Controlli Automatici LB 10/29/08 Reti correttrici automazione LB... · Parte 2 – Regolatori...

Controlli Automatici LB Reti correttrici

10/29/08

Prof. Carlo Rossi 1

Controlli Automatici LB Parte 2 – Regolatori standard e Metodi di taratura

Reti Correttrici Rete di Anticipo Rete di Ritardo

Rete di Ritardo/Anticipo

Prof. Carlo Rossi DEIS-Università di Bologna

Tel. 051 2093020 Email: [email protected]

URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi

Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 2

Indice   1. Introduzione alle Reti Correttrici   2. Rete di Anticipo   3. Rete di Ritardo   4. Rete di Ritardo/Anticipo   5. Rete correttrici - sommario delle regole di taratura   6. Problemi di code di assestamento con le reti correttrici   7. Riferimenti Bibliografici


Introduzione alle Reti Correttrici Risultati dell'analisi di Scenario

  regolatori senza poli nell'origine individuati   si utilizzano con specifica di errore a regime costante non nullo

R s( )= k

1+α1τ1s( ) 1+ τ2s( )1+ τ1s( ) 1+α2τ2s( )

Scenario A

Scenario B reti correttrici

Rd s( )=

1+α1τ1s( ) 1+ τ2s( )1+ τ1s( ) 1+α2τ2s( )

regolatore statico

regolatori dinamici


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Prof. Carlo Rossi 2


Introduzione alle Reti Correttrici Sviluppo del progetto

  fase preliminare al progetto di regolatori senza polo nell'origine   si progetta il regolatore statico Rs(s) = k per imporre la più severa

tra la specifica statica e quella sulla attenuazione di un eventuale disturbo caratterizzato spettralmente   si progetta quindi la rete correttrice (regolatore dinamico ) a

guadagno unitario   si progetta sull'impianto già compensato staticamente L* = k G

  le formule per la compensazione statica e di attenuazione del disturbo sono già state illustrate nel capitolo sulle Specifiche dei sistemi di controllo

  salvo diversa indicazione, in questo capitolo non ci si occuperà quindi della scelta del guadagno statico k


Introduzione alle Reti Correttrici Sviluppo del progetto

  si considerano reti correttrici a guadagno unitario   si progettano sull'impianto già compensato staticamente L* = k G

rete di ritardo

rete di anticipo

R s( )=

1+α1τ1s( ) 1+ τ2s( )1+ τ1s( ) 1+α2τ2s( ) rete di ritardo/anticipo


intervallo di frequenze di utilizzo della rete

Rete di Anticipo Rete di anticipo a guadagno unitario

Re

Im

due effetti sulla L zero

polo

anticipo di fase

aumento del guadagno L'effetto utile è l'anticipo di fase tra zero e polo

1/τ 1/ατ

10-1 100 101 102

0

10

20

30

40

0

20

40

60

80

ω


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Prof. Carlo Rossi 3

Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB

Caratteristiche principali

Reti correttrici 7

0

5

10

15

20

10-1 100 101 102 0

10

20 30 40

50 60

ω = 1/τ ω = 1/ατ

una decade oltre il polo la fase residua è < 5°

errore < 10°

α = 0.1 τ = 1

max 70-75°

Rete di Anticipo

Re

Im


Rete di Anticipo Ruolo dei parametri

10-2 10-1 100 101 102

0

5

10

15

20

25

30

0

10

20

30

40

50

60

Re

Im

α = .1 τ = 3.3

α = .1 τ = 10

α = .15 τ = 3.3


Formule utili

Reti correttrici 9

guadagno max (in alta frequenza)

pulsazione del massimo anticipo

α per ottenere un dato ϕmax

Rete di Anticipo

guadagno in corrispondenza di ω*

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 α 15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

ϕmax°


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Formule utili

Reti correttrici 10

α per ottenere ϕmax

Rete di Anticipo

guadagno in ω*

0 10 20 30 40 50 60 70 ϕmax° 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 |R(ω*)|dB

Se nel progetto si sceglie una frequenza di attraversamento in cui il guadagno richiesto e l'anticipo di fase sono sulla curva, la rete progettata avrà minimo guadagno in alta frequenza


Rete di Anticipo Razionale del progetto

  si tracciano i diagrammi di Bode dell'impianto   già compensato staticamente (kG(s))

  si sceglie la frequenza di attraversamento ωc desiderata   all'interno dell'intervallo di specifica

ad es. ωc = 4 rad/s

100 101

-30

-20

-10

0

10

20

-200

-150

-100

-50

0

50

100 specifiche

Mf >70°

2 < ωc < 7 rad/s kG



  si valutano sui diagrammi   il guadagno ⏐R (jωc) ⏐dB per imporre l'attraversamento in ωc   l'anticipo di fase Arg(R (jωc)) per imporre il margine di fase

desiderato

100 101

-30

-20

-10

0

10

20

-200

-150

-100

-50

0

50

100 specifiche

Mf >70°

2 < ωc < 7 rad/s

⏐R (j4) ⏐dB= +10dB

Arg(R (j4))= +60°

kG



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  si sviluppa il progetto   nel corso verrà illustrato un metodo analitico

  basato sull'uso di formule, dette di inversione

100 101

-30

-20

-10

0

10

20

-200

-150

-100

-50

0

50

100 specifiche

Mf >70°

2 < ωc < 7 rad/s

⏐R (j4) ⏐dB= +10dB

Arg(R (j4))= +60°


kG

L


Rete di Anticipo Progetto della rete con le formule di inversione

  Problema   progettare una rete di anticipo a guadagno statico unitario k= 1

  scegliere cioè τ e ατ   che in ω = ωc garantisca

  un guadagno ⏐R (jωc) ⏐ (in unità lineari) pari a M (M>1)   un anticipo di fase Arg(R (jωc)) pari a ϕ (0°< ϕ<90°)

  l'espressione del regolatore in ωc è

  in termini generali di funzione complessa

  eguagliando le due espressioni si ha



  dal lucido precedente, evidenziando le variabili τωc e ατωc

  sviluppando

  si svolgono le parentesi

  si separano parte reale e parte immaginaria

  si eguagliano a zero parte reale e parte immaginaria

M cosϕ + jM sinϕ( ) 1+ jατω c( ) = 1+ jτω c

1+ jτω c

1+ jατω c

= M cosϕ + jM sinϕ

M cosϕ + jM cosϕ(ατω c ) + jM sinϕ + j2 M sinϕ(ατω c ) = 1+ j(τω c )

M cosϕ − M sinϕ(ατω c ) −1+ j M cosϕ(ατω c ) + M sinϕ −τω c( ) = 0

Re Im


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  dal lucido precedente

  Im = 0

  Re = 0

  in forma matriciale

M cosϕ − M sinϕ(ατω c ) −1+ j M cosϕ(ατω c ) + M sinϕ −τω c( ) = 0

Re Im

M cosϕ(ατω c ) + M sinϕ −τω c = 0




  risolvendo per τωc e ατωc

  invertendo la matrice




  sviluppando l'equazione matriciale


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  dividendo per il parametro già scelto ωc si ottengono le Formule di inversione

  non tutte le scelte della coppia M e ϕ,   con M > 1 e 0° < ϕ < 90°

  garantiscono una soluzione ammissibile   0 < α < 1   τ > 0


Rete di anticipo Esempio di progetto con le formule di inversione

Step 1 - traccio diagramma di L*=kG

Specifiche dinamiche Margine di fase > 70° 10 ≤ ωc ≤ 50 rad/s

Impianto

ωc ≅ 12 rad/s Mϕ ≅ 40° (insufficiente)

Step 2 - Scelgo una nuova frequenza ωc* (superiore a quella propria del sistema) nell'intervallo di specifica ωc* = 20 rad/s

Step 3 - Calcolo (in ωc* ) il guadagno M e l'anticipo di fase ϕ necessari ad imporre l'attraversamento ed il margine di fase richiesti

10-1 100 101 102

-40

-20

0

20

40

-200

-100

0

100

ωc

L*

⏐L*⏐dB = -8 dB ⇒ MdB = - ⏐L*⏐dB ⇒ M = 10(8/20) = 2.5 ϕ = +50°


Rete di anticipo Esempio di progetto con le formule di inversione

Specifiche dinamiche Margine di fase > 70° 10 ≤ ωc ≤ 50 rad/s

Impianto

Step 4 - Calcolo i parametri della rete

Le specifiche sono soddisfatte ωc = 21 rad/s Mf = 78.5°

-40

-20

0

20

40

-200

-100

0

100

10-1 100 101 102

L R

ωc* = 20 rad/s M = 2.5 ϕ = +50°

L*


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Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 22 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 -50

-40 -30 -20 -10

0 10 20 30 40 50

Rete di anticipo   Verifica

Specifiche Mf > 70° 10 ≤ ωc ≤ 50 rad/sec

Impianto

coda di assestamento residuo piccolo

δ ≅ .83

vera ωn ≅ 40

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

risposta al gradino

undershoot

attesa con δ ≅ .83 ωn ≅ 40

-40

-20

0

20

40

-200

-100

0

100

10-1 100 101 102

δ ≅ .8

L

ωc ≅ 21

dinamica dominante


Rete di anticipo Coda di assestamento

  la presenza di una coda di assestamento è fisiologica quando si usa una rete anticipatrice   la rete contiene uno zero collocato di solito a frequenza inferiore a

quella di attraversamento   nella funzione di trasferimento del sistema in retroazione, lo

zero fungerà da attrattore per un polo dell'impianto   la dinamica residua complessiva risulterà quindi più lenta di

quella imposta con la frequenza di attraversamento   se si sono imposti poli complessi coniugati, la coda di

assestamento potrebbe comunque essere più corta del tempo di assestamento

  per valutare l'importanza della coda nella risposta occorre   stimarne il tempo di assestamento e confrontarlo con quello

del sistema in retroazione senza considerare la coda   se è superiore a quello imposto al sistema, la presenza della coda

può portare al mancato soddisfacimento delle specifiche.


Rete di anticipo Coda di assestamento

  per eliminare la coda di assestamento si può pensare ad un progetto per cancellazione   si colloca lo zero della rete in cancellazione di un polo

dell'impianto   per questo tipo di rete è opportuno scegliere il polo a

frequenza inferiore alla ωc prescelta più vicino ad essa

  il progetto per cancellazione non è sempre possibile   occorre verificarne la fattibilità   lo zero è fissato, resta da valutare l'effetto del polo

poli dell'impianto

ωc Zero


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Rete di anticipo Progetto per cancellazione - formule utili

  lo zero del regolatore è collocato in corrispondenza di un polo dell'impianto

  τc è quindi già fissato per imporre la cancellazione   resta da considerare il polo, la cui f.d.t. è

  dalla prima

  dalla seconda

Rp dB= −20log 1+ ωτ( )2⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

ϕ Rp( ) = −arctg ωτ( )


Rete di anticipo Progetto per cancellazione - formule utili


  da cui   modulo in funzione della fase

  fase in funzione del modulo

-90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10

0

-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 Modulo (dB)

Fase

(gra

di)

Polo


Rete di anticipo Esempio di progetto per cancellazione

  impianto

  Specifiche dinamiche   Margine di fase > 70°   10 ≤ ωc ≤ 50 rad/s

Step 1- diagramma di L*=kG   ωc ≅ 12 rad/s   Mf ≅ 40°

Step 2 - introduco lo zero in cancellazione di un polo dell'impianto   di solito quello più vicino (a frequenza inferiore) alla ωc scelta

Step 3 - diagramma di Bode della L' compensata con lo zero

10-1 100 101 102 103

-100

-50

0

50

-200

-100

0

100

L*

non fisicamente realizzabile !!

L'

ωc 12rad/s

40°


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Step 4 - rilevo la frequenza di attraversamento ed il µαργινε δι φασε χηε ρισυλτανο

  ωc = 20 rad/s   Mf = 90°

Step 5 - valuto la fattibilità del progetto per cancellazione   la nuova frequenza di attraversamento e la fase sono all'interno

dei rispettivi intervalli di specifica   posso procedere

10-1 100 101 102 103

-100

-50

0

50

-200

-100

0

100

ωc

L*

20rad/s (o.k.)

L'

90° (o.k.)




Step 6 - introduco il polo di fisica realizzabilità in modo da rispettare le specifiche

  non ridurre troppo la frequenza di attraversamento

  non introdurre sfasamenti che pregiudichino il margine di fase

  se il polo è collocato una decade dopo ωc i suoi effetti sono nulli sul modulo e trascurabili sulla fase

  scelta conservativa   il regolatore ha un guadagno in alta frequenza

più alto del necessario

-40 -20

0 20

10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 -180

-90 0

90

polo

zero

L

R

+25dB




per limitare il guadagno in alta frequenza conviene posizionare il polo il più possibile vicino alla ωc

  attenzione a sfasamento ed attenuazione introdotti

  la specifica richiede Mf > 70° e lo zero mi ha portato a +90°   posso accettare che il polo introduca uno sfasamento

ϕ = -20° in ωc= 20 rad/s   la relazione tra la fase e la costante di tempo nel polo è

  da cui

-60 -40 -20

0 20

10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 -180 -135

-90 -45

0 45

polo

zero R

L' L

+15dB


10/29/08



-60 -40 -20

0 20

10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 -180 -135

-90 -45

0 45

Rete di anticipo Esempio di progetto per cancellazione   verifica

  specifiche dinamiche   Margine di fase > 70°   10 ≤ ωc ≤ 50 rad/s

ωc = 18

-50 -40 -30 -20 -10 0

-20

-10

0

10

20

50 40 30 20 10

0.985

0.94 0.87 0.78 0.64 0.5 0.34 0.16

0.985

0.94 0.87 0.78 0.64 0.5 0.34 0.16

ωn ≅ 33 δ ≅ .84

L

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 s 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

risposta al gradino

Mf = 75° δ ≅ .75

con cancellazione

senza cancellazione δ ≅ .83 ωn ≅ 40


Rete di ritardo Rete di ritardo a guadagno unitario

Re

Im

due effetti sulla L

polo

zero

ritardo di fase

attenuazione

1/τ 1/ατ

10-1 100 101 102

-40

-30

-20

-10

0

-80

-60

-40

-20

0

ω

L'effetto utile è l'attenuazione

oltre lo zero


-20

-15

-10

-5

0

10-1 100 101 102 -60 -50

-40 -30 -20

-10 0

ω = 1/τ ω = 1/ατ

una decade oltre il polo

la fase residua è < 5° errore < 10°

Re

Im

α = 0.1 τ = 1

Rete di ritardo Descrizione della rete


10/29/08



-20

-15

-10

-5

0

10-1 100 101 102 -60 -50

-40 -30 -20

-10 0

ω = 1/τ ω = 1/ατ

una decade oltre il polo

la fase residua è < 5° errore < 10°

α = 0.3 τ = 1

α = 0.1 τ = 1

Rete di ritardo Ruolo dei parametri

Re

Im


Rete di ritardo Formule utili

pulsazione del massimo anticipo

attenuazione in corrispondenza di ω*

attenuazione max (in alta frequenza)

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 α -65

-60

-55

-50

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15°


Rete di Ritardo Razionale del progetto

  si tracciano i diagrammi di Bode dell'impianto   già compensato staticamente (kG(s))

  si sceglie la frequenza di attraversamento ωc desiderata   all'interno dell'intervallo di specifica

  si valutano sui diagrammi   l'attenuazione ⏐R (jωc) ⏐dB per imporre l'attraversamento in ωc   il ritardo di fase Arg(R (jωc)) per imporre il margine di fase

desiderato   si sviluppa il progetto

  nel corso verrà illustrato un metodo analitico   basato sull'uso di formule, dette di inversione


10/29/08



Rete di Ritardo Progetto della rete con formule di inversione

  Problema   Progettare una rete di ritardo a guadagno statico unitario k = 1

  scegliere τ e ατ   che in ω = ωc garantisca

  una attenuazione (in unità lineari) pari a M (0<M<1)   ed un ritardo di fase pari a ϕ (-90°< ϕ<0°)

  il procedimento è analogo a quello per le reti di anticipo

R jω c( ) = 1+ jατω c

1+ jτω c

M cosϕ + jM sinϕ( ) 1+ jτω c( ) = 1+ jατω c

svolgendo le parentesi e separando la parte reale e quella immaginaria

= Me jϕ = M cosϕ + jM sinϕ


Rete di Ritardo

Non tutte le coppie M, ϕ

garantiscono una soluzione con


10-2 10-1 100 101 102

-60 -40 -20

0 20 40

-200

-150

-100

-50

0

Rete di ritardo Esempio di progetto con le formule di inversione

Specifiche dinamiche Margine di fase > 60° 4 < ωc < 20 rad/s

Impianto

-10°

-14 dB

ωc*

Step 1 - traccio diagramma di L*=kG ωc ≅ 20 rad/s Mϕ ≅ 30°

Step 2 - Scelgo una nuova frequenza ωc* (inferiore a quella propria del sistema) nell'intervallo di specifica dove la fase propria dell'impianto soddisfa le specifiche (scenario A) ωc* = 6 rad/s

Step 3 - Calcolo (in ωc* ) l'attenuazione M necessaria ad imporre l'attraversamento ed il massimo ritardo di fase ϕ che la rete può introdurre senza pregiudicare il margine di fase

L*

MdB = 14 dB ⇒ M = .2 ϕ = -10°


10/29/08



10-2 10-1 100 101 102

-60 -40 -20

0 20 40

-200

-150

-100

-50

0

Rete di ritardo Esempio di progetto con le formule di inversione

Specifiche dinamiche Margine di fase > 60° 4 < ωc < 20 rad/s

Impianto

Step 4 - Calcolo i parametri della rete con le formule di inversione

Le specifiche sono soddisfatte ωc = 6 rad/s Mf = 65°

L R ωc* = 6 rad/s M = .2 ϕ = -10°

Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 41 0 0.5 1 1.5 2 2.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

risposta al gradino

Rete di ritardo   Verifica

vera

Specifiche dinamiche Mf > 60° 4 < ωc < 20 rad/s

Impianto

10-2 10-1 100 101 102

-60 -40 -20

0 20 40

-200

-150

-100

-50

0

L

ωc ≅ 7

δ ≅ .65

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

ωn ≅ 9

δ ≅ .6

undershoot

attesa con δ ≅ .6 ωn ≅ 9

coda di assestamento

coda di assestamento residuo piccolo


Rete di ritardo Coda di assestamento

  la presenza di una coda di assestamento è fisiologica quando si usa una rete di ritardo   essa contiene uno zero collocato strutturalmente a frequenza

inferiore a quella di attraversamento   nella funzione di trasferimento del sistema in retroazione, lo

zero fungerà da attrattore per un polo dell'impianto   la dinamica residua complessiva risulterà quindi più lenta di

quella imposta con la frequenza di attraversamento   se si sono imposti poli complessi coniugati, la coda di

assestamento potrebbe comunque essere più corta del tempo di assestamento

  per valutare l'importanza della coda nella risposta occorre   stimarne il tempo di assestamento e confrontarlo con quello

del sistema in retroazione senza considerare la coda   se è superiore a quello imposto al sistema, la presenza della coda

può portare al mancato soddisfacimento delle specifiche


10/29/08



Rete di ritardo Coda di assestamento

  per eliminare la coda di assestamento si può pensare ad un progetto per cancellazione   si colloca lo zero della rete in cancellazione di un polo

dell'impianto   per questo tipo di rete è opportuno scegliere il polo a

frequenza inferiore escluso un eventuale polo nell'origine

  il progetto per cancellazione non è sempre possibile   occorre verificarne la fattibilità   lo zero è fissato, resta da valutare l'effetto del polo

ω

poli dell'impianto

ωc Zero


Rete di ritardo Progetto per cancellazione - formule utili

  lo zero del regolatore è collocato in corrispondenza di un polo dell'impianto

  τc è quindi già fissato per imporre la cancellazione   resta da considerare il polo, la cui f.d.t. è

  dalla prima

  dalla seconda

Rp dB= −20log 1+ ωτ( )2⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

ϕ Rp( ) = −arctg ωτ( )


Rete di ritardo Progetto per cancellazione - formule utili


  da cui   modulo in funzione della fase

  fase in funzione del modulo

-90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10

0

-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 Modulo (dB)

Fase

(gra

di)

Polo


10/29/08



Esempio di progetto per cancellazione   impianto


Step 1- diagramma di L*=kG   ωc ≅ 20 rad/s   Mf ≅ 30°

Step 2 - introduco lo zero in cancellazione di un polo dell'impianto   di solito quello a frequenza inferiore

Step 3 - diagramma di Bode della L' compensata con lo zero

-180 -135

-40 -20

0 20

10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2

-90 -45

0

Rete di ritardo

L* L'

non fisicamente realizzabile !!


Rete di ritardo Esempio di progetto per cancellazione


  Step 4 - scelgo la frequenza di attraversamento ωc

  ωc = 7 rad/s   Step 5 - calcolo l'attenuazione necessaria per imporre ωc

  ⏐Rp ⏐ = -26dB e valuto il margine di fase

  Mf = 148° il polo di fisica realizzabilità può introdurre un ritardo di fase pari a 148° - 60° = 88°

-180 -135

-40 -20

0 20

10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2

-90 -45

0 L*

ωc

L'

Mf


Rete di ritardo Esempio di progetto per cancellazione


  Step 6 - verifica di fattibilità   calcolo il ritardo di fase

introdotto dal polo che garantisce una attenuazione ⏐Rp ⏐ = -26dB

  dalle formule utili

  il progetto per cancellazione è fattibile (di misura)

-180 -135

-40 -20

0 20

10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2

-90 -45

0

ωc

L'

-87°

-26dB


10/29/08



Esempio di progetto per cancellazione   Specifiche dinamiche

  Margine di fase > 60°   4 ≤ ωc ≤ 20 rad/s

  Step 7 - introduco il polo in modo da imporre in ωc= 7 una attenuazione di -26dB

  dalle formule utili

  le specifiche sono soddisfatte (di misura!)   si poteva scegliere una ωc inferiore, (ad es. 5rad/s) che avrebbe

consentito una soluzione con un margine più ampio

Rete di ritardo

-180 -135

-40 -20

0 20

10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2

-90 -45

0

L R

-26dB


Rete di ritardo Esempio di progetto per cancellazione   verifica

  specifiche dinamiche   Margine di fase 6 70°   4 ≤ ωc ≤ 20 rad/s

0 0.5 1 1.5 2 2.5 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

risposta al gradino

con cancellazione

senza cancellazione

ωn ≅ 9 δ ≅ .6

-180 -135

-40 -20

0 20

10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2

-90 -45

0

ωc ≅ 6

δ ≅ .62

-10 -8 -6 -4 -2 0

-5

0

5

10 8 6 4 2

0.97

0.88 0.76 0.62 0.48 0.36 0.24 0.12

0.97

0.88 0.76 0.62 0.48 0.36 0.24 0.12 8

-8

δ ≅ .6 ωn ≅ 8.5

L


Regolatori per lo Scenario B   condizioni di utilizzo

  situazioni dopo la compensazione statica L* = RsG

  la frequenza di attraversamento della funzione L* = RsG è esterna συπεριορµεντε ο νελλα παρτε συπεριορε δελλ∍ιντερϖαλλο δι σπεχιφιχα περ c   la sola rete di anticipo non basta perchè porterebbe la

frequenza di attraversamento fuori dall'intervallo di specifica   occorre un regolatore che oltre all'anticipo di fase introduca

anche una attenuazione   a frequenza comunque superiore ad dmax

Rete di ritardo-anticipo

ωcmin ωcmax

L* L*

R s( )= k

1+α1τ1s( ) 1+ τ2s( )1+ τ1s( ) 1+α2τ2s( )

|R| ωdmax ω

arg(R)

ωc


10/29/08



Rete di ritardo-anticipo Rete di Ritardo/Anticipo a guadagno unitario

R s( )=

1+α1τ1s( ) 1+ τ2s( )1+ τ1s( ) 1+α2τ2s( ) Re

Im

-20

-10

0

10

20

10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 -90 -45

0 45 90

2 effetti utili

1τ1

<ω<1α1τ1

⇒ attenuazione

1τ2

<ω<1α2τ2

⇒ anticipo di fase

è la cascata di: •  una rete di ritardo •  una rete di anticipo


Rete di ritardo-anticipo Scomposizione della rete

  composta dalla cascata di due reti

  Rete di Ritardo

  Rete di Anticipo

R s( )=

1+α1τ1s( ) 1+ τ2s( )1+ τ1s( ) 1+α2τ2s( ) Re

Im

Rrr s( )=

1+α1τ1s( )1+ τ1s( )

Rra s( )=

1+ τ2s( )1+α2τ2s( )


Rete di ritardo-anticipo - taratura Progettazione della rete

  per il progetto della rete procederemo per passi, progettando le due sottoreti una dopo l'altra utilizzando, per ciascuna, una delle tecniche di taratura già illustrate   come sempre, il progetto della seconda dovrà tenere conto delle

azioni già introdotte dalla prima   alcune domande lecite

  quale delle due reti va progettata per prima ?   a priori non fa differenza

  c'è qualche vantaggio a scegliere un ordine piuttosto che l'altro ?   si, in entrambi i casi

  prima di procedere è opportuno analizzare meglio questa problematica


10/29/08



Rete di ritardo-anticipo - taratura Ordine di progettazione e gradi di libertà

  il regolatore ha 4 parametri (α1, α2, τ1, τ2 ) per soddisfare le due specifiche   frequenza di attraversamento e margine di fase

  i 4 parametri non possono però essere scelti liberamente   il progetto presenta comunque almeno 1 grado di libertà

  entrambe le reti componenti possono essere progettate per fornire, ad una ωc assegnata,   un effetto utile di entità rilevante (dipende da α)

  rete di anticipo ⇒ anticipo di fase   rete di ritardo ⇒ attenuazione

  un effetto parassita di lieve entità (dipende da α e da τ)   rete di anticipo ⇒ guadagno   rete di ritardo ⇒ ritardo di fase

  ciascuna delle due reti è quindi in grado di compensare l'effetto parassita introdotto dall'altra


Rete di ritardo-anticipo - taratura Ordine di progettazione e gradi di libertà

  rete progettata per prima   si utilizza esclusivamente per il suo effetto utile   il valore dell'effetto parassita non va imposto perchè potrà essere

compensato dalla seconda rete   nel progetto c'è quindi un grado di libertà

  rete progettata per seconda   deve imporre al sistema già compensato con Rra sia il modulo che

la fase in ωc   non ha quindi gradi di libertà

  ad es.   prima Rra ⇒ poi Rrr

  si progetta Rra per imporre l'anticipo di fase richiesto in ωc   quello rilevato dall'analisi di scenario incrementato del ritardo di

fase introdotto successivamente in ωc dal Rrr   si progetta Rrr per imporre l'attraversamento in ωc

  Rrr può introdurre un ritardo di fase aggiuntivo pari a quello già considerato nel progetto di Rra


Rete di ritardo-anticipo - taratura Possibili utilizzi del grado di libertà

  caso A – La rete di anticipo viene progettata per prima   progetto della Rete di anticipo

  si può progettare per minimizzare il guadagno in alta frequenza   fissato l'anticipo ϕ desiderato in ωc si sceglie il guadagno della

rete di anticipo con la formula

  ricordarsi di aggiungere qualche grado per compensare il ritardo introdotto poi dalla Rete di Ritardo

  la rete di anticipo viene poi progettata con le formule di inversione e presenta il massimo anticipo di fase proprio in ωc

  progetto della Rete di ritardo   dal diagramma della RraL* si valutano in ωc

  l'attenuazione necessaria per imporre l'attraversamento   il ritardo di fase massimo ammissibile

  si progetta la rete di ritardo con le formule di inversione


10/29/08




  caso A – La rete di anticipo viene progettata per prima   progetto della Rete di anticipo

  si può progettare per minimizzare il guadagno in alta frequenza   metodo alternativo

  fissati ωc e l'anticipo ϕ desiderato si progetta la rete utilizzando alcune formule utili presentate in precedenza

  da

  progetto della Rete di ritardo   dal diagramma della RraL* si valutano in ωc

  l'attenuazione necessaria per imporre l'attraversamento   il ritardo di fase massimo ammissibile

  si progetta la rete di ritardo con le formule di inversione

se si impone ω* = ωc si ha



  caso B – La rete di ritardo viene progettata per prima   progetto della rete di ritardo

  si può utilizzare il grado di libertà relativo allo sfasamento introdotto dalla rete di ritardo in ωc per minimizzare le code di assestamento nella risposta al gradino   si progetta la rete di ritardo per cancellazione

  progetto della rete di anticipo   dal diagramma della RraL* si valutano in ωc

  l'anticipo di fase necessario   il guadagno per imporre l'attraversamento

  si progetta la rete di anticipo con le formule di inversione


Rete di ritardo-anticipo - taratura

-20

0

20

10 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 1 -180 -135

-90 -45

0

Specifiche dinamiche: .7 < ωc < 20 rad/s Mf >90°

L*

Analisi di Scenario ⇒ Scenario B occorre una rete di anticipo ⇒ la ωc andrà oltre l'intervallo di

specifica

scelgo la frequenza di attraversamento nell'intervallo di specifica, ad es ωc = 1.3 rad/s ⇒ occorrono 45° di anticipo di fase aggiungo 5° per il ritardo di fase parassita della rete di ritardo ⇒ ϕ = +50°

caso A - Progetto per prima la rete di anticipo non dovendo imporre specifiche sul modulo scelgo la taratura a minimo guadagno in alta frequenza

devo quindi progettare una rete di ritardo-anticipo ⇒ aggiusterò la ωc con una rete di ritardo


10/29/08




-20

0

20

10 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 1 -180 -135

-90 -45

0


L*

la rete a minimo guadagno in alta frequenza che assicura + 50° di anticipo di fase ha guadagno in centro banda di +9dB Per il progetto analitico scelgo ωc = 1.3 rad/s M = 2.8 (9 dB) ϕ = +50° 0 10 20 30 40 50 60 70 ϕmax°

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

|R(ω*)|dB

Scelta del guadagno MdB

Caso A – Rete di anticipo prima


ωc = 1.3 rad/s M = 2.8 (9 dB) ϕ = +50°


Specifiche dinamiche: .7 < ωc < 20 rad/s Mf >90° Progetto ora la Rete di Anticipo con le formule di inversione

Dalle formule di inversione per la rete di anticipo τ = 2.16s ατ = .28 s

-60 -40 -20

0 20

10 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 1 -180

-90 0

90

L*

L'

Rra

in ωc = 1.3 rad/s la funzione L'=RraL*: •  ha la fase corretta •  ha il modulo troppo alto ⇒ serve la rete di ritardo

come da scelta di progetto la rete di anticipo ha il massimo sfasamento

proprio in ωc = 1.3 rad/s


dal diagramma della L'=RraL* in ωc = 1.3 rad/s occorre M = 0.18 (-15 dB) ammetto uno sfasamento ϕ = -5° (già considerato nella Rete di anticipo)



Progetto della Rete di Ritardo con formule di inversione

Dalle formule di inversione per la rete di ritardo

τ = 40s ατ = 7.2 s

in ωc = 1.3 rad/s la funzione L=RrrRraL*: •  ha la fase corretta •  ha il modulo unitario (0 dB)

-20

0

20

10 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 1 -180 -135

-90 -45

0

-15dB

L' L Rrr

le specifiche sono soddisfatte


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Verifica

-60

-30

0

30

10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 -180

-90 0

90

Rrra

L

-4 -3 -2 -1 0 1 -3 -2 -1 0 1 2 3

4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0.975 0.91 0.82 0.7 0.56 0.42 0.28 0.14

0.975 0.91 0.82 0.7 0.56 0.42 0.28 0.14

0 5 10 15 20 s 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

per eliminare la coda potrei progettare Rrr per cancellazione

+3 dB

Ta5 = 8s

atteso 2.3s




caso B - Progetto per prima la rete di ritardo scelgo il progetto per cancellazione

-20

0

20

10 -2 10 -1 10 0 10 1 -180 -135

-90 -45

0

-22dB

Introduco lo zero in cancellazione del polo più lento ατ = 5 Traccio il diagramma della L' = (1+ατ s)L* scelgo la frequenza di attraversamento nell'intervallo di specifica, ad es: in ωc = 1.3 rad/s

L* L'

occorrono -22dB di attenuazione per imporre l'attraversamento in ωc = 1.3 rad/s considero altri -6 dB (scelta ragionevole, ma arbitraria) per compensare il guadagno spurio introdotta dalla rete di anticipo. in totale occorrono -28dB




caso B - Progetto per prima la rete di ritardo scelgo il progetto per cancellazione

-40

-20

0

20

10 -2 10 -1 10 0 10 1 -180 -135

-90 -45

0 L* L'=RrrL*

ωc = 1.3 rad/s ατ = 5 ⎢Rp⎢ = - 28 dB


10/29/08





caso B - Progetto ora la rete di anticipo scelgo il progetto con le formula di inversione

-40

-20

0

20

10 -2 10 -1 10 0 10 1 -180 -135

-90 -45

0 L* L'=RrrL*

dai diagrammi della L' (in ω = 1.3 rad/s) ho ϕ = +55° M = 2 (+6 dB)

+55°

+6dB

dalle formule di inversione



Specifiche dinamiche: .7 < ωc < 20 rad/s Mf >90° -60

-40 -20

0 20

10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 -180

-90 0

90 L*

Le specifiche sono soddisfatte

R L



Specifiche dinamiche: .7 < ωc < 20 rad/s Mf >90° -60

-40 -20

0 20

10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 -180

-90 0

90

+15dB

0 1 2 3 4 5 6 s 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-15 -10 -5 0 -4

-2

0

2

4

16 14 12 10 8 6 4 2

0.996 0.986

0.965 0.93 0.87 0.78 0.6 0.35

0.996 0.986

0.965 0.93 0.87 0.78 0.6 0.35

verifica

R L

Ta5 = 3s

atteso 2.3s


10/29/08



Rete correttrici - sommario delle regole di taratura Regole di taratura analizzate

  rete di anticipo   progetto con formule di inversione   progetto per cancellazione

  rete di ritardo   progetto con formule di inversione   progetto per cancellazione

  rete di ritardo/anticipo (rete a sella)   progetto in sequenza delle due reti componenti

  rete di anticipo progettata per prima   progetto della rete di anticipo a minimo guadagno in alta

frequenza   progetto della rete di ritardo con formule di inversione

  rete di ritardo progettata per prima   progetto della rete di ritardo per cancellazione   progetto della rete di anticipo con formule di inversione


Step 2 alla frequenza di attraversamento scelta si ricavano: il guadagno M e lo sfasamento ϕ che la rete deve avere a quella frequenza per imporre le specifiche

Reti correttrici 71

Rete di anticipo - sommario delle regole di taratura Progetto analitico mediante formule di inversione

Step 1 Si sceglie una frequenza di attraversamento:

0 10 20 30 40 50 60 70 ϕmax° 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

|R(ω*)|dB

per avere una rete a guadagno ridotto in alta frequenza.

•  interna all'intervallo di specifica

•  maggiore di quella dell'impianto

•  cercando di garantire in ωc una coppia guadagno/sfasamento sulla curva


Rete di anticipo - sommario delle regole di taratura Progetto analitico mediante formule di inversione

Step 3 si calcolano i parametri della rete mediante le formule di inversione

Step 4 si tracciano i diagrammi di Bode del regolatore R e della funzione d'anello L e si verifica il soddisfacimento delle specifiche Step 5 si verifica il progetto analizzando il sistema in retroazione mediante il luogo delle radici e la risposta al gradino


10/29/08



1a verifica di fattibilità del progetto Se all'interno dell'intervallo di specifica per la frequenza di attraversamento non esiste nessuna frequenza in cui L' rispetta la specifica sul margine di fase, il progetto per cancellazione non è fattibile (il polo di fisica realizzabilità non può migliorare la fase).

Rete di anticipo - sommario delle regole di taratura Progetto per cancellazione

Step 1 Si compensa il sistema con uno zero in cancellazione del polo più vicino, ma a frequenza inferiore, alla frequenza di attraversamento scelta

Step 2 si tracciano i diagrammi di Bode del sistema compensato con il solo zero in cancellazione (L').

A1) la frequenza di attraversamento di L' è interna all'intervallo di specifica

A2) la frequenza di attraversamento di L' è esterna (superiormente) all'intervallo di specifica

Se la 1a verifica di fattibilità dà esito positivo ci sono due alternative



A1) la frequenza di attraversamento di L' è interna all'intervallo di specifica

Il polo della rete deve essere posizionato il più possibile vicino allo zero per garantire il minimo valore di guadagno in alta frequenza L'avvicinamento del polo allo zero introduce uno sfasamento aggiuntivo ed una attenuazione crescente, che abbassa la frequenza di attraversamento Le espressioni

consentono di valutare le relazioni tra sfasamento ed attenuazione introdotti dal polo.

Rp dB

= −20log 1+ tgϕ( )2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Come si vede dal diagramma, la funzione mostra una maggiore sensibilità nei confronti della variazione della fase, che per prima va considerata nel progetto

-90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10

0

-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 Ampiezza (dB)

Fase

(gra

di)

Polo

ϕ Rp( ) = −arctg( 10−

Rp dB10 −1)



Step 3 In ωc si rileva il massimo sfasamento ϕp che il polo di fisica realizzabilità può introdurre senza pregiudicare il margine di fase

Step 4 si calcola la costante di tempo τ del polo di fisica realizzabilità che lo posizioni in modo da introdurre in ωc lo sfasamento ϕp

Verifica si valuta l'attenuazione che verrebbe introdotta, per verificare che la ωc non esca dall'intervallo di specifica.

Se esce si sceglie uno sfasamento inferiore

A1) la frequenza di attraversamento di L' è interna all'intervallo di specifica - continua

Step 5 si verifica il progetto tracciando i diagrammi di Bode di R e di L


10/29/08




A2) la frequenza di attraversamento di L' è esterna (superiormente) all'intervallo di specifica

Il polo della rete deve introdurre una attenuazione M per imporre una ωc all'interno dell'intervallo di specifica. Si sceglie come ωc l'estremo superiore dell'intervallo e si valuta graficamente l'attenuazione da introdurre 2a verifica di fattibilità del progetto per cancellazione Lo sfasamento introdotto dal polo, aggiunto a quello della L' non deve compromettere la specifica sul margine di fase.

Se la verifica di fattibilità non dà esito positivo il progetto per cancellazione non è fattibile. Diversamente si procede con lo step 3 -90

-80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10

0

-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 Ampiezza (dB)

Fase

(gra

di)

Polo



A2) la frequenza di attraversamento è esterna (superiormente) all'intervallo di specifica

Step 3 In ωc si rileva il massimo sfasamento ϕp che il polo di fisica realizzabilità può introdurre senza pregiudicare il margine di fase

Step 4 si calcola la costante di tempo τ del polo di fisica realizzabilità che lo posizioni in modo da introdurre in ωc lo sfasamento ϕp

Verifica si valuta l'attenuazione che verrebbe introdotta, per verificare che la ωc non esca dall'intervallo di specifica.

Se esce si sceglie uno sfasamento inferiore

Step 5 si verifica il progetto tracciando i diagrammi di Bode di R e di L


Rete di ritardo - sommario delle regole di taratura Progetto analitico mediante formule di inversione

Step 2 Si sceglie una frequenza di attraversamento: •  interna all'intervallo di specifica •  minore di quella propria dell'impianto

Step 4 si calcolano i parametri della rete mediante le formule di inversione

Step 3 alla frequenza di attraversamento scelta si ricavano:

•  l'attenuazione M che la rete deve avere a quella frequenza per imporre l'attraversamento

•  il massimo ritardo di fase ammissibile ϕ

Step 1 Si traccia il diagramma di Bode della L*=R1G


10/29/08



Rete di ritardo - sommario delle regole di taratura Progetto per cancellazione

Step 2 Si compensa il sistema con uno zero in cancellazione del polo dell'impianto a frequenza più bassa, escludendo un eventuale polo nell'origine

Step 4 alla frequenza scelta per l'attraversamento

•  si rileva il guadagno dell'impianto e quindi l'attenuazione (⏐Rp ⏐dB) che il polo deve introdurre per imporre l'attraversamento

•  si rileva lo sfasamento in ωc (lo chiamiamo ϕ(L*(ωc)))

Step 3 si tracciano i diagrammi di Bode del sistema compensato (L*) e si sceglie la frequenza di attraversamento ωc

Step 1 Si traccia il diagramma di Bode della L*=R1G


Rete di ritardo - sommario delle regole di taratura Progetto per cancellazione

Step 5 si calcola la costante di tempo τ del polo mediante la relazione

Verifica di fattibilità si verifica la fattibilità del progetto per cancellazione, calcolando il ritardo di fase complessivo in ωc (quello della L* sommato a quello introdotto dal polo)

se ϕ(ωc) soddisfa le specifiche il progetto per cancellazione è fattibile.


dal diagramma della L*=kG •  si sceglie la frequenza di attraversamento ωc •  si valuta l'anticipo di fase (+ϕa) necessario per garantire il margine di fase •  si fissa il valore del ritardo che sarà introdotto in ωc dalla rete di ritardo (-Δϕ) •  si sceglie per la rete ϕ = ϕa - (-Δϕ) •  si sceglie il guadagno (M) della rete in ωc con le formule

Reti correttrici 81

Rete di ritardo/anticipo - sommario delle regole di taratura Rete di anticipo progettata per prima

nel progetto della rete si utilizza il grado di libertà per minimizzare il guadagno in alta frequenza Step 1 – progetto della rete di anticipo

0 10 20 30 40 50 60 70 ϕmax 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

|R(ω*)|dB

•  dati M, ϕ e ωc si progetta la Rete di Anticipo con le formule di inversione


10/29/08



Rete di ritardo/anticipo - sommario delle regole di taratura Rete di anticipo progettata per prima

nel progetto della rete si utilizza il grado di libertà per minimizzare il guadagno in alta frequenza Step 2 – progetto della rete di ritardo

dal diagramma della L'=RrakG •  si valuta l'attenuazione (in dB) necessaria per garantire la frequenza di

attraversamento ωc •  si calcola il corrispondente valore M in scala lineare •  si sceglie per la rete ϕ = -Δϕ già fissato al passo 1 •  dati M, ϕ e ωc si progetta la Rete di Ritardo con le formule di inversione


Rete di ritardo/anticipo - sommario delle regole di taratura Rete di ritardo progettata per prima

nel progetto della rete si utilizza il grado di libertà per minimizzare le code di assestamento Step 1 – progetto della rete di ritardo

dal diagramma della L*=kG •  si sceglie la frequenza di attraversamento ωc •  si introduce lo zero in cancellazione (ωc) •  dai diagrammi della L'=(1+ωcs)L* si valuta l'attenuazione ArdB (valore

negativo) necessaria per imporre l'attraversamento in ωc •  si fissa il guadagno aggiuntivo ΔkdB (valore positivo) introdotto

successivamente dalla Rete di Anticipo •  si calcola AdB = ArdB -ΔkdB •  si posiziona il polo della rete in modo da garantire l'attenuazione AdB in ωc


Rete di ritardo/anticipo - sommario delle regole di taratura Rete di ritardo progettata per prima

nel progetto della rete si utilizza il grado di libertà per minimizzare le code di assestamento Step 2 – progetto della rete di anticipo

dal diagramma della L'=RrrkG •  si valuta l'anticipo di fase (ϕ) necessario per imporre l'attraversamento in ωc •  si calcola il guadagno (in dB) delle rete per imporre l'attraversamento in ωc

(ΔkdB) (a meno di errori è il valore già fissato al passo 1) •  si trasforma il valore del guadagno in scala lineare

•  dati M, ϕ e ωc si progetta la Rete di Anticipo con le formule di inversione


10/29/08



Sistemi con polo nell'origine   Polo nell'origine presente nell'impianto

  Si ricorda che la rete di ritardo viene impiegata per ridurre il guadagno (limitare la frequenza di attraversamento) quando non si può utilizzare un regolatore proporzionale.

  se non ci sono vincoli sull'attenuazione di un disturbo caratterizzato spettralmente   l'uso della rete di ritardo perde di significato perché la frequenza di

attraversamento scelta si può impostare con un regolatore statico del tipo R = k

Rete di ritardo - sistemi con polo nell'origine


Problemi di code di assestamento con le reti correttrici Stima del tipo di effetto

  da modulo LA si ricorda l'antitrasformata della risposta al gradino di un sistema del secondo ordine a polo reali distinti ed uno zero

y t( ) = µ 1− τ1 −Tτ1 −τ 2

e−tτ1 + τ 2 −T

τ1 −τ 2e−tτ2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

se T = 5 τ1 = 4 τ2 = 1

r1 è il residuo associato alla dinamica τ1

r2 è il residuo associato alla dinamica τ2

r2

r1

la dinamica dominante è quella di τ2 la dinamica della coda è quella di τ1

r1 ≅ 1/3 r2 < - 4/3

t

1

-1

r2e-t/τ2

y

r1e-t/τ1


Problemi di code di assestamento con le reti correttrici Stima del tipo di effetto

  per l'analisi si ricorre al luogo delle radici   la coda di assestamento si può manifestare come:

  undershoot   se nella coppia polo/zero in bassa frequenza il polo viene

prima dello zero   overshoot

  se nella coppia polo/zero in bassa frequenza il polo viene dopo lo zero

  la presenza di uno zero in bassa frequenza garantisce che un polo del sistema sarà attratto da questo   la presenza di una coda di ampiezza significativa non è certa. Se il

guadagno di anello è elevato il polo e lo zero si troveranno molto vicini, dando luogo (nell'antitrasformata) ad un residuo di modesta entità rispetto a quello relativo alla dinamica principale   la valutazione del baricentro del luogo può essere di aiuto


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Problemi di code di assestamento con le reti correttrici Alcune situazioni tipiche

-1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 -2

-1.5 -1

-0.5 0

0.5 1

1.5 2

Imag

Axe

s

-2 -1.5

-1 -0.5

0 0.5

1 1.5

2

-1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0

La dinamica residua genera un undershoot con coda di assestamento

di ampiezza modesta

La dinamica residua genera un undershoot con coda di

assestamento di ampiezza rilevante

Il polo residuo sarà collocato tra lo zero (-0.25) ed il polo del regolatore (-0.1). In entrambi i casi la costante di tempo del polo residuo (e quindi della coda) è

quindi compresa tra 4s (-1/-.25) e 10s (-1/-.1)



La dinamica residua genera un overshoot con coda di assestamento

di ampiezza rilevante

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -4

-3

-2 -1

0

1 2

3

4

Il polo residuo sarà collocato tra il polo dell'impianto (-2.5) e lo zero (-1). La costante di tempo del polo residuo (e quindi della coda)

è quindi compresa tra 0.4s (-1/-2.5) e 1s (-1/-1)



La dinamica residua genera un overshoot con coda di assestamento

di ampiezza non eccessivamente rilevante

il ragionamento per determinare la costante di tempo del polo residuo è

un po' più complicato

-10 -8 -6 -4 -2 0 -6

-4

-2

0

2

4

6

Il baricentro normalizzato del luogo è in

Il punto di emergenza degli asintoti è in

Ne consegue che il terzo polo sarà necessariamente a dx del baricentro normalizzato ed a sx dello zero (-1.5).

B

ovviamente a dx del punto di emergenza degli asintoti.

la costante di tempo del polo residuo (e quindi della coda) è compresa tra

0.27s (-1/-3.6) e 0.66s (-1/-1.5)


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Riferimenti bibliografici   Per approfondimenti

  Boltzern, Scattolini, Schiavoni "Fondamenti di Controlli Automatici", McGraw-Hill, II edizione   Capitolo 11

  Marro "Controlli Automatici", Zanichelli, V edizione,   Capitolo 6

Controlli Automatici Parte 2 – Regolatori standard e Metodi di taratura

Reti Correttrici Rete di Anticipo Rete di Ritardo

Rete di Ritardo/Anticipo FINE

Prof. Carlo Rossi DEIS-Università di Bologna

Tel. 051 2093020 Email: [email protected]

URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi

Controlli Automatici LB 10/29/08 Reti correttrici automazione LB... · Parte 2 – Regolatori...

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