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Controlli Automatici LB Parte 3 – Problemi di controllo più complessi

Schemi di controllo avanzati Controllo in anello aperto

Controllo con Predittore di Smith Controllo in cascata

Prof. Carlo Rossi DEIS-Università di Bologna

Tel. 051 2093020 Email: [email protected]

URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi

Prof. Carlo Rossi – Controlli Automatici LB Schemi di controllo avanzati 2

Indice   1. Introduzione   2. Controllo in anello aperto   3. Controllo in cascata   4. Controllo con Predittore di Smith   5. Riferimenti bibliografici


Introduzione Motivazioni per l'uso di schemi di controllo avanzati   uno schema di controllo in retroazione (anello chiuso)

  può lasciare irrisolti alcuni problemi   può essere di difficile realizzazione in diverse situazioni

  individuate nel capitolo precedente   lo schema di controllo in retroazione può essere

"arricchito" per la risoluzione di problemi specifici con   regolatore in anello aperto (ad azione diretta)

  per migliorare le prestazioni complessive   predittore di Smith

  per sistemi con ritardo   architettura di controllo in cascata

  in congiunzione con le precedenti soluzioni   per problemi cmplessi e con disturbi che non entrano sull'uscita

Rfb(s) G(s) e yspf u y


Introduzione Situazioni problematiche dovute a

  dinamiche parassite in bassa frequenza (code) dovute a   poli di G o R attirati dagli zeri in bassa frequenza di R (o G)   azioni per compensare un disturbo non sull'uscita

  vincoli incoerenti sulle specifiche dinamiche   ωc scelta > ωc di specifica (per il set-point) a causa di

  Tad al disturbo < Tas-p al set-point   poli complessi coniugati poco smorzati nell'impianto   ωdmax (del disturbo) troppo vicina ad ωc di specifica

  ωc scelta < ωc di specifica (per il set-point) a causa di   ritardo nel sistema, o dinamiche in alta frequenza incerte

  vincoli tecnologici derivanti da   saturazione del sistema di attuazione

si integra il Controllo in retroazione con un Controllo in anello aperto


Introduzione Situazioni problematiche dovute a

  disturbi che non agiscono sull'uscita   applicati all'interno della dinamica dell'impianto

  in presenza di impianto   di ordine elevato   con ritardo

si utilizza lo schema di Controllo in Cascata   anche "arricchito" con il controllo in catena aperta

Situazioni problematiche dovute a   specifiche dinamiche spinte in presenza di

  impianto con ritardo

si integra il Controllo in retroazione con un Predittore di Smith


Schemi di controllo in retroazione integrato con un regolatore in anello aperto (azione in avanti)

  Precompensazione del segnale di riferimento

  Compensazione in avanti del segnale di riferimento

  Compensazione in avanti di un disturbo misurabile


Controllo in anello aperto

C(s) ysp

Rff(s)


M(s)

H(s)

d



Controllo in anello aperto Precompensazione del segnale di riferimento

  gli zeri ed i poli del precompensatore si aggiungono a quelli del sistema in retroazione

  mappa poli/zeri di F(s)

poli del sistema in retroazione

ysp + -

yspf y u

zeri del sistema in retroazione

Re

Im parassiti

(par) fuori banda

(fbanda) dominanti

(dom) in cancellazione

(canc)



  poli e zeri fuori banda si possono trascurare   attenzione a poli c.c. poco smorzati

  poli e zeri parassiti sono sempre a coppie   i poli sono attirati dagli zeri

  le coppie polo/zero parassite, talora inevitabili, alterano la risposta rispetto a quella della sola dinamica dominante   code di assestamento

ysp + -

yspf y u



  1a situazione problematica   presenza di dinamiche parassite in bassa frequenza

  coppie polo/zero a frequenza inferiore ad ωc   code di assestamento

  utilizzo del Precompensatore per   eliminazione delle code di assestamento

  la soluzione è discretamente robusta   la posizione delle zero è nota con precisione (regolatore)   la posizione del polo parassita è abbastanza costante al variare

dei parametri dell'impianto


Precompensazione del segnale di riferimento   1a situazione problematica - esempio

  supponiamo che il progetto del controllo in retroazione abbia portato alla seguente funzione d'anello


-40

-20

0

20

10 -2 10 -1 10 0 10 1 -180 -135

-90 -45

0

L

-4 -3 -2 -1 0 -2

-1

0

1

2

4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5

0.985

0.94 0.87 0.78 0.66 0.52 0.36 0.18

0.985

0.94 0.87 0.78 0.66 0.52 0.36 0.18

dinamica dominante

c.l.

δ = .8

ωn = 2.8

dinamica parassita

τp = 1.7

τz = 1.4



  1a situazione problematica – esempio continua

  nella F(s) ci sono dinamiche parassite in bassa frequenza   a causa dello zero non in cancellazione

  nella risposta al gradino c'è una coda con undershoot

-40

-20

0

20

10 -2 10 -1 10 0 10 1 -180 -135

-90 -45

0

L

0 1 2 3 4 5 6 s 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

in retroazione c.l.

solo dinamica dominante


Precompensazione del segnale di riferimento   1a situazione problematica - esempio continua

  la corrispondente Funzione di Sensitività Complementare è

  nella F(s), oltre alla dinamica dominante del 2° ordine c'è una coppia polo/zero parassita in bassa frequenza

  possiamo introdurre un Precompensatore per cancellare la dinamica parassita


F(0) = .9

parassita

dominante

guadagno statico = 1

guadagno statico = .9



  1a situazione problematica – esempio continua   precompensatore in cancellazione della coppia polo/zero parassita

0 1 2 3 4 5 6 s 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

in retroazione

con precompensatore

-40

-20

0

20

10 -2 10 -1 10 0 10 1 -180 -135

-90 -45

0

c.l. C

solo dinamica dominante



  1a situazione problematica – esempio continua   verifica di robustezza alla variazione del guadagno

  |L(0)| = 10   dominanti ⇒ δ = .78; ωn = 2.75; parassita Re = - .58

  |L(0)| = 12 (+20%)   dominanti ⇒ δ = .82; ωn = 2.95; parassita Re = - .6

  |L(0)| = 8 (-20%)   dominanti ⇒ δ = .9; ωn = 2.55; parassita Re = - .55

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 -2

-1

0

1

2

2 1.75 1.5 1.25

1 0.75

2 1.75 1.5 1.25

1 0.75

0.97

0.89 0.8 0.68 0.58 0.48 0.39 0.31

0.97

0.89 0.8 0.68 0.58 0.48 0.39 0.31

-0.75 -0.7 -0.65 -0.6 -0.55 -0.5 -0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.55

0.55

0.999 0.994 0.986 0.976 0.964 0.95 0.932 0.914

0.999 0.994 0.986 0.976 0.964 0.95

0.932 0.914

precompensatore




  |L(0)| = 12 (+20%)

con compensatore

-0.75 -0.7 -0.65 -0.6 -0.55 -0.5 -0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.55

0.55

0.999 0.994 0.986 0.976 0.964 0.95 0.932 0.914

0.999 0.994 0.986 0.976 0.964 0.95

0.932 0.914

0 1 2 3 4 5 s 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

poli dominanti con L(0) = 10

senza compensatore


senza compensatore

con compensatore




  |L(0)| = 8 (-20%)

0 1 2 3 4 5 s 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 con compensatore poli dominanti con L(0) = 8


senza compensatore

-0.75 -0.7 -0.65 -0.6 -0.55 -0.5 -0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.55

0.55

0.999 0.994 0.986 0.976 0.964 0.95 0.932 0.914

0.999 0.994 0.986 0.976 0.964 0.95

0.932 0.914

senza compensatore

con compensatore



  1a situazione problematica – esempio continua   nuova taratura del compensatore

  zero in -.6   verifica di robustezza alla variazione del guadagno

  |L(0)| = 12 (+20%)

-0.75 -0.7 -0.65 -0.6 -0.55 -0.5 -0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.55

0.55

0.999 0.994 0.986 0.976 0.964 0.95 0.932 0.914

0.999 0.994 0.986 0.976 0.964 0.95

0.932 0.914

0 1 2 3 4 5 s 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 con compensatore


senza compensatore


senza compensatore

con compensatore





  |L(0)| = 10 (nominale)

-0.75 -0.7 -0.65 -0.6 -0.55 -0.5 -0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.55

0.55

0.999 0.994 0.986 0.976 0.964 0.95 0.932 0.914

0.999 0.994 0.986 0.976 0.964 0.95

0.932 0.914

0 1 2 3 4 5 s 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 con compensatore


senza compensatore

senza compensatore

con compensatore





  |L(0)| = 8 (-20%)

-0.75 -0.7 -0.65 -0.6 -0.55 -0.5 -0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.55

0.55

0.999 0.994 0.986 0.976 0.964 0.95 0.932 0.914

0.999 0.994 0.986 0.976 0.964 0.95

0.932 0.914

0 1 2 3 4 5 s 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 con compensatore poli dominanti con L(0) = 8


senza compensatore

senza compensatore

con compensatore



  2a situazione problematica   la ωc scelta è > ωcsp (quella di specifica per il set-point)

  aumento della sensitività del controllo in alta frequenza   utilizzo del prefiltraggio per

  rallentamento della risposta (poli per imporre ωc = Dlenta)

  la soluzione è discretamente robusta   valgono le stesse argomentazioni della 1a situazione

fuori banda se ci sono


Controllo in anello aperto Esempi di precompensazione del riferimento

  2a situazione problematica   specifiche

  Ta5 = 15s con risposta aperiodica ⇒ ωcset-point = .2 rad/s   c'è un disturbo sull'uscita d = sin(.2t) da attenuare 10 volte

  ⎢L(j0.2)⎢>20dB   ωcd > 2 rad/s

0 5 10 15 20 s 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-20

0

20

10 -2 10 -1 10 0 10 1 -180

-90 0

90

G R

L molto più veloce del necessario

cs-p



  2a situazione problematica   Ta5 = 15s; risposta aperiodica

  ωcset-point = .2   per ripristinare la dinamica di specifica

  il precompensatore va progettato come un filtro passa-basso   τc = 5s

-20

0

20

10 -2 10 -1 10 0 10 1 -180

-90 0

90

0 5 10 15 20 s 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F FC

con precompensatore

dinamica dominante

cs-p



  3a situazione problematica   la ωc scelta è < ωcsp (quella di specifica per il set-point)

  occorre allargare la banda   utilizzo del prefiltraggio per

  velocizzazione della risposta (poli per imporre ωc = Dveloce)

  la robustezza della soluzione non è elevata   la natura e la posizione dei poli dominanti può variare a causa

delle incertezze sui parametri del sistema   attenzione alla funzione di sensitività del controllo   attenzione alle dinamiche fuori dalla banda della retroazione



  3a situazione problematica - esempio   specifiche

  errore a regime nullo   Ta5 =.3s; risposta aperiodica ⇒ ωcset-point = 10 rad/s

  scenario B ⇒ PID   scelgo un progetto

per cancellazione

-60

-30 0

30

10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 -180

-90 0

90 G R L F

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 s 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F



  3a situazione problematica - esempio continua   errore a regime nullo   Ta5 =.3s; risposta aperiodica ⇒ ωcset-point = 10 rad/s

  rumore di misura n = .02sin(10t)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

risposta con rumore di

misura -60

-30 0

30

10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 -180

-90 0

90 G R L F



  3a situazione problematica - esempio continua   errore a regime nullo   Ta5 =.3s; risposta aperiodica ⇒ ωcset-point = 10 rad/s

  rumore di misura n = .02sin(10t)   scelgo una frequenza di attraversamento inferiore ⇒ ωcn = 2 rad/s

  scenario A   PI ⇒ progetto per cancellazione

-60 -40 -20

0 20

10 -1 10 0 10 1 10 2 -180

-90 0

90

G R L



  3a situazione problematica - esempio continua   errore a regime nullo   Ta5 =.3s; risposta aperiodica ⇒ ωcset-point = 10 rad/s   rumore di misura n = .02sin(10t)

  ωcn = 2 rad/s   scenario A

  PI ⇒ progetto per cancellazione

-60 -40 -20

0 20

10 -1 10 0 10 1 10 2 -180

-90 0

90 L G

R

-10 -8 -6 -4 -2 0 -3

-2

-1

0

1

2

3

10 8 6 4 2

0.996

0.984 0.96 0.92 0.86 0.76 0.58 0.35

0.996

0.984 0.96 0.92 0.86 0.76 0.58 0.35

dinamica dominante

pcl1=pcl2=-5




  ωcn = 2 rad/s   scenario A

  PI ⇒ progetto per cancellazione

-60 -40 -20

0 20

10 -1 10 0 10 1 10 2 -180

-90 0

90 L G R

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 s 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F FPID FPI




  ωcn = 2 rad/s   aggiungo un precompensatore

-60 -40 -20

0 20

10 -1 10 0 10 1 10 2 -180

-90 0

90

CF L

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 s 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

C F F

CF

dinamica imposta

dinamica dominante c.l.



  3a situazione problematica - esempio continua   Ta5 =.25s; risposta aperiodica ⇒ ωcset-point = 20 rad/s   rumore di misura n = .02sin(10t)

  ωcn = 2 rad/s   confronto tra le due soluzioni

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

PI+C PID



  3a situazione problematica - esempio continua   verifica di robustezza alla variazione del guadagno

  G(0) = 10± 20%   la curva rossa è la risposta in condizioni nominali

  la soluzione non è tanto robusta alle variazioni di guadagno   i poli dominanti imposti dal PI sono sensibili al guadagno

-10 -8 -6 -4 -2 0 -3

-2

-1

0

1

2

3

10 8 6 4 2

0.996

0.984 0.96 0.92 0.86 0.76 0.58 0.35

0.996

0.984 0.96 0.92 0.86 0.76 0.58 0.35

nominale

+20%

-20%

0 0.5 1 s 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 +20%

-20%

zero di C



  3a situazione problematica - esempio continua   analisi di robustezza alla variazione del guadagno

  G(0) = 10± 20%   la curva rossa è la risposta in condizioni nominali

  controllo con PID senza compensatore   la soluzione è più robusta, perchè i poli reali variano meno con

il guadagno, ma è affetta dal rumore di misura

-100 -80 -60 -40 -20 0 -10

-5

0

5

10

100 80 60 40 20

1

0.998 0.995 0.989 0.978 0.955 0.89 0.7

1

0.998 0.995 0.989 0.978 0.955 0.89 0.7

0 0.5 1 s 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 +20%

-20%

+20%

-20%



  3a situazione problematica - esempio continua   G(0) = 10± 20%   controllo con PI + compensatore

  nuova taratura del PI a poli reali   la soluzione è ancora poco robusta

  se G(0) è non noto ma costante si può ri-tarare C(s)

-10 -8 -6 -4 -2 0 -3

-2

-1

0

1

2

3

10 8 6 4 2

0.994

0.976 0.945 0.9 0.81 0.7 0.52 0.3

0.994

0.976 0.945 0.9 0.81 0.7 0.52 0.3

0 1 2 3 4 5 6 s 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-20%

+20%

zero di C

solo c.l.

con compensatore

+20%

-20%


Controllo in anello aperto Altri utilizzi del Precompensatore

  compensazione del guadagno statico   usata per correggere ad 1 il guadagno

  C(s)|F(0)| = 1 da cui C = cost. = 1/|F(0) |   generazione diretta del set-point

  tipico delle applicazioni robotiche e di controllo del moto   algoritmi per generare traiettorie di movimento che passano per un

set di punti dato   continuità delle derivate fino ad un certo ordine

  smoothness (dolcezza) della traiettoria   vincoli sulle caratteristiche spettrali

  limitazione della banda del segnale   vincoli sui valori massimi del segnale e delle sue prime derivate

  limitazioni fisiche dell'attuatore o dell'impianto   vincoli dipendenti dal task


Controllo in anello aperto Compensazione in avanti (feedforward) del

riferimento

  la Funzione di Sensitività Complementare dello schema combinato ff/fb è

Rfb(s) G(s) e ysp u y

Rff(s)


Controllo in anello aperto Effetto della compensazione in avanti (feedforward)


Rff(s)

se

difficile da ottenere

si può approssimare almeno all'interno della banda (ω < ωc) ricordandosi di aggiungere poli di realizzabilità


Controllo in anello aperto Effetto della compensazione in avanti (feedforward)   analisi delle caratteristiche della funzione di sensitività

complementare


Controllo in anello aperto Confronto con lo schema solo in retroazione

  nella Fff(s) dello schema combinato fb/ff   ci sono poli aggiuntivi dovuti a Rff

  Rff può servire per operare un filtraggio sul set-point   ci sono zeri aggiuntivi rispetto a quelli di Rfb che sono comunque

spostati in altra posizione   Rff può servire per riposizionare gli zeri di F(s)

e ysp u y

e ysp u y


Controllo in anello aperto Confronto con lo schema con precompensatore

  si possono ottenere gli stessi risultati con entrambe le soluzioni   la dimostrazione esula dagli scopi del corso

e yspf u y ysp e ysp u y


Controllo in anello aperto Confronto con lo schema con precompensatore

  equivalenza delle soluzioni

  eguagliando le due funzioni

  da cui


Controllo in anello aperto Equivalenza delle soluzioni

  Caso A – dal compensatore in avanti al precompensatore   NRff e DRff sono noti

  Caso B – dal precompensatore al compensatore in avanti   NC e DC sono noti

1 Rff Rfb-1


Controllo in anello aperto Caso particolare di compensazione in avanti

  interessa il numeratore per valutare gli zeri aggiuntivi   a prescindere da NG

G(s) e ysp u y

µ

lo zero introdotto in F dal regolatore cambia di posizione in funzione di µ


Controllo in anello aperto Caso particolare di compensazione in avanti

  lo zero introdotto in F(s) dal regolatore PI può essere spostato agendo su µ

  riorganizzando i termini e tralasciando NG

  la costante di tempo dello zero è

  definiti Kp e Ti, agendo su µ si può collocare liberamente questo zero

Prof. Carlo Rossi – Controlli Automatici LB Schemi di controllo avanzati 44 -8 -6 -4 -2 0

-3

-2

-1

0

1

2

3

8 7 6 5 4 3 2 1

0.988

0.95 0.89 0.8 0.7 0.54 0.38 0.2

0.988

0.95 0.89 0.8 0.7 0.54 0.38 0.2

Controllo in anello aperto Compensazione di dinamiche parassite con l'azione

in avanti (feedforward)   Esempio di controllo con regolatore PI

  la taratura del PI è stata fatta non in cancellazione per la presenza di un disturbo in ingresso   lo zero in bassa frequenza determina una coda di assestamento

nella risposta al set-point

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 s 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

al disturbo

al set-point DRfb

Dcl


Controllo in anello aperto Miglioramento della soluzione

  introduzione dell'azione in avanti (feedforward)   i problemi sulla risposta al set-point dipendono dal polo in bassa

frequenza non cancellato dal regolatore   si può usare un regolatore Rff = µ per spostare, in F(s), lo zero

del regolatore fino a cancellare il polo in bassa frequenza

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 s 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

al disturbo

al set-point

-8 -6 -4 -2 0 -3

-2

-1

0

1

2

3

8 7 6 5 4 3 2 1

0.988

0.95 0.89 0.8 0.7 0.54 0.38 0.2

0.988

0.95 0.89 0.8 0.7 0.54 0.38 0.2

DR

Dcl


Controllo in anello aperto Miglioramento della soluzione

  Soluzione

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 s 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

al disturbo

al set-point

-8 -6 -4 -2 0 -3

-2

-1

0

1

2

3

8 7 6 5 4 3 2 1

0.988

0.95 0.89 0.8 0.7 0.54 0.38 0.2

0.988

0.95 0.89 0.8 0.7 0.54 0.38 0.2

DR

Dcl

notare il valore negativo !!

risposte fb/ff


Stesso risultato con Precompensatore

  Il compensatore in avanti Rff = µ sposta lo zero sul polo parassita del sistema in retroazione

  Il Precompensatore "equivalente" cancella sia lo zero del PI che il polo parassita del sistema in retroazione   il precompensatore "equivalente" è dinamico


polo sullo zero del PI

zero come Rff

con


Controllo in anello aperto Confronto tra le soluzioni

-120 -90 -60 -30

0

10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 -270 -180 -90

0 -120 -90 -60 -30

0

10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 -270 -180 -90

0

-120 -90 -60 -30

0

10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 -270 -180 -90

0

F(jω) progetto per cancellazione

F(jω) progetto con compensazione in avanti

dinamica imposta dinamica imposta

dinamica imposta

F(jω) progetto senza cancellazione

F(jω) progetto con precompensazione

-120 -90 -60 -30

0

10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 -270 -180 -90

0

dinamica imposta


Controllo in anello aperto Compensazione in avanti di un disturbo misurabile   schema generale

  affinché SC(s) sia nulla occorre che

  ovvero

  M(s) deve ovviamente essere asintoticamente stabile e realizzabile


M(s)

H(s)

d


Controllo in anello aperto Compensazione in avanti di un disturbo misurabile   il compensatore

  non è realizzabile per sistemi con zeri a parte reale positiva o con ritardo

  in generale non è proprio   si può approssimarla con una fdt propria nell'intervallo di

frequenze di azione del disturbo

  per disturbi costanti


Controllo in anello aperto Compensazione in avanti di un disturbo misurabile   Esempio


H(s)

d

-40

-20

0

20

10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 -180 -135

-90 -45

0

+15dB

il disturbo a .3 rad/s sarà attenuato di 15 dB pari a 5.6 volte l'ampiezza passerà da .3 a .05

L*

L R




H(s)

d

-40

-20

0

20

10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 -180 -135

-90 -45

0

0 5 10 15 20 25 30 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 .05

L*

L R




M(s)

H(s)

d

0 5 10 15 20 25 30 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-40

-20

0

20

10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 -180

-90 0

90

realiz-zabilità

con compensazione M banda di

approssimazione

G


Situazioni problematiche di riferimento   quando nell'impianto è presente un disturbo non

misurabile in ingresso o in mezzo   lo schema in retroazione classico non consente di garantire

specifiche dinamiche coerenti tra set-point e disturbo   un solo regolatore non riesce a soddisfare sia le specifiche sul set-

point che quelle sul disturbo   quando l'andamento temporale di una variabile intermedia

è di interesse   l'architettura di Controllo in Cascata è particolarmente

utile quando le situazioni precedenti sono presenti in un impianto   di ordine elevato   con ritardo   con dinamiche parassite non modellate in alta frequenza

Controllo in cascata


Razionale del metodo   Il controllo in cascata è basato sulla separazione dei due

problemi di controllo   a) dinamica dell'uscita rispetto al set-point   b) attenuazione e dinamiche dell'uscita rispetto a un disturbo in

mezzo o in ingresso

  immaginiamo di avere solo il problema del disturbo   consideriamo una grandezza intermedia v a valle del disturbo

  il disturbo (d) agisce su (y) attraverso (v) e G2   se si attenua l'effetto del disturbo su v lo si attenua anche su y

  se la grandezza intermedia v è misurabile   si può progettare un regolatore in retroazione da v che si

occupi dell'attenuazione del disturbo

y G2 G1

u


d d v


Razionale del metodo   Passo 1

  attenuazione del disturbo   il controllo dell'uscita è temporaneamente tralasciato

  consideriamo il solo sottosistema G1 sulla cui uscita v agisce il disturbo d   progettiamo un regolatore R1 per attenuare il disturbo d   l'ordine di G1 è sicuramente inferiore all'ordine di G1G2

  spesso la dinamica di G1 è più veloce di quella di G2   è più semplice progettare R1 a larga banda

  dinamica di attenuazione di disturbi a gradino più veloce   maggiore capacità di attenuare disturbi caratterizzati spettralmente

con massima armonica utile elevata


v +

d + y G2 G1

u vsp

- R1



  attenuazione del disturbo   il controllo dell'uscita è temporaneamente tralasciato

  dopo aver chiuso la retroazione il sottosistema interno può essere modellato come

  F1 è la Funzione di Sensitività complementare del loop   S1 è la Funzione di Sensitività del loop


v +

d + y G2 G1

u vsp

- R1

F1 v vsp

vsp

- R1

v +

d + G1

u S1

d



  controllo dell'uscita

  il sistema da considerare in questa fase è costituito dalla cascata di F1 e di G2, con il disturbo che entra filtrato dalla S1 imposta con l'anello interno   F1 rappresenta la funzione di Sensitività Complementare del

sottosistema R1 G1 chiuso in retroazione   il disturbo d risulta già attenuato da R1

  la Funzione di Sensitività S1 è molto piccola alle frequenze di d   si progetta un regolatore R2 per soddisfare le specifiche

dinamiche sul set-point


y G2 R2

+ -

ysp F1 v vsp

S1 d


Controllo in cascata Esempio

  Passo 1 - attenuazione del disturbo   per la cancellazione a

regime del disturbo serve una azione integrale

  lo scenario è certamente A visto che la fase è al più -90°   basta un PI

+ - R1

d v + y

G2 G1

-90

-60

-30

0

10 -1 10 0 10 1 10 2 -270 -180

-90 0

G1 G2

G



  Passo 1 - attenuazione del disturbo   PI in cancellazione   il guadagno è stato scelto

per imporre una dinamica in retroazione come quella di G1

  ⇒ Kp = 1

+ - R1

d v + y

G2 G1

-20 -10

0 10 20 30

10 0 10 1 10 2 -135

-90 -45

0 G1 R1 L1

Prof. Carlo Rossi – Controlli Automatici LB Schemi di controllo avanzati 61 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

senza controllo


  Passo 1 - attenuazione del disturbo   risposte al gradino

unitario di disturbo + - R1

d v + y

G2 G1

v

y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

con controllo R1

v

y



  Passo 1 - risultato   consideriamo il

sistema R1G1 chiuso in retroazione

  v = F1 vsp

+ - R1

d v + y

G2 G1 vsp

-20

-10

0

10 0 10 1 10 2 -90

-45

0

come G1 (per scelta di progetto in questo esempio)



  Passo 2 - regolazione dell'uscita   nuovo problema di controllo

  sostituisco al sistema R1 + G1+ retroazione il sistema equivalente   si noti che la F1 coincide con la G1 solo per scelta di progetto

  progetto R2 per le sole specifiche sull'uscita   avendo imposto F1 uguale a G1 uso lo stesso regolatore PID

che userei nella soluzione classica con controllo solo dall'uscita   Kp = 10, Ti = 2, Td =.5 ⇒ taratura molto spinta

v

d

+ vsp y G2

R2 +

-

ysp ≡ G1

Prof. Carlo Rossi – Controlli Automatici LB Schemi di controllo avanzati 64 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

y uscita

0 1 2 3 4 5 6 7 8 -10 0 10 20 30 40 50 60 u

controllo


  Passo 3 - verifica

  d = -1   in t = 2 s

+ - R1

d v + y

G2 G1 vsp R2

+ -

ysp

classico

in cascata

taratura molto spinta


Controllo in cascata Schema di controllo in cascata

  Il progetto si sviluppa allora in due fasi   1) si progetta un primo regolatore (R1) per controllare v (plant G1)

  cercando di minimizzare la sensitività al disturbo d   2) si progetta un secondo regolatore (R2) per controllare y

sostituendo al sistema entro il tratteggio (anello interno) la sua Funzione di Sensitività Complementare, con uno o più poli dominanti alla frequenza ωc imposta da R1   se è possibile imporre i poli dominanti del sottosistema interno

a frequenza molto più elevata di quelli di G2   il sottosistema interno può essere trascurato nel progetto di R2

  facile quando la dinamica di G1 è >> di quella di G2   possibile anche se le dinamiche non sono separate

G1(s) G2(s) u

d v y +

+ R2(s) + -

ysp R1(s) +

-

vo


Controllo in cascata Schema di controllo in cascata

  Vantaggi   si risolvono due problemi semplici anziché uno più complesso   si cerca effettuare una taratura di R1 (anello interno) in modo da

ottenere la massima banda passante   quindi l'immunità ad un disturbo d a spettro maggiore

  la taratura dell'anello esterno è solitamente disaccoppiata da quella dell'anello interno

  l'implementazione a tempo discreto risulta meglio condizionata numericamente

G1(s) G2(s) u

d v y +

+ R2(s) + -

ysp R1(s) +

-

vo


Condizioni per l'utilizzo del controllo in cascata

  l'impianto sia scomponibile in due (o più) sottosistemi   un disturbo entri in ingresso o tra i sottosistemi   ci sia una grandezza intermedia (v) misurabile

  collocata a valle del disturbo

Situazioni che ne favoriscono l'uso   le dinamiche proprie dei sottosistemi siano spettralmente

separate, con G1 più veloce di G2   Es. G1(s) è un attuatore con dinamica veloce, ma non trascurabile

  tipico dei motori elettrici


G1(s) G2(s) u y v +

d

+ G(s) u y


Condizioni per l'utilizzo del controllo in cascata   E' conveniente utilizzare il controllo in cascata anche in

situazioni diverse da quella indicata fino ad ora   disturbo in ingresso e variabile misurabile intermedia

la soluzione in cascata   è comunque conveniente rispetto alla soluzione con controllo

dall'uscita   con il controllo in cascata le dinamiche in bassa frequenza di

G2 (eventualmente spostate dagli zeri di R2 non in cancellazione) agiscono sul disturbo già attenuato

  è tanto più conveniente quanto più la dinamica di G1 è veloce rispetto a quella di G2


G1(s) G2(s) u y v +

d

+


Si utilizza per impianti con Ritardo temporale   effetti sulla fase di un ritardo temporale Tr

  in ω = 1/Tr il ritardo introduce uno sfasamento di -60°   serve una rete di anticipo per compensarlo

  in ω = 1.5/Tr il ritardo introduce uno sfasamento di -90°   servono due reti di anticipo per compensarlo

  in ω = 3/Tr il ritardo introduce uno sfasamento di -180°   servono tre reti di anticipo per compensarlo

  tentare di allargare la banda oltre ω = 1/Tr è velleitario

Controllo con Predittore di Smith

10 -630 -540 -450 -360 -270 -180 -90 0

ωTr .1 1

ϕ ≅ - 180° ϕ ≅ - 60°

ϕ ≅ -90°


Esempio di controllo di un impianto con Ritardo   impianto

  1a soluzione   regolatore PI in cancellazione

  avendo scelto la ωc << 1/Tr   soluzione robusta alle

variazioni di G0 (ΔG0=50%)   soluzione robusta alle

variazioni di Tr (ΔTr =50%)


Tr = 1s

10 10 10 10 10

-90 -60 -30

0 30

-2 -1 0 1 2 -720 -540 -360 -180

1/Tr

Tr = 1.5s

G0* = 15

ωc

G0 = 10

L


Esempio di controllo di un impianto con Ritardo

  1a soluzione   regolatore PI in cancellazione

  risposte


Tr = 1s

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 s -0.2 0

0.2 0.4 0.6 0.8

1 1.2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 s 0

0.2 0.4 0.6 0.8

1 1.2

Tr = 1.5s

G0* = 15

Padè Padè

G0 = 10

Tr = 1s

G0 = 10



  2a soluzione   regolatore PID in cancellazione

  avendo scelto la ωc ≅ 1/(5Tr)   soluzione robusta alle

variazioni di G0

  soluzione robusta alle variazioni di Tr


Tr = 1s

-20 -10

0 10 20

10 -1 10 0 10 1 -270 -180

-90 0

1/Tr ωc

G0* = 15

Tr = 1.5

G0 = 10




  taratura blanda   risposte


Tr = 1s

0 5 10 15 20 s

0

0.5

1

1.5

0 5 10 15 20 s

0

0.5

1

1.5 G0* = 15

Tr = 1.5 Padè

G0 = 10




  taratura più spinta   Kp =.04

  avendo scelto la ωc ≅ 1/(2.5Tr)   soluzione meno robusta

alle variazioni di G0   soluzione poco robusta

alle variazioni di Tr   l'anticipo di fase dell'azione

derivativa non serve a molto


Tr = 1s

-20 -10

0 10 20

10 -1 10 0 10 1 -270 -180

-90 0

1/Tr ωc

G0* = 15

Tr = 1.5

G0* = 20

G0 = 10




  taratura più spinta


Tr = 1s

0 5 10 15 20 25 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4 G0* = 20

G0* = 15

0 5 10 15 20 25 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1.2 1.4 1.6 1.8

Tr = 1.5

Tr = 2

G0* = 15 Kp = .04 Kp = .04

G0* = 10


Controllo con Predittore di Smith Miglioramenti della soluzione

  uso di un modello dell'impianto senza ritardo u

G'

R G - ysp y

y' per la sintesi di R

u R G' -

ysp y'

R - ysp yu

La soluzione non è robusta: la retroazione è basata su un modello

nella funzione d'anello non è presente il ritardo

regolatore complessivo


Controllo con Predittore di Smith Miglioramenti della soluzione

  uso di un Predittore di Smith

per la sintesi di R

u R G' -

ysp y'

R - ysp yu

La soluzione è robusta: la retroazione contiene tutte le informazioni presenti sull'uscita, tranne il ritardo

nella funzione d'anello non è presente il ritardo

predittore di Smith regolatore complessivo

+

u

G' +

R G - ysp y

G -

+

y'


Controllo con Predittore di Smith Regolatore con Predittore di Smith R -

ysp yu

u

P + +

R G - ysp y

y' per la sintesi di R

u R G' -

ysp y'

y' è la predizione di y senza il ritardo


Controllo con Predittore di Smith Avvertenze

u

P + +

R G - ysp y

y'

Occorre ricordare che il ritardo continua a permanere nel sistema

Attenzione alla moderazione della variabile di controllo ed alla robustezza !!

Attenzione: il predittore di Smith si può

usare solo con impianti asintoticamente stabili


Esempio di regolatore con predittore di Smith   Esempio - continua


  taratura più spinta   Kp =.04

  Predittore di Smith   sul modello nominale


Tr = 1s G0 = 10


Esempio di regolatore con Predittore di Smith

  2a soluzione   regolatore PID in cancellazione + Predittore di Smith

  aumento del guadagno con Predittore


Tr = 1s

0 5 10 15 20 25 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15 20 25 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 Kp = .04; no Predittore

Kp = .06

y' y'

Kp = .04 con predittore


Esempio di regolatore con Predittore di Smith

  2a soluzione   regolatore PID in cancellazione + Predittore di Smith

  analisi di sensitività


Tr = 1s

0 5 10 15 20 25 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4 Kp = .06

0 5 10 15 20 25 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4 Kp = .06

Tr = 1

la soluzione con predittore è un po' più robusta

Tr = 1

Tr = 1.5

y'

Tr = 2

G0 = 15

y'

y'


Riferimenti bibliografici   Per approfondimenti

  Boltzern, Scattolini, Schiavoni "Fondamenti di Controlli Automatici", McGraw-Hill, II edizione   Capitolo 15

Controlli Automatici Parte 3 – Problemi di controllo più complessi

Schemi di controllo avanzati Controllo in anello aperto

Controllo con Predittore di Smith Controllo in cascata

FINE

Prof. Carlo Rossi DEIS-Università di Bologna

Tel. 051 2093020 Email: [email protected]

URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi

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