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Prof. L. Marconi Controlli Automatici T

Parte 2, 1

Controlli Automatici T

Sistemi Dinamici a Tempo Continuo

Prof. Lorenzo Marconi DEIS-Università di Bologna Tel. 051 2093788 Email: [email protected] URL: www-lar.deis.unibo.it/~lmarconi

Parte 2 Aggiornamento: Settembre 2010


Parte 2, 2

Sistema dinamico

Modello Matematico di un oggetto fisico che interagisce con il mondo circostante tramite due vettori di variabili dipendenti dal tempo t

Sistema Dinamico

Variabili di ingresso

Variabili di uscita

Variabili di ingresso: azioni compiute sul sistema da agenti esterni che ne influenzano il comportamento

Variabili di uscita: grandezze del sistema in esame che, per qualche ragione, sono di interesse

Rapporto causa-effetto tra le variabili


Parte 2, 3

Normalmente il valore dell’ingresso (causa) ad un certo istante temporale non e’ sufficiente per determinare il valore assunto dall’uscita (effetto) allo stesso istante

Variabili di stato: variabili che descrivono la “situazione interna” del sistema (determinata dalla storia passata) necessarie per determinare l’uscita

Ingressi stato uscita

Descritti dal modello matematico


Parte 2, 4

Circuito RC

Uscita: Tensione ai capi della resistenza

Stato: Tensione ai capi del condensatore

Ingresso: tensione ai morsetti del generatore

Esempi

Sistema meccanico

Ingresso: forza motrice

Uscita: posizione del carrello

Stato: posizione e velocita’ del carrello


Parte 2, 5

Modello Matematico: rappresentazione di stato

•  Dipendenza dell’uscita dall’ingresso e dallo stato:

Vettore ingresso Vettore uscita Vettore stato

•  Evoluzione dello stato in funzione dell’ingresso e dello stato:

Derivata dello stato all’instante t

Equazione di stato

Dato (valore dello stato all’istante iniziale) e dato , sotto certe proprietà di regolarità di , allora l’equazione di stato definisce l’andamento di


Parte 2, 6 …… Modello Matematico: rappresentazione di stato

n = ordine del modello m = numero di ingressi r = numero di uscite


Parte 2, 7

Esempio Circuito RC

Dalla legge delle tensioni

e sapendo che

si ottiene

Avendo posto


Parte 2, 8

Esempio sistema meccanico

Dalla legge di Newton si ha che

Quindi definendo

Si ottiene il modello matematico

dove


Parte 2, 9

Classificazione sistemi dinamici

•  Un sistema dinamico si dice   “SISO” (Single Input-Single Output) se r=m=1   “MIMO” (Multi Input-Multi Output) altrimenti

•  Un sistema dinamico si dice   “strettamente proprio” o “puramente dinamico” nel caso

  “proprio” in caso contrario

N.B. L’uscita dipende dall’ingresso solo attraverso lo stato

•  Un sistema dinamico si dice   “Stazionario” se le funzioni f e h non dipendono esplicitamente dal tempo, ovvero

  “Tempo variante” in caso contrario


Parte 2, 10

….. Classificazione sistemi dinamici

•  Un sistema dinamico si dice   “lineare” se le funzioni f e h dipendono linearmente dalle variabili di stato e di ingresso, ovvero

dove

  “non lineare” in caso contrario

Nota: Se il sistema e’ lineare e stazionario allora

Se il sistema e’ strettamente proprio,


Parte 2, 11 Principi di modellistica

Problema: Determinare un modello matematico che approssimi il comportamento di un sistema dinamico

Diversi approcci al problema (da seguire a seconda della complessità del problema, del livello di dettaglio richiesto al modello, ecc.):

•  Indagine diretta: Il sistema viene suddiviso in sottosistemi elementari il cui modello matematico e’ facilmente identificabile e il modello complessivo viene dedotto componendo i modelli dei sottosistemi elementari e applicando leggi base della fisica. Applicabile a casi semplici in cui, sotto certe ipotesi, l’introspezione fisica del sistema permette la modellazione.

•  Black box: il sistema si considera come una “scatola nera” di cui occorre identificarne il comportamento mediante l’analisi dei segnali di ingresso (opportunamente variati) e delle rispettive uscite (analisi armonica). Utile in quei casi dove la fisica del sistema e’ cosi’ complessa da non permettere una introspezione

•  Gray box: Approccio misto: Sistema complessivo scomposto in diversi sottosistemi interagenti, di cui alcuni modellati mediante introspezione fisica e altri mediante l’analisi ingresso/uscita


Parte 2, 12

Derivazione del modello mediante indagine diretta L’analisi energetica del sistema risulta uno strumento utile per la derivazione del modello matematico

La potenza (istantanea) fornita al sistema può: •  essere dissipata nel sistema •  variare il livello di energia accumulata nel sistema •  essere trasferita all'esterno, magari in un altro sistema fisico

Incremento/decremento infinitesimale di energia interna

Potenza istantanea


Parte 2, 13 ….. Derivazione del modello mediante indagine diretta

•  Dalla definizione di stato (grandezza che sintetizza la storia passata del sistema utile al fine di calcolare l’uscita corrente) sembra ragionevole scegliere, come variabili di stato, grandezze che determinano quantità di energia accumulate nel sistema (Variabili Energetiche)

•  In ogni dominio energetico (tranne quello termico) ci sono due variabili energetiche e due meccanismi di accumulo dell’energia che dipendono, ciascuno, da una sola delle due variabili energetiche. Il prodotto delle due variabili energetiche rappresenta la potenza in quel particolare dominio energetico

•  In ogni dominio energetico esiste un parametro che lega le due variabili energetiche e che caratterizza il meccanismo di dissipazione dell’energia in quel dominio


Parte 2, 14

Dominio Potenza Variabili Energetiche

Elettrico tensione ai capi di un conduttore

corrente attraverso un conduttore

Meccanico traslazionale

velocità traslazionale di un corpo

forza applicata ad un corpo

Meccanico rotazionale

velocità rotazionale di un corpo

coppia applicata ad un corpo

Fluidico pressione ai capi di una condotta

portata di una condotta

Termico flusso di calore

Considerazioni energetiche

Definizione delle variabili energetiche nei diversi domini fisici


Parte 2, 15

  Dominio Elettrico

…..Considerazioni energetiche

Tensione ai capi di conduttore (il quadrato e’ proporzionale alla energia elettrica accumulata)

(accumulo capacitivo)

capacità

Corrente attraverso un conduttore (il quadrato e’ proporzionale alla energia magnetica accumulata)

(accumulo induttivo)

induttanza

Parametro di dissipazione:

Resistenza elettrica


Parte 2, 16

  Dominio Meccanico

Velocità (translazionale-rotazionale) di un corpo (il quadrato e’ proporzionale alla energia cinetica accumulata)

(accumulo capacitivo)

massa momento di inerzia

Forza-Coppia applicata ad un corpo (il quadrato e’ proporzionale alla energia potenziale accumulata)


Rigidità torsionale Rigidità longitudinale


Coeff. attrito viscoso



Parte 2, 17

  Dominio fluidico (Idraulico-Pneumatico)

Differenza di pressione ai capi di una condotta (il quadrato e’ proporzionale alla energia cinetica accumulata)

(accumulo capacitivo) Capacità fluidica

Portata di una condotta (il quadrato e’ proporzionale alla energia potenziale accumulata)


Induttanza fluidica


Resistenza fluidica



Parte 2, 18

  Dominio Termico

Differenza di temperatura ai capi di un mezzo

(accumulo capacitivo) Capacità termica


Resistenza termica



Parte 2, 19

Tabella riassuntiva

Dominio Accumulo capacitivo

Accumulo induttivo

Dissipazione

Elettrico

Meccanico traslazionale

Meccanico rotazionale

Fluidico

Termico assente

L’energia accumulata dipende da:

variabili ai morsetti

Variabili passanti


Parte 2, 20 Derivazione modelli matematici di sistemi fisici con considerazioni energetiche – scelta variabili di stato

Dalla definizione di stato (grandezza che sintetizza la storia passata del sistema utile al fine di calcolare l’uscita corrente) sembra ragionevole scegliere, come variabili di stato, grandezze che determinano quantità di energia accumulate nel sistema (Variabili Energetiche)

La potenza (istantanea) fornita al sistema può: •  essere dissipata nel sistema •  variare il livello di energia accumulata nel sistema secondo le due modalità viste •  essere trasferita all'esterno, magari in un altro sistema fisico


Parte 2, 21 Derivazione modelli matematici di sistemi fisici con considerazioni energetiche – calcolo equazioni differenziali

1) Scomposizione sistema complessivo in sottosistemi elementari il cui modello matematico sia facilmente derivabile (sotto opportune ipotesi)

Sistema elementare Elementi di accumulo dell’energia

Problema: ricavare il modello di un sistema elementare (vedi dopo)


Parte 2, 22

2) Composizione dei modelli matematici elementari mediante principi base della fisica (conservazione dell’energia) per derivare il modello complessivo:

  Sistemi elettrici: leggi di Kirchoff per le tensioni e per le correnti   Sistemi meccanici: Bilanciamento di Forze/Coppie   Sistemi idraulici: Equazioni di Bernoulli

….calcolo equazioni differenziali

La complessità dinamica di un sistema (numero di variabili di stato) è legata al numero di elementi di accumulo presenti


Parte 2, 23

Calcolo equazioni differenziali: Derivazione modelli elementari

Definendo un generico parametro di accumulo (capacitivo o induttivo) e con due generiche variabili energetiche del medesimo dominio energetico si ha che

Potenza fornita all’istante

Energia accumulata all’istante

Dalla relazione si ottiene

ovvero

da cui


Parte 2, 24

….. Derivazione modelli matematici di sistemi fisici con considerazioni energetiche – calcolo equazioni differenziali

La relazione rappresenta il modello generalizzato del meccanismo di accumulo di energia per un accumulatore elementare non dissipativo

Considerazioni:

•  equazione differenziale che lega le variabili energetiche

•  relazione generale indipendente dal dominio energetico


Parte 2, 25

Modelli componenti elementari: accumulatori capacitivi

  Condensatore

Ipotesi: assenza di resistenza e induttanza

Variabili energetiche:

corrente

tensione

Modello matematico:

Accumulo di energia:


Parte 2, 26

….. Modelli componenti elementari: accumulatori capacitivi

  Massa/inerzia

Ipotesi: assenza di attrito ed elasticità


forza/coppia

Velocità tras./rot.

Modello matematico:



Parte 2, 27

  Condotta Idraulica

Ipotesi: assenza di attrito ed inerzia nulla del fluido


portata

pressione

Modello matematico:




Parte 2, 28

  Parete

Ipotesi: assenza di dissipazione

variabile energetica:

= temperatura

Modello matematico:




Parte 2, 29

Accumulatori capacitivi: tabella riassuntiva


Parte 2, 30

Modelli componenti elementari: accumulatori induttivi

  Induttore

Ipotesi: assenza di resistenza e capacità


corrente

tensione

Modello matematico:



Parte 2, 31

……Modelli componenti elementari: accumulatori induttivi

  Molla lineare/torsionale

Ipotesi: assenza di massa e attrito

Modello matematico:



forza/coppia

velocità tras./rot.


Parte 2, 32

  Condotta idraulica

Ipotesi: assenza di attrito e capacità


portata

pressione

Modello matematico:


……Modelli componenti elementari: accumulatori induttivi


Parte 2, 33

Accumulatori induttivi: tabella riassuntiva


Parte 2, 34

Modelli componenti elementari: dissipazione potenza

  Ammortizzatore

Ipotesi: massa nulla, corpi rigidi


forza

velocità

Modello matematico:

Potenza istantanea dissipata:


Parte 2, 35

….Modelli componenti elementari: dissipazione potenza

  Resistore

Ipotesi: capacità e induttanze nulle


corrente

tensione

Modello matematico:



Parte 2, 36

  Condotta idraulica

Ipotesi: condotta piena e inerzia del fluido nulla


portata

pressione

Modello matematico:




Parte 2, 37

  Parete

Ipotesi: assenza di accumulo di calore interno

variabile energetica:

= temperatura

Modello matematico:




Parte 2, 38

Dissipatori di potenza: tabella riassuntiva


Parte 2, 39

Alcune considerazioni

–  analogie tra modelli di sistemi fisici diversi e modelli di sistemi elettrici

•  utilizzate per trasferire esperienze tra settori disciplinari •  per studiare e simulare sistemi qualunque mediante circuiti

elettrici – molto usato nel passato – oggi sostituito da simulazione numerica

–  allo stesso sistema fisico sono associabili diversi modelli matematici •  importanza delle specifiche e degli obiettivi di modellazione

–  equazioni algebriche • modelli statici

–  equazioni differenziali • modelli dinamici


Parte 2, 40

Costruzione di modelli per sistemi complessi

–  sistemi elettrici •  leggi di Kirchoff in corrente (ai nodi) •  leggi di Kirchoff in tensione (alle maglie)

–  sistemi meccanici •  diagramma di corpo libero

– si tengono solo le masse – gli elementi di collegamento sono sostituiti dalle relative

azioni –  un modo per risolvere problemi complessi è quello che sfrutta le

analogie tra domini fisici •  si riporta per analogia il sistema in esame ad uno equivalente

nel dominio nel quale l'analisi risulta più semplice o più vicina alla cultura del progettista

– es. dominio elettrico per gli ingegneri della informazione


Parte 2, 41 ….. Costruzione di modelli per sistemi complessi

–  la complessità dinamica di un sistema è legata al numero di elementi di accumulo presenti •  la complessità dinamica si traduce nell'ordine di derivazione

massimo della variabile di uscita –  Attenzione

•  due elementi di accumulo dello stesso tipo (capacitivo o induttivo) non separati da elemento dissipativi o di accumulo di tipo diverso vanno considerati come un unico elemento di accumulo

– due condensatori in parallelo fanno un unico condensatore di capacità somma delle due

– due masse collegate direttamente in modo rigido sono da considerarsi equivalenti ad una sola massa di valore pari alla somma delle due


Parte 2, 42

Esempi di modellistica di sistemi complessi


Parte 2, 43

Esempio VTOL

Dalla legge di Newton per le forze:

Dalla legge di Newton per i momenti:

Momento d’inerzia rispetto al centro di gravita’

Massa dell’aereo

Lunghezza ali

con


Parte 2, 44

Esempio pendolo

Massa del pendolo

Momento d’inerzia rispetto al centro di rotazione

Coefficiente attrito viscoso

ovvero

avendo posto

Dalla legge di Newton per i momenti:


Parte 2, 45

Modelli di sistemi elettromeccanici

Derivabili mediante le leggi base dell’elettromagnetismo. Queste sono riconducibili a tre leggi fondamentali:

1.  Una carica elettrica che fluisce entro un conduttore, ovvero una corrente, genera un campo magnetico proporzionale alla corrente stessa.

raggio

numero di spire

permeabilità magnetica del materiale


Parte 2, 46

….modelli di sistemi elettromeccanici

Forza entrante

2.  Un campo magnetico esercita una forza su qualunque carica elettrica che si muove relativamente al campo magnetico stesso

Forza entrante

3.  Ogni volta che un conduttore e’ in moto relativo rispetto ad un campo magnetico si stabilisce una differenza di potenziale agli estremi del conduttore stesso


Parte 2, 47

Esempio motore elettrico in cc (sistema elettro-meccanico)

Coppia generata

Forza contro elettromotrice

Velocità angolare albero

Coppia di carico

Dinamica elettrica Dinamica meccanica

Inerzia albero motore

Coeff. attrito viscoso

Armatura Accoppiamento elettromeccanico motore

Accoppiamentomeccanoelettrico


Parte 2, 48 …. Esempio motore elettrico in cc

ovvero con

Definendo


Parte 2, 49

Esempio altoparlante magnetico

N

N

S Bobina Accoppiamento

elettromeccanico cono

Accoppiamentomeccanoelettrico

Accoppiamento EM:

Cono:

Accoppiamento ME:

Bobina:


Parte 2, 50

……Altoparlante magnetico

con

Definendo quindi si ottiene


Parte 2, 51

Movimento ed equilibrio

Per sistemi stazionari pilotati da ingressi costanti e’ di interesse calcolare le eventuali traiettorie dello stato e dell’uscita che risultano costanti

Dato e e’ possibile determinare l’andamento dello stato (integrazione dell’equazione differenziale) e di conseguenza l’andamento dell’uscita

tale che e

e’ detta evoluzione (traiettoria) dello stato

e’ detto stato di equilibrio del sistema


Parte 2, 52

Linearizzazione di un sistema non lineare

Il comportamento dinamico di un sistema non lineare nell’intorno di un punto di equilibrio e’ ben descritto dal comportamento dinamico del sistema ottenuto calcolando l’approssimazione lineare nell’intorno del punto stesso

Trascurabili se sono piccoli


Parte 2, 53

Esempio: linearizzazione VTOL

Sistema linearizzato

Punto di equilibrio


Parte 2, 54

Esempio: linearizzazione pendolo inverso

Punto di equilibrio: con

Sistema linearizzato:


Parte 2, 55

Sistemi lineari: principio di sovrapposizione degli effetti

Consideriamo un primo moto dato da

E un secondo moto dato da


Parte 2, 56 ….. Sistemi lineari: principio di sovrapposizione degli effetti

E’ allora immediato verificare che il moto corrispondente a

e’ dato da (principio di sovrapposizione degli effetti)

Come conseguenza di questo risultato si ha che il moto complessivo di un sistema dinamico può essere ottenuto sommando il movimento libero ( ) e quello forzato ( )


Parte 2, 57

Alcune considerazioni:

•  Il principio di sovrapposizione degli effetti e’ un fenomeno tipicamente lineare che viene a decadere nel momento in cui le dinamiche presentano non linearità

•  Essendo numeri arbitrari il principio di sovrapposizioni degli effetti evidenzia come per i sistemi lineari il comportamento ottenuto “per piccole perturbazioni” differisca da quello ottenuto “per grandi perturbazioni” solo per un fattore di scala.

•  Il contributo dello stato iniziale e dell’ingresso per sistemi lineari può essere studiato separatamente.

….. Sistemi lineari: principio di sovrapposizione degli effetti

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