ioutzz ττ

minus

sdotsdot

+

=

sdotminus

minus

sdotsdot

+

minus=

rArr

=sdot+sdot

sdot+minus

sdotminusminus=

12

10

2

12

10

1

02212

21

zz

zK

Qh

c

K

Q

zz

zK

Qh

c

hzczK

Qc

K

Qcc

c

Iout

c

Ioutc

Iout

c

Iout

c

Iout

τ

τ

τ

τ

τ

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

τ

τ

Per cui ( ) tztz

ezcezchhtysdotsdot

sdotsdot+sdotsdot=minus=21

22110

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110

IIdeg caso

( ) ( )

( ) ( )

sdotsdot+=

sdotminus=

rArr

=+sdot

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot+sdotsdotsdot=

=sdot

+sdot+sdotsdot=

sdotsdot

sdot

c

Iout

c

Iout

c

Iout

zz

c

Ioutz

K

Qzhc

K

Qc

hccz

K

Qc

hceccezy

K

Qccey

τ

τ

ττ

102

1

0211

1

02

0

21

0

1

21

0

11

1

00

000

Per cui ( ) ( )

22110

11 cetccezhhtytztz

sdot+sdot+sdotsdotsdot=minus=sdotsdot

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot

IIIdeg caso

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

=sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=

=sdot

+sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdotsdot

sdot

021

0

21

0

21

0

0cos0sin0sin0cos0

00sin0cos0

hcceccey

K

Qccey

c

Iout

ββββββα

τββ

αα

α

I controlli automatici ndash IIa parte 23

sdotsdot+

=

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot

sdotminus=

β

τα

τ

βα

τ

c

Iout

c

Iout

c

Iout

K

Qh

c

K

Qc

hcc

K

Qc

0

2

1

021

1

Per cui ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhty tt

sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=minus=sdotsdot

ββββββααα

cossinsincos21210

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

I controlli automatici ndash IIa parte 4

Fig 2 - Effetto dellazione di un controllo integrale

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 5 10 15 20 25 30 35

tempo t

liv

ello

h

3 Nel caso in cui si consideri una portata uscente Qout gt 0 ovvero si voglia integrare

lrsquoequazione (3) per ottenere la funzione h(t) egrave evidente che la soluzione della suddetta

equazione diviene complicata per la presenza del termine non lineare h In tal caso una semplificazione puograve consistere nellrsquoutilizzare nel bilancio differenziale al posto della

portata istantanea Qout la portata media outQ (assunta costante) valutabile come

0

0

3

0003

2

2

3

11

0

0

hKh

Kh

hKh

Q

h

h

outsdotsdot=sdotsdot=sdotsdot= int

In tutti i calcoli per i diversi tipi di controllori (tranne che per quello On-Off dove lrsquointegrazione egrave stata eseguita in modo esatto) si egrave adottata questa ipotesi semplificativa

2 ndash Controllore On-Off

In questo schema il controllore agisce mantenendo costante la portata di ingresso (valvola completamente aperta) fino al momento in cui il livello h raggiunge il valore fissato di set-point h0 Dallrsquoequazione di bilancio (2) separando le variabili ed integrando

intint sdot=

t

in

h

dtA

Qdh

00

tA

Qh in

sdot= (4)

Il livello dellrsquoacqua quindi aumenteragrave in misura lineare col tempo tanto piugrave rapidamente quanto maggiore egrave la portata Qin Ponendo nella relazione su scritta come valore per h quello h0 del livello finale egrave possibile ricavare il tempo necessario affincheacute il serbatoio si riempia

in

oriempimentQ

Aht

sdot

=0

I controlli automatici ndash IIa parte 5

Se la portata in uscita Qout non egrave nulla (ma comunque inferiore a quella in ingresso) lrsquointegrazione della (3) fornisce2

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdot+

sdotminus

21ln

2

(5)

Il tempo di riempimento del serbatoio si ottiene ponendo nella (5) 0hh =

+

sdotminussdotsdot

sdotminus=

0

01ln

2h

Q

hK

K

Q

K

At

in

in

oriempiment

La (3) egrave una equazione differenziale non lineare e come giagrave detto per semplificarne la soluzione si puograve considerare costante la portata uscente Qout ponendo il suo valore uguale alla portata media

0

3

2hKQhKQ

outoutsdotsdot=congsdot=

ottenendo cosigrave come risultato finale dellrsquointegrazione

A

QQth outin

minus

sdotcong (6)

Diagrammando le (4) (5) e (6) otteniamo le figure 3 e 4 Dai due grafici si deduce che come egrave logico nel caso di portata uscente non nulla il tempo di riempimento del serbatoio si allunga e che sempre nel caso in cui Qout sia diverso da zero la linearizzazione della funzione h(t) (equazione (6)) comporta un errore trascurabile rispetto alla soluzione esatta data dalla (5) solo per bassi valori del rapporto Qout Qin

Fig 3 - Controllore On-Off QoutQin = 070

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

livello

h

Eq (4)

Eq (5)

Eq (6)

Set-Point

Le figure 3 e 4 tuttavia non sono rappresentative di ciograve che effettivamente succede sotto lrsquoazione di un controllore di questo tipo in presenza di una portata uscente Qout ne 0 Infatti una volta che il livello dellrsquoacqua abbia raggiunto il valore di set-point il controllore chiude la valvola di alimentazione In presenza di una predita il serbatoio inizieragrave a svuotarsi con una velocitagrave deducibile dallrsquoequazione di bilancio fornita da 2 Si veda a tale proposito la dimostrazione nellrsquoAppendice ndeg 1

I controlli automatici ndash IIa parte 6

h

dhdt

A

K

dt

dhAhK

dt

dhAQ

out=sdotminusrArrsdot=sdotminusrArrsdot=minus

Relazione che inegrata tra lrsquoistante t1 e lrsquoistante t fornisce

( )2

11

211

minussdot

sdotminus=rArr=sdotminus intint tt

A

Khh

h

dhdt

A

Kh

h

t

t

(7)

Quando il livello saragrave sceso al di sotto del punto di intervento il controllore riapre la valvola di alimentazione ed il livello risale nuovamente con una legge data dallrsquoeq (5b) dellrsquoAppendice 1 Lrsquointera sequenza di svuotamentiriempimenti egrave raffigurata nella fig 5

Fig 4 - Controllore On-Off QoutQin = 030

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

livello

h

Eq (4)

Eq (5)

Eq (6)

Set-Point

Fig 5 - Effetto dellazione di un controllore On-Off per Qout ne 0

0

10

20

30

40

50

60

0 20 40 60 80 100 120

tempo t

liv

ello

h Serie1

Set Point

Punto Intervento

I controlli automatici ndash IIa parte 7

3 - Controllore proporzionale P

Se la portata in ingresso egrave proporzionale allrsquoerrore ε ( )hhKKQ

ccinminussdot=sdot=

0ε

Definito come la differenza tra il livello h0 dellrsquoacqua allrsquoinizio (prima del disturbo) e quello h allrsquoistante t lrsquoequazione (2) diventa

( )( )dt

hhdA

dt

dhAhhK

c

minus

sdotminus=sdot=minussdot0

0

Separando le variabili ed integrando tra il tempo 0 e lrsquoistante t

( )( )

( )

( )

0

0

0

0

00

0

lnln0

0

0

0

h

hhe

h

hhxt

A

K

x

dxdt

A

K

hh

hhddt

A

K

tA

K

hh

h

c

hh

h

t

cc

c minus=

minus==sdotminus

=sdotminusrArrminus

minus=sdotminus

sdotminus

minus

minus

intint

minussdot=

sdotminus tA

Kc

ehh 10

(8)

Se la portata in uscita non fosse nulla (lo sciacquone ha un difetto di chiusura) avremmo invece

( )dt

dhAQhhK

outcsdot=minusminussdot

0

Ovvero

( )( )[ ]

dt

QhhKd

K

AQhhK outc

c

outc

minusminussdot

sdotminus=minusminussdot0

0

Separando le variabili ed integrando ( )[ ]( )

( ) ( )

( )

outc

outct

A

K

outc

outcQhhK

QhK

c

outc

outcc

QhK

QhhKe

QhK

QhhKxt

A

K

QhhK

QhhKddt

A

K

c

outc

outc

minussdot

minusminussdot=

minussdot

minusminussdot==sdotminus

minusminussdot

minusminussdot=sdotminus

sdotminus

minusminussdot

minussdot

0

0

0

0

0

0

lnln0

0

minussdot

minus=

sdotminus tA

K

c

out

c

eK

Qhh 10

(9)

Le seguenti figure 6 7 e 8 rappresentano il diagramma delle eq (8) e (9) su scritte per diversi valori della costante Kc (guadagno o sensibilitagrave) del controllore Il calcolo porta a concludere che in presenza di un disturbo permanente il controllo proporzionale non consente al livello h di tornare al valore di set-point h0 Il livello tenderagrave ad un nuovo valore di regime che saragrave tanto piugrave vicino ad h0 quanto piugrave elevato saragrave il valore di Kc I grafici permettono anche di notare come allrsquoaumentare del guadagno lrsquoazione del controllore proporzionale sia sempre piugrave rapida e piugrave simile a quella di un controllore On-Off

I controlli automatici ndash IIa parte 8

Fig 6 - Controllore Proporzionale P

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h

Kc = 01

Kc = 02

Kc = 1

Set Point

Fig 7 - Controllore Proporzionale P

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h Qout = 0 Kc = 01

Qout gt 0 Kc = 01

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 9

Fig 8 - Controllore Proporzionale P

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

live

llo

h

Qout gt 0 Kc = 01

Qout gt 0 Kc = 02

Qout gt 0 Kc = 1

Set Point

4 - Controllore proporzionale-derivativo PD

In presenza di un controllo PD proporzionale derivativo lrsquoequazione di bilancio (relativa a una portata uscente Qout diversa da zero e costante) diventa

( )( )

dt

dhAQ

dt

hhdKhhK

outDccsdot=minus

minussdotsdot+minussdot

0

0τ

Ossia

( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )[ ]

dt

QhhKd

K

AKQhhK

dt

hhdAKQhhK

dt

hhdAQ

dt

hhdKhhK

outc

c

Dc

outc

Dcoutc

outDcc

minusminussdotsdot

+sdotminus=minusminussdot

minussdot+sdotminus=minusminussdot

minussdotminus=minus

minussdotsdot+minussdot

0

0

0

0

00

0

τ

τ

τ

Separando le variabili ed integrando

( )( )[ ]( )

( )( ) ( )

( ) ( )

outc

outct

AK

K

outc

outcQhhK

QhKDc

c

outc

outc

Dc

c

QhK

QhhKe

QhK

QhhKxt

AK

K

QhhK

QhhKddt

AK

K

Dc

c

outc

outc

minussdot

minusminussdot

=

minussdot

minusminussdot==sdot

+sdot

minus

minusminussdot

minusminussdot

=sdot

+sdot

minus

sdot

+sdot

minus

minusminussdot

minussdot

0

0

0

0

0

0

lnln0

0

τ

τ

τ

( )

minussdot

minus=

sdot

+sdot

minus tAK

K

c

out Dc

c

eK

Qhh

τ

10

(10)

Egrave evidente che ponendo nella (10) Qout = 0 si ottiene la risposta del sistema allrsquoazione del controllo PD per una portata uscente nulla

I controlli automatici ndash IIa parte 10

Le figure 9 10 ed 11 rappresentano il grafico della eq (10) per diversi valori delle costanti Kc e τD Come si puograve notare la presenza dellrsquoazione derivativa peggiora la risposta (h tenderagrave piugrave lentamente verso il valore di regime) e non serve ad eliminare lrsquooffset Il vantaggio dellrsquoimpiego di questo tipo di controllo sta perograve nel fatto che egrave possibile utilizzare valori elevati di Kc (riducendo lrsquooffset a regime) senza per questo avere risposte troppo brusche (vedi fig 11)

Fig 9 - Controllore PD

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h

τD = 0

τD = 5

τD = 10

Set Point

Fig 10 - Controllore PD

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h Qout gt 0 τD = 0

Qout gt 0 τD = 10

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 11

Fig 11 - Controllore PD

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h

Qout gt 0 Kc = 01 τD = 10

Qout gt 0 Kc = 02 τD = 10

Qout gt 0 Kc = 1 τD = 10

Set Point

5 - Controllore proporzionale-integrale PI

Nel caso di controllore PI proporzionale integrale il bilancio di materia diventa

( ) ( )( )dt

hhdAQdthh

KhhK

out

t

I

c

c

minus

sdotminus=minussdotminussdot+minussdot int 0

0

00

τ

Nellrsquoespressione su scritta ponendo

( ) ( )int sdotminus=

t

dthhty0

0

Avremo

2

2

dt

ydAQy

K

dt

dyK

out

I

c

csdotminus=minussdot+sdot

τ

Ovvero

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

ydout

I

cc=sdot

sdot

+sdot+

τ2

2

(11)

Che egrave unrsquoequazione differenziale lineare del secondo ordine (non omogenea) a coefficienti costanti Lrsquoequazione caratteristica della omogenea associata alla suddetta equazione egrave

02

=

sdot

+sdot+

I

cc

A

Kz

A

Kz

τ

Chiamando z1 e z2 le radici di tale equazione caratteristica la soluzione3 della (11) saragrave

Ideg caso rArrgtsdot

sdotminus

=∆ 04

2

I

cc

A

K

A

K

τc

I

K

Asdotgt 4τ

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110 (12)

Dove

3 Vedasi a tale proposito lrsquoAppendice ndeg 2

I controlli automatici ndash IIa parte 12

2

4

2

21

I

ccc

A

K

A

K

A

K

zτsdot

sdotminus

plusmnminus

=

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

ττ

IIdeg caso rArr=sdot

sdotminus

=∆ 04

2

I

cc

A

K

A

K

τc

I

K

Asdot= 4τ

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot (13)

Dove

A

Kzz

c

sdot

minus==

221

c

Iout

c

Iout

K

Qzhc

K

Qc

ττ sdotsdot+=

sdotminus=

1021

IIIdeg caso rArrltsdot

sdotminus

=∆ 04

2

I

cc

A

K

A

K

τc

I

K

Asdotlt 4τ

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

(14)

Dove

sdotsdotminus

minussdot=

sdotminus=sdotplusmn=

I

ccc

A

K

A

K

A

K iz

τβαβα 4

2

1

2

2

21

β

τα

τc

Iout

c

IoutK

Qh

c K

Qc

sdotsdot+

=sdot

minus=

0

21

Dal grafico della risposta di un controllore di questo tipo si deduce che 1 lrsquoazione integrale elimina lrsquooffset in altri termini pur in presenza di un disturbo

permanente il livello ritorna sempre al valore di set-point 2 la risposta del sistema tende perograve a diventare di tipo oscillatorio anche se tale tendenza egrave

meno pronunciata quando Qout ne 0 con un pendolarismo strettamente legato al valore delle costanti Kc e τI In ogni caso al diminuire dellrsquoampiezza dellrsquooscillazione aumenta il tempo affincheacute la variabile controllata si stabilizzi sul valore di regime

3 in questo tipo di controllo esiste un problema di scelta del valore ottimale da assegnare alle costanti suddette per rendere la risposta del sistema la migliore possibile

I controlli automatici ndash IIa parte 13

Fig 12 - Controllore PI

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout = 0 KcτIA gt 4

Qout = 0 KcτIA = 4

Qout = 0 KcτIA lt 4

Set Point

Fig 13 - Controllore PI

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout gt 0 KcτIA gt 4

Qout gt 0 KcτIA = 4

Qout gt 0 KcτIA lt 4

Set Point

6 - Controllore proporzionale-integrale-derivativo PID

Per un controllore proporzionale integrale derivativo PID il bilancio sul serbatoio si scrive

( ) ( )( ) ( )

dt

hhdAQ

dt

hhdKdthh

KhhK

outDc

t

I

c

c

minus

sdotminus=minus

minus

sdotsdot+sdotminussdot+minussdot int 00

0

00τ

τ

E con la solita posizione

I controlli automatici ndash IIa parte 14

( ) ( )int sdotminus=

t

dthhty0

0

Avremo

2

2

2

2

dt

ydAQ

dt

ydKy

K

dt

dyK

outDc

I

c

csdotminus=minussdotsdot+sdot+sdot τ

τ

Ovvero

( ) AK

Qy

AK

K

dt

dy

AK

K

dt

yd

Dc

out

DcI

c

Dc

c

+sdot

=sdot

+sdotsdot

+sdot

+sdot

+

ττττ2

2

(15)

Sono possibili tre casi (la dimostrazione viene tralasciata percheacute del tutto identica al caso del controllore PI con le uniche differenze legate alle espressioni del discriminante della equazione caratteristica e del termine noto dellrsquoequazione completa)

Ideg caso ( )

rArrgt+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdotgt

c

DI

K

Aττ 4

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110 (12)

Dove

( )

2

4

2

21

AK

K

AK

K

AK

K

zDcI

c

Dc

c

Dc

c

+sdotsdotsdotminus

+sdotplusmn

+sdotminus

=ττττ

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

τ

τ

IIdeg caso ( )

rArr=+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdot=

c

DI

K

Aττ 4

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot (13)

Dove

( )AK

Kzz

Dc

c

+sdotsdot

minus==

τ221

sdotsdot+=

sdotminus=

c

Iout

c

Iout

K

Qzhc

K

Qc

τ

τ

102

1

IIIdeg caso ( )

rArrlt+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdotlt

c

DI

K

Aττ 4

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

(14)

Dove

( ) ( )

+sdotsdotsdotminus

+sdotminussdot=

+sdotsdotminus=

sdotplusmn=

AK

K

AK

K

AK

K

iz

DcI

c

Dc

c

Dc

c

τττβ

τα

βα

42

1

2

2

21

I controlli automatici ndash IIa parte 15

sdotsdot+

=

sdotminus=

β

τα

τ

c

Iout

c

Iout

K

Qh

c

K

Qc

0

2

1

La risposta del sistema sottoposto ad unrsquoazione di controllo di questo tipo egrave diagrammata in fig 14 per Qout = 0

Fig 14 - Controllore PID

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) gt 4

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) = 4

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) lt 4

Set Point

Se ora disegniamo la risposta del controllore PID e la confrontiamo con quella di un controllore PI per un disturbo permanente otterremo un grafico del tipo illustrato nella fig 15

Fig 15 - Controllore PID vs PI

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h PID - KcτI(KcτD+A) lt 4

PI - KcτIA lt 4

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 16

Come si puograve notare la presenza dellrsquoazione derivativa comporta un peggioramento della risposta del sistema che diventa piugrave oscillatoria ossia con periodo e ampiezza dellrsquooscillazione maggiori Anche in questo caso inoltre come in quello giagrave discusso del controllore PI esiste un problema legato alla scelta ottimale dei valori dei parametri Kc τI e τD 7 ndash Conclusioni

Riassumendo dallrsquoanalisi delle risposte fornite dal sistema sotto lrsquoazione dei diversi controllori egrave possibile trarre le seguenti considerazioni

1 il controllore On-Off sarebbe in teoria il migliore tipo di controllo del nostro sciacquone per il suo basso costo e la sua maggiore efficienza in termini di tempo di riempimento Il suo limite principale egrave legato al fatto che la risposta al disturbo puograve essere molto brusca (a meno di non prendere opportune precauzioni) poicheacute la valvola di alimentazione si apre subito al massimo e rimane in questo stato fino al cessare dellrsquoazione del controllore Inoltre nel caso di perdite dovute a una non perfetta chiusura della valvola di scarico il livello dellrsquoacqua nel serbatoio oscilleragrave continuamente tra il valore impostato di set-point e il valore minimo al di sotto del quale il controllore si attiva

2 il controllore proporzionale (P) puograve essere reso simile al controllore On-Off aumentando il valore del guadagno Kc ma egrave anche possibile modulando opportunamente il valore di questa grandezza rendere piugrave ldquodolcerdquo la risposta del sistema ossia meno intensa la portata di adduzione dellrsquoacqua Tale portata andragrave comunque decrescendo nel tempo allungando i tempi di risposta rispetto al caso del sistema On-Off In effetti il controllore proporzionale egrave quello universalmente piugrave adoperato per questo tipo di processo anche se il suo limite principale risiede nellrsquoimpossibilitagrave di riportare il livello sul valore di set-point nel caso di disturbi protratti nel tempo (presenza di offset)

3 lrsquoaggiunta dellrsquoazione derivativa a quella proporzionale (PD) egrave inutile o addirittura dannosa in un processo discontinuo quale egrave il riempimento del nostro sciacquone In questo processo infatti il disturbo o ha una durata molto limitata (periodo nel quale il sistema di controllo in ogni caso non puograve agire date le caratteristiche costruttive dello sciacquone) o egrave costante nel tempo per cui lrsquoerrore ε egrave comunque una funzione monotona decrescente nel tempo Per tale motivo lrsquoaggiunta di questo tipo di controllo si traduce in un rallentamento della velocitagrave di riempimento e si puograve giustificare soltanto se contestualmente si incrementa il valore del guadagno proporzionale Kc in modo da avere una risposta rapida ma non troppo brusca e con basso offset

4 lrsquoazione integrale unita a quella proporzionale (PI) ha il grande vantaggio di eliminare lrsquooffset in presenza di disturbi costanti a spese perograve del comportamento oscillatorio assunto dal sistema Lrsquoopportuno settaggio dei parametri di controllo (Kc e τI) puograve comunque consentire di ottenere una risposta adeguata alle necessitagrave

5 non esiste alcun motivo realmente valido per utilizzare un controllo di tipo PID per il processo discontinuo in questione Oltre al maggior costo di questo tipo di apparecchiatura crsquoegrave da dire che lrsquoazione derivativa unita a quella integrale peggiora in modo molto marcato la risposta del sistema rallentandola e facendo aumentare lrsquoovershoot (mentre in un sistema continuo si otterrebbe lrsquoeffetto esattamente opposto) Lrsquounico vantaggio dellrsquoutilizzo contemporaneo dei tre meccanismi di controllo (proporzionale integrale e derivativo) si ha nella possibilitagrave di regolare tre parametri (Kc τI τD) al posto di uno solo (Kc) o due (Kc e τI oppure Kc e τD) per ottimizzare la risposta In effetti incrementando la costante Kc insieme al tempo derivativo τD egrave possibile rendere la risposta del sistema veloce (ma non troppo rapida come si avrebbe in un controllo di tipo puramente PI) e nello stesso tempo ridurne considerevolmente il comportamento oscillatorio (vedi fig 16 seguente)

I controlli automatici ndash IIa parte 17

Fig 16 - PI vs PID (KcPIDKcPI = 10)

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h PI

PID

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 18

Appendice 1 Integrazione dellrsquoequazione di bilancio per un controllore On ndash Off

Data lrsquoequazione

dt

dhAhKQ

insdot=sdotminus (3)

Eseguendo la sostituzione

dhdyyhyhy =sdotsdotrArr=rArr= 22

avremo

A

K

yA

Q

dt

dy

dt

dyyAyKQ

in

in

sdot

minus

sdotsdot

=

sdotsdotsdot=sdotminus

22

2

Ovvero ponendo

A

K

A

Qin

sdot

=

sdot

=

22βα

βαminus=

ydt

dy

E introducendo la nuova variabile

zdt

dz

z

dt

dz

zdt

dzy

dt

dy

dt

dy

ydt

dz

zy

yz

=sdot

+sdotminus

sdot

+sdotminus=sdotminus=rArrsdotminus=

+=rArrminus=

2

22

2

1

1

β

α

α

β

α

αα

α

β

αβ

α

Abbiamo trasformato lrsquoequazione originaria in una a variabili separabili

( ) αβ

dtdz

zzminus=sdot

+sdot2

1

La frazione a primo membro puograve essere scomposta col metodo dei coefficienti indeterminati ottenendo

( ) ( ) ( )( ) ( )

=

minus=+sdotminus

=

minus=

rArr

=

sdotminussdotsdotminus=

minus=

rArr

=sdot

=+sdot+sdotsdot

=+

=sdot+sdotsdot+sdot+sdot+sdotsdotsdot+sdot

=sdot++sdotsdot++sdotrArr+

++

+=+sdot

2

22

2

2

2

222

2

22

1

12

1

1

2

1

02

0

12

11

β

ββ

β

β

β

β

β

ββ

β

ββ

βββ

βββββ

A

C

B

A

BAC

AB

A

CBA

BA

zCzBzBAzAzA

zCzzBzAz

C

z

B

z

A

zz

Per cui lrsquointegrale fornisce

( ) ( ) ( ) intint int intint sdotminus=sdot

+

+sdot

+

+sdot=sdot

+sdot

dtdzz

Cdz

z

Bdz

z

Adz

zz αβββ

11

22

I controlli automatici ndash IIa parte 19

( )( )

αβαα

β

β

ααα

β

αα

αβ

α

αα

αβ

α

αββ

tyy

Cy

t

CtyCy

A

CtyC

yyA

Ct

y

C

yB

yA

Ct

z

CzBzA

minus=sdot

+

sdotminussdot

=rArr

=

=

+minus=sdot

minus

sdotminussdot

+minus=sdot

minus

minus

minussdot

+minus=

minus

sdot+

minussdot

+minus=+

minus+sdot+sdot

1ln1

00

0

1ln

lnln

lnln

lnln

2

α

β

α

β

α

β2

1ln sdotminus=sdot

+

sdotminus t

yy

Ovvero

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdot+

sdotminus

21ln

2

(5)

Mentre se le condizioni iniziali fossero diverse avremmo

αβαα

β

β

111

2

1

11ln

1

tyyC

yy

tt+

sdot+

sdotminussdot=rArr

=

=

Ossia

+

sdot+

sdotminussdot+minus=

sdot+

sdotminussdot

αβαα

β

βαβαα

β

β

111

221ln

11ln

1 tyytyy

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β 22

1

111ln1ln sdotminus=

sdot+

sdot+

sdotminusminus

sdot+

sdotminus tt

yyyy

ininininininQA

Kt

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdotsdotsdot+

sdot+

sdotminusminus

sdot+

sdotminus

221ln1ln

22

1

11 (5b)

Poicheacute la (5) non fornisce esplicitamente lrsquoaltezza h in funzione del tempo t egrave possibile approssimare il logaritmo del primo membro mediante espansione in serie Avremo allora

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) suminfin

=

minus=minus

+sdot

minus

minusminussdot

minus

minussdot

minus

minusminus=minus

+sdot++sdot+sdot+=

1

2

2

2

1ln

01

1

201

1

01

101ln1ln

02

000

n

n

n

n

n

n

n

xx

n

xxxx

n

xf

xfxffxf

I termini nella sommatoria sono decrescenti (si ricordi che il fattore in

Q

hKx

sdot

= egrave minore di 1 in

quanto rappresenta il rapporto tra la portata uscente e quella in ingresso al serbatoio) Limitando lrsquoespansione in serie ai primi tre termini non nulli e sostituendo in (5)

I controlli automatici ndash IIa parte 20

ininin

ininininin

QA

Kt

Q

hhK

Q

hK

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

sdotsdot

sdotcong

sdot

sdotsdot+

sdot

sdot

sdotsdot

sdotminuscongsdot

+

sdot

sdotminus

sdot

sdotminus

sdotminus

232

232

2

3

3

2

2

2

3

33

2

2

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotcong

sdotsdot+sdot

sdot

sdot

23

21

2

2

2

2

in

out

in

Q

QA

Qth

+

sdotsdotcong

1

1 (5c)

Dove col simbolo outQ si egrave indicata la portata media uscente ovvero

0

3

2hKQ

outsdotsdot=

La (5c) puograve essere ulteriormente semplificata espandendo in serie anche il fattore

in

out

Q

Q+1

1

( ) ( )

01

1

01

1

01

1

1

1

1

1 2

32+sdot

+

+sdot

+

minus

+

=

+

=

+

xxx

Q

Q

in

out

E trascurando i termini con esponente maggiore di 1 (in

out

Q

Q egrave minore di 1)

in

out

in

outQ

Q

Q

Qminuscong

+

1

1

1

Per cui la (5c) diventa

A

QQt

Q

Q

A

Qth outin

in

outinminus

sdot=

minussdotsdotcong 1 (6)

I controlli automatici ndash IIa parte 21

Appendice 2 Integrazione dellrsquoequazione di bilancio per un controllore PI

Come visto il bilancio di materia sul serbatoio in presenza di controllo proporzionale integrale porta a

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

ydout

I

cc=sdot

sdot

+sdot+

τ2

2

(11)

La soluzione generale y(t) della suddetta equazione si ottiene sommando ad una sua soluzione particolare y0(t) la soluzione generale della equazione omogenea associata

02

2

=sdot

sdot

+sdot+ yA

K

dt

dy

A

K

dt

yd

I

cc

τ

Poicheacute A

Qout (il termine a secondo membro della (1)) egrave una costante e puograve essere considerato un

polinomio di grado zero rispetto alla variabile tempo t e I

c

A

K

τsdot

(il coefficiente della funzione

incognita y) egrave diverso da zero la teoria risolutiva di questo tipo di equazioni impone che anche la soluzione particolare y0(t) sia un polinomio di grado zero del tipo y0(t) = a e che deve rispettare la condizione

( )c

Iout

c

Ioutout

I

ccout

I

cc

K

Qty

K

Qa

A

Qa

A

K

A

K

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

yd

τ

τ

ττ

sdot=

sdot=rArr=sdot

sdot

+sdot+rArr=sdot

sdot

+sdot+

0

0

0

2

0

2

00

Lrsquoequazione caratteristica della equazione differenziale omogenea associata alla suddetta equazione egrave

02

=

sdot

+sdot+

I

cc

A

Kz

A

Kz

τ

Avremo allora in base al segno del discriminante di tale equazione Ideg caso 0gt∆

c

I

I

c

I

cc

I

cc

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

KsdotgtrArrgtrArr

sdotsdotgt

rArrgt

sdotsdotminus

4

4404

22

τ

τττ

2

4

2

21

I

ccc

A

K

A

K

A

K

zτsdot

sdotminus

plusmnminus

=

E lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave tztz

ececysdotsdot

sdot+sdot=21

21

IIdeg caso 0=∆

A

Kzz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

c

I

I

c

I

cc

I

cc

sdotminus==

sdot=rArr=rArrsdot

sdot=

rArr=

sdotsdotminus

2

44

404

21

22

τ

τττ

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave ( )tcceytz

sdot+sdotsdot=sdot

21

1 IIIdeg caso 0lt∆

βα

ττττ

sdotplusmn=

sdotltrArrltrArrsdot

sdotlt

rArrlt

sdotsdotminus

iz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

I

I

c

I

cc

I

cc

21

22

44

404

I controlli automatici ndash IIa parte 22

sdotsdotminus

minussdot=

sdotminus=

I

ccc

A

K

A

K

A

K

τβα 4

2

1

2

2

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata diventa ( ) ( )[ ]tctceyt

sdotsdot+sdotsdotsdot=sdot ββα

sincos21

Lrsquointegrale generale dellrsquoequazione completa (11) saragrave allora Ideg caso ( )tyececy

tztz

021

21+sdot+sdot=

sdotsdot

IIdeg caso ( ) ( )tytcceytz

021

1+sdot+sdotsdot=

sdot

IIIdeg caso ( ) ( )[ ] ( )tytctceyt

021sincos +sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdot

ββα

Lrsquointegrale particolare ottenuto ponendo le condizioni al contorno ( ) ( )0

000 hyy == saragrave

Ideg caso

( )

( )

=sdot+sdot

sdotminus=+

rArr

=sdotsdot+sdotsdot=

=sdot

+sdot+sdot=

sdotsdot

sdotsdot

02211

21

0

0

22

0

11

0

2

0

1

21

21

0

00

hzczc

K

Qcc

hezcezcy

K

Qececy

c

Iout

zz

c

Ioutzz ττ

minus

sdotsdot

+

=

sdotminus

minus

sdotsdot

+

minus=

rArr

=sdot+sdot

sdot+minus

sdotminusminus=

12

10

2

12

10

1

02212

21

zz

zK

Qh

c

K

Q

zz

zK

Qh

c

hzczK

Qc

K

Qcc

c

Iout

c

Ioutc

Iout

c

Iout

c

Iout

τ

τ

τ

τ

τ

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

τ

τ

Per cui ( ) tztz

ezcezchhtysdotsdot

sdotsdot+sdotsdot=minus=21

22110

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110

IIdeg caso

( ) ( )

( ) ( )

sdotsdot+=

sdotminus=

rArr

=+sdot

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot+sdotsdotsdot=

=sdot

+sdot+sdotsdot=

sdotsdot

sdot

c

Iout

c

Iout

c

Iout

zz

c

Ioutz

K

Qzhc

K

Qc

hccz

K

Qc

hceccezy

K

Qccey

τ

τ

ττ

102

1

0211

1

02

0

21

0

1

21

0

11

1

00

000

Per cui ( ) ( )

22110

11 cetccezhhtytztz

sdot+sdot+sdotsdotsdot=minus=sdotsdot

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot

IIIdeg caso

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

=sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=

=sdot

+sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdotsdot

sdot

021

0

21

0

21

0

0cos0sin0sin0cos0

00sin0cos0

hcceccey

K

Qccey

c

Iout

ββββββα

τββ

αα

α

I controlli automatici ndash IIa parte 23

sdotsdot+

=

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot

sdotminus=

β

τα

τ

βα

τ

c

Iout

c

Iout

c

Iout

K

Qh

c

K

Qc

hcc

K

Qc

0

2

1

021

1

Per cui ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhty tt

sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=minus=sdotsdot

ββββββααα

cossinsincos21210

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

I controlli automatici ndash IIa parte 5

Se la portata in uscita Qout non egrave nulla (ma comunque inferiore a quella in ingresso) lrsquointegrazione della (3) fornisce2

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdot+

sdotminus

21ln

2

(5)

Il tempo di riempimento del serbatoio si ottiene ponendo nella (5) 0hh =

+

sdotminussdotsdot

sdotminus=

0

01ln

2h

Q

hK

K

Q

K

At

in

in

oriempiment

La (3) egrave una equazione differenziale non lineare e come giagrave detto per semplificarne la soluzione si puograve considerare costante la portata uscente Qout ponendo il suo valore uguale alla portata media

0

3

2hKQhKQ

outoutsdotsdot=congsdot=

ottenendo cosigrave come risultato finale dellrsquointegrazione

A

QQth outin

minus

sdotcong (6)

Diagrammando le (4) (5) e (6) otteniamo le figure 3 e 4 Dai due grafici si deduce che come egrave logico nel caso di portata uscente non nulla il tempo di riempimento del serbatoio si allunga e che sempre nel caso in cui Qout sia diverso da zero la linearizzazione della funzione h(t) (equazione (6)) comporta un errore trascurabile rispetto alla soluzione esatta data dalla (5) solo per bassi valori del rapporto Qout Qin

Fig 3 - Controllore On-Off QoutQin = 070

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

livello

h

Eq (4)

Eq (5)

Eq (6)

Set-Point

Le figure 3 e 4 tuttavia non sono rappresentative di ciograve che effettivamente succede sotto lrsquoazione di un controllore di questo tipo in presenza di una portata uscente Qout ne 0 Infatti una volta che il livello dellrsquoacqua abbia raggiunto il valore di set-point il controllore chiude la valvola di alimentazione In presenza di una predita il serbatoio inizieragrave a svuotarsi con una velocitagrave deducibile dallrsquoequazione di bilancio fornita da 2 Si veda a tale proposito la dimostrazione nellrsquoAppendice ndeg 1

I controlli automatici ndash IIa parte 6

h

dhdt

A

K

dt

dhAhK

dt

dhAQ

out=sdotminusrArrsdot=sdotminusrArrsdot=minus

Relazione che inegrata tra lrsquoistante t1 e lrsquoistante t fornisce

( )2

11

211

minussdot

sdotminus=rArr=sdotminus intint tt

A

Khh

h

dhdt

A

Kh

h

t

t

(7)

Quando il livello saragrave sceso al di sotto del punto di intervento il controllore riapre la valvola di alimentazione ed il livello risale nuovamente con una legge data dallrsquoeq (5b) dellrsquoAppendice 1 Lrsquointera sequenza di svuotamentiriempimenti egrave raffigurata nella fig 5

Fig 4 - Controllore On-Off QoutQin = 030

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

livello

h

Eq (4)

Eq (5)

Eq (6)

Set-Point

Fig 5 - Effetto dellazione di un controllore On-Off per Qout ne 0

0

10

20

30

40

50

60

0 20 40 60 80 100 120

tempo t

liv

ello

h Serie1

Set Point

Punto Intervento

I controlli automatici ndash IIa parte 7

3 - Controllore proporzionale P

Se la portata in ingresso egrave proporzionale allrsquoerrore ε ( )hhKKQ

ccinminussdot=sdot=

0ε

Definito come la differenza tra il livello h0 dellrsquoacqua allrsquoinizio (prima del disturbo) e quello h allrsquoistante t lrsquoequazione (2) diventa

( )( )dt

hhdA

dt

dhAhhK

c

minus

sdotminus=sdot=minussdot0

0

Separando le variabili ed integrando tra il tempo 0 e lrsquoistante t

( )( )

( )

( )

0

0

0

0

00

0

lnln0

0

0

0

h

hhe

h

hhxt

A

K

x

dxdt

A

K

hh

hhddt

A

K

tA

K

hh

h

c

hh

h

t

cc

c minus=

minus==sdotminus

=sdotminusrArrminus

minus=sdotminus

sdotminus

minus

minus

intint

minussdot=

sdotminus tA

Kc

ehh 10

(8)

Se la portata in uscita non fosse nulla (lo sciacquone ha un difetto di chiusura) avremmo invece

( )dt

dhAQhhK

outcsdot=minusminussdot

0

Ovvero

( )( )[ ]

dt

QhhKd

K

AQhhK outc

c

outc

minusminussdot

sdotminus=minusminussdot0

0

Separando le variabili ed integrando ( )[ ]( )

( ) ( )

( )

outc

outct

A

K

outc

outcQhhK

QhK

c

outc

outcc

QhK

QhhKe

QhK

QhhKxt

A

K

QhhK

QhhKddt

A

K

c

outc

outc

minussdot

minusminussdot=

minussdot

minusminussdot==sdotminus

minusminussdot

minusminussdot=sdotminus

sdotminus

minusminussdot

minussdot

0

0

0

0

0

0

lnln0

0

minussdot

minus=

sdotminus tA

K

c

out

c

eK

Qhh 10

(9)

Le seguenti figure 6 7 e 8 rappresentano il diagramma delle eq (8) e (9) su scritte per diversi valori della costante Kc (guadagno o sensibilitagrave) del controllore Il calcolo porta a concludere che in presenza di un disturbo permanente il controllo proporzionale non consente al livello h di tornare al valore di set-point h0 Il livello tenderagrave ad un nuovo valore di regime che saragrave tanto piugrave vicino ad h0 quanto piugrave elevato saragrave il valore di Kc I grafici permettono anche di notare come allrsquoaumentare del guadagno lrsquoazione del controllore proporzionale sia sempre piugrave rapida e piugrave simile a quella di un controllore On-Off

I controlli automatici ndash IIa parte 8

Fig 6 - Controllore Proporzionale P

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h

Kc = 01

Kc = 02

Kc = 1

Set Point

Fig 7 - Controllore Proporzionale P

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h Qout = 0 Kc = 01

Qout gt 0 Kc = 01

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 9

Fig 8 - Controllore Proporzionale P

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

live

llo

h

Qout gt 0 Kc = 01

Qout gt 0 Kc = 02

Qout gt 0 Kc = 1

Set Point

4 - Controllore proporzionale-derivativo PD

In presenza di un controllo PD proporzionale derivativo lrsquoequazione di bilancio (relativa a una portata uscente Qout diversa da zero e costante) diventa

( )( )

dt

dhAQ

dt

hhdKhhK

outDccsdot=minus

minussdotsdot+minussdot

0

0τ

Ossia

( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )[ ]

dt

QhhKd

K

AKQhhK

dt

hhdAKQhhK

dt

hhdAQ

dt

hhdKhhK

outc

c

Dc

outc

Dcoutc

outDcc

minusminussdotsdot

+sdotminus=minusminussdot

minussdot+sdotminus=minusminussdot

minussdotminus=minus

minussdotsdot+minussdot

0

0

0

0

00

0

τ

τ

τ

Separando le variabili ed integrando

( )( )[ ]( )

( )( ) ( )

( ) ( )

outc

outct

AK

K

outc

outcQhhK

QhKDc

c

outc

outc

Dc

c

QhK

QhhKe

QhK

QhhKxt

AK

K

QhhK

QhhKddt

AK

K

Dc

c

outc

outc

minussdot

minusminussdot

=

minussdot

minusminussdot==sdot

+sdot

minus

minusminussdot

minusminussdot

=sdot

+sdot

minus

sdot

+sdot

minus

minusminussdot

minussdot

0

0

0

0

0

0

lnln0

0

τ

τ

τ

( )

minussdot

minus=

sdot

+sdot

minus tAK

K

c

out Dc

c

eK

Qhh

τ

10

(10)

Egrave evidente che ponendo nella (10) Qout = 0 si ottiene la risposta del sistema allrsquoazione del controllo PD per una portata uscente nulla

I controlli automatici ndash IIa parte 10

Le figure 9 10 ed 11 rappresentano il grafico della eq (10) per diversi valori delle costanti Kc e τD Come si puograve notare la presenza dellrsquoazione derivativa peggiora la risposta (h tenderagrave piugrave lentamente verso il valore di regime) e non serve ad eliminare lrsquooffset Il vantaggio dellrsquoimpiego di questo tipo di controllo sta perograve nel fatto che egrave possibile utilizzare valori elevati di Kc (riducendo lrsquooffset a regime) senza per questo avere risposte troppo brusche (vedi fig 11)

Fig 9 - Controllore PD

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h

τD = 0

τD = 5

τD = 10

Set Point

Fig 10 - Controllore PD

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h Qout gt 0 τD = 0

Qout gt 0 τD = 10

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 11

Fig 11 - Controllore PD

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h

Qout gt 0 Kc = 01 τD = 10

Qout gt 0 Kc = 02 τD = 10

Qout gt 0 Kc = 1 τD = 10

Set Point

5 - Controllore proporzionale-integrale PI

Nel caso di controllore PI proporzionale integrale il bilancio di materia diventa

( ) ( )( )dt

hhdAQdthh

KhhK

out

t

I

c

c

minus

sdotminus=minussdotminussdot+minussdot int 0

0

00

τ

Nellrsquoespressione su scritta ponendo

( ) ( )int sdotminus=

t

dthhty0

0

Avremo

2

2

dt

ydAQy

K

dt

dyK

out

I

c

csdotminus=minussdot+sdot

τ

Ovvero

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

ydout

I

cc=sdot

sdot

+sdot+

τ2

2

(11)

Che egrave unrsquoequazione differenziale lineare del secondo ordine (non omogenea) a coefficienti costanti Lrsquoequazione caratteristica della omogenea associata alla suddetta equazione egrave

02

=

sdot

+sdot+

I

cc

A

Kz

A

Kz

τ

Chiamando z1 e z2 le radici di tale equazione caratteristica la soluzione3 della (11) saragrave

Ideg caso rArrgtsdot

sdotminus

=∆ 04

2

I

cc

A

K

A

K

τc

I

K

Asdotgt 4τ

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110 (12)

Dove

3 Vedasi a tale proposito lrsquoAppendice ndeg 2

I controlli automatici ndash IIa parte 12

2

4

2

21

I

ccc

A

K

A

K

A

K

zτsdot

sdotminus

plusmnminus

=

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

ττ

IIdeg caso rArr=sdot

sdotminus

=∆ 04

2

I

cc

A

K

A

K

τc

I

K

Asdot= 4τ

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot (13)

Dove

A

Kzz

c

sdot

minus==

221

c

Iout

c

Iout

K

Qzhc

K

Qc

ττ sdotsdot+=

sdotminus=

1021

IIIdeg caso rArrltsdot

sdotminus

=∆ 04

2

I

cc

A

K

A

K

τc

I

K

Asdotlt 4τ

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

(14)

Dove

sdotsdotminus

minussdot=

sdotminus=sdotplusmn=

I

ccc

A

K

A

K

A

K iz

τβαβα 4

2

1

2

2

21

β

τα

τc

Iout

c

IoutK

Qh

c K

Qc

sdotsdot+

=sdot

minus=

0

21

Dal grafico della risposta di un controllore di questo tipo si deduce che 1 lrsquoazione integrale elimina lrsquooffset in altri termini pur in presenza di un disturbo

permanente il livello ritorna sempre al valore di set-point 2 la risposta del sistema tende perograve a diventare di tipo oscillatorio anche se tale tendenza egrave

meno pronunciata quando Qout ne 0 con un pendolarismo strettamente legato al valore delle costanti Kc e τI In ogni caso al diminuire dellrsquoampiezza dellrsquooscillazione aumenta il tempo affincheacute la variabile controllata si stabilizzi sul valore di regime

3 in questo tipo di controllo esiste un problema di scelta del valore ottimale da assegnare alle costanti suddette per rendere la risposta del sistema la migliore possibile

I controlli automatici ndash IIa parte 13

Fig 12 - Controllore PI

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout = 0 KcτIA gt 4

Qout = 0 KcτIA = 4

Qout = 0 KcτIA lt 4

Set Point

Fig 13 - Controllore PI

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout gt 0 KcτIA gt 4

Qout gt 0 KcτIA = 4

Qout gt 0 KcτIA lt 4

Set Point

6 - Controllore proporzionale-integrale-derivativo PID

Per un controllore proporzionale integrale derivativo PID il bilancio sul serbatoio si scrive

( ) ( )( ) ( )

dt

hhdAQ

dt

hhdKdthh

KhhK

outDc

t

I

c

c

minus

sdotminus=minus

minus

sdotsdot+sdotminussdot+minussdot int 00

0

00τ

τ

E con la solita posizione

I controlli automatici ndash IIa parte 14

( ) ( )int sdotminus=

t

dthhty0

0

Avremo

2

2

2

2

dt

ydAQ

dt

ydKy

K

dt

dyK

outDc

I

c

csdotminus=minussdotsdot+sdot+sdot τ

τ

Ovvero

( ) AK

Qy

AK

K

dt

dy

AK

K

dt

yd

Dc

out

DcI

c

Dc

c

+sdot

=sdot

+sdotsdot

+sdot

+sdot

+

ττττ2

2

(15)

Sono possibili tre casi (la dimostrazione viene tralasciata percheacute del tutto identica al caso del controllore PI con le uniche differenze legate alle espressioni del discriminante della equazione caratteristica e del termine noto dellrsquoequazione completa)

Ideg caso ( )

rArrgt+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdotgt

c

DI

K

Aττ 4

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110 (12)

Dove

( )

2

4

2

21

AK

K

AK

K

AK

K

zDcI

c

Dc

c

Dc

c

+sdotsdotsdotminus

+sdotplusmn

+sdotminus

=ττττ

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

τ

τ

IIdeg caso ( )

rArr=+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdot=

c

DI

K

Aττ 4

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot (13)

Dove

( )AK

Kzz

Dc

c

+sdotsdot

minus==

τ221

sdotsdot+=

sdotminus=

c

Iout

c

Iout

K

Qzhc

K

Qc

τ

τ

102

1

IIIdeg caso ( )

rArrlt+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdotlt

c

DI

K

Aττ 4

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

(14)

Dove

( ) ( )

+sdotsdotsdotminus

+sdotminussdot=

+sdotsdotminus=

sdotplusmn=

AK

K

AK

K

AK

K

iz

DcI

c

Dc

c

Dc

c

τττβ

τα

βα

42

1

2

2

21

I controlli automatici ndash IIa parte 15

sdotsdot+

=

sdotminus=

β

τα

τ

c

Iout

c

Iout

K

Qh

c

K

Qc

0

2

1

La risposta del sistema sottoposto ad unrsquoazione di controllo di questo tipo egrave diagrammata in fig 14 per Qout = 0

Fig 14 - Controllore PID

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) gt 4

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) = 4

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) lt 4

Set Point

Se ora disegniamo la risposta del controllore PID e la confrontiamo con quella di un controllore PI per un disturbo permanente otterremo un grafico del tipo illustrato nella fig 15

Fig 15 - Controllore PID vs PI

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h PID - KcτI(KcτD+A) lt 4

PI - KcτIA lt 4

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 16

Come si puograve notare la presenza dellrsquoazione derivativa comporta un peggioramento della risposta del sistema che diventa piugrave oscillatoria ossia con periodo e ampiezza dellrsquooscillazione maggiori Anche in questo caso inoltre come in quello giagrave discusso del controllore PI esiste un problema legato alla scelta ottimale dei valori dei parametri Kc τI e τD 7 ndash Conclusioni

Riassumendo dallrsquoanalisi delle risposte fornite dal sistema sotto lrsquoazione dei diversi controllori egrave possibile trarre le seguenti considerazioni

1 il controllore On-Off sarebbe in teoria il migliore tipo di controllo del nostro sciacquone per il suo basso costo e la sua maggiore efficienza in termini di tempo di riempimento Il suo limite principale egrave legato al fatto che la risposta al disturbo puograve essere molto brusca (a meno di non prendere opportune precauzioni) poicheacute la valvola di alimentazione si apre subito al massimo e rimane in questo stato fino al cessare dellrsquoazione del controllore Inoltre nel caso di perdite dovute a una non perfetta chiusura della valvola di scarico il livello dellrsquoacqua nel serbatoio oscilleragrave continuamente tra il valore impostato di set-point e il valore minimo al di sotto del quale il controllore si attiva

2 il controllore proporzionale (P) puograve essere reso simile al controllore On-Off aumentando il valore del guadagno Kc ma egrave anche possibile modulando opportunamente il valore di questa grandezza rendere piugrave ldquodolcerdquo la risposta del sistema ossia meno intensa la portata di adduzione dellrsquoacqua Tale portata andragrave comunque decrescendo nel tempo allungando i tempi di risposta rispetto al caso del sistema On-Off In effetti il controllore proporzionale egrave quello universalmente piugrave adoperato per questo tipo di processo anche se il suo limite principale risiede nellrsquoimpossibilitagrave di riportare il livello sul valore di set-point nel caso di disturbi protratti nel tempo (presenza di offset)

3 lrsquoaggiunta dellrsquoazione derivativa a quella proporzionale (PD) egrave inutile o addirittura dannosa in un processo discontinuo quale egrave il riempimento del nostro sciacquone In questo processo infatti il disturbo o ha una durata molto limitata (periodo nel quale il sistema di controllo in ogni caso non puograve agire date le caratteristiche costruttive dello sciacquone) o egrave costante nel tempo per cui lrsquoerrore ε egrave comunque una funzione monotona decrescente nel tempo Per tale motivo lrsquoaggiunta di questo tipo di controllo si traduce in un rallentamento della velocitagrave di riempimento e si puograve giustificare soltanto se contestualmente si incrementa il valore del guadagno proporzionale Kc in modo da avere una risposta rapida ma non troppo brusca e con basso offset

4 lrsquoazione integrale unita a quella proporzionale (PI) ha il grande vantaggio di eliminare lrsquooffset in presenza di disturbi costanti a spese perograve del comportamento oscillatorio assunto dal sistema Lrsquoopportuno settaggio dei parametri di controllo (Kc e τI) puograve comunque consentire di ottenere una risposta adeguata alle necessitagrave

5 non esiste alcun motivo realmente valido per utilizzare un controllo di tipo PID per il processo discontinuo in questione Oltre al maggior costo di questo tipo di apparecchiatura crsquoegrave da dire che lrsquoazione derivativa unita a quella integrale peggiora in modo molto marcato la risposta del sistema rallentandola e facendo aumentare lrsquoovershoot (mentre in un sistema continuo si otterrebbe lrsquoeffetto esattamente opposto) Lrsquounico vantaggio dellrsquoutilizzo contemporaneo dei tre meccanismi di controllo (proporzionale integrale e derivativo) si ha nella possibilitagrave di regolare tre parametri (Kc τI τD) al posto di uno solo (Kc) o due (Kc e τI oppure Kc e τD) per ottimizzare la risposta In effetti incrementando la costante Kc insieme al tempo derivativo τD egrave possibile rendere la risposta del sistema veloce (ma non troppo rapida come si avrebbe in un controllo di tipo puramente PI) e nello stesso tempo ridurne considerevolmente il comportamento oscillatorio (vedi fig 16 seguente)

I controlli automatici ndash IIa parte 17

Fig 16 - PI vs PID (KcPIDKcPI = 10)

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h PI

PID

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 18

Appendice 1 Integrazione dellrsquoequazione di bilancio per un controllore On ndash Off

Data lrsquoequazione

dt

dhAhKQ

insdot=sdotminus (3)

Eseguendo la sostituzione

dhdyyhyhy =sdotsdotrArr=rArr= 22

avremo

A

K

yA

Q

dt

dy

dt

dyyAyKQ

in

in

sdot

minus

sdotsdot

=

sdotsdotsdot=sdotminus

22

2

Ovvero ponendo

A

K

A

Qin

sdot

=

sdot

=

22βα

βαminus=

ydt

dy

E introducendo la nuova variabile

zdt

dz

z

dt

dz

zdt

dzy

dt

dy

dt

dy

ydt

dz

zy

yz

=sdot

+sdotminus

sdot

+sdotminus=sdotminus=rArrsdotminus=

+=rArrminus=

2

22

2

1

1

β

α

α

β

α

αα

α

β

αβ

α

Abbiamo trasformato lrsquoequazione originaria in una a variabili separabili

( ) αβ

dtdz

zzminus=sdot

+sdot2

1

La frazione a primo membro puograve essere scomposta col metodo dei coefficienti indeterminati ottenendo

( ) ( ) ( )( ) ( )

=

minus=+sdotminus

=

minus=

rArr

=

sdotminussdotsdotminus=

minus=

rArr

=sdot

=+sdot+sdotsdot

=+

=sdot+sdotsdot+sdot+sdot+sdotsdotsdot+sdot

=sdot++sdotsdot++sdotrArr+

++

+=+sdot

2

22

2

2

2

222

2

22

1

12

1

1

2

1

02

0

12

11

β

ββ

β

β

β

β

β

ββ

β

ββ

βββ

βββββ

A

C

B

A

BAC

AB

A

CBA

BA

zCzBzBAzAzA

zCzzBzAz

C

z

B

z

A

zz

Per cui lrsquointegrale fornisce

( ) ( ) ( ) intint int intint sdotminus=sdot

+

+sdot

+

+sdot=sdot

+sdot

dtdzz

Cdz

z

Bdz

z

Adz

zz αβββ

11

22

I controlli automatici ndash IIa parte 19

( )( )

αβαα

β

β

ααα

β

αα

αβ

α

αα

αβ

α

αββ

tyy

Cy

t

CtyCy

A

CtyC

yyA

Ct

y

C

yB

yA

Ct

z

CzBzA

minus=sdot

+

sdotminussdot

=rArr

=

=

+minus=sdot

minus

sdotminussdot

+minus=sdot

minus

minus

minussdot

+minus=

minus

sdot+

minussdot

+minus=+

minus+sdot+sdot

1ln1

00

0

1ln

lnln

lnln

lnln

2

α

β

α

β

α

β2

1ln sdotminus=sdot

+

sdotminus t

yy

Ovvero

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdot+

sdotminus

21ln

2

(5)

Mentre se le condizioni iniziali fossero diverse avremmo

αβαα

β

β

111

2

1

11ln

1

tyyC

yy

tt+

sdot+

sdotminussdot=rArr

=

=

Ossia

+

sdot+

sdotminussdot+minus=

sdot+

sdotminussdot

αβαα

β

βαβαα

β

β

111

221ln

11ln

1 tyytyy

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β 22

1

111ln1ln sdotminus=

sdot+

sdot+

sdotminusminus

sdot+

sdotminus tt

yyyy

ininininininQA

Kt

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdotsdotsdot+

sdot+

sdotminusminus

sdot+

sdotminus

221ln1ln

22

1

11 (5b)

Poicheacute la (5) non fornisce esplicitamente lrsquoaltezza h in funzione del tempo t egrave possibile approssimare il logaritmo del primo membro mediante espansione in serie Avremo allora

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) suminfin

=

minus=minus

+sdot

minus

minusminussdot

minus

minussdot

minus

minusminus=minus

+sdot++sdot+sdot+=

1

2

2

2

1ln

01

1

201

1

01

101ln1ln

02

000

n

n

n

n

n

n

n

xx

n

xxxx

n

xf

xfxffxf

I termini nella sommatoria sono decrescenti (si ricordi che il fattore in

Q

hKx

sdot

= egrave minore di 1 in

quanto rappresenta il rapporto tra la portata uscente e quella in ingresso al serbatoio) Limitando lrsquoespansione in serie ai primi tre termini non nulli e sostituendo in (5)

I controlli automatici ndash IIa parte 20

ininin

ininininin

QA

Kt

Q

hhK

Q

hK

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

sdotsdot

sdotcong

sdot

sdotsdot+

sdot

sdot

sdotsdot

sdotminuscongsdot

+

sdot

sdotminus

sdot

sdotminus

sdotminus

232

232

2

3

3

2

2

2

3

33

2

2

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotcong

sdotsdot+sdot

sdot

sdot

23

21

2

2

2

2

in

out

in

Q

QA

Qth

+

sdotsdotcong

1

1 (5c)

Dove col simbolo outQ si egrave indicata la portata media uscente ovvero

0

3

2hKQ

outsdotsdot=

La (5c) puograve essere ulteriormente semplificata espandendo in serie anche il fattore

in

out

Q

Q+1

1

( ) ( )

01

1

01

1

01

1

1

1

1

1 2

32+sdot

+

+sdot

+

minus

+

=

+

=

+

xxx

Q

Q

in

out

E trascurando i termini con esponente maggiore di 1 (in

out

Q

Q egrave minore di 1)

in

out

in

outQ

Q

Q

Qminuscong

+

1

1

1

Per cui la (5c) diventa

A

QQt

Q

Q

A

Qth outin

in

outinminus

sdot=

minussdotsdotcong 1 (6)

I controlli automatici ndash IIa parte 21

Appendice 2 Integrazione dellrsquoequazione di bilancio per un controllore PI

Come visto il bilancio di materia sul serbatoio in presenza di controllo proporzionale integrale porta a

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

ydout

I

cc=sdot

sdot

+sdot+

τ2

2

(11)

La soluzione generale y(t) della suddetta equazione si ottiene sommando ad una sua soluzione particolare y0(t) la soluzione generale della equazione omogenea associata

02

2

=sdot

sdot

+sdot+ yA

K

dt

dy

A

K

dt

yd

I

cc

τ

Poicheacute A

Qout (il termine a secondo membro della (1)) egrave una costante e puograve essere considerato un

polinomio di grado zero rispetto alla variabile tempo t e I

c

A

K

τsdot

(il coefficiente della funzione

incognita y) egrave diverso da zero la teoria risolutiva di questo tipo di equazioni impone che anche la soluzione particolare y0(t) sia un polinomio di grado zero del tipo y0(t) = a e che deve rispettare la condizione

( )c

Iout

c

Ioutout

I

ccout

I

cc

K

Qty

K

Qa

A

Qa

A

K

A

K

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

yd

τ

τ

ττ

sdot=

sdot=rArr=sdot

sdot

+sdot+rArr=sdot

sdot

+sdot+

0

0

0

2

0

2

00

Lrsquoequazione caratteristica della equazione differenziale omogenea associata alla suddetta equazione egrave

02

=

sdot

+sdot+

I

cc

A

Kz

A

Kz

τ

Avremo allora in base al segno del discriminante di tale equazione Ideg caso 0gt∆

c

I

I

c

I

cc

I

cc

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

KsdotgtrArrgtrArr

sdotsdotgt

rArrgt

sdotsdotminus

4

4404

22

τ

τττ

2

4

2

21

I

ccc

A

K

A

K

A

K

zτsdot

sdotminus

plusmnminus

=

E lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave tztz

ececysdotsdot

sdot+sdot=21

21

IIdeg caso 0=∆

A

Kzz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

c

I

I

c

I

cc

I

cc

sdotminus==

sdot=rArr=rArrsdot

sdot=

rArr=

sdotsdotminus

2

44

404

21

22

τ

τττ

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave ( )tcceytz

sdot+sdotsdot=sdot

21

1 IIIdeg caso 0lt∆

βα

ττττ

sdotplusmn=

sdotltrArrltrArrsdot

sdotlt

rArrlt

sdotsdotminus

iz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

I

I

c

I

cc

I

cc

21

22

44

404

I controlli automatici ndash IIa parte 22

sdotsdotminus

minussdot=

sdotminus=

I

ccc

A

K

A

K

A

K

τβα 4

2

1

2

2

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata diventa ( ) ( )[ ]tctceyt

sdotsdot+sdotsdotsdot=sdot ββα

sincos21

Lrsquointegrale generale dellrsquoequazione completa (11) saragrave allora Ideg caso ( )tyececy

tztz

021

21+sdot+sdot=

sdotsdot

IIdeg caso ( ) ( )tytcceytz

021

1+sdot+sdotsdot=

sdot

IIIdeg caso ( ) ( )[ ] ( )tytctceyt

021sincos +sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdot

ββα

Lrsquointegrale particolare ottenuto ponendo le condizioni al contorno ( ) ( )0

000 hyy == saragrave

Ideg caso

( )

( )

=sdot+sdot

sdotminus=+

rArr

=sdotsdot+sdotsdot=

=sdot

+sdot+sdot=

sdotsdot

sdotsdot

02211

21

0

0

22

0

11

0

2

0

1

21

21

0

00

hzczc

K

Qcc

hezcezcy

K

Qececy

c

Iout

zz

c

Ioutzz ττ

minus

sdotsdot

+

=

sdotminus

minus

sdotsdot

+

minus=

rArr

=sdot+sdot

sdot+minus

sdotminusminus=

12

10

2

12

10

1

02212

21

zz

zK

Qh

c

K

Q

zz

zK

Qh

c

hzczK

Qc

K

Qcc

c

Iout

c

Ioutc

Iout

c

Iout

c

Iout

τ

τ

τ

τ

τ

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

τ

τ

Per cui ( ) tztz

ezcezchhtysdotsdot

sdotsdot+sdotsdot=minus=21

22110

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110

IIdeg caso

( ) ( )

( ) ( )

sdotsdot+=

sdotminus=

rArr

=+sdot

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot+sdotsdotsdot=

=sdot

+sdot+sdotsdot=

sdotsdot

sdot

c

Iout

c

Iout

c

Iout

zz

c

Ioutz

K

Qzhc

K

Qc

hccz

K

Qc

hceccezy

K

Qccey

τ

τ

ττ

102

1

0211

1

02

0

21

0

1

21

0

11

1

00

000

Per cui ( ) ( )

22110

11 cetccezhhtytztz

sdot+sdot+sdotsdotsdot=minus=sdotsdot

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot

IIIdeg caso

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

=sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=

=sdot

+sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdotsdot

sdot

021

0

21

0

21

0

0cos0sin0sin0cos0

00sin0cos0

hcceccey

K

Qccey

c

Iout

ββββββα

τββ

αα

α

I controlli automatici ndash IIa parte 23

sdotsdot+

=

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot

sdotminus=

β

τα

τ

βα

τ

c

Iout

c

Iout

c

Iout

K

Qh

c

K

Qc

hcc

K

Qc

0

2

1

021

1

Per cui ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhty tt

sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=minus=sdotsdot

ββββββααα

cossinsincos21210

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

I controlli automatici ndash IIa parte 6

h

dhdt

A

K

dt

dhAhK

dt

dhAQ

out=sdotminusrArrsdot=sdotminusrArrsdot=minus

Relazione che inegrata tra lrsquoistante t1 e lrsquoistante t fornisce

( )2

11

211

minussdot

sdotminus=rArr=sdotminus intint tt

A

Khh

h

dhdt

A

Kh

h

t

t

(7)

Quando il livello saragrave sceso al di sotto del punto di intervento il controllore riapre la valvola di alimentazione ed il livello risale nuovamente con una legge data dallrsquoeq (5b) dellrsquoAppendice 1 Lrsquointera sequenza di svuotamentiriempimenti egrave raffigurata nella fig 5

Fig 4 - Controllore On-Off QoutQin = 030

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

livello

h

Eq (4)

Eq (5)

Eq (6)

Set-Point

Fig 5 - Effetto dellazione di un controllore On-Off per Qout ne 0

0

10

20

30

40

50

60

0 20 40 60 80 100 120

tempo t

liv

ello

h Serie1

Set Point

Punto Intervento

I controlli automatici ndash IIa parte 7

3 - Controllore proporzionale P

Se la portata in ingresso egrave proporzionale allrsquoerrore ε ( )hhKKQ

ccinminussdot=sdot=

0ε

Definito come la differenza tra il livello h0 dellrsquoacqua allrsquoinizio (prima del disturbo) e quello h allrsquoistante t lrsquoequazione (2) diventa

( )( )dt

hhdA

dt

dhAhhK

c

minus

sdotminus=sdot=minussdot0

0

Separando le variabili ed integrando tra il tempo 0 e lrsquoistante t

( )( )

( )

( )

0

0

0

0

00

0

lnln0

0

0

0

h

hhe

h

hhxt

A

K

x

dxdt

A

K

hh

hhddt

A

K

tA

K

hh

h

c

hh

h

t

cc

c minus=

minus==sdotminus

=sdotminusrArrminus

minus=sdotminus

sdotminus

minus

minus

intint

minussdot=

sdotminus tA

Kc

ehh 10

(8)

Se la portata in uscita non fosse nulla (lo sciacquone ha un difetto di chiusura) avremmo invece

( )dt

dhAQhhK

outcsdot=minusminussdot

0

Ovvero

( )( )[ ]

dt

QhhKd

K

AQhhK outc

c

outc

minusminussdot

sdotminus=minusminussdot0

0

Separando le variabili ed integrando ( )[ ]( )

( ) ( )

( )

outc

outct

A

K

outc

outcQhhK

QhK

c

outc

outcc

QhK

QhhKe

QhK

QhhKxt

A

K

QhhK

QhhKddt

A

K

c

outc

outc

minussdot

minusminussdot=

minussdot

minusminussdot==sdotminus

minusminussdot

minusminussdot=sdotminus

sdotminus

minusminussdot

minussdot

0

0

0

0

0

0

lnln0

0

minussdot

minus=

sdotminus tA

K

c

out

c

eK

Qhh 10

(9)

Le seguenti figure 6 7 e 8 rappresentano il diagramma delle eq (8) e (9) su scritte per diversi valori della costante Kc (guadagno o sensibilitagrave) del controllore Il calcolo porta a concludere che in presenza di un disturbo permanente il controllo proporzionale non consente al livello h di tornare al valore di set-point h0 Il livello tenderagrave ad un nuovo valore di regime che saragrave tanto piugrave vicino ad h0 quanto piugrave elevato saragrave il valore di Kc I grafici permettono anche di notare come allrsquoaumentare del guadagno lrsquoazione del controllore proporzionale sia sempre piugrave rapida e piugrave simile a quella di un controllore On-Off

I controlli automatici ndash IIa parte 8

Fig 6 - Controllore Proporzionale P

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h

Kc = 01

Kc = 02

Kc = 1

Set Point

Fig 7 - Controllore Proporzionale P

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h Qout = 0 Kc = 01

Qout gt 0 Kc = 01

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 9

Fig 8 - Controllore Proporzionale P

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

live

llo

h

Qout gt 0 Kc = 01

Qout gt 0 Kc = 02

Qout gt 0 Kc = 1

Set Point

4 - Controllore proporzionale-derivativo PD

In presenza di un controllo PD proporzionale derivativo lrsquoequazione di bilancio (relativa a una portata uscente Qout diversa da zero e costante) diventa

( )( )

dt

dhAQ

dt

hhdKhhK

outDccsdot=minus

minussdotsdot+minussdot

0

0τ

Ossia

( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )[ ]

dt

QhhKd

K

AKQhhK

dt

hhdAKQhhK

dt

hhdAQ

dt

hhdKhhK

outc

c

Dc

outc

Dcoutc

outDcc

minusminussdotsdot

+sdotminus=minusminussdot

minussdot+sdotminus=minusminussdot

minussdotminus=minus

minussdotsdot+minussdot

0

0

0

0

00

0

τ

τ

τ

Separando le variabili ed integrando

( )( )[ ]( )

( )( ) ( )

( ) ( )

outc

outct

AK

K

outc

outcQhhK

QhKDc

c

outc

outc

Dc

c

QhK

QhhKe

QhK

QhhKxt

AK

K

QhhK

QhhKddt

AK

K

Dc

c

outc

outc

minussdot

minusminussdot

=

minussdot

minusminussdot==sdot

+sdot

minus

minusminussdot

minusminussdot

=sdot

+sdot

minus

sdot

+sdot

minus

minusminussdot

minussdot

0

0

0

0

0

0

lnln0

0

τ

τ

τ

( )

minussdot

minus=

sdot

+sdot

minus tAK

K

c

out Dc

c

eK

Qhh

τ

10

(10)

Egrave evidente che ponendo nella (10) Qout = 0 si ottiene la risposta del sistema allrsquoazione del controllo PD per una portata uscente nulla

I controlli automatici ndash IIa parte 10

Le figure 9 10 ed 11 rappresentano il grafico della eq (10) per diversi valori delle costanti Kc e τD Come si puograve notare la presenza dellrsquoazione derivativa peggiora la risposta (h tenderagrave piugrave lentamente verso il valore di regime) e non serve ad eliminare lrsquooffset Il vantaggio dellrsquoimpiego di questo tipo di controllo sta perograve nel fatto che egrave possibile utilizzare valori elevati di Kc (riducendo lrsquooffset a regime) senza per questo avere risposte troppo brusche (vedi fig 11)

Fig 9 - Controllore PD

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h

τD = 0

τD = 5

τD = 10

Set Point

Fig 10 - Controllore PD

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h Qout gt 0 τD = 0

Qout gt 0 τD = 10

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 11

Fig 11 - Controllore PD

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h

Qout gt 0 Kc = 01 τD = 10

Qout gt 0 Kc = 02 τD = 10

Qout gt 0 Kc = 1 τD = 10

Set Point

5 - Controllore proporzionale-integrale PI

Nel caso di controllore PI proporzionale integrale il bilancio di materia diventa

( ) ( )( )dt

hhdAQdthh

KhhK

out

t

I

c

c

minus

sdotminus=minussdotminussdot+minussdot int 0

0

00

τ

Nellrsquoespressione su scritta ponendo

( ) ( )int sdotminus=

t

dthhty0

0

Avremo

2

2

dt

ydAQy

K

dt

dyK

out

I

c

csdotminus=minussdot+sdot

τ

Ovvero

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

ydout

I

cc=sdot

sdot

+sdot+

τ2

2

(11)

Che egrave unrsquoequazione differenziale lineare del secondo ordine (non omogenea) a coefficienti costanti Lrsquoequazione caratteristica della omogenea associata alla suddetta equazione egrave

02

=

sdot

+sdot+

I

cc

A

Kz

A

Kz

τ

Chiamando z1 e z2 le radici di tale equazione caratteristica la soluzione3 della (11) saragrave

Ideg caso rArrgtsdot

sdotminus

=∆ 04

2

I

cc

A

K

A

K

τc

I

K

Asdotgt 4τ

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110 (12)

Dove

3 Vedasi a tale proposito lrsquoAppendice ndeg 2

I controlli automatici ndash IIa parte 12

2

4

2

21

I

ccc

A

K

A

K

A

K

zτsdot

sdotminus

plusmnminus

=

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

ττ

IIdeg caso rArr=sdot

sdotminus

=∆ 04

2

I

cc

A

K

A

K

τc

I

K

Asdot= 4τ

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot (13)

Dove

A

Kzz

c

sdot

minus==

221

c

Iout

c

Iout

K

Qzhc

K

Qc

ττ sdotsdot+=

sdotminus=

1021

IIIdeg caso rArrltsdot

sdotminus

=∆ 04

2

I

cc

A

K

A

K

τc

I

K

Asdotlt 4τ

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

(14)

Dove

sdotsdotminus

minussdot=

sdotminus=sdotplusmn=

I

ccc

A

K

A

K

A

K iz

τβαβα 4

2

1

2

2

21

β

τα

τc

Iout

c

IoutK

Qh

c K

Qc

sdotsdot+

=sdot

minus=

0

21

Dal grafico della risposta di un controllore di questo tipo si deduce che 1 lrsquoazione integrale elimina lrsquooffset in altri termini pur in presenza di un disturbo

permanente il livello ritorna sempre al valore di set-point 2 la risposta del sistema tende perograve a diventare di tipo oscillatorio anche se tale tendenza egrave

meno pronunciata quando Qout ne 0 con un pendolarismo strettamente legato al valore delle costanti Kc e τI In ogni caso al diminuire dellrsquoampiezza dellrsquooscillazione aumenta il tempo affincheacute la variabile controllata si stabilizzi sul valore di regime

3 in questo tipo di controllo esiste un problema di scelta del valore ottimale da assegnare alle costanti suddette per rendere la risposta del sistema la migliore possibile

I controlli automatici ndash IIa parte 13

Fig 12 - Controllore PI

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout = 0 KcτIA gt 4

Qout = 0 KcτIA = 4

Qout = 0 KcτIA lt 4

Set Point

Fig 13 - Controllore PI

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout gt 0 KcτIA gt 4

Qout gt 0 KcτIA = 4

Qout gt 0 KcτIA lt 4

Set Point

6 - Controllore proporzionale-integrale-derivativo PID

Per un controllore proporzionale integrale derivativo PID il bilancio sul serbatoio si scrive

( ) ( )( ) ( )

dt

hhdAQ

dt

hhdKdthh

KhhK

outDc

t

I

c

c

minus

sdotminus=minus

minus

sdotsdot+sdotminussdot+minussdot int 00

0

00τ

τ

E con la solita posizione

I controlli automatici ndash IIa parte 14

( ) ( )int sdotminus=

t

dthhty0

0

Avremo

2

2

2

2

dt

ydAQ

dt

ydKy

K

dt

dyK

outDc

I

c

csdotminus=minussdotsdot+sdot+sdot τ

τ

Ovvero

( ) AK

Qy

AK

K

dt

dy

AK

K

dt

yd

Dc

out

DcI

c

Dc

c

+sdot

=sdot

+sdotsdot

+sdot

+sdot

+

ττττ2

2

(15)

Sono possibili tre casi (la dimostrazione viene tralasciata percheacute del tutto identica al caso del controllore PI con le uniche differenze legate alle espressioni del discriminante della equazione caratteristica e del termine noto dellrsquoequazione completa)

Ideg caso ( )

rArrgt+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdotgt

c

DI

K

Aττ 4

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110 (12)

Dove

( )

2

4

2

21

AK

K

AK

K

AK

K

zDcI

c

Dc

c

Dc

c

+sdotsdotsdotminus

+sdotplusmn

+sdotminus

=ττττ

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

τ

τ

IIdeg caso ( )

rArr=+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdot=

c

DI

K

Aττ 4

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot (13)

Dove

( )AK

Kzz

Dc

c

+sdotsdot

minus==

τ221

sdotsdot+=

sdotminus=

c

Iout

c

Iout

K

Qzhc

K

Qc

τ

τ

102

1

IIIdeg caso ( )

rArrlt+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdotlt

c

DI

K

Aττ 4

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

(14)

Dove

( ) ( )

+sdotsdotsdotminus

+sdotminussdot=

+sdotsdotminus=

sdotplusmn=

AK

K

AK

K

AK

K

iz

DcI

c

Dc

c

Dc

c

τττβ

τα

βα

42

1

2

2

21

I controlli automatici ndash IIa parte 15

sdotsdot+

=

sdotminus=

β

τα

τ

c

Iout

c

Iout

K

Qh

c

K

Qc

0

2

1

La risposta del sistema sottoposto ad unrsquoazione di controllo di questo tipo egrave diagrammata in fig 14 per Qout = 0

Fig 14 - Controllore PID

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) gt 4

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) = 4

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) lt 4

Set Point

Se ora disegniamo la risposta del controllore PID e la confrontiamo con quella di un controllore PI per un disturbo permanente otterremo un grafico del tipo illustrato nella fig 15

Fig 15 - Controllore PID vs PI

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h PID - KcτI(KcτD+A) lt 4

PI - KcτIA lt 4

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 16

Come si puograve notare la presenza dellrsquoazione derivativa comporta un peggioramento della risposta del sistema che diventa piugrave oscillatoria ossia con periodo e ampiezza dellrsquooscillazione maggiori Anche in questo caso inoltre come in quello giagrave discusso del controllore PI esiste un problema legato alla scelta ottimale dei valori dei parametri Kc τI e τD 7 ndash Conclusioni

Riassumendo dallrsquoanalisi delle risposte fornite dal sistema sotto lrsquoazione dei diversi controllori egrave possibile trarre le seguenti considerazioni

1 il controllore On-Off sarebbe in teoria il migliore tipo di controllo del nostro sciacquone per il suo basso costo e la sua maggiore efficienza in termini di tempo di riempimento Il suo limite principale egrave legato al fatto che la risposta al disturbo puograve essere molto brusca (a meno di non prendere opportune precauzioni) poicheacute la valvola di alimentazione si apre subito al massimo e rimane in questo stato fino al cessare dellrsquoazione del controllore Inoltre nel caso di perdite dovute a una non perfetta chiusura della valvola di scarico il livello dellrsquoacqua nel serbatoio oscilleragrave continuamente tra il valore impostato di set-point e il valore minimo al di sotto del quale il controllore si attiva

2 il controllore proporzionale (P) puograve essere reso simile al controllore On-Off aumentando il valore del guadagno Kc ma egrave anche possibile modulando opportunamente il valore di questa grandezza rendere piugrave ldquodolcerdquo la risposta del sistema ossia meno intensa la portata di adduzione dellrsquoacqua Tale portata andragrave comunque decrescendo nel tempo allungando i tempi di risposta rispetto al caso del sistema On-Off In effetti il controllore proporzionale egrave quello universalmente piugrave adoperato per questo tipo di processo anche se il suo limite principale risiede nellrsquoimpossibilitagrave di riportare il livello sul valore di set-point nel caso di disturbi protratti nel tempo (presenza di offset)

3 lrsquoaggiunta dellrsquoazione derivativa a quella proporzionale (PD) egrave inutile o addirittura dannosa in un processo discontinuo quale egrave il riempimento del nostro sciacquone In questo processo infatti il disturbo o ha una durata molto limitata (periodo nel quale il sistema di controllo in ogni caso non puograve agire date le caratteristiche costruttive dello sciacquone) o egrave costante nel tempo per cui lrsquoerrore ε egrave comunque una funzione monotona decrescente nel tempo Per tale motivo lrsquoaggiunta di questo tipo di controllo si traduce in un rallentamento della velocitagrave di riempimento e si puograve giustificare soltanto se contestualmente si incrementa il valore del guadagno proporzionale Kc in modo da avere una risposta rapida ma non troppo brusca e con basso offset

4 lrsquoazione integrale unita a quella proporzionale (PI) ha il grande vantaggio di eliminare lrsquooffset in presenza di disturbi costanti a spese perograve del comportamento oscillatorio assunto dal sistema Lrsquoopportuno settaggio dei parametri di controllo (Kc e τI) puograve comunque consentire di ottenere una risposta adeguata alle necessitagrave

5 non esiste alcun motivo realmente valido per utilizzare un controllo di tipo PID per il processo discontinuo in questione Oltre al maggior costo di questo tipo di apparecchiatura crsquoegrave da dire che lrsquoazione derivativa unita a quella integrale peggiora in modo molto marcato la risposta del sistema rallentandola e facendo aumentare lrsquoovershoot (mentre in un sistema continuo si otterrebbe lrsquoeffetto esattamente opposto) Lrsquounico vantaggio dellrsquoutilizzo contemporaneo dei tre meccanismi di controllo (proporzionale integrale e derivativo) si ha nella possibilitagrave di regolare tre parametri (Kc τI τD) al posto di uno solo (Kc) o due (Kc e τI oppure Kc e τD) per ottimizzare la risposta In effetti incrementando la costante Kc insieme al tempo derivativo τD egrave possibile rendere la risposta del sistema veloce (ma non troppo rapida come si avrebbe in un controllo di tipo puramente PI) e nello stesso tempo ridurne considerevolmente il comportamento oscillatorio (vedi fig 16 seguente)

I controlli automatici ndash IIa parte 17

Fig 16 - PI vs PID (KcPIDKcPI = 10)

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h PI

PID

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 18

Appendice 1 Integrazione dellrsquoequazione di bilancio per un controllore On ndash Off

Data lrsquoequazione

dt

dhAhKQ

insdot=sdotminus (3)

Eseguendo la sostituzione

dhdyyhyhy =sdotsdotrArr=rArr= 22

avremo

A

K

yA

Q

dt

dy

dt

dyyAyKQ

in

in

sdot

minus

sdotsdot

=

sdotsdotsdot=sdotminus

22

2

Ovvero ponendo

A

K

A

Qin

sdot

=

sdot

=

22βα

βαminus=

ydt

dy

E introducendo la nuova variabile

zdt

dz

z

dt

dz

zdt

dzy

dt

dy

dt

dy

ydt

dz

zy

yz

=sdot

+sdotminus

sdot

+sdotminus=sdotminus=rArrsdotminus=

+=rArrminus=

2

22

2

1

1

β

α

α

β

α

αα

α

β

αβ

α

Abbiamo trasformato lrsquoequazione originaria in una a variabili separabili

( ) αβ

dtdz

zzminus=sdot

+sdot2

1

La frazione a primo membro puograve essere scomposta col metodo dei coefficienti indeterminati ottenendo

( ) ( ) ( )( ) ( )

=

minus=+sdotminus

=

minus=

rArr

=

sdotminussdotsdotminus=

minus=

rArr

=sdot

=+sdot+sdotsdot

=+

=sdot+sdotsdot+sdot+sdot+sdotsdotsdot+sdot

=sdot++sdotsdot++sdotrArr+

++

+=+sdot

2

22

2

2

2

222

2

22

1

12

1

1

2

1

02

0

12

11

β

ββ

β

β

β

β

β

ββ

β

ββ

βββ

βββββ

A

C

B

A

BAC

AB

A

CBA

BA

zCzBzBAzAzA

zCzzBzAz

C

z

B

z

A

zz

Per cui lrsquointegrale fornisce

( ) ( ) ( ) intint int intint sdotminus=sdot

+

+sdot

+

+sdot=sdot

+sdot

dtdzz

Cdz

z

Bdz

z

Adz

zz αβββ

11

22

I controlli automatici ndash IIa parte 19

( )( )

αβαα

β

β

ααα

β

αα

αβ

α

αα

αβ

α

αββ

tyy

Cy

t

CtyCy

A

CtyC

yyA

Ct

y

C

yB

yA

Ct

z

CzBzA

minus=sdot

+

sdotminussdot

=rArr

=

=

+minus=sdot

minus

sdotminussdot

+minus=sdot

minus

minus

minussdot

+minus=

minus

sdot+

minussdot

+minus=+

minus+sdot+sdot

1ln1

00

0

1ln

lnln

lnln

lnln

2

α

β

α

β

α

β2

1ln sdotminus=sdot

+

sdotminus t

yy

Ovvero

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdot+

sdotminus

21ln

2

(5)

Mentre se le condizioni iniziali fossero diverse avremmo

αβαα

β

β

111

2

1

11ln

1

tyyC

yy

tt+

sdot+

sdotminussdot=rArr

=

=

Ossia

+

sdot+

sdotminussdot+minus=

sdot+

sdotminussdot

αβαα

β

βαβαα

β

β

111

221ln

11ln

1 tyytyy

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β 22

1

111ln1ln sdotminus=

sdot+

sdot+

sdotminusminus

sdot+

sdotminus tt

yyyy

ininininininQA

Kt

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdotsdotsdot+

sdot+

sdotminusminus

sdot+

sdotminus

221ln1ln

22

1

11 (5b)

Poicheacute la (5) non fornisce esplicitamente lrsquoaltezza h in funzione del tempo t egrave possibile approssimare il logaritmo del primo membro mediante espansione in serie Avremo allora

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) suminfin

=

minus=minus

+sdot

minus

minusminussdot

minus

minussdot

minus

minusminus=minus

+sdot++sdot+sdot+=

1

2

2

2

1ln

01

1

201

1

01

101ln1ln

02

000

n

n

n

n

n

n

n

xx

n

xxxx

n

xf

xfxffxf

I termini nella sommatoria sono decrescenti (si ricordi che il fattore in

Q

hKx

sdot

= egrave minore di 1 in

quanto rappresenta il rapporto tra la portata uscente e quella in ingresso al serbatoio) Limitando lrsquoespansione in serie ai primi tre termini non nulli e sostituendo in (5)

I controlli automatici ndash IIa parte 20

ininin

ininininin

QA

Kt

Q

hhK

Q

hK

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

sdotsdot

sdotcong

sdot

sdotsdot+

sdot

sdot

sdotsdot

sdotminuscongsdot

+

sdot

sdotminus

sdot

sdotminus

sdotminus

232

232

2

3

3

2

2

2

3

33

2

2

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotcong

sdotsdot+sdot

sdot

sdot

23

21

2

2

2

2

in

out

in

Q

QA

Qth

+

sdotsdotcong

1

1 (5c)

Dove col simbolo outQ si egrave indicata la portata media uscente ovvero

0

3

2hKQ

outsdotsdot=

La (5c) puograve essere ulteriormente semplificata espandendo in serie anche il fattore

in

out

Q

Q+1

1

( ) ( )

01

1

01

1

01

1

1

1

1

1 2

32+sdot

+

+sdot

+

minus

+

=

+

=

+

xxx

Q

Q

in

out

E trascurando i termini con esponente maggiore di 1 (in

out

Q

Q egrave minore di 1)

in

out

in

outQ

Q

Q

Qminuscong

+

1

1

1

Per cui la (5c) diventa

A

QQt

Q

Q

A

Qth outin

in

outinminus

sdot=

minussdotsdotcong 1 (6)

I controlli automatici ndash IIa parte 21

Appendice 2 Integrazione dellrsquoequazione di bilancio per un controllore PI

Come visto il bilancio di materia sul serbatoio in presenza di controllo proporzionale integrale porta a

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

ydout

I

cc=sdot

sdot

+sdot+

τ2

2

(11)

La soluzione generale y(t) della suddetta equazione si ottiene sommando ad una sua soluzione particolare y0(t) la soluzione generale della equazione omogenea associata

02

2

=sdot

sdot

+sdot+ yA

K

dt

dy

A

K

dt

yd

I

cc

τ

Poicheacute A

Qout (il termine a secondo membro della (1)) egrave una costante e puograve essere considerato un

polinomio di grado zero rispetto alla variabile tempo t e I

c

A

K

τsdot

(il coefficiente della funzione

incognita y) egrave diverso da zero la teoria risolutiva di questo tipo di equazioni impone che anche la soluzione particolare y0(t) sia un polinomio di grado zero del tipo y0(t) = a e che deve rispettare la condizione

( )c

Iout

c

Ioutout

I

ccout

I

cc

K

Qty

K

Qa

A

Qa

A

K

A

K

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

yd

τ

τ

ττ

sdot=

sdot=rArr=sdot

sdot

+sdot+rArr=sdot

sdot

+sdot+

0

0

0

2

0

2

00

Lrsquoequazione caratteristica della equazione differenziale omogenea associata alla suddetta equazione egrave

02

=

sdot

+sdot+

I

cc

A

Kz

A

Kz

τ

Avremo allora in base al segno del discriminante di tale equazione Ideg caso 0gt∆

c

I

I

c

I

cc

I

cc

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

KsdotgtrArrgtrArr

sdotsdotgt

rArrgt

sdotsdotminus

4

4404

22

τ

τττ

2

4

2

21

I

ccc

A

K

A

K

A

K

zτsdot

sdotminus

plusmnminus

=

E lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave tztz

ececysdotsdot

sdot+sdot=21

21

IIdeg caso 0=∆

A

Kzz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

c

I

I

c

I

cc

I

cc

sdotminus==

sdot=rArr=rArrsdot

sdot=

rArr=

sdotsdotminus

2

44

404

21

22

τ

τττ

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave ( )tcceytz

sdot+sdotsdot=sdot

21

1 IIIdeg caso 0lt∆

βα

ττττ

sdotplusmn=

sdotltrArrltrArrsdot

sdotlt

rArrlt

sdotsdotminus

iz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

I

I

c

I

cc

I

cc

21

22

44

404

I controlli automatici ndash IIa parte 22

sdotsdotminus

minussdot=

sdotminus=

I

ccc

A

K

A

K

A

K

τβα 4

2

1

2

2

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata diventa ( ) ( )[ ]tctceyt

sdotsdot+sdotsdotsdot=sdot ββα

sincos21

Lrsquointegrale generale dellrsquoequazione completa (11) saragrave allora Ideg caso ( )tyececy

tztz

021

21+sdot+sdot=

sdotsdot

IIdeg caso ( ) ( )tytcceytz

021

1+sdot+sdotsdot=

sdot

IIIdeg caso ( ) ( )[ ] ( )tytctceyt

021sincos +sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdot

ββα

Lrsquointegrale particolare ottenuto ponendo le condizioni al contorno ( ) ( )0

000 hyy == saragrave

Ideg caso

( )

( )

=sdot+sdot

sdotminus=+

rArr

=sdotsdot+sdotsdot=

=sdot

+sdot+sdot=

sdotsdot

sdotsdot

02211

21

0

0

22

0

11

0

2

0

1

21

21

0

00

hzczc

K

Qcc

hezcezcy

K

Qececy

c

Iout

zz

c

Ioutzz ττ

minus

sdotsdot

+

=

sdotminus

minus

sdotsdot

+

minus=

rArr

=sdot+sdot

sdot+minus

sdotminusminus=

12

10

2

12

10

1

02212

21

zz

zK

Qh

c

K

Q

zz

zK

Qh

c

hzczK

Qc

K

Qcc

c

Iout

c

Ioutc

Iout

c

Iout

c

Iout

τ

τ

τ

τ

τ

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

τ

τ

Per cui ( ) tztz

ezcezchhtysdotsdot

sdotsdot+sdotsdot=minus=21

22110

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110

IIdeg caso

( ) ( )

( ) ( )

sdotsdot+=

sdotminus=

rArr

=+sdot

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot+sdotsdotsdot=

=sdot

+sdot+sdotsdot=

sdotsdot

sdot

c

Iout

c

Iout

c

Iout

zz

c

Ioutz

K

Qzhc

K

Qc

hccz

K

Qc

hceccezy

K

Qccey

τ

τ

ττ

102

1

0211

1

02

0

21

0

1

21

0

11

1

00

000

Per cui ( ) ( )

22110

11 cetccezhhtytztz

sdot+sdot+sdotsdotsdot=minus=sdotsdot

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot

IIIdeg caso

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

=sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=

=sdot

+sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdotsdot

sdot

021

0

21

0

21

0

0cos0sin0sin0cos0

00sin0cos0

hcceccey

K

Qccey

c

Iout

ββββββα

τββ

αα

α

I controlli automatici ndash IIa parte 23

sdotsdot+

=

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot

sdotminus=

β

τα

τ

βα

τ

c

Iout

c

Iout

c

Iout

K

Qh

c

K

Qc

hcc

K

Qc

0

2

1

021

1

Per cui ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhty tt

sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=minus=sdotsdot

ββββββααα

cossinsincos21210

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

I controlli automatici ndash IIa parte 7

3 - Controllore proporzionale P

Se la portata in ingresso egrave proporzionale allrsquoerrore ε ( )hhKKQ

ccinminussdot=sdot=

0ε

Definito come la differenza tra il livello h0 dellrsquoacqua allrsquoinizio (prima del disturbo) e quello h allrsquoistante t lrsquoequazione (2) diventa

( )( )dt

hhdA

dt

dhAhhK

c

minus

sdotminus=sdot=minussdot0

0

Separando le variabili ed integrando tra il tempo 0 e lrsquoistante t

( )( )

( )

( )

0

0

0

0

00

0

lnln0

0

0

0

h

hhe

h

hhxt

A

K

x

dxdt

A

K

hh

hhddt

A

K

tA

K

hh

h

c

hh

h

t

cc

c minus=

minus==sdotminus

=sdotminusrArrminus

minus=sdotminus

sdotminus

minus

minus

intint

minussdot=

sdotminus tA

Kc

ehh 10

(8)

Se la portata in uscita non fosse nulla (lo sciacquone ha un difetto di chiusura) avremmo invece

( )dt

dhAQhhK

outcsdot=minusminussdot

0

Ovvero

( )( )[ ]

dt

QhhKd

K

AQhhK outc

c

outc

minusminussdot

sdotminus=minusminussdot0

0

Separando le variabili ed integrando ( )[ ]( )

( ) ( )

( )

outc

outct

A

K

outc

outcQhhK

QhK

c

outc

outcc

QhK

QhhKe

QhK

QhhKxt

A

K

QhhK

QhhKddt

A

K

c

outc

outc

minussdot

minusminussdot=

minussdot

minusminussdot==sdotminus

minusminussdot

minusminussdot=sdotminus

sdotminus

minusminussdot

minussdot

0

0

0

0

0

0

lnln0

0

minussdot

minus=

sdotminus tA

K

c

out

c

eK

Qhh 10

(9)

Le seguenti figure 6 7 e 8 rappresentano il diagramma delle eq (8) e (9) su scritte per diversi valori della costante Kc (guadagno o sensibilitagrave) del controllore Il calcolo porta a concludere che in presenza di un disturbo permanente il controllo proporzionale non consente al livello h di tornare al valore di set-point h0 Il livello tenderagrave ad un nuovo valore di regime che saragrave tanto piugrave vicino ad h0 quanto piugrave elevato saragrave il valore di Kc I grafici permettono anche di notare come allrsquoaumentare del guadagno lrsquoazione del controllore proporzionale sia sempre piugrave rapida e piugrave simile a quella di un controllore On-Off

I controlli automatici ndash IIa parte 8

Fig 6 - Controllore Proporzionale P

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h

Kc = 01

Kc = 02

Kc = 1

Set Point

Fig 7 - Controllore Proporzionale P

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h Qout = 0 Kc = 01

Qout gt 0 Kc = 01

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 9

Fig 8 - Controllore Proporzionale P

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

live

llo

h

Qout gt 0 Kc = 01

Qout gt 0 Kc = 02

Qout gt 0 Kc = 1

Set Point

4 - Controllore proporzionale-derivativo PD

In presenza di un controllo PD proporzionale derivativo lrsquoequazione di bilancio (relativa a una portata uscente Qout diversa da zero e costante) diventa

( )( )

dt

dhAQ

dt

hhdKhhK

outDccsdot=minus

minussdotsdot+minussdot

0

0τ

Ossia

( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )[ ]

dt

QhhKd

K

AKQhhK

dt

hhdAKQhhK

dt

hhdAQ

dt

hhdKhhK

outc

c

Dc

outc

Dcoutc

outDcc

minusminussdotsdot

+sdotminus=minusminussdot

minussdot+sdotminus=minusminussdot

minussdotminus=minus

minussdotsdot+minussdot

0

0

0

0

00

0

τ

τ

τ

Separando le variabili ed integrando

( )( )[ ]( )

( )( ) ( )

( ) ( )

outc

outct

AK

K

outc

outcQhhK

QhKDc

c

outc

outc

Dc

c

QhK

QhhKe

QhK

QhhKxt

AK

K

QhhK

QhhKddt

AK

K

Dc

c

outc

outc

minussdot

minusminussdot

=

minussdot

minusminussdot==sdot

+sdot

minus

minusminussdot

minusminussdot

=sdot

+sdot

minus

sdot

+sdot

minus

minusminussdot

minussdot

0

0

0

0

0

0

lnln0

0

τ

τ

τ

( )

minussdot

minus=

sdot

+sdot

minus tAK

K

c

out Dc

c

eK

Qhh

τ

10

(10)

Egrave evidente che ponendo nella (10) Qout = 0 si ottiene la risposta del sistema allrsquoazione del controllo PD per una portata uscente nulla

I controlli automatici ndash IIa parte 10

Le figure 9 10 ed 11 rappresentano il grafico della eq (10) per diversi valori delle costanti Kc e τD Come si puograve notare la presenza dellrsquoazione derivativa peggiora la risposta (h tenderagrave piugrave lentamente verso il valore di regime) e non serve ad eliminare lrsquooffset Il vantaggio dellrsquoimpiego di questo tipo di controllo sta perograve nel fatto che egrave possibile utilizzare valori elevati di Kc (riducendo lrsquooffset a regime) senza per questo avere risposte troppo brusche (vedi fig 11)

Fig 9 - Controllore PD

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h

τD = 0

τD = 5

τD = 10

Set Point

Fig 10 - Controllore PD

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h Qout gt 0 τD = 0

Qout gt 0 τD = 10

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 11

Fig 11 - Controllore PD

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h

Qout gt 0 Kc = 01 τD = 10

Qout gt 0 Kc = 02 τD = 10

Qout gt 0 Kc = 1 τD = 10

Set Point

5 - Controllore proporzionale-integrale PI

Nel caso di controllore PI proporzionale integrale il bilancio di materia diventa

( ) ( )( )dt

hhdAQdthh

KhhK

out

t

I

c

c

minus

sdotminus=minussdotminussdot+minussdot int 0

0

00

τ

Nellrsquoespressione su scritta ponendo

( ) ( )int sdotminus=

t

dthhty0

0

Avremo

2

2

dt

ydAQy

K

dt

dyK

out

I

c

csdotminus=minussdot+sdot

τ

Ovvero

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

ydout

I

cc=sdot

sdot

+sdot+

τ2

2

(11)

Che egrave unrsquoequazione differenziale lineare del secondo ordine (non omogenea) a coefficienti costanti Lrsquoequazione caratteristica della omogenea associata alla suddetta equazione egrave

02

=

sdot

+sdot+

I

cc

A

Kz

A

Kz

τ

Chiamando z1 e z2 le radici di tale equazione caratteristica la soluzione3 della (11) saragrave

Ideg caso rArrgtsdot

sdotminus

=∆ 04

2

I

cc

A

K

A

K

τc

I

K

Asdotgt 4τ

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110 (12)

Dove

3 Vedasi a tale proposito lrsquoAppendice ndeg 2

I controlli automatici ndash IIa parte 12

2

4

2

21

I

ccc

A

K

A

K

A

K

zτsdot

sdotminus

plusmnminus

=

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

ττ

IIdeg caso rArr=sdot

sdotminus

=∆ 04

2

I

cc

A

K

A

K

τc

I

K

Asdot= 4τ

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot (13)

Dove

A

Kzz

c

sdot

minus==

221

c

Iout

c

Iout

K

Qzhc

K

Qc

ττ sdotsdot+=

sdotminus=

1021

IIIdeg caso rArrltsdot

sdotminus

=∆ 04

2

I

cc

A

K

A

K

τc

I

K

Asdotlt 4τ

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

(14)

Dove

sdotsdotminus

minussdot=

sdotminus=sdotplusmn=

I

ccc

A

K

A

K

A

K iz

τβαβα 4

2

1

2

2

21

β

τα

τc

Iout

c

IoutK

Qh

c K

Qc

sdotsdot+

=sdot

minus=

0

21

Dal grafico della risposta di un controllore di questo tipo si deduce che 1 lrsquoazione integrale elimina lrsquooffset in altri termini pur in presenza di un disturbo

permanente il livello ritorna sempre al valore di set-point 2 la risposta del sistema tende perograve a diventare di tipo oscillatorio anche se tale tendenza egrave

meno pronunciata quando Qout ne 0 con un pendolarismo strettamente legato al valore delle costanti Kc e τI In ogni caso al diminuire dellrsquoampiezza dellrsquooscillazione aumenta il tempo affincheacute la variabile controllata si stabilizzi sul valore di regime

3 in questo tipo di controllo esiste un problema di scelta del valore ottimale da assegnare alle costanti suddette per rendere la risposta del sistema la migliore possibile

I controlli automatici ndash IIa parte 13

Fig 12 - Controllore PI

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout = 0 KcτIA gt 4

Qout = 0 KcτIA = 4

Qout = 0 KcτIA lt 4

Set Point

Fig 13 - Controllore PI

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout gt 0 KcτIA gt 4

Qout gt 0 KcτIA = 4

Qout gt 0 KcτIA lt 4

Set Point

6 - Controllore proporzionale-integrale-derivativo PID

Per un controllore proporzionale integrale derivativo PID il bilancio sul serbatoio si scrive

( ) ( )( ) ( )

dt

hhdAQ

dt

hhdKdthh

KhhK

outDc

t

I

c

c

minus

sdotminus=minus

minus

sdotsdot+sdotminussdot+minussdot int 00

0

00τ

τ

E con la solita posizione

I controlli automatici ndash IIa parte 14

( ) ( )int sdotminus=

t

dthhty0

0

Avremo

2

2

2

2

dt

ydAQ

dt

ydKy

K

dt

dyK

outDc

I

c

csdotminus=minussdotsdot+sdot+sdot τ

τ

Ovvero

( ) AK

Qy

AK

K

dt

dy

AK

K

dt

yd

Dc

out

DcI

c

Dc

c

+sdot

=sdot

+sdotsdot

+sdot

+sdot

+

ττττ2

2

(15)

Sono possibili tre casi (la dimostrazione viene tralasciata percheacute del tutto identica al caso del controllore PI con le uniche differenze legate alle espressioni del discriminante della equazione caratteristica e del termine noto dellrsquoequazione completa)

Ideg caso ( )

rArrgt+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdotgt

c

DI

K

Aττ 4

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110 (12)

Dove

( )

2

4

2

21

AK

K

AK

K

AK

K

zDcI

c

Dc

c

Dc

c

+sdotsdotsdotminus

+sdotplusmn

+sdotminus

=ττττ

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

τ

τ

IIdeg caso ( )

rArr=+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdot=

c

DI

K

Aττ 4

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot (13)

Dove

( )AK

Kzz

Dc

c

+sdotsdot

minus==

τ221

sdotsdot+=

sdotminus=

c

Iout

c

Iout

K

Qzhc

K

Qc

τ

τ

102

1

IIIdeg caso ( )

rArrlt+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdotlt

c

DI

K

Aττ 4

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

(14)

Dove

( ) ( )

+sdotsdotsdotminus

+sdotminussdot=

+sdotsdotminus=

sdotplusmn=

AK

K

AK

K

AK

K

iz

DcI

c

Dc

c

Dc

c

τττβ

τα

βα

42

1

2

2

21

I controlli automatici ndash IIa parte 15

sdotsdot+

=

sdotminus=

β

τα

τ

c

Iout

c

Iout

K

Qh

c

K

Qc

0

2

1

La risposta del sistema sottoposto ad unrsquoazione di controllo di questo tipo egrave diagrammata in fig 14 per Qout = 0

Fig 14 - Controllore PID

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) gt 4

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) = 4

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) lt 4

Set Point

Se ora disegniamo la risposta del controllore PID e la confrontiamo con quella di un controllore PI per un disturbo permanente otterremo un grafico del tipo illustrato nella fig 15

Fig 15 - Controllore PID vs PI

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h PID - KcτI(KcτD+A) lt 4

PI - KcτIA lt 4

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 16

Come si puograve notare la presenza dellrsquoazione derivativa comporta un peggioramento della risposta del sistema che diventa piugrave oscillatoria ossia con periodo e ampiezza dellrsquooscillazione maggiori Anche in questo caso inoltre come in quello giagrave discusso del controllore PI esiste un problema legato alla scelta ottimale dei valori dei parametri Kc τI e τD 7 ndash Conclusioni

Riassumendo dallrsquoanalisi delle risposte fornite dal sistema sotto lrsquoazione dei diversi controllori egrave possibile trarre le seguenti considerazioni

1 il controllore On-Off sarebbe in teoria il migliore tipo di controllo del nostro sciacquone per il suo basso costo e la sua maggiore efficienza in termini di tempo di riempimento Il suo limite principale egrave legato al fatto che la risposta al disturbo puograve essere molto brusca (a meno di non prendere opportune precauzioni) poicheacute la valvola di alimentazione si apre subito al massimo e rimane in questo stato fino al cessare dellrsquoazione del controllore Inoltre nel caso di perdite dovute a una non perfetta chiusura della valvola di scarico il livello dellrsquoacqua nel serbatoio oscilleragrave continuamente tra il valore impostato di set-point e il valore minimo al di sotto del quale il controllore si attiva

2 il controllore proporzionale (P) puograve essere reso simile al controllore On-Off aumentando il valore del guadagno Kc ma egrave anche possibile modulando opportunamente il valore di questa grandezza rendere piugrave ldquodolcerdquo la risposta del sistema ossia meno intensa la portata di adduzione dellrsquoacqua Tale portata andragrave comunque decrescendo nel tempo allungando i tempi di risposta rispetto al caso del sistema On-Off In effetti il controllore proporzionale egrave quello universalmente piugrave adoperato per questo tipo di processo anche se il suo limite principale risiede nellrsquoimpossibilitagrave di riportare il livello sul valore di set-point nel caso di disturbi protratti nel tempo (presenza di offset)

3 lrsquoaggiunta dellrsquoazione derivativa a quella proporzionale (PD) egrave inutile o addirittura dannosa in un processo discontinuo quale egrave il riempimento del nostro sciacquone In questo processo infatti il disturbo o ha una durata molto limitata (periodo nel quale il sistema di controllo in ogni caso non puograve agire date le caratteristiche costruttive dello sciacquone) o egrave costante nel tempo per cui lrsquoerrore ε egrave comunque una funzione monotona decrescente nel tempo Per tale motivo lrsquoaggiunta di questo tipo di controllo si traduce in un rallentamento della velocitagrave di riempimento e si puograve giustificare soltanto se contestualmente si incrementa il valore del guadagno proporzionale Kc in modo da avere una risposta rapida ma non troppo brusca e con basso offset

4 lrsquoazione integrale unita a quella proporzionale (PI) ha il grande vantaggio di eliminare lrsquooffset in presenza di disturbi costanti a spese perograve del comportamento oscillatorio assunto dal sistema Lrsquoopportuno settaggio dei parametri di controllo (Kc e τI) puograve comunque consentire di ottenere una risposta adeguata alle necessitagrave

5 non esiste alcun motivo realmente valido per utilizzare un controllo di tipo PID per il processo discontinuo in questione Oltre al maggior costo di questo tipo di apparecchiatura crsquoegrave da dire che lrsquoazione derivativa unita a quella integrale peggiora in modo molto marcato la risposta del sistema rallentandola e facendo aumentare lrsquoovershoot (mentre in un sistema continuo si otterrebbe lrsquoeffetto esattamente opposto) Lrsquounico vantaggio dellrsquoutilizzo contemporaneo dei tre meccanismi di controllo (proporzionale integrale e derivativo) si ha nella possibilitagrave di regolare tre parametri (Kc τI τD) al posto di uno solo (Kc) o due (Kc e τI oppure Kc e τD) per ottimizzare la risposta In effetti incrementando la costante Kc insieme al tempo derivativo τD egrave possibile rendere la risposta del sistema veloce (ma non troppo rapida come si avrebbe in un controllo di tipo puramente PI) e nello stesso tempo ridurne considerevolmente il comportamento oscillatorio (vedi fig 16 seguente)

I controlli automatici ndash IIa parte 17

Fig 16 - PI vs PID (KcPIDKcPI = 10)

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h PI

PID

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 18

Appendice 1 Integrazione dellrsquoequazione di bilancio per un controllore On ndash Off

Data lrsquoequazione

dt

dhAhKQ

insdot=sdotminus (3)

Eseguendo la sostituzione

dhdyyhyhy =sdotsdotrArr=rArr= 22

avremo

A

K

yA

Q

dt

dy

dt

dyyAyKQ

in

in

sdot

minus

sdotsdot

=

sdotsdotsdot=sdotminus

22

2

Ovvero ponendo

A

K

A

Qin

sdot

=

sdot

=

22βα

βαminus=

ydt

dy

E introducendo la nuova variabile

zdt

dz

z

dt

dz

zdt

dzy

dt

dy

dt

dy

ydt

dz

zy

yz

=sdot

+sdotminus

sdot

+sdotminus=sdotminus=rArrsdotminus=

+=rArrminus=

2

22

2

1

1

β

α

α

β

α

αα

α

β

αβ

α

Abbiamo trasformato lrsquoequazione originaria in una a variabili separabili

( ) αβ

dtdz

zzminus=sdot

+sdot2

1

La frazione a primo membro puograve essere scomposta col metodo dei coefficienti indeterminati ottenendo

( ) ( ) ( )( ) ( )

=

minus=+sdotminus

=

minus=

rArr

=

sdotminussdotsdotminus=

minus=

rArr

=sdot

=+sdot+sdotsdot

=+

=sdot+sdotsdot+sdot+sdot+sdotsdotsdot+sdot

=sdot++sdotsdot++sdotrArr+

++

+=+sdot

2

22

2

2

2

222

2

22

1

12

1

1

2

1

02

0

12

11

β

ββ

β

β

β

β

β

ββ

β

ββ

βββ

βββββ

A

C

B

A

BAC

AB

A

CBA

BA

zCzBzBAzAzA

zCzzBzAz

C

z

B

z

A

zz

Per cui lrsquointegrale fornisce

( ) ( ) ( ) intint int intint sdotminus=sdot

+

+sdot

+

+sdot=sdot

+sdot

dtdzz

Cdz

z

Bdz

z

Adz

zz αβββ

11

22

I controlli automatici ndash IIa parte 19

( )( )

αβαα

β

β

ααα

β

αα

αβ

α

αα

αβ

α

αββ

tyy

Cy

t

CtyCy

A

CtyC

yyA

Ct

y

C

yB

yA

Ct

z

CzBzA

minus=sdot

+

sdotminussdot

=rArr

=

=

+minus=sdot

minus

sdotminussdot

+minus=sdot

minus

minus

minussdot

+minus=

minus

sdot+

minussdot

+minus=+

minus+sdot+sdot

1ln1

00

0

1ln

lnln

lnln

lnln

2

α

β

α

β

α

β2

1ln sdotminus=sdot

+

sdotminus t

yy

Ovvero

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdot+

sdotminus

21ln

2

(5)

Mentre se le condizioni iniziali fossero diverse avremmo

αβαα

β

β

111

2

1

11ln

1

tyyC

yy

tt+

sdot+

sdotminussdot=rArr

=

=

Ossia

+

sdot+

sdotminussdot+minus=

sdot+

sdotminussdot

αβαα

β

βαβαα

β

β

111

221ln

11ln

1 tyytyy

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β 22

1

111ln1ln sdotminus=

sdot+

sdot+

sdotminusminus

sdot+

sdotminus tt

yyyy

ininininininQA

Kt

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdotsdotsdot+

sdot+

sdotminusminus

sdot+

sdotminus

221ln1ln

22

1

11 (5b)

Poicheacute la (5) non fornisce esplicitamente lrsquoaltezza h in funzione del tempo t egrave possibile approssimare il logaritmo del primo membro mediante espansione in serie Avremo allora

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) suminfin

=

minus=minus

+sdot

minus

minusminussdot

minus

minussdot

minus

minusminus=minus

+sdot++sdot+sdot+=

1

2

2

2

1ln

01

1

201

1

01

101ln1ln

02

000

n

n

n

n

n

n

n

xx

n

xxxx

n

xf

xfxffxf

I termini nella sommatoria sono decrescenti (si ricordi che il fattore in

Q

hKx

sdot

= egrave minore di 1 in

quanto rappresenta il rapporto tra la portata uscente e quella in ingresso al serbatoio) Limitando lrsquoespansione in serie ai primi tre termini non nulli e sostituendo in (5)

I controlli automatici ndash IIa parte 20

ininin

ininininin

QA

Kt

Q

hhK

Q

hK

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

sdotsdot

sdotcong

sdot

sdotsdot+

sdot

sdot

sdotsdot

sdotminuscongsdot

+

sdot

sdotminus

sdot

sdotminus

sdotminus

232

232

2

3

3

2

2

2

3

33

2

2

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotcong

sdotsdot+sdot

sdot

sdot

23

21

2

2

2

2

in

out

in

Q

QA

Qth

+

sdotsdotcong

1

1 (5c)

Dove col simbolo outQ si egrave indicata la portata media uscente ovvero

0

3

2hKQ

outsdotsdot=

La (5c) puograve essere ulteriormente semplificata espandendo in serie anche il fattore

in

out

Q

Q+1

1

( ) ( )

01

1

01

1

01

1

1

1

1

1 2

32+sdot

+

+sdot

+

minus

+

=

+

=

+

xxx

Q

Q

in

out

E trascurando i termini con esponente maggiore di 1 (in

out

Q

Q egrave minore di 1)

in

out

in

outQ

Q

Q

Qminuscong

+

1

1

1

Per cui la (5c) diventa

A

QQt

Q

Q

A

Qth outin

in

outinminus

sdot=

minussdotsdotcong 1 (6)

I controlli automatici ndash IIa parte 21

Appendice 2 Integrazione dellrsquoequazione di bilancio per un controllore PI

Come visto il bilancio di materia sul serbatoio in presenza di controllo proporzionale integrale porta a

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

ydout

I

cc=sdot

sdot

+sdot+

τ2

2

(11)

La soluzione generale y(t) della suddetta equazione si ottiene sommando ad una sua soluzione particolare y0(t) la soluzione generale della equazione omogenea associata

02

2

=sdot

sdot

+sdot+ yA

K

dt

dy

A

K

dt

yd

I

cc

τ

Poicheacute A

Qout (il termine a secondo membro della (1)) egrave una costante e puograve essere considerato un

polinomio di grado zero rispetto alla variabile tempo t e I

c

A

K

τsdot

(il coefficiente della funzione

incognita y) egrave diverso da zero la teoria risolutiva di questo tipo di equazioni impone che anche la soluzione particolare y0(t) sia un polinomio di grado zero del tipo y0(t) = a e che deve rispettare la condizione

( )c

Iout

c

Ioutout

I

ccout

I

cc

K

Qty

K

Qa

A

Qa

A

K

A

K

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

yd

τ

τ

ττ

sdot=

sdot=rArr=sdot

sdot

+sdot+rArr=sdot

sdot

+sdot+

0

0

0

2

0

2

00

Lrsquoequazione caratteristica della equazione differenziale omogenea associata alla suddetta equazione egrave

02

=

sdot

+sdot+

I

cc

A

Kz

A

Kz

τ

Avremo allora in base al segno del discriminante di tale equazione Ideg caso 0gt∆

c

I

I

c

I

cc

I

cc

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

KsdotgtrArrgtrArr

sdotsdotgt

rArrgt

sdotsdotminus

4

4404

22

τ

τττ

2

4

2

21

I

ccc

A

K

A

K

A

K

zτsdot

sdotminus

plusmnminus

=

E lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave tztz

ececysdotsdot

sdot+sdot=21

21

IIdeg caso 0=∆

A

Kzz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

c

I

I

c

I

cc

I

cc

sdotminus==

sdot=rArr=rArrsdot

sdot=

rArr=

sdotsdotminus

2

44

404

21

22

τ

τττ

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave ( )tcceytz

sdot+sdotsdot=sdot

21

1 IIIdeg caso 0lt∆

βα

ττττ

sdotplusmn=

sdotltrArrltrArrsdot

sdotlt

rArrlt

sdotsdotminus

iz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

I

I

c

I

cc

I

cc

21

22

44

404

I controlli automatici ndash IIa parte 22

sdotsdotminus

minussdot=

sdotminus=

I

ccc

A

K

A

K

A

K

τβα 4

2

1

2

2

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata diventa ( ) ( )[ ]tctceyt

sdotsdot+sdotsdotsdot=sdot ββα

sincos21

Lrsquointegrale generale dellrsquoequazione completa (11) saragrave allora Ideg caso ( )tyececy

tztz

021

21+sdot+sdot=

sdotsdot

IIdeg caso ( ) ( )tytcceytz

021

1+sdot+sdotsdot=

sdot

IIIdeg caso ( ) ( )[ ] ( )tytctceyt

021sincos +sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdot

ββα

Lrsquointegrale particolare ottenuto ponendo le condizioni al contorno ( ) ( )0

000 hyy == saragrave

Ideg caso

( )

( )

=sdot+sdot

sdotminus=+

rArr

=sdotsdot+sdotsdot=

=sdot

+sdot+sdot=

sdotsdot

sdotsdot

02211

21

0

0

22

0

11

0

2

0

1

21

21

0

00

hzczc

K

Qcc

hezcezcy

K

Qececy

c

Iout

zz

c

Ioutzz ττ

minus

sdotsdot

+

=

sdotminus

minus

sdotsdot

+

minus=

rArr

=sdot+sdot

sdot+minus

sdotminusminus=

12

10

2

12

10

1

02212

21

zz

zK

Qh

c

K

Q

zz

zK

Qh

c

hzczK

Qc

K

Qcc

c

Iout

c

Ioutc

Iout

c

Iout

c

Iout

τ

τ

τ

τ

τ

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

τ

τ

Per cui ( ) tztz

ezcezchhtysdotsdot

sdotsdot+sdotsdot=minus=21

22110

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110

IIdeg caso

( ) ( )

( ) ( )

sdotsdot+=

sdotminus=

rArr

=+sdot

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot+sdotsdotsdot=

=sdot

+sdot+sdotsdot=

sdotsdot

sdot

c

Iout

c

Iout

c

Iout

zz

c

Ioutz

K

Qzhc

K

Qc

hccz

K

Qc

hceccezy

K

Qccey

τ

τ

ττ

102

1

0211

1

02

0

21

0

1

21

0

11

1

00

000

Per cui ( ) ( )

22110

11 cetccezhhtytztz

sdot+sdot+sdotsdotsdot=minus=sdotsdot

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot

IIIdeg caso

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

=sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=

=sdot

+sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdotsdot

sdot

021

0

21

0

21

0

0cos0sin0sin0cos0

00sin0cos0

hcceccey

K

Qccey

c

Iout

ββββββα

τββ

αα

α

I controlli automatici ndash IIa parte 23

sdotsdot+

=

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot

sdotminus=

β

τα

τ

βα

τ

c

Iout

c

Iout

c

Iout

K

Qh

c

K

Qc

hcc

K

Qc

0

2

1

021

1

Per cui ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhty tt

sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=minus=sdotsdot

ββββββααα

cossinsincos21210

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

I controlli automatici ndash IIa parte 8

Fig 6 - Controllore Proporzionale P

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h

Kc = 01

Kc = 02

Kc = 1

Set Point

Fig 7 - Controllore Proporzionale P

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h Qout = 0 Kc = 01

Qout gt 0 Kc = 01

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 9

Fig 8 - Controllore Proporzionale P

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

live

llo

h

Qout gt 0 Kc = 01

Qout gt 0 Kc = 02

Qout gt 0 Kc = 1

Set Point

4 - Controllore proporzionale-derivativo PD

In presenza di un controllo PD proporzionale derivativo lrsquoequazione di bilancio (relativa a una portata uscente Qout diversa da zero e costante) diventa

( )( )

dt

dhAQ

dt

hhdKhhK

outDccsdot=minus

minussdotsdot+minussdot

0

0τ

Ossia

( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )[ ]

dt

QhhKd

K

AKQhhK

dt

hhdAKQhhK

dt

hhdAQ

dt

hhdKhhK

outc

c

Dc

outc

Dcoutc

outDcc

minusminussdotsdot

+sdotminus=minusminussdot

minussdot+sdotminus=minusminussdot

minussdotminus=minus

minussdotsdot+minussdot

0

0

0

0

00

0

τ

τ

τ

Separando le variabili ed integrando

( )( )[ ]( )

( )( ) ( )

( ) ( )

outc

outct

AK

K

outc

outcQhhK

QhKDc

c

outc

outc

Dc

c

QhK

QhhKe

QhK

QhhKxt

AK

K

QhhK

QhhKddt

AK

K

Dc

c

outc

outc

minussdot

minusminussdot

=

minussdot

minusminussdot==sdot

+sdot

minus

minusminussdot

minusminussdot

=sdot

+sdot

minus

sdot

+sdot

minus

minusminussdot

minussdot

0

0

0

0

0

0

lnln0

0

τ

τ

τ

( )

minussdot

minus=

sdot

+sdot

minus tAK

K

c

out Dc

c

eK

Qhh

τ

10

(10)

Egrave evidente che ponendo nella (10) Qout = 0 si ottiene la risposta del sistema allrsquoazione del controllo PD per una portata uscente nulla

I controlli automatici ndash IIa parte 10

Le figure 9 10 ed 11 rappresentano il grafico della eq (10) per diversi valori delle costanti Kc e τD Come si puograve notare la presenza dellrsquoazione derivativa peggiora la risposta (h tenderagrave piugrave lentamente verso il valore di regime) e non serve ad eliminare lrsquooffset Il vantaggio dellrsquoimpiego di questo tipo di controllo sta perograve nel fatto che egrave possibile utilizzare valori elevati di Kc (riducendo lrsquooffset a regime) senza per questo avere risposte troppo brusche (vedi fig 11)

Fig 9 - Controllore PD

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h

τD = 0

τD = 5

τD = 10

Set Point

Fig 10 - Controllore PD

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h Qout gt 0 τD = 0

Qout gt 0 τD = 10

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 11

Fig 11 - Controllore PD

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h

Qout gt 0 Kc = 01 τD = 10

Qout gt 0 Kc = 02 τD = 10

Qout gt 0 Kc = 1 τD = 10

Set Point

5 - Controllore proporzionale-integrale PI

Nel caso di controllore PI proporzionale integrale il bilancio di materia diventa

( ) ( )( )dt

hhdAQdthh

KhhK

out

t

I

c

c

minus

sdotminus=minussdotminussdot+minussdot int 0

0

00

τ

Nellrsquoespressione su scritta ponendo

( ) ( )int sdotminus=

t

dthhty0

0

Avremo

2

2

dt

ydAQy

K

dt

dyK

out

I

c

csdotminus=minussdot+sdot

τ

Ovvero

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

ydout

I

cc=sdot

sdot

+sdot+

τ2

2

(11)

Che egrave unrsquoequazione differenziale lineare del secondo ordine (non omogenea) a coefficienti costanti Lrsquoequazione caratteristica della omogenea associata alla suddetta equazione egrave

02

=

sdot

+sdot+

I

cc

A

Kz

A

Kz

τ

Chiamando z1 e z2 le radici di tale equazione caratteristica la soluzione3 della (11) saragrave

Ideg caso rArrgtsdot

sdotminus

=∆ 04

2

I

cc

A

K

A

K

τc

I

K

Asdotgt 4τ

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110 (12)

Dove

3 Vedasi a tale proposito lrsquoAppendice ndeg 2

I controlli automatici ndash IIa parte 12

2

4

2

21

I

ccc

A

K

A

K

A

K

zτsdot

sdotminus

plusmnminus

=

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

ττ

IIdeg caso rArr=sdot

sdotminus

=∆ 04

2

I

cc

A

K

A

K

τc

I

K

Asdot= 4τ

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot (13)

Dove

A

Kzz

c

sdot

minus==

221

c

Iout

c

Iout

K

Qzhc

K

Qc

ττ sdotsdot+=

sdotminus=

1021

IIIdeg caso rArrltsdot

sdotminus

=∆ 04

2

I

cc

A

K

A

K

τc

I

K

Asdotlt 4τ

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

(14)

Dove

sdotsdotminus

minussdot=

sdotminus=sdotplusmn=

I

ccc

A

K

A

K

A

K iz

τβαβα 4

2

1

2

2

21

β

τα

τc

Iout

c

IoutK

Qh

c K

Qc

sdotsdot+

=sdot

minus=

0

21

Dal grafico della risposta di un controllore di questo tipo si deduce che 1 lrsquoazione integrale elimina lrsquooffset in altri termini pur in presenza di un disturbo

permanente il livello ritorna sempre al valore di set-point 2 la risposta del sistema tende perograve a diventare di tipo oscillatorio anche se tale tendenza egrave

meno pronunciata quando Qout ne 0 con un pendolarismo strettamente legato al valore delle costanti Kc e τI In ogni caso al diminuire dellrsquoampiezza dellrsquooscillazione aumenta il tempo affincheacute la variabile controllata si stabilizzi sul valore di regime

3 in questo tipo di controllo esiste un problema di scelta del valore ottimale da assegnare alle costanti suddette per rendere la risposta del sistema la migliore possibile

I controlli automatici ndash IIa parte 13

Fig 12 - Controllore PI

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout = 0 KcτIA gt 4

Qout = 0 KcτIA = 4

Qout = 0 KcτIA lt 4

Set Point

Fig 13 - Controllore PI

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout gt 0 KcτIA gt 4

Qout gt 0 KcτIA = 4

Qout gt 0 KcτIA lt 4

Set Point

6 - Controllore proporzionale-integrale-derivativo PID

Per un controllore proporzionale integrale derivativo PID il bilancio sul serbatoio si scrive

( ) ( )( ) ( )

dt

hhdAQ

dt

hhdKdthh

KhhK

outDc

t

I

c

c

minus

sdotminus=minus

minus

sdotsdot+sdotminussdot+minussdot int 00

0

00τ

τ

E con la solita posizione

I controlli automatici ndash IIa parte 14

( ) ( )int sdotminus=

t

dthhty0

0

Avremo

2

2

2

2

dt

ydAQ

dt

ydKy

K

dt

dyK

outDc

I

c

csdotminus=minussdotsdot+sdot+sdot τ

τ

Ovvero

( ) AK

Qy

AK

K

dt

dy

AK

K

dt

yd

Dc

out

DcI

c

Dc

c

+sdot

=sdot

+sdotsdot

+sdot

+sdot

+

ττττ2

2

(15)

Sono possibili tre casi (la dimostrazione viene tralasciata percheacute del tutto identica al caso del controllore PI con le uniche differenze legate alle espressioni del discriminante della equazione caratteristica e del termine noto dellrsquoequazione completa)

Ideg caso ( )

rArrgt+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdotgt

c

DI

K

Aττ 4

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110 (12)

Dove

( )

2

4

2

21

AK

K

AK

K

AK

K

zDcI

c

Dc

c

Dc

c

+sdotsdotsdotminus

+sdotplusmn

+sdotminus

=ττττ

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

τ

τ

IIdeg caso ( )

rArr=+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdot=

c

DI

K

Aττ 4

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot (13)

Dove

( )AK

Kzz

Dc

c

+sdotsdot

minus==

τ221

sdotsdot+=

sdotminus=

c

Iout

c

Iout

K

Qzhc

K

Qc

τ

τ

102

1

IIIdeg caso ( )

rArrlt+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdotlt

c

DI

K

Aττ 4

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

(14)

Dove

( ) ( )

+sdotsdotsdotminus

+sdotminussdot=

+sdotsdotminus=

sdotplusmn=

AK

K

AK

K

AK

K

iz

DcI

c

Dc

c

Dc

c

τττβ

τα

βα

42

1

2

2

21

I controlli automatici ndash IIa parte 15

sdotsdot+

=

sdotminus=

β

τα

τ

c

Iout

c

Iout

K

Qh

c

K

Qc

0

2

1

La risposta del sistema sottoposto ad unrsquoazione di controllo di questo tipo egrave diagrammata in fig 14 per Qout = 0

Fig 14 - Controllore PID

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) gt 4

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) = 4

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) lt 4

Set Point

Se ora disegniamo la risposta del controllore PID e la confrontiamo con quella di un controllore PI per un disturbo permanente otterremo un grafico del tipo illustrato nella fig 15

Fig 15 - Controllore PID vs PI

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h PID - KcτI(KcτD+A) lt 4

PI - KcτIA lt 4

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 16

Come si puograve notare la presenza dellrsquoazione derivativa comporta un peggioramento della risposta del sistema che diventa piugrave oscillatoria ossia con periodo e ampiezza dellrsquooscillazione maggiori Anche in questo caso inoltre come in quello giagrave discusso del controllore PI esiste un problema legato alla scelta ottimale dei valori dei parametri Kc τI e τD 7 ndash Conclusioni

Riassumendo dallrsquoanalisi delle risposte fornite dal sistema sotto lrsquoazione dei diversi controllori egrave possibile trarre le seguenti considerazioni

1 il controllore On-Off sarebbe in teoria il migliore tipo di controllo del nostro sciacquone per il suo basso costo e la sua maggiore efficienza in termini di tempo di riempimento Il suo limite principale egrave legato al fatto che la risposta al disturbo puograve essere molto brusca (a meno di non prendere opportune precauzioni) poicheacute la valvola di alimentazione si apre subito al massimo e rimane in questo stato fino al cessare dellrsquoazione del controllore Inoltre nel caso di perdite dovute a una non perfetta chiusura della valvola di scarico il livello dellrsquoacqua nel serbatoio oscilleragrave continuamente tra il valore impostato di set-point e il valore minimo al di sotto del quale il controllore si attiva

2 il controllore proporzionale (P) puograve essere reso simile al controllore On-Off aumentando il valore del guadagno Kc ma egrave anche possibile modulando opportunamente il valore di questa grandezza rendere piugrave ldquodolcerdquo la risposta del sistema ossia meno intensa la portata di adduzione dellrsquoacqua Tale portata andragrave comunque decrescendo nel tempo allungando i tempi di risposta rispetto al caso del sistema On-Off In effetti il controllore proporzionale egrave quello universalmente piugrave adoperato per questo tipo di processo anche se il suo limite principale risiede nellrsquoimpossibilitagrave di riportare il livello sul valore di set-point nel caso di disturbi protratti nel tempo (presenza di offset)

3 lrsquoaggiunta dellrsquoazione derivativa a quella proporzionale (PD) egrave inutile o addirittura dannosa in un processo discontinuo quale egrave il riempimento del nostro sciacquone In questo processo infatti il disturbo o ha una durata molto limitata (periodo nel quale il sistema di controllo in ogni caso non puograve agire date le caratteristiche costruttive dello sciacquone) o egrave costante nel tempo per cui lrsquoerrore ε egrave comunque una funzione monotona decrescente nel tempo Per tale motivo lrsquoaggiunta di questo tipo di controllo si traduce in un rallentamento della velocitagrave di riempimento e si puograve giustificare soltanto se contestualmente si incrementa il valore del guadagno proporzionale Kc in modo da avere una risposta rapida ma non troppo brusca e con basso offset

4 lrsquoazione integrale unita a quella proporzionale (PI) ha il grande vantaggio di eliminare lrsquooffset in presenza di disturbi costanti a spese perograve del comportamento oscillatorio assunto dal sistema Lrsquoopportuno settaggio dei parametri di controllo (Kc e τI) puograve comunque consentire di ottenere una risposta adeguata alle necessitagrave

5 non esiste alcun motivo realmente valido per utilizzare un controllo di tipo PID per il processo discontinuo in questione Oltre al maggior costo di questo tipo di apparecchiatura crsquoegrave da dire che lrsquoazione derivativa unita a quella integrale peggiora in modo molto marcato la risposta del sistema rallentandola e facendo aumentare lrsquoovershoot (mentre in un sistema continuo si otterrebbe lrsquoeffetto esattamente opposto) Lrsquounico vantaggio dellrsquoutilizzo contemporaneo dei tre meccanismi di controllo (proporzionale integrale e derivativo) si ha nella possibilitagrave di regolare tre parametri (Kc τI τD) al posto di uno solo (Kc) o due (Kc e τI oppure Kc e τD) per ottimizzare la risposta In effetti incrementando la costante Kc insieme al tempo derivativo τD egrave possibile rendere la risposta del sistema veloce (ma non troppo rapida come si avrebbe in un controllo di tipo puramente PI) e nello stesso tempo ridurne considerevolmente il comportamento oscillatorio (vedi fig 16 seguente)

I controlli automatici ndash IIa parte 17

Fig 16 - PI vs PID (KcPIDKcPI = 10)

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h PI

PID

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 18

Appendice 1 Integrazione dellrsquoequazione di bilancio per un controllore On ndash Off

Data lrsquoequazione

dt

dhAhKQ

insdot=sdotminus (3)

Eseguendo la sostituzione

dhdyyhyhy =sdotsdotrArr=rArr= 22

avremo

A

K

yA

Q

dt

dy

dt

dyyAyKQ

in

in

sdot

minus

sdotsdot

=

sdotsdotsdot=sdotminus

22

2

Ovvero ponendo

A

K

A

Qin

sdot

=

sdot

=

22βα

βαminus=

ydt

dy

E introducendo la nuova variabile

zdt

dz

z

dt

dz

zdt

dzy

dt

dy

dt

dy

ydt

dz

zy

yz

=sdot

+sdotminus

sdot

+sdotminus=sdotminus=rArrsdotminus=

+=rArrminus=

2

22

2

1

1

β

α

α

β

α

αα

α

β

αβ

α

Abbiamo trasformato lrsquoequazione originaria in una a variabili separabili

( ) αβ

dtdz

zzminus=sdot

+sdot2

1

La frazione a primo membro puograve essere scomposta col metodo dei coefficienti indeterminati ottenendo

( ) ( ) ( )( ) ( )

=

minus=+sdotminus

=

minus=

rArr

=

sdotminussdotsdotminus=

minus=

rArr

=sdot

=+sdot+sdotsdot

=+

=sdot+sdotsdot+sdot+sdot+sdotsdotsdot+sdot

=sdot++sdotsdot++sdotrArr+

++

+=+sdot

2

22

2

2

2

222

2

22

1

12

1

1

2

1

02

0

12

11

β

ββ

β

β

β

β

β

ββ

β

ββ

βββ

βββββ

A

C

B

A

BAC

AB

A

CBA

BA

zCzBzBAzAzA

zCzzBzAz

C

z

B

z

A

zz

Per cui lrsquointegrale fornisce

( ) ( ) ( ) intint int intint sdotminus=sdot

+

+sdot

+

+sdot=sdot

+sdot

dtdzz

Cdz

z

Bdz

z

Adz

zz αβββ

11

22

I controlli automatici ndash IIa parte 19

( )( )

αβαα

β

β

ααα

β

αα

αβ

α

αα

αβ

α

αββ

tyy

Cy

t

CtyCy

A

CtyC

yyA

Ct

y

C

yB

yA

Ct

z

CzBzA

minus=sdot

+

sdotminussdot

=rArr

=

=

+minus=sdot

minus

sdotminussdot

+minus=sdot

minus

minus

minussdot

+minus=

minus

sdot+

minussdot

+minus=+

minus+sdot+sdot

1ln1

00

0

1ln

lnln

lnln

lnln

2

α

β

α

β

α

β2

1ln sdotminus=sdot

+

sdotminus t

yy

Ovvero

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdot+

sdotminus

21ln

2

(5)

Mentre se le condizioni iniziali fossero diverse avremmo

αβαα

β

β

111

2

1

11ln

1

tyyC

yy

tt+

sdot+

sdotminussdot=rArr

=

=

Ossia

+

sdot+

sdotminussdot+minus=

sdot+

sdotminussdot

αβαα

β

βαβαα

β

β

111

221ln

11ln

1 tyytyy

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β 22

1

111ln1ln sdotminus=

sdot+

sdot+

sdotminusminus

sdot+

sdotminus tt

yyyy

ininininininQA

Kt

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdotsdotsdot+

sdot+

sdotminusminus

sdot+

sdotminus

221ln1ln

22

1

11 (5b)

Poicheacute la (5) non fornisce esplicitamente lrsquoaltezza h in funzione del tempo t egrave possibile approssimare il logaritmo del primo membro mediante espansione in serie Avremo allora

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) suminfin

=

minus=minus

+sdot

minus

minusminussdot

minus

minussdot

minus

minusminus=minus

+sdot++sdot+sdot+=

1

2

2

2

1ln

01

1

201

1

01

101ln1ln

02

000

n

n

n

n

n

n

n

xx

n

xxxx

n

xf

xfxffxf

I termini nella sommatoria sono decrescenti (si ricordi che il fattore in

Q

hKx

sdot

= egrave minore di 1 in

quanto rappresenta il rapporto tra la portata uscente e quella in ingresso al serbatoio) Limitando lrsquoespansione in serie ai primi tre termini non nulli e sostituendo in (5)

I controlli automatici ndash IIa parte 20

ininin

ininininin

QA

Kt

Q

hhK

Q

hK

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

sdotsdot

sdotcong

sdot

sdotsdot+

sdot

sdot

sdotsdot

sdotminuscongsdot

+

sdot

sdotminus

sdot

sdotminus

sdotminus

232

232

2

3

3

2

2

2

3

33

2

2

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotcong

sdotsdot+sdot

sdot

sdot

23

21

2

2

2

2

in

out

in

Q

QA

Qth

+

sdotsdotcong

1

1 (5c)

Dove col simbolo outQ si egrave indicata la portata media uscente ovvero

0

3

2hKQ

outsdotsdot=

La (5c) puograve essere ulteriormente semplificata espandendo in serie anche il fattore

in

out

Q

Q+1

1

( ) ( )

01

1

01

1

01

1

1

1

1

1 2

32+sdot

+

+sdot

+

minus

+

=

+

=

+

xxx

Q

Q

in

out

E trascurando i termini con esponente maggiore di 1 (in

out

Q

Q egrave minore di 1)

in

out

in

outQ

Q

Q

Qminuscong

+

1

1

1

Per cui la (5c) diventa

A

QQt

Q

Q

A

Qth outin

in

outinminus

sdot=

minussdotsdotcong 1 (6)

I controlli automatici ndash IIa parte 21

Appendice 2 Integrazione dellrsquoequazione di bilancio per un controllore PI

Come visto il bilancio di materia sul serbatoio in presenza di controllo proporzionale integrale porta a

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

ydout

I

cc=sdot

sdot

+sdot+

τ2

2

(11)

La soluzione generale y(t) della suddetta equazione si ottiene sommando ad una sua soluzione particolare y0(t) la soluzione generale della equazione omogenea associata

02

2

=sdot

sdot

+sdot+ yA

K

dt

dy

A

K

dt

yd

I

cc

τ

Poicheacute A

Qout (il termine a secondo membro della (1)) egrave una costante e puograve essere considerato un

polinomio di grado zero rispetto alla variabile tempo t e I

c

A

K

τsdot

(il coefficiente della funzione

incognita y) egrave diverso da zero la teoria risolutiva di questo tipo di equazioni impone che anche la soluzione particolare y0(t) sia un polinomio di grado zero del tipo y0(t) = a e che deve rispettare la condizione

( )c

Iout

c

Ioutout

I

ccout

I

cc

K

Qty

K

Qa

A

Qa

A

K

A

K

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

yd

τ

τ

ττ

sdot=

sdot=rArr=sdot

sdot

+sdot+rArr=sdot

sdot

+sdot+

0

0

0

2

0

2

00

Lrsquoequazione caratteristica della equazione differenziale omogenea associata alla suddetta equazione egrave

02

=

sdot

+sdot+

I

cc

A

Kz

A

Kz

τ

Avremo allora in base al segno del discriminante di tale equazione Ideg caso 0gt∆

c

I

I

c

I

cc

I

cc

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

KsdotgtrArrgtrArr

sdotsdotgt

rArrgt

sdotsdotminus

4

4404

22

τ

τττ

2

4

2

21

I

ccc

A

K

A

K

A

K

zτsdot

sdotminus

plusmnminus

=

E lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave tztz

ececysdotsdot

sdot+sdot=21

21

IIdeg caso 0=∆

A

Kzz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

c

I

I

c

I

cc

I

cc

sdotminus==

sdot=rArr=rArrsdot

sdot=

rArr=

sdotsdotminus

2

44

404

21

22

τ

τττ

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave ( )tcceytz

sdot+sdotsdot=sdot

21

1 IIIdeg caso 0lt∆

βα

ττττ

sdotplusmn=

sdotltrArrltrArrsdot

sdotlt

rArrlt

sdotsdotminus

iz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

I

I

c

I

cc

I

cc

21

22

44

404

I controlli automatici ndash IIa parte 22

sdotsdotminus

minussdot=

sdotminus=

I

ccc

A

K

A

K

A

K

τβα 4

2

1

2

2

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata diventa ( ) ( )[ ]tctceyt

sdotsdot+sdotsdotsdot=sdot ββα

sincos21

Lrsquointegrale generale dellrsquoequazione completa (11) saragrave allora Ideg caso ( )tyececy

tztz

021

21+sdot+sdot=

sdotsdot

IIdeg caso ( ) ( )tytcceytz

021

1+sdot+sdotsdot=

sdot

IIIdeg caso ( ) ( )[ ] ( )tytctceyt

021sincos +sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdot

ββα

Lrsquointegrale particolare ottenuto ponendo le condizioni al contorno ( ) ( )0

000 hyy == saragrave

Ideg caso

( )

( )

=sdot+sdot

sdotminus=+

rArr

=sdotsdot+sdotsdot=

=sdot

+sdot+sdot=

sdotsdot

sdotsdot

02211

21

0

0

22

0

11

0

2

0

1

21

21

0

00

hzczc

K

Qcc

hezcezcy

K

Qececy

c

Iout

zz

c

Ioutzz ττ

minus

sdotsdot

+

=

sdotminus

minus

sdotsdot

+

minus=

rArr

=sdot+sdot

sdot+minus

sdotminusminus=

12

10

2

12

10

1

02212

21

zz

zK

Qh

c

K

Q

zz

zK

Qh

c

hzczK

Qc

K

Qcc

c

Iout

c

Ioutc

Iout

c

Iout

c

Iout

τ

τ

τ

τ

τ

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

τ

τ

Per cui ( ) tztz

ezcezchhtysdotsdot

sdotsdot+sdotsdot=minus=21

22110

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110

IIdeg caso

( ) ( )

( ) ( )

sdotsdot+=

sdotminus=

rArr

=+sdot

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot+sdotsdotsdot=

=sdot

+sdot+sdotsdot=

sdotsdot

sdot

c

Iout

c

Iout

c

Iout

zz

c

Ioutz

K

Qzhc

K

Qc

hccz

K

Qc

hceccezy

K

Qccey

τ

τ

ττ

102

1

0211

1

02

0

21

0

1

21

0

11

1

00

000

Per cui ( ) ( )

22110

11 cetccezhhtytztz

sdot+sdot+sdotsdotsdot=minus=sdotsdot

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot

IIIdeg caso

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

=sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=

=sdot

+sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdotsdot

sdot

021

0

21

0

21

0

0cos0sin0sin0cos0

00sin0cos0

hcceccey

K

Qccey

c

Iout

ββββββα

τββ

αα

α

I controlli automatici ndash IIa parte 23

sdotsdot+

=

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot

sdotminus=

β

τα

τ

βα

τ

c

Iout

c

Iout

c

Iout

K

Qh

c

K

Qc

hcc

K

Qc

0

2

1

021

1

Per cui ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhty tt

sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=minus=sdotsdot

ββββββααα

cossinsincos21210

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

I controlli automatici ndash IIa parte 9

Fig 8 - Controllore Proporzionale P

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

live

llo

h

Qout gt 0 Kc = 01

Qout gt 0 Kc = 02

Qout gt 0 Kc = 1

Set Point

4 - Controllore proporzionale-derivativo PD

In presenza di un controllo PD proporzionale derivativo lrsquoequazione di bilancio (relativa a una portata uscente Qout diversa da zero e costante) diventa

( )( )

dt

dhAQ

dt

hhdKhhK

outDccsdot=minus

minussdotsdot+minussdot

0

0τ

Ossia

( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )[ ]

dt

QhhKd

K

AKQhhK

dt

hhdAKQhhK

dt

hhdAQ

dt

hhdKhhK

outc

c

Dc

outc

Dcoutc

outDcc

minusminussdotsdot

+sdotminus=minusminussdot

minussdot+sdotminus=minusminussdot

minussdotminus=minus

minussdotsdot+minussdot

0

0

0

0

00

0

τ

τ

τ

Separando le variabili ed integrando

( )( )[ ]( )

( )( ) ( )

( ) ( )

outc

outct

AK

K

outc

outcQhhK

QhKDc

c

outc

outc

Dc

c

QhK

QhhKe

QhK

QhhKxt

AK

K

QhhK

QhhKddt

AK

K

Dc

c

outc

outc

minussdot

minusminussdot

=

minussdot

minusminussdot==sdot

+sdot

minus

minusminussdot

minusminussdot

=sdot

+sdot

minus

sdot

+sdot

minus

minusminussdot

minussdot

0

0

0

0

0

0

lnln0

0

τ

τ

τ

( )

minussdot

minus=

sdot

+sdot

minus tAK

K

c

out Dc

c

eK

Qhh

τ

10

(10)

Egrave evidente che ponendo nella (10) Qout = 0 si ottiene la risposta del sistema allrsquoazione del controllo PD per una portata uscente nulla

I controlli automatici ndash IIa parte 10

Le figure 9 10 ed 11 rappresentano il grafico della eq (10) per diversi valori delle costanti Kc e τD Come si puograve notare la presenza dellrsquoazione derivativa peggiora la risposta (h tenderagrave piugrave lentamente verso il valore di regime) e non serve ad eliminare lrsquooffset Il vantaggio dellrsquoimpiego di questo tipo di controllo sta perograve nel fatto che egrave possibile utilizzare valori elevati di Kc (riducendo lrsquooffset a regime) senza per questo avere risposte troppo brusche (vedi fig 11)

Fig 9 - Controllore PD

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h

τD = 0

τD = 5

τD = 10

Set Point

Fig 10 - Controllore PD

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h Qout gt 0 τD = 0

Qout gt 0 τD = 10

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 11

Fig 11 - Controllore PD

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h

Qout gt 0 Kc = 01 τD = 10

Qout gt 0 Kc = 02 τD = 10

Qout gt 0 Kc = 1 τD = 10

Set Point

5 - Controllore proporzionale-integrale PI

Nel caso di controllore PI proporzionale integrale il bilancio di materia diventa

( ) ( )( )dt

hhdAQdthh

KhhK

out

t

I

c

c

minus

sdotminus=minussdotminussdot+minussdot int 0

0

00

τ

Nellrsquoespressione su scritta ponendo

( ) ( )int sdotminus=

t

dthhty0

0

Avremo

2

2

dt

ydAQy

K

dt

dyK

out

I

c

csdotminus=minussdot+sdot

τ

Ovvero

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

ydout

I

cc=sdot

sdot

+sdot+

τ2

2

(11)

Che egrave unrsquoequazione differenziale lineare del secondo ordine (non omogenea) a coefficienti costanti Lrsquoequazione caratteristica della omogenea associata alla suddetta equazione egrave

02

=

sdot

+sdot+

I

cc

A

Kz

A

Kz

τ

Chiamando z1 e z2 le radici di tale equazione caratteristica la soluzione3 della (11) saragrave

Ideg caso rArrgtsdot

sdotminus

=∆ 04

2

I

cc

A

K

A

K

τc

I

K

Asdotgt 4τ

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110 (12)

Dove

3 Vedasi a tale proposito lrsquoAppendice ndeg 2

I controlli automatici ndash IIa parte 12

2

4

2

21

I

ccc

A

K

A

K

A

K

zτsdot

sdotminus

plusmnminus

=

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

ττ

IIdeg caso rArr=sdot

sdotminus

=∆ 04

2

I

cc

A

K

A

K

τc

I

K

Asdot= 4τ

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot (13)

Dove

A

Kzz

c

sdot

minus==

221

c

Iout

c

Iout

K

Qzhc

K

Qc

ττ sdotsdot+=

sdotminus=

1021

IIIdeg caso rArrltsdot

sdotminus

=∆ 04

2

I

cc

A

K

A

K

τc

I

K

Asdotlt 4τ

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

(14)

Dove

sdotsdotminus

minussdot=

sdotminus=sdotplusmn=

I

ccc

A

K

A

K

A

K iz

τβαβα 4

2

1

2

2

21

β

τα

τc

Iout

c

IoutK

Qh

c K

Qc

sdotsdot+

=sdot

minus=

0

21

Dal grafico della risposta di un controllore di questo tipo si deduce che 1 lrsquoazione integrale elimina lrsquooffset in altri termini pur in presenza di un disturbo

permanente il livello ritorna sempre al valore di set-point 2 la risposta del sistema tende perograve a diventare di tipo oscillatorio anche se tale tendenza egrave

meno pronunciata quando Qout ne 0 con un pendolarismo strettamente legato al valore delle costanti Kc e τI In ogni caso al diminuire dellrsquoampiezza dellrsquooscillazione aumenta il tempo affincheacute la variabile controllata si stabilizzi sul valore di regime

3 in questo tipo di controllo esiste un problema di scelta del valore ottimale da assegnare alle costanti suddette per rendere la risposta del sistema la migliore possibile

I controlli automatici ndash IIa parte 13

Fig 12 - Controllore PI

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout = 0 KcτIA gt 4

Qout = 0 KcτIA = 4

Qout = 0 KcτIA lt 4

Set Point

Fig 13 - Controllore PI

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout gt 0 KcτIA gt 4

Qout gt 0 KcτIA = 4

Qout gt 0 KcτIA lt 4

Set Point

6 - Controllore proporzionale-integrale-derivativo PID

Per un controllore proporzionale integrale derivativo PID il bilancio sul serbatoio si scrive

( ) ( )( ) ( )

dt

hhdAQ

dt

hhdKdthh

KhhK

outDc

t

I

c

c

minus

sdotminus=minus

minus

sdotsdot+sdotminussdot+minussdot int 00

0

00τ

τ

E con la solita posizione

I controlli automatici ndash IIa parte 14

( ) ( )int sdotminus=

t

dthhty0

0

Avremo

2

2

2

2

dt

ydAQ

dt

ydKy

K

dt

dyK

outDc

I

c

csdotminus=minussdotsdot+sdot+sdot τ

τ

Ovvero

( ) AK

Qy

AK

K

dt

dy

AK

K

dt

yd

Dc

out

DcI

c

Dc

c

+sdot

=sdot

+sdotsdot

+sdot

+sdot

+

ττττ2

2

(15)

Sono possibili tre casi (la dimostrazione viene tralasciata percheacute del tutto identica al caso del controllore PI con le uniche differenze legate alle espressioni del discriminante della equazione caratteristica e del termine noto dellrsquoequazione completa)

Ideg caso ( )

rArrgt+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdotgt

c

DI

K

Aττ 4

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110 (12)

Dove

( )

2

4

2

21

AK

K

AK

K

AK

K

zDcI

c

Dc

c

Dc

c

+sdotsdotsdotminus

+sdotplusmn

+sdotminus

=ττττ

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

τ

τ

IIdeg caso ( )

rArr=+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdot=

c

DI

K

Aττ 4

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot (13)

Dove

( )AK

Kzz

Dc

c

+sdotsdot

minus==

τ221

sdotsdot+=

sdotminus=

c

Iout

c

Iout

K

Qzhc

K

Qc

τ

τ

102

1

IIIdeg caso ( )

rArrlt+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdotlt

c

DI

K

Aττ 4

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

(14)

Dove

( ) ( )

+sdotsdotsdotminus

+sdotminussdot=

+sdotsdotminus=

sdotplusmn=

AK

K

AK

K

AK

K

iz

DcI

c

Dc

c

Dc

c

τττβ

τα

βα

42

1

2

2

21

I controlli automatici ndash IIa parte 15

sdotsdot+

=

sdotminus=

β

τα

τ

c

Iout

c

Iout

K

Qh

c

K

Qc

0

2

1

La risposta del sistema sottoposto ad unrsquoazione di controllo di questo tipo egrave diagrammata in fig 14 per Qout = 0

Fig 14 - Controllore PID

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) gt 4

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) = 4

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) lt 4

Set Point

Se ora disegniamo la risposta del controllore PID e la confrontiamo con quella di un controllore PI per un disturbo permanente otterremo un grafico del tipo illustrato nella fig 15

Fig 15 - Controllore PID vs PI

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h PID - KcτI(KcτD+A) lt 4

PI - KcτIA lt 4

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 16

Come si puograve notare la presenza dellrsquoazione derivativa comporta un peggioramento della risposta del sistema che diventa piugrave oscillatoria ossia con periodo e ampiezza dellrsquooscillazione maggiori Anche in questo caso inoltre come in quello giagrave discusso del controllore PI esiste un problema legato alla scelta ottimale dei valori dei parametri Kc τI e τD 7 ndash Conclusioni

Riassumendo dallrsquoanalisi delle risposte fornite dal sistema sotto lrsquoazione dei diversi controllori egrave possibile trarre le seguenti considerazioni

1 il controllore On-Off sarebbe in teoria il migliore tipo di controllo del nostro sciacquone per il suo basso costo e la sua maggiore efficienza in termini di tempo di riempimento Il suo limite principale egrave legato al fatto che la risposta al disturbo puograve essere molto brusca (a meno di non prendere opportune precauzioni) poicheacute la valvola di alimentazione si apre subito al massimo e rimane in questo stato fino al cessare dellrsquoazione del controllore Inoltre nel caso di perdite dovute a una non perfetta chiusura della valvola di scarico il livello dellrsquoacqua nel serbatoio oscilleragrave continuamente tra il valore impostato di set-point e il valore minimo al di sotto del quale il controllore si attiva

2 il controllore proporzionale (P) puograve essere reso simile al controllore On-Off aumentando il valore del guadagno Kc ma egrave anche possibile modulando opportunamente il valore di questa grandezza rendere piugrave ldquodolcerdquo la risposta del sistema ossia meno intensa la portata di adduzione dellrsquoacqua Tale portata andragrave comunque decrescendo nel tempo allungando i tempi di risposta rispetto al caso del sistema On-Off In effetti il controllore proporzionale egrave quello universalmente piugrave adoperato per questo tipo di processo anche se il suo limite principale risiede nellrsquoimpossibilitagrave di riportare il livello sul valore di set-point nel caso di disturbi protratti nel tempo (presenza di offset)

3 lrsquoaggiunta dellrsquoazione derivativa a quella proporzionale (PD) egrave inutile o addirittura dannosa in un processo discontinuo quale egrave il riempimento del nostro sciacquone In questo processo infatti il disturbo o ha una durata molto limitata (periodo nel quale il sistema di controllo in ogni caso non puograve agire date le caratteristiche costruttive dello sciacquone) o egrave costante nel tempo per cui lrsquoerrore ε egrave comunque una funzione monotona decrescente nel tempo Per tale motivo lrsquoaggiunta di questo tipo di controllo si traduce in un rallentamento della velocitagrave di riempimento e si puograve giustificare soltanto se contestualmente si incrementa il valore del guadagno proporzionale Kc in modo da avere una risposta rapida ma non troppo brusca e con basso offset

4 lrsquoazione integrale unita a quella proporzionale (PI) ha il grande vantaggio di eliminare lrsquooffset in presenza di disturbi costanti a spese perograve del comportamento oscillatorio assunto dal sistema Lrsquoopportuno settaggio dei parametri di controllo (Kc e τI) puograve comunque consentire di ottenere una risposta adeguata alle necessitagrave

5 non esiste alcun motivo realmente valido per utilizzare un controllo di tipo PID per il processo discontinuo in questione Oltre al maggior costo di questo tipo di apparecchiatura crsquoegrave da dire che lrsquoazione derivativa unita a quella integrale peggiora in modo molto marcato la risposta del sistema rallentandola e facendo aumentare lrsquoovershoot (mentre in un sistema continuo si otterrebbe lrsquoeffetto esattamente opposto) Lrsquounico vantaggio dellrsquoutilizzo contemporaneo dei tre meccanismi di controllo (proporzionale integrale e derivativo) si ha nella possibilitagrave di regolare tre parametri (Kc τI τD) al posto di uno solo (Kc) o due (Kc e τI oppure Kc e τD) per ottimizzare la risposta In effetti incrementando la costante Kc insieme al tempo derivativo τD egrave possibile rendere la risposta del sistema veloce (ma non troppo rapida come si avrebbe in un controllo di tipo puramente PI) e nello stesso tempo ridurne considerevolmente il comportamento oscillatorio (vedi fig 16 seguente)

I controlli automatici ndash IIa parte 17

Fig 16 - PI vs PID (KcPIDKcPI = 10)

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h PI

PID

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 18

Appendice 1 Integrazione dellrsquoequazione di bilancio per un controllore On ndash Off

Data lrsquoequazione

dt

dhAhKQ

insdot=sdotminus (3)

Eseguendo la sostituzione

dhdyyhyhy =sdotsdotrArr=rArr= 22

avremo

A

K

yA

Q

dt

dy

dt

dyyAyKQ

in

in

sdot

minus

sdotsdot

=

sdotsdotsdot=sdotminus

22

2

Ovvero ponendo

A

K

A

Qin

sdot

=

sdot

=

22βα

βαminus=

ydt

dy

E introducendo la nuova variabile

zdt

dz

z

dt

dz

zdt

dzy

dt

dy

dt

dy

ydt

dz

zy

yz

=sdot

+sdotminus

sdot

+sdotminus=sdotminus=rArrsdotminus=

+=rArrminus=

2

22

2

1

1

β

α

α

β

α

αα

α

β

αβ

α

Abbiamo trasformato lrsquoequazione originaria in una a variabili separabili

( ) αβ

dtdz

zzminus=sdot

+sdot2

1

La frazione a primo membro puograve essere scomposta col metodo dei coefficienti indeterminati ottenendo

( ) ( ) ( )( ) ( )

=

minus=+sdotminus

=

minus=

rArr

=

sdotminussdotsdotminus=

minus=

rArr

=sdot

=+sdot+sdotsdot

=+

=sdot+sdotsdot+sdot+sdot+sdotsdotsdot+sdot

=sdot++sdotsdot++sdotrArr+

++

+=+sdot

2

22

2

2

2

222

2

22

1

12

1

1

2

1

02

0

12

11

β

ββ

β

β

β

β

β

ββ

β

ββ

βββ

βββββ

A

C

B

A

BAC

AB

A

CBA

BA

zCzBzBAzAzA

zCzzBzAz

C

z

B

z

A

zz

Per cui lrsquointegrale fornisce

( ) ( ) ( ) intint int intint sdotminus=sdot

+

+sdot

+

+sdot=sdot

+sdot

dtdzz

Cdz

z

Bdz

z

Adz

zz αβββ

11

22

I controlli automatici ndash IIa parte 19

( )( )

αβαα

β

β

ααα

β

αα

αβ

α

αα

αβ

α

αββ

tyy

Cy

t

CtyCy

A

CtyC

yyA

Ct

y

C

yB

yA

Ct

z

CzBzA

minus=sdot

+

sdotminussdot

=rArr

=

=

+minus=sdot

minus

sdotminussdot

+minus=sdot

minus

minus

minussdot

+minus=

minus

sdot+

minussdot

+minus=+

minus+sdot+sdot

1ln1

00

0

1ln

lnln

lnln

lnln

2

α

β

α

β

α

β2

1ln sdotminus=sdot

+

sdotminus t

yy

Ovvero

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdot+

sdotminus

21ln

2

(5)

Mentre se le condizioni iniziali fossero diverse avremmo

αβαα

β

β

111

2

1

11ln

1

tyyC

yy

tt+

sdot+

sdotminussdot=rArr

=

=

Ossia

+

sdot+

sdotminussdot+minus=

sdot+

sdotminussdot

αβαα

β

βαβαα

β

β

111

221ln

11ln

1 tyytyy

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β 22

1

111ln1ln sdotminus=

sdot+

sdot+

sdotminusminus

sdot+

sdotminus tt

yyyy

ininininininQA

Kt

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdotsdotsdot+

sdot+

sdotminusminus

sdot+

sdotminus

221ln1ln

22

1

11 (5b)

Poicheacute la (5) non fornisce esplicitamente lrsquoaltezza h in funzione del tempo t egrave possibile approssimare il logaritmo del primo membro mediante espansione in serie Avremo allora

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) suminfin

=

minus=minus

+sdot

minus

minusminussdot

minus

minussdot

minus

minusminus=minus

+sdot++sdot+sdot+=

1

2

2

2

1ln

01

1

201

1

01

101ln1ln

02

000

n

n

n

n

n

n

n

xx

n

xxxx

n

xf

xfxffxf

I termini nella sommatoria sono decrescenti (si ricordi che il fattore in

Q

hKx

sdot

= egrave minore di 1 in

quanto rappresenta il rapporto tra la portata uscente e quella in ingresso al serbatoio) Limitando lrsquoespansione in serie ai primi tre termini non nulli e sostituendo in (5)

I controlli automatici ndash IIa parte 20

ininin

ininininin

QA

Kt

Q

hhK

Q

hK

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

sdotsdot

sdotcong

sdot

sdotsdot+

sdot

sdot

sdotsdot

sdotminuscongsdot

+

sdot

sdotminus

sdot

sdotminus

sdotminus

232

232

2

3

3

2

2

2

3

33

2

2

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotcong

sdotsdot+sdot

sdot

sdot

23

21

2

2

2

2

in

out

in

Q

QA

Qth

+

sdotsdotcong

1

1 (5c)

Dove col simbolo outQ si egrave indicata la portata media uscente ovvero

0

3

2hKQ

outsdotsdot=

La (5c) puograve essere ulteriormente semplificata espandendo in serie anche il fattore

in

out

Q

Q+1

1

( ) ( )

01

1

01

1

01

1

1

1

1

1 2

32+sdot

+

+sdot

+

minus

+

=

+

=

+

xxx

Q

Q

in

out

E trascurando i termini con esponente maggiore di 1 (in

out

Q

Q egrave minore di 1)

in

out

in

outQ

Q

Q

Qminuscong

+

1

1

1

Per cui la (5c) diventa

A

QQt

Q

Q

A

Qth outin

in

outinminus

sdot=

minussdotsdotcong 1 (6)

I controlli automatici ndash IIa parte 21

Appendice 2 Integrazione dellrsquoequazione di bilancio per un controllore PI

Come visto il bilancio di materia sul serbatoio in presenza di controllo proporzionale integrale porta a

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

ydout

I

cc=sdot

sdot

+sdot+

τ2

2

(11)

La soluzione generale y(t) della suddetta equazione si ottiene sommando ad una sua soluzione particolare y0(t) la soluzione generale della equazione omogenea associata

02

2

=sdot

sdot

+sdot+ yA

K

dt

dy

A

K

dt

yd

I

cc

τ

Poicheacute A

Qout (il termine a secondo membro della (1)) egrave una costante e puograve essere considerato un

polinomio di grado zero rispetto alla variabile tempo t e I

c

A

K

τsdot

(il coefficiente della funzione

incognita y) egrave diverso da zero la teoria risolutiva di questo tipo di equazioni impone che anche la soluzione particolare y0(t) sia un polinomio di grado zero del tipo y0(t) = a e che deve rispettare la condizione

( )c

Iout

c

Ioutout

I

ccout

I

cc

K

Qty

K

Qa

A

Qa

A

K

A

K

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

yd

τ

τ

ττ

sdot=

sdot=rArr=sdot

sdot

+sdot+rArr=sdot

sdot

+sdot+

0

0

0

2

0

2

00

Lrsquoequazione caratteristica della equazione differenziale omogenea associata alla suddetta equazione egrave

02

=

sdot

+sdot+

I

cc

A

Kz

A

Kz

τ

Avremo allora in base al segno del discriminante di tale equazione Ideg caso 0gt∆

c

I

I

c

I

cc

I

cc

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

KsdotgtrArrgtrArr

sdotsdotgt

rArrgt

sdotsdotminus

4

4404

22

τ

τττ

2

4

2

21

I

ccc

A

K

A

K

A

K

zτsdot

sdotminus

plusmnminus

=

E lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave tztz

ececysdotsdot

sdot+sdot=21

21

IIdeg caso 0=∆

A

Kzz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

c

I

I

c

I

cc

I

cc

sdotminus==

sdot=rArr=rArrsdot

sdot=

rArr=

sdotsdotminus

2

44

404

21

22

τ

τττ

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave ( )tcceytz

sdot+sdotsdot=sdot

21

1 IIIdeg caso 0lt∆

βα

ττττ

sdotplusmn=

sdotltrArrltrArrsdot

sdotlt

rArrlt

sdotsdotminus

iz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

I

I

c

I

cc

I

cc

21

22

44

404

I controlli automatici ndash IIa parte 22

sdotsdotminus

minussdot=

sdotminus=

I

ccc

A

K

A

K

A

K

τβα 4

2

1

2

2

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata diventa ( ) ( )[ ]tctceyt

sdotsdot+sdotsdotsdot=sdot ββα

sincos21

Lrsquointegrale generale dellrsquoequazione completa (11) saragrave allora Ideg caso ( )tyececy

tztz

021

21+sdot+sdot=

sdotsdot

IIdeg caso ( ) ( )tytcceytz

021

1+sdot+sdotsdot=

sdot

IIIdeg caso ( ) ( )[ ] ( )tytctceyt

021sincos +sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdot

ββα

Lrsquointegrale particolare ottenuto ponendo le condizioni al contorno ( ) ( )0

000 hyy == saragrave

Ideg caso

( )

( )

=sdot+sdot

sdotminus=+

rArr

=sdotsdot+sdotsdot=

=sdot

+sdot+sdot=

sdotsdot

sdotsdot

02211

21

0

0

22

0

11

0

2

0

1

21

21

0

00

hzczc

K

Qcc

hezcezcy

K

Qececy

c

Iout

zz

c

Ioutzz ττ

minus

sdotsdot

+

=

sdotminus

minus

sdotsdot

+

minus=

rArr

=sdot+sdot

sdot+minus

sdotminusminus=

12

10

2

12

10

1

02212

21

zz

zK

Qh

c

K

Q

zz

zK

Qh

c

hzczK

Qc

K

Qcc

c

Iout

c

Ioutc

Iout

c

Iout

c

Iout

τ

τ

τ

τ

τ

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

τ

τ

Per cui ( ) tztz

ezcezchhtysdotsdot

sdotsdot+sdotsdot=minus=21

22110

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110

IIdeg caso

( ) ( )

( ) ( )

sdotsdot+=

sdotminus=

rArr

=+sdot

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot+sdotsdotsdot=

=sdot

+sdot+sdotsdot=

sdotsdot

sdot

c

Iout

c

Iout

c

Iout

zz

c

Ioutz

K

Qzhc

K

Qc

hccz

K

Qc

hceccezy

K

Qccey

τ

τ

ττ

102

1

0211

1

02

0

21

0

1

21

0

11

1

00

000

Per cui ( ) ( )

22110

11 cetccezhhtytztz

sdot+sdot+sdotsdotsdot=minus=sdotsdot

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot

IIIdeg caso

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

=sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=

=sdot

+sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdotsdot

sdot

021

0

21

0

21

0

0cos0sin0sin0cos0

00sin0cos0

hcceccey

K

Qccey

c

Iout

ββββββα

τββ

αα

α

I controlli automatici ndash IIa parte 23

sdotsdot+

=

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot

sdotminus=

β

τα

τ

βα

τ

c

Iout

c

Iout

c

Iout

K

Qh

c

K

Qc

hcc

K

Qc

0

2

1

021

1

Per cui ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhty tt

sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=minus=sdotsdot

ββββββααα

cossinsincos21210

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

I controlli automatici ndash IIa parte 10

Le figure 9 10 ed 11 rappresentano il grafico della eq (10) per diversi valori delle costanti Kc e τD Come si puograve notare la presenza dellrsquoazione derivativa peggiora la risposta (h tenderagrave piugrave lentamente verso il valore di regime) e non serve ad eliminare lrsquooffset Il vantaggio dellrsquoimpiego di questo tipo di controllo sta perograve nel fatto che egrave possibile utilizzare valori elevati di Kc (riducendo lrsquooffset a regime) senza per questo avere risposte troppo brusche (vedi fig 11)

Fig 9 - Controllore PD

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h

τD = 0

τD = 5

τD = 10

Set Point

Fig 10 - Controllore PD

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h Qout gt 0 τD = 0

Qout gt 0 τD = 10

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 11

Fig 11 - Controllore PD

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h

Qout gt 0 Kc = 01 τD = 10

Qout gt 0 Kc = 02 τD = 10

Qout gt 0 Kc = 1 τD = 10

Set Point

5 - Controllore proporzionale-integrale PI

Nel caso di controllore PI proporzionale integrale il bilancio di materia diventa

( ) ( )( )dt

hhdAQdthh

KhhK

out

t

I

c

c

minus

sdotminus=minussdotminussdot+minussdot int 0

0

00

τ

Nellrsquoespressione su scritta ponendo

( ) ( )int sdotminus=

t

dthhty0

0

Avremo

2

2

dt

ydAQy

K

dt

dyK

out

I

c

csdotminus=minussdot+sdot

τ

Ovvero

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

ydout

I

cc=sdot

sdot

+sdot+

τ2

2

(11)

Che egrave unrsquoequazione differenziale lineare del secondo ordine (non omogenea) a coefficienti costanti Lrsquoequazione caratteristica della omogenea associata alla suddetta equazione egrave

02

=

sdot

+sdot+

I

cc

A

Kz

A

Kz

τ

Chiamando z1 e z2 le radici di tale equazione caratteristica la soluzione3 della (11) saragrave

Ideg caso rArrgtsdot

sdotminus

=∆ 04

2

I

cc

A

K

A

K

τc

I

K

Asdotgt 4τ

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110 (12)

Dove

3 Vedasi a tale proposito lrsquoAppendice ndeg 2

I controlli automatici ndash IIa parte 12

2

4

2

21

I

ccc

A

K

A

K

A

K

zτsdot

sdotminus

plusmnminus

=

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

ττ

IIdeg caso rArr=sdot

sdotminus

=∆ 04

2

I

cc

A

K

A

K

τc

I

K

Asdot= 4τ

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot (13)

Dove

A

Kzz

c

sdot

minus==

221

c

Iout

c

Iout

K

Qzhc

K

Qc

ττ sdotsdot+=

sdotminus=

1021

IIIdeg caso rArrltsdot

sdotminus

=∆ 04

2

I

cc

A

K

A

K

τc

I

K

Asdotlt 4τ

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

(14)

Dove

sdotsdotminus

minussdot=

sdotminus=sdotplusmn=

I

ccc

A

K

A

K

A

K iz

τβαβα 4

2

1

2

2

21

β

τα

τc

Iout

c

IoutK

Qh

c K

Qc

sdotsdot+

=sdot

minus=

0

21

Dal grafico della risposta di un controllore di questo tipo si deduce che 1 lrsquoazione integrale elimina lrsquooffset in altri termini pur in presenza di un disturbo

permanente il livello ritorna sempre al valore di set-point 2 la risposta del sistema tende perograve a diventare di tipo oscillatorio anche se tale tendenza egrave

meno pronunciata quando Qout ne 0 con un pendolarismo strettamente legato al valore delle costanti Kc e τI In ogni caso al diminuire dellrsquoampiezza dellrsquooscillazione aumenta il tempo affincheacute la variabile controllata si stabilizzi sul valore di regime

3 in questo tipo di controllo esiste un problema di scelta del valore ottimale da assegnare alle costanti suddette per rendere la risposta del sistema la migliore possibile

I controlli automatici ndash IIa parte 13

Fig 12 - Controllore PI

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout = 0 KcτIA gt 4

Qout = 0 KcτIA = 4

Qout = 0 KcτIA lt 4

Set Point

Fig 13 - Controllore PI

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout gt 0 KcτIA gt 4

Qout gt 0 KcτIA = 4

Qout gt 0 KcτIA lt 4

Set Point

6 - Controllore proporzionale-integrale-derivativo PID

Per un controllore proporzionale integrale derivativo PID il bilancio sul serbatoio si scrive

( ) ( )( ) ( )

dt

hhdAQ

dt

hhdKdthh

KhhK

outDc

t

I

c

c

minus

sdotminus=minus

minus

sdotsdot+sdotminussdot+minussdot int 00

0

00τ

τ

E con la solita posizione

I controlli automatici ndash IIa parte 14

( ) ( )int sdotminus=

t

dthhty0

0

Avremo

2

2

2

2

dt

ydAQ

dt

ydKy

K

dt

dyK

outDc

I

c

csdotminus=minussdotsdot+sdot+sdot τ

τ

Ovvero

( ) AK

Qy

AK

K

dt

dy

AK

K

dt

yd

Dc

out

DcI

c

Dc

c

+sdot

=sdot

+sdotsdot

+sdot

+sdot

+

ττττ2

2

(15)

Sono possibili tre casi (la dimostrazione viene tralasciata percheacute del tutto identica al caso del controllore PI con le uniche differenze legate alle espressioni del discriminante della equazione caratteristica e del termine noto dellrsquoequazione completa)

Ideg caso ( )

rArrgt+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdotgt

c

DI

K

Aττ 4

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110 (12)

Dove

( )

2

4

2

21

AK

K

AK

K

AK

K

zDcI

c

Dc

c

Dc

c

+sdotsdotsdotminus

+sdotplusmn

+sdotminus

=ττττ

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

τ

τ

IIdeg caso ( )

rArr=+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdot=

c

DI

K

Aττ 4

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot (13)

Dove

( )AK

Kzz

Dc

c

+sdotsdot

minus==

τ221

sdotsdot+=

sdotminus=

c

Iout

c

Iout

K

Qzhc

K

Qc

τ

τ

102

1

IIIdeg caso ( )

rArrlt+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdotlt

c

DI

K

Aττ 4

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

(14)

Dove

( ) ( )

+sdotsdotsdotminus

+sdotminussdot=

+sdotsdotminus=

sdotplusmn=

AK

K

AK

K

AK

K

iz

DcI

c

Dc

c

Dc

c

τττβ

τα

βα

42

1

2

2

21

I controlli automatici ndash IIa parte 15

sdotsdot+

=

sdotminus=

β

τα

τ

c

Iout

c

Iout

K

Qh

c

K

Qc

0

2

1

La risposta del sistema sottoposto ad unrsquoazione di controllo di questo tipo egrave diagrammata in fig 14 per Qout = 0

Fig 14 - Controllore PID

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) gt 4

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) = 4

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) lt 4

Set Point

Se ora disegniamo la risposta del controllore PID e la confrontiamo con quella di un controllore PI per un disturbo permanente otterremo un grafico del tipo illustrato nella fig 15

Fig 15 - Controllore PID vs PI

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h PID - KcτI(KcτD+A) lt 4

PI - KcτIA lt 4

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 16

Come si puograve notare la presenza dellrsquoazione derivativa comporta un peggioramento della risposta del sistema che diventa piugrave oscillatoria ossia con periodo e ampiezza dellrsquooscillazione maggiori Anche in questo caso inoltre come in quello giagrave discusso del controllore PI esiste un problema legato alla scelta ottimale dei valori dei parametri Kc τI e τD 7 ndash Conclusioni

Riassumendo dallrsquoanalisi delle risposte fornite dal sistema sotto lrsquoazione dei diversi controllori egrave possibile trarre le seguenti considerazioni

1 il controllore On-Off sarebbe in teoria il migliore tipo di controllo del nostro sciacquone per il suo basso costo e la sua maggiore efficienza in termini di tempo di riempimento Il suo limite principale egrave legato al fatto che la risposta al disturbo puograve essere molto brusca (a meno di non prendere opportune precauzioni) poicheacute la valvola di alimentazione si apre subito al massimo e rimane in questo stato fino al cessare dellrsquoazione del controllore Inoltre nel caso di perdite dovute a una non perfetta chiusura della valvola di scarico il livello dellrsquoacqua nel serbatoio oscilleragrave continuamente tra il valore impostato di set-point e il valore minimo al di sotto del quale il controllore si attiva

2 il controllore proporzionale (P) puograve essere reso simile al controllore On-Off aumentando il valore del guadagno Kc ma egrave anche possibile modulando opportunamente il valore di questa grandezza rendere piugrave ldquodolcerdquo la risposta del sistema ossia meno intensa la portata di adduzione dellrsquoacqua Tale portata andragrave comunque decrescendo nel tempo allungando i tempi di risposta rispetto al caso del sistema On-Off In effetti il controllore proporzionale egrave quello universalmente piugrave adoperato per questo tipo di processo anche se il suo limite principale risiede nellrsquoimpossibilitagrave di riportare il livello sul valore di set-point nel caso di disturbi protratti nel tempo (presenza di offset)

3 lrsquoaggiunta dellrsquoazione derivativa a quella proporzionale (PD) egrave inutile o addirittura dannosa in un processo discontinuo quale egrave il riempimento del nostro sciacquone In questo processo infatti il disturbo o ha una durata molto limitata (periodo nel quale il sistema di controllo in ogni caso non puograve agire date le caratteristiche costruttive dello sciacquone) o egrave costante nel tempo per cui lrsquoerrore ε egrave comunque una funzione monotona decrescente nel tempo Per tale motivo lrsquoaggiunta di questo tipo di controllo si traduce in un rallentamento della velocitagrave di riempimento e si puograve giustificare soltanto se contestualmente si incrementa il valore del guadagno proporzionale Kc in modo da avere una risposta rapida ma non troppo brusca e con basso offset

4 lrsquoazione integrale unita a quella proporzionale (PI) ha il grande vantaggio di eliminare lrsquooffset in presenza di disturbi costanti a spese perograve del comportamento oscillatorio assunto dal sistema Lrsquoopportuno settaggio dei parametri di controllo (Kc e τI) puograve comunque consentire di ottenere una risposta adeguata alle necessitagrave

5 non esiste alcun motivo realmente valido per utilizzare un controllo di tipo PID per il processo discontinuo in questione Oltre al maggior costo di questo tipo di apparecchiatura crsquoegrave da dire che lrsquoazione derivativa unita a quella integrale peggiora in modo molto marcato la risposta del sistema rallentandola e facendo aumentare lrsquoovershoot (mentre in un sistema continuo si otterrebbe lrsquoeffetto esattamente opposto) Lrsquounico vantaggio dellrsquoutilizzo contemporaneo dei tre meccanismi di controllo (proporzionale integrale e derivativo) si ha nella possibilitagrave di regolare tre parametri (Kc τI τD) al posto di uno solo (Kc) o due (Kc e τI oppure Kc e τD) per ottimizzare la risposta In effetti incrementando la costante Kc insieme al tempo derivativo τD egrave possibile rendere la risposta del sistema veloce (ma non troppo rapida come si avrebbe in un controllo di tipo puramente PI) e nello stesso tempo ridurne considerevolmente il comportamento oscillatorio (vedi fig 16 seguente)

I controlli automatici ndash IIa parte 17

Fig 16 - PI vs PID (KcPIDKcPI = 10)

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h PI

PID

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 18

Appendice 1 Integrazione dellrsquoequazione di bilancio per un controllore On ndash Off

Data lrsquoequazione

dt

dhAhKQ

insdot=sdotminus (3)

Eseguendo la sostituzione

dhdyyhyhy =sdotsdotrArr=rArr= 22

avremo

A

K

yA

Q

dt

dy

dt

dyyAyKQ

in

in

sdot

minus

sdotsdot

=

sdotsdotsdot=sdotminus

22

2

Ovvero ponendo

A

K

A

Qin

sdot

=

sdot

=

22βα

βαminus=

ydt

dy

E introducendo la nuova variabile

zdt

dz

z

dt

dz

zdt

dzy

dt

dy

dt

dy

ydt

dz

zy

yz

=sdot

+sdotminus

sdot

+sdotminus=sdotminus=rArrsdotminus=

+=rArrminus=

2

22

2

1

1

β

α

α

β

α

αα

α

β

αβ

α

Abbiamo trasformato lrsquoequazione originaria in una a variabili separabili

( ) αβ

dtdz

zzminus=sdot

+sdot2

1

La frazione a primo membro puograve essere scomposta col metodo dei coefficienti indeterminati ottenendo

( ) ( ) ( )( ) ( )

=

minus=+sdotminus

=

minus=

rArr

=

sdotminussdotsdotminus=

minus=

rArr

=sdot

=+sdot+sdotsdot

=+

=sdot+sdotsdot+sdot+sdot+sdotsdotsdot+sdot

=sdot++sdotsdot++sdotrArr+

++

+=+sdot

2

22

2

2

2

222

2

22

1

12

1

1

2

1

02

0

12

11

β

ββ

β

β

β

β

β

ββ

β

ββ

βββ

βββββ

A

C

B

A

BAC

AB

A

CBA

BA

zCzBzBAzAzA

zCzzBzAz

C

z

B

z

A

zz

Per cui lrsquointegrale fornisce

( ) ( ) ( ) intint int intint sdotminus=sdot

+

+sdot

+

+sdot=sdot

+sdot

dtdzz

Cdz

z

Bdz

z

Adz

zz αβββ

11

22

I controlli automatici ndash IIa parte 19

( )( )

αβαα

β

β

ααα

β

αα

αβ

α

αα

αβ

α

αββ

tyy

Cy

t

CtyCy

A

CtyC

yyA

Ct

y

C

yB

yA

Ct

z

CzBzA

minus=sdot

+

sdotminussdot

=rArr

=

=

+minus=sdot

minus

sdotminussdot

+minus=sdot

minus

minus

minussdot

+minus=

minus

sdot+

minussdot

+minus=+

minus+sdot+sdot

1ln1

00

0

1ln

lnln

lnln

lnln

2

α

β

α

β

α

β2

1ln sdotminus=sdot

+

sdotminus t

yy

Ovvero

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdot+

sdotminus

21ln

2

(5)

Mentre se le condizioni iniziali fossero diverse avremmo

αβαα

β

β

111

2

1

11ln

1

tyyC

yy

tt+

sdot+

sdotminussdot=rArr

=

=

Ossia

+

sdot+

sdotminussdot+minus=

sdot+

sdotminussdot

αβαα

β

βαβαα

β

β

111

221ln

11ln

1 tyytyy

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β 22

1

111ln1ln sdotminus=

sdot+

sdot+

sdotminusminus

sdot+

sdotminus tt

yyyy

ininininininQA

Kt

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdotsdotsdot+

sdot+

sdotminusminus

sdot+

sdotminus

221ln1ln

22

1

11 (5b)

Poicheacute la (5) non fornisce esplicitamente lrsquoaltezza h in funzione del tempo t egrave possibile approssimare il logaritmo del primo membro mediante espansione in serie Avremo allora

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) suminfin

=

minus=minus

+sdot

minus

minusminussdot

minus

minussdot

minus

minusminus=minus

+sdot++sdot+sdot+=

1

2

2

2

1ln

01

1

201

1

01

101ln1ln

02

000

n

n

n

n

n

n

n

xx

n

xxxx

n

xf

xfxffxf

I termini nella sommatoria sono decrescenti (si ricordi che il fattore in

Q

hKx

sdot

= egrave minore di 1 in

quanto rappresenta il rapporto tra la portata uscente e quella in ingresso al serbatoio) Limitando lrsquoespansione in serie ai primi tre termini non nulli e sostituendo in (5)

I controlli automatici ndash IIa parte 20

ininin

ininininin

QA

Kt

Q

hhK

Q

hK

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

sdotsdot

sdotcong

sdot

sdotsdot+

sdot

sdot

sdotsdot

sdotminuscongsdot

+

sdot

sdotminus

sdot

sdotminus

sdotminus

232

232

2

3

3

2

2

2

3

33

2

2

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotcong

sdotsdot+sdot

sdot

sdot

23

21

2

2

2

2

in

out

in

Q

QA

Qth

+

sdotsdotcong

1

1 (5c)

Dove col simbolo outQ si egrave indicata la portata media uscente ovvero

0

3

2hKQ

outsdotsdot=

La (5c) puograve essere ulteriormente semplificata espandendo in serie anche il fattore

in

out

Q

Q+1

1

( ) ( )

01

1

01

1

01

1

1

1

1

1 2

32+sdot

+

+sdot

+

minus

+

=

+

=

+

xxx

Q

Q

in

out

E trascurando i termini con esponente maggiore di 1 (in

out

Q

Q egrave minore di 1)

in

out

in

outQ

Q

Q

Qminuscong

+

1

1

1

Per cui la (5c) diventa

A

QQt

Q

Q

A

Qth outin

in

outinminus

sdot=

minussdotsdotcong 1 (6)

I controlli automatici ndash IIa parte 21

Appendice 2 Integrazione dellrsquoequazione di bilancio per un controllore PI

Come visto il bilancio di materia sul serbatoio in presenza di controllo proporzionale integrale porta a

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

ydout

I

cc=sdot

sdot

+sdot+

τ2

2

(11)

La soluzione generale y(t) della suddetta equazione si ottiene sommando ad una sua soluzione particolare y0(t) la soluzione generale della equazione omogenea associata

02

2

=sdot

sdot

+sdot+ yA

K

dt

dy

A

K

dt

yd

I

cc

τ

Poicheacute A

Qout (il termine a secondo membro della (1)) egrave una costante e puograve essere considerato un

polinomio di grado zero rispetto alla variabile tempo t e I

c

A

K

τsdot

(il coefficiente della funzione

incognita y) egrave diverso da zero la teoria risolutiva di questo tipo di equazioni impone che anche la soluzione particolare y0(t) sia un polinomio di grado zero del tipo y0(t) = a e che deve rispettare la condizione

( )c

Iout

c

Ioutout

I

ccout

I

cc

K

Qty

K

Qa

A

Qa

A

K

A

K

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

yd

τ

τ

ττ

sdot=

sdot=rArr=sdot

sdot

+sdot+rArr=sdot

sdot

+sdot+

0

0

0

2

0

2

00

Lrsquoequazione caratteristica della equazione differenziale omogenea associata alla suddetta equazione egrave

02

=

sdot

+sdot+

I

cc

A

Kz

A

Kz

τ

Avremo allora in base al segno del discriminante di tale equazione Ideg caso 0gt∆

c

I

I

c

I

cc

I

cc

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

KsdotgtrArrgtrArr

sdotsdotgt

rArrgt

sdotsdotminus

4

4404

22

τ

τττ

2

4

2

21

I

ccc

A

K

A

K

A

K

zτsdot

sdotminus

plusmnminus

=

E lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave tztz

ececysdotsdot

sdot+sdot=21

21

IIdeg caso 0=∆

A

Kzz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

c

I

I

c

I

cc

I

cc

sdotminus==

sdot=rArr=rArrsdot

sdot=

rArr=

sdotsdotminus

2

44

404

21

22

τ

τττ

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave ( )tcceytz

sdot+sdotsdot=sdot

21

1 IIIdeg caso 0lt∆

βα

ττττ

sdotplusmn=

sdotltrArrltrArrsdot

sdotlt

rArrlt

sdotsdotminus

iz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

I

I

c

I

cc

I

cc

21

22

44

404

I controlli automatici ndash IIa parte 22

sdotsdotminus

minussdot=

sdotminus=

I

ccc

A

K

A

K

A

K

τβα 4

2

1

2

2

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata diventa ( ) ( )[ ]tctceyt

sdotsdot+sdotsdotsdot=sdot ββα

sincos21

Lrsquointegrale generale dellrsquoequazione completa (11) saragrave allora Ideg caso ( )tyececy

tztz

021

21+sdot+sdot=

sdotsdot

IIdeg caso ( ) ( )tytcceytz

021

1+sdot+sdotsdot=

sdot

IIIdeg caso ( ) ( )[ ] ( )tytctceyt

021sincos +sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdot

ββα

Lrsquointegrale particolare ottenuto ponendo le condizioni al contorno ( ) ( )0

000 hyy == saragrave

Ideg caso

( )

( )

=sdot+sdot

sdotminus=+

rArr

=sdotsdot+sdotsdot=

=sdot

+sdot+sdot=

sdotsdot

sdotsdot

02211

21

0

0

22

0

11

0

2

0

1

21

21

0

00

hzczc

K

Qcc

hezcezcy

K

Qececy

c

Iout

zz

c

Ioutzz ττ

minus

sdotsdot

+

=

sdotminus

minus

sdotsdot

+

minus=

rArr

=sdot+sdot

sdot+minus

sdotminusminus=

12

10

2

12

10

1

02212

21

zz

zK

Qh

c

K

Q

zz

zK

Qh

c

hzczK

Qc

K

Qcc

c

Iout

c

Ioutc

Iout

c

Iout

c

Iout

τ

τ

τ

τ

τ

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

τ

τ

Per cui ( ) tztz

ezcezchhtysdotsdot

sdotsdot+sdotsdot=minus=21

22110

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110

IIdeg caso

( ) ( )

( ) ( )

sdotsdot+=

sdotminus=

rArr

=+sdot

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot+sdotsdotsdot=

=sdot

+sdot+sdotsdot=

sdotsdot

sdot

c

Iout

c

Iout

c

Iout

zz

c

Ioutz

K

Qzhc

K

Qc

hccz

K

Qc

hceccezy

K

Qccey

τ

τ

ττ

102

1

0211

1

02

0

21

0

1

21

0

11

1

00

000

Per cui ( ) ( )

22110

11 cetccezhhtytztz

sdot+sdot+sdotsdotsdot=minus=sdotsdot

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot

IIIdeg caso

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

=sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=

=sdot

+sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdotsdot

sdot

021

0

21

0

21

0

0cos0sin0sin0cos0

00sin0cos0

hcceccey

K

Qccey

c

Iout

ββββββα

τββ

αα

α

I controlli automatici ndash IIa parte 23

sdotsdot+

=

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot

sdotminus=

β

τα

τ

βα

τ

c

Iout

c

Iout

c

Iout

K

Qh

c

K

Qc

hcc

K

Qc

0

2

1

021

1

Per cui ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhty tt

sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=minus=sdotsdot

ββββββααα

cossinsincos21210

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

I controlli automatici ndash IIa parte 11

Fig 11 - Controllore PD

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h

Qout gt 0 Kc = 01 τD = 10

Qout gt 0 Kc = 02 τD = 10

Qout gt 0 Kc = 1 τD = 10

Set Point

5 - Controllore proporzionale-integrale PI

Nel caso di controllore PI proporzionale integrale il bilancio di materia diventa

( ) ( )( )dt

hhdAQdthh

KhhK

out

t

I

c

c

minus

sdotminus=minussdotminussdot+minussdot int 0

0

00

τ

Nellrsquoespressione su scritta ponendo

( ) ( )int sdotminus=

t

dthhty0

0

Avremo

2

2

dt

ydAQy

K

dt

dyK

out

I

c

csdotminus=minussdot+sdot

τ

Ovvero

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

ydout

I

cc=sdot

sdot

+sdot+

τ2

2

(11)

Che egrave unrsquoequazione differenziale lineare del secondo ordine (non omogenea) a coefficienti costanti Lrsquoequazione caratteristica della omogenea associata alla suddetta equazione egrave

02

=

sdot

+sdot+

I

cc

A

Kz

A

Kz

τ

Chiamando z1 e z2 le radici di tale equazione caratteristica la soluzione3 della (11) saragrave

Ideg caso rArrgtsdot

sdotminus

=∆ 04

2

I

cc

A

K

A

K

τc

I

K

Asdotgt 4τ

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110 (12)

Dove

3 Vedasi a tale proposito lrsquoAppendice ndeg 2

I controlli automatici ndash IIa parte 12

2

4

2

21

I

ccc

A

K

A

K

A

K

zτsdot

sdotminus

plusmnminus

=

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

ττ

IIdeg caso rArr=sdot

sdotminus

=∆ 04

2

I

cc

A

K

A

K

τc

I

K

Asdot= 4τ

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot (13)

Dove

A

Kzz

c

sdot

minus==

221

c

Iout

c

Iout

K

Qzhc

K

Qc

ττ sdotsdot+=

sdotminus=

1021

IIIdeg caso rArrltsdot

sdotminus

=∆ 04

2

I

cc

A

K

A

K

τc

I

K

Asdotlt 4τ

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

(14)

Dove

sdotsdotminus

minussdot=

sdotminus=sdotplusmn=

I

ccc

A

K

A

K

A

K iz

τβαβα 4

2

1

2

2

21

β

τα

τc

Iout

c

IoutK

Qh

c K

Qc

sdotsdot+

=sdot

minus=

0

21

Dal grafico della risposta di un controllore di questo tipo si deduce che 1 lrsquoazione integrale elimina lrsquooffset in altri termini pur in presenza di un disturbo

permanente il livello ritorna sempre al valore di set-point 2 la risposta del sistema tende perograve a diventare di tipo oscillatorio anche se tale tendenza egrave

meno pronunciata quando Qout ne 0 con un pendolarismo strettamente legato al valore delle costanti Kc e τI In ogni caso al diminuire dellrsquoampiezza dellrsquooscillazione aumenta il tempo affincheacute la variabile controllata si stabilizzi sul valore di regime

3 in questo tipo di controllo esiste un problema di scelta del valore ottimale da assegnare alle costanti suddette per rendere la risposta del sistema la migliore possibile

I controlli automatici ndash IIa parte 13

Fig 12 - Controllore PI

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout = 0 KcτIA gt 4

Qout = 0 KcτIA = 4

Qout = 0 KcτIA lt 4

Set Point

Fig 13 - Controllore PI

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout gt 0 KcτIA gt 4

Qout gt 0 KcτIA = 4

Qout gt 0 KcτIA lt 4

Set Point

6 - Controllore proporzionale-integrale-derivativo PID

Per un controllore proporzionale integrale derivativo PID il bilancio sul serbatoio si scrive

( ) ( )( ) ( )

dt

hhdAQ

dt

hhdKdthh

KhhK

outDc

t

I

c

c

minus

sdotminus=minus

minus

sdotsdot+sdotminussdot+minussdot int 00

0

00τ

τ

E con la solita posizione

I controlli automatici ndash IIa parte 14

( ) ( )int sdotminus=

t

dthhty0

0

Avremo

2

2

2

2

dt

ydAQ

dt

ydKy

K

dt

dyK

outDc

I

c

csdotminus=minussdotsdot+sdot+sdot τ

τ

Ovvero

( ) AK

Qy

AK

K

dt

dy

AK

K

dt

yd

Dc

out

DcI

c

Dc

c

+sdot

=sdot

+sdotsdot

+sdot

+sdot

+

ττττ2

2

(15)

Sono possibili tre casi (la dimostrazione viene tralasciata percheacute del tutto identica al caso del controllore PI con le uniche differenze legate alle espressioni del discriminante della equazione caratteristica e del termine noto dellrsquoequazione completa)

Ideg caso ( )

rArrgt+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdotgt

c

DI

K

Aττ 4

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110 (12)

Dove

( )

2

4

2

21

AK

K

AK

K

AK

K

zDcI

c

Dc

c

Dc

c

+sdotsdotsdotminus

+sdotplusmn

+sdotminus

=ττττ

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

τ

τ

IIdeg caso ( )

rArr=+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdot=

c

DI

K

Aττ 4

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot (13)

Dove

( )AK

Kzz

Dc

c

+sdotsdot

minus==

τ221

sdotsdot+=

sdotminus=

c

Iout

c

Iout

K

Qzhc

K

Qc

τ

τ

102

1

IIIdeg caso ( )

rArrlt+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdotlt

c

DI

K

Aττ 4

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

(14)

Dove

( ) ( )

+sdotsdotsdotminus

+sdotminussdot=

+sdotsdotminus=

sdotplusmn=

AK

K

AK

K

AK

K

iz

DcI

c

Dc

c

Dc

c

τττβ

τα

βα

42

1

2

2

21

I controlli automatici ndash IIa parte 15

sdotsdot+

=

sdotminus=

β

τα

τ

c

Iout

c

Iout

K

Qh

c

K

Qc

0

2

1

La risposta del sistema sottoposto ad unrsquoazione di controllo di questo tipo egrave diagrammata in fig 14 per Qout = 0

Fig 14 - Controllore PID

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) gt 4

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) = 4

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) lt 4

Set Point

Se ora disegniamo la risposta del controllore PID e la confrontiamo con quella di un controllore PI per un disturbo permanente otterremo un grafico del tipo illustrato nella fig 15

Fig 15 - Controllore PID vs PI

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h PID - KcτI(KcτD+A) lt 4

PI - KcτIA lt 4

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 16

Come si puograve notare la presenza dellrsquoazione derivativa comporta un peggioramento della risposta del sistema che diventa piugrave oscillatoria ossia con periodo e ampiezza dellrsquooscillazione maggiori Anche in questo caso inoltre come in quello giagrave discusso del controllore PI esiste un problema legato alla scelta ottimale dei valori dei parametri Kc τI e τD 7 ndash Conclusioni

Riassumendo dallrsquoanalisi delle risposte fornite dal sistema sotto lrsquoazione dei diversi controllori egrave possibile trarre le seguenti considerazioni

1 il controllore On-Off sarebbe in teoria il migliore tipo di controllo del nostro sciacquone per il suo basso costo e la sua maggiore efficienza in termini di tempo di riempimento Il suo limite principale egrave legato al fatto che la risposta al disturbo puograve essere molto brusca (a meno di non prendere opportune precauzioni) poicheacute la valvola di alimentazione si apre subito al massimo e rimane in questo stato fino al cessare dellrsquoazione del controllore Inoltre nel caso di perdite dovute a una non perfetta chiusura della valvola di scarico il livello dellrsquoacqua nel serbatoio oscilleragrave continuamente tra il valore impostato di set-point e il valore minimo al di sotto del quale il controllore si attiva

2 il controllore proporzionale (P) puograve essere reso simile al controllore On-Off aumentando il valore del guadagno Kc ma egrave anche possibile modulando opportunamente il valore di questa grandezza rendere piugrave ldquodolcerdquo la risposta del sistema ossia meno intensa la portata di adduzione dellrsquoacqua Tale portata andragrave comunque decrescendo nel tempo allungando i tempi di risposta rispetto al caso del sistema On-Off In effetti il controllore proporzionale egrave quello universalmente piugrave adoperato per questo tipo di processo anche se il suo limite principale risiede nellrsquoimpossibilitagrave di riportare il livello sul valore di set-point nel caso di disturbi protratti nel tempo (presenza di offset)

3 lrsquoaggiunta dellrsquoazione derivativa a quella proporzionale (PD) egrave inutile o addirittura dannosa in un processo discontinuo quale egrave il riempimento del nostro sciacquone In questo processo infatti il disturbo o ha una durata molto limitata (periodo nel quale il sistema di controllo in ogni caso non puograve agire date le caratteristiche costruttive dello sciacquone) o egrave costante nel tempo per cui lrsquoerrore ε egrave comunque una funzione monotona decrescente nel tempo Per tale motivo lrsquoaggiunta di questo tipo di controllo si traduce in un rallentamento della velocitagrave di riempimento e si puograve giustificare soltanto se contestualmente si incrementa il valore del guadagno proporzionale Kc in modo da avere una risposta rapida ma non troppo brusca e con basso offset

4 lrsquoazione integrale unita a quella proporzionale (PI) ha il grande vantaggio di eliminare lrsquooffset in presenza di disturbi costanti a spese perograve del comportamento oscillatorio assunto dal sistema Lrsquoopportuno settaggio dei parametri di controllo (Kc e τI) puograve comunque consentire di ottenere una risposta adeguata alle necessitagrave

5 non esiste alcun motivo realmente valido per utilizzare un controllo di tipo PID per il processo discontinuo in questione Oltre al maggior costo di questo tipo di apparecchiatura crsquoegrave da dire che lrsquoazione derivativa unita a quella integrale peggiora in modo molto marcato la risposta del sistema rallentandola e facendo aumentare lrsquoovershoot (mentre in un sistema continuo si otterrebbe lrsquoeffetto esattamente opposto) Lrsquounico vantaggio dellrsquoutilizzo contemporaneo dei tre meccanismi di controllo (proporzionale integrale e derivativo) si ha nella possibilitagrave di regolare tre parametri (Kc τI τD) al posto di uno solo (Kc) o due (Kc e τI oppure Kc e τD) per ottimizzare la risposta In effetti incrementando la costante Kc insieme al tempo derivativo τD egrave possibile rendere la risposta del sistema veloce (ma non troppo rapida come si avrebbe in un controllo di tipo puramente PI) e nello stesso tempo ridurne considerevolmente il comportamento oscillatorio (vedi fig 16 seguente)

I controlli automatici ndash IIa parte 17

Fig 16 - PI vs PID (KcPIDKcPI = 10)

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h PI

PID

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 18

Appendice 1 Integrazione dellrsquoequazione di bilancio per un controllore On ndash Off

Data lrsquoequazione

dt

dhAhKQ

insdot=sdotminus (3)

Eseguendo la sostituzione

dhdyyhyhy =sdotsdotrArr=rArr= 22

avremo

A

K

yA

Q

dt

dy

dt

dyyAyKQ

in

in

sdot

minus

sdotsdot

=

sdotsdotsdot=sdotminus

22

2

Ovvero ponendo

A

K

A

Qin

sdot

=

sdot

=

22βα

βαminus=

ydt

dy

E introducendo la nuova variabile

zdt

dz

z

dt

dz

zdt

dzy

dt

dy

dt

dy

ydt

dz

zy

yz

=sdot

+sdotminus

sdot

+sdotminus=sdotminus=rArrsdotminus=

+=rArrminus=

2

22

2

1

1

β

α

α

β

α

αα

α

β

αβ

α

Abbiamo trasformato lrsquoequazione originaria in una a variabili separabili

( ) αβ

dtdz

zzminus=sdot

+sdot2

1

La frazione a primo membro puograve essere scomposta col metodo dei coefficienti indeterminati ottenendo

( ) ( ) ( )( ) ( )

=

minus=+sdotminus

=

minus=

rArr

=

sdotminussdotsdotminus=

minus=

rArr

=sdot

=+sdot+sdotsdot

=+

=sdot+sdotsdot+sdot+sdot+sdotsdotsdot+sdot

=sdot++sdotsdot++sdotrArr+

++

+=+sdot

2

22

2

2

2

222

2

22

1

12

1

1

2

1

02

0

12

11

β

ββ

β

β

β

β

β

ββ

β

ββ

βββ

βββββ

A

C

B

A

BAC

AB

A

CBA

BA

zCzBzBAzAzA

zCzzBzAz

C

z

B

z

A

zz

Per cui lrsquointegrale fornisce

( ) ( ) ( ) intint int intint sdotminus=sdot

+

+sdot

+

+sdot=sdot

+sdot

dtdzz

Cdz

z

Bdz

z

Adz

zz αβββ

11

22

I controlli automatici ndash IIa parte 19

( )( )

αβαα

β

β

ααα

β

αα

αβ

α

αα

αβ

α

αββ

tyy

Cy

t

CtyCy

A

CtyC

yyA

Ct

y

C

yB

yA

Ct

z

CzBzA

minus=sdot

+

sdotminussdot

=rArr

=

=

+minus=sdot

minus

sdotminussdot

+minus=sdot

minus

minus

minussdot

+minus=

minus

sdot+

minussdot

+minus=+

minus+sdot+sdot

1ln1

00

0

1ln

lnln

lnln

lnln

2

α

β

α

β

α

β2

1ln sdotminus=sdot

+

sdotminus t

yy

Ovvero

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdot+

sdotminus

21ln

2

(5)

Mentre se le condizioni iniziali fossero diverse avremmo

αβαα

β

β

111

2

1

11ln

1

tyyC

yy

tt+

sdot+

sdotminussdot=rArr

=

=

Ossia

+

sdot+

sdotminussdot+minus=

sdot+

sdotminussdot

αβαα

β

βαβαα

β

β

111

221ln

11ln

1 tyytyy

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β 22

1

111ln1ln sdotminus=

sdot+

sdot+

sdotminusminus

sdot+

sdotminus tt

yyyy

ininininininQA

Kt

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdotsdotsdot+

sdot+

sdotminusminus

sdot+

sdotminus

221ln1ln

22

1

11 (5b)

Poicheacute la (5) non fornisce esplicitamente lrsquoaltezza h in funzione del tempo t egrave possibile approssimare il logaritmo del primo membro mediante espansione in serie Avremo allora

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) suminfin

=

minus=minus

+sdot

minus

minusminussdot

minus

minussdot

minus

minusminus=minus

+sdot++sdot+sdot+=

1

2

2

2

1ln

01

1

201

1

01

101ln1ln

02

000

n

n

n

n

n

n

n

xx

n

xxxx

n

xf

xfxffxf

I termini nella sommatoria sono decrescenti (si ricordi che il fattore in

Q

hKx

sdot

= egrave minore di 1 in

quanto rappresenta il rapporto tra la portata uscente e quella in ingresso al serbatoio) Limitando lrsquoespansione in serie ai primi tre termini non nulli e sostituendo in (5)

I controlli automatici ndash IIa parte 20

ininin

ininininin

QA

Kt

Q

hhK

Q

hK

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

sdotsdot

sdotcong

sdot

sdotsdot+

sdot

sdot

sdotsdot

sdotminuscongsdot

+

sdot

sdotminus

sdot

sdotminus

sdotminus

232

232

2

3

3

2

2

2

3

33

2

2

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotcong

sdotsdot+sdot

sdot

sdot

23

21

2

2

2

2

in

out

in

Q

QA

Qth

+

sdotsdotcong

1

1 (5c)

Dove col simbolo outQ si egrave indicata la portata media uscente ovvero

0

3

2hKQ

outsdotsdot=

La (5c) puograve essere ulteriormente semplificata espandendo in serie anche il fattore

in

out

Q

Q+1

1

( ) ( )

01

1

01

1

01

1

1

1

1

1 2

32+sdot

+

+sdot

+

minus

+

=

+

=

+

xxx

Q

Q

in

out

E trascurando i termini con esponente maggiore di 1 (in

out

Q

Q egrave minore di 1)

in

out

in

outQ

Q

Q

Qminuscong

+

1

1

1

Per cui la (5c) diventa

A

QQt

Q

Q

A

Qth outin

in

outinminus

sdot=

minussdotsdotcong 1 (6)

I controlli automatici ndash IIa parte 21

Appendice 2 Integrazione dellrsquoequazione di bilancio per un controllore PI

Come visto il bilancio di materia sul serbatoio in presenza di controllo proporzionale integrale porta a

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

ydout

I

cc=sdot

sdot

+sdot+

τ2

2

(11)

La soluzione generale y(t) della suddetta equazione si ottiene sommando ad una sua soluzione particolare y0(t) la soluzione generale della equazione omogenea associata

02

2

=sdot

sdot

+sdot+ yA

K

dt

dy

A

K

dt

yd

I

cc

τ

Poicheacute A

Qout (il termine a secondo membro della (1)) egrave una costante e puograve essere considerato un

polinomio di grado zero rispetto alla variabile tempo t e I

c

A

K

τsdot

(il coefficiente della funzione

incognita y) egrave diverso da zero la teoria risolutiva di questo tipo di equazioni impone che anche la soluzione particolare y0(t) sia un polinomio di grado zero del tipo y0(t) = a e che deve rispettare la condizione

( )c

Iout

c

Ioutout

I

ccout

I

cc

K

Qty

K

Qa

A

Qa

A

K

A

K

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

yd

τ

τ

ττ

sdot=

sdot=rArr=sdot

sdot

+sdot+rArr=sdot

sdot

+sdot+

0

0

0

2

0

2

00

Lrsquoequazione caratteristica della equazione differenziale omogenea associata alla suddetta equazione egrave

02

=

sdot

+sdot+

I

cc

A

Kz

A

Kz

τ

Avremo allora in base al segno del discriminante di tale equazione Ideg caso 0gt∆

c

I

I

c

I

cc

I

cc

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

KsdotgtrArrgtrArr

sdotsdotgt

rArrgt

sdotsdotminus

4

4404

22

τ

τττ

2

4

2

21

I

ccc

A

K

A

K

A

K

zτsdot

sdotminus

plusmnminus

=

E lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave tztz

ececysdotsdot

sdot+sdot=21

21

IIdeg caso 0=∆

A

Kzz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

c

I

I

c

I

cc

I

cc

sdotminus==

sdot=rArr=rArrsdot

sdot=

rArr=

sdotsdotminus

2

44

404

21

22

τ

τττ

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave ( )tcceytz

sdot+sdotsdot=sdot

21

1 IIIdeg caso 0lt∆

βα

ττττ

sdotplusmn=

sdotltrArrltrArrsdot

sdotlt

rArrlt

sdotsdotminus

iz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

I

I

c

I

cc

I

cc

21

22

44

404

I controlli automatici ndash IIa parte 22

sdotsdotminus

minussdot=

sdotminus=

I

ccc

A

K

A

K

A

K

τβα 4

2

1

2

2

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata diventa ( ) ( )[ ]tctceyt

sdotsdot+sdotsdotsdot=sdot ββα

sincos21

Lrsquointegrale generale dellrsquoequazione completa (11) saragrave allora Ideg caso ( )tyececy

tztz

021

21+sdot+sdot=

sdotsdot

IIdeg caso ( ) ( )tytcceytz

021

1+sdot+sdotsdot=

sdot

IIIdeg caso ( ) ( )[ ] ( )tytctceyt

021sincos +sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdot

ββα

Lrsquointegrale particolare ottenuto ponendo le condizioni al contorno ( ) ( )0

000 hyy == saragrave

Ideg caso

( )

( )

=sdot+sdot

sdotminus=+

rArr

=sdotsdot+sdotsdot=

=sdot

+sdot+sdot=

sdotsdot

sdotsdot

02211

21

0

0

22

0

11

0

2

0

1

21

21

0

00

hzczc

K

Qcc

hezcezcy

K

Qececy

c

Iout

zz

c

Ioutzz ττ

minus

sdotsdot

+

=

sdotminus

minus

sdotsdot

+

minus=

rArr

=sdot+sdot

sdot+minus

sdotminusminus=

12

10

2

12

10

1

02212

21

zz

zK

Qh

c

K

Q

zz

zK

Qh

c

hzczK

Qc

K

Qcc

c

Iout

c

Ioutc

Iout

c

Iout

c

Iout

τ

τ

τ

τ

τ

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

τ

τ

Per cui ( ) tztz

ezcezchhtysdotsdot

sdotsdot+sdotsdot=minus=21

22110

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110

IIdeg caso

( ) ( )

( ) ( )

sdotsdot+=

sdotminus=

rArr

=+sdot

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot+sdotsdotsdot=

=sdot

+sdot+sdotsdot=

sdotsdot

sdot

c

Iout

c

Iout

c

Iout

zz

c

Ioutz

K

Qzhc

K

Qc

hccz

K

Qc

hceccezy

K

Qccey

τ

τ

ττ

102

1

0211

1

02

0

21

0

1

21

0

11

1

00

000

Per cui ( ) ( )

22110

11 cetccezhhtytztz

sdot+sdot+sdotsdotsdot=minus=sdotsdot

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot

IIIdeg caso

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

=sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=

=sdot

+sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdotsdot

sdot

021

0

21

0

21

0

0cos0sin0sin0cos0

00sin0cos0

hcceccey

K

Qccey

c

Iout

ββββββα

τββ

αα

α

I controlli automatici ndash IIa parte 23

sdotsdot+

=

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot

sdotminus=

β

τα

τ

βα

τ

c

Iout

c

Iout

c

Iout

K

Qh

c

K

Qc

hcc

K

Qc

0

2

1

021

1

Per cui ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhty tt

sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=minus=sdotsdot

ββββββααα

cossinsincos21210

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

I controlli automatici ndash IIa parte 12

2

4

2

21

I

ccc

A

K

A

K

A

K

zτsdot

sdotminus

plusmnminus

=

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

ττ

IIdeg caso rArr=sdot

sdotminus

=∆ 04

2

I

cc

A

K

A

K

τc

I

K

Asdot= 4τ

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot (13)

Dove

A

Kzz

c

sdot

minus==

221

c

Iout

c

Iout

K

Qzhc

K

Qc

ττ sdotsdot+=

sdotminus=

1021

IIIdeg caso rArrltsdot

sdotminus

=∆ 04

2

I

cc

A

K

A

K

τc

I

K

Asdotlt 4τ

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

(14)

Dove

sdotsdotminus

minussdot=

sdotminus=sdotplusmn=

I

ccc

A

K

A

K

A

K iz

τβαβα 4

2

1

2

2

21

β

τα

τc

Iout

c

IoutK

Qh

c K

Qc

sdotsdot+

=sdot

minus=

0

21

Dal grafico della risposta di un controllore di questo tipo si deduce che 1 lrsquoazione integrale elimina lrsquooffset in altri termini pur in presenza di un disturbo

permanente il livello ritorna sempre al valore di set-point 2 la risposta del sistema tende perograve a diventare di tipo oscillatorio anche se tale tendenza egrave

meno pronunciata quando Qout ne 0 con un pendolarismo strettamente legato al valore delle costanti Kc e τI In ogni caso al diminuire dellrsquoampiezza dellrsquooscillazione aumenta il tempo affincheacute la variabile controllata si stabilizzi sul valore di regime

3 in questo tipo di controllo esiste un problema di scelta del valore ottimale da assegnare alle costanti suddette per rendere la risposta del sistema la migliore possibile

I controlli automatici ndash IIa parte 13

Fig 12 - Controllore PI

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout = 0 KcτIA gt 4

Qout = 0 KcτIA = 4

Qout = 0 KcτIA lt 4

Set Point

Fig 13 - Controllore PI

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout gt 0 KcτIA gt 4

Qout gt 0 KcτIA = 4

Qout gt 0 KcτIA lt 4

Set Point

6 - Controllore proporzionale-integrale-derivativo PID

Per un controllore proporzionale integrale derivativo PID il bilancio sul serbatoio si scrive

( ) ( )( ) ( )

dt

hhdAQ

dt

hhdKdthh

KhhK

outDc

t

I

c

c

minus

sdotminus=minus

minus

sdotsdot+sdotminussdot+minussdot int 00

0

00τ

τ

E con la solita posizione

I controlli automatici ndash IIa parte 14

( ) ( )int sdotminus=

t

dthhty0

0

Avremo

2

2

2

2

dt

ydAQ

dt

ydKy

K

dt

dyK

outDc

I

c

csdotminus=minussdotsdot+sdot+sdot τ

τ

Ovvero

( ) AK

Qy

AK

K

dt

dy

AK

K

dt

yd

Dc

out

DcI

c

Dc

c

+sdot

=sdot

+sdotsdot

+sdot

+sdot

+

ττττ2

2

(15)

Sono possibili tre casi (la dimostrazione viene tralasciata percheacute del tutto identica al caso del controllore PI con le uniche differenze legate alle espressioni del discriminante della equazione caratteristica e del termine noto dellrsquoequazione completa)

Ideg caso ( )

rArrgt+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdotgt

c

DI

K

Aττ 4

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110 (12)

Dove

( )

2

4

2

21

AK

K

AK

K

AK

K

zDcI

c

Dc

c

Dc

c

+sdotsdotsdotminus

+sdotplusmn

+sdotminus

=ττττ

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

τ

τ

IIdeg caso ( )

rArr=+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdot=

c

DI

K

Aττ 4

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot (13)

Dove

( )AK

Kzz

Dc

c

+sdotsdot

minus==

τ221

sdotsdot+=

sdotminus=

c

Iout

c

Iout

K

Qzhc

K

Qc

τ

τ

102

1

IIIdeg caso ( )

rArrlt+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdotlt

c

DI

K

Aττ 4

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

(14)

Dove

( ) ( )

+sdotsdotsdotminus

+sdotminussdot=

+sdotsdotminus=

sdotplusmn=

AK

K

AK

K

AK

K

iz

DcI

c

Dc

c

Dc

c

τττβ

τα

βα

42

1

2

2

21

I controlli automatici ndash IIa parte 15

sdotsdot+

=

sdotminus=

β

τα

τ

c

Iout

c

Iout

K

Qh

c

K

Qc

0

2

1

La risposta del sistema sottoposto ad unrsquoazione di controllo di questo tipo egrave diagrammata in fig 14 per Qout = 0

Fig 14 - Controllore PID

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) gt 4

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) = 4

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) lt 4

Set Point

Se ora disegniamo la risposta del controllore PID e la confrontiamo con quella di un controllore PI per un disturbo permanente otterremo un grafico del tipo illustrato nella fig 15

Fig 15 - Controllore PID vs PI

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h PID - KcτI(KcτD+A) lt 4

PI - KcτIA lt 4

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 16

Come si puograve notare la presenza dellrsquoazione derivativa comporta un peggioramento della risposta del sistema che diventa piugrave oscillatoria ossia con periodo e ampiezza dellrsquooscillazione maggiori Anche in questo caso inoltre come in quello giagrave discusso del controllore PI esiste un problema legato alla scelta ottimale dei valori dei parametri Kc τI e τD 7 ndash Conclusioni

Riassumendo dallrsquoanalisi delle risposte fornite dal sistema sotto lrsquoazione dei diversi controllori egrave possibile trarre le seguenti considerazioni

1 il controllore On-Off sarebbe in teoria il migliore tipo di controllo del nostro sciacquone per il suo basso costo e la sua maggiore efficienza in termini di tempo di riempimento Il suo limite principale egrave legato al fatto che la risposta al disturbo puograve essere molto brusca (a meno di non prendere opportune precauzioni) poicheacute la valvola di alimentazione si apre subito al massimo e rimane in questo stato fino al cessare dellrsquoazione del controllore Inoltre nel caso di perdite dovute a una non perfetta chiusura della valvola di scarico il livello dellrsquoacqua nel serbatoio oscilleragrave continuamente tra il valore impostato di set-point e il valore minimo al di sotto del quale il controllore si attiva

2 il controllore proporzionale (P) puograve essere reso simile al controllore On-Off aumentando il valore del guadagno Kc ma egrave anche possibile modulando opportunamente il valore di questa grandezza rendere piugrave ldquodolcerdquo la risposta del sistema ossia meno intensa la portata di adduzione dellrsquoacqua Tale portata andragrave comunque decrescendo nel tempo allungando i tempi di risposta rispetto al caso del sistema On-Off In effetti il controllore proporzionale egrave quello universalmente piugrave adoperato per questo tipo di processo anche se il suo limite principale risiede nellrsquoimpossibilitagrave di riportare il livello sul valore di set-point nel caso di disturbi protratti nel tempo (presenza di offset)

3 lrsquoaggiunta dellrsquoazione derivativa a quella proporzionale (PD) egrave inutile o addirittura dannosa in un processo discontinuo quale egrave il riempimento del nostro sciacquone In questo processo infatti il disturbo o ha una durata molto limitata (periodo nel quale il sistema di controllo in ogni caso non puograve agire date le caratteristiche costruttive dello sciacquone) o egrave costante nel tempo per cui lrsquoerrore ε egrave comunque una funzione monotona decrescente nel tempo Per tale motivo lrsquoaggiunta di questo tipo di controllo si traduce in un rallentamento della velocitagrave di riempimento e si puograve giustificare soltanto se contestualmente si incrementa il valore del guadagno proporzionale Kc in modo da avere una risposta rapida ma non troppo brusca e con basso offset

4 lrsquoazione integrale unita a quella proporzionale (PI) ha il grande vantaggio di eliminare lrsquooffset in presenza di disturbi costanti a spese perograve del comportamento oscillatorio assunto dal sistema Lrsquoopportuno settaggio dei parametri di controllo (Kc e τI) puograve comunque consentire di ottenere una risposta adeguata alle necessitagrave

5 non esiste alcun motivo realmente valido per utilizzare un controllo di tipo PID per il processo discontinuo in questione Oltre al maggior costo di questo tipo di apparecchiatura crsquoegrave da dire che lrsquoazione derivativa unita a quella integrale peggiora in modo molto marcato la risposta del sistema rallentandola e facendo aumentare lrsquoovershoot (mentre in un sistema continuo si otterrebbe lrsquoeffetto esattamente opposto) Lrsquounico vantaggio dellrsquoutilizzo contemporaneo dei tre meccanismi di controllo (proporzionale integrale e derivativo) si ha nella possibilitagrave di regolare tre parametri (Kc τI τD) al posto di uno solo (Kc) o due (Kc e τI oppure Kc e τD) per ottimizzare la risposta In effetti incrementando la costante Kc insieme al tempo derivativo τD egrave possibile rendere la risposta del sistema veloce (ma non troppo rapida come si avrebbe in un controllo di tipo puramente PI) e nello stesso tempo ridurne considerevolmente il comportamento oscillatorio (vedi fig 16 seguente)

I controlli automatici ndash IIa parte 17

Fig 16 - PI vs PID (KcPIDKcPI = 10)

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h PI

PID

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 18

Appendice 1 Integrazione dellrsquoequazione di bilancio per un controllore On ndash Off

Data lrsquoequazione

dt

dhAhKQ

insdot=sdotminus (3)

Eseguendo la sostituzione

dhdyyhyhy =sdotsdotrArr=rArr= 22

avremo

A

K

yA

Q

dt

dy

dt

dyyAyKQ

in

in

sdot

minus

sdotsdot

=

sdotsdotsdot=sdotminus

22

2

Ovvero ponendo

A

K

A

Qin

sdot

=

sdot

=

22βα

βαminus=

ydt

dy

E introducendo la nuova variabile

zdt

dz

z

dt

dz

zdt

dzy

dt

dy

dt

dy

ydt

dz

zy

yz

=sdot

+sdotminus

sdot

+sdotminus=sdotminus=rArrsdotminus=

+=rArrminus=

2

22

2

1

1

β

α

α

β

α

αα

α

β

αβ

α

Abbiamo trasformato lrsquoequazione originaria in una a variabili separabili

( ) αβ

dtdz

zzminus=sdot

+sdot2

1

La frazione a primo membro puograve essere scomposta col metodo dei coefficienti indeterminati ottenendo

( ) ( ) ( )( ) ( )

=

minus=+sdotminus

=

minus=

rArr

=

sdotminussdotsdotminus=

minus=

rArr

=sdot

=+sdot+sdotsdot

=+

=sdot+sdotsdot+sdot+sdot+sdotsdotsdot+sdot

=sdot++sdotsdot++sdotrArr+

++

+=+sdot

2

22

2

2

2

222

2

22

1

12

1

1

2

1

02

0

12

11

β

ββ

β

β

β

β

β

ββ

β

ββ

βββ

βββββ

A

C

B

A

BAC

AB

A

CBA

BA

zCzBzBAzAzA

zCzzBzAz

C

z

B

z

A

zz

Per cui lrsquointegrale fornisce

( ) ( ) ( ) intint int intint sdotminus=sdot

+

+sdot

+

+sdot=sdot

+sdot

dtdzz

Cdz

z

Bdz

z

Adz

zz αβββ

11

22

I controlli automatici ndash IIa parte 19

( )( )

αβαα

β

β

ααα

β

αα

αβ

α

αα

αβ

α

αββ

tyy

Cy

t

CtyCy

A

CtyC

yyA

Ct

y

C

yB

yA

Ct

z

CzBzA

minus=sdot

+

sdotminussdot

=rArr

=

=

+minus=sdot

minus

sdotminussdot

+minus=sdot

minus

minus

minussdot

+minus=

minus

sdot+

minussdot

+minus=+

minus+sdot+sdot

1ln1

00

0

1ln

lnln

lnln

lnln

2

α

β

α

β

α

β2

1ln sdotminus=sdot

+

sdotminus t

yy

Ovvero

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdot+

sdotminus

21ln

2

(5)

Mentre se le condizioni iniziali fossero diverse avremmo

αβαα

β

β

111

2

1

11ln

1

tyyC

yy

tt+

sdot+

sdotminussdot=rArr

=

=

Ossia

+

sdot+

sdotminussdot+minus=

sdot+

sdotminussdot

αβαα

β

βαβαα

β

β

111

221ln

11ln

1 tyytyy

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β 22

1

111ln1ln sdotminus=

sdot+

sdot+

sdotminusminus

sdot+

sdotminus tt

yyyy

ininininininQA

Kt

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdotsdotsdot+

sdot+

sdotminusminus

sdot+

sdotminus

221ln1ln

22

1

11 (5b)

Poicheacute la (5) non fornisce esplicitamente lrsquoaltezza h in funzione del tempo t egrave possibile approssimare il logaritmo del primo membro mediante espansione in serie Avremo allora

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) suminfin

=

minus=minus

+sdot

minus

minusminussdot

minus

minussdot

minus

minusminus=minus

+sdot++sdot+sdot+=

1

2

2

2

1ln

01

1

201

1

01

101ln1ln

02

000

n

n

n

n

n

n

n

xx

n

xxxx

n

xf

xfxffxf

I termini nella sommatoria sono decrescenti (si ricordi che il fattore in

Q

hKx

sdot

= egrave minore di 1 in

quanto rappresenta il rapporto tra la portata uscente e quella in ingresso al serbatoio) Limitando lrsquoespansione in serie ai primi tre termini non nulli e sostituendo in (5)

I controlli automatici ndash IIa parte 20

ininin

ininininin

QA

Kt

Q

hhK

Q

hK

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

sdotsdot

sdotcong

sdot

sdotsdot+

sdot

sdot

sdotsdot

sdotminuscongsdot

+

sdot

sdotminus

sdot

sdotminus

sdotminus

232

232

2

3

3

2

2

2

3

33

2

2

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotcong

sdotsdot+sdot

sdot

sdot

23

21

2

2

2

2

in

out

in

Q

QA

Qth

+

sdotsdotcong

1

1 (5c)

Dove col simbolo outQ si egrave indicata la portata media uscente ovvero

0

3

2hKQ

outsdotsdot=

La (5c) puograve essere ulteriormente semplificata espandendo in serie anche il fattore

in

out

Q

Q+1

1

( ) ( )

01

1

01

1

01

1

1

1

1

1 2

32+sdot

+

+sdot

+

minus

+

=

+

=

+

xxx

Q

Q

in

out

E trascurando i termini con esponente maggiore di 1 (in

out

Q

Q egrave minore di 1)

in

out

in

outQ

Q

Q

Qminuscong

+

1

1

1

Per cui la (5c) diventa

A

QQt

Q

Q

A

Qth outin

in

outinminus

sdot=

minussdotsdotcong 1 (6)

I controlli automatici ndash IIa parte 21

Appendice 2 Integrazione dellrsquoequazione di bilancio per un controllore PI

Come visto il bilancio di materia sul serbatoio in presenza di controllo proporzionale integrale porta a

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

ydout

I

cc=sdot

sdot

+sdot+

τ2

2

(11)

La soluzione generale y(t) della suddetta equazione si ottiene sommando ad una sua soluzione particolare y0(t) la soluzione generale della equazione omogenea associata

02

2

=sdot

sdot

+sdot+ yA

K

dt

dy

A

K

dt

yd

I

cc

τ

Poicheacute A

Qout (il termine a secondo membro della (1)) egrave una costante e puograve essere considerato un

polinomio di grado zero rispetto alla variabile tempo t e I

c

A

K

τsdot

(il coefficiente della funzione

incognita y) egrave diverso da zero la teoria risolutiva di questo tipo di equazioni impone che anche la soluzione particolare y0(t) sia un polinomio di grado zero del tipo y0(t) = a e che deve rispettare la condizione

( )c

Iout

c

Ioutout

I

ccout

I

cc

K

Qty

K

Qa

A

Qa

A

K

A

K

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

yd

τ

τ

ττ

sdot=

sdot=rArr=sdot

sdot

+sdot+rArr=sdot

sdot

+sdot+

0

0

0

2

0

2

00

Lrsquoequazione caratteristica della equazione differenziale omogenea associata alla suddetta equazione egrave

02

=

sdot

+sdot+

I

cc

A

Kz

A

Kz

τ

Avremo allora in base al segno del discriminante di tale equazione Ideg caso 0gt∆

c

I

I

c

I

cc

I

cc

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

KsdotgtrArrgtrArr

sdotsdotgt

rArrgt

sdotsdotminus

4

4404

22

τ

τττ

2

4

2

21

I

ccc

A

K

A

K

A

K

zτsdot

sdotminus

plusmnminus

=

E lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave tztz

ececysdotsdot

sdot+sdot=21

21

IIdeg caso 0=∆

A

Kzz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

c

I

I

c

I

cc

I

cc

sdotminus==

sdot=rArr=rArrsdot

sdot=

rArr=

sdotsdotminus

2

44

404

21

22

τ

τττ

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave ( )tcceytz

sdot+sdotsdot=sdot

21

1 IIIdeg caso 0lt∆

βα

ττττ

sdotplusmn=

sdotltrArrltrArrsdot

sdotlt

rArrlt

sdotsdotminus

iz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

I

I

c

I

cc

I

cc

21

22

44

404

I controlli automatici ndash IIa parte 22

sdotsdotminus

minussdot=

sdotminus=

I

ccc

A

K

A

K

A

K

τβα 4

2

1

2

2

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata diventa ( ) ( )[ ]tctceyt

sdotsdot+sdotsdotsdot=sdot ββα

sincos21

Lrsquointegrale generale dellrsquoequazione completa (11) saragrave allora Ideg caso ( )tyececy

tztz

021

21+sdot+sdot=

sdotsdot

IIdeg caso ( ) ( )tytcceytz

021

1+sdot+sdotsdot=

sdot

IIIdeg caso ( ) ( )[ ] ( )tytctceyt

021sincos +sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdot

ββα

Lrsquointegrale particolare ottenuto ponendo le condizioni al contorno ( ) ( )0

000 hyy == saragrave

Ideg caso

( )

( )

=sdot+sdot

sdotminus=+

rArr

=sdotsdot+sdotsdot=

=sdot

+sdot+sdot=

sdotsdot

sdotsdot

02211

21

0

0

22

0

11

0

2

0

1

21

21

0

00

hzczc

K

Qcc

hezcezcy

K

Qececy

c

Iout

zz

c

Ioutzz ττ

minus

sdotsdot

+

=

sdotminus

minus

sdotsdot

+

minus=

rArr

=sdot+sdot

sdot+minus

sdotminusminus=

12

10

2

12

10

1

02212

21

zz

zK

Qh

c

K

Q

zz

zK

Qh

c

hzczK

Qc

K

Qcc

c

Iout

c

Ioutc

Iout

c

Iout

c

Iout

τ

τ

τ

τ

τ

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

τ

τ

Per cui ( ) tztz

ezcezchhtysdotsdot

sdotsdot+sdotsdot=minus=21

22110

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110

IIdeg caso

( ) ( )

( ) ( )

sdotsdot+=

sdotminus=

rArr

=+sdot

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot+sdotsdotsdot=

=sdot

+sdot+sdotsdot=

sdotsdot

sdot

c

Iout

c

Iout

c

Iout

zz

c

Ioutz

K

Qzhc

K

Qc

hccz

K

Qc

hceccezy

K

Qccey

τ

τ

ττ

102

1

0211

1

02

0

21

0

1

21

0

11

1

00

000

Per cui ( ) ( )

22110

11 cetccezhhtytztz

sdot+sdot+sdotsdotsdot=minus=sdotsdot

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot

IIIdeg caso

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

=sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=

=sdot

+sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdotsdot

sdot

021

0

21

0

21

0

0cos0sin0sin0cos0

00sin0cos0

hcceccey

K

Qccey

c

Iout

ββββββα

τββ

αα

α

I controlli automatici ndash IIa parte 23

sdotsdot+

=

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot

sdotminus=

β

τα

τ

βα

τ

c

Iout

c

Iout

c

Iout

K

Qh

c

K

Qc

hcc

K

Qc

0

2

1

021

1

Per cui ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhty tt

sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=minus=sdotsdot

ββββββααα

cossinsincos21210

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

I controlli automatici ndash IIa parte 13

Fig 12 - Controllore PI

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout = 0 KcτIA gt 4

Qout = 0 KcτIA = 4

Qout = 0 KcτIA lt 4

Set Point

Fig 13 - Controllore PI

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout gt 0 KcτIA gt 4

Qout gt 0 KcτIA = 4

Qout gt 0 KcτIA lt 4

Set Point

6 - Controllore proporzionale-integrale-derivativo PID

Per un controllore proporzionale integrale derivativo PID il bilancio sul serbatoio si scrive

( ) ( )( ) ( )

dt

hhdAQ

dt

hhdKdthh

KhhK

outDc

t

I

c

c

minus

sdotminus=minus

minus

sdotsdot+sdotminussdot+minussdot int 00

0

00τ

τ

E con la solita posizione

I controlli automatici ndash IIa parte 14

( ) ( )int sdotminus=

t

dthhty0

0

Avremo

2

2

2

2

dt

ydAQ

dt

ydKy

K

dt

dyK

outDc

I

c

csdotminus=minussdotsdot+sdot+sdot τ

τ

Ovvero

( ) AK

Qy

AK

K

dt

dy

AK

K

dt

yd

Dc

out

DcI

c

Dc

c

+sdot

=sdot

+sdotsdot

+sdot

+sdot

+

ττττ2

2

(15)

Sono possibili tre casi (la dimostrazione viene tralasciata percheacute del tutto identica al caso del controllore PI con le uniche differenze legate alle espressioni del discriminante della equazione caratteristica e del termine noto dellrsquoequazione completa)

Ideg caso ( )

rArrgt+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdotgt

c

DI

K

Aττ 4

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110 (12)

Dove

( )

2

4

2

21

AK

K

AK

K

AK

K

zDcI

c

Dc

c

Dc

c

+sdotsdotsdotminus

+sdotplusmn

+sdotminus

=ττττ

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

τ

τ

IIdeg caso ( )

rArr=+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdot=

c

DI

K

Aττ 4

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot (13)

Dove

( )AK

Kzz

Dc

c

+sdotsdot

minus==

τ221

sdotsdot+=

sdotminus=

c

Iout

c

Iout

K

Qzhc

K

Qc

τ

τ

102

1

IIIdeg caso ( )

rArrlt+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdotlt

c

DI

K

Aττ 4

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

(14)

Dove

( ) ( )

+sdotsdotsdotminus

+sdotminussdot=

+sdotsdotminus=

sdotplusmn=

AK

K

AK

K

AK

K

iz

DcI

c

Dc

c

Dc

c

τττβ

τα

βα

42

1

2

2

21

I controlli automatici ndash IIa parte 15

sdotsdot+

=

sdotminus=

β

τα

τ

c

Iout

c

Iout

K

Qh

c

K

Qc

0

2

1

La risposta del sistema sottoposto ad unrsquoazione di controllo di questo tipo egrave diagrammata in fig 14 per Qout = 0

Fig 14 - Controllore PID

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) gt 4

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) = 4

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) lt 4

Set Point

Se ora disegniamo la risposta del controllore PID e la confrontiamo con quella di un controllore PI per un disturbo permanente otterremo un grafico del tipo illustrato nella fig 15

Fig 15 - Controllore PID vs PI

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h PID - KcτI(KcτD+A) lt 4

PI - KcτIA lt 4

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 16

Come si puograve notare la presenza dellrsquoazione derivativa comporta un peggioramento della risposta del sistema che diventa piugrave oscillatoria ossia con periodo e ampiezza dellrsquooscillazione maggiori Anche in questo caso inoltre come in quello giagrave discusso del controllore PI esiste un problema legato alla scelta ottimale dei valori dei parametri Kc τI e τD 7 ndash Conclusioni

Riassumendo dallrsquoanalisi delle risposte fornite dal sistema sotto lrsquoazione dei diversi controllori egrave possibile trarre le seguenti considerazioni

1 il controllore On-Off sarebbe in teoria il migliore tipo di controllo del nostro sciacquone per il suo basso costo e la sua maggiore efficienza in termini di tempo di riempimento Il suo limite principale egrave legato al fatto che la risposta al disturbo puograve essere molto brusca (a meno di non prendere opportune precauzioni) poicheacute la valvola di alimentazione si apre subito al massimo e rimane in questo stato fino al cessare dellrsquoazione del controllore Inoltre nel caso di perdite dovute a una non perfetta chiusura della valvola di scarico il livello dellrsquoacqua nel serbatoio oscilleragrave continuamente tra il valore impostato di set-point e il valore minimo al di sotto del quale il controllore si attiva

2 il controllore proporzionale (P) puograve essere reso simile al controllore On-Off aumentando il valore del guadagno Kc ma egrave anche possibile modulando opportunamente il valore di questa grandezza rendere piugrave ldquodolcerdquo la risposta del sistema ossia meno intensa la portata di adduzione dellrsquoacqua Tale portata andragrave comunque decrescendo nel tempo allungando i tempi di risposta rispetto al caso del sistema On-Off In effetti il controllore proporzionale egrave quello universalmente piugrave adoperato per questo tipo di processo anche se il suo limite principale risiede nellrsquoimpossibilitagrave di riportare il livello sul valore di set-point nel caso di disturbi protratti nel tempo (presenza di offset)

3 lrsquoaggiunta dellrsquoazione derivativa a quella proporzionale (PD) egrave inutile o addirittura dannosa in un processo discontinuo quale egrave il riempimento del nostro sciacquone In questo processo infatti il disturbo o ha una durata molto limitata (periodo nel quale il sistema di controllo in ogni caso non puograve agire date le caratteristiche costruttive dello sciacquone) o egrave costante nel tempo per cui lrsquoerrore ε egrave comunque una funzione monotona decrescente nel tempo Per tale motivo lrsquoaggiunta di questo tipo di controllo si traduce in un rallentamento della velocitagrave di riempimento e si puograve giustificare soltanto se contestualmente si incrementa il valore del guadagno proporzionale Kc in modo da avere una risposta rapida ma non troppo brusca e con basso offset

4 lrsquoazione integrale unita a quella proporzionale (PI) ha il grande vantaggio di eliminare lrsquooffset in presenza di disturbi costanti a spese perograve del comportamento oscillatorio assunto dal sistema Lrsquoopportuno settaggio dei parametri di controllo (Kc e τI) puograve comunque consentire di ottenere una risposta adeguata alle necessitagrave

5 non esiste alcun motivo realmente valido per utilizzare un controllo di tipo PID per il processo discontinuo in questione Oltre al maggior costo di questo tipo di apparecchiatura crsquoegrave da dire che lrsquoazione derivativa unita a quella integrale peggiora in modo molto marcato la risposta del sistema rallentandola e facendo aumentare lrsquoovershoot (mentre in un sistema continuo si otterrebbe lrsquoeffetto esattamente opposto) Lrsquounico vantaggio dellrsquoutilizzo contemporaneo dei tre meccanismi di controllo (proporzionale integrale e derivativo) si ha nella possibilitagrave di regolare tre parametri (Kc τI τD) al posto di uno solo (Kc) o due (Kc e τI oppure Kc e τD) per ottimizzare la risposta In effetti incrementando la costante Kc insieme al tempo derivativo τD egrave possibile rendere la risposta del sistema veloce (ma non troppo rapida come si avrebbe in un controllo di tipo puramente PI) e nello stesso tempo ridurne considerevolmente il comportamento oscillatorio (vedi fig 16 seguente)

I controlli automatici ndash IIa parte 17

Fig 16 - PI vs PID (KcPIDKcPI = 10)

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h PI

PID

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 18

Appendice 1 Integrazione dellrsquoequazione di bilancio per un controllore On ndash Off

Data lrsquoequazione

dt

dhAhKQ

insdot=sdotminus (3)

Eseguendo la sostituzione

dhdyyhyhy =sdotsdotrArr=rArr= 22

avremo

A

K

yA

Q

dt

dy

dt

dyyAyKQ

in

in

sdot

minus

sdotsdot

=

sdotsdotsdot=sdotminus

22

2

Ovvero ponendo

A

K

A

Qin

sdot

=

sdot

=

22βα

βαminus=

ydt

dy

E introducendo la nuova variabile

zdt

dz

z

dt

dz

zdt

dzy

dt

dy

dt

dy

ydt

dz

zy

yz

=sdot

+sdotminus

sdot

+sdotminus=sdotminus=rArrsdotminus=

+=rArrminus=

2

22

2

1

1

β

α

α

β

α

αα

α

β

αβ

α

Abbiamo trasformato lrsquoequazione originaria in una a variabili separabili

( ) αβ

dtdz

zzminus=sdot

+sdot2

1

La frazione a primo membro puograve essere scomposta col metodo dei coefficienti indeterminati ottenendo

( ) ( ) ( )( ) ( )

=

minus=+sdotminus

=

minus=

rArr

=

sdotminussdotsdotminus=

minus=

rArr

=sdot

=+sdot+sdotsdot

=+

=sdot+sdotsdot+sdot+sdot+sdotsdotsdot+sdot

=sdot++sdotsdot++sdotrArr+

++

+=+sdot

2

22

2

2

2

222

2

22

1

12

1

1

2

1

02

0

12

11

β

ββ

β

β

β

β

β

ββ

β

ββ

βββ

βββββ

A

C

B

A

BAC

AB

A

CBA

BA

zCzBzBAzAzA

zCzzBzAz

C

z

B

z

A

zz

Per cui lrsquointegrale fornisce

( ) ( ) ( ) intint int intint sdotminus=sdot

+

+sdot

+

+sdot=sdot

+sdot

dtdzz

Cdz

z

Bdz

z

Adz

zz αβββ

11

22

I controlli automatici ndash IIa parte 19

( )( )

αβαα

β

β

ααα

β

αα

αβ

α

αα

αβ

α

αββ

tyy

Cy

t

CtyCy

A

CtyC

yyA

Ct

y

C

yB

yA

Ct

z

CzBzA

minus=sdot

+

sdotminussdot

=rArr

=

=

+minus=sdot

minus

sdotminussdot

+minus=sdot

minus

minus

minussdot

+minus=

minus

sdot+

minussdot

+minus=+

minus+sdot+sdot

1ln1

00

0

1ln

lnln

lnln

lnln

2

α

β

α

β

α

β2

1ln sdotminus=sdot

+

sdotminus t

yy

Ovvero

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdot+

sdotminus

21ln

2

(5)

Mentre se le condizioni iniziali fossero diverse avremmo

αβαα

β

β

111

2

1

11ln

1

tyyC

yy

tt+

sdot+

sdotminussdot=rArr

=

=

Ossia

+

sdot+

sdotminussdot+minus=

sdot+

sdotminussdot

αβαα

β

βαβαα

β

β

111

221ln

11ln

1 tyytyy

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β 22

1

111ln1ln sdotminus=

sdot+

sdot+

sdotminusminus

sdot+

sdotminus tt

yyyy

ininininininQA

Kt

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdotsdotsdot+

sdot+

sdotminusminus

sdot+

sdotminus

221ln1ln

22

1

11 (5b)

Poicheacute la (5) non fornisce esplicitamente lrsquoaltezza h in funzione del tempo t egrave possibile approssimare il logaritmo del primo membro mediante espansione in serie Avremo allora

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) suminfin

=

minus=minus

+sdot

minus

minusminussdot

minus

minussdot

minus

minusminus=minus

+sdot++sdot+sdot+=

1

2

2

2

1ln

01

1

201

1

01

101ln1ln

02

000

n

n

n

n

n

n

n

xx

n

xxxx

n

xf

xfxffxf

I termini nella sommatoria sono decrescenti (si ricordi che il fattore in

Q

hKx

sdot

= egrave minore di 1 in

quanto rappresenta il rapporto tra la portata uscente e quella in ingresso al serbatoio) Limitando lrsquoespansione in serie ai primi tre termini non nulli e sostituendo in (5)

I controlli automatici ndash IIa parte 20

ininin

ininininin

QA

Kt

Q

hhK

Q

hK

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

sdotsdot

sdotcong

sdot

sdotsdot+

sdot

sdot

sdotsdot

sdotminuscongsdot

+

sdot

sdotminus

sdot

sdotminus

sdotminus

232

232

2

3

3

2

2

2

3

33

2

2

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotcong

sdotsdot+sdot

sdot

sdot

23

21

2

2

2

2

in

out

in

Q

QA

Qth

+

sdotsdotcong

1

1 (5c)

Dove col simbolo outQ si egrave indicata la portata media uscente ovvero

0

3

2hKQ

outsdotsdot=

La (5c) puograve essere ulteriormente semplificata espandendo in serie anche il fattore

in

out

Q

Q+1

1

( ) ( )

01

1

01

1

01

1

1

1

1

1 2

32+sdot

+

+sdot

+

minus

+

=

+

=

+

xxx

Q

Q

in

out

E trascurando i termini con esponente maggiore di 1 (in

out

Q

Q egrave minore di 1)

in

out

in

outQ

Q

Q

Qminuscong

+

1

1

1

Per cui la (5c) diventa

A

QQt

Q

Q

A

Qth outin

in

outinminus

sdot=

minussdotsdotcong 1 (6)

I controlli automatici ndash IIa parte 21

Appendice 2 Integrazione dellrsquoequazione di bilancio per un controllore PI

Come visto il bilancio di materia sul serbatoio in presenza di controllo proporzionale integrale porta a

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

ydout

I

cc=sdot

sdot

+sdot+

τ2

2

(11)

La soluzione generale y(t) della suddetta equazione si ottiene sommando ad una sua soluzione particolare y0(t) la soluzione generale della equazione omogenea associata

02

2

=sdot

sdot

+sdot+ yA

K

dt

dy

A

K

dt

yd

I

cc

τ

Poicheacute A

Qout (il termine a secondo membro della (1)) egrave una costante e puograve essere considerato un

polinomio di grado zero rispetto alla variabile tempo t e I

c

A

K

τsdot

(il coefficiente della funzione

incognita y) egrave diverso da zero la teoria risolutiva di questo tipo di equazioni impone che anche la soluzione particolare y0(t) sia un polinomio di grado zero del tipo y0(t) = a e che deve rispettare la condizione

( )c

Iout

c

Ioutout

I

ccout

I

cc

K

Qty

K

Qa

A

Qa

A

K

A

K

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

yd

τ

τ

ττ

sdot=

sdot=rArr=sdot

sdot

+sdot+rArr=sdot

sdot

+sdot+

0

0

0

2

0

2

00

Lrsquoequazione caratteristica della equazione differenziale omogenea associata alla suddetta equazione egrave

02

=

sdot

+sdot+

I

cc

A

Kz

A

Kz

τ

Avremo allora in base al segno del discriminante di tale equazione Ideg caso 0gt∆

c

I

I

c

I

cc

I

cc

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

KsdotgtrArrgtrArr

sdotsdotgt

rArrgt

sdotsdotminus

4

4404

22

τ

τττ

2

4

2

21

I

ccc

A

K

A

K

A

K

zτsdot

sdotminus

plusmnminus

=

E lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave tztz

ececysdotsdot

sdot+sdot=21

21

IIdeg caso 0=∆

A

Kzz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

c

I

I

c

I

cc

I

cc

sdotminus==

sdot=rArr=rArrsdot

sdot=

rArr=

sdotsdotminus

2

44

404

21

22

τ

τττ

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave ( )tcceytz

sdot+sdotsdot=sdot

21

1 IIIdeg caso 0lt∆

βα

ττττ

sdotplusmn=

sdotltrArrltrArrsdot

sdotlt

rArrlt

sdotsdotminus

iz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

I

I

c

I

cc

I

cc

21

22

44

404

I controlli automatici ndash IIa parte 22

sdotsdotminus

minussdot=

sdotminus=

I

ccc

A

K

A

K

A

K

τβα 4

2

1

2

2

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata diventa ( ) ( )[ ]tctceyt

sdotsdot+sdotsdotsdot=sdot ββα

sincos21

Lrsquointegrale generale dellrsquoequazione completa (11) saragrave allora Ideg caso ( )tyececy

tztz

021

21+sdot+sdot=

sdotsdot

IIdeg caso ( ) ( )tytcceytz

021

1+sdot+sdotsdot=

sdot

IIIdeg caso ( ) ( )[ ] ( )tytctceyt

021sincos +sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdot

ββα

Lrsquointegrale particolare ottenuto ponendo le condizioni al contorno ( ) ( )0

000 hyy == saragrave

Ideg caso

( )

( )

=sdot+sdot

sdotminus=+

rArr

=sdotsdot+sdotsdot=

=sdot

+sdot+sdot=

sdotsdot

sdotsdot

02211

21

0

0

22

0

11

0

2

0

1

21

21

0

00

hzczc

K

Qcc

hezcezcy

K

Qececy

c

Iout

zz

c

Ioutzz ττ

minus

sdotsdot

+

=

sdotminus

minus

sdotsdot

+

minus=

rArr

=sdot+sdot

sdot+minus

sdotminusminus=

12

10

2

12

10

1

02212

21

zz

zK

Qh

c

K

Q

zz

zK

Qh

c

hzczK

Qc

K

Qcc

c

Iout

c

Ioutc

Iout

c

Iout

c

Iout

τ

τ

τ

τ

τ

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

τ

τ

Per cui ( ) tztz

ezcezchhtysdotsdot

sdotsdot+sdotsdot=minus=21

22110

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110

IIdeg caso

( ) ( )

( ) ( )

sdotsdot+=

sdotminus=

rArr

=+sdot

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot+sdotsdotsdot=

=sdot

+sdot+sdotsdot=

sdotsdot

sdot

c

Iout

c

Iout

c

Iout

zz

c

Ioutz

K

Qzhc

K

Qc

hccz

K

Qc

hceccezy

K

Qccey

τ

τ

ττ

102

1

0211

1

02

0

21

0

1

21

0

11

1

00

000

Per cui ( ) ( )

22110

11 cetccezhhtytztz

sdot+sdot+sdotsdotsdot=minus=sdotsdot

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot

IIIdeg caso

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

=sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=

=sdot

+sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdotsdot

sdot

021

0

21

0

21

0

0cos0sin0sin0cos0

00sin0cos0

hcceccey

K

Qccey

c

Iout

ββββββα

τββ

αα

α

I controlli automatici ndash IIa parte 23

sdotsdot+

=

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot

sdotminus=

β

τα

τ

βα

τ

c

Iout

c

Iout

c

Iout

K

Qh

c

K

Qc

hcc

K

Qc

0

2

1

021

1

Per cui ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhty tt

sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=minus=sdotsdot

ββββββααα

cossinsincos21210

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

I controlli automatici ndash IIa parte 14

( ) ( )int sdotminus=

t

dthhty0

0

Avremo

2

2

2

2

dt

ydAQ

dt

ydKy

K

dt

dyK

outDc

I

c

csdotminus=minussdotsdot+sdot+sdot τ

τ

Ovvero

( ) AK

Qy

AK

K

dt

dy

AK

K

dt

yd

Dc

out

DcI

c

Dc

c

+sdot

=sdot

+sdotsdot

+sdot

+sdot

+

ττττ2

2

(15)

Sono possibili tre casi (la dimostrazione viene tralasciata percheacute del tutto identica al caso del controllore PI con le uniche differenze legate alle espressioni del discriminante della equazione caratteristica e del termine noto dellrsquoequazione completa)

Ideg caso ( )

rArrgt+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdotgt

c

DI

K

Aττ 4

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110 (12)

Dove

( )

2

4

2

21

AK

K

AK

K

AK

K

zDcI

c

Dc

c

Dc

c

+sdotsdotsdotminus

+sdotplusmn

+sdotminus

=ττττ

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

τ

τ

IIdeg caso ( )

rArr=+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdot=

c

DI

K

Aττ 4

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot (13)

Dove

( )AK

Kzz

Dc

c

+sdotsdot

minus==

τ221

sdotsdot+=

sdotminus=

c

Iout

c

Iout

K

Qzhc

K

Qc

τ

τ

102

1

IIIdeg caso ( )

rArrlt+sdotsdot

sdotminus

+sdot=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+sdotlt

c

DI

K

Aττ 4

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

(14)

Dove

( ) ( )

+sdotsdotsdotminus

+sdotminussdot=

+sdotsdotminus=

sdotplusmn=

AK

K

AK

K

AK

K

iz

DcI

c

Dc

c

Dc

c

τττβ

τα

βα

42

1

2

2

21

I controlli automatici ndash IIa parte 15

sdotsdot+

=

sdotminus=

β

τα

τ

c

Iout

c

Iout

K

Qh

c

K

Qc

0

2

1

La risposta del sistema sottoposto ad unrsquoazione di controllo di questo tipo egrave diagrammata in fig 14 per Qout = 0

Fig 14 - Controllore PID

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) gt 4

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) = 4

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) lt 4

Set Point

Se ora disegniamo la risposta del controllore PID e la confrontiamo con quella di un controllore PI per un disturbo permanente otterremo un grafico del tipo illustrato nella fig 15

Fig 15 - Controllore PID vs PI

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h PID - KcτI(KcτD+A) lt 4

PI - KcτIA lt 4

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 16

Come si puograve notare la presenza dellrsquoazione derivativa comporta un peggioramento della risposta del sistema che diventa piugrave oscillatoria ossia con periodo e ampiezza dellrsquooscillazione maggiori Anche in questo caso inoltre come in quello giagrave discusso del controllore PI esiste un problema legato alla scelta ottimale dei valori dei parametri Kc τI e τD 7 ndash Conclusioni

Riassumendo dallrsquoanalisi delle risposte fornite dal sistema sotto lrsquoazione dei diversi controllori egrave possibile trarre le seguenti considerazioni

1 il controllore On-Off sarebbe in teoria il migliore tipo di controllo del nostro sciacquone per il suo basso costo e la sua maggiore efficienza in termini di tempo di riempimento Il suo limite principale egrave legato al fatto che la risposta al disturbo puograve essere molto brusca (a meno di non prendere opportune precauzioni) poicheacute la valvola di alimentazione si apre subito al massimo e rimane in questo stato fino al cessare dellrsquoazione del controllore Inoltre nel caso di perdite dovute a una non perfetta chiusura della valvola di scarico il livello dellrsquoacqua nel serbatoio oscilleragrave continuamente tra il valore impostato di set-point e il valore minimo al di sotto del quale il controllore si attiva

2 il controllore proporzionale (P) puograve essere reso simile al controllore On-Off aumentando il valore del guadagno Kc ma egrave anche possibile modulando opportunamente il valore di questa grandezza rendere piugrave ldquodolcerdquo la risposta del sistema ossia meno intensa la portata di adduzione dellrsquoacqua Tale portata andragrave comunque decrescendo nel tempo allungando i tempi di risposta rispetto al caso del sistema On-Off In effetti il controllore proporzionale egrave quello universalmente piugrave adoperato per questo tipo di processo anche se il suo limite principale risiede nellrsquoimpossibilitagrave di riportare il livello sul valore di set-point nel caso di disturbi protratti nel tempo (presenza di offset)

3 lrsquoaggiunta dellrsquoazione derivativa a quella proporzionale (PD) egrave inutile o addirittura dannosa in un processo discontinuo quale egrave il riempimento del nostro sciacquone In questo processo infatti il disturbo o ha una durata molto limitata (periodo nel quale il sistema di controllo in ogni caso non puograve agire date le caratteristiche costruttive dello sciacquone) o egrave costante nel tempo per cui lrsquoerrore ε egrave comunque una funzione monotona decrescente nel tempo Per tale motivo lrsquoaggiunta di questo tipo di controllo si traduce in un rallentamento della velocitagrave di riempimento e si puograve giustificare soltanto se contestualmente si incrementa il valore del guadagno proporzionale Kc in modo da avere una risposta rapida ma non troppo brusca e con basso offset

4 lrsquoazione integrale unita a quella proporzionale (PI) ha il grande vantaggio di eliminare lrsquooffset in presenza di disturbi costanti a spese perograve del comportamento oscillatorio assunto dal sistema Lrsquoopportuno settaggio dei parametri di controllo (Kc e τI) puograve comunque consentire di ottenere una risposta adeguata alle necessitagrave

5 non esiste alcun motivo realmente valido per utilizzare un controllo di tipo PID per il processo discontinuo in questione Oltre al maggior costo di questo tipo di apparecchiatura crsquoegrave da dire che lrsquoazione derivativa unita a quella integrale peggiora in modo molto marcato la risposta del sistema rallentandola e facendo aumentare lrsquoovershoot (mentre in un sistema continuo si otterrebbe lrsquoeffetto esattamente opposto) Lrsquounico vantaggio dellrsquoutilizzo contemporaneo dei tre meccanismi di controllo (proporzionale integrale e derivativo) si ha nella possibilitagrave di regolare tre parametri (Kc τI τD) al posto di uno solo (Kc) o due (Kc e τI oppure Kc e τD) per ottimizzare la risposta In effetti incrementando la costante Kc insieme al tempo derivativo τD egrave possibile rendere la risposta del sistema veloce (ma non troppo rapida come si avrebbe in un controllo di tipo puramente PI) e nello stesso tempo ridurne considerevolmente il comportamento oscillatorio (vedi fig 16 seguente)

I controlli automatici ndash IIa parte 17

Fig 16 - PI vs PID (KcPIDKcPI = 10)

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h PI

PID

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 18

Appendice 1 Integrazione dellrsquoequazione di bilancio per un controllore On ndash Off

Data lrsquoequazione

dt

dhAhKQ

insdot=sdotminus (3)

Eseguendo la sostituzione

dhdyyhyhy =sdotsdotrArr=rArr= 22

avremo

A

K

yA

Q

dt

dy

dt

dyyAyKQ

in

in

sdot

minus

sdotsdot

=

sdotsdotsdot=sdotminus

22

2

Ovvero ponendo

A

K

A

Qin

sdot

=

sdot

=

22βα

βαminus=

ydt

dy

E introducendo la nuova variabile

zdt

dz

z

dt

dz

zdt

dzy

dt

dy

dt

dy

ydt

dz

zy

yz

=sdot

+sdotminus

sdot

+sdotminus=sdotminus=rArrsdotminus=

+=rArrminus=

2

22

2

1

1

β

α

α

β

α

αα

α

β

αβ

α

Abbiamo trasformato lrsquoequazione originaria in una a variabili separabili

( ) αβ

dtdz

zzminus=sdot

+sdot2

1

La frazione a primo membro puograve essere scomposta col metodo dei coefficienti indeterminati ottenendo

( ) ( ) ( )( ) ( )

=

minus=+sdotminus

=

minus=

rArr

=

sdotminussdotsdotminus=

minus=

rArr

=sdot

=+sdot+sdotsdot

=+

=sdot+sdotsdot+sdot+sdot+sdotsdotsdot+sdot

=sdot++sdotsdot++sdotrArr+

++

+=+sdot

2

22

2

2

2

222

2

22

1

12

1

1

2

1

02

0

12

11

β

ββ

β

β

β

β

β

ββ

β

ββ

βββ

βββββ

A

C

B

A

BAC

AB

A

CBA

BA

zCzBzBAzAzA

zCzzBzAz

C

z

B

z

A

zz

Per cui lrsquointegrale fornisce

( ) ( ) ( ) intint int intint sdotminus=sdot

+

+sdot

+

+sdot=sdot

+sdot

dtdzz

Cdz

z

Bdz

z

Adz

zz αβββ

11

22

I controlli automatici ndash IIa parte 19

( )( )

αβαα

β

β

ααα

β

αα

αβ

α

αα

αβ

α

αββ

tyy

Cy

t

CtyCy

A

CtyC

yyA

Ct

y

C

yB

yA

Ct

z

CzBzA

minus=sdot

+

sdotminussdot

=rArr

=

=

+minus=sdot

minus

sdotminussdot

+minus=sdot

minus

minus

minussdot

+minus=

minus

sdot+

minussdot

+minus=+

minus+sdot+sdot

1ln1

00

0

1ln

lnln

lnln

lnln

2

α

β

α

β

α

β2

1ln sdotminus=sdot

+

sdotminus t

yy

Ovvero

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdot+

sdotminus

21ln

2

(5)

Mentre se le condizioni iniziali fossero diverse avremmo

αβαα

β

β

111

2

1

11ln

1

tyyC

yy

tt+

sdot+

sdotminussdot=rArr

=

=

Ossia

+

sdot+

sdotminussdot+minus=

sdot+

sdotminussdot

αβαα

β

βαβαα

β

β

111

221ln

11ln

1 tyytyy

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β 22

1

111ln1ln sdotminus=

sdot+

sdot+

sdotminusminus

sdot+

sdotminus tt

yyyy

ininininininQA

Kt

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdotsdotsdot+

sdot+

sdotminusminus

sdot+

sdotminus

221ln1ln

22

1

11 (5b)

Poicheacute la (5) non fornisce esplicitamente lrsquoaltezza h in funzione del tempo t egrave possibile approssimare il logaritmo del primo membro mediante espansione in serie Avremo allora

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) suminfin

=

minus=minus

+sdot

minus

minusminussdot

minus

minussdot

minus

minusminus=minus

+sdot++sdot+sdot+=

1

2

2

2

1ln

01

1

201

1

01

101ln1ln

02

000

n

n

n

n

n

n

n

xx

n

xxxx

n

xf

xfxffxf

I termini nella sommatoria sono decrescenti (si ricordi che il fattore in

Q

hKx

sdot

= egrave minore di 1 in

quanto rappresenta il rapporto tra la portata uscente e quella in ingresso al serbatoio) Limitando lrsquoespansione in serie ai primi tre termini non nulli e sostituendo in (5)

I controlli automatici ndash IIa parte 20

ininin

ininininin

QA

Kt

Q

hhK

Q

hK

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

sdotsdot

sdotcong

sdot

sdotsdot+

sdot

sdot

sdotsdot

sdotminuscongsdot

+

sdot

sdotminus

sdot

sdotminus

sdotminus

232

232

2

3

3

2

2

2

3

33

2

2

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotcong

sdotsdot+sdot

sdot

sdot

23

21

2

2

2

2

in

out

in

Q

QA

Qth

+

sdotsdotcong

1

1 (5c)

Dove col simbolo outQ si egrave indicata la portata media uscente ovvero

0

3

2hKQ

outsdotsdot=

La (5c) puograve essere ulteriormente semplificata espandendo in serie anche il fattore

in

out

Q

Q+1

1

( ) ( )

01

1

01

1

01

1

1

1

1

1 2

32+sdot

+

+sdot

+

minus

+

=

+

=

+

xxx

Q

Q

in

out

E trascurando i termini con esponente maggiore di 1 (in

out

Q

Q egrave minore di 1)

in

out

in

outQ

Q

Q

Qminuscong

+

1

1

1

Per cui la (5c) diventa

A

QQt

Q

Q

A

Qth outin

in

outinminus

sdot=

minussdotsdotcong 1 (6)

I controlli automatici ndash IIa parte 21

Appendice 2 Integrazione dellrsquoequazione di bilancio per un controllore PI

Come visto il bilancio di materia sul serbatoio in presenza di controllo proporzionale integrale porta a

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

ydout

I

cc=sdot

sdot

+sdot+

τ2

2

(11)

La soluzione generale y(t) della suddetta equazione si ottiene sommando ad una sua soluzione particolare y0(t) la soluzione generale della equazione omogenea associata

02

2

=sdot

sdot

+sdot+ yA

K

dt

dy

A

K

dt

yd

I

cc

τ

Poicheacute A

Qout (il termine a secondo membro della (1)) egrave una costante e puograve essere considerato un

polinomio di grado zero rispetto alla variabile tempo t e I

c

A

K

τsdot

(il coefficiente della funzione

incognita y) egrave diverso da zero la teoria risolutiva di questo tipo di equazioni impone che anche la soluzione particolare y0(t) sia un polinomio di grado zero del tipo y0(t) = a e che deve rispettare la condizione

( )c

Iout

c

Ioutout

I

ccout

I

cc

K

Qty

K

Qa

A

Qa

A

K

A

K

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

yd

τ

τ

ττ

sdot=

sdot=rArr=sdot

sdot

+sdot+rArr=sdot

sdot

+sdot+

0

0

0

2

0

2

00

Lrsquoequazione caratteristica della equazione differenziale omogenea associata alla suddetta equazione egrave

02

=

sdot

+sdot+

I

cc

A

Kz

A

Kz

τ

Avremo allora in base al segno del discriminante di tale equazione Ideg caso 0gt∆

c

I

I

c

I

cc

I

cc

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

KsdotgtrArrgtrArr

sdotsdotgt

rArrgt

sdotsdotminus

4

4404

22

τ

τττ

2

4

2

21

I

ccc

A

K

A

K

A

K

zτsdot

sdotminus

plusmnminus

=

E lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave tztz

ececysdotsdot

sdot+sdot=21

21

IIdeg caso 0=∆

A

Kzz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

c

I

I

c

I

cc

I

cc

sdotminus==

sdot=rArr=rArrsdot

sdot=

rArr=

sdotsdotminus

2

44

404

21

22

τ

τττ

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave ( )tcceytz

sdot+sdotsdot=sdot

21

1 IIIdeg caso 0lt∆

βα

ττττ

sdotplusmn=

sdotltrArrltrArrsdot

sdotlt

rArrlt

sdotsdotminus

iz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

I

I

c

I

cc

I

cc

21

22

44

404

I controlli automatici ndash IIa parte 22

sdotsdotminus

minussdot=

sdotminus=

I

ccc

A

K

A

K

A

K

τβα 4

2

1

2

2

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata diventa ( ) ( )[ ]tctceyt

sdotsdot+sdotsdotsdot=sdot ββα

sincos21

Lrsquointegrale generale dellrsquoequazione completa (11) saragrave allora Ideg caso ( )tyececy

tztz

021

21+sdot+sdot=

sdotsdot

IIdeg caso ( ) ( )tytcceytz

021

1+sdot+sdotsdot=

sdot

IIIdeg caso ( ) ( )[ ] ( )tytctceyt

021sincos +sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdot

ββα

Lrsquointegrale particolare ottenuto ponendo le condizioni al contorno ( ) ( )0

000 hyy == saragrave

Ideg caso

( )

( )

=sdot+sdot

sdotminus=+

rArr

=sdotsdot+sdotsdot=

=sdot

+sdot+sdot=

sdotsdot

sdotsdot

02211

21

0

0

22

0

11

0

2

0

1

21

21

0

00

hzczc

K

Qcc

hezcezcy

K

Qececy

c

Iout

zz

c

Ioutzz ττ

minus

sdotsdot

+

=

sdotminus

minus

sdotsdot

+

minus=

rArr

=sdot+sdot

sdot+minus

sdotminusminus=

12

10

2

12

10

1

02212

21

zz

zK

Qh

c

K

Q

zz

zK

Qh

c

hzczK

Qc

K

Qcc

c

Iout

c

Ioutc

Iout

c

Iout

c

Iout

τ

τ

τ

τ

τ

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

τ

τ

Per cui ( ) tztz

ezcezchhtysdotsdot

sdotsdot+sdotsdot=minus=21

22110

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110

IIdeg caso

( ) ( )

( ) ( )

sdotsdot+=

sdotminus=

rArr

=+sdot

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot+sdotsdotsdot=

=sdot

+sdot+sdotsdot=

sdotsdot

sdot

c

Iout

c

Iout

c

Iout

zz

c

Ioutz

K

Qzhc

K

Qc

hccz

K

Qc

hceccezy

K

Qccey

τ

τ

ττ

102

1

0211

1

02

0

21

0

1

21

0

11

1

00

000

Per cui ( ) ( )

22110

11 cetccezhhtytztz

sdot+sdot+sdotsdotsdot=minus=sdotsdot

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot

IIIdeg caso

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

=sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=

=sdot

+sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdotsdot

sdot

021

0

21

0

21

0

0cos0sin0sin0cos0

00sin0cos0

hcceccey

K

Qccey

c

Iout

ββββββα

τββ

αα

α

I controlli automatici ndash IIa parte 23

sdotsdot+

=

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot

sdotminus=

β

τα

τ

βα

τ

c

Iout

c

Iout

c

Iout

K

Qh

c

K

Qc

hcc

K

Qc

0

2

1

021

1

Per cui ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhty tt

sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=minus=sdotsdot

ββββββααα

cossinsincos21210

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

I controlli automatici ndash IIa parte 15

sdotsdot+

=

sdotminus=

β

τα

τ

c

Iout

c

Iout

K

Qh

c

K

Qc

0

2

1

La risposta del sistema sottoposto ad unrsquoazione di controllo di questo tipo egrave diagrammata in fig 14 per Qout = 0

Fig 14 - Controllore PID

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) gt 4

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) = 4

Qout = 0 KcτI(KcτD+A) lt 4

Set Point

Se ora disegniamo la risposta del controllore PID e la confrontiamo con quella di un controllore PI per un disturbo permanente otterremo un grafico del tipo illustrato nella fig 15

Fig 15 - Controllore PID vs PI

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h PID - KcτI(KcτD+A) lt 4

PI - KcτIA lt 4

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 16

Come si puograve notare la presenza dellrsquoazione derivativa comporta un peggioramento della risposta del sistema che diventa piugrave oscillatoria ossia con periodo e ampiezza dellrsquooscillazione maggiori Anche in questo caso inoltre come in quello giagrave discusso del controllore PI esiste un problema legato alla scelta ottimale dei valori dei parametri Kc τI e τD 7 ndash Conclusioni

Riassumendo dallrsquoanalisi delle risposte fornite dal sistema sotto lrsquoazione dei diversi controllori egrave possibile trarre le seguenti considerazioni

1 il controllore On-Off sarebbe in teoria il migliore tipo di controllo del nostro sciacquone per il suo basso costo e la sua maggiore efficienza in termini di tempo di riempimento Il suo limite principale egrave legato al fatto che la risposta al disturbo puograve essere molto brusca (a meno di non prendere opportune precauzioni) poicheacute la valvola di alimentazione si apre subito al massimo e rimane in questo stato fino al cessare dellrsquoazione del controllore Inoltre nel caso di perdite dovute a una non perfetta chiusura della valvola di scarico il livello dellrsquoacqua nel serbatoio oscilleragrave continuamente tra il valore impostato di set-point e il valore minimo al di sotto del quale il controllore si attiva

2 il controllore proporzionale (P) puograve essere reso simile al controllore On-Off aumentando il valore del guadagno Kc ma egrave anche possibile modulando opportunamente il valore di questa grandezza rendere piugrave ldquodolcerdquo la risposta del sistema ossia meno intensa la portata di adduzione dellrsquoacqua Tale portata andragrave comunque decrescendo nel tempo allungando i tempi di risposta rispetto al caso del sistema On-Off In effetti il controllore proporzionale egrave quello universalmente piugrave adoperato per questo tipo di processo anche se il suo limite principale risiede nellrsquoimpossibilitagrave di riportare il livello sul valore di set-point nel caso di disturbi protratti nel tempo (presenza di offset)

3 lrsquoaggiunta dellrsquoazione derivativa a quella proporzionale (PD) egrave inutile o addirittura dannosa in un processo discontinuo quale egrave il riempimento del nostro sciacquone In questo processo infatti il disturbo o ha una durata molto limitata (periodo nel quale il sistema di controllo in ogni caso non puograve agire date le caratteristiche costruttive dello sciacquone) o egrave costante nel tempo per cui lrsquoerrore ε egrave comunque una funzione monotona decrescente nel tempo Per tale motivo lrsquoaggiunta di questo tipo di controllo si traduce in un rallentamento della velocitagrave di riempimento e si puograve giustificare soltanto se contestualmente si incrementa il valore del guadagno proporzionale Kc in modo da avere una risposta rapida ma non troppo brusca e con basso offset

4 lrsquoazione integrale unita a quella proporzionale (PI) ha il grande vantaggio di eliminare lrsquooffset in presenza di disturbi costanti a spese perograve del comportamento oscillatorio assunto dal sistema Lrsquoopportuno settaggio dei parametri di controllo (Kc e τI) puograve comunque consentire di ottenere una risposta adeguata alle necessitagrave

5 non esiste alcun motivo realmente valido per utilizzare un controllo di tipo PID per il processo discontinuo in questione Oltre al maggior costo di questo tipo di apparecchiatura crsquoegrave da dire che lrsquoazione derivativa unita a quella integrale peggiora in modo molto marcato la risposta del sistema rallentandola e facendo aumentare lrsquoovershoot (mentre in un sistema continuo si otterrebbe lrsquoeffetto esattamente opposto) Lrsquounico vantaggio dellrsquoutilizzo contemporaneo dei tre meccanismi di controllo (proporzionale integrale e derivativo) si ha nella possibilitagrave di regolare tre parametri (Kc τI τD) al posto di uno solo (Kc) o due (Kc e τI oppure Kc e τD) per ottimizzare la risposta In effetti incrementando la costante Kc insieme al tempo derivativo τD egrave possibile rendere la risposta del sistema veloce (ma non troppo rapida come si avrebbe in un controllo di tipo puramente PI) e nello stesso tempo ridurne considerevolmente il comportamento oscillatorio (vedi fig 16 seguente)

I controlli automatici ndash IIa parte 17

Fig 16 - PI vs PID (KcPIDKcPI = 10)

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h PI

PID

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 18

Appendice 1 Integrazione dellrsquoequazione di bilancio per un controllore On ndash Off

Data lrsquoequazione

dt

dhAhKQ

insdot=sdotminus (3)

Eseguendo la sostituzione

dhdyyhyhy =sdotsdotrArr=rArr= 22

avremo

A

K

yA

Q

dt

dy

dt

dyyAyKQ

in

in

sdot

minus

sdotsdot

=

sdotsdotsdot=sdotminus

22

2

Ovvero ponendo

A

K

A

Qin

sdot

=

sdot

=

22βα

βαminus=

ydt

dy

E introducendo la nuova variabile

zdt

dz

z

dt

dz

zdt

dzy

dt

dy

dt

dy

ydt

dz

zy

yz

=sdot

+sdotminus

sdot

+sdotminus=sdotminus=rArrsdotminus=

+=rArrminus=

2

22

2

1

1

β

α

α

β

α

αα

α

β

αβ

α

Abbiamo trasformato lrsquoequazione originaria in una a variabili separabili

( ) αβ

dtdz

zzminus=sdot

+sdot2

1

La frazione a primo membro puograve essere scomposta col metodo dei coefficienti indeterminati ottenendo

( ) ( ) ( )( ) ( )

=

minus=+sdotminus

=

minus=

rArr

=

sdotminussdotsdotminus=

minus=

rArr

=sdot

=+sdot+sdotsdot

=+

=sdot+sdotsdot+sdot+sdot+sdotsdotsdot+sdot

=sdot++sdotsdot++sdotrArr+

++

+=+sdot

2

22

2

2

2

222

2

22

1

12

1

1

2

1

02

0

12

11

β

ββ

β

β

β

β

β

ββ

β

ββ

βββ

βββββ

A

C

B

A

BAC

AB

A

CBA

BA

zCzBzBAzAzA

zCzzBzAz

C

z

B

z

A

zz

Per cui lrsquointegrale fornisce

( ) ( ) ( ) intint int intint sdotminus=sdot

+

+sdot

+

+sdot=sdot

+sdot

dtdzz

Cdz

z

Bdz

z

Adz

zz αβββ

11

22

I controlli automatici ndash IIa parte 19

( )( )

αβαα

β

β

ααα

β

αα

αβ

α

αα

αβ

α

αββ

tyy

Cy

t

CtyCy

A

CtyC

yyA

Ct

y

C

yB

yA

Ct

z

CzBzA

minus=sdot

+

sdotminussdot

=rArr

=

=

+minus=sdot

minus

sdotminussdot

+minus=sdot

minus

minus

minussdot

+minus=

minus

sdot+

minussdot

+minus=+

minus+sdot+sdot

1ln1

00

0

1ln

lnln

lnln

lnln

2

α

β

α

β

α

β2

1ln sdotminus=sdot

+

sdotminus t

yy

Ovvero

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdot+

sdotminus

21ln

2

(5)

Mentre se le condizioni iniziali fossero diverse avremmo

αβαα

β

β

111

2

1

11ln

1

tyyC

yy

tt+

sdot+

sdotminussdot=rArr

=

=

Ossia

+

sdot+

sdotminussdot+minus=

sdot+

sdotminussdot

αβαα

β

βαβαα

β

β

111

221ln

11ln

1 tyytyy

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β 22

1

111ln1ln sdotminus=

sdot+

sdot+

sdotminusminus

sdot+

sdotminus tt

yyyy

ininininininQA

Kt

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdotsdotsdot+

sdot+

sdotminusminus

sdot+

sdotminus

221ln1ln

22

1

11 (5b)

Poicheacute la (5) non fornisce esplicitamente lrsquoaltezza h in funzione del tempo t egrave possibile approssimare il logaritmo del primo membro mediante espansione in serie Avremo allora

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) suminfin

=

minus=minus

+sdot

minus

minusminussdot

minus

minussdot

minus

minusminus=minus

+sdot++sdot+sdot+=

1

2

2

2

1ln

01

1

201

1

01

101ln1ln

02

000

n

n

n

n

n

n

n

xx

n

xxxx

n

xf

xfxffxf

I termini nella sommatoria sono decrescenti (si ricordi che il fattore in

Q

hKx

sdot

= egrave minore di 1 in

quanto rappresenta il rapporto tra la portata uscente e quella in ingresso al serbatoio) Limitando lrsquoespansione in serie ai primi tre termini non nulli e sostituendo in (5)

I controlli automatici ndash IIa parte 20

ininin

ininininin

QA

Kt

Q

hhK

Q

hK

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

sdotsdot

sdotcong

sdot

sdotsdot+

sdot

sdot

sdotsdot

sdotminuscongsdot

+

sdot

sdotminus

sdot

sdotminus

sdotminus

232

232

2

3

3

2

2

2

3

33

2

2

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotcong

sdotsdot+sdot

sdot

sdot

23

21

2

2

2

2

in

out

in

Q

QA

Qth

+

sdotsdotcong

1

1 (5c)

Dove col simbolo outQ si egrave indicata la portata media uscente ovvero

0

3

2hKQ

outsdotsdot=

La (5c) puograve essere ulteriormente semplificata espandendo in serie anche il fattore

in

out

Q

Q+1

1

( ) ( )

01

1

01

1

01

1

1

1

1

1 2

32+sdot

+

+sdot

+

minus

+

=

+

=

+

xxx

Q

Q

in

out

E trascurando i termini con esponente maggiore di 1 (in

out

Q

Q egrave minore di 1)

in

out

in

outQ

Q

Q

Qminuscong

+

1

1

1

Per cui la (5c) diventa

A

QQt

Q

Q

A

Qth outin

in

outinminus

sdot=

minussdotsdotcong 1 (6)

I controlli automatici ndash IIa parte 21

Appendice 2 Integrazione dellrsquoequazione di bilancio per un controllore PI

Come visto il bilancio di materia sul serbatoio in presenza di controllo proporzionale integrale porta a

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

ydout

I

cc=sdot

sdot

+sdot+

τ2

2

(11)

La soluzione generale y(t) della suddetta equazione si ottiene sommando ad una sua soluzione particolare y0(t) la soluzione generale della equazione omogenea associata

02

2

=sdot

sdot

+sdot+ yA

K

dt

dy

A

K

dt

yd

I

cc

τ

Poicheacute A

Qout (il termine a secondo membro della (1)) egrave una costante e puograve essere considerato un

polinomio di grado zero rispetto alla variabile tempo t e I

c

A

K

τsdot

(il coefficiente della funzione

incognita y) egrave diverso da zero la teoria risolutiva di questo tipo di equazioni impone che anche la soluzione particolare y0(t) sia un polinomio di grado zero del tipo y0(t) = a e che deve rispettare la condizione

( )c

Iout

c

Ioutout

I

ccout

I

cc

K

Qty

K

Qa

A

Qa

A

K

A

K

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

yd

τ

τ

ττ

sdot=

sdot=rArr=sdot

sdot

+sdot+rArr=sdot

sdot

+sdot+

0

0

0

2

0

2

00

Lrsquoequazione caratteristica della equazione differenziale omogenea associata alla suddetta equazione egrave

02

=

sdot

+sdot+

I

cc

A

Kz

A

Kz

τ

Avremo allora in base al segno del discriminante di tale equazione Ideg caso 0gt∆

c

I

I

c

I

cc

I

cc

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

KsdotgtrArrgtrArr

sdotsdotgt

rArrgt

sdotsdotminus

4

4404

22

τ

τττ

2

4

2

21

I

ccc

A

K

A

K

A

K

zτsdot

sdotminus

plusmnminus

=

E lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave tztz

ececysdotsdot

sdot+sdot=21

21

IIdeg caso 0=∆

A

Kzz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

c

I

I

c

I

cc

I

cc

sdotminus==

sdot=rArr=rArrsdot

sdot=

rArr=

sdotsdotminus

2

44

404

21

22

τ

τττ

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave ( )tcceytz

sdot+sdotsdot=sdot

21

1 IIIdeg caso 0lt∆

βα

ττττ

sdotplusmn=

sdotltrArrltrArrsdot

sdotlt

rArrlt

sdotsdotminus

iz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

I

I

c

I

cc

I

cc

21

22

44

404

I controlli automatici ndash IIa parte 22

sdotsdotminus

minussdot=

sdotminus=

I

ccc

A

K

A

K

A

K

τβα 4

2

1

2

2

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata diventa ( ) ( )[ ]tctceyt

sdotsdot+sdotsdotsdot=sdot ββα

sincos21

Lrsquointegrale generale dellrsquoequazione completa (11) saragrave allora Ideg caso ( )tyececy

tztz

021

21+sdot+sdot=

sdotsdot

IIdeg caso ( ) ( )tytcceytz

021

1+sdot+sdotsdot=

sdot

IIIdeg caso ( ) ( )[ ] ( )tytctceyt

021sincos +sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdot

ββα

Lrsquointegrale particolare ottenuto ponendo le condizioni al contorno ( ) ( )0

000 hyy == saragrave

Ideg caso

( )

( )

=sdot+sdot

sdotminus=+

rArr

=sdotsdot+sdotsdot=

=sdot

+sdot+sdot=

sdotsdot

sdotsdot

02211

21

0

0

22

0

11

0

2

0

1

21

21

0

00

hzczc

K

Qcc

hezcezcy

K

Qececy

c

Iout

zz

c

Ioutzz ττ

minus

sdotsdot

+

=

sdotminus

minus

sdotsdot

+

minus=

rArr

=sdot+sdot

sdot+minus

sdotminusminus=

12

10

2

12

10

1

02212

21

zz

zK

Qh

c

K

Q

zz

zK

Qh

c

hzczK

Qc

K

Qcc

c

Iout

c

Ioutc

Iout

c

Iout

c

Iout

τ

τ

τ

τ

τ

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

τ

τ

Per cui ( ) tztz

ezcezchhtysdotsdot

sdotsdot+sdotsdot=minus=21

22110

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110

IIdeg caso

( ) ( )

( ) ( )

sdotsdot+=

sdotminus=

rArr

=+sdot

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot+sdotsdotsdot=

=sdot

+sdot+sdotsdot=

sdotsdot

sdot

c

Iout

c

Iout

c

Iout

zz

c

Ioutz

K

Qzhc

K

Qc

hccz

K

Qc

hceccezy

K

Qccey

τ

τ

ττ

102

1

0211

1

02

0

21

0

1

21

0

11

1

00

000

Per cui ( ) ( )

22110

11 cetccezhhtytztz

sdot+sdot+sdotsdotsdot=minus=sdotsdot

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot

IIIdeg caso

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

=sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=

=sdot

+sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdotsdot

sdot

021

0

21

0

21

0

0cos0sin0sin0cos0

00sin0cos0

hcceccey

K

Qccey

c

Iout

ββββββα

τββ

αα

α

I controlli automatici ndash IIa parte 23

sdotsdot+

=

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot

sdotminus=

β

τα

τ

βα

τ

c

Iout

c

Iout

c

Iout

K

Qh

c

K

Qc

hcc

K

Qc

0

2

1

021

1

Per cui ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhty tt

sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=minus=sdotsdot

ββββββααα

cossinsincos21210

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

I controlli automatici ndash IIa parte 16

Come si puograve notare la presenza dellrsquoazione derivativa comporta un peggioramento della risposta del sistema che diventa piugrave oscillatoria ossia con periodo e ampiezza dellrsquooscillazione maggiori Anche in questo caso inoltre come in quello giagrave discusso del controllore PI esiste un problema legato alla scelta ottimale dei valori dei parametri Kc τI e τD 7 ndash Conclusioni

Riassumendo dallrsquoanalisi delle risposte fornite dal sistema sotto lrsquoazione dei diversi controllori egrave possibile trarre le seguenti considerazioni

1 il controllore On-Off sarebbe in teoria il migliore tipo di controllo del nostro sciacquone per il suo basso costo e la sua maggiore efficienza in termini di tempo di riempimento Il suo limite principale egrave legato al fatto che la risposta al disturbo puograve essere molto brusca (a meno di non prendere opportune precauzioni) poicheacute la valvola di alimentazione si apre subito al massimo e rimane in questo stato fino al cessare dellrsquoazione del controllore Inoltre nel caso di perdite dovute a una non perfetta chiusura della valvola di scarico il livello dellrsquoacqua nel serbatoio oscilleragrave continuamente tra il valore impostato di set-point e il valore minimo al di sotto del quale il controllore si attiva

2 il controllore proporzionale (P) puograve essere reso simile al controllore On-Off aumentando il valore del guadagno Kc ma egrave anche possibile modulando opportunamente il valore di questa grandezza rendere piugrave ldquodolcerdquo la risposta del sistema ossia meno intensa la portata di adduzione dellrsquoacqua Tale portata andragrave comunque decrescendo nel tempo allungando i tempi di risposta rispetto al caso del sistema On-Off In effetti il controllore proporzionale egrave quello universalmente piugrave adoperato per questo tipo di processo anche se il suo limite principale risiede nellrsquoimpossibilitagrave di riportare il livello sul valore di set-point nel caso di disturbi protratti nel tempo (presenza di offset)

3 lrsquoaggiunta dellrsquoazione derivativa a quella proporzionale (PD) egrave inutile o addirittura dannosa in un processo discontinuo quale egrave il riempimento del nostro sciacquone In questo processo infatti il disturbo o ha una durata molto limitata (periodo nel quale il sistema di controllo in ogni caso non puograve agire date le caratteristiche costruttive dello sciacquone) o egrave costante nel tempo per cui lrsquoerrore ε egrave comunque una funzione monotona decrescente nel tempo Per tale motivo lrsquoaggiunta di questo tipo di controllo si traduce in un rallentamento della velocitagrave di riempimento e si puograve giustificare soltanto se contestualmente si incrementa il valore del guadagno proporzionale Kc in modo da avere una risposta rapida ma non troppo brusca e con basso offset

4 lrsquoazione integrale unita a quella proporzionale (PI) ha il grande vantaggio di eliminare lrsquooffset in presenza di disturbi costanti a spese perograve del comportamento oscillatorio assunto dal sistema Lrsquoopportuno settaggio dei parametri di controllo (Kc e τI) puograve comunque consentire di ottenere una risposta adeguata alle necessitagrave

5 non esiste alcun motivo realmente valido per utilizzare un controllo di tipo PID per il processo discontinuo in questione Oltre al maggior costo di questo tipo di apparecchiatura crsquoegrave da dire che lrsquoazione derivativa unita a quella integrale peggiora in modo molto marcato la risposta del sistema rallentandola e facendo aumentare lrsquoovershoot (mentre in un sistema continuo si otterrebbe lrsquoeffetto esattamente opposto) Lrsquounico vantaggio dellrsquoutilizzo contemporaneo dei tre meccanismi di controllo (proporzionale integrale e derivativo) si ha nella possibilitagrave di regolare tre parametri (Kc τI τD) al posto di uno solo (Kc) o due (Kc e τI oppure Kc e τD) per ottimizzare la risposta In effetti incrementando la costante Kc insieme al tempo derivativo τD egrave possibile rendere la risposta del sistema veloce (ma non troppo rapida come si avrebbe in un controllo di tipo puramente PI) e nello stesso tempo ridurne considerevolmente il comportamento oscillatorio (vedi fig 16 seguente)

I controlli automatici ndash IIa parte 17

Fig 16 - PI vs PID (KcPIDKcPI = 10)

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h PI

PID

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 18

Appendice 1 Integrazione dellrsquoequazione di bilancio per un controllore On ndash Off

Data lrsquoequazione

dt

dhAhKQ

insdot=sdotminus (3)

Eseguendo la sostituzione

dhdyyhyhy =sdotsdotrArr=rArr= 22

avremo

A

K

yA

Q

dt

dy

dt

dyyAyKQ

in

in

sdot

minus

sdotsdot

=

sdotsdotsdot=sdotminus

22

2

Ovvero ponendo

A

K

A

Qin

sdot

=

sdot

=

22βα

βαminus=

ydt

dy

E introducendo la nuova variabile

zdt

dz

z

dt

dz

zdt

dzy

dt

dy

dt

dy

ydt

dz

zy

yz

=sdot

+sdotminus

sdot

+sdotminus=sdotminus=rArrsdotminus=

+=rArrminus=

2

22

2

1

1

β

α

α

β

α

αα

α

β

αβ

α

Abbiamo trasformato lrsquoequazione originaria in una a variabili separabili

( ) αβ

dtdz

zzminus=sdot

+sdot2

1

La frazione a primo membro puograve essere scomposta col metodo dei coefficienti indeterminati ottenendo

( ) ( ) ( )( ) ( )

=

minus=+sdotminus

=

minus=

rArr

=

sdotminussdotsdotminus=

minus=

rArr

=sdot

=+sdot+sdotsdot

=+

=sdot+sdotsdot+sdot+sdot+sdotsdotsdot+sdot

=sdot++sdotsdot++sdotrArr+

++

+=+sdot

2

22

2

2

2

222

2

22

1

12

1

1

2

1

02

0

12

11

β

ββ

β

β

β

β

β

ββ

β

ββ

βββ

βββββ

A

C

B

A

BAC

AB

A

CBA

BA

zCzBzBAzAzA

zCzzBzAz

C

z

B

z

A

zz

Per cui lrsquointegrale fornisce

( ) ( ) ( ) intint int intint sdotminus=sdot

+

+sdot

+

+sdot=sdot

+sdot

dtdzz

Cdz

z

Bdz

z

Adz

zz αβββ

11

22

I controlli automatici ndash IIa parte 19

( )( )

αβαα

β

β

ααα

β

αα

αβ

α

αα

αβ

α

αββ

tyy

Cy

t

CtyCy

A

CtyC

yyA

Ct

y

C

yB

yA

Ct

z

CzBzA

minus=sdot

+

sdotminussdot

=rArr

=

=

+minus=sdot

minus

sdotminussdot

+minus=sdot

minus

minus

minussdot

+minus=

minus

sdot+

minussdot

+minus=+

minus+sdot+sdot

1ln1

00

0

1ln

lnln

lnln

lnln

2

α

β

α

β

α

β2

1ln sdotminus=sdot

+

sdotminus t

yy

Ovvero

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdot+

sdotminus

21ln

2

(5)

Mentre se le condizioni iniziali fossero diverse avremmo

αβαα

β

β

111

2

1

11ln

1

tyyC

yy

tt+

sdot+

sdotminussdot=rArr

=

=

Ossia

+

sdot+

sdotminussdot+minus=

sdot+

sdotminussdot

αβαα

β

βαβαα

β

β

111

221ln

11ln

1 tyytyy

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β 22

1

111ln1ln sdotminus=

sdot+

sdot+

sdotminusminus

sdot+

sdotminus tt

yyyy

ininininininQA

Kt

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdotsdotsdot+

sdot+

sdotminusminus

sdot+

sdotminus

221ln1ln

22

1

11 (5b)

Poicheacute la (5) non fornisce esplicitamente lrsquoaltezza h in funzione del tempo t egrave possibile approssimare il logaritmo del primo membro mediante espansione in serie Avremo allora

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) suminfin

=

minus=minus

+sdot

minus

minusminussdot

minus

minussdot

minus

minusminus=minus

+sdot++sdot+sdot+=

1

2

2

2

1ln

01

1

201

1

01

101ln1ln

02

000

n

n

n

n

n

n

n

xx

n

xxxx

n

xf

xfxffxf

I termini nella sommatoria sono decrescenti (si ricordi che il fattore in

Q

hKx

sdot

= egrave minore di 1 in

quanto rappresenta il rapporto tra la portata uscente e quella in ingresso al serbatoio) Limitando lrsquoespansione in serie ai primi tre termini non nulli e sostituendo in (5)

I controlli automatici ndash IIa parte 20

ininin

ininininin

QA

Kt

Q

hhK

Q

hK

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

sdotsdot

sdotcong

sdot

sdotsdot+

sdot

sdot

sdotsdot

sdotminuscongsdot

+

sdot

sdotminus

sdot

sdotminus

sdotminus

232

232

2

3

3

2

2

2

3

33

2

2

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotcong

sdotsdot+sdot

sdot

sdot

23

21

2

2

2

2

in

out

in

Q

QA

Qth

+

sdotsdotcong

1

1 (5c)

Dove col simbolo outQ si egrave indicata la portata media uscente ovvero

0

3

2hKQ

outsdotsdot=

La (5c) puograve essere ulteriormente semplificata espandendo in serie anche il fattore

in

out

Q

Q+1

1

( ) ( )

01

1

01

1

01

1

1

1

1

1 2

32+sdot

+

+sdot

+

minus

+

=

+

=

+

xxx

Q

Q

in

out

E trascurando i termini con esponente maggiore di 1 (in

out

Q

Q egrave minore di 1)

in

out

in

outQ

Q

Q

Qminuscong

+

1

1

1

Per cui la (5c) diventa

A

QQt

Q

Q

A

Qth outin

in

outinminus

sdot=

minussdotsdotcong 1 (6)

I controlli automatici ndash IIa parte 21

Appendice 2 Integrazione dellrsquoequazione di bilancio per un controllore PI

Come visto il bilancio di materia sul serbatoio in presenza di controllo proporzionale integrale porta a

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

ydout

I

cc=sdot

sdot

+sdot+

τ2

2

(11)

La soluzione generale y(t) della suddetta equazione si ottiene sommando ad una sua soluzione particolare y0(t) la soluzione generale della equazione omogenea associata

02

2

=sdot

sdot

+sdot+ yA

K

dt

dy

A

K

dt

yd

I

cc

τ

Poicheacute A

Qout (il termine a secondo membro della (1)) egrave una costante e puograve essere considerato un

polinomio di grado zero rispetto alla variabile tempo t e I

c

A

K

τsdot

(il coefficiente della funzione

incognita y) egrave diverso da zero la teoria risolutiva di questo tipo di equazioni impone che anche la soluzione particolare y0(t) sia un polinomio di grado zero del tipo y0(t) = a e che deve rispettare la condizione

( )c

Iout

c

Ioutout

I

ccout

I

cc

K

Qty

K

Qa

A

Qa

A

K

A

K

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

yd

τ

τ

ττ

sdot=

sdot=rArr=sdot

sdot

+sdot+rArr=sdot

sdot

+sdot+

0

0

0

2

0

2

00

Lrsquoequazione caratteristica della equazione differenziale omogenea associata alla suddetta equazione egrave

02

=

sdot

+sdot+

I

cc

A

Kz

A

Kz

τ

Avremo allora in base al segno del discriminante di tale equazione Ideg caso 0gt∆

c

I

I

c

I

cc

I

cc

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

KsdotgtrArrgtrArr

sdotsdotgt

rArrgt

sdotsdotminus

4

4404

22

τ

τττ

2

4

2

21

I

ccc

A

K

A

K

A

K

zτsdot

sdotminus

plusmnminus

=

E lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave tztz

ececysdotsdot

sdot+sdot=21

21

IIdeg caso 0=∆

A

Kzz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

c

I

I

c

I

cc

I

cc

sdotminus==

sdot=rArr=rArrsdot

sdot=

rArr=

sdotsdotminus

2

44

404

21

22

τ

τττ

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave ( )tcceytz

sdot+sdotsdot=sdot

21

1 IIIdeg caso 0lt∆

βα

ττττ

sdotplusmn=

sdotltrArrltrArrsdot

sdotlt

rArrlt

sdotsdotminus

iz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

I

I

c

I

cc

I

cc

21

22

44

404

I controlli automatici ndash IIa parte 22

sdotsdotminus

minussdot=

sdotminus=

I

ccc

A

K

A

K

A

K

τβα 4

2

1

2

2

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata diventa ( ) ( )[ ]tctceyt

sdotsdot+sdotsdotsdot=sdot ββα

sincos21

Lrsquointegrale generale dellrsquoequazione completa (11) saragrave allora Ideg caso ( )tyececy

tztz

021

21+sdot+sdot=

sdotsdot

IIdeg caso ( ) ( )tytcceytz

021

1+sdot+sdotsdot=

sdot

IIIdeg caso ( ) ( )[ ] ( )tytctceyt

021sincos +sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdot

ββα

Lrsquointegrale particolare ottenuto ponendo le condizioni al contorno ( ) ( )0

000 hyy == saragrave

Ideg caso

( )

( )

=sdot+sdot

sdotminus=+

rArr

=sdotsdot+sdotsdot=

=sdot

+sdot+sdot=

sdotsdot

sdotsdot

02211

21

0

0

22

0

11

0

2

0

1

21

21

0

00

hzczc

K

Qcc

hezcezcy

K

Qececy

c

Iout

zz

c

Ioutzz ττ

minus

sdotsdot

+

=

sdotminus

minus

sdotsdot

+

minus=

rArr

=sdot+sdot

sdot+minus

sdotminusminus=

12

10

2

12

10

1

02212

21

zz

zK

Qh

c

K

Q

zz

zK

Qh

c

hzczK

Qc

K

Qcc

c

Iout

c

Ioutc

Iout

c

Iout

c

Iout

τ

τ

τ

τ

τ

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

τ

τ

Per cui ( ) tztz

ezcezchhtysdotsdot

sdotsdot+sdotsdot=minus=21

22110

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110

IIdeg caso

( ) ( )

( ) ( )

sdotsdot+=

sdotminus=

rArr

=+sdot

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot+sdotsdotsdot=

=sdot

+sdot+sdotsdot=

sdotsdot

sdot

c

Iout

c

Iout

c

Iout

zz

c

Ioutz

K

Qzhc

K

Qc

hccz

K

Qc

hceccezy

K

Qccey

τ

τ

ττ

102

1

0211

1

02

0

21

0

1

21

0

11

1

00

000

Per cui ( ) ( )

22110

11 cetccezhhtytztz

sdot+sdot+sdotsdotsdot=minus=sdotsdot

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot

IIIdeg caso

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

=sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=

=sdot

+sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdotsdot

sdot

021

0

21

0

21

0

0cos0sin0sin0cos0

00sin0cos0

hcceccey

K

Qccey

c

Iout

ββββββα

τββ

αα

α

I controlli automatici ndash IIa parte 23

sdotsdot+

=

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot

sdotminus=

β

τα

τ

βα

τ

c

Iout

c

Iout

c

Iout

K

Qh

c

K

Qc

hcc

K

Qc

0

2

1

021

1

Per cui ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhty tt

sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=minus=sdotsdot

ββββββααα

cossinsincos21210

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

I controlli automatici ndash IIa parte 17

Fig 16 - PI vs PID (KcPIDKcPI = 10)

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h PI

PID

Set Point

I controlli automatici ndash IIa parte 18

Appendice 1 Integrazione dellrsquoequazione di bilancio per un controllore On ndash Off

Data lrsquoequazione

dt

dhAhKQ

insdot=sdotminus (3)

Eseguendo la sostituzione

dhdyyhyhy =sdotsdotrArr=rArr= 22

avremo

A

K

yA

Q

dt

dy

dt

dyyAyKQ

in

in

sdot

minus

sdotsdot

=

sdotsdotsdot=sdotminus

22

2

Ovvero ponendo

A

K

A

Qin

sdot

=

sdot

=

22βα

βαminus=

ydt

dy

E introducendo la nuova variabile

zdt

dz

z

dt

dz

zdt

dzy

dt

dy

dt

dy

ydt

dz

zy

yz

=sdot

+sdotminus

sdot

+sdotminus=sdotminus=rArrsdotminus=

+=rArrminus=

2

22

2

1

1

β

α

α

β

α

αα

α

β

αβ

α

Abbiamo trasformato lrsquoequazione originaria in una a variabili separabili

( ) αβ

dtdz

zzminus=sdot

+sdot2

1

La frazione a primo membro puograve essere scomposta col metodo dei coefficienti indeterminati ottenendo

( ) ( ) ( )( ) ( )

=

minus=+sdotminus

=

minus=

rArr

=

sdotminussdotsdotminus=

minus=

rArr

=sdot

=+sdot+sdotsdot

=+

=sdot+sdotsdot+sdot+sdot+sdotsdotsdot+sdot

=sdot++sdotsdot++sdotrArr+

++

+=+sdot

2

22

2

2

2

222

2

22

1

12

1

1

2

1

02

0

12

11

β

ββ

β

β

β

β

β

ββ

β

ββ

βββ

βββββ

A

C

B

A

BAC

AB

A

CBA

BA

zCzBzBAzAzA

zCzzBzAz

C

z

B

z

A

zz

Per cui lrsquointegrale fornisce

( ) ( ) ( ) intint int intint sdotminus=sdot

+

+sdot

+

+sdot=sdot

+sdot

dtdzz

Cdz

z

Bdz

z

Adz

zz αβββ

11

22

I controlli automatici ndash IIa parte 19

( )( )

αβαα

β

β

ααα

β

αα

αβ

α

αα

αβ

α

αββ

tyy

Cy

t

CtyCy

A

CtyC

yyA

Ct

y

C

yB

yA

Ct

z

CzBzA

minus=sdot

+

sdotminussdot

=rArr

=

=

+minus=sdot

minus

sdotminussdot

+minus=sdot

minus

minus

minussdot

+minus=

minus

sdot+

minussdot

+minus=+

minus+sdot+sdot

1ln1

00

0

1ln

lnln

lnln

lnln

2

α

β

α

β

α

β2

1ln sdotminus=sdot

+

sdotminus t

yy

Ovvero

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdot+

sdotminus

21ln

2

(5)

Mentre se le condizioni iniziali fossero diverse avremmo

αβαα

β

β

111

2

1

11ln

1

tyyC

yy

tt+

sdot+

sdotminussdot=rArr

=

=

Ossia

+

sdot+

sdotminussdot+minus=

sdot+

sdotminussdot

αβαα

β

βαβαα

β

β

111

221ln

11ln

1 tyytyy

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β 22

1

111ln1ln sdotminus=

sdot+

sdot+

sdotminusminus

sdot+

sdotminus tt

yyyy

ininininininQA

Kt

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdotsdotsdot+

sdot+

sdotminusminus

sdot+

sdotminus

221ln1ln

22

1

11 (5b)

Poicheacute la (5) non fornisce esplicitamente lrsquoaltezza h in funzione del tempo t egrave possibile approssimare il logaritmo del primo membro mediante espansione in serie Avremo allora

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) suminfin

=

minus=minus

+sdot

minus

minusminussdot

minus

minussdot

minus

minusminus=minus

+sdot++sdot+sdot+=

1

2

2

2

1ln

01

1

201

1

01

101ln1ln

02

000

n

n

n

n

n

n

n

xx

n

xxxx

n

xf

xfxffxf

I termini nella sommatoria sono decrescenti (si ricordi che il fattore in

Q

hKx

sdot

= egrave minore di 1 in

quanto rappresenta il rapporto tra la portata uscente e quella in ingresso al serbatoio) Limitando lrsquoespansione in serie ai primi tre termini non nulli e sostituendo in (5)

I controlli automatici ndash IIa parte 20

ininin

ininininin

QA

Kt

Q

hhK

Q

hK

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

sdotsdot

sdotcong

sdot

sdotsdot+

sdot

sdot

sdotsdot

sdotminuscongsdot

+

sdot

sdotminus

sdot

sdotminus

sdotminus

232

232

2

3

3

2

2

2

3

33

2

2

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotcong

sdotsdot+sdot

sdot

sdot

23

21

2

2

2

2

in

out

in

Q

QA

Qth

+

sdotsdotcong

1

1 (5c)

Dove col simbolo outQ si egrave indicata la portata media uscente ovvero

0

3

2hKQ

outsdotsdot=

La (5c) puograve essere ulteriormente semplificata espandendo in serie anche il fattore

in

out

Q

Q+1

1

( ) ( )

01

1

01

1

01

1

1

1

1

1 2

32+sdot

+

+sdot

+

minus

+

=

+

=

+

xxx

Q

Q

in

out

E trascurando i termini con esponente maggiore di 1 (in

out

Q

Q egrave minore di 1)

in

out

in

outQ

Q

Q

Qminuscong

+

1

1

1

Per cui la (5c) diventa

A

QQt

Q

Q

A

Qth outin

in

outinminus

sdot=

minussdotsdotcong 1 (6)

I controlli automatici ndash IIa parte 21

Appendice 2 Integrazione dellrsquoequazione di bilancio per un controllore PI

Come visto il bilancio di materia sul serbatoio in presenza di controllo proporzionale integrale porta a

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

ydout

I

cc=sdot

sdot

+sdot+

τ2

2

(11)

La soluzione generale y(t) della suddetta equazione si ottiene sommando ad una sua soluzione particolare y0(t) la soluzione generale della equazione omogenea associata

02

2

=sdot

sdot

+sdot+ yA

K

dt

dy

A

K

dt

yd

I

cc

τ

Poicheacute A

Qout (il termine a secondo membro della (1)) egrave una costante e puograve essere considerato un

polinomio di grado zero rispetto alla variabile tempo t e I

c

A

K

τsdot

(il coefficiente della funzione

incognita y) egrave diverso da zero la teoria risolutiva di questo tipo di equazioni impone che anche la soluzione particolare y0(t) sia un polinomio di grado zero del tipo y0(t) = a e che deve rispettare la condizione

( )c

Iout

c

Ioutout

I

ccout

I

cc

K

Qty

K

Qa

A

Qa

A

K

A

K

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

yd

τ

τ

ττ

sdot=

sdot=rArr=sdot

sdot

+sdot+rArr=sdot

sdot

+sdot+

0

0

0

2

0

2

00

Lrsquoequazione caratteristica della equazione differenziale omogenea associata alla suddetta equazione egrave

02

=

sdot

+sdot+

I

cc

A

Kz

A

Kz

τ

Avremo allora in base al segno del discriminante di tale equazione Ideg caso 0gt∆

c

I

I

c

I

cc

I

cc

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

KsdotgtrArrgtrArr

sdotsdotgt

rArrgt

sdotsdotminus

4

4404

22

τ

τττ

2

4

2

21

I

ccc

A

K

A

K

A

K

zτsdot

sdotminus

plusmnminus

=

E lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave tztz

ececysdotsdot

sdot+sdot=21

21

IIdeg caso 0=∆

A

Kzz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

c

I

I

c

I

cc

I

cc

sdotminus==

sdot=rArr=rArrsdot

sdot=

rArr=

sdotsdotminus

2

44

404

21

22

τ

τττ

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave ( )tcceytz

sdot+sdotsdot=sdot

21

1 IIIdeg caso 0lt∆

βα

ττττ

sdotplusmn=

sdotltrArrltrArrsdot

sdotlt

rArrlt

sdotsdotminus

iz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

I

I

c

I

cc

I

cc

21

22

44

404

I controlli automatici ndash IIa parte 22

sdotsdotminus

minussdot=

sdotminus=

I

ccc

A

K

A

K

A

K

τβα 4

2

1

2

2

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata diventa ( ) ( )[ ]tctceyt

sdotsdot+sdotsdotsdot=sdot ββα

sincos21

Lrsquointegrale generale dellrsquoequazione completa (11) saragrave allora Ideg caso ( )tyececy

tztz

021

21+sdot+sdot=

sdotsdot

IIdeg caso ( ) ( )tytcceytz

021

1+sdot+sdotsdot=

sdot

IIIdeg caso ( ) ( )[ ] ( )tytctceyt

021sincos +sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdot

ββα

Lrsquointegrale particolare ottenuto ponendo le condizioni al contorno ( ) ( )0

000 hyy == saragrave

Ideg caso

( )

( )

=sdot+sdot

sdotminus=+

rArr

=sdotsdot+sdotsdot=

=sdot

+sdot+sdot=

sdotsdot

sdotsdot

02211

21

0

0

22

0

11

0

2

0

1

21

21

0

00

hzczc

K

Qcc

hezcezcy

K

Qececy

c

Iout

zz

c

Ioutzz ττ

minus

sdotsdot

+

=

sdotminus

minus

sdotsdot

+

minus=

rArr

=sdot+sdot

sdot+minus

sdotminusminus=

12

10

2

12

10

1

02212

21

zz

zK

Qh

c

K

Q

zz

zK

Qh

c

hzczK

Qc

K

Qcc

c

Iout

c

Ioutc

Iout

c

Iout

c

Iout

τ

τ

τ

τ

τ

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

τ

τ

Per cui ( ) tztz

ezcezchhtysdotsdot

sdotsdot+sdotsdot=minus=21

22110

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110

IIdeg caso

( ) ( )

( ) ( )

sdotsdot+=

sdotminus=

rArr

=+sdot

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot+sdotsdotsdot=

=sdot

+sdot+sdotsdot=

sdotsdot

sdot

c

Iout

c

Iout

c

Iout

zz

c

Ioutz

K

Qzhc

K

Qc

hccz

K

Qc

hceccezy

K

Qccey

τ

τ

ττ

102

1

0211

1

02

0

21

0

1

21

0

11

1

00

000

Per cui ( ) ( )

22110

11 cetccezhhtytztz

sdot+sdot+sdotsdotsdot=minus=sdotsdot

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot

IIIdeg caso

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

=sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=

=sdot

+sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdotsdot

sdot

021

0

21

0

21

0

0cos0sin0sin0cos0

00sin0cos0

hcceccey

K

Qccey

c

Iout

ββββββα

τββ

αα

α

I controlli automatici ndash IIa parte 23

sdotsdot+

=

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot

sdotminus=

β

τα

τ

βα

τ

c

Iout

c

Iout

c

Iout

K

Qh

c

K

Qc

hcc

K

Qc

0

2

1

021

1

Per cui ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhty tt

sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=minus=sdotsdot

ββββββααα

cossinsincos21210

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

I controlli automatici ndash IIa parte 18

Appendice 1 Integrazione dellrsquoequazione di bilancio per un controllore On ndash Off

Data lrsquoequazione

dt

dhAhKQ

insdot=sdotminus (3)

Eseguendo la sostituzione

dhdyyhyhy =sdotsdotrArr=rArr= 22

avremo

A

K

yA

Q

dt

dy

dt

dyyAyKQ

in

in

sdot

minus

sdotsdot

=

sdotsdotsdot=sdotminus

22

2

Ovvero ponendo

A

K

A

Qin

sdot

=

sdot

=

22βα

βαminus=

ydt

dy

E introducendo la nuova variabile

zdt

dz

z

dt

dz

zdt

dzy

dt

dy

dt

dy

ydt

dz

zy

yz

=sdot

+sdotminus

sdot

+sdotminus=sdotminus=rArrsdotminus=

+=rArrminus=

2

22

2

1

1

β

α

α

β

α

αα

α

β

αβ

α

Abbiamo trasformato lrsquoequazione originaria in una a variabili separabili

( ) αβ

dtdz

zzminus=sdot

+sdot2

1

La frazione a primo membro puograve essere scomposta col metodo dei coefficienti indeterminati ottenendo

( ) ( ) ( )( ) ( )

=

minus=+sdotminus

=

minus=

rArr

=

sdotminussdotsdotminus=

minus=

rArr

=sdot

=+sdot+sdotsdot

=+

=sdot+sdotsdot+sdot+sdot+sdotsdotsdot+sdot

=sdot++sdotsdot++sdotrArr+

++

+=+sdot

2

22

2

2

2

222

2

22

1

12

1

1

2

1

02

0

12

11

β

ββ

β

β

β

β

β

ββ

β

ββ

βββ

βββββ

A

C

B

A

BAC

AB

A

CBA

BA

zCzBzBAzAzA

zCzzBzAz

C

z

B

z

A

zz

Per cui lrsquointegrale fornisce

( ) ( ) ( ) intint int intint sdotminus=sdot

+

+sdot

+

+sdot=sdot

+sdot

dtdzz

Cdz

z

Bdz

z

Adz

zz αβββ

11

22

I controlli automatici ndash IIa parte 19

( )( )

αβαα

β

β

ααα

β

αα

αβ

α

αα

αβ

α

αββ

tyy

Cy

t

CtyCy

A

CtyC

yyA

Ct

y

C

yB

yA

Ct

z

CzBzA

minus=sdot

+

sdotminussdot

=rArr

=

=

+minus=sdot

minus

sdotminussdot

+minus=sdot

minus

minus

minussdot

+minus=

minus

sdot+

minussdot

+minus=+

minus+sdot+sdot

1ln1

00

0

1ln

lnln

lnln

lnln

2

α

β

α

β

α

β2

1ln sdotminus=sdot

+

sdotminus t

yy

Ovvero

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdot+

sdotminus

21ln

2

(5)

Mentre se le condizioni iniziali fossero diverse avremmo

αβαα

β

β

111

2

1

11ln

1

tyyC

yy

tt+

sdot+

sdotminussdot=rArr

=

=

Ossia

+

sdot+

sdotminussdot+minus=

sdot+

sdotminussdot

αβαα

β

βαβαα

β

β

111

221ln

11ln

1 tyytyy

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β 22

1

111ln1ln sdotminus=

sdot+

sdot+

sdotminusminus

sdot+

sdotminus tt

yyyy

ininininininQA

Kt

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdotsdotsdot+

sdot+

sdotminusminus

sdot+

sdotminus

221ln1ln

22

1

11 (5b)

Poicheacute la (5) non fornisce esplicitamente lrsquoaltezza h in funzione del tempo t egrave possibile approssimare il logaritmo del primo membro mediante espansione in serie Avremo allora

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) suminfin

=

minus=minus

+sdot

minus

minusminussdot

minus

minussdot

minus

minusminus=minus

+sdot++sdot+sdot+=

1

2

2

2

1ln

01

1

201

1

01

101ln1ln

02

000

n

n

n

n

n

n

n

xx

n

xxxx

n

xf

xfxffxf

I termini nella sommatoria sono decrescenti (si ricordi che il fattore in

Q

hKx

sdot

= egrave minore di 1 in

quanto rappresenta il rapporto tra la portata uscente e quella in ingresso al serbatoio) Limitando lrsquoespansione in serie ai primi tre termini non nulli e sostituendo in (5)

I controlli automatici ndash IIa parte 20

ininin

ininininin

QA

Kt

Q

hhK

Q

hK

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

sdotsdot

sdotcong

sdot

sdotsdot+

sdot

sdot

sdotsdot

sdotminuscongsdot

+

sdot

sdotminus

sdot

sdotminus

sdotminus

232

232

2

3

3

2

2

2

3

33

2

2

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotcong

sdotsdot+sdot

sdot

sdot

23

21

2

2

2

2

in

out

in

Q

QA

Qth

+

sdotsdotcong

1

1 (5c)

Dove col simbolo outQ si egrave indicata la portata media uscente ovvero

0

3

2hKQ

outsdotsdot=

La (5c) puograve essere ulteriormente semplificata espandendo in serie anche il fattore

in

out

Q

Q+1

1

( ) ( )

01

1

01

1

01

1

1

1

1

1 2

32+sdot

+

+sdot

+

minus

+

=

+

=

+

xxx

Q

Q

in

out

E trascurando i termini con esponente maggiore di 1 (in

out

Q

Q egrave minore di 1)

in

out

in

outQ

Q

Q

Qminuscong

+

1

1

1

Per cui la (5c) diventa

A

QQt

Q

Q

A

Qth outin

in

outinminus

sdot=

minussdotsdotcong 1 (6)

I controlli automatici ndash IIa parte 21

Appendice 2 Integrazione dellrsquoequazione di bilancio per un controllore PI

Come visto il bilancio di materia sul serbatoio in presenza di controllo proporzionale integrale porta a

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

ydout

I

cc=sdot

sdot

+sdot+

τ2

2

(11)

La soluzione generale y(t) della suddetta equazione si ottiene sommando ad una sua soluzione particolare y0(t) la soluzione generale della equazione omogenea associata

02

2

=sdot

sdot

+sdot+ yA

K

dt

dy

A

K

dt

yd

I

cc

τ

Poicheacute A

Qout (il termine a secondo membro della (1)) egrave una costante e puograve essere considerato un

polinomio di grado zero rispetto alla variabile tempo t e I

c

A

K

τsdot

(il coefficiente della funzione

incognita y) egrave diverso da zero la teoria risolutiva di questo tipo di equazioni impone che anche la soluzione particolare y0(t) sia un polinomio di grado zero del tipo y0(t) = a e che deve rispettare la condizione

( )c

Iout

c

Ioutout

I

ccout

I

cc

K

Qty

K

Qa

A

Qa

A

K

A

K

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

yd

τ

τ

ττ

sdot=

sdot=rArr=sdot

sdot

+sdot+rArr=sdot

sdot

+sdot+

0

0

0

2

0

2

00

Lrsquoequazione caratteristica della equazione differenziale omogenea associata alla suddetta equazione egrave

02

=

sdot

+sdot+

I

cc

A

Kz

A

Kz

τ

Avremo allora in base al segno del discriminante di tale equazione Ideg caso 0gt∆

c

I

I

c

I

cc

I

cc

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

KsdotgtrArrgtrArr

sdotsdotgt

rArrgt

sdotsdotminus

4

4404

22

τ

τττ

2

4

2

21

I

ccc

A

K

A

K

A

K

zτsdot

sdotminus

plusmnminus

=

E lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave tztz

ececysdotsdot

sdot+sdot=21

21

IIdeg caso 0=∆

A

Kzz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

c

I

I

c

I

cc

I

cc

sdotminus==

sdot=rArr=rArrsdot

sdot=

rArr=

sdotsdotminus

2

44

404

21

22

τ

τττ

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave ( )tcceytz

sdot+sdotsdot=sdot

21

1 IIIdeg caso 0lt∆

βα

ττττ

sdotplusmn=

sdotltrArrltrArrsdot

sdotlt

rArrlt

sdotsdotminus

iz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

I

I

c

I

cc

I

cc

21

22

44

404

I controlli automatici ndash IIa parte 22

sdotsdotminus

minussdot=

sdotminus=

I

ccc

A

K

A

K

A

K

τβα 4

2

1

2

2

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata diventa ( ) ( )[ ]tctceyt

sdotsdot+sdotsdotsdot=sdot ββα

sincos21

Lrsquointegrale generale dellrsquoequazione completa (11) saragrave allora Ideg caso ( )tyececy

tztz

021

21+sdot+sdot=

sdotsdot

IIdeg caso ( ) ( )tytcceytz

021

1+sdot+sdotsdot=

sdot

IIIdeg caso ( ) ( )[ ] ( )tytctceyt

021sincos +sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdot

ββα

Lrsquointegrale particolare ottenuto ponendo le condizioni al contorno ( ) ( )0

000 hyy == saragrave

Ideg caso

( )

( )

=sdot+sdot

sdotminus=+

rArr

=sdotsdot+sdotsdot=

=sdot

+sdot+sdot=

sdotsdot

sdotsdot

02211

21

0

0

22

0

11

0

2

0

1

21

21

0

00

hzczc

K

Qcc

hezcezcy

K

Qececy

c

Iout

zz

c

Ioutzz ττ

minus

sdotsdot

+

=

sdotminus

minus

sdotsdot

+

minus=

rArr

=sdot+sdot

sdot+minus

sdotminusminus=

12

10

2

12

10

1

02212

21

zz

zK

Qh

c

K

Q

zz

zK

Qh

c

hzczK

Qc

K

Qcc

c

Iout

c

Ioutc

Iout

c

Iout

c

Iout

τ

τ

τ

τ

τ

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

τ

τ

Per cui ( ) tztz

ezcezchhtysdotsdot

sdotsdot+sdotsdot=minus=21

22110

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110

IIdeg caso

( ) ( )

( ) ( )

sdotsdot+=

sdotminus=

rArr

=+sdot

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot+sdotsdotsdot=

=sdot

+sdot+sdotsdot=

sdotsdot

sdot

c

Iout

c

Iout

c

Iout

zz

c

Ioutz

K

Qzhc

K

Qc

hccz

K

Qc

hceccezy

K

Qccey

τ

τ

ττ

102

1

0211

1

02

0

21

0

1

21

0

11

1

00

000

Per cui ( ) ( )

22110

11 cetccezhhtytztz

sdot+sdot+sdotsdotsdot=minus=sdotsdot

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot

IIIdeg caso

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

=sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=

=sdot

+sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdotsdot

sdot

021

0

21

0

21

0

0cos0sin0sin0cos0

00sin0cos0

hcceccey

K

Qccey

c

Iout

ββββββα

τββ

αα

α

I controlli automatici ndash IIa parte 23

sdotsdot+

=

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot

sdotminus=

β

τα

τ

βα

τ

c

Iout

c

Iout

c

Iout

K

Qh

c

K

Qc

hcc

K

Qc

0

2

1

021

1

Per cui ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhty tt

sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=minus=sdotsdot

ββββββααα

cossinsincos21210

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

I controlli automatici ndash IIa parte 19

( )( )

αβαα

β

β

ααα

β

αα

αβ

α

αα

αβ

α

αββ

tyy

Cy

t

CtyCy

A

CtyC

yyA

Ct

y

C

yB

yA

Ct

z

CzBzA

minus=sdot

+

sdotminussdot

=rArr

=

=

+minus=sdot

minus

sdotminussdot

+minus=sdot

minus

minus

minussdot

+minus=

minus

sdot+

minussdot

+minus=+

minus+sdot+sdot

1ln1

00

0

1ln

lnln

lnln

lnln

2

α

β

α

β

α

β2

1ln sdotminus=sdot

+

sdotminus t

yy

Ovvero

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdot+

sdotminus

21ln

2

(5)

Mentre se le condizioni iniziali fossero diverse avremmo

αβαα

β

β

111

2

1

11ln

1

tyyC

yy

tt+

sdot+

sdotminussdot=rArr

=

=

Ossia

+

sdot+

sdotminussdot+minus=

sdot+

sdotminussdot

αβαα

β

βαβαα

β

β

111

221ln

11ln

1 tyytyy

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β 22

1

111ln1ln sdotminus=

sdot+

sdot+

sdotminusminus

sdot+

sdotminus tt

yyyy

ininininininQA

Kt

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotminus=

sdotsdotsdot+

sdot+

sdotminusminus

sdot+

sdotminus

221ln1ln

22

1

11 (5b)

Poicheacute la (5) non fornisce esplicitamente lrsquoaltezza h in funzione del tempo t egrave possibile approssimare il logaritmo del primo membro mediante espansione in serie Avremo allora

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) suminfin

=

minus=minus

+sdot

minus

minusminussdot

minus

minussdot

minus

minusminus=minus

+sdot++sdot+sdot+=

1

2

2

2

1ln

01

1

201

1

01

101ln1ln

02

000

n

n

n

n

n

n

n

xx

n

xxxx

n

xf

xfxffxf

I termini nella sommatoria sono decrescenti (si ricordi che il fattore in

Q

hKx

sdot

= egrave minore di 1 in

quanto rappresenta il rapporto tra la portata uscente e quella in ingresso al serbatoio) Limitando lrsquoespansione in serie ai primi tre termini non nulli e sostituendo in (5)

I controlli automatici ndash IIa parte 20

ininin

ininininin

QA

Kt

Q

hhK

Q

hK

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

sdotsdot

sdotcong

sdot

sdotsdot+

sdot

sdot

sdotsdot

sdotminuscongsdot

+

sdot

sdotminus

sdot

sdotminus

sdotminus

232

232

2

3

3

2

2

2

3

33

2

2

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotcong

sdotsdot+sdot

sdot

sdot

23

21

2

2

2

2

in

out

in

Q

QA

Qth

+

sdotsdotcong

1

1 (5c)

Dove col simbolo outQ si egrave indicata la portata media uscente ovvero

0

3

2hKQ

outsdotsdot=

La (5c) puograve essere ulteriormente semplificata espandendo in serie anche il fattore

in

out

Q

Q+1

1

( ) ( )

01

1

01

1

01

1

1

1

1

1 2

32+sdot

+

+sdot

+

minus

+

=

+

=

+

xxx

Q

Q

in

out

E trascurando i termini con esponente maggiore di 1 (in

out

Q

Q egrave minore di 1)

in

out

in

outQ

Q

Q

Qminuscong

+

1

1

1

Per cui la (5c) diventa

A

QQt

Q

Q

A

Qth outin

in

outinminus

sdot=

minussdotsdotcong 1 (6)

I controlli automatici ndash IIa parte 21

Appendice 2 Integrazione dellrsquoequazione di bilancio per un controllore PI

Come visto il bilancio di materia sul serbatoio in presenza di controllo proporzionale integrale porta a

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

ydout

I

cc=sdot

sdot

+sdot+

τ2

2

(11)

La soluzione generale y(t) della suddetta equazione si ottiene sommando ad una sua soluzione particolare y0(t) la soluzione generale della equazione omogenea associata

02

2

=sdot

sdot

+sdot+ yA

K

dt

dy

A

K

dt

yd

I

cc

τ

Poicheacute A

Qout (il termine a secondo membro della (1)) egrave una costante e puograve essere considerato un

polinomio di grado zero rispetto alla variabile tempo t e I

c

A

K

τsdot

(il coefficiente della funzione

incognita y) egrave diverso da zero la teoria risolutiva di questo tipo di equazioni impone che anche la soluzione particolare y0(t) sia un polinomio di grado zero del tipo y0(t) = a e che deve rispettare la condizione

( )c

Iout

c

Ioutout

I

ccout

I

cc

K

Qty

K

Qa

A

Qa

A

K

A

K

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

yd

τ

τ

ττ

sdot=

sdot=rArr=sdot

sdot

+sdot+rArr=sdot

sdot

+sdot+

0

0

0

2

0

2

00

Lrsquoequazione caratteristica della equazione differenziale omogenea associata alla suddetta equazione egrave

02

=

sdot

+sdot+

I

cc

A

Kz

A

Kz

τ

Avremo allora in base al segno del discriminante di tale equazione Ideg caso 0gt∆

c

I

I

c

I

cc

I

cc

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

KsdotgtrArrgtrArr

sdotsdotgt

rArrgt

sdotsdotminus

4

4404

22

τ

τττ

2

4

2

21

I

ccc

A

K

A

K

A

K

zτsdot

sdotminus

plusmnminus

=

E lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave tztz

ececysdotsdot

sdot+sdot=21

21

IIdeg caso 0=∆

A

Kzz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

c

I

I

c

I

cc

I

cc

sdotminus==

sdot=rArr=rArrsdot

sdot=

rArr=

sdotsdotminus

2

44

404

21

22

τ

τττ

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave ( )tcceytz

sdot+sdotsdot=sdot

21

1 IIIdeg caso 0lt∆

βα

ττττ

sdotplusmn=

sdotltrArrltrArrsdot

sdotlt

rArrlt

sdotsdotminus

iz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

I

I

c

I

cc

I

cc

21

22

44

404

I controlli automatici ndash IIa parte 22

sdotsdotminus

minussdot=

sdotminus=

I

ccc

A

K

A

K

A

K

τβα 4

2

1

2

2

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata diventa ( ) ( )[ ]tctceyt

sdotsdot+sdotsdotsdot=sdot ββα

sincos21

Lrsquointegrale generale dellrsquoequazione completa (11) saragrave allora Ideg caso ( )tyececy

tztz

021

21+sdot+sdot=

sdotsdot

IIdeg caso ( ) ( )tytcceytz

021

1+sdot+sdotsdot=

sdot

IIIdeg caso ( ) ( )[ ] ( )tytctceyt

021sincos +sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdot

ββα

Lrsquointegrale particolare ottenuto ponendo le condizioni al contorno ( ) ( )0

000 hyy == saragrave

Ideg caso

( )

( )

=sdot+sdot

sdotminus=+

rArr

=sdotsdot+sdotsdot=

=sdot

+sdot+sdot=

sdotsdot

sdotsdot

02211

21

0

0

22

0

11

0

2

0

1

21

21

0

00

hzczc

K

Qcc

hezcezcy

K

Qececy

c

Iout

zz

c

Ioutzz ττ

minus

sdotsdot

+

=

sdotminus

minus

sdotsdot

+

minus=

rArr

=sdot+sdot

sdot+minus

sdotminusminus=

12

10

2

12

10

1

02212

21

zz

zK

Qh

c

K

Q

zz

zK

Qh

c

hzczK

Qc

K

Qcc

c

Iout

c

Ioutc

Iout

c

Iout

c

Iout

τ

τ

τ

τ

τ

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

τ

τ

Per cui ( ) tztz

ezcezchhtysdotsdot

sdotsdot+sdotsdot=minus=21

22110

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110

IIdeg caso

( ) ( )

( ) ( )

sdotsdot+=

sdotminus=

rArr

=+sdot

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot+sdotsdotsdot=

=sdot

+sdot+sdotsdot=

sdotsdot

sdot

c

Iout

c

Iout

c

Iout

zz

c

Ioutz

K

Qzhc

K

Qc

hccz

K

Qc

hceccezy

K

Qccey

τ

τ

ττ

102

1

0211

1

02

0

21

0

1

21

0

11

1

00

000

Per cui ( ) ( )

22110

11 cetccezhhtytztz

sdot+sdot+sdotsdotsdot=minus=sdotsdot

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot

IIIdeg caso

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

=sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=

=sdot

+sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdotsdot

sdot

021

0

21

0

21

0

0cos0sin0sin0cos0

00sin0cos0

hcceccey

K

Qccey

c

Iout

ββββββα

τββ

αα

α

I controlli automatici ndash IIa parte 23

sdotsdot+

=

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot

sdotminus=

β

τα

τ

βα

τ

c

Iout

c

Iout

c

Iout

K

Qh

c

K

Qc

hcc

K

Qc

0

2

1

021

1

Per cui ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhty tt

sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=minus=sdotsdot

ββββββααα

cossinsincos21210

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

I controlli automatici ndash IIa parte 20

ininin

ininininin

QA

Kt

Q

hhK

Q

hK

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

sdotsdot

sdotcong

sdot

sdotsdot+

sdot

sdot

sdotsdot

sdotminuscongsdot

+

sdot

sdotminus

sdot

sdotminus

sdotminus

232

232

2

3

3

2

2

2

3

33

2

2

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

sdotsdotsdotcong

sdotsdot+sdot

sdot

sdot

23

21

2

2

2

2

in

out

in

Q

QA

Qth

+

sdotsdotcong

1

1 (5c)

Dove col simbolo outQ si egrave indicata la portata media uscente ovvero

0

3

2hKQ

outsdotsdot=

La (5c) puograve essere ulteriormente semplificata espandendo in serie anche il fattore

in

out

Q

Q+1

1

( ) ( )

01

1

01

1

01

1

1

1

1

1 2

32+sdot

+

+sdot

+

minus

+

=

+

=

+

xxx

Q

Q

in

out

E trascurando i termini con esponente maggiore di 1 (in

out

Q

Q egrave minore di 1)

in

out

in

outQ

Q

Q

Qminuscong

+

1

1

1

Per cui la (5c) diventa

A

QQt

Q

Q

A

Qth outin

in

outinminus

sdot=

minussdotsdotcong 1 (6)

I controlli automatici ndash IIa parte 21

Appendice 2 Integrazione dellrsquoequazione di bilancio per un controllore PI

Come visto il bilancio di materia sul serbatoio in presenza di controllo proporzionale integrale porta a

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

ydout

I

cc=sdot

sdot

+sdot+

τ2

2

(11)

La soluzione generale y(t) della suddetta equazione si ottiene sommando ad una sua soluzione particolare y0(t) la soluzione generale della equazione omogenea associata

02

2

=sdot

sdot

+sdot+ yA

K

dt

dy

A

K

dt

yd

I

cc

τ

Poicheacute A

Qout (il termine a secondo membro della (1)) egrave una costante e puograve essere considerato un

polinomio di grado zero rispetto alla variabile tempo t e I

c

A

K

τsdot

(il coefficiente della funzione

incognita y) egrave diverso da zero la teoria risolutiva di questo tipo di equazioni impone che anche la soluzione particolare y0(t) sia un polinomio di grado zero del tipo y0(t) = a e che deve rispettare la condizione

( )c

Iout

c

Ioutout

I

ccout

I

cc

K

Qty

K

Qa

A

Qa

A

K

A

K

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

yd

τ

τ

ττ

sdot=

sdot=rArr=sdot

sdot

+sdot+rArr=sdot

sdot

+sdot+

0

0

0

2

0

2

00

Lrsquoequazione caratteristica della equazione differenziale omogenea associata alla suddetta equazione egrave

02

=

sdot

+sdot+

I

cc

A

Kz

A

Kz

τ

Avremo allora in base al segno del discriminante di tale equazione Ideg caso 0gt∆

c

I

I

c

I

cc

I

cc

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

KsdotgtrArrgtrArr

sdotsdotgt

rArrgt

sdotsdotminus

4

4404

22

τ

τττ

2

4

2

21

I

ccc

A

K

A

K

A

K

zτsdot

sdotminus

plusmnminus

=

E lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave tztz

ececysdotsdot

sdot+sdot=21

21

IIdeg caso 0=∆

A

Kzz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

c

I

I

c

I

cc

I

cc

sdotminus==

sdot=rArr=rArrsdot

sdot=

rArr=

sdotsdotminus

2

44

404

21

22

τ

τττ

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave ( )tcceytz

sdot+sdotsdot=sdot

21

1 IIIdeg caso 0lt∆

βα

ττττ

sdotplusmn=

sdotltrArrltrArrsdot

sdotlt

rArrlt

sdotsdotminus

iz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

I

I

c

I

cc

I

cc

21

22

44

404

I controlli automatici ndash IIa parte 22

sdotsdotminus

minussdot=

sdotminus=

I

ccc

A

K

A

K

A

K

τβα 4

2

1

2

2

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata diventa ( ) ( )[ ]tctceyt

sdotsdot+sdotsdotsdot=sdot ββα

sincos21

Lrsquointegrale generale dellrsquoequazione completa (11) saragrave allora Ideg caso ( )tyececy

tztz

021

21+sdot+sdot=

sdotsdot

IIdeg caso ( ) ( )tytcceytz

021

1+sdot+sdotsdot=

sdot

IIIdeg caso ( ) ( )[ ] ( )tytctceyt

021sincos +sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdot

ββα

Lrsquointegrale particolare ottenuto ponendo le condizioni al contorno ( ) ( )0

000 hyy == saragrave

Ideg caso

( )

( )

=sdot+sdot

sdotminus=+

rArr

=sdotsdot+sdotsdot=

=sdot

+sdot+sdot=

sdotsdot

sdotsdot

02211

21

0

0

22

0

11

0

2

0

1

21

21

0

00

hzczc

K

Qcc

hezcezcy

K

Qececy

c

Iout

zz

c

Ioutzz ττ

minus

sdotsdot

+

=

sdotminus

minus

sdotsdot

+

minus=

rArr

=sdot+sdot

sdot+minus

sdotminusminus=

12

10

2

12

10

1

02212

21

zz

zK

Qh

c

K

Q

zz

zK

Qh

c

hzczK

Qc

K

Qcc

c

Iout

c

Ioutc

Iout

c

Iout

c

Iout

τ

τ

τ

τ

τ

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

τ

τ

Per cui ( ) tztz

ezcezchhtysdotsdot

sdotsdot+sdotsdot=minus=21

22110

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110

IIdeg caso

( ) ( )

( ) ( )

sdotsdot+=

sdotminus=

rArr

=+sdot

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot+sdotsdotsdot=

=sdot

+sdot+sdotsdot=

sdotsdot

sdot

c

Iout

c

Iout

c

Iout

zz

c

Ioutz

K

Qzhc

K

Qc

hccz

K

Qc

hceccezy

K

Qccey

τ

τ

ττ

102

1

0211

1

02

0

21

0

1

21

0

11

1

00

000

Per cui ( ) ( )

22110

11 cetccezhhtytztz

sdot+sdot+sdotsdotsdot=minus=sdotsdot

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot

IIIdeg caso

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

=sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=

=sdot

+sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdotsdot

sdot

021

0

21

0

21

0

0cos0sin0sin0cos0

00sin0cos0

hcceccey

K

Qccey

c

Iout

ββββββα

τββ

αα

α

I controlli automatici ndash IIa parte 23

sdotsdot+

=

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot

sdotminus=

β

τα

τ

βα

τ

c

Iout

c

Iout

c

Iout

K

Qh

c

K

Qc

hcc

K

Qc

0

2

1

021

1

Per cui ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhty tt

sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=minus=sdotsdot

ββββββααα

cossinsincos21210

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

I controlli automatici ndash IIa parte 21

Appendice 2 Integrazione dellrsquoequazione di bilancio per un controllore PI

Come visto il bilancio di materia sul serbatoio in presenza di controllo proporzionale integrale porta a

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

ydout

I

cc=sdot

sdot

+sdot+

τ2

2

(11)

La soluzione generale y(t) della suddetta equazione si ottiene sommando ad una sua soluzione particolare y0(t) la soluzione generale della equazione omogenea associata

02

2

=sdot

sdot

+sdot+ yA

K

dt

dy

A

K

dt

yd

I

cc

τ

Poicheacute A

Qout (il termine a secondo membro della (1)) egrave una costante e puograve essere considerato un

polinomio di grado zero rispetto alla variabile tempo t e I

c

A

K

τsdot

(il coefficiente della funzione

incognita y) egrave diverso da zero la teoria risolutiva di questo tipo di equazioni impone che anche la soluzione particolare y0(t) sia un polinomio di grado zero del tipo y0(t) = a e che deve rispettare la condizione

( )c

Iout

c

Ioutout

I

ccout

I

cc

K

Qty

K

Qa

A

Qa

A

K

A

K

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

yd

τ

τ

ττ

sdot=

sdot=rArr=sdot

sdot

+sdot+rArr=sdot

sdot

+sdot+

0

0

0

2

0

2

00

Lrsquoequazione caratteristica della equazione differenziale omogenea associata alla suddetta equazione egrave

02

=

sdot

+sdot+

I

cc

A

Kz

A

Kz

τ

Avremo allora in base al segno del discriminante di tale equazione Ideg caso 0gt∆

c

I

I

c

I

cc

I

cc

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

KsdotgtrArrgtrArr

sdotsdotgt

rArrgt

sdotsdotminus

4

4404

22

τ

τττ

2

4

2

21

I

ccc

A

K

A

K

A

K

zτsdot

sdotminus

plusmnminus

=

E lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave tztz

ececysdotsdot

sdot+sdot=21

21

IIdeg caso 0=∆

A

Kzz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

c

I

I

c

I

cc

I

cc

sdotminus==

sdot=rArr=rArrsdot

sdot=

rArr=

sdotsdotminus

2

44

404

21

22

τ

τττ

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata egrave ( )tcceytz

sdot+sdotsdot=sdot

21

1 IIIdeg caso 0lt∆

βα

ττττ

sdotplusmn=

sdotltrArrltrArrsdot

sdotlt

rArrlt

sdotsdotminus

iz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

I

I

c

I

cc

I

cc

21

22

44

404

I controlli automatici ndash IIa parte 22

sdotsdotminus

minussdot=

sdotminus=

I

ccc

A

K

A

K

A

K

τβα 4

2

1

2

2

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata diventa ( ) ( )[ ]tctceyt

sdotsdot+sdotsdotsdot=sdot ββα

sincos21

Lrsquointegrale generale dellrsquoequazione completa (11) saragrave allora Ideg caso ( )tyececy

tztz

021

21+sdot+sdot=

sdotsdot

IIdeg caso ( ) ( )tytcceytz

021

1+sdot+sdotsdot=

sdot

IIIdeg caso ( ) ( )[ ] ( )tytctceyt

021sincos +sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdot

ββα

Lrsquointegrale particolare ottenuto ponendo le condizioni al contorno ( ) ( )0

000 hyy == saragrave

Ideg caso

( )

( )

=sdot+sdot

sdotminus=+

rArr

=sdotsdot+sdotsdot=

=sdot

+sdot+sdot=

sdotsdot

sdotsdot

02211

21

0

0

22

0

11

0

2

0

1

21

21

0

00

hzczc

K

Qcc

hezcezcy

K

Qececy

c

Iout

zz

c

Ioutzz ττ

minus

sdotsdot

+

=

sdotminus

minus

sdotsdot

+

minus=

rArr

=sdot+sdot

sdot+minus

sdotminusminus=

12

10

2

12

10

1

02212

21

zz

zK

Qh

c

K

Q

zz

zK

Qh

c

hzczK

Qc

K

Qcc

c

Iout

c

Ioutc

Iout

c

Iout

c

Iout

τ

τ

τ

τ

τ

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

τ

τ

Per cui ( ) tztz

ezcezchhtysdotsdot

sdotsdot+sdotsdot=minus=21

22110

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110

IIdeg caso

( ) ( )

( ) ( )

sdotsdot+=

sdotminus=

rArr

=+sdot

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot+sdotsdotsdot=

=sdot

+sdot+sdotsdot=

sdotsdot

sdot

c

Iout

c

Iout

c

Iout

zz

c

Ioutz

K

Qzhc

K

Qc

hccz

K

Qc

hceccezy

K

Qccey

τ

τ

ττ

102

1

0211

1

02

0

21

0

1

21

0

11

1

00

000

Per cui ( ) ( )

22110

11 cetccezhhtytztz

sdot+sdot+sdotsdotsdot=minus=sdotsdot

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot

IIIdeg caso

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

=sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=

=sdot

+sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdotsdot

sdot

021

0

21

0

21

0

0cos0sin0sin0cos0

00sin0cos0

hcceccey

K

Qccey

c

Iout

ββββββα

τββ

αα

α

I controlli automatici ndash IIa parte 23

sdotsdot+

=

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot

sdotminus=

β

τα

τ

βα

τ

c

Iout

c

Iout

c

Iout

K

Qh

c

K

Qc

hcc

K

Qc

0

2

1

021

1

Per cui ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhty tt

sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=minus=sdotsdot

ββββββααα

cossinsincos21210

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

I controlli automatici ndash IIa parte 22

sdotsdotminus

minussdot=

sdotminus=

I

ccc

A

K

A

K

A

K

τβα 4

2

1

2

2

Lrsquointegrale generale dellrsquoomogenea associata diventa ( ) ( )[ ]tctceyt

sdotsdot+sdotsdotsdot=sdot ββα

sincos21

Lrsquointegrale generale dellrsquoequazione completa (11) saragrave allora Ideg caso ( )tyececy

tztz

021

21+sdot+sdot=

sdotsdot

IIdeg caso ( ) ( )tytcceytz

021

1+sdot+sdotsdot=

sdot

IIIdeg caso ( ) ( )[ ] ( )tytctceyt

021sincos +sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdot

ββα

Lrsquointegrale particolare ottenuto ponendo le condizioni al contorno ( ) ( )0

000 hyy == saragrave

Ideg caso

( )

( )

=sdot+sdot

sdotminus=+

rArr

=sdotsdot+sdotsdot=

=sdot

+sdot+sdot=

sdotsdot

sdotsdot

02211

21

0

0

22

0

11

0

2

0

1

21

21

0

00

hzczc

K

Qcc

hezcezcy

K

Qececy

c

Iout

zz

c

Ioutzz ττ

minus

sdotsdot

+

=

sdotminus

minus

sdotsdot

+

minus=

rArr

=sdot+sdot

sdot+minus

sdotminusminus=

12

10

2

12

10

1

02212

21

zz

zK

Qh

c

K

Q

zz

zK

Qh

c

hzczK

Qc

K

Qcc

c

Iout

c

Ioutc

Iout

c

Iout

c

Iout

τ

τ

τ

τ

τ

minus+

minussdot

sdot=

minus+

+

minussdot

sdotminus=

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

τ

τ

Per cui ( ) tztz

ezcezchhtysdotsdot

sdotsdot+sdotsdot=minus=21

22110

tztz

ezcezchhsdotsdot

sdotsdotminussdotsdotminus=21

22110

IIdeg caso

( ) ( )

( ) ( )

sdotsdot+=

sdotminus=

rArr

=+sdot

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot+sdotsdotsdot=

=sdot

+sdot+sdotsdot=

sdotsdot

sdot

c

Iout

c

Iout

c

Iout

zz

c

Ioutz

K

Qzhc

K

Qc

hccz

K

Qc

hceccezy

K

Qccey

τ

τ

ττ

102

1

0211

1

02

0

21

0

1

21

0

11

1

00

000

Per cui ( ) ( )

22110

11 cetccezhhtytztz

sdot+sdot+sdotsdotsdot=minus=sdotsdot

( )22110

11 cetccezhhtztz

sdotminussdot+sdotsdotsdotminus=sdotsdot

IIIdeg caso

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

=sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=

=sdot

+sdotsdot+sdotsdotsdot=

sdotsdot

sdot

021

0

21

0

21

0

0cos0sin0sin0cos0

00sin0cos0

hcceccey

K

Qccey

c

Iout

ββββββα

τββ

αα

α

I controlli automatici ndash IIa parte 23

sdotsdot+

=

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot

sdotminus=

β

τα

τ

βα

τ

c

Iout

c

Iout

c

Iout

K

Qh

c

K

Qc

hcc

K

Qc

0

2

1

021

1

Per cui ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhty tt

sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=minus=sdotsdot

ββββββααα

cossinsincos21210

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210

I controlli automatici ndash IIa parte 23

sdotsdot+

=

sdotminus=

rArr

=sdot+sdot

sdotminus=

β

τα

τ

βα

τ

c

Iout

c

Iout

c

Iout

K

Qh

c

K

Qc

hcc

K

Qc

0

2

1

021

1

Per cui ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhty tt

sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdot+sdotsdot+sdotsdotsdotsdot=minus=sdotsdot

ββββββααα

cossinsincos21210

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhtt

sdotsdot+sdotsdotminussdotsdotminussdotsdot+sdotsdotsdotsdotminus=sdotsdot

βββββααα

cossinsincos21210