CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria Gestionale · Controlli Automatici Retroazione -- 2 Obiettivo del...

CONTROLLI AUTOMATICI

Ingegneria Gestionalehttp://www.automazione.ingre.unimore.it/pages/corsi/ControlliAutomaticiGestionale.htm

Ing. Federica Grossi

Tel. 059 2056333

e-mail: [email protected]

http://www.dii.unimore.it/wiki/index.php/Federica_Grossi

CONTROLLO IN RETROAZIONE

mailto:[email protected]

Retroazione -- 2Controlli Automatici

Obiettivo del progetto del sistema di controllo:• garantire che l'errore di controllo (e) sia il più piccolo possibile e cioè • y segua il più fedelmente possibile yref

• in presenza di disturbi (d) non misurabili• in presenza di incertezze sui parametri del modello• con azioni di controllo (u) limitate

comandodi riferimento

yref

d

disturboagente sulsistema

Considerazioni generali sul controllo

• Elementi di un sistema di controllo

e = y - yref

errore di controllo

controllore attuatoreimpianto(modello)

u

ingressodi controllo

y

uscitadel sistema

ua

variabile attuata



• Requisiti di un sistema di controllo

• stabilità

e limitato t

• prestazioni statiche

valore dell'errore (modulo) a regime (esaurito il transitorio)

con segnale di riferimento e/o di disturbo standard

gradino, rampa,…

• prestazioni dinamiche

caratteristiche del transitorio

segnali di riferimento standard


t

yref

risposta al riferimento risposta al disturbo


• Requisiti di un sistema di controllo

• regione di ammissibilità della risposta al gradino


Controllo ad azione diretta

• Prestazione dinamica:

• scelta di Geq(s)

• Prestazione statica:

• .

diversi problemi realizzativi, utile come concetto

sintesi diretta

controllore attuatore impianto


Sintesi diretta

• Tuttavia il controllore opera senza possedere informazioni circa il

reale andamento dell’uscita y(t), diverso da quello ideale per effetto di

• disturbi

• errori del modello G(s)

• variazioni parametriche

idealmente:

sintesi diretta


Azione diretta e disturbi

sovrapposizione degli effetti

sintesi diretta

Effetto dei disturbi sull’uscita:

Errore sull’uscita: il controllore non agisce sul

disturbo che resta invariato


Azione diretta e variazioni parametriche

Nella sintesi si assume:

sintesi diretta

Variazione del plant per effetto della variazione di un parametro:

Errore sull’uscita


Azione diretta ed errori di modello

Errore di modello:

Nella sintesi si assume:

Errore sull’uscita

sintesi diretta


0

1

2

3

0 2 4 6 8 t

yref

10s

10

2

1s

Esempi di controllo ad azione diretta

0

1

2

3

0 2 4 6 8 t

u y

1s

2

Caso ideale

yyref

10s

10

Sistema dacontrollare

Dinamicadesiderata

sintesi diretta


0

1

2

3

0 2 4 6 8 t

0

1

2

3

0 2 4 6 8 t

u yyref

1.1s

2

10s

10

2

1s

variazione dei parametricancellazione imperfetta polo/zero

G < 1

u yyref

3.1s

2

10s

10

2

1s

variazione dei parametri

G < 1

la dinamicadello zeroprevale

Esempi di controllo ad azione diretta


Sintesi diretta

Il progetto per sintesi diretta non è sempre possibile:

• Sistemi non a fase minima

Poli e/o zeri non stabili

• Sistemi con ritardo

• Sistemi (non strettamente) propri


Controllo in retroazione

• Per limitare i problemi dei controllori in azione diretta, ricorriamo alla

retroazione

• Consente di fornire al controllore informazioni circa l’andamento

effettivo dell’uscita y(t)

• Costi maggiori per la presenza del trasduttore di misura

• Sono retroazionabili solo le variabili accessibili alla

misura

controllorew=yref impianto

(modello)

ua y

trasduttore

attuatoreu

Sistema di controllo


Schema di controllo in retroazione

-

+

• Schema equivalente in retroazione unitaria

-

+

: trasduttore di misura e di acquisizione del riferimento

: attuatore

: regolatore: impianto da controllare


Schema di controllo in retroazione

-+

fdt di anello L(s)


Funzioni di Sensitività


Retroazione e disturbi

• Se il guadagno di anello L(s) è sufficientemente elevato

• l’uscita y segue fedelmente l’ingresso yref

• il disturbo d risulta attenuato

+

-


Retroazione e variazioni parametriche

• Se il guadagno di anello L(s) è sufficientemente elevato

• Variazioni della fdt di anello vengono attenuate nella fdt

del sistema retroazionato

-

+

Variazione del plant per effetto della variazione di un parametro:


Sistemi di controllo in retroazione

• Requisiti

• Stabilità in condizioni nominali

in condizioni perturbate (stabilità robusta)

• Prestazioni statiche in condizioni nominali

per diverse tipologie di segnali di ingresso (yref, d, n)

valori a regime

dinamiche in condizioni nominali per variazioni a gradino dei segnali di ingresso (yref, d, n)

tempo di assestamento, massimo sorpasso

banda passante, picchi di risonanza

moderazione dell'azione di controllo

statiche e dinamiche in condizioni perturbate (prestazioni robuste) errori di modello, variazione dei parametri


Sistema del 1° ordine

al crescere di k: il guadagno tende ad 1 il polo (reale) si sposta a sinistra

Esempi di controllo in retroazione

• Controllo proporzionale - calcolo della fdt

+-

+-

nuovo polo


0

1

0 1 2 3 4 t

yref = 1k = 100

0

1

0 1 2 3 4 t

yref = 1k = 10

0

1

0 1 2 3 4 t

yref = 1k = 1


• Sistema del 1° ordine con controllo proporzionale

• condizioni nominali

• Risposte al gradino

+-


0

1

0 1 2 3 4 t

yref = 1k = 100

0

1

0 1 2 3 4 t

yref = 1k = 10

0

1

0 1 2 3 4 t

yref = 1k = 1


• Sistema del 1° ordine con controllo proporzionale

• variazione dei parametri

• Risposte al gradino+

-

nominale


Calcolo della fdt

al crescere di k: il guadagno tende ad 1


• Controllo proporzionale – sistema del 2° ordine

+-


k = 1

3

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

2.5

k = 100 2 4 6 8 10

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

k = 1000 2 4 6 8 10

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3


• Sistema del 2° ordine in retroazione unitaria

• condizioni nominali


+-


k = 1

3

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

2.5

k = 100 2 4 6 8 10

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

k = 1000 2 4 6 8 10

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3


• Sistema del 2° ordine in retroazione unitaria

• variazione dei parametri


+-


u 1

1s

2

2sy

d

+

+

Impianto

Sistema di controllo in retroazione

d

yref u 1

1s

2

2sy

+

+k

e

-


• Sensitività ai disturbi


valore del disturbo senza

controllo


• Sensitività ai disturbi

yref u 1

1s

2

2sy

+

+k

e

-

d

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1Step Response

0 1 2 3 4 s

yref = 0, d = 1k = 1

yref = 0, d = 1k = 10

yref = 0, d = 1k = 100

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1Step Response

0 1 2 3 4 s0

0.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1Step Response

0 1 2 3 4 s


Errore a regime e tipo di sistema

• Consideriamo il sistema in retroazione unitaria:

Errore a regime nella risposta ad un segnale X(s):

Teorema del valore finale:


Errore nella risposta al gradino

• La L-trasformata del gradino di ampiezza A vale:

L’errore rispetto al gradino è detto anche errore di posizione ep

Se L(s) è di TIPO>1 (ha 1 o più poli nell’origine) ) ep=0

Il numero (h) di poli nell’origine di L(s) determina il TIPO del sistema

Costante di posizione (o di guadagno):


Errore di posizione e tipo di sistema


0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

sistema di tipo 1

errore a regime

nullo

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

sistema di tipo 2

errore a regime

nullo

sistema di tipo 0

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

errore a regime

costante


Errore nella risposta alla rampa

• La L-trasformata della rampa di pendenza A vale:

L’errore rispetto alla rampa è detto anche errore di velocità ev

In funzione del tipo del sistema avremo:

tipo 0: ev=inf

tipo 1: ev=A/K

tipo ¸2: ev = 0

Costante di velocità:

Se L(s) è di TIPO>2 (ha 2

o più poli nell’origine) )

ev=0


Errore di velocità e tipo di sistema

• Risposte alla rampa

sistema di tipo 0

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

errore a regime

crescente

0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

sistema di tipo 1

errore a regime

costante

sistema di tipo 2

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

errore a regime

nullo


Errore di accelerazione

• Analogamente, considerando il segnale:

L’ errore di accelerazione ea risulta:

In funzione del tipo del sistema avremo:

tipo 0,1: ea=inf

tipo 2: ea=A/K

tipo ¸3: ea=0

Se L(s) è di TIPO>3 (ha 3

o più poli nell’origine) )

ea=0

Costante di accelerazione:


Caso generale

• Per segnali, in generale del tipo:

L(s) Kp Kv Ka ep ev ea

Tipo 0 0 0

Tipo 1 1 0

Tipo 2 1 1

Si ha, indicando con h il tipo del sistema:


Principio del modello interno


Retroazione non unitaria

• Nel caso in cui il sistema in

esame presenti una dinamica

H(s) non unitaria sul ramo di

retroazione:

• Ci si riconduce alla retroazione

unitaria considerando, per il

calcolo dell’errore a regime, lo

schema equivalente:


Esempio

• Determinare l’errore a regime del

sistema in retroazione con

ingresso:

• a gradino X(s) = 5/s

• a rampa X(s) = 5/s2

+-

Per i valori di k = 1, 100

Verificare con Matlab/Simulink la correttezza dei risultati


Esempio

• Determinare gli errori a regime di

posizione, velocita` ed

accelerazione (ep , ev , ea) del

sistema in retroazione


r = -6.0000 -4.0000 3.0000 p = -3.0000 -2.0000 -1.0000 k = 2

r = -6.0000 -4.0000 3.0000 p = -3.0000 -2.0000 -1.0000 k = 2


Esempio

• Determinare il valore di K per

avere errore a regime < 0.1 con

ingresso a gradino unitario.

• Il sistema in retroazione, per tale

valore di K, e` stabile?

+-


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Ing. Federica Grossi

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