Controlli automatici per la meccatronica · 2005. 11. 3. · Controlli automatici per la...

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Controlli automatici Controlli automatici per la meccatronica per la meccatronica Schemi avanzati di controllo Prof. Paolo Rocco ([email protected]) Controlli automatici per la meccatronica - Schemi avanzati di controllo - P. Rocco [2] Oltre il PID Oltre il PID Anche se il nucleo di un controllore in anello chiuso per il controllo del moto è sempre costituito da un regolatore PID (o P/PI), vi sono altri schemi di controllo che possono completare o sostituire lo schema base. Alcuni di questi schemi trovano corrente applicazione nei CN commerciali. Nel seguito ci occuperemo dei seguenti schemi: Filtri notch Osservatore del disturbo di coppia Controllo nello spazio di stato Input shaping

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Controlli automaticiControlli automaticiper la meccatronicaper la meccatronica

Schemi avanzati di controllo

Prof. Paolo Rocco ([email protected])

Controlli automatici per la meccatronica - Schemi avanzati di controllo - P. Rocco [2]

Oltre il PIDOltre il PIDAnche se il nucleo di un controllore in anello chiuso per il controllo del moto è sempre costituito da un regolatore PID (o P/PI), vi sono altri schemi di controllo che possono completare o sostituire lo schema base. Alcuni di questi schemi trovano corrente applicazione nei CN commerciali. Nel seguito ci occuperemo dei seguenti schemi:

• Filtri notch

• Osservatore del disturbo di coppia

• Controllo nello spazio di stato

• Input shaping

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Filtro Filtro notchnotch

Un filtro notch è un sistema dinamico progettato per cancellare una coppia di poli complessi e coniugati, tipicamente a basso smorzamento, presenti nel sistema sotto controllo. E’ quindi caratterizzato dalla funzione di trasferimento:

22

2

21

2

22

)(nn

nnnf ss

sssG

ω+ωζ+

ω+ωζ+=

dove ωn è la pulsazione dei poli complessi da cancellare, ζ1 e ζ2sono smorzamenti, il primo piccolo, il secondo grande.

Il diagramma di Bode ècaratterizzato da una “gola”:

10-1 100 101-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

dB

w/wn

21 ζζ

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Filtro Filtro notchnotch: utilizzo: utilizzo

In un sistema di controllo del moto, il filtro notch viene di norma inserito nell’anello di velocità, in serie al regolatore PI:

22

2

21

2

22

)(nn

nnnf ss

sssG

ω+ωζ+

ω+ωζ+=

La pulsazione naturale ωn del filtro viene posta uguale alla stima disponibile della pulsazione ωp dei poli del sistema sotto controllo, e lo smorzamento ζ1 degli zeri del filtro approssima lo smorzamento dei poli ζp.

N.B. In diversi CN, il filtro viene assegnato dando la frequenza da bloccare (ωn) e la “banda a –3dB”

10-1 100 101-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

dB

w/wn banda a –3dB

τm qm.

Gvm(s)RPI(s)+−

Gnf(s)qo

m.

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Controlli automatici per la meccatronica - Schemi avanzati di controllo - P. Rocco [5]

Filtro Filtro notchnotch: problemi: problemi

Sebbene il filtro notch possa essere utile per migliorare la risposta al riferimento, ci sono alcuni problemi connessi al suo utilizzo:

τm qm.

Gvm(s)RPI(s)+−

Gnf(s)qo

m.

• La frequenza di risonanza sulla quale sintonizzare gli zeri del filtro deve essere conosciuta con buona approssimazione

• I poli poco smorzati del processo cancellati dal filtro rimangono autovalori del sistema in anello chiuso e riemergono come poli di altre funzioni di trasferimento, tipicamente quella dal disturbo di carico all’uscita.

• La realizzazione digitale dei regolatori produce una certa distorsione della risposta in frequenza che potrebbe non far coincidere la frequenza effettiva degli zeri del filtro digitale con la frequenza di progetto. Vi sono metodi per ovviare a questo problema (frequency pre-warping)

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SimulazioniSimulazioni

Simuliamo in Simulink il controllo P/PI lato motore con filtro notch all’interno dell’anello di velocità:

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0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

t(s)

senza filtro notchcon filtro notch

SimulazioniSimulazioni

Sistema: ωz=200, ρ=1, ζz=0.1

PI di velocità: τiv=10, ωcv=1

disturbo di coppia

~ P di posizione: γpp=0.1

Le cose non migliorano (anzi peggiorano). Perché?

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Con filtro

SpiegazioneSpiegazione

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-3

-2

-1

0

1

2

3

Real Axis

Imag

Axi

s

polo in anello chiuso

-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Real Axis

Imag

Axi

s

polo in anello chiuso

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Real Axis

Imag

Axi

s polo in anello chiuso

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-3

-2

-1

0

1

2

3

Real Axis

Imag

Axi

s

polo in anello chiuso

Senza filtro

Anello di velocità

Anello di posizione

Conclusione: il filtro di fatto non aiuta a conferire smorzamento ai poli in anello chiuso.

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Filtro Filtro notchnotch fuori dallfuori dall’’anello di velocitanello di velocitàà

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-3

-2

-1

0

1

2

3

Real Axis

Imag

Axi

s

polo in anello chiuso

Senza filtro Con filtro

Anello di posizione

-3 -2 -1 0 1-3

-2

-1

0

1

2

3

Real Axis

Imag

Axi

s

polo in anello chiuso

Con gli stessi guadagni del P/PI si ottengono dei poli in anello chiuso piùsmorzati. Inoltre i poli cancellati sono quelli dell’anello chiuso di velocità, noti con minore incertezza rispetto a quelli del sistema in anello aperto.

τm qm.

Gvm(s)RPI(s)+−

qom

.Gnf(s)

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SimulazioniSimulazioni

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0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

senza filtro notchcon filtro notch

SimulazioniSimulazioni

Sistema: ωz=200, ρ=1, ζz=0.1

PI di velocità: τiv=10, ωcv=1

disturbo di coppia

~ P di posizione: γpp=0.1

Si ottiene un sensibile miglioramento della risposta lato carico

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Filtro Filtro notchnotch e controllo lato caricoe controllo lato carico

Senza filtro Con filtro

Anello di posizione

Il vantaggio del filtro notch in questo caso appare ancora più rilevante.

qom Gnf(s)

qmqm.

1/sFv(s)Kpp++

s

+Glm(s)

nqlnqol

.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-3

-2

-1

0

1

2

3

Real Axis

Imag

Axi

s

polo in anello chiuso

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-3

-2

-1

0

1

2

3

Real Axis

Imag

Axi

s

polo in anello chiuso

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SimulazioniSimulazioni

Controlli automatici per la meccatronica - Schemi avanzati di controllo - P. Rocco [14]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6senza filtro notchcon filtro notch

SimulazioniSimulazioni

Sistema: ωz=200, ρ=1, ζz=0.1

PI di velocità: τiv=10, ωcv=1

disturbo di coppia

~ P di posizione: γpp=0.1

Si ottiene un sensibile miglioramento della risposta al riferimento lato carico. La risposta al disturbo però peggiora.

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Osservatore del disturboOsservatore del disturboL’osservatore del disturbo di coppia (TDO: Torque Disturbance Observer) è uno schema molto utilizzato nel controllo del moto, in particolare in applicazioni dove alla coppia nominale prodotta dal motore si sovrapponga un disturbo.Il metodo stima la coppia di disturbo in ingresso al motore, compensandola con una retroazione positiva sul comando.

Consideriamo inizialmente un generico sistema con ingresso manipolabile ue disturbo di carico d:

+ P(s)u

d+ y

Ci proponiamo di progettare un sistema che sulla base dei valori assunti da u e ydetermini una stima del disturbo.

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Osservatore del disturboOsservatore del disturbo

In questo schema Pn(s) è un modello del sistema sotto controllo, di funzione di trasferimento P(s), mentre Q(s) è un filtro passabasso a guadagno unitario tale da rendere realizzabile la funzione di trasferimento Q(s)Pn

−1(s).La stima del disturbo prodotta dall’osservatore (DO) è la seguente:

+ P(s)u

d+ y

Q(s) Q(s)Pn−1(s)

++u*

+ −d̂DO

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )sdsPsPsQsusPsPsQ

susdsPsQsPsusQsysQsPsusQsd

nn

nn

)()()(1)(

)()()()()(ˆ11

11

−−

−−

−−=

=+−=−=

se: )()( sPsPn ≈

Pertanto, nella banda passante del filtro Q, il disturbo è stimato correttamente.

( ) ( )sdsQsd )(ˆ −≈si ha:

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Osservatore del disturboOsservatore del disturbo

Risolvendo lo schema a blocchi, si ottiene:

+ P(s)u

d+ y

Q(s) Q(s)Pn−1(s)

++u*

+ −d̂DO

( ) ( )( )

( )( )

( )susQsPsPsQ

sPsdsQsPsPsQ

sQsPsynn

*11 )()()(1

)()()()(1

)(1)(−− +−

++−

−=

se: )()( sPsPn ≈

Pertanto, nella banda passante del filtro Q, il sistema dal nuovo ingresso u*all’uscita y è virtualmente esente dal disturbo.

( ) ( ) ( ) ( )susPsdsQsPsy *)()(1)( +−=

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Osservatore del disturbo di coppiaOsservatore del disturbo di coppiaConsideriamo ora un motore caratterizzato dal momento di inerzia Jm e dal coefficiente di attrito Dm. La funzione di trasferimento (da coppia a velocità) è:

τlm

Jms + Dm

1 1s

.qm

qmτm +

Dm −

1 + sTf

1

Jm

Tf

Jm

Tf

++

+

+

τc

τ*m

TDO

− La coppia di disturbo è costituita da una coppia esogena τc e dalla coppia trasmessa dal carico τlm.Tf è la costante di tempo (piccola) del filtro Q.

mm DsJsP

+=

1)(

Adottando un filtro Q del primo ordine e rielaborando lo schema dell’osservatore del disturbo si ottiene:

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Osservatore del disturbo di coppiaOsservatore del disturbo di coppia

Elaborando lo schema a blocchi si ottiene:

τlm

Jms + Dm

1 1s

.qm

qmτm +

Dm −

1 + sTf

1

Jm

Tf

Jm

Tf

++

+

+

τc

τ*m

TDO

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]sssGssDsJ

sQ lmcfmmm

m τ+τ−τ+

= *21

con:

( )f

ff sT

sTsG

+=

1

Il disturbo di coppia viene quindi filtrato molto efficacemente, in particolare in bassa frequenza.Si osservi che il modello di riferimento è quello di un giunto rigido.

Che cosa cambia se tra motore e carico c’è un accoppiamento elastico?

filtro passa-alto.

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TDO e modello elasticoTDO e modello elastico

Jms + Dm

1 1s

.qm

qmτm +

Dm −

1 + sTf

1

Jm

Tf

Jm

Tf

++

+

+

τc

τ*m

TDO

−Jls11

s

τlmDels+Kel

.−

n n

τd.ql

ql

+

+

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TDO e modello elasticoTDO e modello elastico

Elaborando lo schema a blocchi con τd=0 si ottiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]ssGssKsD

sQ

ssGss

KsDsJsQ

cfmf

elell

cfmf

elellrm

τ−τϕ

+=

τ−τϕ

++=

*

*2

,

con: ( ) ( )( ) ( )( ) 222 sJKelsDsGsDsJKsDsJs melfmmelellrf +++++=ϕ

Per Tf → 0:

)(1)( *2 s

sDsJsQ m

mmm τ

+≈

)()( 2 sQKsDsJ

sDKsQ m

elellr

elell

++

+≈

Il disturbo di coppia è rigettato...

…ma è come se la posizione del carico fosse in anello aperto!

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SimulazioneSimulazione

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SimulazioneSimulazione

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

2

t (s)

senza TDOcon TDO

Conclusione: L’osservatore viene “tratto in inganno”: interpreta la retroazione di coppia dalla trasmissione come se fosse un disturbo esogeno e cerca di neutralizzarlo. Bisogna usare il TDO con attenzione.

(lato carico)

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Controllo nello spazio di statoControllo nello spazio di statoSe si dispone della misura della sola posizione motore, può essere di interesse considerare la metodologia di controllo di assegnamento degli autovalori.

1) L’obiettivo ultimo è controllarela posizione del carico...

JD

K

m Jlel

el

Controllo

JD

K

m Jl

el

el

Controllo ?

Jm Jl

Controllo

2) Un controllo perfetto del motorelascia il carico in anello aperto...

3) …si cercano soluzioni che tenganoconto dell’intero stato del sistema.

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Modello nello spazio di statoModello nello spazio di stato

• Controllabilità da u• Osservabilità da y

[ ]

mm

Tllmm

qyu

qnnqqq

=τ=

=

,

&&x

cx

bAxx

=

+=

y

u&

[ ]0001

00

10

,1000

0010

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

−−

+−−

=

c

bA m

lr

el

lr

el

lr

el

lr

el

m

el

m

el

m

elm

m

el

J

JD

JK

JD

JK

JD

JK

JDD

JK

2nJJ llr =

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Schema di controlloSchema di controllo

Da progettare:• Azione integrale• Legge di controllo (u = kx)• Stima dello stato• Azioni in anello aperto

^

Conversionesetpoint

Feedforward

∫ Servoposizionatore

Stimadello statoK

ql

+ +

+

Controllore

qm ql

qm

τm

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Introduzione dellIntroduzione dell’’azione integraleazione integrale

Si introduce l’azione integrale per ottenere errore nullo a regime sul setpointanche in presenza di disturbi costanti, come l’attrito di Coulomb. Detto xI lo stato dell’integratore si avrà:

A questo punto si “allarga” lo stato del sistema, aggiungendo lo stato dell’integratore:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

Ixx

z

ygugFzz yu ++=&

Le matrici si modificano di conseguenza:

yyyx

u

I +−=−=

+=

cx

bAxx

&

&

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Introduzione dellIntroduzione dell’’azione integraleazione integrale

Grazie al principio di separazione, potremo procedere all’assegnamento degli autovalori del sistema in anello chiuso come se lo stato del sistema fosseaccessibile, trattando separatamente il problema della stima dello stato dall’uscita.

Volendo allocare gli autovalori del sistema “aumentato” occorreràpreliminarmente verificare la controllabilità della coppia (F, gu): si può dimostrare che questo è vero se e solo se il sistema sotto controllo èraggiungibile ed osservabile e se la sua funzione di trasferimento non ha zeri in s=0.

Poiché queste condizioni sono soddisfatte, si può procedere all’assegnamento degli autovalori con regolazione a zero dell’errore.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡−

=1

,0

,0

00yu g

bg

cA

F

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Posizionamento degli Posizionamento degli autovaloriautovaloriSi scelgono i guadagni in modo da assegnare gli autovalori della matrice in anello chiuso:

[ ] ( )zKgFzkKzK

gFzz ~~,~ u

I

u

kuu

+=⇒==

+=&

&

In linea di principio, gli autovalori possono essere scelti arbitrariamente. In realtà la robustezza dell’assegnamento degli autovalori dipende fortemente dalle posizioni scelte per gli autovalori desiderati in anello chiuso.

Una misura di robustezza è il condizionamento della matrice formata dagli autovettori del sistema in anello chiuso: più ortogonali sono gli autovettori, migliore è il condizionamento, più robusto è il sistema in anello chiuso.

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Controllo ottimo LQControllo ottimo LQUn’alternativa è scegliere i guadagni in modo da minimizzare la cifra di merito quadratica:

La routine Matlab “lqr” fornisce la soluzione del problema (cioè la matrice K) dati il sistema sotto controllo e la matrice Q (che deve essere semidefinitapositiva).

Come scegliere la matrice dei pesi Q?Si può procedere per tentativi oppure seguire strade più strutturate, per le quali si rimanda alla letteratura specifica.

( ) ( ) ( )[ ]dttuttJ T∫∞

+=0

2Qzz

~

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Ricostruttore asintotico dello statoRicostruttore asintotico dello stato

Si scelgono i guadagni del ricostruttore in modo da assegnare gli autovaloridella dinamica dell’errore di stima:

( ) ( ) [ ]xxlcA

xclbxAx

cxbAxx

ˆ

ˆˆˆˆ

−=+=⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−++=

⎩⎨⎧

=+=

εεε&

)

&

&

yyyu

yu

• Come è noto il problema è risolubile se la coppia (A, c) è osservabile (come nel nostro caso).

• Più grande è il modulo degli autovalori di A+lc, più veloce è la ricostruzione della dinamica, ma più sensibile è la stima ai rumori di misura.

• Anche questo problema può essere impostato in termini di minimizzazione di una cifra di merito integrale, progettando un filtro di Kalman. Occorre però modellare il sistema in ambito stocastico (i disturbi vanno interpretati come processi stocastici con determinate medie e varianze).

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Progetto delle azioni di anticipoProgetto delle azioni di anticipo

Per conferire al progetto precisione dinamica (prontezza e grado di stabilitànei transitori di inseguimento del riferimento) si adottano dei componenti in feedforward.Si osservi che:

( ) ( )( ) ( )( )s

sBssG

bKA

mk

+

χ=+−= bbKAIc 1

4

Numeratore della f.d.t. da τm a qm

Servoposizionatore

Stima dellostatoK x̂

+ ++

+

Gf(s)

kI

s

+

Sistema di funzione di trasferimento Gk(s)

Gr(s)ql qm τm

qlqm

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Progetto delle azioni di anticipoProgetto delle azioni di anticipo

Sceglieremo:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

==

−−

sFsGsGsGsFsGsG

lmkf

lmr11

1

Per ottenere operatori causali , il grado relativo di F deve essere pari almeno a 3.

⇒( )( ) ( )sFsQsQ

l

l =

Definiamo:

( ) ( )( )sBsB

sGm

llm =

Numeratore della f.d.t. da u a qm

Numeratore della f.d.t. da u a ql

Servoposizionatore

Stima dellostatoK x̂

+ ++

+

Gf(s)

kI

s

+

Sistema di funzione di trasferimento Gk(s)

Gr(s)ql qm τm

qlqm

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Apparato sperimentaleApparato sperimentale

motor

harmonic drive

load

Poliboard board

PCL-818H Board

Servo-Drive

Current Reference

Encoder signal

PositionDigital

Current

Acceleration

Computer

BUS

Torque constant Kt 1.6 Nm/Arms Motor inertia Jm 0.00015 Kgm2 Load inertia Jl 2.7 Kgm2 Transmission ratio n 100 Viscous friction Dm 0.0034 Nms/rad Stiffness constant Kel 3.1 Nm/rad Elasticity damping coeff. Del 0.0022 Nms/rad Antiresonance frequency ωnz 105 rad/s Complex zeros damping ζz 0.063 Resonance frequency ωnp 179 rad/s Complex poles damping ζp 0.138 Real pole frequency 1/T 9.12 rad/s

Experiment 1 2 3Load rotation (deg) 40 30 50Time for the positioning (s) 0.5 0.5 0.9Maximum acceleration (rad/s2) 1200 900 500

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Controlli automatici per la meccatronica - Schemi avanzati di controllo - P. Rocco [35]

Confronti sperimentaliConfronti sperimentali

• Rotazione di 40° in 0.5 s• Accelerazione max: 1200 rad/s2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

time (s)

Load

vel

ocity

(rad

/s)

PID

LQG

• Rotazione di 30° in 0.5 s• Accelerazione max: 900 rad/s2

PID

LQG

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

time (s)

Load

vel

ocity

(rad

/s)

Controlli automatici per la meccatronica - Schemi avanzati di controllo - P. Rocco [36]

Confronti sperimentaliConfronti sperimentali• Rotazione di 50° in 0.9 s• Accelerazione max: 500 rad/s2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

time (s)

Load

vel

ocity

(rad

/s)

PID

LQG

A basse velocità si ha la comparsa di ripple

Conclusioni sui metodi nello spazio di stato:Si manifestano dei vantaggi rispetto al controllore PID, che però si pagano in termini di complessità di progettazione, realizzazione, codifica e debugging del controllore.

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Controlli automatici per la meccatronica - Schemi avanzati di controllo - P. Rocco [37]

Input Input shapingshaping

Tutti i metodi di controllo visti finora prevedono una retroazione della variabile controllata: sono infatti metodi in anello chiuso.

L’input shaping è invece un metodo in anello aperto (feedforward): consiste nel modificare l’ingresso al sistema sotto controllo in modo tale da annullare l’effetto di una o più risonanze presenti nel sistema stesso. Richiede la conoscenza della pulsazione naturale e dello smorzamento dei poli complessi e coniugati.

Può essere utilizzato con un certo successo nel controllo di strutture flessibili, quali per esempio bracci robotici per applicazioni spaziali.

RALF, Georgia Tech (Atlanta)

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Risposta allRisposta all’’impulsoimpulso

Si consideri un sistema dinamico con una coppia di poli complessi e coniugati:

22

2

2)(

nn

n

sssG

ω+ζω+

ω=

La risposta ad un impulso di ampiezza ki che interviene all’istante ti è data dall’espressione:

( ) ( ) ( ) iintt

ii tttteBty in ≥⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −ζ−ω= −ζω− ,1sin 2

con:

21 ζ−

ω= n

ii kB

0 20 40 60 80 100 120-1

-0.5

0

0.5

1

t (s)

Il periodo (o pseudoperiodo) dell’oscillazione vale:

21

2

ζ−ω

π=∆

n

T

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Controlli automatici per la meccatronica - Schemi avanzati di controllo - P. Rocco [39]

Due impulsiDue impulsi

Si supponga ora di eccitare il sistema con due impulsi, agli istanti t1 e t2(t2> t1). La risposta del sistema è la somma delle due risposte all’impulso:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222

212

1 ,1sin1sin 21 tttteBtteBty ntt

ntt nn ≥⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −ζ−ω+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −ζ−ω= −ζω−−ζω−

È possibile fare in modo che y sia nulla a partire dall’istante t2?È sufficiente imporre le seguenti condizioni:

⎪⎩

⎪⎨

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ζ−ω+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ζ−ω

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ζ−ω+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ζ−ω

ζωζω

ζωζω

01cos1cos

01sin1sin

22

212

1

22

212

1

21

21

tektek

tektek

nt

nt

nt

nt

nn

nn

Si tratta di un sistema di due equazioni nelle quattro incognite k1, k2, t1 e t2. Per risolverlo possiamo imporre t1=0 e la condizione di normalizzazione sulle ampiezze:k1 + k2 =1

Controlli automatici per la meccatronica - Schemi avanzati di controllo - P. Rocco [40]

0 5 10 15 20 25 30

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

t (s)

impulso 1impulso 2somma

Due impulsi: soluzioneDue impulsi: soluzione

Risolvendo il sistema si trova:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =α

α+α

=α+

=∆

== ζ−ζπ− 212121 1

,1

1,2

,0 ekkTtt

Il secondo impulso va quindi dato dopo metàperiodo. Si osservi che entrambi gli impulsi sono positivi.

1

2

Σ

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Controlli automatici per la meccatronica - Schemi avanzati di controllo - P. Rocco [41]

0 5 10 15 20 25 30

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

t (s)

impulso 1impulso 2somma

Due impulsi: robustezzaDue impulsi: robustezza

Se i parametri ωn e ζ sono noti con imprecisione, il risultato dell’operazione peggiora. Ad esempio, con un errore del 10% su ωn e del 20% su ζ si ottiene:

Per migliorare la robustezza del metodo, si possono utilizzare più di due impulsi.

1

2

Σ

Controlli automatici per la meccatronica - Schemi avanzati di controllo - P. Rocco [42]

Tre impulsiTre impulsi

Si supponga quindi di eccitare il sistema con tre impulsi, agli istanti t1, t2 e t3 (t3>t2>t1). La risposta del sistema è la somma delle tre risposte all’impulso:

( ) ( ) ( ) 33

1

2 ,1sin tttteBtyi

intt

iin ≥∑ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −ζ−ω=

=

−ζω−

Per fare in modo che y sia nulla a partire dall’istante t3 si impone:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=∑ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ζ−ω

=∑ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ζ−ω

=

ζω=

ζω

01cos

01sin3

1

2

3

1

2

iin

ti

iin

ti

tek

tek

in

in

Si tratta di un sistema di due equazioni nelle sei incognite k1, k2, k3, t1 , t2 e t3. Possiamo però imporre anche che non solo y ma anche la sua derivata sia nulla a partire dall’istante t3. In questo modo si generano altre due equazioni:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=∑ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ζ−ω

=∑ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ζ−ω

=

ζω=

ζω

01cos

01sin3

1

2

3

1

2

iin

tii

iin

tii

tetk

tetk

in

in

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Controlli automatici per la meccatronica - Schemi avanzati di controllo - P. Rocco [43]

0 5 10 15 20 25 30

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

t (s)

impulso 1impulso 2impulso 3somma

Tre impulsi: soluzioneTre impulsi: soluzione

Risolvendo il sistema imponendo t1=0 e la condizione di normalizzazione sulle ampiezze k1 + k2 + k3 = 1 si trova:

2

2

32221321 21,

212,

211,,

2,0

α+α+α

=α+α+

α=

α+α+=∆=

∆== kkkTtTtt

Il secondo impulso va quindi dato dopo metàperiodo, il terzo dopo un intero periodo. Si osservi che tutti gli impulsi sono positivi.

1

2

Σ3

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Tre impulsi: robustezzaTre impulsi: robustezza

Con un errore del 10% su ωn e del 20% su ζ si ottiene:

Il comportamento, nonostante l’incertezza sui parametri, è buono.

0 5 10 15 20 25 30

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

t (s)

impulso 1impulso 2impulso 3somma

1

2

Σ

3

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Input Input shapingshaping: il metodo: il metodo

Dalle considerazioni precedenti si può derivare un metodo per modificare l’ingresso di un sistema risonante, in modo da eliminare le oscillazioni.Sia u(t) l’ingresso del sistema e w(t) il treno di impulsi determinato con le considerazioni precedenti:

e che la trasformata di Laplace della convoluzione di due segnali è il prodotto delle due trasformate:

( ) ( )[ ] ( ) ( )sUsHtuthL =∗

Ricordiamo che con convoluzione di due segnali u e h si intende l’operazione:

( ) ( ) ( ) ( )TtkTtktktw ∆−δ+∆−δ+δ= 321 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ττ−τ=ττ−τ=∗tt

dthudtuhtuth00

Sia inoltre h(t) la risposta del sistema di funzione di trasferimento G(s) a w:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ttthtytytyth ∆>=++= ,0,321

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Input Input shapingshaping: il metodo: il metodo

Il metodo quindi consiste nel prefiltrare il segnale di ingresso con questo semplice schema a blocchi:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )sUekekksG

sUsWsGsUsHtuthLsYTsTs ∆−∆− ++=

===∗=

32

21

Facendo la convoluzione dell’ingresso originario u con la funzione h si ottiene un segnale y privo di oscillazioni a partire dall’istante ∆T.D’altra parte risulta:

Sono state sviluppate anche versioni adattative del metodo ed estensioni al caso di più modi risonanti.

+

k3

u

k2 e−s∆T/2

k1

+

++

e−s∆T

umodificato

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EsempioEsempio

Applichiamo il metodo dell’input shaping a un servomeccanismo a due masse.J

D

K

m Jlmel

el

q ,m

qlτ05.0,1 =ζ=ωn

Supponiamo che l’ingresso di comando sia un profilo di coppia di tipo rettangolare. Calcoliamo con la metodologia vista i coefficienti ki e i ritardi di tempo. Si ottiene l’ingresso modificato:

0 20 40 60 80 100 120

-1

-0.5

0

0.5

1

t (s)

(Nm

)

ingresso originarioingresso modificato

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EsempioEsempio

Simuliamo la risposta, in termini di velocità lato carico. Prevediamo un’incertezza del 10% su ωn e del 20% su ζ.

Nonostante l’incertezza, le oscillazioni sono quasi completamente rimosse. Si genera un ritardo, che però può essere compensato facendo partire in anticipo l’ingresso.

-20 0 20 40 60 80 100 120-5

0

5

10

15

20

25

30

35

t (s)

(rad/

s)

uscita originariauscita modificata