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CONTROLLI AUTOMATICI

Ingegneria Gestionalehttp://www.automazione.ingre.unimore.it/pages/corsi/ControlliAutomaticiGestionale.htm

Ing. Federica Grossi

Tel. 059 2056333

e-mail: [email protected]

http://www.dii.unimore.it/wiki/index.php/Federica_Grossi

SISTEMI ELEMENTARI

DEL 1o E 2o ORDINE

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Sistemi Elementari -- 2Controlli Automatici

Sistemi elementari

Sistemi elementari del 1o e 2o ordine:

• La funzione di trasferimento di un sistema comunque complesso può essere

vista come somma di funzioni di trasferimento del primo e secondo ordine, ad

esempio:

• La stessa proprietà vale per la risposta (somma delle risposte)


Sistemi elementari

Risposta al gradino:

• Viene usato come segnale d’ingresso u(t) un gradino unitario

• Se il gradino non fosse unitario ma di ampiezza K, la risposta sarebbe la

stessa moltiplicata per K (linearità):

t

1

u(t)

G(s)U(s) Y(s)

Yk(s) = G(s) KU(s) = K G(s) U(s) = K Y(s)


Sistemi elementari


• Nota la risposta al gradino, è molto semplice ricavare la risposta all’impulso,

alla rampa e a tuti i “segnali canonici” (con trasformata di Laplace del tipo 1/si,

i = 1, 2, 3, …)

• Dato:

Allora la risposta all’integrale di u(t) è data dall’integrale di y(t)

Quindi la risposta alla rampa la si può ottenere integrando la risposta al

gradino, la risposta alla parabola integrando quella alla rampa, e così via.


Sistemi elementari


• Inoltre, se u(0-) = 0, y(0-) = 0, l’uscita generata dalla derivata di u(t) è

la derivata di y(t)

Quindi ad esempio la risposta all’impulso è la derivata della risposta al gradino

(l’impulso può essere interpretato come la derivata del gradino).


Sistemi elementari – Primo ordine

• Un sistema elementare del primo ordine è caratterizzato da una funzione di

trasferimento che, a meno di un fattore costante, si può porre nella forma

in cui la costante di tempo costituisce il parametro che caratterizza il

comportamento dinamico.

• La risposta al gradino unitario

è data da

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo (t/tau)

y(t

)



• Sistema elementare del primo ordine

• Per la risposta a gradino, si ha:

• Cioè il valore iniziale è nullo e la

pendenza (tangente) vale 1/:

per t = la tangente

assume il valore di regime

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo (t/tau)

y(t

)



• per t = la risposta assume un valore pari al 63,2 % del valore finale di regime,

• per t = 2 il valore è pari all'86,5% del valore di regime,

• per t = 3 si raggiunge il 95,0% del valore di regime.

0.63

0.865

0.95

2 3

Risposta di un sistema del primo ordine

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo (t/tau)

y(t

)



• Tempo di assestamento tempo occorrente perché l'uscita rimanga entro il

5% del valore finale.

Per t = 5 si raggiunge il

99,3% del valore di regime.

Per t = 7 si raggiunge il 99,91

% del valore di regime, cioè

l'assestamento residuo rimane

inferiore all'un per mille.

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo (t/tau)

y(t

)

0.95



• Al variare di varia la velocità di risposta del sistema

• Se Ta

0 5 10 15 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo (sec)

y(t

)

[1, 10]

= 10 = 1

xxxxxx

-1 -1/10

j

Poli più a “sinistra”

( piccoli)

corrispondono a risposte “più veloci”.

Sistemi Elementari -- 11

o

Controlli Automatici

Sistemi elementari – Primo ordine con zero

• Se oltre al polo vi è anche uno zero (sistema proprio)

• La risposta a gradino è data da

Essendo = T/ il rapporto tra le

costanti di tempo dello zero e del polo

(p = z)

= -1

= 1.5

= 0.5

x

= 1

j

> 1 < 1

oo

0 1 2 3 4 5 6-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tempo (t/)

Valore iniziale = Pendenza iniziale = (1-)/


Considerazioni generali sul controllo

• Requisiti/specifiche di un sistema di controllo

• stabilità

|e| limitato t (|u| limitato t)

• prestazioni statiche

valore dell'errore (modulo) a regime (esaurito il transitorio)

con segnale di riferimento e/o di disturbo standard

gradino, rampa,…

• prestazioni dinamiche

caratteristiche del transitorio

segnali di riferimento standard


Sistemi elementari – Secondo ordine

• Spesso i sistemi in retroazione, anche se di ordine elevato, presentano una

risposta analoga a quella dei sistemi del secondo ordine.

Questo perché in genere la configurazione

poli-zeri di un sistema dinamico è

caratterizzata dalla presenza di una coppia di

poli “dominanti” complessi coniugati, cioè

una coppia di poli (i più vicini all'asse

immaginario) il cui contributo nell'espressione

del transitorio è notevolmente più importante

di quello degli altri poli.

x

x

x

xx

j



• Per le specifiche riguardanti la risposta al gradino (segnale tipico più frequentemente

impiegato) si fa riferimento ad un andamento della risposta analogo a quello di un sistema del

secondo ordine con poli complessi, cioè di tipo oscillatorio smorzato.

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tempo (t)

y(t

)


0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tempo (t)

y(t

)


• SPECIFICHE DINAMICHE (in transitorio)• I parametri più importanti, sui quali si può basare una misura della qualità del transitorio di un

sistema del secondo ordine sono:

Massima sovraelongazione (o massimo sorpasso) S: differenza fra il valore massimo raggiunto dall'uscita e il valore finale; normalmente si esprime in % del valore finale.

Tempo di ritardo Tr: tempo per raggiungere il 50% del valore finale.

Tempo di salita Ts: tempo occorrente perchè l'uscita passi dal 10 al 90% del valore finale.

Tempo di assestamento Ta: tempo occorrente perché l'uscita rimanga entro il § 5% del valore finale.

Istante di massima sovraelongazione Tm: istante al quale si presenta la massima sovraelongazione.

S

Tr

Ts Ta

Tm



• Per il tipico sistema del secondo ordine, la cui funzione di trasferimento, a

meno di un fattore costante, si può porre nella forma

0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Tempo (wn * t)

y(t

)

I parametri definiti in precedenza dipendono dalla posizione dei poli nel piano complesso, legata a sua volta ai valori:

del coefficiente di smorzamento

della pulsazione naturale n.

= 2

= 0.1



La risposta al gradino unitario è data dalla relazione

0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Tempo (wn * t)

y(t

)

dove:



• Posizione dei poli della f.d.t. al variare di = cos()

Re(s)

Im(s)

0P1

xx

P2

Re(s)

Im(s)

0P1 = P2

nxx

Re(s)

Im(s)

0

p1

p2

n

Poli instabili!

Re(s)

Im(s)

0

p1

p2

n



• Caratteristiche della risposta poli della f.d.t.

Re(s)

Im(s)

0

p1

p2

n

-n

instabileveloce lento

transitorio

=1

n

>1

n

<1

5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

Risposte al gradino


Sistemi elementari

• Può interessare la relazione esatta fra il valore del coefficiente di smorzamento e quello della

massima sovraelongazione. Per ricavarla, si deriva rispetto al tempo la

Si ottiene

Ponendo la derivata uguale a zero, si ha

da cui


Sistemi elementari

• Si ricavano infine i valori dell'uscita in corrispondenza dei vari massimi e minimi

• L’andamento temporale dei massimi e dei minimi è il seguente:



• Anche il valore della massima sovraelongazione S in % si ricava facilmente:

In un sistema del secondo ordine la massima sovraelongazione è funzione

unicamente del coefficiente di smorzamento ed è uguale al 100 % quando tale

coefficiente è nullo.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

S %



• Il coefficiente di smorzamento dipende dalla posizione dei poli complessi

coniugati.

• Se il valore della massima sovraelongazione non deve superare un certo massimo

assegnato, i poli del sistema devono essere compresi in settore delimitato dalle

rette b e b’.



• Spesso si specifica anche il valore massimo del tempo di assestamento Ta. Un

limite superiore per Ta si può ricavare da

Il prodotto n è uguale in modulo, con segno opposto, alla parte reale dei poli del sistema: questo vincolo equivale a limitare la posizione dei poli a sinistra di una retta verticale.

Perché il tempo di assestamento sia non superiore al valore assegnato Ta, dovrà essere



SISTEMI DEL SECONDO ORDINE (0 < < 1)

Al variare di n si hanno andamenti (risposta al gradino) di questo tipo:

0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tempo (sec)

y(t

)

Risposta al variare di n (0.5 - 5)

NB: il coefficiente di smorzamentoè costante ( = 0.5) e quindi il sorpasso percentuale non cambia.



• Se i poli complessi coniugati

variano come in figura:

0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Tempo (sec)

y(t

)

Risposta ( = /2; T = 4)



• Se infine si considerano poli

come in figura:

0 5 10 15 20-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Tempo (sec)

y(t

)

Risposta (n = /2)



SISTEMI DEL SECONDO ORDINE ( >1)

Re(s)

Im(s)

0P1

xx

P2

x

- n

Poli reali:

Coincidenti per = 1

Distinti per > 1


Per = 1 (poli reali coincidenti) si ha:

e quindi (dalle tabelle) la risposta al gradino è data dalla relazione

Per = 1 non si ha alcuna sovraelongazione: y(t) tende asintoticamente al valore finale senza mai superarlo.


0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo (wn

* t)

y(t

)



• Per > 1 (poli reali distinti) si ha

e quindi (dalle tabelle) la risposta al gradino è data dalla funzione

con

0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo (wn

* t)

y(t

)



Risposta all’impulso di:

Re(s)

Im(s)

0p1

xx

p2

x

p1 = -25

p2 = -2

Termine corrispondente a p1


Risposta completa

K1 = -2.1739

K2 = 2.1739

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Tempo (s)



Risposta al gradino di:

Re(s)

Im(s)

0p1

xx

p2

x

p1 = -25

p2 = -2

p3 = 0

x

p3




Risposta completa

K1 = -0.087

K2 = -1.087

K3 = 1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tempo (s)


Sistemi elementari – Secondo ordine con zero

Sia data la funzione

Si può scrivere:

Da cui la risposta al gradino unitario


Sistemi elementari – Secondo ordine con zero

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3Impulse Response

Time (sec)

Am

pli

tud

eT = 0.2

T = 0

T = - 0.5

T = 1

T = 0.2, 1, -0.5

Zero a parte reale positiva:

Sistema a fase non minima


Sistemi elementari – poli dominanti

Nel caso di sistemi stabili si definisce polo dominante il polo che si trova più

vicino all’asse immaginario

La risposta del sistema cambia “abbastanza poco” quando I poli non dominanti

sono a parte reale molto più negativa del polo dominante

I poli che si trovano una decade “più in basso” rispetto al polo dominante

influenzano poco la risposta temporale del sistema

Moltiplicare per un fattore K tutti i poli di un sistema G(s) equivale a renderlo più

“veloce” dello stesso fattore K



Consideriamo I seguenti sistemi del secondo ordine con guadagno statico

Gi(0)=5. Hanno tutti un polo in -1 e differiscono per la posizione del secondo

polo posizionato, rispettivamente, in -2, -4, -10, -100 e -1000

La risposta al gradino unitario

è la seguente:

L’andamento più lento è quello

di G1(s), quello più veloce è

relativo a G5(s)



Le stesse considerazioni valgono anche per sistemi dominati da una coppia di

poli complessi coniugati

Si definiscono poli dominanti di un sistema asintoticamente stabile i due poli c.c.

che si trovano più vicino all’asse immaginario rispetto a un qualunque altro

polo del sistema

La risposta al gradino dei seguenti sistemi



È riportata nel grafico

Anche in questo caso i poli che si trovano una decade più in basso rispetto alla

coppia di poli dominanti influenzano poco la risposta temporale del sistema

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ordine

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