Funzioni elementariProporzionalità diretta e inversa

Retta, funzione identità e funzione costanteParabola, funzione quadratica e cubica

Funzione omograficaFunzione esponenziale e logaritmica

Funzioni goniometriche : seno, coseno, tangente

Tutorial di Barberis Paola - agg 2013 - grafici con GEOGebra - software open source

La funzione è una legge tale che per ogni valore di xcorrisponde uno ed un sol valore di y .SE tale legame è di tipo matematico si ha una funzione matematica.Possono presentarsi in : F(x,y)=0 FORMA IMPLICITA o y=f(x) FORMA ESPLICITAEsempio: 2x-y+6=0 forma implicita: per esplicitare ricavo la y y= 2x+6

Si chiama GRAFICO la rappresentazione nel piano cartesiano dellecoppie (x,y) che soddisfano la funzione.

Per tracciare il grafico ricavo la forma esplicita y=f(x) assegno valori arbitrari alla x ( appartenenti al Dominio) calcolo le y corrispondenti ( Codominio o insieme delle immagini ) rappresento le coppie in un sistema di assi cartesiani

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FUNZIONI MATEMATICHE FUNZIONI MATEMATICHE y=fy=f(x)(x)

FUNZIONI algebriche

raddoppiando / triplicando x , raddoppia / triplica anche la y.

m si chiamaCOEFFICIENTE ANGOLARE :

Modificando mcambia

la “pendenza” della retta

y = 3x

Il rapporto fra y e x è COSTANTEy

x= 3

x y1

2

3

4

3

6

9

12RETTA PASSANTEPER L’ORIGINE

y=x

y=0.5x

y=2x

y=-x

y=-0.5x

y=-2x

Y=0

Proporzionalita’ diretta y=mx

Dominio: ∀x∈R

Dominio: ∀x∈R

RETTA generica y=mx+qFUNZIONI algebriche: formula esplicita generica della retta

Se q=0 ottengo y=mx retta passante per l’origine. Es:Se q=0 e m=1 ottengo la FUNZIONE IDENTITA’:Se m=0 ottengo la FUNZIONE COSTANTE y=q .Es:

m= 1/2 COEFFICIENTE ANGOLARE

determina la pendenzaSe m>0 la retta cresceSe m<0 la retta decrescese m=0 retta y=q orizzontale

q=5TERMINE NOTO

INTERCETTA CONL’ASSE DELLE Y

Y =1

2x + 5

x y

5

8 9

0

y =1

2x

y = 5

Y=1/2x

Y=1/2x+5

5

y = x

Funzione identità y=xFUNZIONI algebriche: RETTE PARTICOLARI

Funzione costante y=k (y=q)

x y1 123

4

2 3

4

1 3234

3 3 3

x y

y=x

y=3

x

y

La funzioneidentità y=x sichiama ancheretta bisettrice

del primo eterzo quadrante

esempio

3 y=3

X (y=0)

yVariando la x,

la y è sempre costante:

In particolare l’asse delle x ha equazione: y=0

Dominio: ∀x∈R

PARABOLA y=ax2+bx+cFUNZIONI algebriche : parabola generica

y=x2-6x+5

�

Xvertice = !b

2a= !

!6

2= +3

�

Yvertice = !(b

2! 4ac)

4a= !

(36 ! 20)

4= !4

asse di simmetria: x=3

a determina la concavità- se a>0 concava verso l’alto- se a<0 concava verso il basso

x y21

0

0

5

-3

V=(+3,-4)

y=x2

y=0.5x2

y=0.1x2

y=2x2

AMPIEZZA DI UNA PARABOLADipende dal valore di a

SE a=1 AMPIEZZA REGOLARE della funzione quadratica fondamentale y=x2

Dominio: ∀x∈R

Funzione quadratica y=ax2FUNZIONI algebriche : parabole incomplete

y=x2

asse di simmetria: x=0

x y123

49

1

V=(0,0)

Parabola “pura” e “spuria”Il vertice si trova

sull’asse y

V=(0;c)

Passa sempreper l ‘origine ( 0;0)

Esempio con a=1

Dominio: ∀x∈R

Funzione cubica y=ax3FUNZIONI algebriche :

y=x3

L’ORIGINE (0 ; 0)E’ CENTROdi simmetria

x y

123

827

10 0

-1-2-3

-8-27

-1

y =2

x

FUNZIONI algebriche

IPERBOLE EQUILATERAriferita ai propri ASINTOTI

x y1 22

3

4

1

2/3

1/2

L’asse delle x (la retta y=0 ) è asintoto orizzontaleL’asse delle y (la retta x=0 ) è asintoto verticale

Dominio: x≠0

Il prodotto fra y e xè COSTANTE

yix = 2

Moltiplicando la x per due/tre/ecc, --> la y si divide per due/tre/ecc.

Proporzionalità inversa y=k/x

Con k<0 negativo,i rami si trovano nel II e IV quadrante

D: 5x+15≠0; x≠ -3

(-∞,-3)U(-3,+∞)

�

y =ax + b

cx + d

�

y =4x ! 2

5x +15�

C = !d

c;a

c

"

# $

%

& '

FUNZIONI algebriche

Centro di simmetria

FUNZIONE OMOGRAFICA

x=-3 ASINTOTO VERTICALE

y=4/5 ASINTOTO ORIZZONTALE

X= -3

Y=4/5C

�

C = !3;4

5

"

# $

%

& '

Dominio: ∀x∈R Codominio: y>0

FUNZIONI trascendenti (non algebriche)

FUNZIONE ESPONENZIALE

y=2x

Se la base a>1 , la funzione CRESCE. Es: y=2x

Se la base 0<a<1, la funzione DECRESCE. Es: y=(1/2)x

L’asse delle x (y=0) è un asintoto orizzontale.Se la base è il numero e (circa 2,71… ) si ha la funzione: y=ex

y=ax a>0, a≠1 y=(1/2)x

FUNZIONI trascendenti

L’asse y (cioè la retta x=0) è ASINTOTO VERTICALE

SE base=e (~2,71 ) si ha la funzione y=lnx logaritmo naturale

FUNZIONE LOGARITMICA

Dominio : x>0 Codominio: ∀y∈R

Se a>1 la funzione CRESCE: y=log2x

Se 0<a<1 la funzione DECRESCE: y=log1/2x

y=logax a>0,a≠1

N.B: La funzione logaritmica èinversa di quella esponenziale

y=log2x

y=log1/2x

FUNZIONI trascendenti goniometriche

FUNZIONE SENO

y=senx DOMINIO: ∀x є RCodominio: -1≤y≤+1

Ricordo che, in una circonferenza goniometrica, il seno dell’angolo αè l’ordinata del punto P estremo del raggio vettore: senα=OK

2π

P

HO

K

ππ~3,14

Grafico nell’intervallo: [ 0, 2π]

FUNZIONI trascendenti goniometriche

FUNZIONE COSENOy=cosx DOMINIO: ∀x є R

Grafico nell’intervallo: [ 0, 2π]Codominio: -1≤y≤+1

Ricordo che, in una circonferenza goniometrica, il COSENO di un angolo αè l’ascissa del punto P , estremo del raggio vettore. cosα=OH

2ππ~3,14

P

H

K

Oπ

FUNZIONE TANGENTE

y=tgx DOMINIO: ∀x∈R con x≠π/2+kπ

Grafico nell’intervallo:(-π/2,+π/2)

Codominio: ∀y∈R

Ricordo che , si definisce TANGENTEdell’angolo α l’ordinata del punto T

π+π/2-π/2tg(x) = AT

A

T

FUNZIONI trascendenti goniometriche