Controlli Automatici A - ce.unipr.it · 1 1.Introduzione Controlli Automatici A Œ Prof. Aurelio...

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1.Introduzione

Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002

Controlli Automatici A

Corsi di laurea triennali in Ingegneria Elettronica, Informatica, Telecomunicazioni

a.a. 2001/2002Docente: Prof. Aurelio Piazzi

Email: [email protected]://www.ce.unipr.it/people/piazzi/

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1.Introduzione


� Introduzione ai metodi di analisi e sintesi per il controllo attivo di un processo

� Processo = evoluzione nel tempo di ciò che caratterizza un sistema (fisico o non)

� Controllo attivo : strategia di controllo che prevede un�azione di comando esercitata sul processo (esempio: sospensioni attive di una automobile)

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1.Introduzione


� Il controllo (attivo) risolve il problema di imporre una modalità di funzionamento desiderato ad un processo assegnato (il sistema controllato).

� Modalità di funzionamento desiderato = una variabile (scalare o vettoriale) del processo coincida con una variabile (sca. o vett.) preassegnata (segnale di riferimento o set-point):

Variabile controllata = Segnale di riferimento

� Segnale di riferimento costante => problema di regolazione

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1.Introduzione


1.1 Generalità sul concetto di sistema� (Possibile) definizione di Sistema:

Un sistema è un complesso, normalmente costituito da più elementi interconnessi, in cui si possono distinguere grandezza soggette a variare nel tempo (le variabili).

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1.Introduzione


� def. di Segnale:

Le funzioni che rappresentano l�andamento delle variabili nel tempo si dicono segnali.

� Terminologia per le variabili:

-Variabili controllate (o regolate)

- Variabile di riferimento

-Variabili manipolabili (o di controllo)

-Variabili non manipolabili (o disturbi)

-Variabili osservate (o misurate)

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1.Introduzione


� La classificazione fondamentale delle variabili di un sistema le distingue in variabili indipendenti (ingressi o cause) e in variabili dipendenti (uscite o effetti).

� Questa classificazione porta al concetto di sistema orientato:

Esempi: una resistenza elettrica, un motore in corrente continua,�

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1.Introduzione


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1.Introduzione


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1.Introduzione


� def. di Modello Matematico:

Si dice m. m. la descrizione di un sistema, per esempio con equazioni e parametri, che permette di determinare i segnali delle uscite noti i segnali degli ingressi e le (eventuali) condizioni iniziali.

Esempi: equazioni differenziali, modelli operazionali, modelli frequenziali, modelli di stato,�

� Sistemi multivariabili (MIMO) e scalari (SISO) (ci occuperemo quasi sempre di sistemi scalari�):

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� def. Sistema (inizialmente) in quiete:

Un sistema è detto (inizialmente) in quiete quando le variabili d�uscita sono (inizialmente) nulle e rimarrebbero tali per ingressi identicamente nulli [sistema in equilibrio]

Nota: valida anche per variabili costanti�

� Considereremo sistemi a tempo continuo con variabili reali per gli ingressi ed uscite: tempo t in R, u(t) in R, y(t) in R.

Caso multivariabile:

t

,)(,)( pm RtyRtu ∈∈

=

)(

)(

)(

1

tu

tu

tu

m

!!

=

)(

)(

)(

1

ty

ty

ty

p

!!

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1.Introduzione


� def. Sistema statico (o puramente algebrico)

L�uscita al tempo t, dipende esclusivamente dall�ingresso al medesimo tempo t.

Per questi sistemi esiste una funzione f: Rm ! Rp tale che

y(t) = f(u(t)) per ogni t in R, Semplicemente y = f(u)

� def. Sistema dinamico

L�uscita al tempo t dipende dalla funzione dell�ingresso su (-inf., t].

Sono i sistemi con memoria: esiste un funzionale F(.) : U ! Y per il quale

y(t) = F( u(.)|(-inf., t] )

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Esempio del comportamento di un sistema dinamico:

Esempio di modello statico SISO: motore in corrente continua in condizioni stazionarie, w = f(va) è la caratteristica statica ingresso uscita (non lineare):

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1.Introduzione


Modello linearizzato in un intorno dell�origine: w = k va ,

k:= f (1)(va)|va=0

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Modello linearizzato nell�intorno di (va1, w1):

K1:= f(1)(va )|va = va1 ; w� := w � w1 v�a := va � va1

w� = K1 v�a

� def. Insieme dei “behaviours” BBBB

L�insieme B B B B è l�insieme di tutte le possibili coppie causa-effetto associate al sistema dinamico Σ:

B B B B := { ( u(t), y(t) ) : y(t) è l�uscita di Σ corrispondente all�ingresso

u(t) a partire da una condizione di quiete, u(t) in U U U U }

U U U U :={ insieme delle funzioni continue a tratti definite su (-inf , +inf) }

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� def. Linearità

Un sistema si dice lineare quando soddisfa la proprietà di sovrapposizione degli effetti:

per ogni ( u�(t), y�(t) ), ( u��(t), y��(t) ) ∈ B B B B e per ogni a1, a2 ∈ R

== > (a1 u�(t) + a2 u��(t) , a1 y�(t) + a2 y��(t) ) ∈ B B B B

. . . . def. Stazionarietà

Un sistema Σ è stazionario (invariante nel tempo) se per ogni T in R:

( u(t), y(t) ) ∈ B == > B == > B == > B == > ( u(t-T), y(t-T) ) ∈ B B B B

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Esempio:

� Ambito di studio: sistemi dinamici lineari, stazionari e a tempo continuo.

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1.Introduzione


1.2 Controllo ad azione diretta e in retroazione� Il controllo (attivo) è distinguibile in

- controllo ad azione diretta (feedforward) o ad anello aperto o in catena aperta;

- controllo in retroazione (feedback) o ad anello chiuso o in catena chiusa.

� Azione diretta : quando l�azione di comando dipende da

1. obiettivo perseguito (p.e. segnale di riferimento)

2. informazioni sul modello del sistema controllato

3. eventualmente, ingressi agenti sul sistema contr. (disturbi)

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� Retroazione : quando l�azione di comando dipende da1. obiettivo perseguito (p.e. segnale di riferimento)2. informazioni sul modello del sistema controllato3. eventualmente, ingressi agenti sul sistema contr. (disturbi)4. variabile controllata

Esempi: �.� Schema a blocchi di un sistema di controllo ad azione diretta:

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1.Introduzione


� Schema a blocchi di sistema di controllo in retroazione:

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� Architettura usuale: Sistema di controllo in retroazione sull�errore di inseguimento:

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� Confronto fra il controllo ad azione diretta e in retroazione:

Problema: Regolazione di un processo statico di guadagno P; y = uscita del processo (v. controllata); u = ingresso del processo (v. di controllo); r = segnale di riferimento.

� Sistema di controllo ad anello aperto:

y = P u = P ( Cd) = P Cd r

Dall�obiettivo r = y " Cd := 1/P

Il controllore è sintetizzato come sistema inverso del processo

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� Sistema di controllo ad anello chiuso:

{ e = r � y , y = P C_r e } " y = P C_r (r � y)

y = (P C_r / (1 + P C_r ) ) r

L�obiettivo y = r è idealmente irraggiungibile ma si può ottenere y ~= r progettando C_r tale che P C_r >> 1 :

C_r >> 1/P

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� Disamina delle strategie di controllo in condizioni perturbate:

P --> P∼∼∼∼ = P + ∆P , p.e. ∆P = (1/5) P

� nel controllo ad azione diretta:±

rrrP

PPrCPy d 511)(~ ±=∆+== errore in % 20±

� nel controllo in retroazione:

si ipotizza che PCPC rr /200,200 =⇒= 995,01

: ≅+

=⇒r

ryr PC

PCT

(errore di inseguimento in cond. nom. circa uguale a 0,5%)

=∆++

∆+=+

=rr

rr

r

ryr PCPC

PCPCCP

CPT11 ~

~~ 0,9959 e 0,9938

errore = + 0,415% o +0,621%

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� Conclusione 1: Il controllo in retroazione è efficace anche in presenza di perturbazioni sul processo.

� Conclusione 2: Il controllo in retroazione è efficace anche in presenza di disturbi agenti sulla variabile controllata.

[per il momento giustificazione euristica�]

� Per alcuni problemi di regolazione il controllo in retroazione è l�unico possibile � es.: regolazione di livello in un serbatoio �.

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Equazione del �processo� o �impianto�: )(121 qq

Az −="

≡1q

≡2q

portata d�acqua in ingresso (v. di controllo)

portata d�acqua in uscita (v. di disturbo)

� Il controllo ad azione diretta sicuramente fallirebbe (fenomeno di deriva)

� Il controllo in retroazione può risolvere il problema � p.e.

101 )( qzrCq r +−=

ridefinendo la variabile di controllo, la legge di retroazione proposta corrisponde allo schema:

101: qqu −=

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� I problemi del controllo in retroazione:

1. è una soluzione tecnica più complessa

2. è una soluzione che può presentare fenomeni di instabilità

Esempio: in un sistema retroazionato all�aumentare del guadagno di anello tipicamente si innesca una instabilità (p.e. auto-oscillazioni divergenti) :

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321 rrr CCC <<

� I possibili problemi di instabilità sono particolarmente gravi nel controllo in retroazione dei sistemi con ritardi finiti � esempio: regolazione di temperatura in un miscelatore di acqua fredda e calda �

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1.3 Gli Schemi a Blocchi� I sistemi complessi possono essere rappresentati con schemi a blocchi i cui elementi hanno ciascuno un solo ingresso ed una sola uscita:

y = K u , K ≡ guadagno dell�elemento o blocco elementare

K ∈ R o K ∈ {insieme delle funzioni razionali} o �

� I blocchi sono collegati fra loro mediante i punti di diramazione e le giunzioni sommanti:

z = u, y = u z = x + y

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� Regole di riduzione

1. Riduzione di blocchi in cascata

2. Riduzione di blocchi in parallelo

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3. Scambio di giunzioni sommanti

4. Spostamento di prelievo di segnale a monte di un blocco

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5. Spostamento di prelievo di segnale a valle di un blocco

6. Spostamento di giunzione sommante a monte di un blocco

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7. Spostamento di giunzione sommante a valle di un blocco

8. Eliminazione di un anello

+==

yKreeKy

2

1

rKK

Ky21

1

1−=

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� Esempio di riduzione alla forma minima

Schema a blocchi iniziale

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1.Introduzione


Applicando le regole n° 6, 3, 8 si ottiene

132

324 1

:HGG

GGG+

=

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1.Introduzione


Applicando ancora le regole n° 6, 3, 8 :

241

415 1

:HGG

GGG+

=

Applicando infine la regola n° 7:

21

51 :

GGBGB =

dBrGc 15 +=

[ ]

=

dr

BGc 15

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1.4 Cenni di Modellistica� Modellistica = costruzione dei modelli matematici dei sistemi

Modellistica:

1. a partire da leggi fondamentali

2. a partire da dati sperimentali (identificazione)

Scegliendo il primo approccio riportiamo qualche cenno su circuiti elettrici, sistemi meccanici e sistemi termici.

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� Circuiti elettrici

Resistenza:

Induttanza:

D ≡ operatore derivata

Capacità:

RivR =

LDidtdiLvL ==

∫∞−

==t

C diCC

Qv ττ )(1CiDvC =⇒

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1.Introduzione


� Esempio: circuito RLC

∫∞−

++=

++=t

i

CRLi

diC

tRitLDitv

vvvv

ττ )(1)()()(

Costruzione del m.m. del circuito RLC orientato da vi (ingresso) ad i (uscita):

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1.Introduzione


Eq. differenziale lineare a coefficienti costanti:

iDviC

RDiiLD =++ 12

Rappresentabile anche come:iDvi

CRDLD =

++ 12

Costruzione del m.m. del circuito RLC orientato da vi (ingresso) ad vu (uscita):

uuui

uu

vCDvRCDvLDv

CDviCiDv

++=

=⇒=

)()(

iuuu vvRCDvvLCD =++2

( ) iu vvRCDLCD =++ 12

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1.Introduzione


� Sistemi meccanici

leggi del moto unidimensionale per �componenti� meccanici

Massa: )()()( 212 tftftxMD −=

Molla: ( ))()()( 21 txtxKtf −=

Relazione valida nell�ipotesi che la distanza fra le origini degli assi x1 e x2 sia pari alla lunghezza della molla non caricata.

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1.Introduzione


Ammortizzatore:

( )( ))()()(

)()()(

21

21

txtxBDtftvtvBtf

−=−=

Legge che descrive un fenomeno di attrito viscoso: forza proporzionale alla velocità relativa �

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1.Introduzione


� Esempio: sistema meccanico vibrante(quando il sistema è a riposo abbiamo x1 = 0 e x2 = 0 )

−−−=−−−=

222221122

2

2111112

1

)()(DxBxKxxDBxDM

xxDBxKfxDM

sistema di eq. differenziali del secondo ordine

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1.Introduzione


Problema: costruzione del m.m del sistema vibrante orientato da f (ingresso) a x2 (uscita) [oppure, a x1]:

Come eliminare la variabile x1?

+++=+=++

22222122

211

21111112

1

DxBxKDxBxDMDxBDxBfxKDxBxDM

( )( )

+++=+=++

2222122

211

211112

1

)( xKDxBBxDMxDBDxBfxKDBDM

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1.Introduzione


( )( ) ( )( )( ) ( )

+++++=+++=++

])([][

2222122

2112

111112

1

2111112

11

xKDxBBxDMKDBDMxDBKDBDMDxBfDBxKDBDMDB

Gli operatori differenziali commutano, quindi si deduce:

( ) ( )( ) DfBxDBxKDxBBxDMKDBDM

xKDxBBxDMKDBDMDxBfDB

1222

12222122

2112

1

2222122

2112

1211

])([])([][

=−+++++

+++++=+

. . . .

Si ottiene una eq. differenziale lineare del 4° ordine

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1.Introduzione


� Esempio di un sistema elettromeccanico: motore in c.c. controllato in armatura.

ia = corrente di armatura; va = tensione di armatura (ingresso); Φ = flusso magnetico; ec = forza controelettromotrice (tensione); Jm= inerzia del motore; Jc= inerzia del carico; Cm=coppia motrice.

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1.Introduzione


La coppia motrice è proporzionale al flusso e alla corrente di armatura:

Cm = KΦ ia , con flusso costante Cm = Km ia

In assenza di perdite energetiche, il bilancio di potenza all�albero motore è:

{potenza elettrica} = { potenza meccanica}

ecia= Cmω da cui ecia= Km ia ω

ωmc Ke =⇒

Eq. elettromeccanica senza carico:

+=++=

ωωω

DJBiKKRiLDiv

mmam

maaa

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1.Introduzione


Eliminando la variabile ia si otiene il m.m del motore orientato da va ad ω (senza carico):

( ) ( ) ammmmmm vKKRBDRJLBDLJ =++++ ωωω2

� Eq. Elettromeccaniche con carico

++=++=

CDJBiKKRiLDiv

mmam

maaa

ωωω

C = coppia resistente dovuta al carico; ωc = velocità angolare a valle del riduttore; Cc= coppia resistente del carico a valle del riduttore

Ipotizzando che il riduttore non dissipi potenza:

{ potenza meccanica a monte del rid. } = { potenza meccanica a valle del rid. }

ccCC ωω =

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rrcc CKCC ==⇒

ωω Kr = rapporto di riduzione

=

ωωc:

� eq. meccanica del carico a valle del riduttore:

( ) cccr

ccccr

DJBKCDJBC

ωωω

+=⇒+=

( )ωDJBKC ccr += 2

Implicazioni: il coefficiente di attrito ed il momento d�inerzia del carico possono essere riferiti all�albero motore moltiplicandoli per Kr

2. I valori così ottenuti si sommano a quelli relativi al motore �

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1.Introduzione


( ) ( )

crmmc

crmmc

crmcrmam

crcrmmam

JKJJBKBB

DJKJBKBiKDJKBKDJBiK

2

2

22

22

:

:

+=

+=

+++=

+++=

ωωωωωω

� m.m del motore orientato da va a ωc (con carico):

( ) ( ) ammmcmcmcmc vKKRBDRJLBDLJ =++++ ωωω2

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1.Introduzione


� Esempio di sistema termico: Boiler

Semplificazione: miscelazione istantanea e perfetta.

M = massa d�acqua [kg]

c = calore specifico dell�acqua [Cal/(Kg °C)]

θ = temperatura dell�acqua nel boiler [°C]

Θi = temperatura dell�acqua all�ingresso

Θa = temperatura dell�ambiente

q = flusso di calore dal riscaldatore [Cal/s]

K = coefficiente di resistenza termica globale delle pareti [Cal/(s °C)]

g = portata entrante o uscente [kg/s]

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� eq. di bilancio termico: ( ) ( )ia tctgtKqttMcD θθθθθ −−−−= )()()())(

� Orientamento del sistema: q -> variabile manipolabile;

θ -> variabile controllata; g -> variabile di disturbo.

m.m. del sistema orientato da q a θ:

( ) )()()()()( tgcKtqttcgKtMcD ia θθθθ ++=++

Interpretazione: eq. diff. lineare con coefficienti varianti (quindi, sistema lineare non stazionario)

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