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Ing. Luigi BiagiottiTel. 051 20939903

e-mail: [email protected]://www-lar.deis.unibo.it/~lbiagiotti

CONTROLLI AUTOMATICIIngegneria della Gestione Industriale e della Integrazione di Impresa

http://www.automazione.ingre.unimore.it/pages/corsi/ControlliAutomaticiGestionale.htm

SISTEMI ELEMENTARI DEL 1SISTEMI ELEMENTARI DEL 1o o E 2E 2o o ORDINEORDINE

Luigi Biagiotti Introduzione -- 2Controlli Automatici

SistemiSistemi elementarielementari

Sistemi elementari del 1o e 2o ordine:

• La funzione di trasferimento di un sistema comunque complesso può esserevista come somma di funzioni di trasferimento del primo e secondo ordine, ad esempio:

• La stessa proprietà vale per la risposta (somma delle risposte)



Risposta a gradino:

• Viene usato come segnale d’ingresso u(t) un gradino unitario

• Se il gradino non fosse unitario ma di ampiezza K, la risposta sarebbe la stessa moltiplicata per K (linearità):

t

1u(t)

G(s)U(s) Y(s)

Yk(s) = G(s) KU(s) = K G(s) U(s) = K Y(s)



Risposta a gradino:

• Nota la risposta al gradino, è molto semplice ricavare la risposta all’impulso, alla rampa e a tuti i “segnali canonici” (con trasformata di Laplace del tipo 1/si, i = 1, 2, 3, …)

• Dato:

Allora la risposta all’integrale di u(t) è data dall’integrale di y(t)

Quindi la risposta alla rampa la si può ottenere integrando la risposta al gradino, la risposta alla parabola integrando quella alla rampa, e così via.



Risposta a gradino:

• Inoltre, se u(0-) = 0, y(0-) = 0, l’uscita generata dalla derivata di u(t) èla derivata di y(t)

Quindi ad esempio la risposta all’impulso è la derivata della risposta al gradino(l’impulso può essere interpretato come la derivata del gradino).


SistemiSistemi elementarielementari –– Primo Primo ordineordine• Un sistema elementare del primo ordine è caratterizzato da una funzione di

trasferimento che, a meno di un fattore costante, si può porre nella forma

in cui la costante di tempo τ costituisce il parametro che caratterizza il comportamento dinamico.

• La risposta al gradino unitario è data da

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo (t/tau)

y(t)


SistemiSistemi elementarielementari –– Primo Primo ordineordine• Sistema elementare del primo ordine

• Per la risposta a gradino, si ha:

• Cioè il valore iniziale è nullo e lapendenza (tangente) vale 1/τ:per t = τ la tangenteassume il valore di regime

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo (t/tau)

y(t)


SistemiSistemi elementarielementari –– Primo Primo ordineordine

• per t = τ la risposta assume un valore pari al 63,2 % del valore finale di regime,• per t = 2 τ il valore è pari all'86,5% del valore di regime,• per t = 3τ si raggiunge il 95,0% del valore di regime.

0.63

0.8650.95

τ 2τ 3τ

Risposta di un sistema del primo ordine

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo (t/tau)

y(t)


SistemiSistemi elementarielementari –– Primo Primo ordineordine• Tempo di assestamento tempo occorrente perché l'uscita rimanga entro il

5% del valore finale.

Per t = 5 τ si raggiunge il 99,3% del valore di regime.

Per t = 7τ si raggiunge il 99,91 % del valore di regime, cioèl'assestamento residuo rimane inferiore all'un per mille.

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo (t/tau)

y(t)

0.95


SistemiSistemi elementarielementari –– Primo Primo ordineordine• Al variare di τ varia la velocità di risposta del sistema• Se τ Ta

0 5 10 15 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo (sec)

y(t)

τ

∈[1

, 10] τ = 10τ = 1

xxxxxx-1 -1/10

σ

j ω

Poli più a “sinistra”(τ piccoli)corrispondono a risposte “più veloci”.


SistemiSistemi elementarielementari –– Primo Primo ordineordine con zerocon zero• Se oltre al polo vi è anche uno zero (sistema proprio)

• La risposta a gradino è data da

Essendo α = T/τ il rapporto tra le costanti di tempo dello zero e del polo(p = α z)

α = -1

α = 1.5α = 0.5

x

α = 1

σ

j ω

α > 1 α < 1oo

0 1 2 3 4 5 6-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tempo (t/τ)

Valore iniziale = αPendenza iniziale = (1-α)/τ


SistemiSistemi elementarielementari –– SecondoSecondo ordineordine• Spesso i sistemi in retroazione, anche se di ordine elevato, presentano una

risposta analoga a quella dei sistemi del secondo ordine.

Questo perché in genere la configurazione poli-zeri di un sistema dinamico ècaratterizzata dalla presenza di una coppia di poli “dominanti” complessi coniugati, cioèuna coppia di poli (i più vicini all'asse immaginario) il cui contributo nell'espressione del transitorio è notevolmente più importante di quello degli altri poli.

x

x

x

xx σ

j ω


SistemiSistemi elementarielementari –– SecondoSecondo ordineordine• Per le specifiche riguardanti la risposta al gradino (segnale tipico più frequentemente

impiegato) si fa riferimento ad un andamento della risposta analogo a quello di un sistema del secondo ordine con poli complessi, cioè di tipo oscillatorio smorzato.

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tempo (t)

y(t)


0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tempo (t)

y(t)

SistemiSistemi elementarielementari –– SecondoSecondo ordineordine• I parametri più importanti, sui quali si può basare una misura della qualità del transitorio di un

sistema del secondo ordine sono:

Massima sovraelongazione (o massimo sorpasso) S: differenza fra il valore massimo raggiunto dall'uscita e il valore finale; normalmente si esprime in % del valore finale.

Tempo di ritardo Tr: tempo per raggiungere il 50% del valore finale.

Tempo di salita Ts: tempo occorrente perchèl'uscita passi dal 10 al 90% del valore finale.

Tempo di assestamento Ta: tempo occorrente perché l'uscita rimanga entro il ± 5% del valore finale.

Istante di massima sovraelongazione Tm: istante al quale si presenta la massima sovraelongazione.

S

Tr

Ts Ta

Tm


SistemiSistemi elementarielementari –– SecondoSecondo ordineordine• Per il tipico sistema del secondo ordine, la cui funzione di trasferimento, a

meno di un fattore costante, si può porre nella forma

0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Tempo (wn * t)

y(t)

I parametri definiti in precedenza dipendono dalla posizione dei poli nel piano complesso, legata a sua volta ai valori:

del coefficiente di smorzamento δ

della pulsazione naturale ωn.

δ = 2

δ = 0.1


SistemiSistemi elementarielementari –– SecondoSecondo ordineordineLa risposta al gradino unitario è data dalla relazione

0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Tempo (wn * t)

y(t)

dove:


SistemiSistemi elementarielementari –– SecondoSecondo ordineordine• Posizione dei poli della f.d.t. al variare di δ = cos(φ)

Re(s)

Im(s)

0P1

xxP2

Re(s)

Im(s)

0P1 = P2

ωnxx

Re(s)

Im(s)

0

p1

p2

ωn

Poli instabili!

Re(s)

Im(s)

0

p1

p2

ωnφ


SistemiSistemi elementarielementari –– SecondoSecondo ordineordine

• Caratteristiche della risposta ⇔ poli della f.d.t.

Re(s)

Im(s)

0

p1

p2

ωn

-δωn

instabileveloce lentotransitoriotransitorio

δ=1

δωn

δ>1

δωn

δ<1

5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

Risposte al gradino


SistemiSistemi elementarielementari –– SecondoSecondo ordineordine• Può interessare la relazione esatta fra il valore del coefficiente di smorzamento e quello della

massima sovraelongazione. Per ricavarla, si deriva rispetto al tempo la

Si ottiene

Ponendo la derivata uguale a zero, si ha

da cui


SistemiSistemi elementarielementari –– SecondoSecondo ordineordine• Si ricavano infine i valori dell'uscita in corrispondenza dei vari massimi e minimi

0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2y(

t)

1+e(-δ ω t)

1-e(-δ ω t)

π /(1-δ2)1/2 2π /(1-δ2)1/23π /(1-δ2)1/24π /(1-δ2)1/2

1+e -πδ/(1-δ2)1/2

1-e -2πδ/(1-δ2)1/2


SistemiSistemi elementarielementari –– SecondoSecondo ordineordine• Anche il valore della massima sovraelongazione S in % si ricava facilmente:

In un sistema del secondo ordine la massima sovraelongazione è funzioneunicamente del coefficiente di smorzamento ed è uguale al 100 % quando tale coefficiente è nullo.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

δ

S %


SistemiSistemi elementarielementari –– SecondoSecondo ordineordine• Il coefficiente di smorzamento δ dipende dalla posizione dei poli complessi

coniugati.• Se il valore della massima sovraelongazione non deve superare un certo massimo

assegnato, i poli del sistema devono essere compresi in settore delimitato dallerette b e b’.


SistemiSistemi elementarielementari –– SecondoSecondo ordineordine• Spesso si specifica anche il valore massimo del tempo di assestamento Ta. Un

limite superiore per Ta si può ricavare da

da cui

Il prodotto δ ωn è uguale in modulo, con segno opposto, alla parte reale σdei poli del sistema: questo vincolo equivale a limitare la posizione dei poli a sinistra di una retta verticale.

Perché il tempo di assestamento sia non superiore al valore assegnato Ta, dovrà essere


SistemiSistemi elementarielementari –– SecondoSecondo ordineordineSISTEMI DEL SECONDO ORDINE (0 · δ < 1)

Al variare di ωn si hanno andamenti (risposta al gradino) di questo tipo:

0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tempo (sec)

y(t)

Risposta al variare di ωn (0.5 - 5)

NB: il coefficiente di smorzamentoè costante (δ = 0.5) e quindi ilsorpasso percentuale non cambia.


SistemiSistemi elementarielementari –– SecondoSecondo ordineordine• Se i poli complessi coniugati

variano come in figura:

0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Tempo (sec)

y(t)

Risposta (ω = π /2; T = 4)


SistemiSistemi elementarielementari –– SecondoSecondo ordineordine• Se infine si considerano poli

come in figura:

0 5 10 15 20-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Tempo (sec)

y(t)

Risposta (ωn = π/2)


SistemiSistemi elementarielementari –– SecondoSecondo ordineordineSISTEMI DEL SECONDO ORDINE (δ ≥ 1)

Re(s)

Im(s)

0P1

xxP2

x

-δ ωn

Poli reali:

Coincidenti per δ = 1

Distinti per δ > 1


Per δ = 1 (poli reali coincidenti) si ha:

e quindi (dalle tabelle) la risposta al gradino èdata dalla relazione

Per δ = 1 non si ha alcuna sovraelongazione: y(t) tende asintoticamente al valore finale senza mai superarlo.

SistemiSistemi elementarielementari –– SecondoSecondo ordineordine• L'equazione

fornisce la risposta per 0 · δ < 1, cioè nel caso in cui il sistema presenti poli complessiconiugati.

0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo (w n * t)

y(t)


SistemiSistemi elementarielementari –– SecondoSecondo ordineordine• Per δ > 1 (poli reali distinti) si ha

e quindi (dalle tabelle) la risposta al gradino è data dalla funzione

con

0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo (wn * t)

y(t)


SistemiSistemi elementarielementari –– SecondoSecondo ordineordineRisposta all’impulso di:

Re(s)

Im(s)

0p1

xxp2

x

p1 = -25p2 = -2

Termine corrispondente a p1


Risposta completa

K1 = -2.1739K2 = 2.1739

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Tempo (s)


SistemiSistemi elementarielementari –– SecondoSecondo ordineordineRisposta al gradino di:

Re(s)

Im(s)

0p1

xxp2

x

p1 = -25p2 = -2p3 = 0

x

p3




Risposta completa

K1 = -0.087K2 = -1.087K3 = 1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tempo (s)


SistemiSistemi elementarielementari –– SecondoSecondo ordineordine con zerocon zeroSia data la funzione

Si può scrivere:

Da cui


SistemiSistemi elementarielementari –– SecondoSecondo ordineordine con zerocon zero

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

T = 0.2

T = 0

T = - 0.5

T = 1

T = 0.2, 1, -0.5

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