CONTROLLI AUTOMATICI II moduloProva intermedia di autovalutazione

Problema 1

Si consideri il sistema di controllo in figura

rG(s)

d1

+ ++

−

d2

y+ +

Pwu

in cui il processo P ha la seguente rappresentazione con lo spazio di stato

x = −10 x + 11 u

w = −x + u.

Si progetti un compensatore G(s) a dimensione minima e tale da garantire le seguentispecifiche:

• risposta nulla a regime permanente per un disturbo d1 costante;

• risposta nulla a regime permanente per un disturbo d2 = sin t;

• stabilita asintotica.

Si traccino i vari luoghi delle radici di interesse.

Problema2

Si consideri un processo lineare SISO, strettamente causale e avente funzione di trasferi-mento P (s), con m zeri ed n poli. Allora:

© il processo puo sempre essere stabilizzato mediante un controllore di dimensione m−1;

© il processo puo sempre essere stabilizzato mediante un controllore di dimensione n−1;

© se P (s) ha poli qualsiasi ma tutti gli zeri a parte reale negativa, e inoltre si ha n−m = 1,un guadagno sufficientemente elevato stabilizza il processo;

© se P (s) ha tutti i poli a parte reale negativa ma uno o piu zeri a parte reale positiva,un guadagno sufficientemente elevato destabilizza il processo;

© se P (s) ha poli qualsiasi ma almeno uno zero a parte reale positiva, il processo nonpuo mai essere stabilizzato da un semplice guadagno.

Annerire il cerchietto corrispondente alle risposte ‘vere’.

1

CONTROLLI AUTOMATICI II moduloSoluzione della prova intermedia di autovalutazione

Problema 1

La funzione di trasferimento del processo e

P (s) = 1− 11s + 10

=s− 1s + 10

Le prime due specifiche richiedono rispettivamente l’introduzione in G(s) di un polo nell’origine e didue poli immaginari in ±j. Si ha percio

G(s) =R(s)

s(s2 + 1),

dove R(s) va scelta in modo tale da garantire la stabilita asintotica.Per individuare un compensatore a dimensione minima, conviene valutare dapprima la possibilita

di scegliere R(s) = K. Tuttavia, il tracciamento del corrispondente luogo delle radici (Fig. 1) mostraimmediatamente che non e possibile scegliere K in modo tale da ottenere stabilita asintotica. La stessaconclusione si ottiene applicando il criterio di Routh al denominatore della funzione di trasferimento adanello chiuso

s4 + 10s3 + s2 + (K + 10)−K.

Si ottiene infatti la seguente tabella

1 1 −K10 10 + K−K −10KK(90−K)−10K

ed e impossibile scegliere K in modo da rendere positivi tutti gli elementi della prima colonna.

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2

-6

-4

-2

0

2

4

6

Real Axis

Imag

Axi

s

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2

-6

-4

-2

0

2

4

6

Real Axis

Imag

Axi

s

Figura 1: Luogo positivo e negativo per R(s) = K

Il passo successivo nella ricerca di una soluzione di dimensione minima consiste nel porre R(s) =K(s + z), con z < 0. La scelta di uno zero a parte reale positiva appare obbligata poiche uno zero a

1

2

parte reale negativa non altererebbe in modo significativo il luogo delle radici nel semipiano destro. Aconferma di tale intuizione, conviene applicare il criterio di Routh al nuovo denominatore della funzionedi trasferimento ad anello chiuso

s4 + 10s3 + (K + 1)s2 + (K(z − 1) + 10)s−Kz.

La tabella corrispondente e

1 K + 1 −Kz10 K(z − 1) + 10a −10Kzb−10Kz

Semplici calcoli forniscono

a = K(11− z) b = K[10(11 + 9z) + K(−z2 + 12z − 11)

].

Devono percio essere verificate contemporaneamente le condizioni

K(11− z) > 0 K[10(11 + 9z) + K(−z2 + 12z − 11)

]> 0 Kz < 0.

Posto K > 0 e z < 0, la prima e la terza condizione sono sempre soddisfatte. La seconda implica

10(11 + 9z) + K(−z2 + 12z − 11) > 0

ovveroK <

10(11 + 9z)z2 − 12z + 11

, (1)

dove si e tenuto conto del fatto che per z < 0 si ha certamente z2 − 12z + 11 > 0. In conclusione, peravere un intervallo ammissibile di valori positivi di K si deve scegliere

−119

< z < 0.

Ad esempio, una scelta possibile e z = −0.1, cui corrisponde un sistema ad anello chiuso asintoticamentestabile per 0 < K < 8.27. Il luogo positivo delle radici corrispondente e riportato in Fig. 2.

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Real Axis

Imag

Axi

s

Figura 2: Luogo positivo per R(s) = K(s− 0.1)

2

3

Soluzione alternativa E possibile procedere per assegnazione dei poli. Posto

G(s) =as3 + bs2 + cs + d

s(s2 + 1),

con a, b, c e d costanti da determinare, il polinomio caratteristico p(s) ad anello chiuso e di quarto gradoe risulta non monico. Imponendo ad esempio l’identita tra p(s) e

p∗(s) = e(s + 1)4,

con e costante da determinare, si ottiene un sistema di 5 equazioni in 5 incognite, la cui soluzione e

a =38

b = −338

c =258

d = −118

e =118

.

Il controllore risultante ha ancora dimensione 3.

Problema 2

◦ (vedi risposta successiva)

• (infatti, e sempre possibile assegnare arbitrariamente i poli dell’anello chiuso con un controllore propriodi tale dimensione)

• (dal luogo delle radici per sistemi a fase minima e aventi n−m = 1)

• (almeno un ramo converge sullo zero a parte reale positiva)

◦ (ad esempio, la funzione di trasferimento P (s) = K s− 1(s− 2)(s− 3) da un sistema retroazionato asinto-

ticamente stabile per 5 < K < 6)

3

4

CONTROLLI AUTOMATICI II modulo – Prova finale di autovalutazione8 gennaio 2003

Problema 1

Si consideri il sistema in figura.

u v w−1 ∫ ∫+

+

a) Assumendo che entrambi i segnali v e w siano misurabili, quali condizioni devonosoddisfare gli elementi della matrice K affinche un controllore della forma

u = K

(vw

)

renda stabile asintoticamente il sistema ad anello chiuso?

b) In particolare, determinare K in modo tale che il sistema ad anello chiuso abbia dueautovalori con pulsazione naturale ωn = 2 rad/sec e coefficiente di smorzamentoζ = 0.5.

c) Assumendo che il solo segnale w sia misurabile, si completi il progetto del punto b)attraverso la sintesi di un osservatore, con il vincolo che la rapidita di decadimentodell’errore di osservazione sia doppia di quella con cui convergono a zero i segnaliv e w. Si forniscano anche le equazioni di stato e la funzione di trasferimento delcorrispondente controllore costruito sulla base del principio di separazione.

Problema 2

Un carrello di massa M > 0 e vincolato a un muro da una molla di costante elasticaK > 0; z ne denota lo scostamento rispetto alla posizione di riposo (molla indeformata).Sul carrello, che si muove in assenza di attrito, e possibile esercitare una forza di trazioneu. Il carrello e equipaggiato con un unico sensore, in grado pero di misurarne a scelta laposizione (y = z) oppure la velocita (y = z), ma non entrambe.

z

K

Mu

a) Quale grandezza si deve misurare nel caso in cui si voglia stabilizzare il sistema conuna legge di controllo del tipo u = αy, α ∈ IR?

b) Quale grandezza si deve misurare nel caso in cui si voglia costruire un osservatoredello stato del sistema in grado di funzionare anche per K = 0?

Si motivino le risposte.5

CONTROLLI AUTOMATICI II moduloSoluzione della prova finale di autovalutazione

8 gennaio 2003

Problema 1

La rappresentazione del sistema nello spazio di stato e

v = −uw = v + u

cui corrisponde la coppia di matrici

A =

(0 01 0

)B =

(−11

).

E immediato verificare che la rappresentazione e completamente raggiungibile.Per quanto riguarda il punto a), posto K = (k1 k2), il polinomio caratteristico di A+BK assume la

formaλ2 + (k1 − k2)λ+ k2.

Di conseguenza, per avere stabilita asintotica deve essere k1 > k2 > 0.Venendo al punto b), una semplice costruzione geometrica mostra che i poli richiesti si trovano in

−1± j√

3. Imponendo l’identita tra il polinomio caratteristico di A+BK e quello desiderato

λ2 + 2λ+ 4,

si ottiene facilmente la matrice richiesta K = (6 4).Il quesito c) richiede la costruzione di un dispositivo che ricostruisca l’intero stato (v w) a partire

dalla misura di u e di

w = C

(vw

)=(

0 1).

La dinamica di tale dispositivi puo essere assegnata arbitrariamente perche la rappresentazione e com-pletamente osservabile. Poiche gli autovalori del processo controllato sono in −1 ± j

√3, l’enunciato del

problema richiede in sostanza che gli autovalori della dinamica di osservazione abbiano parte reale pari a−2. Per semplicita, conviene sceglierli appunto in −2, cioe reali e coincidenti.

Le equazioni del controllore risultante sono le seguenti

ξ = (A+BK −GC)ξ +Gw

u = Kξ

con la matrice K individuata in precedenza e

G =

(44

).

La funzione di trasferimento del corrispondente compensatore e

G(s) = K(sI −A−BK +GC)−1G =40s+ 16

s2 + 5s+ 6.

1

6

Problema 2

Dal bilanciamento delle forze che agiscono sul carrello si ha

Mz = u−Kz.

Definendo il vettore di stato come segue

x =

(x1

x2

)=

(zz

)

l’equazione di stato del sistema assume la forma

x1 = z = x2

x2 = z = −KMx1 +

u

M

ovvero, in forma matriciale

x = Ax+Bu

y = Cx

con

A =

(0 1−KM 0

)B =

(01M

).

La matrice C dipende da quale grandezza si decide di misurare. In particolare, si ha

C = C1 =(

1 0)

nel caso in cui il sensore misuri la posizione z = x1, e

C = C2 =(

0 1)

nel caso in cui il sensore misuri la velocita z = x2.Si noti che la matrice A e in forma compagna; in particolare, il suo polinomio caratteristico vale

λ2 +K/M , e quindi gli autovalori sono λ1,2 = ±j√K/M .

Per quanto riguarda il punto a), l’equazione di stato ad anello chiuso diviene

x = Ax+Bαy = Ax+ αBCx = (A+ αBC)x.

E facile verificare che il polinomio caratteristico della matrice (A + αBC1) manca sempre del terminedi primo grado; di conseguenza, non esiste nessun valore di α che stabilizzi il sistema se si usa unaretroazione di posizione. Al contrario, la matrice (A + αBC2) ha due autovalori a parte reale negativapurche sia α < 0; una retroazione negativa di velocita u = −αx2 = −αz) risolve percio il problema distabilizzazione (si noti che cio corrisponde ad iniettare attrito viscoso nel sistema attraverso l’azione dicontrollo).

Venendo al punto b), e necessaria l’osservabilita (o almeno la rilevabilita) della coppia (A,C) perK = 0. Semplici calcoli indicano che ponendo C = C1 il sistema e osservabile per qualsiasi valore diK, e quindi e sempre possibile costruire un osservatore dell’intero stato a partire dalla misura dellaposizione del carrello. Se invece si misura la velocita del carrello, si vede immediatamente che la matricedi osservabilita ha rango 1 nel caso K = 0. Poiche entrambi gli autovalori di A hanno parte reale nulla,si puo senz’altro concludere che per K = 0 il sistema non e rilevabile a partire dalla misura della velocitadel carrello.

2

7

Prova scritta di CONTROLLI AUTOMATICI II modulo5 aprile 2005

Problema 1

Si consideri il processo descritto dalle equazioni

x = −12x− u

y = 9x + u

Utilizzando il metodo basato sul luogo delle radici, si progetti uno schema di controllo a retroazionedall’uscita avente dimensione minima e in grado di garantire le seguenti specifiche:

• errore a regime nullo in presenza di un riferimento costante e di un disturbo sinusoidale di pulsazioneunitaria sovrapposto all’uscita;

• autovalori del sistema ad anello chiuso aventi parte reale non superiore a −2.

Problema 2

Per il processo descritto dalle equazioni

x =

3 1 00 1 04 1 −1

x +

111

u

y =(

1 0 0)x

a) Supponendo di disporre della misura di due (delle tre) variabili di stato arbitrarie, si determini uncontrollore istantaneo tale che gli autovalori del sistema ad anello chiuso siano tutti coincidenti.

b) Si risolva lo stesso problema del punto precedente nell’ipotesi di avere a disposizione solo la misuradell’uscita. E necessario indicare chiaramente le equazioni di stato del controllore.

Problema 3

Annerire il cerchietto in corrispondenza alle affermazioni certamente ‘vere’.

• Si consideri un sistema lineare x = Ax + Bu, y = Cx, con

A =(

a b0 c

)B =

(10

)C =

(1 0

)© Il sistema e stabilizzabile con reazione dallo stato solo se a < 0 e c < 0.

© Il sistema e stabilizzabile con reazione dallo stato solo se c < 0.

© Se c > 0, l’evoluzione libera nello stato diverge per qualsiasi condizione iniziale.

© Se b = 0, il sistema non e rilevabile.

© Se b = 0 e c < 0, il sistema non e rilevabile.

• Si consideri un sistema a fase minima con eccesso poli-zeri n−m = 3.

© Il relativo luogo delle radici presenta 2 punti singolari.

© Non e possibile stabilizzare il sistema ad anello chiuso con un semplice guadagno.

© E’ possibile stabilizzare il sistema ad anello chiuso con un semplice guadagno se il centro degliasintoti e minore di zero.

© Esiste un controllore stabilizzante di dimensione 2.

© Esiste un controllore di dimensione 2 che assegna arbitrariamente i poli ad anello chiuso.

Nome e cognome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [3 h]8

CONTROLLI AUTOMATICI II moduloProva scritta del 5 aprile 2005

TRACCIA DI SOLUZIONE

Problema 1

La funzione di trasferimento del processo e

P (s) = C(sI −A)−1B + D =s + 3s + 12

Per soddisfare la prima specifica e necessario introdurre nel controllore un polo nell’origine e una coppiadi poli immaginari in ±j. La funzione di trasferimento del processo modificato e quindi

P (s) = ks + 3

s(s2 + 1)(s + 12)

Per stabilire se e possibile soddisfare la seconda specifica attraverso la scelta di k si traccia il luogo delleradici del sistema ad anello chiuso.

−30 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

25Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Il luogo indica che il problema non puo essere risolto con un semplice guadagno. Per stabilire cio concertezza, si osservi che il denominatore dell’anello chiuso vale

D1(s) = s(s2 + 1)(s + 12) + k(s + 3)

Sostituendo s−2 ad s si trova che ci sono sempre delle variazioni di segno tra i coefficienti. Di conseguenzanon esiste alcun valore di k per cui tutti i poli hanno parte reale minore o uguale a −2.

Poiche il sistema e a fase minima, e possibile provare ad inserire nel controllore (che contiene gia trepoli) uno zero in −z. In questo modo si ridurra l’eccesso poli-zeri a 2; di conseguenza, se e possibileottenere che il centro degli asintoti si trovi a sinistra di −2 con uno zero anch’esso a sinistra di −2 ilproblema sara risolto con un k sufficientemente grande (si ricordi che per k → ∞ due radici andrannoagli asintoti e due convergeranno sugli zeri). Si ha

s0 =−12 + 3 + z

2< −2 ⇒ z < 5

e quindi e necessario prendere 2 < z < 5.Calcolando il denominatore del sistema ad anello chiuso in corrispondenza a

F (s) = k(s + 3)(s + z)

s(s2 + 1)(s + 12) 9

e sostituendo s− 2 ad s, si trova il seguente polinomio

D2(s) = s4 + 4s3 + (k − 47)s2 + (k(z − 1) + 120)s + k(z − 2)− 100

Costruendo la relativa tabella di Routh si trova il valore critico di k oltre il quale e garantito il soddisfa-cimento della specifica sugli autovalori. Ad esempio, per z = 3 si trova k > 155.02; per z = 4 si trovak > 316.86. Il luogo delle radici finale mostrato di seguito si riferisce appunto al caso z = 4. Il controllorerisultante e

P (s) = ks + 4

s(s2 + 1)

−12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Una soluzione ugualmente valida (ancorche meno elegante) consisteva nell’introdurre due zeri (en-trambi a sinistra di −2) nel controllore, in modo da ridurre l’eccesso poli-zeri a 1. In questo caso, unodei due zeri poteva essere collocato in −12 in modo da semplificare i calcoli successivi. L’applicazione delcriterio di Routh forniva anche in questo caso il valore minimo richiesto per k.

Problema 2

a) La matrice di raggiungibilita del sistema ha rango 2. Di conseguenza, si effettua la decomposizionedi Kalman per individuare l’autovalore non raggiungibile, che risulta essere collocato in −1. Quindi, perrisolvere il problema, si determina K in modo che A + BK abbia tre autovalori coincidenti in −1. Sitrova

K =(− 16

3 − α − 23 α

)con α arbitrario. Di conseguenza, le uniche due retroazioni valide che possono essere implementate condue misure sono

K1 =(− 16

3 − 23 0

)e K2 =

(0 − 2

3 − 163

)b) Il sistema e gia in forma canonica rispetto alla osservabilita, e l’autovalore inosservabile e collocato in−1. Si ottiene facilmente

G =

64β

con β arbitrario. Le equazioni di stato del controllore sono

ξ = (A + BK −GC)ξ + Gy

u = Kξ

con K = K1 o K = K2.

2

10

Problema 3

• Si consideri un sistema lineare x = Ax + Bu, y = Cx, con

A =(

a b0 c

)B =

(10

)C =

(1 0

)© Il sistema e stabilizzabile con reazione dallo stato solo se a < 0 e c < 0.

FALSO: Il sistema e in forma canonica rispetto alla raggiungibilita. Quindi affinche siastabilizzabile e necessario e sufficiente che sia c < 0.• Il sistema e stabilizzabile con reazione dallo stato solo se c < 0.VERO: Vedi risposta precedente.

© Se c > 0, l’evoluzione libera nello stato diverge per qualsiasi condizione iniziale.FALSO: Dipende dall’altro autovalore a. Se esso e negativo, tutte le condizioni iniziali allineatecon il relativo autovettore ecciteranno solo il modo naturale e−at, e quindi daranno luogo aevoluzioni convergenti.

© Se b = 0, il sistema non e rilevabile.FALSO: Se b = 0, il sistema e in forma canonica rispetto alla osservabilita. La rilevabilitadipendera dall’autovalore inosservabile c; se c < 0, il sistema sara rilevabile.

© Se b = 0 e c < 0, il sistema non e rilevabile.FALSO: Vedi risposta precedente.

• Si consideri un sistema a fase minima con eccesso poli-zeri n−m = 3.

© Il relativo luogo delle radici presenta 2 punti singolari.FALSO: Tutto cio che si puo dire e che il luogo presenta al piu n + m− 1 punti singolari.

© Non e possibile stabilizzare il sistema ad anello chiuso con un semplice guadagno.FALSO: Non e detto. I rami del luogo positivo potrebbero essere tutti contenuti nel semipianosinistro per un intervallo di valori di k (mentre certamente vanno nel semipiano destro pervalori elevati di k).

© E’ possibile stabilizzare il sistema ad anello chiuso con un semplice guadagno se il centro degliasintoti e minore di zero.FALSO: Un controesempio e dato proprio dal primo problema di questa prova.

• Esiste un controllore stabilizzante di dimensione 2.VERO: Poiche il sistema ha fase minima, si puo sempre procedere cosı: si aggiunge uno zeroper ridurre l’eccesso poli-zeri a 2, poi con una coppia polo-zero si sposta il centro degli asintotinel semipiano sinistro (se necessario) e infine si recupera la realizzabilita del controllore conun polo sufficientemente lontano. Il controllore risultante da questa procedura ha appuntodimensione 2.

© Esiste un controllore di dimensione 2 che assegna arbitrariamente i poli ad anello chiuso.FALSO: Dipende da n, che e ignoto. Un controllore che assegni arbitrariamente i poli ad anellochiuso deve avere dimensione n− 1.

3

11

Prova scritta di CONTROLLI AUTOMATICI II modulo15 aprile 2005

Problema 1

Si consideri il processo costituito dalla cascata dei due blocchi aventi funzioni di trasferimento

P1(s) =1

s− 1P2(s) =

s− 1s− 2

In particolare, l’uscita di P1 e l’ingresso di P2. Le uscite dei due blocchi sono misurabili da appositisensori.

Si progetti uno schema di controllo a retroazione avente dimensione complessiva minima e in grado distabilizzare il processo. Al termine, si modifichi il guadagno del controllore ottenuto in modo da garantireche i poli del sistema ad anello chiuso siano (oltre che a parte reale negativa) coincidenti.

Problema 2

Per il processo descritto dalle equazioni

x =

α 1 10 2 00 0 β

x +

110

u

y =(

1 0 0)x

a) Si studino le proprieta di stabilizzabilita (sia dallo stato che dall’uscita) e di rilevabilita del processoal variare di α e β.

b) Si determinino tutti i controllori a retroazione dallo stato in grado di stabilizzare il processo.

Problema 3

Annerire il cerchietto in corrispondenza alle affermazioni certamente ‘vere’.

• Si consideri un sistema lineare x = Ax + Bu, y = Cx, con

A =(

a 10 b

)B =

(10

)C =

(1 0

)© E possibile costruire un osservatore del sistema solo se b < 0.

© E possibile stabilizzare il sistema dall’uscita solo se b < 0.

© Se b < 0, esiste un controllore istantaneo dall’uscita in grado di stabilizzare il sistema.

© Se b < 0, esiste un controllore dall’uscita in grado di assegnare arbitrariamente gli autovalori adanello chiuso,

© Lo sforzo di controllo per un controllore dinamico dall’uscita e tanto maggiore quanto maggioree la velocita di convergenza dell’errore di osservazione.

• Si consideri un sistema a fase minima con tre poli p1, p2, p3 e uno zero z.

© Se i poli sono reali, il luogo delle radici ad anello chiuso presenta almeno un punto singolare.

© Esiste un controllore stabilizzante di dimensione 1.

© Esiste un controllore di dimensione 2 in grado di garantire stabilita asintotica e riproduzioneesatta di riferimenti costanti.

© Se∑

i pi − z < 0, esiste un controllore di dimensione 1 in grado di garantire stabilita asintoticae riproduzione esatta di riferimenti costanti.

© Esiste un controllore di dimensione 2 che assegna arbitrariamente i poli ad anello chiuso egarantisce la riproduzione esatta di riferimenti costanti.

Nome e cognome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [2 h 30 min]12

CONTROLLI AUTOMATICI II moduloProva scritta del 15 aprile 2005

TRACCIA DI SOLUZIONE

Problema 1

Per evitare la cancellazione polo-zero, che darebbe luogo a un autovalore nascosto instabile, si ricorre aduno schema con un doppio anello di retroazione. Allo scopo di limitare la dimensione del controllore, siprova a risolvere il problema con due semplici guadagni: quello piu interno, k2, viene collocato sul ramodiretto a monte del primo blocco della cascata, mentre quello piu esterno, k1, si trova sul ramo diretto amonte dell’anello interno.

La funzione di trasferimento dell’anello interno e

F1(s) =k2

s + k2 − 1=

k2

s− p

con p = 1− k2. La funzione di trasferimento del ramo diretto diviene dunque

F (s) = k1F1(s)s− 1s− 2

= k1k2s− 1

(s− p)(s− 2)= k

s− 1(s− p)(s− 2)

dove si e posto k = k1k2. Il tracciamento del corrispondente luogo delle radici mostra immediatamenteche e necessario avere p > 1 (cioe k2 < 0) per creare un punto singolare nel luogo positivo contenuto nelsemipiano destro e sperare di ottenere una situazione come quella di figura, in cui l’altro punto singolaresi trova nel semipiano sinistro (qui si e posto p = 3 per illustrazione).

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Indicazioni piu precise si possono trarre dal denominatore della funzione di trasferimento ad anellochiuso, che vale

DW (s) = s2 + (k − p− 2)s + 2p− k13

Si ha stabilita asintotica se k − p− 2 > 0 e 2p− k > 0, cioe se

k > 2 + p e k < 2p

Quindi, e necessario avere2 + p < p ⇒ p > 2

che e una condizione piu stringente di quella ricavata dall’analisi del luogo. Di conseguenza, qualsiasicollocazione del polo p a destra di 2 crea una situazione come quella in figura, in cui l’altro punto singolaredel luogo positivo si trova nel semipiano sinistro.

Scelto dunque k2 < −1 per avere p > 2, si deve imporre 2 + p < k < 2p ovvero

2(1− k2)k2

< k1 <3− k2

k2

Per ottenere che i poli del sistema ad anello chiuso siano a parte reale negativa e coincidenti, enecessario scegliere k in corrispondenza al punto singolare che si trova nel semipiano sinistro, che vales1 = 1 −

√p− 1 (dall’equazione dei punti singolari). Tale valore di k si puo individuare imponendo

dunque che il denominatore della funzione di trasferimento ad anello chiuso valga (s− s1)2. Uguagliandoi coefficienti dei due polinomi si ottiene

k = p + 2√

p− 1

che, per ogni valore scelto per p > 2 (e dunque per k1), fornisce il valore di k (e dunque di k1) richiesto.

Problema 2

a) Il sistema e in forma canonica di Kalman rispetto alla raggiungibilita, e l’autovalore β non e raggiun-gibile. Quindi, deve essere necessariamente β < 0 per avere stabilizzabilita con reazione dallo stato. Ildeterminante della matrice di raggiungibilita ‘ristretta’

det P1 = det(B1 A11B1) = det(

1 α + 11 2

)= 1− α

e diverso da zero se α 6= 1. Se α = 1, c’e un altro autovalore non raggiungibile. In questo caso, poichegli autovalori di A11 sono α (cioe 1) e 2, tale autovalore e certamente positivo, e dunque il sistema none stabilizzabile con reazione dallo stato. Riassumendo, il sistema e stabilizzabile con reazione dallo statose e solo se α 6= 1 e β < 0.

Per quanto riguarda la rilevabilita, si verifica facilmente che il sistema e osservabile se β 6= 2. D’altraparte, se β = 2 il sistema ha due autovalori in 2; poiche l’altro autovalore in α e osservabile (si verificaimmediatamente dal PBH test), uno di questi due autovalori e inosservabile, e dunque il sistema none rilevabile. Cio indica anche che se il sistema e stabilizzabile con reazione dallo stato lo e anche conreazione dall’uscita (infatti β < 0 garantisce che β 6= 2).b) Se α 6= 1 e β < 0, le retroazioni che stabilizzano il processo hanno la forma u = Kx, con K = (k1 k2 k3)e k3 ininfluente. Quindi basta risolvere il problema di stabilizzazione ‘ristretta’ assegnando autovalori aparte reale negativa alla matrice

A11 + B1(k1 k2)

il cui polinomio caratteristico risulta essere

λ2 − (k1 + k2 + α + 2)λ + k1 + αk2 + 2α

Quindi, la condizione affinche gli autovalori abbiano parte reale negativa e

k1 + k2 + α + 2 < 0 e k1 + αk2 + 2α > 0

mentre k3 puo essere scelto arbitrariamente.

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Problema 3

• Si consideri un sistema lineare x = Ax + Bu, y = Cx, con

A =(

a 10 b

)B =

(10

)C =

(1 0

)© E possibile costruire un osservatore del sistema solo se b < 0.

FALSO: Il sistema e sempre osservabile (la matrice di osservabilita ha sempre rango pieno),• E possibile stabilizzare il sistema dall’uscita solo se b < 0.VERO: Infatti questa e la condizione necessaria (e sufficiente) per avere stabilizzabilita dallostato (si osservi che il sistema e in forma canonica di Kalman rispetto alla raggiungibilita, ein particolare l’autovalore b non e raggiungibile). Poiche il sistema e sempre osservabile, talecondizione e anche necessaria (e sufficiente) per la stabilizzabilita dall’uscita.• Se b < 0, esiste un controllore istantaneo dall’uscita in grado di stabilizzare il sistema.VERO: In questo caso, infatti, e possibile stabilizzare il sistema con (infinite) retroazioni dallostato u = Kx, con K = (k1 k2). Poiche l’autovalore b non e raggiungibile, la costante k2

e ininfluente, e si puo porre k2 = 0. Dunque esistono (infiniti) controllori stabilizzanti dellaforma u = k1x1 = k1y (si osservi l’equazione di uscita del processo).

© Se b < 0, esiste un controllore dall’uscita in grado di assegnare arbitrariamente gli autovalori adanello chiuso.FALSO: L’autovalore b non e raggiungibile, quindi e impossibile spostarlo con una retroazione.

© Lo sforzo di controllo per un controllore dinamico dall’uscita e tanto maggiore quanto maggioree la velocita di convergenza dell’errore di osservazione.FALSO: Lo sforzo di controllo dipende dalla dinamica del processo controllato, e cioe dagliautovalori di A + BK.

• Si consideri un sistema a fase minima con tre poli p1, p2, p3 e uno zero z.

• Se i poli sono reali, il luogo delle radici ad anello chiuso presenta almeno un punto singolare.VERO: Infatti, con tre poli reali ed uno zero ci saranno sempre due poli ‘contigui’ sull’assereale. Cio dara luogo a un punto singolare nel segmento compreso tra i due poli.• Esiste un controllore stabilizzante di dimensione 1.VERO: Infatti, essendo il sistema a fase minima con eccesso poli-zeri pari a 2, e sempre possibilespostare il centro degli asintoti nel semipiano sinistro (se necessario) con una coppia polo-zero,e poi garantire la stabilita asintotica con un guadagno sufficientemente alto.• Esiste un controllore di dimensione 2 in grado di garantire stabilita asintotica e riproduzioneesatta di riferimenti costanti.VERO: Si procede cosı: si inserisce nel controllore un polo nell’origine per rendere il sistemadi tipo 1, poi con una coppia polo-zero si sposta il centro degli asintoti nel semipiano sinistro(se necessario), e infine si garantisce la stabilita asintotica con un guadagno sufficientementealto. Il controllore risultante da questa procedura ha appunto dimensione 2.• Se

∑i pi− z < 0, esiste un controllore di dimensione 1 in grado di garantire stabilita asintotica

e riproduzione esatta di riferimenti costanti.VERO: Si osservi che se

∑i pi − z < 0 il centro degli asintoti s0 = (

∑i pi − z)/2 e certamente

negativo. Quindi, si procede cosı: si inserisce dapprima nel controllore un polo nell’origine perrendere il sistema di tipo 1. Il nuovo centro degli asintoti s′

0 = (∑

i pi−z)/3 e ancora negativo.Dunque, aggiungendo uno zero z′ nel semipiano sinistro ma sufficientemente vicino all’originesi recupera un eccesso poli-zeri pari a 2, garantendo nel contempo che il centro degli asintotifinale s′′

0 = (∑

i pi − z − z′)/2 sia ancora negativo. A questo punto si assicura la stabilitaasintotica con un guadagno sufficientemente alto. Il controllore risultante da questa proceduraha appunto dimensione 1.

© Esiste un controllore di dimensione 2 che assegna arbitrariamente i poli ad anello chiuso egarantisce la riproduzione esatta di riferimenti costanti.FALSO: Un controllore che soddisfi le specifiche deve avere 1 polo nell’origine e n− 1 = 2 poliliberi; di conseguenza, esso avra dimensione 3.

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Prova scritta di CONTROLLI AUTOMATICI II modulo6 luglio 2005

Problema 1

Per il processo descritto dalle equazioni

x = u

y = 4x + u

si progetti un controllore dall’uscita avente dimensione minima e tale che il sistema ad anello chiusoriproduca asintoticamente con esattezza il riferimento r(t) = sin t.

Problema 2

Si fornisca un esempio numerico di sistema lineare avente le seguenti caratteristiche:

• due autovalori, di cui uno in −1 e uno in 2;

• sistema non raggiungibile ma stabilizzabile;

• sistema non osservabile ma rilevabile.

Una volta costruito tale sistema, si costruisca un controllore a retroazione dall’uscita tale che gli autovaloridel sistema ad anello chiuso siano tutti coincidenti.

Problema 3

Annerire il cerchietto in corrispondenza alle affermazioni certamente ‘vere’.

• Si consideri un sistema lineare x = Ax + Bu, y = Cx, con

A =(

a 01 b

)B =

(10

)C =

(1 0

)© E possibile stabilizzare il sistema dallo stato solo se b < 0.

© E possibile costruire un osservatore del sistema solo se b < 0.

© Se b < 0, esiste un controllore istantaneo dall’uscita in grado di stabilizzare il sistema.

© Indipendentemente dal segno di b, esiste un controllore istantaneo dall’uscita in grado di stabi-lizzare il sistema.

© Se b < 0, esiste un controllore dall’uscita in grado di assegnare arbitrariamente gli autovalori adanello chiuso.

• Si consideri un sistema a fase minima con tre poli reali distinti in p1, p2, p3 e due zeri coincidentiin z (z 6= pi, i = 1, . . . , 3).

© Il luogo delle radici ad anello chiuso puo essere privo di punti singolari.

© Esiste un controllore stabilizzante costituito da un semplice guadagno.

© Esiste un controllore di dimensione 1 in grado di garantire stabilita asintotica e riproduzioneesatta di riferimenti costanti.

© Esiste un controllore strettamente proprio e di dimensione 2 in grado di garantire stabilitaasintotica e riproduzione esatta di riferimenti costanti.

© Esiste un controllore di dimensione 2 che assegna arbitrariamente i poli ad anello chiuso egarantisce la riproduzione esatta di riferimenti costanti.

Nome e cognome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [3 h]16

CONTROLLI AUTOMATICI II moduloProva scritta del 6 luglio 2005

TRACCIA DI SOLUZIONE

Problema 1

La funzione di trasferimento del processo (a fase minima) e

P (s) =s + 4

s

La specifica sulla riproduzione del riferimento richiede l’introduzione nel controllore di una coppia di policomplessi e coniugati in ±j. La funzione di trasferimento del processo modificato diviene dunque

F (s) = ks + 4

s(s2 + 1)

Il tracciamento del corrispondente luogo delle radici suggerisce che non esiste alcun valore di k che rendaasintoticamente stabile il sistema ad anello chiuso. Cio e confermato dal denominatore della funzione ditrasferimento ad anello chiuso

DW (s) = s3 + (k + 1)s + 4k

che e privo del termine di secondo grado.Per mantenere minima la dimensione del controllore, si puo aggiungere ad esso uno zero con parte

reale negativa (si noti che il controllore rimane realizzabile). In questo modo, l’eccesso poli-zeri scenderaa 1 e il sistema ad anello chiuso sara certamente stabilizzato per valori sufficientemente alti di k. Si hadunque

G(s) = ks + z

s2 + 1e

F (s) = k(s + 4)(s + z)

s(s2 + 1)

L’applicazione del criterio di Routh mostra immediatamente che si ha stabilita asintotica per

z > 0 k > max(

0,4z − 1z + 4

)Cio indica che, a seconda che z sia minore o maggiore di 1/4, il luogo positivo delle radici sara interamenteo parzialmente compreso nel semipiano sinistro.

Problema 2

La soluzione piu ovvia e quella di scrivere un sistema che sia in forma canonica di Kalman rispetto aentrambe le proprieta strutturali:

A =(

2 00 −1

)B =

(10

)C =

(1 0

)La funzione di trasferimento corrispondente e

P (s) =1

s− 2

con un autovalore nascosto in −1. Per far sı che gli autovalori ad anello chiuso coincidano, e dunquesufficiente usare uno schema a retroazione negativa unitaria in cui il controllore e un semplice guadagnok tale che

DW (s) = s− 2 + k ≡ s + 1 =⇒ k = 3

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Problema 3

• Si consideri un sistema lineare x = Ax + Bu, y = Cx, con

A =(

a 01 b

)B =

(10

)C =

(1 0

)© E possibile stabilizzare il sistema dallo stato solo se b < 0.

FALSO: Il sistema e sempre raggiungibile (la matrice di raggiungibilita ha sempre rango pieno).

• E possibile costruire un osservatore del sistema solo se b < 0.VERO: Infatti questa e la condizione necessaria (e sufficiente) per avere rilevabilita dallo stato(si osservi che il sistema e in forma canonica di Kalman rispetto all’osservabilita, e in particolarel’autovalore b non e osservabile), e quindi per poter costruire un dispositivo in grado di fornireuna stima asintoticamente corretta dello stato del sistema.• Se b < 0, esiste un controllore istantaneo dall’uscita in grado di stabilizzare il sistema.VERO: In questo caso, infatti, la funzione di trasferimento del sistema e P (s) = 1/(s − a), el’autovalore nascosto in b ha parte reale negativa. Dunque, uno schema a retroazione unitariacon un semplice guadagno come controllore e in grado di spostare il polo in a nel semipianosinistro, e di rendere il sistema ad anello chiuso asintoticamente stabile.

© Indipendentemente dal segno di b, esiste un controllore istantaneo dall’uscita in grado di stabi-lizzare il sistema.FALSO: Se l’autovalore nascosto in b ha parte reale non negativa, il sistema retroazionato (checontiene il medesimo autovalore) non sara mai asintoticamente stabile.

© Se b < 0, esiste un controllore dall’uscita in grado di assegnare arbitrariamente gli autovalori adanello chiuso.FALSO: L’autovalore in b e nascosto e dunque non modificabile con una retroazione dall’uscita.

• Si consideri un sistema a fase minima con tre poli reali distinti in p1, p2, p3 e due zeri coincidentiin z (z 6= pi, i = 1, . . . , 3).

© Il luogo delle radici ad anello chiuso puo essere privo di punti singolari.FALSO: C’e almeno un punto singolare dovuto allo zero ‘doppio’.

• Esiste un controllore stabilizzante costituito da un semplice guadagno.VERO: Infatti, essendo il sistema a fase minima con eccesso poli-zeri pari a 1, e sempre possibileottenere la stabilita asintotica con un guadagno sufficientemente alto.

• Esiste un controllore di dimensione 1 in grado di garantire stabilita asintotica e riproduzioneesatta di riferimenti costanti.VERO: Si procede cosı: si inserisce nel controllore un polo nell’origine per rendere il sistemadi tipo 1, poi con una zero a parte reale negativa si riconduce l’eccesso poli-zeri a 1, e infine sigarantisce la stabilita asintotica con un guadagno sufficientemente alto. Il controllore risultanteda questa procedura ha appunto dimensione 1.

• Esiste un controllore strettamente proprio e di dimensione 2 in grado di garantire stabilitaasintotica e riproduzione esatta di riferimenti costanti.VERO: E sufficiente prendere il controllore del punto precedente e aggiungergli un polo a partereale negativa sufficientemente ‘lontano’. Come noto, cio preserva la stabilita asintotica delsistema ad anello chiuso.

© Esiste un controllore di dimensione 2 che assegna arbitrariamente i poli ad anello chiuso egarantisce la riproduzione esatta di riferimenti costanti.FALSO: Un controllore che soddisfi le specifiche deve avere 1 polo nell’origine e n− 1 = 2 poliliberi; di conseguenza, esso avra dimensione 3.

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Prova scritta di CONTROLLI AUTOMATICI II modulo12 aprile 2006

Problema 1

Si consideri il processo descritto dalle equazioni

x1 = x2

x2 = x3

x3 = −2x1 − 5x2 − 4x3 + u + d

y = −2x1 + x2

in cui u e un segnale di ingresso e d un segnale di disturbo. Si progetti uno schemadi controllo di dimensione minima e tale che l’errore a regime sia nullo quando sonocontemporaneamente presenti un riferimento r(t) = 2 δ−1(t) e un disturbo d(t) = a δ−1(t),con a incognito. Nel corso della soluzione, si traccino i luoghi delle radici di interesse.

Problema 2

Per il sistema descritto dalle equazioni

x1 = −x1 − 2x2 + x1x2

x2 = −3x2 − x21

a) si individuino i punti di equilibrio;

b) se ne studi la stabilita con il criterio indiretto di Lyapunov;

c) si approfondisca tale studio (ad esempio, determinando se una eventuale stabilitaasintotica stabilita al punto precedente e globale o meno) con il criterio diretto diLyapunov.

Problema 3

Si fornisca un esempio numerico di rappresentazione con lo spazio di stato di un processoavente simultaneamente le seguenti proprieta:

• dimensione pari a 3;

• risposta indiciale costituita dalla sovrapposizione di un gradino, di un modo aperio-dico convergente e di un modo pseudoperiodico divergente;

• processo non completamente raggiungibile e non completamente osservabile;

• processo stabilizzabile con reazione dall’uscita.

La risposta deve essere adeguatamente motivata.

[3 h]19

CONTROLLI AUTOMATICI II moduloProva scritta del 12 aprile 2006

TRACCIA DI SOLUZIONE

Problema 1

La funzione di trasferimento del processo e

P (s) =s− 2

s3 + 4s2 + 5s + 2=

s− 2(s + 1)2(s + 2)

(nota: la fattorizzazione del denominatore e stata suggerita in aula). La specifica sulla riproduzione delriferimento a gradino in presenza di un disturbo costante richiede l’introduzione nel controllore di polonell’origine. La funzione di trasferimento del processo modificato diviene dunque

F (s) = ks− 2

s(s + 1)2(s + 2)

Il sistema ha fase non minima ed eccesso poli-zeri pari a 3. Cio nonostante, il tracciamento del corri-spondente luogo delle radici, riportato in figura, indica che il sistema ad anello chiuso e asintoticamentestabile per k∗ < k < 0 (luogo negativo, in blu).

Per verificare tale circostanza e determinare il valore di k∗, e sufficiente applicare il criterio di Routhal denominatore della funzione di trasferimento ad anello chiuso, ovvero s4 +4s3 +5s2 +(2+k)s− 2k. Sitrova, come previsto, che il sistema e asintoticamente stabile per −0.73 < k < 0. Il controllore richiestoe dunque

G(s) =k

scon − 0.73 < k < 0

Problema 2

a) Per individuare i punti di equilibrio, si cercano le radici comuni delle equazioni

−x1 − 2x2 + x1x2 = 0−3x2 − x2

1 = 020

La seconda fornisce x2 = −x21/3, che sostituita nella prima da −x1(x2

1/3 − 2x1/3 + 1) = 0. Poiche leradici del polinomio di secondo grado sono complesse, l’unico punto di equilibrio si ha per x1 = x2 = 0.

b) Il calcolo della matrice jacobiana della dinamica del sistema nel punto di equilibrio fornisce

J(0) =(−1 + x2 −2 + x1

−2x1 −3

)∣∣∣∣(x1=0,x2=0)

=(−1 −20 −3

)i cui autovalori sono evidentemente −1 e −3. Ne consegue che l’origine e asintoticamente stabile per ilsistema non lineare.

c) Si consideri la seguente candidata di Lyapunov

V (x) =12(x2

1 + x22)

che e definita positiva in qualsiasi intorno dell’origine e radialmente illimitata. La sua derivata lungo letraiettorie del sistema e

V (x) = x1x1 + x2x2 = −x21 − 2x1x2 − 3x2

2 = −(x1 + x2)2 − 2x22

che e definita negativa in qualsiasi intorno dell’origine. Ne consegue che l’origine e globalmente asintoti-camente stabile per il sistema non lineare.

Problema 3

Affinche la risposta indiciale sia costituita dalla sovrapposizione di un gradino, di un modo aperiodicoconvergente e di un modo pseudoperiodico divergente, la funzione di trasferimento del sistema dovra avereun polo reale negativo (che dara luogo al modo aperiodico convergente) e una coppia di poli complessi conparte reale positiva (che daranno luogo al modo pseudoperiodico divergente). Il gradino nella rispostasara naturalmente dovuto al gradino in ingresso.

Il sistema dovra dunque avere una funzione di trasferimento con tre poli. Poiche la dimensione delsistema e 3, ne consegue che esso dovra essere completamente raggiungibile e osservabile, in modo chetutti gli autovalori divengano poli. Cio constrasta con la terza proprieta assegnata.

E dunque impossibile fornire una rappresentazione che goda di tutte le proprieta richieste.

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