DISPENSE Di Controlli Automatici - G. Marro

7/21/2019 DISPENSE Di Controlli Automatici - G. Marro

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Pisi - Contr ol l i autom ati ci I

Giovanni Marro - Controlli automatici - Capitolo 1, Concetti fondamentali 1

CAPITOLO 1

CONCETTI FONDAMENTALI

Riduzione degli schemi a blocchi

Spesso i sistemi complessi vengono rappresentati con schemi a blocchi, i cui elementi hanno ciascuno un solo ingresso e

una sola uscita; i diversi elementi risultano qui collegati fra loro mediante punti di diramazione e giunzioni sommanti.Le regole di semplificazione di seguito illustrate con riferimento a sistemi lineari puramente algebrici (ovvero con

legame di semplice proporzionalità tra ingresso e uscita) sono immediatamente estensibili a blocchi relativi a sistemi

dinamici sostituendo le funzioni di trasferimento alle costanti di proporzionalità.

Tenendo presente le otto regole fondamentali, si possono ridurre schemi a blocchi comunque complessi fino a giungere

ad una forma minima data da un numero di blocchi pari al prodotto degli ingressi e delle uscite, ciascuno dei quali

rappresenta l’influenza di un particolare ingresso su una particolare uscita.





Controllo ad azione diretta e in retroazione

In sistemi ad un solo ingresso ed una sola uscita è possibile individuare la presenza di:

• una variabile di riferimento r o variabile di ingresso (l’obiettivo più diffuso è in genere infatti l’inseguimento, ossia

la proporzionalità attimo di ingresso r e uscita c);

• un REGOLATORE , che premesso al SISTEMA CONTROLLATO fornisce a quest’ultimo un adeguato ingresso;

• una variabile manipolabile m, calibrata dal REGOLATORE in funzione del riferimento, del suo andamento passato,

di eventuali disturbi e di informazioni sull’andamento dell’uscita;• un SISTEMA CONTROLLATO, dal quale si vuole ottenere una certa uscita;

• una variabile controllata c o variabile di uscita, sul cui andamento si vuole influire;

• una CATENA DI RETROAZIONE , che permette all’andamento dell’uscita di influenzare quello della variabile

manipolabile m;

Uno schema di controllo in retroazione negativa

(come riportato in figura) prevede infatti di

sottrarre al segnale di riferimento l’informazioneretroazionata, generando così un segnale di

errore e in ingresso al REGOLATORE .

Robustezza statica

In regime stazionario, la retroazione è tanto più efficace quanto più elevato è il guadagno di anello, cioè la costante che

caratterizza il trasferimento del segnale lungo l’anello, supposto aperto in un qualunque suo punto.

Robustezza ai disturbi:

In condizioni stazionarie, indicata con G la costante di proporzionalità data dal prodotto tra quelle di REGOLATORE e

SISTEMA CONTROLLATO, risulta...

)()()( t d Z t eGt c −= ...e... )(1

)(1

)( t d GH

Z t r GH Gt c

+−

+=

...dove, se GH >> 1, risulta possibile approssimare:

)()(1

)( 0 t d Z t r H

t c −≅ con Z Z <<0

Robustezza alle incertezze:

Un ragionamento analogo permette di verificare come un elevato guadagno permette di neutralizzare l’influenza di

nonlinearità e incertezze; se GH >> 1, infatti:

)(1

)(1

1)(

1)( t r

H t c

GH t r

GH

Gt c ≅∆

+±

+=

Comportamento dinamico insoddisfacente

Un elevato guadagno di anello (consigliabile, come visto, per ridurre l’influenza di disturbi, nonlinearità e incertezze)

può tuttavia produrre un comportamento dinamico non soddisfacente, fino a portare il sistema all’instabilità.

Quest’ultima è infatti tipicamente generata dall’inerzia e dai ritardi propri del sistema controllato, per i quali l’azione

correttrice sulla variabile manipolabile m tende a manifestarsi per un tempo eccessivo rispetto a quello strettamente

necessario; si producendo in tal caso una sovracorrezione e dunque un errore in senso opposto persino superiore, in caso

di elevato guadagno, all’errore originale: si innesca così, ad esempio, un regime di oscillazioni di ampiezza crescente.

La possibilità di migliorare la risposta di un sistema e/o di stabilizzarlo senza ridurre il guadagno di anello viene allora

offerta dall’inserimento nel dispositivo di controllo di opportuni sistemi di correzione del comportamento dinamico: le

reti correttrici.

Se anche tali reti falliscono, si ricorre infine a schemi misti, cioè ad un’azione diretta grossolano volta a ridurre lasensibilità ai disturbi più importanti seguita da una retroazione più raffinata e che non richieda un eccessivo guadagno di

anello, essendo già neutralizzate le maggiori cause d’errore.

• eventuali disturbi d i, che agiscono tramite pr oprie funzioni di trasferimento e giunzioni

sommanti sulle altre grandezze in gioco;

• una o più GIUNZIONI SOMMANTI , come ad esempio quella atta a sottrarre l’informazione

retroazionata dell’uscita dal riferimento r prima che questo giunga in ingresso al

REGOLATORE .





CAPITOLO 2

EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI

E TRASFORMAZIONE DI LAPLACE

Equazioni differenziali lineari a coefficienti costantiPer lo studio dei sistemi di controllo si impiegano modelli matematici dinamici e, finché l’approssimazione è accettabile,

lineari. Si ottengono così sovente, in particolare, equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti del tipo...

)()()()()()( 0101 1

1

1

1

t xbt xbt xbt yat yat ya m

m

m

m

n

n

n

n

dt

d mdt

d mdt

d ndt

d n +++=+++ −

−

−

−

−−

...ovvero, con ovvia e più compatta notazione:

∑∑==

=m

i

i

i

n

i

i

i t x Dbt y Da00

)()(

Per la soluzione (o integrazione) di tale equazione differenziale, occorre ovviamente conoscere:

• le condizioni iniziali, ossia il valore dell’uscita y(t) e delle sue successive n-1 derivate all’istante t = 0-;

• il termine forzante, ossia l’andamento dell’ingresso x(t), supposto limitato e continuo a tratti, per tempi t ≥ 0.

I contributi di tali elementi possono inoltre essere considerati separatamente, ottenendo la soluzione come somma di due

funzioni ricavate separatamente:

• l’evoluzione libera, ossia l’effetto di segnali di ingresso applicati ed esauritisi in tempi precedenti l’istante t = 0-,

dei quali rimangono perciò soltanto le condizioni iniziali come effetto visibile; supponendo nullo il segnale di

ingresso si determina la funzione yl(t) soluzione dell’equazione differenziale omogenea associata a quella data.

• l’evoluzione forzata, ossia la funzione y f (t) che, supposta nulla insieme alle sue successive n-1 derivate all’istante

t = 0-, soddisfa l’equazione differenziale data.

Trasformazioni di Laplace

Per la soluzione delle equazioni differenziali sono di notevole utilità le trasformazioni funzionali, cioè le trasformazioni

che associano funzioni a funzioni, ed in particolar modo la trasformazione di Laplace.

Le trasformazioni funzionali stabiliscono infatti una corrispondenza biunivoca tra funzioni oggetto, normalmente

funzioni del tempo, e funzioni immagine di diversa natura, cosicché ad operazioni eseguite sulle funzioni oggetto, comela derivazione, corrispondano operazioni più semplici sulle funzioni immagine: al problema oggetto viene così associato

un nuovo problema immagine di più facile soluzione.

La trasformata e l’antitrasformata di Laplace sono date dalle relazioni...

∫ ∞ −=0

)(:)( dt et f sF st ∫ ∞+

∞−

+= j

j

st

jdsesF t f

0

0

)()(21

σ

σ π

(*

)

...che, sebbene basilari, non verranno direttamente utilizzate nel seguito, dove si farà invece riferimento solo ad alcune

trasformate particolari, senza peraltro riportare gli sviluppi matematici della loro deduzione.(*

) Essendo la funzione complessa di variabile complessa F(s) definita soltanto in un dominio di convergenza delimitato a sinistra da una retta parallela all’asse immaginario e di ascissa σc, l’integrale di

destra si intende eseguito lungo una qualsiasi retta parallela all’asse immaginario e di ascissa σ0<σc.

Ipotizzato che la funzione f (t) sia identicamente nulla per valori negativi del tempo(**

) e che se ne cerchi la trasformata

con riferimento ad istanti di tempo non negativi, la quasi totalità delle trasformate di Laplace di uso comune nell’analisi

dei sistemi lineari si può dedurre dalla relazione fondamentale:

[ ]( ) 1

!+−

= nas

nat net L

(**

) Tale condizione non è in realtà strettamente necessaria per la trasformabilità della funzione f(t), ma per la biunivocità dell’antitrasformazione, che porgerebbe comunque una L

-1[F(s)] nulla per t<0.

con n ≥ m come condizione di causalità e quindi di

realizzabilità fisica del modello





Principali trasformazioni secondo Laplace

Vengono di seguito elencati i più importanti segnali tipici e le loro trasformazioni, unitamente ai teoremi di comune

utilizzo nella trasformazione secondo Laplace.

[ ]

[ ]

[ ]

[ ][ ][ ] 22

22

3

2

2

t)cos(LeCosinusoid

t)sin(LSinusoide

eLleEsponenzia

LunitariaParabola

tLunitariaRampa

u(t)LunitarioGradino 1at

12t

1

1

ω

ω

ω

ω

ω

+

+

−

=

=

=

=

=

=

s

ss

as

s

s

s

Teorema della traslazione nel tempo:

( )[ ] )(0

0 sF et t f Lst −=−

Teorema della trasformata dell’integrale:

( ) )(1

0sF d f L

s

t

=

∫ τ τ

Teorema della trasformata della derivata:

[ ] )0()( −−= f ssF Ldt

df

Procedendo iterativamente, si deduce allora l’espressione della trasformata della generica derivata i-esima come:

[ ] ∑−

==

−−−−=

1

00

1 )()()(i

jt

ji jii t f DssF st f D L

Derivate generalizzate

Per la soluzione dell’equazione differenziale inizialmente proposta occorre però tenere conto anche delle discontinuità

delle funzioni in t = 0, in quanto le condizioni iniziali vengono specificate per t = 0-, cioè precedentemente al

presentarsi di tali discontinuità.

Considerando le funzioni f 1(t) e f(t)=df 1/dt in figura, si

immagini di far tendere a zero il valore del parametro τ;

mentre f 1(t) tende al gradino unitario u(t), la sua deriva

f(t) tende ad avere ampiezza infinita e durata nulla: illimite di tale funzione è una distribuzione detta impulso di

Dirac δ (t), ossia un’entità detta che generalizza il concetto

di funzione.

Si può infine notare che ciascuno dei primi due segnali tipici precedentemente

presentati è la derivata del successivo (il gradino lo è della rampa, questa lo è della

parabola) e che le loro trasformate di Laplace si ottengono moltiplicando per s quelle

dei segnali successivi: per estensione, la trasformazione dell’impulso di Dirac,

derivata generalizzata del gradino unitario, è l’unità:

( )[ ] 1=t L δ

Funzioni di trasferimento

Facendo riferimento, come spesso avviene, a un sistema inizialmente in quiete (cioè con tutte le condizioni iniziali

nulle), la trasformata di Laplace dell’equazione differenziale proposta all’inizio risulta della forma...

∑∑==

=m

i

i

i

n

i

i

is X sbsY sa

00

)()( ...ovvero... ∑∑==

=m

i

i

i

n

i

i

isbs X sasY

00

)()(

Si definisce allora la funzione di trasferimento del sistema come:

∑

∑

=

=== n

i

ii

m

i

ii

sa

sb

s X

sY sG

0

0

)(

)()(

Nella rappresentazione a blocchi, ogni blocco sarà caratterizzato da una propria funzione di trasferimento; applicando le

regole di riduzione è facile verificare che se ognuna di esse è razionale fratta (cioè data, come sopra, dal rapporto di due

polinomi), tale sarà anche la funzione di trasferimento del sistema complessivo.

Non tutti i sistemi dinamici, anche se lineari e stazionari, sono peraltro caratterizzati da funzioni di trasferimento

razionali fratte un esempio tipico è il ritardo finito di durata t0, la cui f.d.t. è data da e-t0s.





Antitrasformazione delle funzioni razionaliAnche la determinazione dell’evoluzione libera (e, in molti casi, di quella forzata) di un sistema lineare stazionario si riporta all’antitrasformazione di

una funzione razionale fratta in s della forma:

( )( ) ( )( )( ) ( )n

m

nn

n

mm

mm

ps ps ps

zs zs zs

asasas

bsbsbsb

sQ

sPK sF −−−

−−−

++++

++++ === −−

−−

21

21

011

1

011

1

)(

)()( con K = bm

La differenza n-m fra i gradi di denominatore e numeratore prende il nome di grado relativo di F(s); nella forma fattorizzatta, le costanti

complesse z1 ,...,zm prendono il nome di zeri della funzione F(s), le p1 ,...,pn quello di poli.

Quando F(s) è strettamente propria (cioè per n-m > 0), essa può essere scomposta in una somma di termini facilmente antitrasformabili, detta

somma di fratti semplici; nel caso di un grado relativo nullo, invece, ci si riporta alla somma di una costante e di una frazione strettamente propria da

antitrasformare indipendentemente. Occorre, comunque, distinguere i seguenti casi:

poli semplici (pi≠ p j ∀i,j con i≠ j): E’ possibile riportare F(s) nella forma...

∑=

−=n

i

ps

K isF 1

1)( con ( ) ( )( ) ( )niiiiii

i

i p p p p p p p p

pP

pssQ

sP

ii psK −−−−= +−=−=

111

)(

)(

)()(

dove le costanti K i relative ai vari poli vengono dette residui e sono reali in corrispondenza di poli reali, complesse coniugate in

corrispondenza di poli complessi coniugati.

L’antitrasformata di F(s) si ricava allora in base alla linearità e alle formule di antitrasformazione dell’esponenziale:

[ ] ∑∑==

−−− =

==

n

i

t p

i

n

i

ps

K ii eK LsF Lt f 11

11

1)()(

Va infine sottolineato, benché evidente, che nel caso di poli complessi coniugati si ottengono esponenziali complesse moltiplicate per

coefficienti complessi, da ricondurre a prodotti di esponenziali reali per funzioni trigonometriche applicando le formule di Eulero:{ } ( ) { } ( ) { }( ) { }( )

2

argarg argsin2argcos2 π σ σ ω σ ω σ ω ω ++=+=+ −−+ii

t

iii

t

i

t jK j

i

t jK j

i K t eK K t eK eeK eeK iiiiiiii

E’ infine possibile eseguire l’antitrasformazione dei fratti semplici servendosi di opportune tabelle; per fare ciò è tuttavia necessario separare i

contributi dovuti a un eventuale polo nell’origine, ad eventuali h poli reali (termini del primo ordine) e k poli complessi coniugati (termini del

secondo ordine), riportando F(s) nella nuova forma...

( )∑ ∑= =

++

+

+ ++=h

i

k

iss

sT K

s

K

s

K

inini

iini

i

isF 1 1

2

1

1 22

2"''0)(

ω ω δ

ω

τ

...dove...

iii j p ω σ += iii jvuK +=i

iK

iK σ

−='

ii σ τ 1−=

22

iini ω σ ω +=22ii

i

i ω σ

σ

δ +−=222

"

ii

iiii vu

iK ω σ

ω σ

+

+

−=iiii

i

vu

u

iT ω σ +−= Il parametro τ i è detto

costante di tempo e

caratterizza la risposta al

gradino unitario del

sistema elementare del

primo ordine; i

parametri δ i e ω ni

sono rispettivamente

detti coefficiente di

smorzamento e

pulsazione naturale e

caratterizzano la risposta

al gradino unitario del

sistema elementare del

secondo ordine (il valoredi δ è compreso tra 0

e 1; se infatti fosse δ ≥ 1 le radici del

denominatore sarebbero

reali e si ricadrebbe

pertanto nel caso della

somma di due termini

del primo ordine).

poli multipli (∃i,j tali che pi=p j con i≠ j): Supposta la presenza di h poli diversi pi, ciascuno con molteplicità r i ≥ 1, è possibile riportare F(s) nella forma...

( ) ( ) ( ) ( )∑∑= =

−−−− +−===h

i

r

l ps

K

ps ps ps

sP

sQ

sPi

lir i

li

hr h

r r sF 1 1

)(

)(

)(12

21

1

)(

...con... ( ) ( )i

i

l

l

l pssQ

sPr

ids

d li psK

=− −= −

−

)(

)(

!11

1

1

...da cui l’antitrasformazione nella forma:

( )∑∑= =

−−=

h

i

r

l

t plr

lr

K i

ii

i

li et t f 1 1

!)(





Sulla stabilità (primi cenni)

Si è mostrato che l’antitrasformata di una funzione razionale è costituita, nel caso di poli semplici, da una somma di

termini dei tipi:

K t

eK σ ( )ϕ ω

σ +t eK t

sin

Nel caso di poli multipli si hanno invece termini del tipo:

ht K t

h et K σ

( )ϕ ω σ

+t et K t

h sin Nel primo caso, i termini tendono a zero per t tendente all’infinito se la parte reale σ del relativo polo è negativa,

restano limitati se essa è nulla, divergono se essa è positiva; nel secondo caso, invece, i termini tendono a zero se la

parte reale σ del relativo polo è negativa, divergono se essa è nulla o positiva.

Si può dunque affermare che l’antitrasformata di una funzione razionale fratta rimane limitata se e solo se la funzione da

antitrasformare non presenta alcun polo a parte reale positiva e gli eventuali poli a parte reale nulla sono semplici,

diverge in caso contrario.

Integrali di convoluzione (o integrali di Duhamel)

Dette F 1(s) ed F 2(s) le trasformate di Laplace delle funzioni f 1(t) ed f 2(t), valgono le relazioni...

Teorema della trasformata del prodotto integrale:

( ) ( ) )()( 210

21 sF sF d t f f L =

−∫ ∞ τ τ τ ...e dunque... ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∞∞ −=−0

120

21 τ τ τ τ τ τ d t f f d t f f

Potendo allora scrivere, per un sistema inizialmente in quiete, ...

)()()( s X sGsY =..., posto g(t) = L

-1[G(s)], se ne trae l’importantissima conseguenza:

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∞∞

−=−=00

)( τ τ τ τ τ τ d t xgd t g xt y

Infine, essendo entrambe le funzioni x(t) e g(t) nulle per t < 0 (la prima per ipotesi, la seconda per

antitrasformazione secondo Laplace), l’estremo superiore dell’intervallo di integrazione si può limitare a t , ottenendo:

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ −=−=t t

d t xgd t g xt y00

)( τ τ τ τ τ τ





Risposte canoniche - specifiche nel dominio del tempoLe risposte canoniche più frequentemente utilizzate nella pratica sono la risposta al gradino, o risposta indiciale, gu(t) e la risposta all’impulso (di

Dirac), o risposta impulsiva, g(t).

• Risposta impulsiva:

Poiché la trasformata di Laplace dell’impulso di Dirac δ (t) è semplicemente l’unità 1 la risposta impulsiva del sistema si ottiene semplicemente

antitrasformando la sua funzione di trasferimento e coincide dunque con L-1[G(s)], in quanto:

[ ] [ ] )(1)()()()( sGsGt LsGt g L === δ Gli integrali di Duhamel esprimono dunque la risposta forzata del sistema ad un qualunque ingresso x(t) in funzione della sua risposta g(t)

all’impulso, che rappresenta pertanto una specie di funzione ponderatrice: il valore di g(τ i) stabilisce infatti l’influenza che il segale di ingresso

applicato τ i secondi prima possiede sul valore dell’uscita all’istante t . La risposta impulsiva rappresenta dunque una misura della memoria del

sistema.

Esempio: una funzione ponderatrice g(t) = u(t) implica una memoria perfet ta, in quanto tutt i gli impulsi in cui risulta scomposto il segnale di ingresso vengono pesati in modo identico e

l’uscita è uguale all’integrale dell’ingresso; una funzione ponderatrice g(t) = δ (t) implica per contro la completa assenza di memoria, cioè la riproduzione perfetta dell’ingresso in uscita.

• Risposta al gradino unitario:

- Sistemi del primo ordine: essendo caratterizzati, a meno di un fattore costante, da una f.d.t. della forma...

ssG

τ +=1

1)(

...la loro risposta al gradino unitario è data dalla relazione:

[ ] [ ] τ

τ

t

e LsU sG Lt y ss

−+−− −=== 1)()()( 11 111

L’andamento di tale risposta è riportato a lato, con scala dei tempi

normalizzata in rapporto alla costante di tempo τ , che costituisce il

parametro caratterizzante il comportamento dinamico del sistema.

Si definisce inoltre:

.Tempo di assestamento T a: tempo occorrente perché l’uscita

rimanga entro il 5% del valore finale (T a ≈ 3τ ).

- Sistemi del secondo ordine: sono particolarmente interessanti in quanto i sistemi in retroazione, anche di ordine elevato, forniscono spesso risposte

indiciali analoghe alla loro, per la presenza di una coppia di poli dominanti (cioè i più vicini all’asse Im, il cui contributo è il più

importante durante il transitorio) complessi coniugati. La f.d.t. di un sistema del secondo ordine, a meno di un fattore costante, è...

22

2

2)(

nn

n

sssG

ω δω

ω

++=

...da cui la risposta al gradino unitario:

[ ] [ ] ( )ϕ ω δω ω δω

ω +−=== −++−− t Ae LsU sG Lt y t sss

n

nn

n sin1)()()( 12

11 22

2

con:

21

1

δ −= A

21 δ ω ω −= n ( ) ( ) ( )δ δ ϕ δ δ acos1asinatan 21 2

=−== −

Si definiscono:

.massima sovraelongazione S : differenza (normalmente

espressa in %) fra il valore massimo assunto

dall’uscita e il suo valore finale;

.istante di massima sovraelongazione T m: istante in cui si

presenta la massima sovraelongazione;

.tempo di assestamento T r : tempo occorrente perché

l’uscita rimanga entro il 5% del valore finale.

♦ La relazione tra coefficiente di smorzamento δ e massima

sovraelongazione S può essere ricavata trovando gli istanti deimassimi e minimi dell’andamento dell’uscita:

( ) ( )ϕ ω δω ϕ ω ω δω δω +++−== −−t e At Ae

t

n

t

dt

dy nn sincos0 →

→ ( ) ( ) ( ) ( )ϕ ω δω ϕ ω δ ω ϕ ω δω ϕ ω ω +++−−=+++−== t t t t nnndt

dysincos1sincos0 2

→ ( ) δ

δ ϕ ω 21tan −=+t → π ω k t = → N k t

n

k ∈=−

,21 δ ω

π

Sostituendo tali istanti nella funzione y(t) si ricavano i valori massimi e

minimi assunti; con “brevi” passaggi si ricava la dipendenza di S da δ

(ottenendo che S = 100% se δ = 0):

( )21

max 1001100 δ

δ π

−

−

=−= e yS

Facendo uso delle due curve esponenziali che delimitano l’andamento di y(t), la dipendenza di T a da δ può essere ricavata invece da:

05,0=− anT e

ω δ → 3=an

T ω δ → aT n3=ω δ

Graficamente...

→ un limite su S corrisponde a

un vincolo di appartenenza dei

poli del sistema al settore

delimitato dalle rette b e b’, di

inclinazione ϕ dipendente da δ : ϕ = acos(δ )

→ un limite su T a corrisponde aun vincolo di appartenenza dei

poli del sistema al semipiano a

sinistra della retta a, di ascissa

ψ dipendente da δ : ψ = - δ ω n




Giovanni Marro - Controlli automatici - Capitolo 3, Analisi armonica 1

CAPITOLO 3

ANALISI ARMONICA

Funzione di risposta armonica

Se a un sistema lineare stazionario asintoticamente stabile si applica il segnale di ingresso...

( )t X t x ω sin)( =...esaurito il transitorio l’uscita varierà con legge sinusoidale caratterizzata dalla stessa pulsazione ω dell’ingresso ed

ampiezza anch’essa dipendente da tale pulsazione, porgendo dunque:

( ) ( )( )ω ϕ ω ω += t Y t y sin)(

Si definisce funzione di risposta armonica F(ω ) la funzione complessa di variabile reale ω∈[0,+∞[ avente come

modulo il rapporto tra le ampiezze di uscita ed ingresso e come argomento il ritardo di fase ϕ(ω) presentato dall’uscita:

( ) ( ) ( )ω ϕ ω ω j

X

Y eF =

In virtù della linearità ipotizzata per il sistema considerato, tale funzione è indipendente da X e descrive completamente

il comportamento del sistema in condizioni di regime periodico.

Teorema: in un sistema lineare stazionario asintoticamente stabile esiste una

corrispondenza biunivoca tra la funzione

di trasferimento G(s) e la funzione di risposta armonica F(ω ) espressa dalla relazione:( ) ( )ω ω jGF =Il legame tra la funzione di risposta armonica F(ω ) = G(jω ) e la risposta all’impulso di Dirac g(t) è allora

dato dalle trasformazioni e antitrasformazioni secondo Fourier:

( ) ∫ ∞ −=

0)( dt et g jG

t jω ω e ∫ ∞+

∞−= ω ω ω

π d e jGt gt j

)()(21

Rilevazione della funzione di risposta armonica

Potendo disporre di un oscillatore a frequenza variabile con cui generare l’ingresso del sistema controllato, la

determinazione frequenza per frequenza (in pratica per punti) della funzione di risposta armonica può essere realizzata...

tramite curve di Lissajous, ossia inviando ai due assi di un oscilloscopio

rispettivamente il segnale di ingresso e quello di uscita:

.le ampiezze X e Y consistono semplicemente nei massimi

toccati sui due assi;

.il ritardo di fase ϕ dell’uscita rispetto all’ingresso può essere letto

all’incrocio tra la curva e l’asse immaginario, in quanto in

corrispondenza dell’annullarsi dell’ingresso X sin(ω t) (cioè per

sin(ω t) = 0), il ritardo di fase dell’uscita porterà questa a valere

Y sin(ω t+ϕ ) = Y sin(ϕ ), permettendo dunque un’agile lettura di ϕ ).

tramite correlatori e filtri, ossia sfruttando le proprietà trigonometriche evidenziate dalla disposizione riportata:

.esprimendo l’uscita come...

Y sin(ω t+ϕ ) = Y [sin(ω t)cos(ϕ )+cos(ω t)sin(ϕ )]...all’uscita dei moltiplicatori col segnale di

ingresso rispettivamente in fase e in

quadratura si avranno i segnali...

XY [sin2(ω t)cos(ϕ ) + sin(ω t)cos(ω t)sin(ϕ )] XY [cos(ω t)sin(ω t)cos(ϕ ) + cos2(ω t)sin(ϕ )]

...da cui, attraverso i filtri, i valori medi...

XY / 2 cos(ϕ )

XY / 2 sin(ϕ )...che moltiplicati per 2 / X

2 forniscono

direttamente la parte reale R(ω ) e la parte

immaginaria I(ω ) della funzione dirisposta armonica F(ω ) = G(jω ).





Diagrammi di BodeLa rappresentazione grafica della funzione di risposta armonica viene effettuata con speciali diagrammi che costituiscono la base dei procedimenti

grafici per la sintesi delle reti correttrici nel dominio delle frequenze.

I diagrammi di Bode sono costituiti da un diagramma delle ampiezze (o α ) e un diagramma delle fasi (o β ) i quali riportano, rispettivamente gli

andamenti di |G(jω )|dB e arg{G(jω )} in funzione di log(ω ). A partire dall’espressione in forma fattorizzata della risposta armonica...

( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )( )

2

2

2

22

1

2

1

2'

2

2

'

2

2'

1

2

'

1

2121

'

2

'

1

'

2

'

1

212111

212111

nnnn

n

n

n

n

j jh

j j

j j j

j j

K jGω ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω

ω ω

ω

ω

ω ω

ω

δ δ τ ω τ ω ω

δ δ τ ω τ ω

ω −+−+++

−+

−+++

=

...l’uso di una scala logaritmica per le ampiezze, unitamente alle naturali proprietà degli argomenti, permette di semplificare notevolmente il

tracciamento dei diagrammi stessi: in decibel, il prodotto delle ampiezze dei singoli fattori si riconduce infatti ad una somma, così come già avviene

per gli argomenti (in quanto e jϕ e

jψ = e j(ϕ+ψ )).

• K :

Il diagramma delle ampiezze è costante; si colloca al di sopra di 0dB nel caso di |K|>1, al di sotto di esso se |K|<1.

Il diagramma delle fasi è identicamente nullo nel caso di K > 0, identicamente uguale a -π nel caso K < 0.

• 1 / (jω )h:

Il diagramma delle ampiezze è dato da una retta passante per l’origine e di inclinazione - h, ossia - h 20 dB/dec.

Il diagramma delle fasi è identicamente uguale a - h π / 2.

• 1 / (1+jωτ ):

E’ utile rappresentare tale contributo impiegando i cosiddetti diagrammi asintotici, ossia approssimati aforma di spezzata e costituiti dai due asintoti cui tende il diagramma reale per ω → 0 e ω → ∞ .Il diagramma delle ampiezze viene così ad essere costituito dalle due semirette...

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

≥−≤

τ τ

τ

ω ω

ω 11

1

lnlnlnln

lnln0

per

per

...e il massimo errore nell’approssimazione, pari a ln(√ 2) ≈ 3 dB, si ha per ω 0 = 1 / τ .

Anche il diagramma delle fasi può essere approssimato con una spezzata, collegando in ln(ω a) e

ln(ω b) gli asintoti orizzontali sinistro 0 e destro - π / 2 con la tangente in ln(ω 0) al diagramma

effettivo (che in tale punto assume valore - π / 4); per le pulsazioni ω a e ω b vale la relazione:

81,42

0

0 === π

ω ω

ω ω

eb

a

I diagrammi corrispondenti ad altri valori di τ si ottengono per semplice traslazione orizzontale,

osservando che per τ < 0 il diagramma delle fasi risulta ribaltato rispetto all’asse delle ascisse.

I diagrammi di (1+jωτ ) si ottengono ribaltando attorno all’asse delle ascisse quelli di 1 / (1+jωτ ).

• 1 / (1 + j2δω / ω n - ω 2 / ω n2):

Il diagramma asintotico delle ampiezze è costituito dalle due semirette...

( ) ( )

>>−<<

1ln2ln2

10

n

n

per

per

n ω ω

ω ω

ω ω ...ma si discosta sensibilmente da esse in corrispondenza della zona dove ω / ω n ≈ 1:

.per δ = 0 lo scostamento è infinito;

.per 0 ≤ δ ≤ 1 / √ 2 la curva presenta un massimo;

.per 0 ≤ δ ≤ ½ la curva interseca l’asse delle ascisse a destra di ω = ω n;

.per ½ ≤ δ ≤ 1 / √ 2 la suddetta intersezione avviene a sinistra di ω = ω n;

.per 1/ √ 2 ≤ δ ≤ 1 la curva non interseca mai l’asse delle ascisse e rimane pertanto tutta al

di sotto della sua approssimazione asintotica;

Il massimo (o ampiezza di risonanza M R) corrisponde alla pulsazione di risonanza ω R...221 δ ω ω −= n R ...e vale...

212

1)(δ δ

ω −

== R R jG M

L’approssimazione asintotica dell’argomento si ottiene congiungendo in ln(ω a) e ln(ω b) gli asintoti

orizzontali sinistro 0 e destro - π con la tangente al diagramma effettivo in ln(ω n). Risulta...

( ) δ ω ω ω β 1

ln −== n

d

d ...e...

δ δ ω ω

ω ω π

81,42 === en

b

a

n

La formula di Bode

L’andamento del diagramma delle fasi risulta in un certo qual modo legato a quello del diagramma delle ampiezze: se in una certa banda di frequenze

l’ampiezza è costante, la fase tende ad essere nulla, mentre una inclinazione negativa del diagramma delle ampiezze è associata ad un ritardo di fase,

una positiva ad una anticipo di fase.

Se la funzione di trasferimento è stabile (ossia non presenta poli nel semipiano destro...) e a fase minima (...né zeri), detta ω c la pulsazione in

corrispondenza della quale si vuole calcolare la fase β c noto l’andamento della ampiezza α , vale la formula di Bode:

( )∫ ∞+

∞−= du

dud

c 2u1 cotanlnα

π β ...dove... ( )ω α jGln= ( )C

u ω ω ln=





Diagrammi di Nyquist (o diagrammi polari)

Tali diagrammi, di grande importanza per lo studio della stabilità dei sistemi in retroazione (su di essi si baserà il

fondamentale criterio di stabilità di Nyquist), prevedono il tracciamento nel piano complesso della curva rappresentativa

del variare del numero complesso G(jω ), graduata in valori della pulsazione ω .

Detto h il numero di poli nell’origine, con riferimento alla funzione di risposta armonica nelle forme...

( )( )( )

( ) ( )( ) ( )hh

hn

n

hnh

m

m

m

j jh

j j

asasass

bsbsbsK

j j j

j jK jG

nnnn

nnnn

++++++++

=

−+

−+++

−+ −+++=

+−−

−−

−−

1

1

1

01

1

11

2121

'2'1'2'1

2

2

2

22

1

2

1

2'

2

2

'

2

2'

1

2

'

1

212111

212111

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω ω ω ω

ω ω ω



...si osservano i comportamenti descritti di seguito.

• Comportamento per ω → 0+:

Il comportamento del diagramma per piccole ω può essere studiato trascurando le potenze superiori di quest’ultima.

→ Se h = 0 il diagramma parte da un punto dell’asse reale, essendo:

( )0

0

1

lim

0 a

bK K jG ==+→

ω ω

→ Risultando, per ω prossima a zero,...

( ) ω ω ω

jaa

jbbK jG

10

10

1 ++≅

→ ...confondendo la tangente con l’angolo si può scrivere...

( ){ } ( )ω ω 0

1

0

1arga

a

b

b jG −≅∆

→ ...da cui la deduzione che il diagramma polare lascia l’asse reale ruotando in senso orario o antiorario a seconda ,

→ rispettivamente, del segno negativo o positivo della quantità entro parentesi tonda.

→ Se invece h > 0, il diagramma parte da un punto all’infinito con:

( ) ∞=+→ ω

ω jG

lim

0 ( ){ } 02

lim

0arg ϕ ω π

ω −−=+→

h jG

→ Nel caso h = 1 i diagrammi polari presentano un asintoto parallelo all’asse immaginario e di ascissa:

( )[ ] 21

0211

1

lim

0Re

a

babaK jG

−→

=+ ω ω

→ Quando è h > 1, il diagramma polare inizia in un punto all’infinito nella direzione - hπ / 2, ma, anziché ad una

→ retta, tende ad una parabola avente tale direzione per asse se h = 2, ad una parabola cubica se h = 3, e così via.• Comportamento per ω → +∞ :→ Se m = n il diagramma termina in un punto dell’asse reale, essendo:

( )

22

121

121

2'2

12'1

1'2

'1

1

lim

nn

nnK K jGω ω

ω ω

τ τ

τ τ

ω ω ==+∞→

→ Se m < n il diagramma termina invece nell’origine, tangente ad uno degli assi coordinati:

( ) 0lim =+∞→ ω ω jG ( ){ } ( ) ( )( )212

lim 1arg π π ω ω −+−=+∞→ K signnm jG

• Rotazioni complessive intorno all’origine per ω ∈ [0,+∞ [:

→ Detta ∆arg{G(jω )} la variazione dell’argomento di G(jω ) per ω variabile da 0 a + ∞ , µ e ν il numero

→ degli zeri e dei poli immaginari, n z ed n p quelli degli zeri e dei poli a parte reale positiva, si deduce:

( ){ } ( ) ( ) ( )π ν µ ω π π p z nnnm jG −−−−−=∆ 22arg

Ogni zero nel semipiano sinistro contribuisce infatti a ∆arg{G(jω )} per π /2, ogni polo per - π /2, mentre il

contributo degli zeri e dei poli nel semipiano destro è l’opposto del precedente e quello degli zeri e dei poli

immaginari è nullo (considerando solo le variazioni al finito, ossia per ω ∈ [ε→ 0,M → +∞ ]).

Nota: ϕ 0 vale a 0 o a -π a seconda, rispettivamente, che sia

positivo o negativo il valore di K (o, equivalente, quello di

K 1b0 /a0)





Diagrammi di Nichols

Tali diagrammi riportano in ascissa l’argomento e in ordinata, in scala logaritmica, il modulo della funzione di risposta

armonica; sono dunque costituiti da una sola curva, graduata in valori della pulsazione.

Vengono impiegati nella soluzione di problemi di sintesi, in quanto consentono di controllare rapidamente l’effetto di

variazioni dei parametri delle reti correttrici.

E’ facile comporre i diagrammi di Nichols di più sistemi in cascata (o, analogamente, del prodotto tra i vari fattori di

una stessa funzione di trasferimento) sommando le coordinate dei punti corrispondenti a uguali valori della pulsazione.

• K :

Il diagramma si riduce a un punto di ordinata |K|dB e ascissa corrispondente alla fase 0 o - π a seconda del segno di K.

• 1 / (jω )h:

Il diagramma è costituito da una retta di ascissa costante, corrispondente alla fase - h π / 2, che dunque scorre

parallelamente all’asse delle ordinate (il modulo varia infatti in funzione di ω ) .

• 1 / (1+jωτ ) con τ > 0:

Il diagramma ha l’andamento rappresentato in figura (→).

Per valori di τ < 0 il diagramma si ottiene ribaltando il precedente intornoall’origine.

Lo stesso avviene per tracciare il diagramma di (1+jωτ ).

• 1 / (1 + j2δω / ω n - ω 2 / ω n

2):

Per valori 0 ≤ δ ≤ 1, il diagramma presenta gli

andamenti riportati in figura (←).

Per valori di δ < 0 il diagramma si ottiene

ribaltando il precedente intorno all’asse delle

ordinate.

I diagrammi di (1 + j2δω / ω n - ω 2 / ω n2) si

ottengono ribaltando intorno all’origine quelli di

1 / (1 + j2δω / ω n - ω 2 / ω n

2).




Giovanni Marro - Controlli automatici - Capitolo 4, Stabilità e sistemi in retroazione 1

CAPITOLO 4

STABILITA’ E SISTEMI IN RETROAZIONE

Per introdurre il concetto di stabilità si fa riferimento ad un sistema a una sola variabile che si suppone inizialmente in

una condizione di quiete o di equilibrio.

Stabilità in seguito a perturbazioni

Perturbando il sistema, supposto inizialmente in quiete, la sua uscita può presentare tre diversi tipi di comportamento:• una risposta divergente, corrispondente dunque ad un comportamento instabile;• una risposta limitata, corrispondente ad un comportamento stabile;• una risposta convergente asintoticamente a zero, corrispondente ad un comportamento detto asintoticamente (o

strettamente) stabile.

Mentre per un sistema non lineare il comportamento può essere diverso al variare sia del punto di equilibrio consideratoche dell’entità della perturbazione applicata, nel caso dei sistemi lineari, grazie alla proprietà di sovrapposizione degli

effetti, esso non dipende né dal particolare punto di equilibrio di partenza, né dall’entità della perturbazione.

Nel caso dei sistemi lineari stazionari a costanti concentrate (cioè con funzioni di trasferimento razionali fratte) lastabilità è legata alla posizione dei poli della funzione di trasferimento nel piano complesso.Si è già osservato, infatti, che l’antitrasformata di una funzione razionale come la risposta di un tale sistema...

[ ])()()()( 1s X sGsY Lt y == −

...è costituita, nel caso di poli semplici, da una somma di termini, in tal caso detti modi della risposta stessa, dei tipi...

K t

eK σ ( )ϕ ω σ

+t eK t

sin

...nel caso di poli multipli, invece, da termini del tipo...ht K

t h et K σ ( )ϕ ω σ

+t et K t h sin

...e che un polo reale o una coppia di poli complessi coniugati di molteplicità r dà luogo a r diversi modi. Teorema: per la stabilità di un sistema lineare stazionario a costanti concentrate è necessario e sufficiente che la

funzione di trasferimento non presenti alcun polo a parte reale positiva e che gli eventuali poli a parte realenulla siano semplici; per la stabilità asintotica è necessario e sufficiente che tutti i poli abbiano parte realenegativa.

Stabilità ingresso limitato - uscita limitata (i.l.u.l.)

Un sistema riferito ad uno stato di equilibrio in cui ingresso e uscita sono identicamente nulli si dice stabile ingressolimitato - uscita limitata in tale stato di equilibrio se ad ogni segnale di ingresso che non superi in modulo undeterminato limite M x presenta una risposta limitata.

Nel caso dei sistemi non lineari anche la stabilità i.l.u.l. dipende in generale dal punto di equilibrio considerato edall’entità della perturbazione, cioè dal valore di M x; nel caso dei sistemi lineari invece, si può dimostrare che talestabilità non dipende né dal punto di equilibrio considerato né dal valore di M x.

Teorema: nel caso di sistemi lineari stazionari descritti da f.d.t. razionali fratte la stabilità i.l.u.l implica ed èimplicata dalla stabilità asintotica.

Teorema sul legame tra stabilità i.l.u.l. e risposta all’impulso: un sistema lineare stazionario è stabile se e solo se:

( ) ∞<≤∫ ∞

M d g0

τ τ





Il criterio di Routh

Lo studio della stabilità di un sistema lineare stazionario a costanti concentrate richiede la conoscenza dei segni delle parti reali dei poli della funzione di trasferimento, ossia delle radici del suo denominatore; poiché la determinazioneesatta di tali radici passa attraverso la risoluzione, non sempre agevole, dell’equazione caratteristica (ossia, banalmente,il calcolo dei valori di s che annullano il denominatore)...

0011

1 =++++ −− asasasa n

n

n

n

...risulta utile poter invece di disporre di un criterio che consenta di determinare il solo segno delle parti reali delle radicistesse attraverso un esame dei coefficienti dell’equazione.

Il criterio di Routh prevede di imporre positivo il primo coefficiente an dell’equazione caratteristica, eventualmentemoltiplicando per - 1 entrambi i membri, e di procedere come segue.

Teorema preliminare: condizione necessaria ma non sufficiente perché i poli abbiano tutti parte reale negativa è chetutti i coefficienti dell’equazione caratteristica siano positivi.

Tabella di Routh: è costruita, servendosi dei coefficienti dell’equazione caratteristica, come riportato a lato espiegato di seguito:

.le prime due righe sono formate dai coefficienti del polinomio caratteristico, disposti come indicato, a partire da quello corrispondente alla potenza piùelevata di s;.gli elementi della terza riga sono definiti dalle :

1

321

2 −

−−− −− =

n

nnnn

a

aaaa

nb 1

541

4 −

−−− −− =

n

nnnn

a

aaaa

nb

(per il calcolo di ogni nuovo coefficiente si fa cioè r iferimento aiai termini della prima colonna e della colonna successiva alla sua

e appartenenti alle due righe immediatamente precedenti,calcolando con essi una sorta di minore, come mostrato nelle

formule di cui sopra).

.le righe successive della tabella sono costruite in modo analogo alla terza, sempre in funzione deitermini delle due righe immediatamente precedenti;.le righe della tabella sono contraddistinte con i numeri n, n-1, ... e risultano, per costruzione, dilunghezza via via decrescente; l’ultima riga, contraddistinta con il numero 0, comprende un solo

elemento. Teorema di Routh: Ad ogni variazione di segno che presentano i termini della prima colonna della tabella,

considerati successivamente, corrisponde una radice con parte reale positiva, ad ogni permanenza una radicecon parte reale negativa.Singolarità:

• Il criterio non si applica quanto l’equazione caratteristica presenta radici puramente immaginarie,cioè con parte reale nulla;

• Durante la costruzione della tabella, i termini di una stessa riga possono essere moltiplicati tutti per uno stesso coefficiente positivo, senza che ciò comprometta il risultato cercato; questa proprietà permette di evitare la presenza di numeri frazionari, a partire da coefficienti interi, modificando leformule per il calcolo dei successivi elementi come segue:

( )1

541

4 −

−−− −− =

n

nnnn

asign

aaaa

nb ( )1

321

2 −

−−− −− =

n

nnnn

asign

aaaa

nb ...etc

• Per portare a termine la costruzione della tabella, ogni riga iniziante con un certo numero h dizeri deve essere sommata con la riga da essa ottenuta moltiplicando per (-1)

h e traslando versosinistra di h posizioni;

• Può capitare che tutti i termini di una riga contraddistinta da un numero dispari, ad esempio la2m-1, risultino nulli; in tali caso, a partire dai termini b2m , b2m-2 , .., b0 della riga ad essaimmediatamente precedente si costruisce l’equazione ausiliaria...

0022

222

2 =+++ −− bsbsb m

m

m

m

• ...le cui radici coincidono con le 2m radici dell’equazione caratteristica su cui la tabella di Routhnon ha fornito informazioni; in caso di difficoltà nella risoluzione di quest’ultima (*), se ne deriva il primo membro e si prosegue la tabella di Routh disponendo i coefficienti del polinomio cosìottenuto in corrispondenza della riga di tutti zeri: il numero di variazioni di segno che si verificano

ora nella prima colonna a partire dalla riga n-2m+1 corrisponde al numero delle radicidell’equazione ausiliaria a parte reale positiva.

n an an-2 an-4 ...

↓ ↓ ↓ n-1 an-1 an-3 an-5 ...

n-2 bn-2 bn-4 ....

... ... ...

(*) un possibile metodo risolutivo dell’equazione ausiliaria può essere porre s2 = z; in tal caso, ad ogni radice trovata in z

corrispondono 2 radici in s come segue: 1 Re<0 → 2 Im; 1 Re>0 → 2 Re opposte; 2 c.c. → 2 coppie c.c. simmetricherispetto all’origine.





Proprietà generali dei sistemi in retroazione

Lo schema a blocchi tipico cui si può normalmente ricondurre un sistema dinamico in retroazione negativa consta deglielementi già esaminati nel caso statico; l’utilizzo delle trasformate di Laplace dei segnali in gioco e la conseguenteintroduzione delle funzioni di trasferimento corrispondenti ai vari blocchi presenti rende ora agevole l’estensione delmodello al caso dinamico.

Lo schema riportato a lato consta dunque dei seguenti elementi: R(s): trasformata di Laplace del segnale di riferimento; E(s): t. d. L. del segnale errore;C(s): t. d. L. della variabile controllata;G(s): funzione di trasferimento del percorso di segnale diretto;

H(s): f.d.t. del percorso di segnale di retroazione;G(s)H(s): guadagno di anello.

La forma minima corrispondente viene immediatamente dedotta dalla regola8 di riduzione e prevede dunque una funzione di trasferimento G0(s) datadal rapporto tra la f.d.t. del percorso di segnale diretto e la somma dell’unità più il guadagno di anello:

)()(1

)(0 )(

s H sG

sGsG +=

Infine, nel caso si abbiano ingressi in più punti dell’anello (come, ad esempio, nel frequente caso dei disturbi)...

...la regola di riduzione è analoga e prevede di ricavare le varie f.d.t. rappresentanti l’effetto di ogni singolo ingressosulla variabile controllata come rapporto tra la f.d.t. che si avrebbe in assenza di retroazione e la somma dell’unità più ilguadagno di anello. Ad esempio, nel caso sopra riportato:

Il trasduttore di misura per la retroazione è normalmente estremamente pronto, tanto che la funzione di trasferimento del percorso di retroazione H(s) si può assumere data da una semplice costante h.

In “verde oliva” nel caso delsegnale di riferimento R(s).

In “verde acqua” nel caso deldisturbo D2(s).

Ad esempio...

Sempre uguale a: 1 + G1(s)G2(s)H(s)





Risposta armonica ad anello aperto

E’ così definita la funzione:

( ) ( ) ( )ω ω ω j H jG jF =

Sensibilità

L’osservazione, già effettuata nel caso statico, che un elevato guadagno di anello G(s)H(s) contribuisce a diminuire la sensibilitàad eventuali disturbi, nonlinearità, ecc... presenti sul percorso diretto può essere facilmente estesa al caso dinamico introducendo lacosiddetta funzione di sensibilità...

( ) ( ) ( )ω ω ω j H jG

jS += 11

...che rappresenta, come verrà illustrato a breve, il fattore moltiplicativo che la presenza della retroazione produce alle varie pulsazioni per gli errori dovuti a variazioni parametriche e disturbi.

Sensibilità alla variazione di parametri:

Sia α un parametro (ad esempio una costante di tempo) che interviene a determinare la funzione di trasferimento del percorso disegnale diretto G(s), o meglio G(s,α ) di un sistema; detta Gnom(s) = G(s,α nom) la f.d.t. attesa in corrispondenza del valorenominale α nom del parametro, una variazione ∆α di quest’ultimo produce, in prima approssimazione, una variazione della stessaf.d.t. esprimibile come...

α α α α ∆=∆

=∂

∂

nom

G

sG )( ...da cui... )()(),( sGsGsG nomnom∆+=∆+

α α La funzione di trasferimento complessiva G0(s,α ) = G(s,α )

/ 1+G(s,α )H(s) viene invece modificata della quantità:

( ) )()( 2)]()(1[

110 sGsG

s H sGsopravediG

GH G

Gnom

∆=∆=∆+=∂

∂+∂

∂ α α α α

Si può dunque constatare che...

)(

)(

)()(11

)(

)(

)(

)()(1)(

2)]()(1[

1

0

0

sG

sG

s H sG

sG

sG

sG

s H sG

sG

s H sG ∆

+

∆∆ ==

+

+

...e pertanto, dove il guadagno di anello risulta elevato, l’errore relativo dovuto alla variazione di un parametro di G(s) risultamolto minore nel sistema in retroazione che non in quello ad anello aperto , in quanto...

)(

)(

)(

)(

)()(11

)(

)(

0

0

sG

sG

sG

sG

s H sGsG

sG ∆∆

+

∆ <<= ...se... 1)()( >>s H sG

Nota: lo stesso non avviene se la variazione di un parametro β interviene sulla f.d.t. del percorso di retroazione H(s):

( ))(

)(

)(

)(

)()(1

)()(

)()(1

)()(

)(

)(

)]()(1[

)(

10 )()()()()(1

)(

2)]()(1[)(

2

0

02

2

s H

s H

s H

s H

s H sG

s H sG

s H sG

sGs H

sG

sG

s H sG

sG H GH G

H s H s H sG

s H sG

sG

s H sGsG

nom

∆∆++

∆∆

+=∂∂

+∂∂ ≅=∆==⇒∆=∆=∆

+

+β β β β

Sensibilità ai disturbi:

Con riferimento alla figura di pagina 3 del presente riassunto, detti....C(s) la variabile controllata; .G(s):= G1(s)G2(s) la f.d.t. del percorso diretto di R(s);. R(s) il segnale d’ingresso evidenziato in “verde oliva”; .G0(s) = G(s) / 1+G(s)H(s) la f.d.t. complessiva relativa a R(s);.D(s) := B2(s)D2(s) il disturbo, evidenziato in “verde acqua”; .G2(s) / 1+G(s)H(s) la f.d.t. complessiva relativa a D(s);

L’influenza del riferimento (pedice r ) sulla variabile controllata è esprimibile come...

)()()( 0 s RsGsC r =

...in assenza (apice ‘ ) e in presenza (apice “ ) di retroazione, le influenze del disturbo (pedice d ) su C(s) valgono invece:

)()()( 2'

s DsGsC d = ...e... )()( )()(1

)(" 2 s DsC s H sG

sG

d +=...da cui un rapporto segnale / rumore S / N dato nei due casi da:

)()(

)()(

)(

)(

2

0''

s DsG

s RsG

sC

sC

N S

d

r == ...e...

Dove il guadagno di anello risulta elevato, la retroazione ( “ ) riduce dunque anche la sensibilità ai disturbi rispetto alle condizioni dianello aperto ( ‘ ), in quanto migliora il rapporto segnale / rumore:

'')()(1" N S

N S

N S s H sG >>+= ...se... 1)()( >>s H sG

Banda passante a -3dB:

Supposta reale la f.d.t. del percorso di retroazione H(s) = H (cosa possibile grazie alla usuale prontezza del corrispondentetrasduttore di misura), dove il guadagno di anello è elevato (e quindi, normalmente, per pulsazioni basse rispetto a quella dove taleguadagno è unitario, ossia dove vale G(s)H = 1), la f.d.t. complessiva G0(s) si mantiene costante alvariare di ω indipendentemente dall’andamento di G(s):

H H jG jG jG 1

)(1)(

0 )( ≅= + ω ω ω ...dove... 1)( >> H jG ω

La banda passante ω f0 in retroazione risulta dunque maggiore di quella ω f della risposta armonicaad anello aperto; ω f0 è inoltre circa pari alla pulsazione in cui il guadagno di anello è unitario.

)()(

)()(

)(

)()(

)(

)(

2

0

)()(1)(2

0" )()(1"

s DsG

s RsG

s D

s RsG

sC

sC

N S s H sG

s H sG

sGd

r +===+

Il diagramma di |G(jω )|,quindi di |HG(jω )|, decresceall’aumentare di ω causa ilnumero prevalente di poli.Vedi figura, comunque.





Errori a regime

Per il calcolo degli errori a regime nella risposta ai più importanti segnali tipici(gradino, rampa, parabola) si farà ora riferimento a un sistema con retroazioneunitaria, la cui variabile a valle della giunzione sommante E(s) = R(s) - C(s)

rappresenta dunque effettivamente lo scostamento della variabile controllata dalriferimento ed il comportamento voluto consiste dunque nell’inseguimento di

quest’ultimo.Poiché la molteplicità h di un eventuale polo nell’origine (spesso volutamente introdotto nella f.d.t. diretta G(s) daun opportuno regolatore) caratterizza fortemente l’andamento asintotico dell’errore e(t) = L

-1[E(s)] per t tendente

all’infinito, si conviene di parlare di sistemi di tipo h a seconda del valore di questa.

Teorema del valore finale: l’andamento per t → ∞ di una f(t) trasformabile secondo Laplace è dato dalla relazione:

)()( lim0

limsF st f st →∞→ =

Principio del modello interno: affinché sia neutralizzato (con errore a regime nullo) un modo corrispondente ad un polo nell’origine di ordine h occorre generare lo stesso modo nel regolatore, che pertanto deve avere un polonell’origine pure di ordine h o superiore, cioè contenere un modello del sistema elementare 1 / s

h che

genera quel modo.

La verifica di questo principio si ottiene immediatamente applicando il teorema del valore finale all’espressionedell’errore e(t) del sistema considerato:

[ ] [ ] )()()(1)()()()()()( )(11

)(1

)(

)(1

)(1

)(1

)(0 s Rs Rs Rs RsGs RsC s Rs E

sGsG

sG

sG

sG

sG

sG

+++

+

+ =−=−=−=−=

Da cui l’errore a regime er ...

)()()( )(11lim

0lim

0lim

s Rss E st eesGsst r +→→→∞ ===

...che mostra come le trasformate dei segnali tipici (gradino: R(s) =1/s; rampa: R(s) = 1/s2; parabola:

R(s) = 1/s3) introducono al denominatore di tale limite dei fattori in s che, se non neutralizzati (vedi punti

successivi), lo renderebbero divergente per s → 0.

Errore di posizionamento:

E’ così chiamato l’errore a regime in risposta a un gradino di ampiezza R0; per la sua espressione si introduce la

cosiddetta costante di guadagno o di posizione K p:

pK

R

r e += 1

0 ...con... )(lim0 sGK

s p →= ...in quanto...)(1)(1

1lim0 lim

0

00

sG

R

s

R

sGsr s

se→++→ ==

A conferma del principio del modello interno, mentre in un sistema di tipo 0 la costante di posizione coincide con ilguadagno statico K , in sistemi di tipi superiori risulta K p = ∞ e dunque er = 0: tali sistemi neutralizzano infattil’errore di posizione in quanto riproducono al loro interno lo stesso modo ad esso corrispondente; l’errore di posizionesi mantiene comunque finito anche in sistemi di tipo 0.

Errore di velocità:

E’ così chiamato l’errore a regime in risposta a una rampa di pendenza R0; per la sua espressione si introduce lacostante di velocità K v:

vK

R

r e 0= ...con... )(lim0 sGsK sv →= ...in quanto...

)()(11lim

0 lim0

020

sGs

R

s

R

sGsr s

se→

== +→

A seconda dei poli nell’origine presenti in G(s), un sistema di tipo 0 presenta K v = 0 e dunque errore di velocitàinfinito, un sistema di tipo 1 presenta errore di velocità finito e costante di velocità pari al guadagno statico K , unsistema di tipo superiore neutralizza l’errore di velocità grazie alla sua K v = ∞ .

Errore di accelerazione:

E’ così detto l’errore a regime in risposta a una parabola, calcolato tramite la costante di accelerazione K a:

aK

R

r e 0= ...con... )(2lim0 sGsK sa →= ...in quanto...

)()(11lim

0 2lim0

030

sGs

R

s

R

sGsr s

se→

== +→

A seconda dei poli nell’origine presenti in G(s)

valgono considerazioni analoghe alle precedenti,riportate insieme a queste, nella tabella riassuntivaa lato (→).





Il criterio di Nyquist

Permette di valutare per via grafica la stabilità dei sistemi dinamici in retroazione noto quello degli stessi sistemi ad anello aperto e fornisce inoltre, a differenza del criterio di Routh, un’utile strumento per giudicare dell’efficacia di possibili interventi.

La sua applicazione viene limitata, per semplicità (vero punto di forza,quest’ultima, del criterio), a sistemi che non presentino né poli né zeriimmaginari, salvo un polo semplice o doppio nell’origine.

Esso fa inoltre riferimento al tracciamento completo per ω ∈ ] -∞ ,+∞ [ deidiagrammi polari (o, appunto, di Nyquist) della funzione di risposta armonicaad anello aperto F(jω ), peraltro immediatamente ottenibile, grazie allasimmetria hermitiana della stessa F(jω ), da quello tracciato per pulsazioni positive tramite addizione del suo ribaltamento intorno all’asse delle ascisse.Dal momento, infine, che il criterio fa riferimento a una curva chiusa, siconviene di completare tale diagramma, nel caso di un sistema di tipo 1 o 2,rispettivamente con una semicirconferenza e con una circonferenzaall’infinito percorsa in senso orario.

Criterio di Nyquist per sistemi asintoticamente stabili ad anello aperto, a

meno di un eventuale polo semplice o doppio nell’origine:Condizione necessaria e sufficiente perché il sistema in retroazionesia asintoticamente stabile è che il diagramma polare completo diF(jω ) non circondi né tocchi il punto critico -1+ j0.

Criterio di Nyquist per sistemi instabili ad anello aperto, con un

eventuale polo semplice o doppio nell’origine:

Condizione necessaria e sufficiente perché il sistema in retroazionesia asintoticamente stabile è che il diagramma polare completo diF(jω ) circondi il punto critico -1+j0 tante volte in sensoantiorario quanti sono i poli di F(s) con parte reale positiva; ognigiro in meno in senso antiorario e ogni giro in più in senso orariocorrispondono alla presenza, nel sistema in retroazione, di un polo

con parte reale positiva.





Margini di stabilità

I diagrammi polari consentono di studiare l’influenza, sulla stabilità del sistema, della costante K della funzione di guadagno dianello (ovvero, di F(jω ) = G(jω )H(jω ) ): al variare di K varieranno infatti dello stesso fattore tutte le lunghezze dei segmenti checongiungono ciascun punto del diagramma con l’origine.Valutando l’avvicinarsi o l’allontanarsi del diagramma al punto critico -1+j0, il criterio di Nyquist permette dunque, di studiare lastabilità del sistema in retroazione e di determinare i margini di guadagno e di ritardo di fase che si possono in esso introdurre.

Quando il diagramma di Nyquist della risposta armonica ad anello aperto di un sistema in retroazione stabile ad anello aperto presenta un andamento con ampiezza funzione monotona decrescente della pulsazione ω , si possono effettuare le seguenticonsiderazioni sulla sua stabilità: quanto più il diagramma si svolge lontano dal punto critico -1+j0, tanto più lontanodall’instabilità è il sistema, mentre la vicinanza del diagramma al punto critico ènormalmente associata ad un comportamento dinamico non soddisfacente.

Per meglio descrivere questa situazione, dette....ω π = pulsazione di fase pi greco, alla quale arg{F(jω )} vale -π ;.ω c = pulsazione di incrocio, alla quale |F(jω )|dB vale 0dB (cioè 1);

...si introducono i seguenti parametri, atti a misurare la cosiddetta stabilità relativa

dei sistemi in retroazione:. M A = margine di ampiezza = inverso del modulo del guadagno di anello

in corrispondenza del valore -π della sue fase;. M F = margine di fase = angolo da sottrarre, per ottenere -π , alla fase

del guadagno di anello in corrispondenza di un valore unitario

del suo modulo.

)(1

π ω jF A M = { } )()(arg π ω −−= cF jF M

Esempio: margine di ampiezza e guadagno

Con riferimento a un sistema di tipo 0 o 1 (v. figure →),l’avvicinamento del diagramma di F(jω ) al punto critico ottenutoaumentando il guadagno statico K p (nel primo caso) o la costante divelocità K v (nel secondo) è associato all’avvicinamento all’asseimmaginario di una coppia di poli complessi della G0(jω ) che passeranno nel semipiano destro quando verrà toccato e oltrepassato il punto critico.Affinché l’incremento ∆K non generi dunque instabilità,quest’ultimo deve mantenersi inferiore al margine di ampiezza:

A M K <∆

Esempio: margine di fase e ritardi finiti

In sistemi in cui l’uscita e le sue derivate rispondono dopo un tempo t 0 dall’applicazione dell’ingresso, tale ritardo ha un’influenza notevolissima sulla stabilità.Detti F(jω ) la funzione di risposta armonica ad anello aperto e M A, M F icorrispondenti margini di stabilità, l’introduzione di un ritardo t 0 porta, come noto, allanuova risposta armonica:

( ) ( ) 00t j

ritardatae jF jF

ω ω ω −=La presenza del ritardo modifica dunque il diagramma di Nyquist della F(jω )comportando lo sfasamento in ritardo (ovverosia in senso antiorario, nel pianocomplesso) di tutti i suoi punti di ω 0t 0 radianti.Tale sfasamento, onde non generare instabilità, deve ovviamente risultare minore del

margine di fase M F ; in caso contrario, infatti, il punto F(jω c) di intersezione tra lacurva e la circonferenza unitaria, quindi di modulo unitario, verrebbe ruotato fino atoccare ed oltrepassare il punto critico -1+j0:

F M t <00ω

Esempio: margine di ampiezza e controllo di tipo integrale

Si consideri un sistema di tipo 0 il cui diagramma parte dall’asse reale verso il basso descrivendo unasemicirconferenza, per poi dunque riattraversare lo stesso asse in un punto di ascissa compresa tra -1 e0; sia la condizione normalmente imposta sul guadagno per la stabilità che quella conseguente alla presenza di un eventuale ritardo prevedono per le basse ω un guadagno inaccettabile, in quanto persinoinferiore all’unità.Conviene in questi casi introdurre artificialmente, tramite un apposito regolatore inserito nell’anello, un polo nell’origine e affrontare il problema secondo le modalità viste nell’esempio precedente.

Approssimanti di Padé

Una funzione razionale P(s)/Q(s) in cui P(s) e Q(s) è un approssimante di Padé della funzione sviluppabile in serie di potenze e-s

se, posto...

01

1)( bsbsbsP p

p

p

p ++= −− 0

11)( asasasQ

q

q

q

q+++= −

−

...i coefficienti di tali polinomi risultano dati dalle relazioni:( )

( ) ( )!!!

!!

k pk q p

pk q p

k b −+

−+= ( ) pk ,,0 =

( )

( ) ( )!!!

!!

k qk q p

qk q p

k a −+

−+= ( )qk ,,0 =

Le approssimanti di Padé di e-t 0s

si ottengono, ovviamente, sostituendo t 0s ad s nei precedenti polinomi.





Luoghi ad M costante e a N costante

Preso un generico punto s = x+jy del piano complesso, è possibile determinare il valore di z =s / 1+js eseguendo il

rapporto tra i vettori s ed 1+js; volendo poi evidenziare i luoghi di punti z cui compete lo stesso modulo o lastessa fase, ciò che si ottiene è in entrambi i casi un insieme di curve, ognuna corrispondente a un diverso valore:

• luoghi a M costante: detto...

22

22

)1(1 y x y x

jy x jy x z M ++

++++ ===• ...si constata, dopo “brevi” passaggi come l’insieme dei punti z

aventi lo stesso modulo M è rappresentato dall’equazione di unacirconferenza...

0211

222

2

2

2

=+++−− M

M

M

M x y x

• ...di centro e raggio, rispettivamente:

( )0, 010 2

2

==−

y x M

M ...e...|1| 2

M

M r −

=

• Per M = 0 la circonferenza degenera nell’origine, per M = 1

nella retta verticale x = - ½, mentre per M → ∞ nel punto critico -1+j0.

• luoghi a N costante: posto...

{ }( )( ) 21

argtan y x x

y z N

++===

• ...si verifica anche qui come il luogo dei punti z aventi la stessa N

(quindi la stessa fase) sia rappresentato dall’equazione di una circonferenza...

0122 =−++ N

y x y x

• ...di centro e raggio, rispettivamente:

( ) N

y x21

021

0 , =−= ...e... 2

2 121

N

N r +=

• Per N = 0 la circonferenza degenera nell’asse delle ascisse y = 0, mentre per N → ∞ assume raggio r = ½ e centro -½+j0.

Con riferimento ad un sistema di controllo con retroazione unitaria H(jω ) ≡ 1, è noto che la risposta armonica ad anello chiuso G0(jω ) è legata alla risposta armonica ad anello aperto F(jω ) = G(jω )H(jω ) = G(jω ) dalla relazione:

( ) ( )

( )ω ω

ω jG

jG jG

+=

10

Fissata una generica pulsazione ω 0, la determinazione de G0(jω 0) risulta notevolmente facilitata se al diagramma di Nyquist di G(jω ) viene sovrapposta la carta riportante i luoghi a M e a N costanti, ossia se, per ogni punto G(jω 0) =s, vengono indicati l’ampiezza e la fase della relativa G0(jω 0) = z.

Nel caso la retroazione non sia unitaria, scrivendo...

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) z z

j H j H jG j H jG

j H j H jG jG jG +++ === 1

11

110 ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω

...l’utilizzo della carta polare con luoghi a M e a N costanti risultaancora possibile, purché il risultato che si ottiene venga diviso per lacorrispondente H(jω 0).





Specifiche nel dominio della frequenza

Sono specifiche relative a parametri caratteristici della risposta armonica ad anello chiuso G0(jω ), spesso enunciati(come nella figura che segue) con riferimento all’andamento tipico relativo a un sistema del secondo ordine (cui moltospesso si può assimilare la risposta armonica in retroazione, per la presenza, in essa, di due poli complessi coniugatidominanti, cioè più vicini all’asse immaginario e pertanto tali da precedere l’intervento degli altri).

I più significativi parametri spesso oggetto di specifiche di progetto sono:.Pulsazione di risonanza ω R: pulsazione in corrispondenza della quale |G0(jω )| è massimo;.Picco di risonanza M R: rapporto tra il massimo valore di |G0(jω )| e il valore statico G0(0);. Banda passante o larghezza di banda ω f : pulsazione alla quale |G0(jω )| è inferiore di 3 dB

(corrispondente a un rapporto di 1 a 1/ √ 2 ) al valore statico G0(0);

Oltre alla loro relazione con le specifiche nel tempo, la verifica di tali parametri può essere anche agilmente condottafacendo uso dei luoghi a M e a N costanti applicati al diagramma di Nyquist della risposta armonica ad anello apertoF(jω ), in quanto...

. M 0 è il valore corrispondente alla circonferenza ad M costanteche interseca il punto F(0) (se il diagramma parte

dall’infinito per ω = 0 vale, ovviamente, M 0 = 1 );

.F(jω R) è il punto in cui la curva di F(jω ) è tangente allacirconferenza cui compete il più alto valore di M, pariad M max, tra quelle da essa toccate;

. M R si calcola come M R = M max /M 0;

. M f = M 0 / √ 2 è il valore corrispondente alla circonferenza ad Mcostante da individuare per determinare ω f ;

.F(ω f ) è il punto in cui la curva di F(jω ) attraversa lacirconferenza a M costante pari a M f ;




Giovanni Marro - Controlli automatici - Capitolo 5, Il metodo del luogo delle radici 1

CAPITOLO 5

IL METODO DEL LUOGO DELLE RADICI

Mentre il criterio di Nyquist e i metodi basati sui margini di stabilità permettono una valutazione operativamente

semplice, ma approssimativa, delle caratteristiche dinamiche dei sistemi in retroazione, la conoscenza precisa dei poli di

tale sistema e dell’influenza su essi esercitata dai vari parametri presenti permettono di spingersi oltre il livello di unsemplice progetto di massima.

Il metodo del luogo delle radici, in particolare, permette di osservare graficamente il percorso descritto nel piano

complesso dalle radici dell’equazione caratteristica al variare di tali parametri (normalmente, del guadagno di anello).

Luogo delle radici

Supponendo G(s)H(s) una funzione razionale fratte della forma...

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )211

2

211121

211'

2

211'

1

'

2

'

1

222

211

2'2

'2

2'1

'1

212111

212111)()(

sssssss

ssssssK s H sG

nnnn

nnnn

h

ω ω ω ω

ω ω ω ω

δ δ τ τ

δ δ τ τ

++++++

++++++=

...e che la costante di guadagno K sia positiva (ovvero, che il sistema sia in retroazione negativa), al variare di K da

0 a ∞ le radici dell’equazione caratteristica...0)()(1 =+ s H sG

...descrivono, nel piano complesso, una curva cui si dà il nome di luogo delle radici. Esprimendo ora...( )( ) ( )( )( ) ( ) )()()( 111

21

21 sGK K s H sGn

m

ps ps ps

zs zs zs == −−−−−−

...con... ( )m

k

z z z

p p pk mK K

21

2111

+−=...si possono dedurre, a seconda del segno di K 1 le due relazioni...

1

11 )(

K sG = ...e... { } ( )π 12)(arg 1 += k sG ...con... 01 >K , Z k ∈

oppure

1

11 )(

K sG −= ...e... { } ( )π k sG 2)(arg 1 = ...con... 01 <K , Z k ∈

...la seconda delle quali è di per sé sufficiente alla costruzione del luogo, mentre la prima viene utilizzata per lagraduazione di quest’ultimo in funzione di K 1.

Nel caso di un guadagno positivo, ad esempio, preso un generico punto s del piano complesso e detti ϑ i e ϕ i gli

angoli formati, rispettivamente, dai segmenti congiungenti i vari zeri zi e i vari poli p j al punto s stesso,

quest’ultimo appartiene al luogo delle radici se e solo è soddisfatta la relazione:

( )π ϕ ϑ 1211

+=− ∑∑==

k n

j

j

m

i

i

Se questo avviene, detti rispettivamente r i e ρ j le lunghezze dei precedenti

segmenti, il valore di K 1 cui tale punto del luogo corrisponde è dato dalla

relazione:

∏∏

=

==m

i

i

n

i

i

r

K

1

11

ρ

Considerando tutti e soli i

poli pi diversi da zero





Proprietà del luogo delle radici

Il luogo delle radici dell’equazione caratteristeristica...

)(1)()(10 11 sGK s H sG +=+=...presenta alcune proprietà che, unitamente a un po’ di esperienza pratica, ne vincolano l’andamento e ne agevolano la

costruzione.

Proprietà 1: il luogo delle radici ha tanti rami quanti sono i poli della funzione di trasferimento ad anello aperto

K 1G1(s), che si intersecano sulle radici multiple; ogni ramo parte da un polo di G1(s) e termina in uno zero

di G1(s) o in un punto all’infinito.

Proprietà 2: il luogo delle radici è simmetrico rispetto all’asse reale.

Proprietà 3: se la costante K 1 è positiva, un punto dell’asse reale fa parte del luogo delle radici se lascia alla sua

destra un numero totale dispari di zeri e di poli; se la costante K 1 è negativa, un punto dell’asse reale fa parte

del luogo delle radici se lascia alla sua destra un numero totale pari di zeri e di poli.

Proprietà 4: se la costante K 1 è positiva, l’angolo secondo il quale il luogo delle radici lascia un polo pi è...

( ) { } { }∑∑

≠

∈= −−−++

i j

n j ji

m

j ji p p z pk ],1[1 argarg12 π

...e l’angolo secondo il quale il luogo tende a uno zero zi è:

( ) { } { }∑∑=

≠

∈

−−−−+n

j

ji

i j

m j

ji p z z zk 1],1[

argarg12 π

Nel caso di una costante K 1 si sostituisce (2k) a (2k+1).

Proprietà 5: i rami del luogo delle radici possono avere punti in comune, corrispondenti ai valori di K 1 per i quali

l’equazione 1+K 1G1(s) ammette radici multiple; una radice multipla di ordine h corrisponde ad un punto

comune ad h rami del luogo e nel quale, oltre alla precedente equazione, è soddisfatto l’annullarsi delle

derivate del guadagno di anello G(s)H(s) fino alla (h-1)-esima.

Proprietà 6 : in corrispondenza di una radice di ordine h il luogo presenta h rami entranti e h rami uscentialternati tra loro e le cui tangenti dividono lo spazio circostante in settori uguali di π /h radianti.

Proprietà 7 : gli asintoti del luogo formano una stella di raggi con centro nel punto dell’asse reale di ascissa...

−= ∑ ∑

= =−

n

i

m

i

iimna z p

1 1

1σ

...e formano con l’asse reale gli angoli...( )

mn

k

va −+= π ϑ 12

, ( ν = 0,1,...,n-m-1) ...se... K 1 > 0

( )mn

k

va −= π ϑ 2

, ( ν = 0,1,...,n-m-1) ...se... K 1 < 0

Tale proprietà spiega inoltre perché, all’aumentare del guadagno, i poli dominanti (cioè quelli che per primi

tendono a passare nel semipiano destro) sono di regola complessi coniugati: gli asintoti di un sistema inretroazione negativa con f.d.t. di anello stabile e a fase minima (cioè con tutti gli zeri e i poli nel semipiano

sinistro) intersecano infatti l’asse immaginario in punti diversi dall’origine, quindi complessi coniugati.

Il valore di K 1 relativo ai punti di intersezione del luogo con l’asse immaginario corrispondono perciò al limite di stabilità del sistema in

retroazione; per la loro determinazione si può, ad esempio, impiegare il criterio di Routh, che fornisce il valore di K 1 che corrisponde a

tale limite.

Lo stesso procedimento può essere inoltre utilizzato, sostituendo s-λ a s per trovare i valori di K 1 per i quali il luogo delle radici

interseca la retta verticale di ascissa λ ).

Altra proprietà: in tutti i casi in cui venga inserito uno zero, il luogo si modifica presentando, rispetto all’andamento

preesistente, una distorsione verso sinistra, dato che il nuovo zero ne attrae i rami verso il semipiano sinistro del

piano complesso.

In generale, l’inserimento di uno zero produce dunque un effetto stabilizzante sul sistema (questa proprietà

verrà in seguito utilizzata per la stabilizzazione dei sistemi di controllo mediante le cosiddette reti ad anticipo,caratterizzate appunto dalla presenza di uno o più zeri dominanti).

...detto punto di emergenza (ottenibile risolvendo l’equazione che si ottiene

derivando quella caratteristica e scartando le soluzioni non appartenenti al luogo)...





Contorno delle radici

Il procedimento per la costruzione del luogo delle radici si può applicare anche quando, invece di variare la costante di

guadagno, si varia qualche altro parametro della funzione di trasferimento del sistema, come ad esempio la costante di

tempo relativa ad un polo reale o ad uno zero reale (o, comunque, qualsiasi altro parametro da cui dipendano

linearmente i coefficienti dell’equazione caratteristica).

Se in corrispondenza del valore nominale del parametro si varia la costante di guadagno, le radici dell’equazione

caratteristica occupano successivamente, come si è visto, un insieme di punti sul piano complesso che prende il nome di

“luogo delle radici”; ridisegnando tale luogo in corrispondenza di altri valori del parametro si ottiene una famiglia di

curve che contorna il primo luogo disegnato, appoggiandosi ad esso. In conseguenza di questo, fissata la costante di

guadagno (quindi le corrispondenti radici del luogo, diciamo, nominale), vengono perciò detti “contorni delle radici” le

curve continue descritte dalle radici stesse al variare del parametro.

Metodo per la determinazione del contorno delle radici determinato da una costante di tempo

Detto, ad esempio, τ il parametro in questione; riuscendo a riportare l’equazione caratteristica in una forma del tipo...

)(10 2 sGτ +=...dunque analoga alla...

)(10 11 sGK +=...anche la graficazione del contorno delle radici può avvalersi delle 7 regole precedentemente esposte.

Il primo passo per conseguire tale obiettivo consiste nel separare, all’interno della forma fattorizzata di G(s)H(s), il

contributo dipendente da tale parametro dal resto; si pone, allora:

)()()()( sss H sG ΤΓ = ...con ss τ +=Τ 1)( se τ è costante di tempo di uno zero

ss

τ +=Τ1

1)( se τ è costante di tempo di un polo

Segue, quindi, l’equazione caratteristica:

)()(1)()(10 sss H sG ΤΓ +=+=

...nel caso di un polo: ...nel caso di uno zero:

[ ]

)(1110

)(10

)(10

)(10

2)(1)(1

11

sG

ss

ss

s

ss

s

s

s

τ τ

τ

τ

τ

τ

+=+=+=

+Γ +=

Γ ++=

Γ +=

Γ +Γ +

+ ( )

[ ]

)(1110

)()(10

)()(10

1)(10

2)(1

)(

)(1

)(sG

sss

sss

ss

s

ss

s

ssτ τ

τ

τ

τ

τ +=+=+=

Γ +Γ +=

Γ +Γ +=

+Γ +=

Γ +Γ

Γ +Γ

con... con...

)(12 )(s

ssG Γ +=)(1

)(

2 )(s

sssG Γ +

Γ =

Esempio:

Sono riportati a fianco i contorni delle radici del sistema....

( )( ) ( ) ( ) ( )ssssK

sssK ss H sG

τ τ τ +++++ Γ ===1

11

1111

)()()(

...dunque avente...

( )

( )( ) K ss

ssss

s

ssK sG ++

++Γ + ===

+1

1

1)(12

2

1

)(

...ed equazione caratteristica, fissato K = K 0...

( )( ) 0

2

1

1

2 1)(10K ss

sssG ++

++=+= τ τ

I tre disegni si riferiscono a valori di K 0 corrispondenti a radici “nominali”

reali (nel primo caso) e complesse coniugate (negli restanti).

E’ da notare come, nel caso di un contorno relativo alla variazione di un polo, sia

sempre presente un ramo proveniente dall’infinito: infatti, per τ = 0 si ha un

polo in meno (e l’ordine del sistema diminuisce di un’unità) che verrà poi

ripristinato per τ > 0 mediante un ramo del luogo proveniente dall’infinito.




Marro - Capitolo 6 / Bolzern - Capitolo 14, Il progetto dei regolatori 1

MARRO - CAPITOLO 6

BOLZERN - CAPITOLO 14

IL PROGETTO DEI REGOLATORI

Dati di specificaL’analisi armonica e i metodo del luogo delle radici trovano la loro più frequente applicazione nella progettazione deidispositivi di correzione della risposta: le reti correttrici.

I dati di specifica che con tali reti si intendono perseguire e sui quali si basa perciò il progetto di un sistema di controllo,riguardano:• la precisione, ossia:

.errori a regime in risposta ai segnali tipici;

.comportamento a regime in presenza di determinati disturbi;

.comportamento a regime in presenza di determinate variazioni dei parametri;• la stabilità o, meglio (in quanto questa è sempre sottintesa), il comportamento dinamico, caratterizzato da:

.massima sovraelongazione nella risposta al gradino;

. picco di risonanza;

.margini di ampiezza e fase;

.coefficiente di smorzamento dei poli dominanti;• la velocità di risposta:

.tempo di assestamento;

.banda passante.Come è evidente, alcuni di essi sono relativi a risposte nel tempo ai segnali tipici, altri alla funzione di rispostaarmonica, e molti sono grosso modo equivalenti; poiché il progetto si effettua normalmente considerando la rispostaarmonica del sistema controllato, occorre allora riportare i parametri nel dominio del tempo a parametri nel dominiodella frequenza.Tale operazione, peraltro, non è in generale possibile in modo rigoroso, se non approssimando il comportamento delsistema in retroazione con quello di un sistema del secondo ordine a poli complessi (o che, comunque, abbia un numerolimitato di poli dominanti).

Con riferimento a sistemi a fase minima, nelle prime fasi è in particolare di notevole utilità la formula di Bode che,collegando l’andamento del diagramma delle fasi a quello delle ampiezze, permette di trarre la seguente conclusione:

Trucchetto di Bode: riuscendo a mantenere una pendenza di circa -1 nelle decadi immediatamente precedente esuccessiva alla pulsazione di incrocio ω c (rilevabile sul diagramma delle ampiezze), sarà assicurato anche un buon margine di fase M F (leggibile sul diagramma delle fasi).

Una volta definito il progetto di massima cercando di soddisfare i dati di specifica sul diagramma di risposta armonica,si opera poi una sua messa a punto impiegando il luogo e il contorno delle radici.





Vengono nel seguito presentate numerose problematiche e tecniche di risoluzione; indicazione sulla scelta di un particolare sistema di compensazione e sul suo dimensionamento vengono inoltre fornite dal luogo e dal contorno delleradici, che consentono, inoltre, un’accurata verifica della risposta nel dominio del tempo.

Determinazione della costante di guadagno

Il primo parametro che si determina in fase di progetto, utilizzando i dati di specifica riferiti alla precisione, è la costantedi guadagno (costante di guadagno statico nei sistemi di tipo 0, di velocità nei sistemi di tipo 1).

Una volta determinato il valore minimo di tale costante (tramite gli errori a regime voluti) si analizza se il sistema inretroazione soddisfa le specifiche che riguardano stabilità (ad esempio applicando il criterio di Routh) e velocità dirisposta; se tali specifiche non sono soddisfatte occorrerà progettare un opportuno dispositivo che, inserito nell’anello(reti correttrici) o collegato ad esso (compensazione ad azione diretta), modifichi le caratteristiche dinamiche delsistema.

Con riferimento al “trucchetto” suggerito dalla formula di Bode (evidenziato in verde nella pagina precedente), èevidente come nei sistemi di tipo 0 e 1 la stabilità possa sempre essere ottenuta mediante una diminuzione della costante

di guadagno (che ne abbassa i diagrammi di Bode delle ampiezze fino a ricondurre la pulsazione di incrocio nel tratto a pendenza -1).Tuttavia, anche nei casi in cui questa operazione non comporta errori a regime inaccettabili (cioè si riesce ad abbassareK pur rimanendo al di sopra del suo valore minimo), essa avviene comunque a scapito del guadagno di anello, quindidella prontezza in risposta e della insensibilità ai disturbi.

Compensazione ad azione diretta

Si applica nel caso i dati riguardanti la precisione impongano un valore della costante di guadagno talmente elevato danon poter ottenere un comportamento dinamico soddisfacente con nessuna delle reti correttrici e delle metodologie di

progetto presentate nel seguito.La sua implementazione prescinde dalla presenza della retroazione (v. ad esempio i due casi tipici sotto illustrati), ma vasottolineato che, sebbene un’opportuna scelta dei parametri consentirebbe teoricamente la completa eliminazione deglierrori a regime, per la presenza di inevitabili precisioni ed incertezze nella conoscenza del modello questi ultimivengono solo ridotti dell’ 80 ÷ 90%.Questo risultato può però essere sufficiente per superare eventuali difficoltà nel progetto del sistema in retroazione(dovute, ad esempio, alla richiesta di una costante di guadagno troppo elevata) e costituire dunque un buon punto di partenza per il progetto della rete correttrice da inserire poi, normalmente, nell’anello.

Retroazione tachimetrica

Si applica, in particolare, quando un segnale di correzione derivativo si può generare con un opportuno trasduttoresensibile alla derivata della variabile controllata, oppure misurando una grandezza diversa da essa, ma della quale laderivata in questione è funzione.Tale compensazione non viene dunque effettuata sul percorso di segnale diretto, ma su quello di retroazione e comportain sostanza la modifica della funzione di trasferimento del percorso di retroazione, influendo così sulla costante divelocità.A parità di costante di velocità, tale retroazione porta ad un aumento della pulsazione naturale e, nello stesso rapporto,del coefficiente di smorzamento e conseguentemente, ad una maggiore prontezza di risposta e ad un maggior margine distabilità.





Reti correttrici

I paragrafi che seguono intendono descrivere, brevemente, le principali tipologie di reti correttrici, i loro scopi e i loro possibili campi di utilizzo; nonostante eventuali riferimento a rappresentazioni grafiche delle loro funzioni ditrasferimento, esse non vengono riportate (si fa peraltro riferimento alle illustrazioni, davvero esaurienti e complete, presenti nel 6° capitolo del Marro), ma sommariamente descritte nelle loro caratteristiche essenziali.

Rete integratrice:

La sua funzione di trasferimento è del tipo...

ss τ +=

11

r )(G

...e non presenta perciò alcuno zero, ma solamente un polo, reale, in posizione -1 / τ .

Il suo diagramma di Bode delle ampiezze asintotico è dunque unitario per basse pulsazioni e assume pendenza -1

dopo ω = 1 / τ , comportandosi dunque come un filtro passa-basso; quello delle fasi offre invece un ritardo di fase per

tutte le pulsazioni finite, tendente a -

π

/ 2 al crescere della pulsazione stessa.Il suo diagramma di risposta armonica (una semicirconferenza percorsa in senso orario da 1+j0 a 0+j0, approssimaquello di un integratore ideale (una semiretta da 0-j∞ a 0+j0) per pulsazioni elevate:

( ) ωτ ωτ ω j jr

jG 11

1 ≅= + ...per ω >>1 / τ

Uno dei suoi possibili utilizzi è l’aggiunta di un polo molto vicino all’origine per ottenere un errore a regime molto basso in risposta al gradino, ma viene scarsamente utilizzata per la stabilizzazione, in quanto presenta

Rete derivatrice:


s

ss τ

τ

+= 1r )(G

...e presenta perciò uno zero nell’origine e un polo, reale, in posizione -1 / τ .

Il suo diagramma di Bode delle ampiezze ha pendenza +1 per basse pulsazioni e diventa unitario dopo ω = 1 / τ ,

comportandosi dunque come un filtro passa-alto; quello delle fasi introduce un anticipo di fase decrescente da +π / 2 a

0 al crescere della pulsazione.

Il suo diagramma di risposta armonica (una semicirconferenza percorsa in senso orario da 0+j0 a 1+j0, approssimaquello di un integratore ideale (una semiretta da 0+j0 a 0+j∞ ) per basse pulsazioni:

( ) ωτ ω ωτ ωτ

j jG j

j

r ≅= +1 ...per ω <<

1 / τ

Non può essere utilizzata in cascata nell’anello di un sistema in retroazione in quanto blocca la componente continua delsegnale (proprio dove, invece, i sistemi di controllo devono presentare un elevato guadagno di anello).





Rete ritardatrice (phase-lag):


s

ss τ

τ α

+

+= 1

1

r )(G con α < 1

...e presenta perciò uno zero reale in posizione -1 / ατ a destra di un polo, reale, in posizione -

1 / τ .

Il suo diagramma di Bode delle ampiezze è unitario per basse pulsazioni, assume pendenza -1 tra ω p =1

/ τ e ω z =1

/ ατ ,dopodiché ritorna orizzontale e vale α ; quello delle fasi introduce un ritardo di fase, rilevante specie in corrispondenza delle pulsazioni per le quali il diagramma delle ampiezze è decrescente.

La rete ritarda la fase per tutte le pulsazioni finite; in corrispondenza della pulsazione nulla non sfasa né attenua; in corrispondenzadella pulsazione infinita non sfasa e attenua diα.Il massimo ritardo di fase introdotto vale ϕ m e corrisponde alla pulsazione ω m (ricavabile ponendo a zero la derivata di ϕ (ω ) ed intermedia tra ω a e ω b in scala logaritmica):

( )α α ϕ

+−= 1

-1asinm α τ

ω 1=m

L’effetto stabilizzante delle reti ritardatrici è legato all’attenuazione da esse introdotta alle alte frequenze, non al loro ritardo di fase(che da solo, anzi, costituirebbe un effetto nocivo). Infatti...

→ Diagrammi di Bode: riferendosi al “trucchetto di Bode”, poiché una rete

ritardatrice diminuisce il guadagno ad alte frequenze senza influire su quello a basse frequenze, essa costituisce un valido strumento per riportare la pulsazione diincrocio in un tratto a pendenza -1, senza incorrere negli inconvenienti dati dauna diminuzione della costante di guadagno.

Tuttavia, se la costante di tempo τ relativa al polo è troppo elevata può verificarsiun’eccessiva diminuzione della banda passante e, di conseguenza, della prontezzadi risposta del sistema; conviene allora scegliere un valore di α inferiore (quindiimporre una maggiore attenuazione) per poter decrementare anche τ .A causa di questo inconveniente, comunque, tali reti limitano perciò solo parzialmente gli inconvenienti dovuti a una semplice riduzione di guadagno.

→ Diagrammi di Nichols: il dimensionamento dei parametri α e τ di Gr (s)

può essere effettuato anche, e in modo più versatile, utilizzando i diagrammi di Nichols:

i) In base alla specifica del margine di fase voluto si determina nel piano di Nichols il punto A, appartenente all’asse delle ascisse, attraverso cui far passare il diagramma corretto per ottenere il valore di M F voluto;

ii) Si sceglie, nel diagramma di G(jω ) il punto B di pulsazione ω B (futura pulsazione di incrocio) situato sopra e a destra di A, che si vuole passi per Adopo l’inserimento della rete ritardatrice;

iii) Si leggono sugli assi del diagramma il ritardo di fase ∆ϕ tra A e B el’attenuazione in db corrispondenti al passaggio da B ad A, ossia l’ordinata M = 1/|G(jω B)|;

iv) Si calcolano i valori dei parametri α e τ di Gr (s) attraverso le formule di inversione...

( )[ ]( )ϕ ϕ α

∆−

−∆=

cos1

cos

M

M M ( )( )ϕ

ϕ ω τ

∆

∆−=

sin

cos11 M

M

B

→ Luogo delle radici: la rete ritardatrice non influisce sensibilmente sull’andamento dei rami corrispondenti ai poli dominanti, masulla loro graduazione in funzione di K 1; a parità di guadagnostatico risulta infatti che:

a) I poli dominanti vengono spostati in modo da aumentarne ilcoefficiente di smorzamento associato, equivalente alcoseno (crescente) dell’angolo (calante) formato colsemiasse reale negativo dal segmento che li congiungeall’origine;

b) Diminuisce per contro la loro pulsazione naturale, proporzionale al suddetto segmento, cosa che comporta unaminor prontezza in risposta.

...con rete ritardatrice:...senza rete ritardatrice:





Rete anticipatrice (phase-lead):

Indubbiamente la più impiegata per la stabilizzazione dei sistemi in retroazione, la sua f.d.t. è del tipo...

s

ss τ α

τ α

+

+= 1

1

r )(G con α < 1

...e presenta perciò uno zero reale in posizione -1 / τ a sinistra di un polo, reale, in posizione -

1 / ατ .

Il suo diagramma di Bode delle ampiezze vale α per basse pulsazioni, assume pendenza +1 tra ω z =1

/ τ e ω p =1

/ ατ ,dopodiché rimane orizzontale e unitario; quello delle fasi introduce un anticipo di fase, rilevante specie in corrispondenza delle pulsazioni per le quali il diagramma delle ampiezze è crescente.

La rete anticipa la fase per tutte le pulsazioni finite; in corrispondenza della pulsazione nulla non sfasa e attenua di α; incorrispondenza della pulsazione infinita non sfasa né attenua.Il massimo anticipo di fase introdotto vale ϕ m e corrisponde alla pulsazione ω m (ricavabile ponendo a zero la derivata di ϕ (ω )ed intermedia tra ω a e ω b in scala logaritmica):

( )α α ϕ ++= 1

-1asinm α τ

ω 1=m

Il meccanismo di intervento di una rete anticipatrice si può spiegare con l’introduzione di un termine proporzionale alla derivatadell’errore che, sommandosi al segnale errore applicato all’ingresso della rete, evita sovracorrezioni indebolendo l’azione correttricequando l’errore stesso tende a diminuire. Per fare questo occorrerebbe tuttavia realizzare la funzione di trasferimento...

sG id r τ +=1,

...che essendo non causale può solamente venire approssimata dalla Gr (s) sopraenunciata; l’approssimazione è tanto maggiore quanto minore è il valore di α .In termini di risposta armonica, invece, detta ω C la pulsazione di incrocio del sistemada controllare, l’effetto stabilizzante è legato alla possibilità di aumentare, tramitel’anticipo di fase, il margine M F = π -arg{G(jω c)}; aumentando inoltre il guadagnoalle alte frequenze si aumenta la banda passante (effetto peraltro sempre annullabile,questo) senza quindi ledere la prontezza del sistema.

→ Diagrammi di Bode: occorre scegliere un valore di α tale che l’anticipo di fasemassimo della rete sia sufficiente a restituire il margine di fase voluto per il sistemacontrollato, e determinare poi τ procedendo per tentativi, in modo che alla pulsazionedi intersezione si abbia ancora il margine di fase voluto, eventualmente correggendo ilvalore di α se è il caso.

→ Diagrammi di Nichols: il dimensionamento dei parametri α e τ di Gr (s) puòessere effettuato anche utilizzando i diagrammi di Nichols:

i) In base alla specifica del margine di fase voluto si determina nel piano di Nichols il punto A, appartenente all’asse delle ascisse, attraverso cui far passare il diagrammacorretto per ottenere il valore di M F voluto;

ii) Si sceglie, nel diagramma di G(jω ) il punto B di pulsazioneω B (futura pulsazionedi incrocio) situato sotto e a sinistra di A, che si vuole passi per A dopol’inserimento della rete ritardatrice;

iii) Si leggono sugli assi del diagramma il ritardo di fase ∆ϕ tra A e B el’amplificazione in db corrispondenti al passaggio da B ad A, ossia l’ordinata - M =

-1/|G(jω B)|;

iv) Si calcolano i valori dei parametri α e τ di Gr (s) attraverso le formule di inversione...( )

( )[ ]ϕ

ϕ

α ∆−

−∆

= cos

1cos

M M

M ( )

( )ϕ

ϕ

ω τ ∆

∆−

= sin

cos11

M

M

B

→ Mappa dei poli e degli zeri: la compensazione può anche avvenire per cancellazione polo-zero, a scapito della flessibilità,scegliendo lo zero della rete anticipatrice in modo che cancelli un polo del sistema situato sull’asse reale; poiché il polo della rete è più lontano dall’asse immaginario dello zero, l’introduzione della rete equivale ad allontanare un polo del sistema dall’asseimmaginario nel rapporto di 1 ad 1/α (normalmente il polo ≠ 0 più vicino all’asse Im). Non potendo, tuttavia, la cancellazione essere perfetta, il luogo delle radici presenta sempre un polo nella vicinanza della coppia polo-zero introdotta: se tale polo è più vicino dello zero all’asse Im non vi saranno problemi, essendo molto piccolo il residuoassociato alle radici ivi presenti; in caso contrario, un eventuale polo nell’origine produrrebbe un ramo verso lo zero alle cui radicisono associati residui non trascurabili.Per questo motivo la cancellazione di poli instabili non permette unastabilizzazione, ma riduce solo i residui di tali poli.

→ Luogo delle radici: una rete anticipatrice tende a spostare i poli

dominanti in modo da aumentarne, oltre al coefficiente dismorzamento, anche la pulsazione naturale; i rami ad essicorrispondenti vengono dunque notevolmente distorti verso sinistra eciò porta ad un notevole aumento dei limiti di stabilità.

...con rete anticipatrice:...senza rete anticipatrice:

Nota: il fattoreα è in genere ignorato, in quanto un’attenuazione alle basse frequenze èfacilmentecom ensabilecon unaumentodel uada nostaticodel re olatore.





Rete a ritardo e anticipo (lead-lag):

La sua funzione di trasferimento è del tipo...( )( )

( )( )( )( )( )( )

( )( )

( )( )ss

ss

ss

ss

sss

ss

bas

12

2121

1221

21

11

11

11

11

11

11

r )(Gατ

τ τ τ τ τ τ

τ τ τ τ τ

α τ

++

++

++

++

+++

++=== con ba

τ τ τ τ =21 12

1<== α τ

τ τ τ

b

a

...e presenta perciò, da sinistra a destra: il polo reale -1 / ατ 1, i due zeri reali -

1 / τ 1 e -

1 / τ 2, il polo reale -

α / τ 2.

Il suo diagramma di Bode delle ampiezze è unitario per pulsazioni basse fino a ω p2 = α / τ 2 e alte oltre ω p1 = 1 / ατ 1,attenua di α tra ω z2 =

1 / τ 2 e ω z1 =

1 / τ 1, raccordando le tre regioni con due tratti a pendenza -1 tra ω p2 e ω z2,

+1 tra ω z1 e ω p1.

Detta 21/1 τ τ ω =n , quello delle fasi introduce un ritardo di fase tra 0 e ω n (rilevante specie in

corrispondenza della pendenza -1), un anticipo tra ω n e +∞ (specie in corrispondenza della pendenza +1).

La rete ritarda la fase per tutte le pulsazioni minori di ω n, l’anticipa per le seguenti; in corrispondenza di ω n attenua diα , ma non sfasa; in corrispondenza delle pulsazioni nulla e infinita non vi è ne sfasamento né attenuazione.

La rete a ritardo e anticipo presenta il vantaggio di unire i requisiti delle reti anticipatrice e ritardatrice; il mancatosfasamento in corrispondenza della pulsazione ω n facilita enormemente il progetto.

→ Diagrammi di Bode: si può procede praticamente per passi:i) Detto M F il margine di fase voluto, si individua la pulsazione ω F alla quale il diagramma G(jω ) del sistema dacontrollare presenta la fase -π +M F ;

ii) Il valore di α sarà dato dall’inverso di |G(jω F )|, corrispondendo all’attenuazione da introdurre per far divenireω F la nuova pulsazione di incrocio; grazie al mancato sfasamento della rete r/a si può ora porre:

F n ω ω

τ τ ==

21

1)(

1

F jG ω α =

iii) Resta ora da determinare l’esatto rapporto tra le costanti di tempo τ 1 e τ 2 della rete r/a; criterio per tale scelta può essere il requisito che il margine di fase si mantenga abbastanza elevato anche per notevoli variazioni delguadagno oppure specifiche riguardanti la banda passante o le proprietà filtranti del sistema.

Questi criteri portano, in conclusione, ad uno uso della rete a ritardo e anticipo analogo a quello della rete ritardatrice,cioè sfruttandone principalmente l’attenuazione, con il vantaggio, però, di un minore taglio delle frequenze elevate.

E’ anche possibile un uso analogo a quello della rete anticipatrice, grazie all’anticipo di fase presente per ω > ω n, colvantaggio di non richiedere amplificazione ausiliaria (come invece richiederebbe il fattore α della f.d.t. di una reteanticipatrice) avendo guadagno statico unitario.





Regolatori standard (P. I. D.)

Sono dispositivi di correzione con parametri regolabili entro ampi limiti, così da poter essere adattati al particolare sistema diregolazione in cui vengono inseriti; le ragioni del loro successo sono varie, prime fra tutte la loro realizzabilità mediante letecnologie più varie (meccaniche, pneumatiche, idrauliche, elettroniche,...) e l’esistenza di semplici regole per la loro taraturaautomatica, applicabili con buoni risultati anche in assenza di un modello matematico preciso del sistema da controllare.

La loro struttura si basa sulla considerazione empirica che la variabile di controllo sia generata come somma di tre contributi:.il primo, intuitivo, proporzionale all’errore;.il secondo, richiesto per l’annullamento dell’errore asintotico, proporzionale all’integrale dell’errore (cioè al suo valor medio);.il terzo, richiesto per migliorare la velocità, proporzionale alla derivata dell’errore (nel tentativo di anticiparne l’andamento).

Combinando questi contributi fondamentali si possono allora identificare i seguenti tipi di regolatori standard:

Regolatore proporzionale (P.):

pr K sG =)( ...con K p = sensibilità proporzionale

Si impiega quando il processo consente un’elevata costante di guadagno senza pregiudizio per la stabilità (come nei sistemiaventi il comportamento dinamico di un integratore o caratterizzati dalla presenza di una sola costante di tempo predominante);

Regolatore integrale (I.):

sT

K

r i

p

sG =)( ...con T i = costante di tempo dell’azione integrale Si impiega per sistemi di tipo 0 di difficile stabilizzazione e per sistemi con ritardi finiti dominanti (per i quali un regolatore P.

produrrebbe un errore a regime inaccettabile), nonché quando è necessario il soddisfacimento dei requisiti sull’errore atransitorio esaurito, ma non si richiede un’elevata velocità di risposta; può essere interpretato come una rete ritardatrice con il polo posto nell’origine e lo zero all’infinito, da cui un’accentuazione del restringimento di banda introdotto.

Regolatore proporzionale-integrale (P.I.):

( )sT pr i

K sG 11)( +=

Permette di conservare una maggiore banda passante del regolatore I. e quindi una maggior prontezza in risposta; viene quindi ad esso preferito (come una rete ritardatrice si preferisce ad una rete integratrice);

Regolatore proporzionale-derivativo (P.D.):

( )sT K sG d pr += 1)( ...con T d = costante di tempo dell’azione derivativa Si impiega per migliorare la velocità di risposta di sistemi di tipo 0 o già intrinsecamente di tipo 1; il suo intervento è del tutto

analogo a quello di una rete anticipatrice ed è infatti tipico di quei casi in cui non vi siano problemi di stabilità o di prestazionistatiche, ma sia invece necessario ottenere la banda passante più ampia possibile;

Regolatore proporzionale-integrale-derivativo (P.I.D.):

( )sT d pr i

sT K sG 11)( ++=

Si può impiegare in alternativa al P.D. per fornire maggiore prontezza di risposta a sistemi di tipo 0 e presenta, rispetto ad esso, ilvantaggio di consentire anche un errore statico nullo; è il regolatore standard più generale e consente di ottenere i precedenticome suoi casi particolari.

Osservazioni:

→→→→ E’ facile verificare che i P.I.D., almeno nella loro forma ideale, sono sistemi dinamici lineari e invarianti, ma impropri, in quantodescritti dalla funzione di trasferimento di grado relativo -1:

( )sT

sT sT T

pd sT p D I P i

id i

iK sT K G

11...

2

1 ++=++=

In pratica, infatti, l’azione derivativa è ottenuta per mezzo della funzione di trasferimento...

s

sT

p D N d T

d K G+

=1. ...con N sufficientemente grande.

Pur sottintendendo la presenza del polo aggiuntivo in alta frequenza, si fa comunque sempre riferimento alla forma ideale.

→→→→ Nella funzione di trasferimento di un regolatore standard si include spesso anche quella K t (s) del trasduttore di misura, ottenendoGr ’(s)=K t (s)Gr (s). Inoltre, essendo spesso K t (s) ≡ K t , l’espressione di Gr ’(s) si ottiene da quella di Gr (s) sostituendovi la

sensibilità proporzionale con la cosiddetta sensibilità proporzionale complessiva K’ p = K t K p, la cui inversa prende il nome dibanda proporzionale (corrispondente all’escursione della variabile controllata necessaria ad una variazione unitaria della variabilemanipolabile, in assenza di azione D. e I.).





Metodi di taratura automatica:

Gli esperimenti richiesti nel seguito devono essere effettuati, in base alla tecnica impiegata, direttamente sul processo non regolato (metodi in anello

aperto) o regolato con particolare regolatore (metodi in anello chiuso).Inoltre, per semplicità, si assumerà sempre che il sistema da controllare sia asintoticamente stabile e con guadagno positivo.

→→→→ Metodo di Ziegler-Nichols in anello chiuso: si basa sulla determinazione della banda proporzionale di pendolazione 1/K 0, equivalente alla banda proporzionale che in assenza di azione I. e D. porta il sistema di regolazione in condizione di stabilità limite, cioè in oscillazione permanente di

periodo T0. Seguono i valori consigliati:Controllo P. ⇒ K p’ = 0,5 K 0;

Controllo P.I. ⇒ K p’ = 0,45 K 0 T i = 0,85 T 0;

Controllo P.D. ⇒ K p’ = 0,5 K 0 T d = 0,2 T 0;

Controllo P.I.D. ⇒ K p’ = 0,6 K 0 T i = 0,5 T 0 T d = 0,125 T 0.

Questo metodo richiede in pratica di attivare preliminarmente la sola azione proporzionale, innalzandone il coefficiente K p fino al valore K p’,detto guadagno critico, che porta il sistema retroazionato al limite di stabilità; tale valore, ovviamente, non è altro che il margine di ampiezza M A’

del sistema G(s) da controllare e pertanto il metodo stesso è applicabile solo se tale margine è finito.Detta ω π ’ la pulsazione di intersezione del diagramma polare di G(jω ) col semiasse reale negativo, risulta inoltre T 0 = 2π / ω π ’; per la taratura èquindi necessario conoscere le caratteristiche del solo punto G(jω π ’) = -1 / M A’+j0 della risposta in frequenza del sistema da controllare.

• Assegnamento del margine di ampiezza del sistema retroazionato:Per assegnare al sistema retroazionato un certo valore M A del margine di ampiezza, imponendo che la pulsazione ω π in cui Gr (jω )G(jω )interseca il semiasse reale negativo coincida con ω π ’ è sufficiente utilizzare il regolatore puramente proporzionale:

A p pr M K K sG /')( ==

Se per motivi di prestazioni statiche si vuole raggiungere lo stesso obiettivo impiegando anche l’azione integrale, sarà necessario introdurre anchel’azione derivativa e fare in modo che lo sfasamento prodotto da questi due termini sia nullo in corrispondenza di ω π ’; i parametri del regolatoreP.I.D. dovranno allora soddisfare alla relazione...

0''1 =+

d T jT j

i π ω ω

π ...ovvero... 0'1 2 =−

d iT T π ω

Scegliendo poi, come prassi, la proporzione T i = 4 T d tra le costanti di tempo integrale e derivativa.

• Assegnamento del margine di fase del sistema retroazionato: Volendo imporre al sistema retroazionato il valore M F del margine di fase, con il vincolo che la pulsazione critica ω c del sistema retroazionatocoincida con ω π ’, occorre che R(jω )G(jω ) soddisfi le relazioni...

{ } ( )π ω ω π π 1)'()'(arg 180 −= F M

r jG jG 1)'()'( =π π ω ω jG jG

r

...e quindi, introducendo la necessaria azione derivativa (per avere l’anticipo di fase richiesto in ω π ’) e considerando che per qualsiasi K p > 0

risulta arg{K pG(jω π ’)} = -π :

{ } 180'1

'1arg π π ω ω π F d T j M T ji =++ ( ) 1'1 '

1'

1

=++ −

pi K d T j p T jK π ω ω π

Da cui, infine:

( )F T d M T

itan' '

1 =−π ω π ω ( )

F p p M K K cos'=

→→→→ Metodo di Ziegler-Nichols in anello aperto : fornisce i valori da assegnare a K p’, T i e T d in funzione di alcuni parametri della risposta algradino fornita dal sistema da controllare; quest’ultima, graficata a lato, è spesso aperiorica e approssimabile dalla risposta alla funzione ditrasferimento...

sT

st K esG

+

−= 1

10)(

...dove i valori dei parametri si ricavano graficamente mandando la tangente alla curva di risposta nel punto di flesso; con riferimento alla costruzione a lato si avranno:

t0 = tempo di ritardo;T = costante di tempo;

R = t0/T = Nt0/C0 = rapporto di ritardo; N = C0/T = velocità di risposta;K = C0/M0 = guadagno statico (con M0 = ampiezza del gradino applicato).

Da cui i valori consigliati:

Controllo P. ⇒ ( )31'0

0 Rt N

M

pK +=

Controllo I. ⇒ ( ) R

R

t N

M

T

K

i

p

51

4' 2

20

0

+=

Controllo P.I. ⇒ ( )12109

0

0' Rt N

M

pK +=

R R

it T 209

3300 +

+=

Controllo P.D. ⇒ ( )64

5

0

0' Rt N

M

pK += R R

d t T 32226

0 +−=

Controllo P.I.D. ⇒ ( )43

4

0

0' Rt N

M

pK +=

R R

it T

813632

0 ++=

Rd t T

2114

0 +=

I margini di fase e di ampiezza possono essere calcolati in modo approssimato (in quanto la stessa G(s) approssima solamente il sistema) come: M F = 14,95° + 77,8°t 0 /T M A = 1,47 + 0,87t 0 /T (sempre piuttosto basso)

Il limite di questo approccio è la mancanza di libertà nel tarare i parametri per variare le prestazioni (imponendo certi valori di M F e M A, ad esempio,oppure aumentando o riducendo la velocità di risposta).





→→→→ Metodi di ottimizzazione: alcuni metodi di taratura consistono nel determinare i parametri del regolatore in modo da minimizzare opportunefunzioni obiettivo caratterizzanti le risposte del sistema in anello chiuso o a fronte di scalini del riferimento o dei disturbi; tra i vari funzionalinormalmente considerati, i più comuni sono:

. Integral square error ( ISE ) = ∫ 0∞ e2(t) dt ;

. Integral square time error ( ISTE ) = ∫ 0∞ t 2e2(t) dt ;

. Integral square time2 error ( IST 2 E ) = ∫ 0∞ t 4e2(t) dt ;Mentre il primo funzionale (ISE) penalizza l’integrale del quadrato dell’errore, nei successivi (ISTE e IST2E) vengono poco penalizzati gli errori nei primi istanti del transitorio e l’uso di questi è dunque condizionato all’accettabilità di errori anche rilevanti in tali istanti.Facendo ancora riferimento ai parametri t 0 e T della G(s) approssimata a...

sT

st K esG

+

−= 1

10)(

...si definisce θ = t0/T e si calcolano i parametri K p , T i , T d dei regolatori P.I.D. secondo le formule...

11 b

K

a

pK θ = θ 22 ba

T i

T +

= 3

3b

d T aT θ =

...dove i parametri a1 , b1 , a2 , b2 , a3 , b3 , sono ricavati secondo le tabelle che seguono:

• I valori di margine di fase M F pulsazione critica ω c e margine di ampiezza M A, che si ottengono minimizzando l’uno o l’altro funzionalesono fissi e riportati nella seguente tabella.

• Le regole per la taratura, in realtà, sono spesso largamente impiegate in una prima fase, ma vengono poi successivamente completate per tentativisull’impianto reale.

Parametri per la taratura di un regolatore P.I.: Parametri per la taratura di un regolatore P.I.D.:

M F M F M F

M A M A M A





Progetto analitico:Il progetto analitico consente di operare la sintesi del regolatore in base alla scelta di un’opportuna funzione di trasferimento campione per il sistemacomplessivo, quindi di determinare la f.d.t. del regolatore con un calcolo diretto, senza operare alcuna scelta preliminare sulla modalità di intervento.Tale modo di procedere, oltre che per un orientamento preliminare a un progetto, è conveniente qualora i dati di specifica siano pochi e schematici ela funzione di trasferimento del sistema da controllare sia semplice e nota con precisione.

Si consideri dapprima il sistema con retroazione unitaria rappresentato a lato, in cui ilsistema da controllare sia stabile e a fase minima (tranne, al più, un polo semplice o

multiplo nell’origine) e presenti f.d.t.:

)(

)()(sQ

sPsG =

Volendo ottenere per il sistema complessivo la funzione di trasferimento campione (o modello di riferimento)...

)()(1

)()(

)(

)(

)(

)(

0 0

0)(sGsG

sGsG

s R

sC

sQ

sP

c

csG+

===

...che soddisfi le specifiche imposte, è possibile dedurre immediatamente l’espressione:

)(

)(

)()(

)(

)(1

)(1

)(

00

0

0

0)(sP

sQ

sPsQ

sP

sGsG

sG

c sG−−

==

Condizione per la realizzabilità fisica del regolatore: il grado relativo della funzione di trasferimento campioneG0(s) deve essere non inferiore a quello del sistema controllato G(s) e dunque il grado di Q0(s) deve superare quello di P0(s) dialmeno tanto quanto il grado di Q(s) supera quello di P(s).

Condizioni imposte dal comportamento a regime: se il sistema controllato presenta un polo semplice o multiplonell’origine occorre scegliere una G0(s) che soddisfi la condizione imposta dal comportamento a regime per un tipo di sistema non

inferiore a quello corrispondente a tali poli; in tal modo le radici nulle diQ(s)

si cancellano con le radici nulle diQ

0(s)-P

0(s)

e si evitache il regolatore presenti degli zeri nell’origine.

L’estensione del progetto analitico al caso in cui la retroazione non sia unitaria non presenta alcuna difficoltà, bastando ridefinire i polinomi P0(s),

Q0(s), P(s), Q(s) attraverso le relazioni:

)(

)(

0 0

0)()(sQ

sPs H sG =

)(

)()()(sQ

sPs H sG = . ..da cui: )(

)(

)()(

)(

)()(1

)(1

)(

00

0

0

0)(sP

sQ

sPsQ

sP

s H sGsG

sG

c sG−−

==

Esempi di modelli di riferimento:

Nel caso di sistemi da controllare di tipo 0 o di tipo 1 conviene riferire la f.d.t. campione a quella di un sistema elementare del secondo ordine...

22

20

20 )(nn

n

ss

K sG

ω ω δ

ω

++= ...o del terzo... ( )( )22

20

210 )(nn

n

sss

K sG

ω ω δ τ

ω

+++=

...o prevedenti l’introduzione di un ulteriore polo reale, se necessario per la realizzabilità fisica. Se le costanti di tempo introdotte sonosufficientemente piccole in rapporto a 1 / ω n le corrispondenti risposta al gradino e risposta armonica non si discostano sensibilmente da quelle delsistema elementare del secondo ordine.Per evitare di assumere un modello di riferimento di ordine eccessivo sarà bene trascurare, inoltre, i poli del sistema da controllare che risultanomolto maggiori di ω n, perché influirebbero in maniera trascurabile sul comportamento dinamico del sistema in retroazione.I parametri K 0, δ , ω n e τ devono essere determinati in base ai dati di specifica:

.K 0 dipende dai dati riguardanti gli errori statici e rappresenta il guadagno statico del sistema, che essendosi supposta la retroazioneunitaria, è minore o uguale o uno (più precisamente si assume K 0=1 se si vuole imporre un regolatore di tipo 1 o se il sistema controlla presenta un polo semplice nell’origine, mentre si assume K 0=K/(1+K) se si vuole imporre un regolatore di tipo 0 con guadagno staticodi anello pari a K );.δ è legato alla sovraelongazione nella risposta al gradino e al picco di risonanza;.ω n (e τ nel caso della G0(s) del terzo ordine) è legata al comportamentodinamico a regime, come l’errore di velocità o la banda passante.

Non è, infine, raro il caso in cui le specifiche si riferiscono anche ad un secondo ingresso, qualead esempio un disturbo D(s); in tal caso, se si indica con Z 0(s) la funzione di trasferimentovoluta per esso ad anello chiuso, si può scrivere...

)()(

)()(

)()(1

)(

)(

)(0

0)(sGsG

sGs Z

sGsG

s Z

s D

sC

ccs Z ===

+

...e, tenendo conto del fatto che...

( ))(1)()()( 0)(

)()(

0 0

00 sGs Z s Z s Z sQ

sPsQ−==

−

...si possono dedurre i valori dei parametri di G0(s) direttamente dalle specifiche su Z 0(s).

Nota: mentre nel caso della G0(s) del secondo ordine sono giàdisponibili i grafici normalizzati della risposta al gradino, dellamassima sovraelongazione in funzione di δ , della risposta armonicae del picco di risonanza in funzione di δ , nel caso della G0(s) delterzo ordine occorre però provvedere grafici analoghi.





Implementazione di alcune tipologie di regolatoriPer un’implementazione accettabile di qualsiasi regolatore è indispensabile dare una soluzione soddisfacente ai problemi didesaturazione della variabile di controllo e della commutazione della configurazione di controllo da manuale ad automatica; è inoltreimportante utilizzare correttamente l’azione derivativa, eventualmente presente per migliorare la velocità, senza produrre eccessivesollecitazioni della variabile di controllo.

Limitazione dell’azione derivativa:Se la derivazione è effettuata, come una normale azione correttrice, sull’erroree(t), una variazione a gradino del riferimento porta ad un andamento di tipoimpulsivo della variabile controllabile e quindi ad un’eccessiva perturbazione delsistema (in contrasto con il requisito di moderazione del controllo, potendo ad esempio provocare la saturazione di un attuatore o l’allontanamento del sistemadalla condizione di linearità con riferimento alla quale era stato progettato ilregolatore).→ Possibile schema risolutivo: per evitare questo l’azione derivativa è in genere applicata al solo segnale di retroazione; infatti, dalmomento che il sistema ha normalmente le caratteristiche di un filtro passa-basso, lavariazione istantanea dell’uscita e della sua derivata sono in genere contenute.Le proprietà di stabilità dei due schemi sono identiche, essendo in entrambi i casil’equazione caratteristica (ossia il denominatore della f.d.t. complessiva relativa aldisturbo o, equivalentemente, al riferimento):

0)()(1 =+ sGsGPID

con GPID(s) = GP(s)+G I (s)+G D(s)

Non cambiano infatti né la f.d.t. tra il disturbo sull’uscita d(t) e l’uscita stessa y(t) ( funzione di sensitività), né quella tra il disturbo d(t) e la variabile iningresso al sistema u(t) ( funzione di sensitività del controllo).

Desaturazione dell’azione integrale:

La presenza combinata dell’azione integrale e di una saturazione (dovuta, ad esempio, a limiti fisici dell’attuatore) provoca un effetto di tipo non lineare chedeteriorare significativamente le prestazioni del sistema di controllo, causando ad esempio il cosiddetto fenomeno del...

.wind-up: se per un certo periodo l’errore e(t) mantiene lo stesso segno, ad esempio positivo, l’uscita u(t) dell’integratore cresce in modulo sempre di più, nonostante l’effettiva variabile di ingresso m(t) del sistema

venga limitata dalla saturazione al valore u M ; se l’errore cambia di segno è necessario attendere la scaricadell’integrale prima che l’attuatore, desaturandosi, riprenda ad operare in zona lineare e si abbia di nuovo,effettivamente, m(t) = u(t); sarebbe invece più opportuno che la variabile di controllo effettiva m(t) lasciasseil valore di saturazione non appena l’errore e(t) cambia segno.

In pratica, il wind-up è dovuto al fatto che la dinamica del regolatore non è influenzata dall’eventuale presenza di limitazioni sullasua variabile di uscita e che quindi il suo stato u(t) non è congruente con l’effettiva variabile manipolabile m(t) in ingresso alsistema controllato G(S); tutti gli schemi anti-wind-up esistenti hanno perciò in comune la caratteristica di alimentare il regolatorecon la variabile m(t) o, comunque, di retroazionare questa in modo che agisca sullo stato u(t) del regolatore stesso.

→ Possibile schema risolutivo: Detta, ad esempio...

)(

)()(s D

s N

r R

RsG = ...con...0)0(

intergraleazionel'data0)0(

>

= R

R

N

D

...la funzione di trasferimento del regolatore Gr (s) con azione integrale, si può portare m(t) a retroagire positivamente sull’uscita q(t) del nuovo regolatore

N R(s)/ Γ (s) attraverso la dinamica...

)(

)()()(s

s Ds RsΓ

−Γ =Ψ ...dove...

0)0( astr.proprieas.stab. )(chetale)(

=Ψ

ΨΓ ss

...di modo che:.se l’attuatore opera in zona di linearità, la f.d.t. complessiva tra l’errore e(t) e la variabile manipolabile m(t) coincide

con quella Gr (s) del vecchio regolatore, lasciando inalterato il funzionamento normale;.se l’errore e(t) si mantiene di segno costante, ad esempio positivo, dopo un certo periodo di tempo anche la variabile

q(t) dello schema diventerà positiva, fino a portare la variabile manipolabile m(t) al valore di saturazione+u M ; a questo punto, poiché ψ (0) = 1, anche la variabile retroazionata z(t) tende al valore costante +u M

con una dinamica che è funzione di Γ (s): quando e(t) cambierà finalmente segno, anche q(t) assumeràsegno negativo e la variabile u(t) = z(t)

+

q(t) = u M

- qlc sarà subito inferiore al limite di saturazione u M

riconducendo il sistema a un funzionamento lineare, tanto più rapidamente quanto più è rapido il transitoriodovuto alle radici di Γ (s).

Nota: nello schema sopra proposto si è supposto che l’uscita dell’attuatore fosse misurabile e prelevabile; se così non fosse, sarebbe necessario realizzare lo schema alternativo riportato a lato, incui all’interno del regolatore viene semplicemente r eplicata la caratter istica non lineare dell’attuatoreallo scopo di simularne l’uscita per poi retroazionare tale risultato; dal momento che la variabile m’(t)

è vincolata agli stessi limiti di saturazione dell’attuatore, quest’ultimo risulta a tutti gli effettitrasparente nella dinamica del sistema.

GP(s)

G I (s)

G D(s)

GP(s)

G I (s)

G D(s)





Inserimento “morbido” della regolazione automatica:

Il progetto di un regolatore Gr (s) è nella maggior parte dei casi effettuato assumendo che il sistema sotto controllo operinell’intorno di un punto di funzionamento nominale; durante la fase di avviamento dell’impianto, tuttavia, questa ipotesi spesso nonè verificata e l’impiego di un regolatore progettato per condizioni molto diverse può portare a prestazioni del tutto insoddisfacenti.E’ allora più opportuno controllare inizialmente il sistema con altre tecniche (ad esempio il controllo manuale) e quindi commutaresulla regolazione automatica soltanto quando si è raggiunto un intorno del punto di funzionamento nominale.

Per fare in modo che la regolazione automatica sia inserita in modo “morbido”, senza brusche variazioni della variabile di controllo,è necessario che all’atto della commutazione il regolatore fornisca un valore di quest’ultima identico o, almeno, molto simile a quelloimpiegato fino a quel momento.Anche in questo caso, la soluzione del problema passa attraverso l’apporto di informazioni al regolatore inerenti il valore dellavariabile manipolabile; si procede così in modo analogo alla desaturazione dell’azione integrale, spezzando l’azione regolativa...

)(

)()(s D

s N

r R

RsG =

...in due parti e portando la variabile manipolabile m(t) in retroazione positiva sull’uscita del nuovo regolatore N R(s)/ Γ (s):

)(

)()()(s

s Ds RsΓ

−Γ =Ψ ...dove...

0)0( propriatestrettamenestabilementeasintotica )(chetale)(

=Ψ

ΨΓ ss

In questo modo:.se uman è il valore della variabile di controllo fornito manualmente, allorché risulta |uman| ≤ u M il sistema si trova nellecondizioni nominali di funzionamento, permettendo l’inserimento del controllo automatico mediante la commutazione trale posizioni M ed A degli interruttori; secondo gli schemi precedente, il passaggio avviene allora con errore e(t) chesi mantiene circa nullo, da cui, conseguentemente, q(t) = 0 e z(t) = uman e uscita nulla anche di un’eventuale azione

derivativa: la variabile manipolabile m(t) conserva pertanto il valore desiderato uman anche subito dopo lacommutazione.

Schema di desaturazione e inserimento “morbido” della regolazione automatica con riferimento aun generico regolatore:

Schema di desaturazione e inserimento “morbido” della regolazione automatica con riferimentoa un regolatore standard di tipo P.I.D.:




Giovanni Marro - Controlli automatici - Capitolo 7, Sistemi in retroazione non lineari 1

CAPITOLO 7

SISTEMI IN RETROAZIONE NON LINEARI

Introduzione generaleSono sistemi in cui, in un punto generico della catena di amplificazione diretta, è presente un blocco non lineare di tipo algebrico

(quindi indipendente dalla frequenza) rappresentato da una caratteristica di ingresso-uscita (x,y), mentre il resto del sistema è

composto da blocchi lineari, ciascuno rappresentabile con una funzione di trasferimento.

Determinazione del punto di equilibrio corrispondente ad un ingresso costante

Supponendo che al segnale di riferimento sia assegnato il valore costante r(t) = r 1, per l’analisi del comportamento del sistema in

presenza di perturbazioni occorre conoscere il corrispondente punto di equilibrio (x1 ,y1) sulla caratteristica dell’elemento non

lineare.

A tale scopo, se la caratteristica è data in forma grafica, si può impiegare la

costruzione riportata a lato, determinando (x1 ,y1) come intersezione della

caratteristica dell’elemento non lineare, di equazione...

)( x f y =...con la retta di equazione (dedotta in condizioni stazionarie, da cui l’uso dei

guadagni statici):

yK K K r K x 3211 −= ...con K 1=G1(0) K 2=G2(0) K 3=H(0)

Nota: se i guadagni statici non sono finiti, ma, ad esempio, il sistema in retroazione è di

tipo 1, tale retta...

.diventa orizzontale, se il polo nell’origine è in G1(s): K 1 = ∞ ⇒ 0 = r - K 2K 3 y;

.comporta y1≡ 0, da cui (x1 ,y1) ≡ (0,0) se il polo nell’origine è in G2(s).

Tale costruzione consente inoltre di stabilire come il punto di equilibrio si

sposta lungo la caratteristica non lineare al variare dell’ingresso r .

E’ infine evidente come il comportamento locale (cioè per piccole

perturbazioni rispetto a una data condizione di equilibrio) dipende dal punto di equilibrio considerato e quindi dal valore di r 1.

Studio della stabilità

→ Agli effetti dello studio della stabilità di un punto di equilibrio (x1 ,y1), corrispondente ad un certo r 1, ci si può ricondurre allo

schema autonomo (privo di ingresso) riportato a fianco, in cui si è posto...

)()()()( 21 s H sGsGsG =

1 x x x −=∆1 y y y −=∆

01 ≡−=∆ r r r (eliminato dal sistema)

...e l’origine delle nuove coordinate (∆ x,∆ y) è stata posta sulla

caratteristica dell’elemento non lineare nel precedente punto di

equilibrio (x1 ,y1).

Se qualunque punto di equilibrio è asintoticamente stabile per perturbazioni di qualsiasi entità, cioè globalmente asintoticamente

stabile, l’intero sistema non lineare si dice globalmente asintoticamente stabile.

→ Quando l’ingresso sia lentamente variabile, lo studio della stabilità del sistema può essere ricondotto a quello di una famiglia di

sistemi autonomi di tale tipo, differenti l’uno dall’altro solo per il diverso punto in cui l’origine delle nuove coordinate è situata sulla

caratteristica del blocco non lineare.

→ Infine, a differenza dei sistemi lineari, quelli non lineari possono presentare condizioni asintoticamente stabili (nel senso che il

sistema vi si riporta, se perturbato) di moto periodico autosostenuto: inevitabili saturazioni, infatti, possono limitare le escursioni

delle diverse variabili presenti e impedire l’esaltazione indefinita di oscillazioni normalmente aventi ampiezza divergente.

Ci si pone allora il problema di valutare la stabilità di tali soluzioni periodiche, dette cicli limite.





Funzione descrittiva della nonlinearità

L’ipotesi di linearità di un sistema è giustificata solo quando tutte le variabili in gioco subiscono variazioni sufficientemente piccole:

infatti, in maggiore o minore estensione, tutti i sistemi fisici sono in realtà non lineari e si comportano approssimativamente come

lineari solo per piccoli segnali.

Il metodo della funzione descrittiva costituisce un utile strumento per verificare se l’innesco di oscillazioni autosostenute in un

sistema di controllo progettato sotto l’ipotesi di linearità è possibile o meno; esso risulta non rigoroso, ma semplice, intuitivo e

soddisfacente nella maggior parte dei casi di interesse pratico.Si applica a sistemi composti da elementi dinamici lineari descritti da funzioni di trasferimento e con un unico elemento non lineare

puramente algebrico, caratterizzato cioè da una relazione ingresso-uscita indipendente dalla frequenza e dunque completamente

individuata dalla sua caratteristica statica.

Per mantenere la semplicità del procedimento si introducono le seguenti ipotesi semplificative:

- l’ingresso r è identicamente nullo;

- la caratteristica (x,y) dell’elemento non lineare è simmetrica rispetto all’origine.

Si suppone poi che il sistema sia sede di un’oscillazione persistente e che

all’ingresso del blocco non lineare tale oscillazione assuma un andamento

sinusoidale del tipo:

( )t X t x ω sin)( =All’uscita del blocco non lineare si avrà ancora un segnale periodico avente

lo stesso periodo della sinusoide ingresso, dunque sviluppabile in serie diFourier (senza termine costante, data la simmetria rispetto all’origine della

caratteristica non lineare)...

( ) ( )( ) ( )∑∑ ∞

=

∞

=

+=+=11

sinsincos)(n

nn

n

nn t nY t bt nat y ϕ ω ω ω

...con...

( ) ( )∫ +

−=

π

π π ω ω t d t nt yan

cos)(1 ( ) ( )∫

+

−=

π

π π ω ω t d t nt ybn

sin)(1

22

nnn baY += ( )n

n

b

a

n atan=ϕ

...dove i valori di an, bn, Y n, ϕ n sono in genere funzioni dell’ampiezza X del segnale di ingresso.

Trascurando le armoniche di ordine superiore al primo (cosa possibile data la loro minore ampiezza e maggiore frequenza, filtrata dal

comportamento passa-basso della parte lineare del sistema), si ottiene la relazione approssimata:

( ))(sin)()( 11 X t X Y t y ϕ ω +≅

Si definisce funzione descrittiva dell’elemento non lineare il numero complesso, funzione dell’ampiezza X del segnale sinusoidale

applicato all’ingresso, il cui modulo è uguale al rapporto tra l’ampiezza fondamentale Y 1 del segnale d’uscita e quella X del

segnale di ingresso e il cui argomento è uguale allo sfasamento ϕ 1 della fondamentale del segnale d’uscita rispetto al segnale

d’ingresso.

( ))()()( 111)()( 11 X ja X be X F

X

X j

X

X Y +== ϕ

Entro i limiti corrispondenti all’approssimazione di y(t) con la sua armonica fondamentale, la funzione descrittiva è analoga alla

funzione di risposta armonica, salvo la dipendenza dall’ampiezza del segnale di ingresso anziché dalla sua pulsazione.

Continuando ad ipotizzare il perfetto filtraggio delle armoniche successive di y(t), affinché il sistema sia sede di un’oscillazione

persistente del tipo sopra descritto, deve essere soddisfatta la condizione:

( ) ( ) 1−=ω jG X F ...ovvero... ( ) ( ) X F jG 1−=ω ⇒ ( ){ } ( ){ } ( )( ) ( ){1

intero,12argarg = +=+ω π ω jG X F

k k jG X F

L’equazione può essere risolta anche graficamente: infatti, gli

eventuali punti di intersezione tra i diagrammi polari delle

funzioni G(jω ) e -1 / F(X), il primo graduato in valori di ω e

il secondo in valori di X , corrispondono a valori di ω e X

per i quali è soddisfatta la precedente condizione.

Stabilità e instabilità dei cicli limite: a un punto di

intersezione dei diagrammi polari di G(jω ) e -1 / F(X)

corrisponde un ciclo limite stabile quando,

all’aumentare di X , il punto -1 / F(X) tende ad uscire

dal dominio la cui frontiera è costituita dal diagramma

polare completo di G(jω ), un ciclo limite instabile nel

caso opposto.





Nonlinearità tipiche

Saturazione:

Fondamentale per la sua inevitabile presenza in tutti i sistemi fisici e per il suo intervento nella determinazione delle funzioni

descrittive delle non linearità approssimabili con caratteristiche a forma di spezzata.

Dall’osservazione della caratteristica con guadagno unitario e degli andamenti di x(t) e y(t) in figura, si ricava:

( ) ( )( )α α α π

cossin

02

1

1

+==

X b

a

...dove...

( )

<≥

=1asin

1

11

1

2

X

X

X

X

X

X

per

per π

α

Definita allora la funzione ausiliaria...

( ) ( ) ( )

−+=Φ

22 111

11asin

X

X

X

X

X

X

X X

π

...si ottiene la funzione descrittiva reale...

( ) ≥Φ

≤=1

1

1

1)( X X per X X per X F

X X

...il cui grafico è percorso, all’aumentare di X , dal punto -1+j0 a -∞ +j0.

Generalizzando a una saturazione con guadagno m = Y 1 /X 1 nel tratto centrale si

ottiene infine, banalmente...

( )

≥Φ≤

=1

1

1

)( X X per m

X X per m X F

X X

...percorsa da -1 / m+j0 a -∞ +j0; si ritrova anche qui come, aumentando il

guadagno aumentino le probabilità di innescare oscillazioni: all’aumentare di m,

infatti, il punto -1 / m+j0 si sposta verso l’origine e intersecherà con maggiori

probabilità il diagramma di G(jω ).

Soglia o zona morta

E’ intuitivamente pensabile come somma delle caratteristiche di un blocco lineare e di un elemento di tipo saturazione come quelli

raffigurati, aventi guadagni opposti m e -m nel tratto centrale.

Anche i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier di y(t)

saranno dati dalla somma dei coefficienti degli sviluppi relativi alle

uscite di tali blocchi e la funzione descrittiva complessiva sarà la

somma delle funzioni descrittive dei due blocchi:

( )( )

≥Φ−≤

=1

1

11

0)(

X X per m

X X per X F

X X

Soglia con saturazione:

E’ data dalla somma di due blocchi di tipo saturazione aventi guadagni opposti m e -m nel tratto centrale e differenti ampiezze

limite X 1 e X 2 relative al tratto lineare centrale.

La corrispondente funzione descrittiva è pertanto data dalla relazione:

( )( )( ) ( )( )

≤Φ−Φ≤≤Φ−

≤=

X X per m

X X X per m

X X per

X F

X X

X X

X X

22

21

1

1

11

0

)(

La funzione descrittiva F(X), sempre reale, è dunque nulla per piccoli

segnali, raggiunge un massimo e tende nuovamente a zero per X tendente

all’infinito; il diagramma di -1 / F(X) corrisponde perciò a una semiretta

sull’asse reale negativo, a ciascun punto della quale corrispondono due valoridi X , quindi due diversi versi di percorrenza e due diverse condizioni di

stabilità per i cicli limiti corrispondenti alla stessa eventuale pulsazione ω di

incrocio in G(jω ): quello percorso per valori minori di X è instabile.

0

∞





Relé ideale:

Presenta una caratteristica di ingresso-uscita costituita da una funzione

discontinua.

Con riferimento alla prima armonica dell’uscita risulta...

π

14

1

1 0

Y

b

a

=

=

...da cui l’espressione della funzione descrittiva:

( ) X

Y

X X ja X b X F

π

14

111 )()()( =+=

Il diagramma polare di -1 / F(X) è dunque l’intero semiasse reale negativo, percorso

dall’origine all’infinito, a dimostrazione della intrinseca natura autooscillante di un relé

ideale (il cui diagramma è infatti necessariamente intersecato da G(jω )); per aumentare la

frequenza delle oscillazioni autosostenute (e, di conseguenza, diminuirne l’ampiezza

all’uscita del sistema controllato) è tuttavia possibile utilizzare reti correttrici che portino il

diagramma di G(jω ) ad incrociare -1 / F(X) in corrispondenza di pulsazioni ω minori.




Criteri di stabilità

In presenza di elementi non lineari quali quelli finora esaminati, va sottolineato che eventuali instabilità aperiodiche sfuggono

all’analisi condotta con il metodo della funzione descrittiva.

Occorre, allora, disporre di criteri che garantiscano la stabilità asintotica globale dei sistemi in retroazione non lineari e autonomi

(cioè la stabilità asintotica per perturbazioni di qualunque entità) indicando condizioni ad essa sufficienti, sebbene non necessarie.

Criterio del cerchio: si suppone che la caratteristica dell’elemento non lineare sia ad un solo valore e contenuta in un settore del

tipo rappresentato a lato, cioè delimitato da due rette passanti

per l’origine e aventi, rispettivamente, pendenze α e β . Costruito il cerchio rappresentato in figura, avente...

raggio ½(1 / α -

1 / β ) centro -½(

1 / α +

1 / β )+j0

...si può affermare che:

“Nell’ipotesi che la f.d.t. G(s) della parte lineare del sistema

abbia tutti i poli a parte reale negativa, eccezion fatta per un

eventuale polo semplice o doppio nell’origine, condizione

sufficiente affinché il sistema in retroazione sia globalmente

asintoticamente stabile è che il diagramma polare completo

della funzione G(jω ) non circondi né tocchi il cerchio critico.

Il criterio del cerchio si presenta come un’estensione del criterio di Nyquist, al quale si riconduce (almeno per ciò che riguarda la

sufficienza della condizione) quando l’elemento puramente algebrico sia in realtà lineare: risulta in tal caso α = β = m e il cerchio

critico si riduce a un punto sull’asse reale di ascissa -1 / m.

E’ frequente il caso in cui, tendendo la caratteristica dell’elemento non

lineare ad asintoto orizzontale, come ad esempio in presenza di

saturazione netta, occorre assumere α = 0: il cerchio degenera nel

semipiano a sinistra della retta verticale per il punto -1/β.

Il criterio di Popov: fornisce anch’esso condizioni sufficienti alla stabilità asintotica globale e, anche se presenta l’inconveniente

di non referirsi al normale diagramma polare di risposta armonica, bensì al diagramma di Popov ( Re[G(jω )],ω Im[G(jω )]),

fornisce un campo di stabilità più ampio di quello dato dal criterio del cerchio: assicura così la stabilità anche di sistemi che

non soddisfano il criterio del cerchio.

Si considerano separatamente i seguenti due casi:

.Caso principale: la f.d.t. G(s) della parte lineare è strettamente stabile, cioè ha tutti i poli a parte reale negativa e la

caratteristica y = f(x) della parte non lineare è compresa nel settore di piano [0,β ], identificato dalla relazione:

β ≤≤ x

x f )(0 per ogni x

Il sistema si dice assolutamente stabile nel settore [0,β ] se esso è globalmente asintoticamente stabile per tutte le

funzioni f(x) che soddisfano tale disuguaglianza e si può affermare che:

“Condizione sufficiente alla assoluta stabilità del sistema nel settore [0,β [ è che esista una retta passante per il punto

-1 / β +j0 che non intersechi né tocchi il diagramma polare della funzione complessa G p(jω ) = Re[G(jω )]+jω Im[G(jω )]

tracciato per ω ∈ [0,+∞ [”.

.Caso particolare: la f.d.t. G(s) della parte lineare è strettamente stabile, cioè ha tutti i poli a parte reale negativa tranne un

polo semplice nell’origine e la caratteristica y = f(x) della parte non lineare è compresa nel settore di piano [ε ,β ],

identificato dalla relazione:

β ε ≤≤< x

x f )(

0 per ogni xIl sistema si dice assolutamente stabile nel settore [ε ,β ] se esso è globalmente asintoticamente stabile per tutte le

funzioni f(x) che soddisfano tale disuguaglianza e si può affermare che:

“Condizione sufficiente alla assoluta stabilità del sistema nel settore [ε ,β ] è che esista una retta passante per il punto

-1 / β +j0 che non intersechi né tocchi il diagramma polare della funzione complessa G p(jω ) = Re[G(jω )]+jω Im[G(jω )]

tracciato per ω ∈ [0,+∞ [e

che valga inoltre la condizione limω→ 0+ ω Im[G(jω )] < 0 (cioè che il diagramma polare di G p(jω ) si origini in un

punto situato al di sotto dell’asse delle ascisse e non in punto sopra o appartenente a tale asse”.

Il criterio di Popov permette dunque di identificare (come mostrato in figura) un valore

limite β * per β al di sotto del quale (β * è cioè escluso) è garantita la stabilità

asintotica a fronte di qualsiasi blocco non lineare inserito nel sistema e dotato di

caratteristica statica appartenente al settore [0,β ] o [ε ,β ] a seconda dei poli di G(s). -1/β*

DISPENSE Di Controlli Automatici - G. Marro

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