Controlli Automatici A - Computer Engineering … 6. Sintesi dei Controllori Controlli Automatici A...

1

6. Sintesi dei Controllori

Controlli Automatici A – Prof. Aurelio Piazzi 24 maggio 2003

Controlli Automatici A

Corsi di laurea triennali in Ingegneria Elettronica, Informatica, Telecomunicazioni

a.a. 2001/2002Docente: Prof. Aurelio Piazzi

Email: [email protected]://www.ce.unipr.it/people/piazzi/

2



6.1 Il progetto di un sistema di controllo in retroazione

6.2 La sintesi con controllori di struttura prefissata

6.3 La rete ritardatrice

6.4 La rete anticipatrice

6.5 Sintesi in frequenza con le formule di inversione

6.6 La rete a ritardo e anticipo e la rete a T

6.7 La sintesi con l’eq. Diofantea

6.8 Conclusioni

3



6.1 Il progetto di un sistema di controllo in retroazione

F C A P

Q

H

−

r y

n

AdPd

4



I requisiti per il sistema di controllo riguardano:

1. Buona connessione;

2. Stabilità asintotica interna;

3. Prestazioni statiche e/o asintotiche;

4. Prestazioni dinamiche.Questi requisiti devono essere soddisfatti nelle condizioni nominali ma anche in condizioni perturbate.

I requisiti vengono imposti mediante le specifiche di progetto. Lo studio della compatibilità di queste è un aspetto imprescindibile del progetto.

1 2

Esempi: 3, 40 ,

0,05 ( in risposta a 1( ) ), 0,2 s , 20%

( ) [ , ]

max , minP P

A F

r A

d y d y

F A

M M

e t T S

T j T

M T

ω ω ω ω

≥ ≥ °≤ ≤ ≤

≤ ∀ ∈

5



6.2 La sintesi con controllori di struttura prefissata

Nella letteratura tecnica c’è una moltitudine di approcci e metodi per la sintesi di controllori. La natura introduttiva di questo corso suggerisce di seguire l’approccio con controllori di struttura prefissata o di ordine prefissato. I metodi di sintesi proposti sono di necessità vari (e spesso ad hoc) in quanto dipendono dalla struttura di controllore scelta e dalle specifiche assegnate.

Vantaggi: flessibilità (e semplicità).

Svantaggi: iterazioni delle procedure di sintesi.

6



• Controllori di ordine prefissato

{ } { }0

1 01 0 0 1

0

2

Controllore di ordine zero:

: : ( ) , ; := insieme delle f. razionali proprie

Controllore di ordine uno:

: : ( ) , , ,

Controllore di ordine due:

:

p p

p

p

C C s K K

b s bC C s a b b

s a

C

= ∈ = ∈

+= ∈ = ∈ +

= ∈

C R R

C R

C R 2 1 00 1 0 1 22

1 0

11 1 0

0 1 011 1 0

: ( ) , , , , ,

Controllore di ordine :

: : ( ) , , , , , ,n n

n nn p n nn n

n

b s b s bC s a a b b b

s a s a

n

b s b s b s bC C s a a b b

s a s a s a

−−

−−−

+ += ∈ + +

+ + + += ∈ = ∈ + + + + C R … …

7



• Controllori di struttura prefissata

I controllori di struttura prefissata sono definiti mediante particolari parametrizzazioni della funzione di trasferimento del controllore.

1 1

Esempi:

: : ( ) , , , Si osservi che e

: : ( ) , , , Si osservi che e

: : ( ) , [10,100], (0,10],

A p A A

B p B A B A

C p

sC C s

s

sC C s

s

sC C s

s

βγ α β γαβγ α β γαβγ α β γα

+

+

+ = ∈ = ∈ ≠ ⊂ + + = ∈ = ∈ ∈ ≠ ⊂ + + = ∈ = ∈ ∈ ∈ +

C R C C C C

C R C C C C

C R

1: : ( ) , [10,100], e

. . . eccetera

C B

D p D C D CC C ss

γ α γα

+

⇒ ⊂

= ∈ = ∈ ∈ ⇒ ≠ ∩ = ∅ +

C C

C R C C C C

8



• Fra i controllori di struttura fissa possiamo individuare due classi tradizionali:

1. Le reti correttrici;

2. I regolatori standard.

Le reti correttrici sono i più semplici controllori utilizzati nel progetto dei sistemi di controllo. Nell’approccio tradizionale questi vengono progettati per “correggere” il comportamento dinamico dell’anello di retroazione.

I regolatori standard caratterizzati dalla combinazione delle azioni proporzionale, derivativa e integrale vengono implementati su dispositivi (standard) adattabili a classe estese di applicazioni e per i quali è possibile il tuning diretto dei parametri di progetto anche in condizioni operative. Rivestono una grande importanza nell’automazione industriale consvariatissime applicazioni da quelle meccatroniche al controllo di processo.

9



• Le principali reti correttrici

Rete integratrice:

1 ( ) , >0

1Rete derivatrice:

( ) , >01

Rete ritardatrice:

1 ( ) , >0, (0,1)

1Rete anticipatrice:

1 ( ) , >0, (0,1)

1

r

r

r

r

C ss

sC s

s

sC s

s

sC s

s

ττ

τ ττ

ατ τ ατ

τ τ αατ

=+

=+

+= ∈+

+= ∈+

10



2

2

2

2

2

2

2

2

Rete a ritardo e anticipo:

1 2

( ) , 0, > >11 2

Rete a T ponticellato:

1 2

( ) , 0, >1, >01 2

generalmente (0,1)

n nr n

n n

n nr n

n n

s s

C ss s

s s

C ss s

δω ω ω δ δ

δω ω

δω ω ω δ δ

δω ωδ

′+ +′= >

+ +

′+ +′= >

+ +

′ ∈

11



• Struttura del controllore con rete correttrice:

( ) ( ), c r cC s K C s K= ∈

( )rC scKe u

12



• I regolatori standard

Regolatore proporzionale (P):

( )

Regolatore integrale (I):

( )

Regolatore proporzionale-integrale (PI):

1 ( ) 1

1

p

p

i

pi

ip

i

R s K

KR s

T s

R s KT s

T sK

T s

=

=

= + =

+= ⋅

13



( )Regolatore proporzionale-derivativo (PD):

( ) 1

in realtà

( ) 1 dove 1

1 1 ( )

1 1 è sostanzialmente una rete anticipatrice ...

p d

dp d

d dp p

R s K T s

T sR s K T

s

s T s T sR s K K

s s

ττ

ττ τ

= +

= + << + + + += ⋅ ≅ ⋅

+ +

14



( ) ( )( )2

2

Regolatore proporzionale-integrale-derivativo (PID):

1 ( ) 1

in realtà

1 ( ) 1 dove ,

1

1 ( )

1

1

p di

dp d i

i

d i ip

i

d i ip

i

R s K T sT s

T sR s K T T

s T s

T T s T sR s K

T s s

T T s T sK

T

ττ

τ ττ

= + +

= + + << +

+ + + += ⋅

+

+ +≅ ⋅

( )

1

Possiamo assegnare arbitrariamente

zeri e costante di trasferimento di ( )

s s

R s

τ+

15



6.3 La rete ritardatrice1 1

( ) ; ( ) 1 1r r

s jC s C j

s j

ατ ατ ωωτ τ ω

+ += =+ +

1

ατ− 1

τ−

1α1

2

α+

mϕ1

2

α−

(log)ω

(log)ω

mϕ

1

τ1

ατ

1

α τ⋅

1arcsin

11

arg ( ) dove :

m

m r m mC j

αϕα

ϕ ω ωα τ

−= −+

= =⋅

16



• Azione compensatrice della rete ritardatrice

( )C s ( )P s−

Sia P(s) asint. stabile e a fase minima.

1° fase: Scegliamo un controllore proporzionale C(s) = Kc ∈ R+

Progettiamo Kc ∈ R+ al fine di assicurare una specifica di precisione. Sia C(s) = Kc

* ed il guadagno di anello abbia il diagramma polare di figura: il sistema retroazionato risulta instabile.

1−

* ( )cK P jω

17



2° fase: Scegliamo * * 1( ) ( )

1c r c

sC s K C s K

s

αττ

+= =+

Progettiamo α e τ per assicurare la stabilità asintotica con un buon margine di ampiezza e/o di fase.

1−

* ( )cK P jω

* 1( )

1c

jK P j

j

ατ ω ωτ ω

++

Metodi di progetto della rete rit.:

1. grafici (obsoleti);

2. per tentativi o metodi ad hoc;

3. con le formule di inversione.

Vantaggi: il guadagno di anello si mantiene elevato alle basse frequenze (buone prestazioni statiche).

Svantaggi: riduzione della banda passante del g.d.a. ⇒ riduzione della banda passante di Try(jω) (scarse prestazioni dinamiche).

18



6.4 La rete anticipatrice1 1

( ) ; ( ) 1 1r r

s jC s C j

s j

τ τ ωωατ ατ ω

+ += =+ +

1

ατ− 1

τ−

11 α

1

2

α+

mϕ

1

2

α− (log)ω

(log)ωmϕ

1

τ1

ατ1

α τ⋅

1arcsin

11

arg ( ) dove :

m

m r m mC j

αϕα

ϕ ω ωα τ

−=+

= =⋅

19



• Azione compensatrice della rete anticipatrice

Esempio: spostamento di un carrello su rotaia.

e

Mf

0Ry

y

1° strategia: applicazione di una forza proporzionale all’errore di posizione e = yR − y : f = Kc e .

Esito: in assenza di attriti il carrello oscilla indefinitamente.

Perché?

20



( )C s ( )P s−

Ry ye f

2 2

2

1 12

( )

Determinazione di ( ) :

1 ( )

Eq. caratteristica:

11 0

1quindi 1 0 con :

c

c

c

C s K

P s

dyM f P s

dt Ms

KMs

KK K

s M

=

= ⇒ =

+ ⋅ =

+ = =

21



Come modificare la strategia di controllo per stabilizzare il carrello sulla posizione desiderata yR ?

2° strategia: Si modifica la strategia precedente sommando un termine proporzionale alla derivata dell’errore:

c c

def K e K

dt′= +

Lo scopo è quello di anticipare il cambio di segno della forza f prima che l’errore e sia azzerato … ottenendo un effetto di smorzamento …

22



( )

Analisi della nuova strategia:

; :

passando alle trasformate

( ) 1 ( )

meglio ( ) 1 ( ) con (0,1)1

1( ) ( )

11

( ) ( )1

cc

c

c

c

c

c

Kdef K e

dt K

F s K s E s

sF s K E s

s

s sF s K E s

ss

F s K E ss

τ τ

ττ αατ

ατ τατ

τατ

′ = + =

= +

= + ∈ + + +=

++≅

+ se 1

1 C(s)= ( ), ( )

1 ( ) è la rete anticipatrice

c r r

r

sK C s C s

sC s

α

τατ

<<

+⇒ =

+

23



Vantaggi della rete anticipatrice:

1. Mantenimento delle prestazioni statiche (come la rete ritardatrice).

2. Stabilizzazione con allargamento della banda passante del guadagno di anello e quindi allargamento della banda p. di Try(jω): aumento del grado di stabilità GS , diminuzione del tempo di assestamento Ta , migliori capacitàdi inseguimento di segnale.

Svantaggi della rete anticipatrice: possibile introduzione di rumore (il parametro α non può essere scelto troppo piccolo …)

Metodi di progetto della rete rit.:

1. grafici (obsoleti);

2. per tentativi o metodi ad hoc;

3. con le formule di inversione.

4. con cancellazione polo-zero.

24



• Sintesi della rete anticipatrice per cancellazione polo-zero

Si sceglie quale zero della rete il polo reale negativo di P(s) più vicino all’asse immaginario determinando così nella funzione di trasferimento di catena diretta una cancellazione polo-zero (ammissibile).

( ) ( )

( ) ( )

1 2 2 11 2

11 2

Esempio:

1( ) , , con

1 1 1( ) si impone ( ) ( )

1 1r r

P s p p p ps p s p

sC s p C s P s

s p s s p

τ ττατ τ ατ

−= ∈ <− −+= − = ⇒ = − ⇒ =

+ + −

1

ατ− 2p 1p

25



6.5 Sintesi in frequenza con le formule di inversione

La sintesi in frequenza delle reti ritardatrice e anticipatrice con imposizione di margini di stabilità prestabiliti può essere svolta utilizzando le funzioni inverse delle stesse reti.

( ) ( )2

Interpretiamo la risposta armonica della rete anticipatrice

1

1

quale funzione

: con : 0,1 0,

j

j

f

τωατω

++

→ = × +∞D D

( ) ( )2

2

, ,

1 ( )1dove : , arctan( ) arctan( )

1 1 ( )

j

M

jMe M

jϕ

α τω ϕ

τωτω ϕ τω ατωατω ατω

→

++= ⇒ = = −+ +

26



( )1 Determinazione di e f f−• D

( ) ( )

( )

( ) ( )( )( )

Anzitutto si osservi che 1, 0, , :2

1cos sin

1

cos sin 1 1

cos sin sin cos 1

cos 1cos sin 1

sin

sin cos sin

f x

jxM j

j x

M j j x jx

M x j x jx

MM M x x

M

M M x x x M M

π τω

ϕ ϕα

ϕ ϕ α

ϕ α ϕ ϕ α ϕ

ϕϕ α ϕ αϕ

ϕ α ϕ ϕ

⊂ +∞ × =

++ =+

+ + = +

− + + = +

−− = ⇒ =

+ = ⇒ = +

D

cos 1M

M

ϕ −cos

sinϕ

ϕ

( )

cos

sin

cos 1

cos

M

M

M M

ϕτωϕϕα

ϕ

− = − =

−

Formule di inversione

27



( ) ( ) ( )

( )

( )

2

2

cos cos 1Definito : , : 1, 0, , 0, 0,1

2 sin cos

si verifichi che ;

quindi si provi che

1 , : 1, 0, arccos

M MM M

M M

f

M MM

π ϕ ϕϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

− − = ∈ > ∈ > ∈ − =

= ∈ > > <

C

D C

C

M

2

π

1

ϕ 1arccos

M

C

28



• Sintesi della rete anticipatrice con imposizione del margine di fase MF .

1+ s( ) g.d.a. non compensato, ( ) g.d.a. compensato

1+ sL s L s

τατ

( )L jω

FM

1−0ϕ

0ω

0ω

1( )

1

jL j

j

τω ωατω

++

29



Metodo di sintesi della rete anticipatrice:

( )

0 0 0

0 0 00

00

0

1) Scegliere affinché con : arg ( )

1 valga , cioè cos ( )

( )

12) Definiti : e :

( )

cos cos 1 segue e

sin cos

FM L j

L jL j

ML j

M M

M M

ω ϕ ω π

ϕ ϕ ωω

ϕ ϕω

ϕ ϕτ αω ϕ ϕ

= − −

∈ >

= =

− −= =−

C

( ) ( )0 00 0

0

0

arg ( )arg ( )00 0

0 0

0

Infatti: le formule di inversione garantiscono che

1 quindi

1

1 1( ) ( )

1 ( )

è divenuta la pulsazione critica del g.d.a. co

F

j

j L j j Mj j L j

jMe

j

jL j e L j e e e

j L j

ϕ

ϕ ω πϕ ω

τωατωτω ω ω

ατω ωω

+ −

+ =++ = ⋅ = =

+mpensato corrispondente ad un margine

di fase pari a .FM

30



Massimizzare il margine di fase nella sintesi della rete anticipatrice:

Fissata una pulsazione ω0 , l’estremo superiore dell’insieme degli anticipi φ0

ammissibili è dato da arccos|L(j ω0)| (questa valore di φ0 corrisponde ad α = 0, ovvero ad una rete proporzionale-derivativa). Con questo valore il margine di fase corrispondente nel g.d.a. compensato è

0 0 0( ) arg ( ) arccos ( )FM L j L jω π ω ω= + +

Conseguentemente l’estremo superiore dei margini di fase ottenibili con una rete anticipatrice è

{ }0

0 0max arg ( ) arccos ( )C

L j L jω ω

π ω ω>

+ +

con ωC pulsazione critica di L(jω).

31



( )L jω

• Sintesi della rete ritardatrice con imposizione del margine di fase MF .

FM

0ϕ

0ω

0ω

1−

1( )

1

jL j

j

ατω ωτω

++

32



Metodo di sintesi della rete ritardatrice:

( )

( )

0 0 0

0 0 00

0 0

0


1 valga ( ) , cioè cos

( )

2) Definiti : ( ) e :

cos cos 1 segue e

sin cos

FL j M

L jL j

M L j

M M

M M

ω ϕ ω π

ω ϕ ϕω

ω ϕ ϕϕ ϕτ α

ω ϕ ϕ

= + −

∈ >

= =− −= =

−

C

( ) ( )0 00 0

0

0

arg ( )arg ( )00 0

0 0

0


1 quindi

1

1 1( ) ( )

1 ( )

è divenuta la pulsazione critica del g.d.a. c

F

j

j L j j Mj j L j

jMe

j

jL j e L j e e e

j L j

ϕ

ω ϕ πϕ ω

τωατωατω ω ωτω ω

ω

− −−

+ =++ = ⋅ = =+

ompensato corrispondente ad un margine

di fase pari a .FM

33



L’uso delle formule di inversione permette in generale di spostare nel piano complesso, per una data frequenza, un punto del diagramma di Nyquist in uno limitrofo del diagramma di Nyquist compensato. Lo scopo, al di là dell’imposizione di margini di stabilità, è quello di migliorarela risposta armonica del guadagno di anello in accordo a specifiche di progetto.

34



• Sintesi della rete anticipatrice con imposizione del margine di ampiezza MA .

1

AM

( )L jω

1−

0ϕ

0ω

0ω

1( )

1

jL j

j

τω ωατω

++

35



Procedura di sintesi (rete anticipatrice):

( )

0 0 0

0 0 00

00

0


1 valga , cioè cos ( )

( )

12) Definiti : e :

( )

cos cos 1 segue e

sin cos

AA

A

L j

M L jM L j

MM L j

M M

M M

ω ϕ ω π

ϕ ϕ ωω

ϕ ϕω

ϕ ϕτ αω ϕ ϕ

= − −

∈ >

= =

− −= =−

C

( )0 00 0

0

0

arg ( )arg ( )00 0

0 0

0


1 quindi

1

1 1 1 1 1( ) ( )

1 ( )

è divenuta la pulsazione di fase

j

j L jj j L j j

A A A A

jMe

j

jL j e L j e e e

j M L j M M M

ϕ

ϕ ωϕ ω π

τωατωτω ω ω

ατω ωω π

+ −

+ =++ = ⋅ = = = −

+del g.d.a. compensato corrispondente ad un margine

di ampiezza pari a .AM

36



• Sintesi della rete ritardatrice con imposizione del margine di ampiezza MA .

1

AM

( )L jω

1−

0ϕ

0ω

0ω 1( )

1

jL j

j

ατω ωτω

++

37



Procedura di sintesi (rete ritardatrice):

( )

( )

0 0 0

0 0 00

0 0

0


1 valga ( ) , cioè cos

( )

2) Definiti : ( ) e :

cos cos 1 segue e

sin cos

AA

A

L j

M L jM L j

M M L j

M M

M M

ω ϕ ω π

ω ϕ ϕω

ω ϕ ϕϕ ϕτ α

ω ϕ ϕ

= +

∈ >

= =− −= =

−

C

( )0 00 0

0

0

arg ( )arg ( )00 0

0 0

0


1 quindi

1

1 1 1 1 1( ) ( )

1 ( )

è divenuta la pulsazione di fase

j

j L jj j L j j

A A A A

jMe

j

jL j e L j e e e

j M L j M M M

ϕ

ω ϕϕ ω π

τωατωατω ω ωτω ω

ω π

−− −

+ =++ = ⋅ = = = −+

del g.d.a. compensato corrispondente ad un margine

di ampiezza pari a .AM

38



6.6 La rete a ritardo e anticipo e la rete a T22

22

2 2

2 2

1 21 2

( ) ; ( ) 1 2 1 2

Rete a ritardo e anticipo: 0, 1

Rete a T: 0, 1, 0

per entrambe le reti: ( ) 1

n nn nr r

n n n n

n

n

r n

js s

C s C js s j

C j

ω ωδδω ωω ω ωω ωδ δω ω ω ω

ω δ δ

ω δ δ δ

δωδ

′− +′+ + = = + + − +

′> > ≥

′> > > >

′= < (attenuazione di centro banda)

39



(log)ω

(log)ω

Diagrammi di Bode e di Nyquist

nω

δδ′

( ) (log)rC jω

arg ( )rC jω1δ

δ′

nω

Im ( )rC jω

Re ( )rC jω

40



( )L jω

• Progetto delle reti con imposizione del margine di fase MF .

FM 0ω0ω

1−

( ) ( )rC j L jω ω

( ) g.d.a. non compensato, ( ) ( ) g.d.a. compensato rL s C s L s

41



Procedura di sintesi: (rete a ritardo e anticipo e rete a T)

0

0

n 00

1) Determinare soluzione dell'eq.:

arg ( )

2) Imporre

1 ,

( )

FL j M

L j

ωω π

δω ωδ ω

= − +

′= =

( )0arg ( )0 0 0 0

0

0 n

Infatti:

1( ) ( ) ( ) ( )

( )

(= ) è divenuta la pulsazione critica del g.d.a. compensato corrispondente

ad un margine di fase pari a .

Fj Mj L jr

F

C j L j L j L j e eL j

M

πωδω ω ω ωδ ω

ω ω

− +′= ⋅ = ⋅ =

Rimane fra i parametri di progetto un grado di libertà che può essere utilizzato per soddisfare o concorrere a soddisfare un’altra specifica di progetto.

42



• Progetto delle reti con imposizione del margine di ampiezza MA .

1

AM

pωpω

( )L jω

1−

( ) ( )rC j L jω ω

( ) g.d.a. non compensato, ( ) ( ) g.d.a. compensato rL s C s L s

43



Procedura di sintesi: (rete a ritardo e anticipo e rete a T)

n

1) Determinare :

arg ( )

2) Imporre

1 ,

( )

p

p

p

p A

L j

L j M

ωω π

δω ωδ ω

= −

′= =

arg ( )

Infatti:

1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

( )

è pulsazione di fase anche nel g.d.a. compensato.

pj L j jr p p p p

A Ap A

p

C j L j L j L j e eM ML j M

ω πδω ω ω ωδ ω

ω π

−′= ⋅ = ⋅ = = −

Rimane fra i parametri di progetto ancora un grado di libertà…

44



• Parametrizzazione alternativa per la rete a ritardo e anticipo

( ) ( )( ) ( )

1 21 2 12

1 2 12

1 1( ) , , ,

1 1r

s sC s

s s s

τ ττ τ τ

τ τ τ +

+ += ∈

+ + +

È la scrittura tradizionale corrispondente alla rete elettrica…

Relazioni con la parametrizzazione precedente:

1 2 1 2 12

1 2 1 2 1 2

1 1

2 2n

τ τ τ τ τω δ δ δτ τ τ τ τ τ

+ + +′ ′= = ≥ = >

L’attenuazione di centro banda è esprimibile come: 1 2

1 2 12

( )r nC jτ τω

τ τ τ+=

+ +

Usualmente nel progetto della rete a ritardo e anticipo si impone il rapporto τ1/ τ2 (per esempio = 10).

45



6.7 La sintesi con l’equazione diofantea

• È un metodo che permette l’allocazione arbitraria deipoli retroazionati.

•Utilizza una particolare soluzione dell’equazione di Diòfanto o equazione diofantea.

•L’eq. diofantea è riconducibile alla risoluzione di un sistema di equazioni algebriche lineari.

•Questo metodo può essere variamente utilizzato ed adattato anche per il conseguimento di prestazioniasintotiche.

46



( )C s ( )P s−

Sia assegnata P(s) f.d.t. razionale strettamente propria: 1

1 1 01

1 1 0

( )( ) : :

( )

nn

n nn

b s b s b s bP s

a s s a s a s a

−−

−−

+ + += =+ + + +

Assumiamo a(s) e b(s) coprimi fra loro.

Problema: Progettare un controllore proprio C(s) affinché i poli retroazionati del sistema di controllo siano assegnabili arbitrariamente.

47



{ }1 2

( )Sia ( ) un controllore di ordine .

( )

Assegnare arbitrariamente i poli retroazionati significa scegliere

un insieme simmetrico , , , per il quale le radici

dell'eq. caratteristicn l

y sC s l

x s

λ λ λ +

=

Λ = ⊂…a 1 ( ) ( ) 0 coincidano con .C s P s+ = Λ

( ) ( )1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0

( ) ( )

y s b sa s x s b s y s

x s a s+ ⋅ = ⇔ + =

( )1

( ) ( ) ( ) ( ) polinomio carat. del sistema retroazionato

( ) : polinomio carat. desiderato per il sistema retroa.

Quindi:

n l

ii

a s x s b s y s

d s s λ+

=

+ ≡

= − ≡∏

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) equazione diofanteaa s x s b s y s d s+ =

48



Definizione: Dati i polinomi a(s), b(s) e d(s), soluzione dell’eq. diofantea sono i polinomi x(s) e y(s) soddisfacenti

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a s x s b s y s d s+ =

Teorema: L’equazione diofantea ammette soluzione se e solo se il massimo comun divisore di a(s) e b(s) è divisore di d(s).

Proprietà (Parametrizzazione delle soluzioni dell’eq. diofantea)

Sia m(s) il M.C.D. di a(s) e b(s) per il quale valgono le fattorizzazionia(s) = m(s) a’(s) e b(s) = m(s) b’(s) . Se l’eq. diofantea ammette una soluzione {x0(s), y0(s)} allora l’insieme di tutte le soluzioni è dato da

0

0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

x s x s b s p s

y s y s a s p s

′= + ′= −

dove p(s) è un polinomio arbitrario.

49



Proprietà: Assumiamo a(s) e b(s) coprimi fra loro. Allora indicato con {x(s), y(s)} una soluzione dell’eq. diofantea valgono le seguenti equivalenze:

{ } { }{ } { }

( ) e ( ) coprimi ( ) e ( ) coprimi

( ) e ( ) coprimi ( ) e ( ) coprimi

a s d s a s y s

b s d s b s x s

⇔

⇔

Conseguenze:

Se d(s), polinomio caratteristico desiderato, è coprimo sia con a(s) che con b(s) (è la situazione usuale nell’ambito delle sintesi dei controllori) segue che una soluzione dell’eq. diofantea non determina cancellazioni polo-zero fra C(s) e P(s).

( ) ( )Infatti: ( ) ( )

( ) ( )

y s b sC s P s

x s a s= ⋅

50



Considerata l’assunzione fatta ( a(s) e b(s) coprimi fra loro ) per ogni scelta di d(s) esistono soluzioni dell’eq. diofantea. Non tutte però sono accettabili in quanto è necessario garantire:

deg ( ) deg ( )y s x s≤

Ricerchiamo quindi una soluzione che incorpori implicitamente questa condizione:

11 1 0

11 1 0

( ): , 0,1, , ; 0,1, , 1;

( )

l ll l

i il ll

y s y s y s yy sy i l x i l

x s s x s x s x

−−

−−

+ + + += ∈ = ∈ = −+ + + +

… …

(É una scelta corrispondente ad un controllore proprio di ordine )l

Sia inoltre:

11 1 0( ) , 0,1, , 1n l n l

n l id s s d s d s d d i n l+ + −+ −= + + + + ∈ = + −…

51



( )( ) ( )( )1 1 1 2 11 1 1 2 1

11

Interpretiamo l'eq. diofantea

con il principio di identità dei polinomi.

n n l l n n l ln l n n l l

n l n ln l

s a s s x s b s b s y s y s

s d s

− − − − −− − − − −

+ + −+ −

+ + + + + + + + + =

= + +

Otteniamo quindi equazioni lineari nelle 2 1 incognite reali (le ed ).i in l l x y+ +

E' ragionevole imporre che

n. di equazioni lineari = n. di incognite

ovvero

2 1 1n l l l n+ = + ⇒ = −

52



( )( )( ) ( )

( )

1 1 21 1 0 2 1 0

1 2 1 21 2 1 0 1 2 1 0

2 1 2 12 1 1 0

2 1 2 22 1 1 1 1 2 3 2 1

n n n nn n

n n n nn n n n

n nn

n nn n n n n n n n n n

s a s a s a s x s x s x

b s b s b s b y s y s y s y

s d s d s d

s x b y a s a x x b y b

− − −− −

− − − −− − − −

− −−

− −− − − − − − − − − −

+ + + + + + + + +

+ + + + + + + + =

= + + + +

+ + + + + + +( )( )

( ) ( )

2 31 2 2

2 42 2 1 3 4 3 1 2 2 1 3 3

0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0

2 1 2 22 2 1 0

nn n

nn n n n n n n n n n n n

n nn

y a s

a x a x x b y b y b y a s

a x a x b y b y s a x b y

s d s d s d

−− −

−− − − − − − − − − − − −

− −−

+ +

+ + + + + + + +

+ + + + + + =

= + + + +

53



2 1 1 2 2 1

1 2 3 2 1 1 2 2 3 2

2 2 1 3 4 3 1 2 2 1 3 2 4 3

0 1 1 0 0 1 1 0 1

0 0 0 0 0

n n n n n

n n n n n n n n n

n n n n n n n n n n n n n

x b y d a

a x x b y b y d a

a x a x x b y b y b y d a

a x a x b y b y d

a x b y d

− − − − −

− − − − − − − − −

− − − − − − − − − − − − −

+ = − + + + = −

+ + + + + = − + + + =

+ =

0 1 2 0 1 1

Trascriviamo in forma matriciale il sistema di 2 1 equazioni lineari nelle

2 1 incognite ( 1 incognite , , , ; incognite , , , ).n n

n

n n x x x n y y y− −

−− − … …

54



1

1 2 1

2 1 3 2 1

2 2 1 1 3 2 1

1 2 2 1 0 1 3 2 1

0 1 2 2 0 1 3 2

0 1 2 0 1 3

0 1 2 0

1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0

1 0

1 0

0

0 0 0

0

n

n n n

n n n n n

n n n n n

n n n n n

n n n

n

b

a b b

a a b b b

a a a b b b b

a a a a b b b b b

a a a a b b b b

a a a b b b

a a a b b

−

− − −

− − − − −

− − − − −

− − − − −

− − −

−

2 2 2 1

3 2 3 2

4 2 4 3

0 1

1 1 0

2 2

3 3

1

0 1 0 1 1

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

n n n

n n n

n n n

n

n n

n n

n n

x d a

x d a

x d a

x d a

y d a

y d

y d

a a b b y

a b y

− − −

− − −

− − −

− −

− −

− −

− −

− − = −

1

0

d

d

55



• Il problema di assegnabilità arbitraria è risolvibile con un controllore proprio C(s) di ordine n − 1 se e solo se la matrice dei coefficienti del sistema di equazioni è non singolare.

Tale matrice è non singolare?

• Digressione: Risultanti e coprimalità

( )

11 1 0

11 1 0

Dati i polinomi

( ) : , 0

( ) : , , ( ) non identicamente nullo

costruiamo la matrice di Sylvester ( ), ( ) di ordine ( ) ( )

in accordo al

n nn n n

m mm m

a s a s a s a s a a

b s b s b s b s b m n b s

a s b s m n m n

−−

−−

= + + + + ≠

= + + + + ≤+ × +S

la seguente definizione:

56



( )

1 1 0

1 1 0

1 1 0

1 0

1 0

1 0

1 0

0 0

0

0

0 0

, : 0 0

0

0 0

0 0

n n

n n

n n

m m

m m

m m

m m

a a a a

a a a a

a a a a

a b b b b

b b b

b b b

b b b

−

−

−

−

−

−

−

=

S

}}

righem

righen

Def. (Risultante di a(s) e b(s) )

( ) ( ), : det ,R a b a b= S

57



Proprietà

I polinomi a(s) e b(s) sono coprimi fra loro se e solo se il loro risultante è diverso da zero, ovvero R(a,b) ≠ 0.

• Costruzione della matrice di Sylvester relativa ai polinomi a(s) e b(s) di P(s) (f.d.t. del sistema controllato):

( )( )

11 1 0

1 21 2 1 0

( ) : , 1

( ) : , 1

n nn n

n nn n

a s s a s a s a a

b s b s b s b s b m n

−−

− −− −

= + + + + =

= + + + + = −

Tale matrice, avendo assunto a(s) e b(s) coprimi, è quindi non singolare.

58



1 1 0

1 1 0

1 1 0

1 2 0

1 2 0

1 2 0

1 2 0

1 0 0

0 1

0

0 0 1

0 0

0

0 0

0 0

n

n

n

n n

n n

n n

n n

a a a

a a a

a a a

b b b

b b b

b b b

b b b

−

−

−

− −

− −

− −

− −

=

S

1

1 1 2

1 2

1 1 1 0

0 1 2 0

0

1

0 0

1 0 0 0 0

1

0

1 0

0

0 0

0 0 0 0

n

n n n

n n

Tn n

n

b

a b b

a b

a a b b

a a b b

a

a

a b

−

− − −

− −

− −

−

=

S

1 colonnen − colonnen

{ }0 1 2 0 1 1

det det

La matrice coincide a meno di una permutazione di colonne con

la matrice dei coefficienti del sistema di equazioni nelle incognite

, , , ; , , ,

T

T

n nx x x y y y− −

= ≠S S 0

S

… …

59



•Abbiamo dunque dato dimostrazione costruttiva al seguente enunciato.

Teorema (assegnabilità dei poli)

Assunto a(s) e b(s) coprimi fra loro, i poli del sistema in retroazione unitaria sono assegnabili arbitrariamente con un controllore proprio di ordine n − 1 .

• Il metodo di sintesi con l’eq. diofantea può essere adattato per incorporare specifiche di regolazione asintotica (principio del modello interno).

• Questo metodo può essere interpretato come una delle tecniche del progetto con il polinomio caratteristico (principio di identità dei polinomi).

• Questo risultato pur nella sua importanza e generalità non è una panacea per la sintesi di controllori in quanto non tutte le specifiche sono riconducibili ad imposizioni sui poli retroazionati o a prestazioni asintotiche.

60



6.8 Conclusioni

Elenchiamo alcune delle tecniche utili nella sintesi di un controllore a struttura prefissata C(s;p) dove p = [p1 p2 … pk]T

indica il vettore dei parametri di progetto.

1 1, tipicamente [ , ] [ , ]kk kp p p p− + − +∈ ⊆ = ×p P P

• Criterio di Routh o metodi con uso della tabella di Routh(imposizione di un prefissato grado di stabilità GS , imposizione del margine di ampiezza MA, ecc. )

• Diagrammi di Nyquist (controllo di sistemi con ritardi finiti, specifica sul margine di fase MF , ecc. )

61



• Diagrammi di Bode (specifiche frequenziali su Try(jω) o Tdy(jω) , ecc. )

• Formule di inversione (sintesi delle reti anticipatrice e ritardatrice)

• Cancellazione polo-zero (anche utile per ridurre il numero k dei parametri di progetto)

• Equazione diofantea (assegnazione dei poli retroazionati)

• Polinomio caratteristico con principio di identità dei polinomi (imposizione dei poli dominanti, ecc. )

• Metodo del luogo delle radici (sintesi con grado di stabilità GS

massimo, specifiche sui poli dominanti, ecc. ). Quale metodo qualitativo è utile nell’individuare la struttura del controllore.

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