Controlli automatici L-A - Marco Alessandrini · Controlli automatici L-A Compendio delle dispense...

Controlli automatici L-ACompendio delle dispense del prof. Paolo Castaldi

Marco Alessandrini

Universita degli Studi di Bologna(Sede di Cesena)

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Dispense originarie

Capitolo 0. Introduzione ai sistemi di controllo. (33 pagine)

Capitolo 1. Trasformata di Laplace. (52 pagine)

Capitolo 2. Antitrasformazione delle funzioni razionali fratte. (25 pagine)

Capitolo 3. Impiego della trasformata di Laplace per la soluzione di equa-zioni differenziali lineari. (12 pagine)

Capitolo 4. Modelli matematici dei sistemi. (45 pagine)

Capitolo 5. Problemi e sistemi di controllo. (9 pagine)

Capitolo 6. Funzione di trasferimento di sistemi interconnessi. (9 pagine)

Capitolo 7. Analisi delle risposte canoniche. (49 pagine)

Capitolo 8. Stabilita e criterio di Routh. (54 pagine)

Capitolo 9. Metodo del luogo delle radici. (59 pagine)

Capitolo 10. Analisi degli errori a regime di un sistema di controllo. (74pagine)

Capitolo 11. Analisi armonica. (78 pagine)

Capitolo 12. Metodo per il tracciamento dei diagrammi di Bode. (26pagine)

Capitolo 13. Diagrammi polari. (73 pagine)

(totale: 598 pagine)

Indice

1 Trasformata di Laplace 61.1 Variabile complessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Proprieta della trasformata di Laplace . . . . . . . . . 81.2.2 Principali teoremi sulla trasformata di Laplace . . . . 81.2.3 Impulso di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.4 Risolvere le equazioni differenziali . . . . . . . . . . . 10

2 Funzione di trasferimento 112.1 Tipi di sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Rappresentazioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Sistemi: sollecitazioni, risposte e stabilita 143.1 Risposte ai segnali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1.1 Sistema del I ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.1.2 Risposta all’impulso di sistemi del I ordine . . . . . . 143.1.3 Risposta al gradino di sistemi del I ordine . . . . . . . 143.1.4 Risposta al gradino di sistemi del II ordine (senza zeri) 15

3.2 Stabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3 Sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3.1 Sistemi lineari stazionari . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.2 Modi di un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3.3 Stabilita ILUL (Ingresso Limitato - Uscita Limitata) . 23

3.4 Criterio di Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4.1 Equazione ausiliaria e tabella proseguita . . . . . . . . 263.4.2 Stabilita in dipendenza da un parametro . . . . . . . . 28

3.5 Luogo delle radici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.5.1 Poli dominanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.5.2 Proprieta del luogo delle radici . . . . . . . . . . . . . 303.5.3 Esempi di tracciamento di luogo delle radici . . . . . . 33

3.6 Analisi degli errori a regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.6.1 Retroazione negativa unitaria . . . . . . . . . . . . . . 413.6.2 Retroazione negativa (non unitaria) . . . . . . . . . . 42

Indice 5

4 Analisi armonica 454.1 Funzione di risposta armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2 Diagrammi di Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2.1 deciBel (dB) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2.2 Diagrammi elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2.3 Esempio di tracciamento di diagrammi di Bode . . . . 54

4.3 Diagrammi polari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.3.1 Diagrammi elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.3.2 Comportamenti al variare di ω . . . . . . . . . . . . . 574.3.3 Rotazioni complessive al finito . . . . . . . . . . . . . 594.3.4 Esempi di tracciamento di diagrammi polari . . . . . . 604.3.5 Diagramma polare completo (di Nyquist) . . . . . . . 63

4.4 Criterio di Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.4.1 Analisi di robustezza alla stabilita . . . . . . . . . . . 67

5 Esempi di progetto 705.1 Progetto (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.2 Progetto (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.3 Progetto (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Elenco delle figure 78

Elenco delle tabelle 79

CAPITOLO 1

Trasformata di Laplace

1.1 Variabile complessa

s = σ + jω

con σ, ω ∈ R. σ e la parte reale di s, jω e la parte immaginaria di s. Informa esponenziale:

s = ρ · ejω

Teorema 1 (Condizione di analiticita di Cauchy-Riemann). La fun-zione G(s) = G(x) + jG(y) ammette derivata unica se G(x) e G(y) (∈ R)sono funzioni continue di σ e ω, insieme alle loro derivate parziali. Inoltredeve valere:

∂

∂σG(x) =

∂

∂ωG(y)

∂

∂σG(y) = − ∂

∂ωG(x)

Nota 1.1.1. In una funzione analitica le operazioni di derivazione e inte-grazione si svolgono come se la funzione fosse reale.

• d

dsG(s) si calcola come se G fosse reale.

•∫ sb

sa

G(s) ds = G(sb)−G(sa) dipende solo dagli estremi del percorso

di integrazione.

Sono funzioni analitiche sn, n√

s, log s.

1.1.1 Definizioni

Punto ordinario. In esso G(s) e analitica.

Punto singolare. in esso G(s) non e analitica.

Polo. Punto singolare in cui G(s) (o una sua derivata) tendono a ∞.

Zero. Punto in cui G(s) = 0. Se il punto e finito, lo zero e ordinario; se ilpunto e infinito, lo zero e singolare.

1.2 Trasformata di Laplace 7

Teorema 2 (Prolungamento analitico). Se due funzioni f, g sono ana-litiche su una stessa regione e uguali in un intervallo finito comune, alloraesse sono uguali su tutta la regione.

1.2 Trasformata di Laplace

Definizione 1.1 (Trasformata di Laplace). Data una funzione

y(t) : R → R

con t ≥ 0, continua (almeno a tratti), si definisce come trasformata diLaplace la funzione:

Y (s) = L[y(t)] =∫ ∞

0e−sty(t) dt

Il dominio in C in cui Y (t) esiste e il dominio di convergenza della trasfor-mata.

Definizione 1.2 (Antitrasformata di Laplace). E possibile calcolare l’an-titrasformata di Laplace come integrale, eseguito lungo una retta parallelaall’asse immaginario, di ascissa s0 (appartenente al dominio di convergenza.

y(t) = L−1[Y (s)] =1

2πj

∫ s0+j∞

s0−j∞estY (s) ds

Proprieta 1.2.1 (Condizioni sufficienti per la convergenza). La tra-sformata di Laplace esiste se:

1. y(t) = 0 per t < 0;

2. y(t) e continua a tratti;

3. y(t) e di ordine esponenziale:

∃σ ∈ R : limt→∞

|y(t)| · e−σt = 0

Una funzione che soddisfa il limite e di ordine esponenziale σc. Talefunzione non puo crescere piu velocemente (per t → +∞) della funzione eσc·t.Il valore σc e detto ascissa di convergenza e per esso valgono le relazioni:{

σ < σc , limite →∞σ > σc , limite → 0

Funzioni come e−c·t, t · e−c·t, e−c·t · sinωt, . . . hanno tutte ascissa di conver-genza −c.

Funzioni che crescono piu rapidamente dell’esponenziale eσc·t (ad es. et2 ,et3) non hanno trasformata di Laplace. La possibilita che queste funzioniabbiano trasformata di Laplace e circoscritta a casi in cui esse sono definitesu intervalli limitati.

Se Y (s) e razionale fratta, allora σc e la parte reale del polo piu a destrasul piano di Gauss.

Proprieta 1.2.2. Se la trasformata esiste per sc = σc + jωc, allora esisteper ogni valore s = σ + jω con σ ≥ σc. Nelle dimostrazioni di convergenzasi puo supporre s = σ (cioe s ∈ R).

8 Trasformata di Laplace

Corollario 3 (Estensione della definizione di trasformata a tutto ilpiano complesso). Se Y (s) esiste, allora essa e definita su tutto il pianodi Gauss eccetto che nei poli di y(t).

1.2.1 Proprieta della trasformata di Laplace

1. linearita

L[c1y1(t)+c2y2(t)+· · ·+cnyn(t)] = c1L[y1(t)]+c2L[y2(t)]+· · ·+cnL[yn(t)]

con c1, c2, . . . , cn ∈ C.

2. trasformata della derivata prima destra

L[

d

dty(t)

]= s · Y (s)− y(0+)

3. trasformata della derivata

L

[d(n)

dtny(t)

]= sn · Y (s)− sn−1 · y(0+)−

n−2∑k=0

sk ·∣∣∣∣ d

dty(t)n−k−1

∣∣∣∣t=0+

dove la sommatoria e data dai termini:

sn−2

∣∣∣∣ d

dty(t)

∣∣∣∣t=0+

· · · − s ·∣∣∣∣ d

dty(t)n−2

∣∣∣∣t=0+

−∣∣∣∣ d

dty(t)n−1

∣∣∣∣t=0+

4. trasformata dell’integrale

L[∫ t

0y(t) dt

]=

Y (s)s

1.2.2 Principali teoremi sulla trasformata di Laplace

Teorema 4 (del valore finale). Se esistono Y (s) e s · Y (s) (trasformatedel segnale e della sua derivata), allora vale la relazione:

limt→∞

y(t) = lims→0

s · Y (s)

Teorema 5 (del valore iniziale). Se esistono Y (s) e s ·Y (s) (trasformatedel segnale e della sua derivata), allora vale la relazione:

y(0+) = lims→+∞

s · Y (s)

quando il limite converge.

Teorema 6 (della derivata complessa). Tranne che nei poli vale larelazione:

L[t · y(t)] = −dY (s)ds

Teorema 7 (della traslazione in s). Vale la relazione:

L[y(t) · e−αt

]= Y (s + α)

1.2.3 Impulso di Dirac 9

1.2.3 Impulso di Dirac

La funzione impulso (o delta) di Dirac:

δ(t− t0)

e definita come quella distribuzione, di ampiezza infinita e area unitaria, ilcui integrale e il gradino unitario.

L’impulso di Dirac non e una funzione, perche non corrisponde al limitedi una successione che converge), ma e una distribuzione, cioe una funzionegeneralizzata.

y(t) Y (s)Delta di Dirac (t = 0) δ(t) 1

Gradino (t = 0) R0h(t)R0

s

Gradino (t = a) R0h(t− a)R0

s· e−as

Rampa R0t · h(t)R0

s2

tn−1

(n− 1)!· h(t)

1sn

Esponenziale R0e−at · h(t)

R0

s + a

1a(1− e−at) · h(t)

1s(s + a)

tn−1

(n− 1)!e−at · h(t)

1(s + a)n

Sinusoide R0h(t) sin(ωt) R0ω

s2 + ω2

Cosinusoide R0h(t) cos(ωt) R0s

s2 + ω2

h(t)e−at sin(ωt)ω

(s + a)2 + ω2

e−at sin(ωt)(s + a)

(s + a)2 + ω2√(b− a)2 + ω2

ωe−at sin(ωt + ϕ)

s + b

(s + a)2 + ω2

(ϕ = arg(b− a + jω))Tutte le funzioni sono considerate per t ≥ 0. Per chiarezza sono esplicitati

i prodotti col gradino unitario h(t), che vale 0 per t < 0 e 1 per t ≥ 0.

Tabella 1.1: Tabella delle trasformate di Laplace piu utilizzate

10 Trasformata di Laplace

Y (s) y(t)

e−at 1s + a

11 + τs

1τ· e−

tτ

1s(1 + τs)

1− e−tτ

1(1 + τs)n

tn−1

τn · (n− 1)!· e−

1τ

ω2n

s2 + 2δωns + ω2n

ωn√1− δ2

· e−δωnt · sin(ωnt√

1− δ2)

ω2n · (1 + T · s)

s2 + 2δωns + ω2n

ωn

√1− 2Tδωn + T 2ω2

n

1− δ2· e−δωnt sin

(ωnt√

1− δ2 + ϕ)

ϕ = arg(1− Tδωn + jTωn

√1− δ2

)Tabella 1.2: Tabella delle antitrasformate di Laplace piu utilizzate

1.2.4 Risolvere le equazioni differenziali

Grazie alla trasformata di Laplace, si puo utilizzare un algoritmo per risol-vere le equazioni differenziali in maniera algebrica:

• si trasforma il polinomio in t, passando nel dominio s;

• si sostituiscono le condizioni iniziali fornite;

• si trova Y (s) (soluzione, nel dominio s);

• si antitrasforma il polinomio in s per ottenere la soluzione nel dominioiniziale t.

Per trasformare e antitrasformare termini e polinomi si possono utilizzare letabelle delle trasformate (tabb. 1.1 e 1.2).

CAPITOLO 2

Funzione di trasferimento

Definizione 2.1 (Sistema non puramente dinamico). Un sistema G(s) nonpuramente dinamico (fig. 2.1) puo essere scomposto nel parallelo di dueblocchi indipendenti:

un sistema statico (G0), presente solo quando m = n;

un sistema puramente dinamico (G1(s)), sempre presente.

I due blocchi danno ciascuno un contributo all’uscita Y (s) = Y0(s) + Y1(s):

l’evoluzione libera (Y0(s)) e il contributo di G0, infatti e presente quandol’ingresso e nullo e si considerano solo le condizioni iniziali del sistema;

l’evoluzione forzata (Y1(s)) e il contributo di G1(s), infatti e presente inpresenza di ingresso e considerando le condizioni iniziali nulle.

Figura 2.1: Sistema non puramente dinamico

Definizione 2.2 (Sistema stazionario). Un sistema e stazionario se:

• a un ingresso u(t) corrisponde un’uscita y(t);

• a un ingresso u(t + ∆t) corrisponde un’uscita y(t + ∆t).

Definizione 2.3 (Funzione di trasferimento). La funzione di trasferimentoG(s) di un sistema stazionario e la relazione che lega l’ingresso del sistemaalla risposta forzata provocata:

G(s)def=

Y1(s)U(s)

12 Funzione di trasferimento

Nei casi di uso comune si considera, a prescindere, G0 = 0; allora perottenere la funzione di trasferimento si opera come segue:

1. trasformare l’equazione (ponendo nulle le condizioni iniziali);

2. calcolare la fdt come:

G(s) =Y (s)U(s)

=L(uscita)L(ingresso)

3. la funzione di trasferimento e del tipo:

G(s) = K · bmsm + · · ·+ b1s + b0

sn + · · ·+ a1s + a0

Se m ≤ n, allora il sistema e causale; altrimenti e anticipativo.

Definizione 2.4 (Risposta del sistema). L’antitrasformata y(t) = L−1[Y (s)]e la risposta del sistema all’ingresso fornito.

Fdt di sistemi complessi. Ponendo opportunamente piu sistemi si puocalcolare una funzione di trasferimento unica.

Per sistemi in cascata vale il prodotto delle fdt:

Gcascata(s) = G1(s) ·G2(s)

Per sistemi in parallelo vale la somma delle fdt:

Gparallelo(s) = G1(s) + G2(s)

Per un sistema G(s) con retroazione negativa H(s) vale il rapporto:

Gretroazione(s) =G(s)

1 + G(s) ·H(s)

2.1 Tipi di sistema

Il numero di poli nell’origine (indicato con h nelle forme della funzione ditrasferimento, riportate alla sezione 2.2) determina il tipo del sistema:

tipo 0: nessun polo nell’origine (h = 0);

tipo 1: un polo semplice nell’origine (h = 1);

tipo 2: un polo doppio nell’origine (h = 2).

A seconda del tipo di sistema, la costante di guadagno K assume nomidiversi:

guadagno statico (o costante di posizione) per sistemi di tipo 0;

costante di velocita per sistemi di tipo 1;

costante di accelerazione per sistemi di tipo 2.

Gli errori a regime del sistema dipendono da h e dal segnale tipico di testutilizzato.

2.2 Rappresentazioni algebriche 13

2.2 Rappresentazioni algebriche

Rapporto di polinomi a coefficienti reali.

G(s) =bmsm + bm−1s

m−1 + · · ·+ b1s + b0

ansn + an−1sn−1 + · · ·+ a1s + a0

Avendo un polo di molteplicita h nell’origine si puo scrivere:

K = bm b′i−1 =bi−1

bmcon i = 1, 2, . . . ,m

G(s) = Ksm + b′m−1s

m−1 + · · ·+ b′1s + b′0sh(sn−h + an−1sn−h−1 + · · ·+ ah+1s + ah)

Il polinomio a denominatore e chiamato polinomio caratteristico: le sue radicisono i poli della funzione di trasferimento.

Le radici del polinomio a numeratore sono, invece, gli zeri della funzione(cioe i valori che la annullano).

Forma fattorizzata. Mette in evidenza zeri (zi) e poli (pi).

G(s) = K(s− z1) · (s− z2) · · · · · (s− zm)(s− p1) · (s− p2) · · · · · (s− pn)


G(s) = K(s− z1) · (s− z2) · · · · · (s− zm)

sh(s− ph+1) · (s− ph+2) · · · · · (s− pn)

Forma fattorizzata con termini del II ordine. Sono presenti anchetermini relativi a coppie coniugate di zeri o poli.

G(s) = K(s− z1)(s− z2) · · ·

(s2 + 2δ′1ω

′n1s + ω′n1

2)(

s2 + 2δ′2ω′n2s + ω′n2

2)· · ·

(s− p1)(s− p2) · · ·(s2 + 2δ1ωn1s + ωn1

2)(

s2 + 2δ2ωn2s + ωn22)· · ·


G(s) = K(s− z1)(s− z2) · · ·

(s2 + 2δ′1ω

′n1s + ω′n1

2)(

s2 + 2δ′2ω′n2s + ω′n2

2)· · ·

sh(s− ph)(s− ph+1) · · ·(s2 + 2δ1ωn1s + ωn1

2)(

s2 + 2δ2ωn2s + ωn22)· · ·

Forma fattorizzata con termini del II ordine e costanti di tempo.

G(s) = K

(1 + τ ′1s)(1 + τ ′2s) · · ·

(1 + 2

δ′1ω′n1

s +s2

ω′n12

)(1 + 2

δ′2ω′n2

s +s2

ω′n22

)· · ·

(1 + τ1s)(1 + τ2s) · · ·(

1 + 2δ1

ωn1s +

s2

ωn12

)(1 + 2

δ2

ωn2s +

s2

ωn22

)· · ·

avendo definito la costante di guadagno:

K = K · τ1 · τ2 · . . .τ ′1 · τ ′2 · . . .

· ω′n12 · ω′n2

2 · . . .ωn1

2 · ωn22 · . . .

con τi = − 1zi

(zero reale) oppure τi = − 1pi

(polo reale).

CAPITOLO 3

Sistemi: sollecitazioni, risposte e stabilita

3.1 Risposte ai segnali

La risposta all’impulso di Dirac caratterizza completamente un sistema. An-che dalla risposta al gradino unitario si puo risalire alla risposta al genericoimpulso.

3.1.1 Sistema del I ordine

G(s) =K

s− pp ∈ R ⇒ p = σ

=K

1 + τs

τ = − 1σ

(costante di tempo)

K = Kτ = lims→0

G(s) (guadagno statico)

3.1.2 Risposta all’impulso di sistemi del I ordine

y(t) = L−1[G(s)] = Keσt = Ke−tτ =

K

τe−

tτ

La risposta e riportata in figura 3.1 (grafico con ascissa normalizzata).

Definizione 3.1 (Tempo di smorzamento (ts)). Istante dopo il quale larisposta all’impulso scende al di sotto del 5% del valore iniziale.Approssimativamente, ts ' 3τ .

3.1.3 Risposta al gradino di sistemi del I ordine

Il gradino nel dominio s e definito come:

U(s) =1s

La risposta al gradino e del tipo:

y(t) = K(1− e−

tτ

)Se:

3.1.4 Risposta al gradino di sistemi del II ordine (senza zeri) 15

Figura 3.1: Risposta all’impulso di un sistema del I ordine

• τ > 0 (cioe σ < 0: polo negativo);

• Kτ = K = 1;

allora la risposta e:y(t) = 1− e−

tτ

La risposta e riportata in figura 3.2 (grafico con ascissa normalizzata).

Figura 3.2: Risposta al gradino di un sistema del I ordine

Definizione 3.2 (Tempo di assestamento (ta)). Istante al quale la rispostaal gradino raggiunge il 95% del valore di regime della risposta.Approssimativamente, ta ' 3τ .

3.1.4 Risposta al gradino di sistemi del II ordine (senza zeri)

Si considerano due poli complessi coniugati:

p1, p2 ∈ C p1,2 = σ ± jω

16 Sistemi: sollecitazioni, risposte e stabilita

G(s) = K1

(s− p1)(s− p2)

=K

s2 + 2δωns + ω2n

ωn =√

σ2 + ω2 e la pulsazione naturale, a cui oscillerebbe il sistema conδ = 0.

δ = − σ

ωn= − σ√

σ2 + ω2e il coefficiente di smorzamento, che si riferisce

alla risposta all’impulso (sinusoide inviluppata ad un esponenziale). Conδ = 0 non c’e smorzamento; con 0 < δ < 1 si ha smorzamento crescentecon δ.

Avendo definito la pulsazione naturale e il coefficiente di smorzamentosi possono calcolare, a partire da questi parametri, la parte reale e quellaimmaginaria di s:

• σ = −δ · ωn;

• ω = ωn

√1− δ2 (anche detta pulsazione smorzata della sinusoide invi-

luppata, quando δ 6= 0).

Quando |δ| < 1 i poli sono complessi coniugati:

p1,2 = ωn

(−δ ± j

√1− δ2

)In tabella 3.1 e riportata la casistica delle tipologie di poli al variare di δ.

δ Dominio dei poli Parte realeδ < −1 poli reali positiva

−1 < δ < 0 poli complessi coniugati positiva0 < δ < 1 poli complessi coniugati negativa

δ = 1 poli reali coincidenti(p1,2 = −δ · ωn)

δ > 1 poli reali negativa

Tabella 3.1: Poli di un sistema del II ordine

Normalizzando (K = ωn) si ha:

G(s) =ω2

n

s2 + 2δωns + ω2n

La trasformata della risposta al gradino e:

Y (s) = G(s) · 1s

=ω2

n

s (s2 + 2δωns + ω2n)

=K1

s− K2ω

2n(1 + Ts)

s2 + 2δωns + ω2n

Si trova, risolvendo:

K1 = 1 K2 =2δ

ωnT =

12δωn

Antitrasformando:

y(t) = K1 −[Ae−δ(ωnt) sin

(√1− δ2(ωnt) + ϕ

)]


con A = K2ωn

√1− 2Tδωn + T 2ω2

n

1− δ2.

Con i valori di prima:

A =

√1

1− δ2ϕ = arctan

(√1− δ2

δ

)

Alla fine, la risposta al gradino unitario di un sistema del II ordine (senzazeri) e (in forma normalizzata rispetto alla variabile ωnt):

y(t) = 1−√

11− δ2

e−δ(ωnt) sin

[√1− δ2(ωnt) + arctan

(√1− δ2

δ

)]

La risposta e visibile in figura 3.3. Si nota come, al variare di δ, l’oscillazionespiani e la risposta tenda a essere sempre piu un esponenziale regolare.

Figura 3.3: Risposta al gradino di un sistema del II ordine

Significato geometrico dei parametri δ e ωn

Consideriamo il caso di due poli complessi coniugati con parte reale negativa,per i quali si ha:

|δ| < 1δ > 0ωn > 0

Calcoliamo le parti reale e immaginaria del polo:

<{p1,2} = −δωn ={p1,2} = ωn

√1− δ2

Poiche la parte reale e la parte immaginaria devono soddisfare il teorema diPitagora, calcolando si nota che l’ipotenusa (cioe il modulo dei poli) e ωn:

ωn = |p1| = |p2|


Cio noto, si verifica che δ e una funzione dell’argomento della rappresenta-zione polare (modulo e argomento) dei poli, e precisamente:

δ = cos ϕ

Quanto appena detto e facilmente riscontrabile in figure 3.4 e 3.5: nella primae riportata la relazione geometrica tra i parametri, nella seconda si mostralungo quali percorsi del piano di Gauss i due parametri rimangono costanti.Si noti, in particolare, che δ (essendo il coseno dell’angolo di incidenza conl’asse reale) aumenta col diminuire del coefficiente angolare della retta perl’origine, in valore assoluto; i cerchi lungo i quali e costante ωn, invece,hanno raggio pari a ωn stesso. La figura 3.5 e importante in fase di studiodinamico dei poli di un sistema: la loro posizione, e il loro spostamento sulpiano, determina valori diversi di δ e ωn e, quindi, variazione nei parametridi risposta1 del sistema ai segnali (come si vede nei paragrafi successivi).

Figura 3.4: Significato geometrico di δ e ωn

Figura 3.5: Piano di Gauss con coordinate δ e ωn costanti

1In particolare, cambiano in maniera importante la massima sovraelongazione e il tempodi assestamento, nella risposta al gradino.


Parametri di risposta al gradino

Figura 3.6: Parametri della risposta al gradino di un sistema del II ordine

Dalla risposta in figura 3.6 si possono ricavare alcuni parametri impor-tanti relativi alla risposta di un sistema del II ordine a un gradino.

Massima sovraelongazione S (anche massimo sorpasso). Differenza trail massimo valore in uscita e il valore finale raggiunto dall’uscita. S esolo funzione di δ (fig. 3.7(a)):

S = y(tm)− 1 = e− πδ√

1−δ2

Istante di massima sovraelongazione tm.

tm =π

ωn

√1− δ2

Tempo di salita ts. Tempo necessario all’uscita per passare dal 10% al90% del suo valore finale.

Considerando la normalizzazione ωn · ts (rispetto al coefficiente dismorzamento) si ha circa (fig. 3.7(b)):

ωnts '1, 8

1, 5− δ

Tempo di ritardo tr. Tempo necessario all’uscita per raggiungere il 50%del suo valore finale.

Tempo di assestamento ta.

ta '3

δ · ω= − 3

−σ

Progetto (assegnati S%max e tamax). Si vuole determinare il dominiodel piano di Gauss che individua il rispetto dei criteri di progetto assegnati:

• un valore massimo di sovraelongazione;

• un valore massimo di tempo di assestamento.


(a) Sovraelongazione percentuale (b) Tempo di salita

Figura 3.7: Parametri della risposta al gradino di un sistema del II ordine

Per avere S% ≤ S%max bisogna avere δ ≥ δmin, con S%max = S%(δmin). Que-sto e vero nel settore circolare delimitato dalle semirette che sono inclinate,rispetto all’asse reale, di:

ϕmax = arccos(δmin)

Avere ta ≤ tamax significa avere parte reale σ ≤ − 3ta

. Questo e vero per

tutti i valori con parte reale minore di tale ascissa σ.Considerando assieme i due criteri si ottiene il dominio (in grigio) della

figura 3.8.

Figura 3.8: Dominio individuato dai valori massimi assegnati di S e ta

3.2 Stabilita 21

3.2 Stabilita

Per valutare la stabilita di un sistema (con ingresso u(t) e uscita y(t)) se neperturba l’equilibrio e si osserva il comportamento conseguente:

• se il sistema torna in equilibrio (convergendo), allora e stabile;

• se il sistema diverge, allora e instabile.

Definizione 3.3 (Condizione di equilibrio). Per t = t0 in equilibrio, si ha:{t < t0 : y(t) = y0 , u(t) = u0

t > t0 : y(t) = y0 SE u(t) = u0

(y(t) rimane costante se u(t) non varia).

Una perturbazione (∆u(t)) e una repentina variazione del segnale in in-gresso, che avviene a partire da un istante t0 e si manifesta con durata ed am-piezza finita. Per questi motivi e possibile approssimare una perturbazionecon l’impulso di Dirac.

A seguito di una perturbazione possono verificarsi i seguenti casi (tuttiper t ≥ t0):

risposta limitata : esiste My tale che: |y(t)| ≤ My. Il sistema e semplice-mente stabile;

risposta divergente : non esiste alcun My tale che: |y(t)| ≤ My. Il sistemae instabile;

risposta convergente asintoticamente a zero : esiste My tale che:{|y(t)| ≤ My

limt→∞

y(t) = 0

Il sistema e asintoticamente stabile.

La stabilita si riferisce alla condizione di equilibrio considerata, non al siste-ma!


3.3 Sistemi lineari

Un sistema lineare e tale quando gode delle proprieta:

• di sovrapposizione degli effetti;

• di additivita delle risposte (libera e forzata).

Nei sistemi non lineari il comportamento varia se si cambia il punto di equili-brio e la perturbazione. Se il punto di equilibrio non e influenzato dall’entitadella perturbazione, allora il punto e globalmente (asintoticamente) stabile.Ne segue che il sistema e globalmente (asintoticamente) stabile.

Nei sistemi lineari il comportamento e indipendente rispetto a punto diequilibrio e tipo di perturbazione. Ne segue che il sistema e stabile, oppureinstabile, oppure asintoticamente stabile.

Proprieta 3.3.1. In un sistema lineare, se un punto di equilibrio e (asin-toticamente) stabile, allora lo sono tutti.

3.3.1 Sistemi lineari stazionari

Per sistemi lineari stazionari si possono avere due casi:

1. perturbazione delle condizioni iniziali (conclusa prima di t = 0).

Abbiamo spostato il sistema dalla condizione nulla iniziale. La trasfor-mata della risposta e data solo dalla risposta libera:

Y0(s) =

n∑i=0

ai ·i−1∑j=0

sj di−j−1y(t)

dti−j−1

∣∣∣∣∣t=0−

n∑i=0

aisi

2. perturbazione della funzione di ingresso.

Modelliamo l’azione applicando δ(t) in t = 0. La risposta e la funzionedi trasferimento (trasformata della risposta forzata):

Y1(s) = G(z) =

m∑i=0

bisi

n∑i=0

aisi

In entrambi i casi, il denominatore e lo stesso della funzione di trasferimento.Poiche la risposta di un sistema e la somma delle singole risposte (date daifratti semplici), allora si puo concludere che le caratteristiche della ri-sposta ad una perturbazione dipendono solo dai poli della funzionedi trasferimento.

In particolare, la parte reale dei poli determina la stabilita o l’instabilitadel sistema. I metodi per valutare il segno delle radici del denominatore(polinomio caratteristico), presentati in seguito, servono per capire quantipoli stabili o instabili ci sono in un sistema, senza dovere calcolarli.

3.3.2 Modi di un sistema 23

Polo (molteplicita) Polo (parte reale) Modoqualsiasi negativa asintoticamente stabilequalsiasi positiva instabile

1 0 semplicemente stabile> 1 0 instabile

Tabella 3.2: Rapporto tra poli e modi

3.3.2 Modi di un sistema

Definizione 3.4 (Modo di un sistema). Un modo di un sistema e una ri-sposta elementare, ottenuta antitrasformando i fratti semplici legati ai polidella fdt. I modi determinano le proprieta di stabilita della risposta.

I modi di un sistema sono del tipo:

per poli semplici: K; K · eσt; K · eσt sin(ωt + ϕ);

per poli multipli (molteplicita r): K ·th; K ·th ·eσt; K ·th ·eσt sin(ωt+ϕ)(con h ∈ [1, r]).

Nelle figure 3.9 e 3.10 sono riportati i grafici dei modi piu comuni.

3.3.3 Stabilita ILUL (Ingresso Limitato - Uscita Limitata)

Definizione 3.5 (Stabilita ILUL). Dato Mu > 0, allora esiste My > 0 taleche:

|u(t) ≤ Mu| ⇒ |y(t) ≤ My|

Teorema 8. Un sistema e stabile ILUL solo se:∫ +∞

0|g(τ)| dτ ≤ M < +∞

La stabilita ILUL e legata alla risposta impulsiva, quindi ai poli delsistema.

Proprieta 3.3.2. La stabilita asintotica implica la stabilita ILUL, e vice-versa.

Teorema 9 (Condizione necessaria di stabilita). Dato un polinomio2

ansn + an−1sn−1 + · · ·+ a0 = 0

se tutti i coefficienti ai sono positivi, allora e possibile che le radici delpolinomio abbiano parte reale negativa.

Tale condizione e anche sufficiente per polinomi di secondo grado.

2Tale condizione necessaria si applica a qualsiasi polinomio. L’applicazione piu inte-ressante e quella relativa al polinomio caratteristico: puo essere un metodo veloce perverificare se puo avere poli stabili, o se ha sicuramente dei poli instabili. Si tratta di unacondizione necessaria, utile solo per una prima valutazione. I criteri forniti in seguitostudiano piu precisamente i segni delle radici.


Figura 3.9: Grafici dei modi relativi a poli semplici

Figura 3.10: Grafici dei modi relativi a poli multipli

3.4 Criterio di Routh 25

3.4 Criterio di Routh

Il criterio di Routh consente di determinare il segno delle radici del polinomiocaratteristico, senza dover calcolare le radici (operazione difficile in presenzadi parametri). In particolare, tale criterio da una condizione necessaria esufficiente per capire se le radici del polinomio

ansn + an−1sn−1 + · · ·+ a0 = 0

hanno parte reale negativa.

Procedimento. Si costruisce la tabella di Routh, come in tabella 3.3.

n an an−2 an−4 an−6 . . .n− 1 an−1 an−3 an−5 an−7 . . .n− 2 bn−2 bn−4 bn−6 . . . . . .n− 3 bn−3 bn−5 bn−7 . . . . . .n− 4 cn−4 cn−6 . . . . . . . . .n− 5 cn−5 cn−7 . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .

prima col.

Tabella 3.3: Tabella di Routh

I coefficienti diversi da ai si calcolano come segue:

bn−2 =an−1 · an−2 − an · an−3

an−1

bn−3 =bn−2 · an−3 − an−1 · bn−4

bn−2

bn−4 =an−1 · an−4 − an · an−5

an−1

bn−5 =bn−2 · an−5 − an−1 · bn−6

bn−2

bn−6 =an−1 · an−6 − an · an−7

an−1

cn−4 =bn−3 · bn−4 − bn−2 · bn−5

bn−3

Considerata la prima colonna come successione di termini, ad ogni va-riazione di segno corrisponde una radice con parte reale positiva,mentre ad ogni permanenza di segno corrisponde una radice conparte reale negativa.

Proprieta 3.4.1. Se si moltiplica tutta una riga per un coefficiente positivo,i segni della prima colonna non cambiano.

Proprieta 3.4.2. Se la prima colonna di una riga ha valore zero, alloral’intera tabella perde di significato.


Caso particolare: primo termine di una riga nullo. Si puo risolveresostituendo lo zero con un termine ε (piccolo a piacere).

Se, invece, piu termini iniziali della riga sono nulli, e possibile sfruttareuna proprieta (corollario 10) del criterio di Routh.

Corollario 10. La tabella di Routh non cambia se, ad ogni riga che iniziacon un certo numero (h) di zeri, si somma un’altra riga, ottenuta moltipli-cando quella originale per (−1)n e poi traslandola a sinistra di h posti.

Caso particolare: tutta una riga e nulla. Tale opportunita puo verifi-carsi solo in righe dispari. Indicata tale riga con 2m+1, le variazioni di segnodella prima colonna nelle posizioni precedenti riguardano solo n− 2m radi-ci. Per avere informazioni delle altre 2m radici si usa la tabella proseguita,ottenuta a partire dall’equazione ausiliaria costruita sulla riga 2m.

3.4.1 Equazione ausiliaria e tabella proseguita

Data la riga 2m + 1 composta di tutti zeri (che impedisce di completare latabella), si costruisce dalla riga precedente 2m l’equazione ausiliaria:

b2ms2m + b2m−2s2m−2 + · · ·+ b0 = 0

i cui coefficienti sono quelli della riga precedente quella con tutti zeri. Lesue radici coincidono con quelle iniziali mancanti (sono 2m).

Proprieta 3.4.3 (Stabilita di righe nulle). Per i valori che annulla-no un’intera riga della tabella di Routh, il sistema non puo mai essereasintoticamente stabile ma, al piu, semplicemente stabile.

Proprieta 3.4.4 (Segni delle radici dell’equazione ausiliaria). Nel-l’equazione ausiliaria il numero di radici con parte reale positiva e uguale3

al numero di radici con parte reale negativa. Inoltre possono esserci, senzavincoli, radici puramente immaginarie (cioe con parte reale nulla).

Infatti, se si pone s2 = x, si puo riscrivere l’equazione ausiliaria generica:

b2mxm + b2m−2xm−1 + · · ·+ b0 = 0

le cui radici sono associabili come segue alle radici dell’equazione ausiliaria:

• una radice reale negativa corrisponde a due radici immaginarie dell’e-quazione ausiliaria;

• una radice reale positiva corrisponde a due radici reali dell’equazioneausiliaria;

• una coppia di radici complesse coniugate corrisponde a due coppie diradici complesse coniugate dell’equazione ausiliaria.

Se l’equazione ausiliaria e di grado troppo elevato per poterne calcolarele radici, la si puo derivare senza perdere le sue caratteristiche e poi usarela tabella proseguita:

3Infatti l’equazione ausiliaria manca di tutti i termini di grado dispari, per cui le radicisono simmetriche rispetto all’origine.

3.4.1 Equazione ausiliaria e tabella proseguita 27

1. si deriva il primo membro dell’equazione ausiliaria;

2. si mettono i coefficienti dell’equazione, ottenuta derivando, nella riga2m− 1 (composta da tutti zeri);

3. si costruisce (allo stesso modo della tabella di Routh) e si studia latabella proseguita, a partire dalla riga 2m.

La tabella proseguita da informazioni su tutte le radici mancanti all’appello,con una lieve variante nell’analisi dei segni della prima colonna:

variazione di segno: corrisponde a una radice con parte reale positiva;

permanenza di segno: corrisponde a una radice con parte reale negativa,oppure nulla.

Esempio. Consideriamo l’equazione:

s4 + s3 − 3s2 − s + 2 = 0

Possiamo applicare il criterio di Routh, perche il termine noto e diverso da 0;si ottiene la tabella (3.4) di Routh (parziale).

4 1 −3 23 1 −1 02 −2 2 01 0 0 0

Tabella 3.4: Esempio di tabella di Routh con riga nulla

La riga 1, essendo nulla, non permette di completare la tabella. Dallerighe 4, 3 e 2, intanto, si possono annotare una permanenza e una variazionedi segno, che corrispondono a una radice con parte reale negativa e ad unacon parte reale positiva. Essendo il polinomio di quarto grado, mancanoall’appello due radici.

Possiamo utilizzare l’equazione ausiliaria rispetto alla riga 1, cioe quellacostruita con la riga precedente (la 2):

−2s2 + 2 = 0 ⇒ s = ±1

Abbiamo trovato le due radici mancanti: una ha parte reale positiva, l’altraha parte reale negativa.

Alternativamente possiamo derivare l’equazione ausiliaria (sempre co-struita dalla riga 2) e studiare la tabella proseguita:

d

ds

(−2s2 + 2

)= 0 ⇒ −4s = 0

I coefficienti da porre nella nuova riga 1 sono −4 e 0. La riga 0 si calcola comenoto. Si ottiene cosı la tabella proseguita della tabella di Routh (tab. 3.5).

Studiando la prima colonna si nota una variazione di segno (quindi unaradice con parte reale positiva) e una permanenza di segno (una radice conparte reale negativa o nulla). Poiche le radici devono andare a coppie, cioedevono esserci in pari numero radici con parte reale positiva e negativa, allorala seconda radice non puo essere immaginaria, ma deve essere a parte realenegativa per compensare l’altra.


2 −2 21 −4 00 2 0

Tabella 3.5: Esempio di tabella proseguita

I due metodi ottengono il medesimo risultato; la tabella proseguita, pero,e indicato solo quando le righe mancanti nella tabella di Routh (a causa dirighe nulle) sono molte e rendono pesante il calcolo diretto delle radici, comein questo esempio.

3.4.2 Stabilita in dipendenza da un parametro

Spesso la funzione studiata col criterio di Routh e espressa in forma parame-trica. In tal caso si vuole sapere per quale intervallo di valori del parametroil sistema e stabile.

Scritta la tabella di Routh col procedimento visto, si impone che la primacolonna abbia segno costante (in tal caso, tutte le radici hanno parte realenegativa). Per situazioni in cui i valori del parametro annullano intere righe,si puo:

1. calcolare direttamente le radici del caso incriminato (se e agevole);

2. usare equazioni ausiliarie e tabelle proseguite.

I valori del parametro che annullano uno o tutti gli elementi di una rigadeterminano semplice stabilita. Tali valori dividono l’intervallo ]−∞ , +∞[in piu sottointervalli, ognuno dei quali determinera condizioni di stabilitaasintotica oppure instabilita seguendo la seguente regola: si passa dallastabilita asintotica alla instabilita, attraverso la stabilita semplice.

Esempio. Consideriamo la funzione di trasferimento:

G(s) =1

(1 + k)s3 + (6− 6k)s2 + (11 + 11k)s + (6− 6k)

Possiamo applicare il criterio di Routh, perche il termine noto e diverso da 0;si ottiene la tabella (3.6) di Routh.

3 1 + k 11(1 + k) 02 6(1− k) 6(1− k) 01 10(1 + k) 00 6(1− k) 0

Tabella 3.6: Esempio di tabella di Routh parametrica con riga nulla

G(s) e asintoticamente stabile quando −1 < k < 1.Con k = 1 si annulla la seconda riga (numero 2). Questo fatto sem-

brerebbe anomalo (si possono annullare solo le righe dispari), in realta conk = 1 il termine noto e nullo e non si applica Routh.

• Si possono calcolare direttamente le radici nel caso k = 1:

2s3 + 22s = 0 ⇒ s(2s2 + 22) = 0

3.4.2 Stabilita in dipendenza da un parametro 29

s1 = 0 s2 = +j√

11 s3 = −j√

11

Tutte le radici sono a parte reale nulla, quindi corrispondono a polisemplicemente stabili.

• Si puo fattorizzare il polinomio, raccogliendo s, e costruire la tabellaproseguita di Routh.

Con k = −1 si annulla la prima riga (numero 3). Non essendoci righeposte al di sopra, non c’e equazione ausiliaria per questa circostanza.

• Si possono calcolare direttamente le radici nel caso k = −1:

12s2 + 12 = 0 ⇒ s1,2 = ±j

Tutte le radici sono a parte reale nulla, quindi corrispondono a polisemplicemente stabili.

• Si possono studiare le radici rimanenti, usando il polinomio caratteri-stico P (s) = 12s2 + 12 e costruendo la tabella “proseguita” di Routh.(tab. 3.7).

2 12 121′ 0 01 24 00 12 0

Tabella 3.7: Esempio di tabella proseguita con parametro vincolato

La riga 1′ e fittizia, costituita da tutti zeri, e serve solo per costruirele righe successive della tabella: non va considerata nel conteggio dellevariazioni di segno. La riga 1, invece, e la derivata del polinomiocaratteristico (cioe della prima riga).

Studiando la prima colonna si notano due permanenze di segno (quindidue radici con parte reale negativa o nulla). Poiche le radici devonoandare a coppie e il polinomio ha solo due radici, l’unica possibilitae che entrambe le radici siano a parte reale nulla (come conferma ilcalcolo diretto).


3.5 Luogo delle radici

Le radici della funzione di trasferimento, al variare del parametro K ∈R, descrivono un luogo geometrico sul piano complesso (luogo delle radici,fig. 3.11).

Figura 3.11: Luogo delle radici

Il luogo delle radici e la rappresentazione grafica dei valori che possonoassumere tutti i poli di un sistema di controllo in retroazione (fig. 3.18), alvariare di un parametro della sua funzione di trasferimento di anello Ga(s) =G(s) ·H(s). Solitamente il parametro e:

Ka = lims→0

Ga(s) = Ga(0)

Si utilizza il luogo delle radici per:

• verificare se, variando Ka, si spostano i poli avendo un comportamentomigliore di quello, originario, di G(s);

• ottenere la sintesi di un sistema con la determinazione di Ka, cheassegna la posizione dei poli piu simile a quella desiderata;

• controllare che la configurazione desiderata si riferisce ai poli dominan-ti, sulla base di specifiche assegnate (es. massima sovraelongazione,tempo di assestamento).

3.5.1 Poli dominanti

Dopo aver riportato tutti i poli e gli zeri sul piano complessi, si cancellanotutte le coppie polo-zero nelle quali i due componenti sono prossimi traloro. I poli isolati piu vicini all’asse immaginario, rispetto agli altri poli,sono dominanti (in fig. 3.12 si nota che i poli non sono quelli piu vicini,in assoluto, all’asse immaginario: bisogna prima rimuovere le coppie che siannullano vicendevolmente).

Proprieta 3.5.1 (Approssimazione della fdt). Si puo approssimare lafunzione di trasferimento di una funzione coi soli poli dominanti, utilizzandoil guadagno del sistema iniziale.

3.5.2 Proprieta del luogo delle radici

Le proprieta del luogo delle radici si basano sulla forma fattorizzata dellafunzione di trasferimento.

Qualora sia data la forma non fattorizzata, non si possono applicare leproprieta a K, ma da esso bisogna risalire necessariamente alla versione Kdel guadagno:

3.5.2 Proprieta del luogo delle radici 31

Figura 3.12: Poli dominanti

1. si pone

G1(s) =(s− z1) · · · · · (s− zm)(s− p1) · · · · · (s− pn)

con Ga(s) = K ·G1(s) = G(s) ·H(s);

2. l’equazione caratteristica e:

1 + K ·G1(s) = 0

(che e uguale a 1 + G(s) ·H(s) = 0);

3. poiche l’equazione caratteristica e definita nel dominio C, allora essae composta di due equazioni reali (una per i moduli e una per gliargomenti) che dipendono da K:

con K > 0:

|G1(s)| =1K

arg G1(s) = (2ν + 1)π, ν ∈ Z

con K < 0:

|G1(s)| = − 1K

arg G1(s) = 2νπ, ν ∈ Z

Proprieta 3.5.2 (Rami e asintoti). Il luogo ha tanti rami quanti sono ipoli di KG1(s). Le radici multiple definiscono le intersezioni tra i rami.

Ognuno degli n rami parte da un polo di G1(s):

• m rami terminano in uno zero di G1(s);

• n−m rami terminano all’infinito (asintoti).

Proprieta 3.5.3 (Simmetria). Il luogo delle radici e simmetrico rispettoall’asse reale.

Proprieta 3.5.4 (Radici reali). Quando K > 0, un punto reale e nel luogodelle radici se alla sua destra c’e un numero dispari di poli e zeri.

Quando K < 0, un punto reale e nel luogo delle radici se alla sua destrac’e un numero pari di poli e zeri.


Proprieta 3.5.5 (Angoli (quando K > 0)). Il luogo delle radici parte daun polo pi con angolo:

ϕi = (2ν + 1)π +m∑

j=1

arg(pi − zj)−∑j∈I′

arg(pi − pj)

con:{

ν ∈ ZI ′ = {1, 2, . . . , i− 1, i + 1, . . . , n}

Il luogo delle radici tende ad uno zero zi con angolo:

ϑi = (2ν + 1)π +n∑

j=1

arg(zi − pj)−∑j∈I′′

arg(zi − zj)

con:{

ν ∈ ZI ′′ = {1, 2, . . . , i− 1, i + 1, . . . ,m}

Proprieta 3.5.6 (Angoli (quando K < 0)). Il luogo delle radici parte daun polo pi con angolo:

ϕi = 2νπ +m∑

j=1

arg(pi − zj)−∑j∈I′

arg(pi − pj)

con:{

ν ∈ ZI ′ = {1, 2, . . . , i− 1, i + 1, . . . , n}

Il luogo delle radici tende ad uno zero zi con angolo:

ϑi = 2νπ +n∑

j=1

arg(zi − pj)−∑j∈I′′

arg(zi − zj)

con:{

ν ∈ ZI ′′ = {1, 2, . . . , i− 1, i + 1, . . . ,m}

Nota 3.5.1. Nel calcolo degli angoli, le formule per K > 0 e quelle perK < 0 differiscono per il fattore che moltiplica π: e un numero dispari(2ν + 1) nel primo caso, pari (2ν) nel secondo.

Proprieta 3.5.7 (Punti di diramazione). Una radice di ordine h e unpunto comune ad h rami (punto di diramazione). In esso sono soddisfatte: 1 + KG1(s) = 0

d(n)

dsn

[1 + KG1(s)

]= 0 fino a n = h− 1

(cioe si annullano le derivate di ogni ordine di G1(s), rispetto a s)Per le radici doppie vale la condizione semplificata:

m∑i=1

1s− zi

−n∑

i=1

1s− pi

= 0

I punti di diramazione sull’asse reale sono chiamati punti di emergenza odi confluenza.

3.5.3 Esempi di tracciamento di luogo delle radici 33

Nota 3.5.2. Eventuali punti di diramazione sull’asse immaginario o com-plessi coniugati non sono punti di diramazione, perche non sono soluzioniammissibili.

Proprieta 3.5.8 (Radici multiple). In corrispondenza di una radice mul-tipla di ordine h, il luogo delle radici presenta h rami entranti e h uscenti,alternati tra loro, con tangenti che formano tra loro angoli di

π

hradianti.

Proprieta 3.5.9 (Asintoti). Gli asintoti del luogo delle radici formanouna stella di raggi, con centro nel punto dell’asse reale avente ascissa:

σa =1

n−m

(n∑

i=1

pi −m∑

i=1

zi

)Quando K > 0, gli asintoti formano con l’asse reale angoli:

ϑa,ν =2ν + 1n−m

π ν = {0, 1, . . . , n−m− 1}

Quando K < 0, gli asintoti formano con l’asse reale angoli:

ϑa,ν =2ν

n−mπ ν = {0, 1, . . . , n−m− 1}

Proprieta 3.5.10 (Intersezioni con l’asse immaginario). Come conse-guenza della proprieta 3.5.9, se Ga(s) ha:

• n−m > 2 (n: numero poli; m: numero zeri);

• fase minima (gli zeri hanno parte reale negativa),

allora gli asintoti intersecano l’asse immaginario in due punti, diversi dal-l’origine degli assi.

Per questo, i poli dominanti (cioe i primi ad attraversare l’asse immagi-nario dal semipiano sinistro al destro) sono complessi coniugati.

I punti di intersezione con l’asse immaginario sono il limite di stabi-lita. Il criterio di Routh da il valore di K corrispondente al limite; la suaequazione ausiliaria da i valori di ordinata ove c’e intersezione.

Le intersezioni sull’asse sono del tipo jωi, per questo si puo anche risol-vere: {

arg G1(jωi) = π, K ≥ 0arg G1(jωi) = 0, K ≤ 0

I valori di K associati sono:K =

1|G1(jωi)|

, K ≥ 0

K = − 1|G1(jωi)|

, K ≤ 0

3.5.3 Esempi di tracciamento di luogo delle radici

Sistema con tre poli. Consideriamo:

Ga(s) = K1

s(s + 1)(s + 2)

E un sistema con tre poli e nessuno zero (n−m = 3− 0 = 3):

s1 = 0 s2 = −1 s3 = −2


Luogo delle radici per K ≥ 0

Il luogo delle radici relativo a K ≥ 0 e riportato in figura 3.13.

Figura 3.13: Luogo delle radici per un sistema con tre poli (K ≥ 0)

Radici reali. I punti appartenenti agli intervalli ]−∞ , −2[ e ]− 1 , 0[lasciano alla propria destra un numero dispari di zeri e poli, quindi sonopunti del luogo. Anche i tre poli, in quanto reali, appartengono al luogo.

Asintoti. Non essendoci zeri, ogni polo tende al proprio asintoto. Es-sendoci tre asintoti, essi sono disposti con angoli di 2

3π tra loro, infatti:

ϑa,ν = (2ν + 1)π

3ν = {0, 1, 2}

ϑa,0 =π

3ϑa,1 = π ϑa,2 = −π

3

Poiche il semiasse ] −∞ , −2[ appartiene al luogo, esso e un asintoto e adesso tende un polo. Per simmetria, gli altri due asintoti attraversano l’asseimmaginario in due punti simmetrici rispetto all’asse reale.

L’ascissa centrale della stella di asintoti e:

σa =13

3∑i=1

pi =13(0− 1− 2) = −1

Punti di emergenza. Consideriamo i poli s1 e s2.

• All’inizio si muovono nell’intervallo [−1 , 0] (percio in questo intervalloci sara il punto di emergenza).

• Quando diventano coincidenti, emergono dall’asse reale.

• Con K → +∞ tendono agli asintoti a π3 e −π

3 .


Cerchiamo i punti di emergenza annullando la derivata prima di G1(s):

d

ds

1s(s + 1)(s + 2)

= 0

− dds [s(s + 1)(s + 2)]

(s(s + 1)(s + 2))2= 0

3s2 + 6s + 2(s(s + 1)(s + 2))2

= 0

3s2 + 6s + 2 = 0{sa = −0, 4226 ∈]− 1, 0[ punto di emergenza per K ≥ 0sb = −1, 5774 6∈]− 1, 0[ punto di emergenza per K ≤ 0

Il valore di K per cui le radici reali sono uguali e, in ambo i casi:

|G1(sa)| = |G1(sb)| =1K

⇒ Kemergenza = 0, 3849

Nel punto di emergenza entrano due rami e ne escono altrettanti, per cui illuogo esce da sa perpendicolarmente (con angoli di π

2 ).

Intersezioni con l’asse immaginario. Si calcolano col criterio diRouth (tab. 3.8).

1 + KG1(s) = 0

1 + K1

s(s + 1)(s + 2)= 0

s(s + 1)(s + 2) + K = 0s3 + 2s2 + 2s + K = 0

3 1 22 2 K

1 4−K 00 K

Tabella 3.8: Uso della tabella di Routh nel luogo delle radici

• Il sistema e asintoticamente stabile se 0 < K < 4.

• Il sistema e semplicemente stabile se K = 4, quindi le radici si trovanosull’asse immaginario.

Con l’equazione ausiliaria (riga 2) e K = 4 si trovano le ordinate diintersezione:

2s2 + 4 = 0 s1,2 = ±j√

2 ' ±j1, 41

• Il sistema e instabile se K > 4.

• Il sistema e semplicemente stabile anche se K = 0.

Con l’equazione ausiliaria (riga 1) e K = 0 si trova l’ordinata diintersezione:

4s = 0 s1 = 0

• Il sistema ha un polo instabile quando K < 0 (il polo passa perl’origine).


Intersezioni con l’asse immaginario (metodo alternativo). Sicalcolano le intersezioni del tipo jωi come soluzioni di:

arg1

jωi(jωi + 1)(jωi + 2)= ±π

0− arctan(ωi

0

)− arctan

(ωi

1

)− arctan

(ωi

2

)= ±π

Risolvendo si ha ωi = −√

2 per avere π, mentre si ha ωi =√

2 per avere −π.

Comportamento dinamico. Quando K ∈]K , 4[ il sistema ha rispo-sta oscillatoria caratterizzata da:

• sovraelongazione crescente con K (il coefficiente di smorzamento deipoli dominanti - complessi coniugati - passa da 1 a 0 escluso);

• tempo di assestamento crescente (la parte reale dei poli dominanticomplessi coniugati passa da −0, 4226 a 0 escluso).

Per questi motivi, il valore K = Kemergenza = 0, 3849 e la scelta migliore,rispetto a sovraelongazione e tempo di assestamento.

Luogo delle radici per K ≤ 0

Il luogo delle radici relativo a K ≤ 0 e riportato in figura 3.14.

Figura 3.14: Luogo delle radici per un sistema con tre poli (K ≤ 0)

Radici reali. I punti appartenenti agli intervalli [−2 , −1] e [0 , +∞[lasciano alla propria destra un numero pari di zeri e poli, quindi sono puntidel luogo. Anche i tre poli, in quanto reali, appartengono al luogo.

Asintoti. Tutto come prima, ma cambiano gli angoli di intersezionecon l’asse reale:

ϑa,0 = 0 ϑa,1 =23π ϑa,2 = −2

3π


Poiche il semiasse [0 , +∞[ appartiene al luogo, esso e un asintoto e ad essotende un polo. Gli altri due asintoti non attraversano l’asse immaginario.

L’ascissa centrale della stella di asintoti e, ancora, σa = −1.

Punti di emergenza. Tutto come prima, stavolta il punto di emer-genza e sb. Notiamo, infatti:{

sa = −0, 4226 6∈]− 2,−1[ punto di emergenza per K ≥ 0sb = −1, 5774 ∈]− 2,−1[ punto di emergenza per K ≤ 0

Intersezioni con l’asse immaginario. E facile calcolare le interse-zioni del tipo jωi come soluzioni di:

arg1

jωi(jωi + 1)(jωi + 2)= 0

arctan(ωi

0

)− arctan

(ωi

1

)− arctan

(ωi

2

)= 0

ωi = 0

Comportamento dinamico. Il sistema e instabile per K < 0.

Sistema con due poli e uno zero. Consideriamo:

G(s) ·H(s) = KG1(s) = Ks

s2 + 3s + 1

E un sistema con due poli e uno zero (n−m = 2− 1 = 1):

p1 = −2, 6 p2 = −0, 4 z1 = 0

Troviamo coefficiente di smorzamento e pulsazione naturale, col principio diidentita dei polinomi:

s2 + 2δωns + ω2n = s2 + 3s + 1{

2δωn = 3ω2

n = 1

{δ = 3

2ωn = 1

Poiche |δ| > 1, i poli sono reali negativi.

Luogo delle radici per K ≥ 0

Il luogo delle radici relativo a K ≥ 0 e riportato in figura 3.15.

Figura 3.15: Luogo delle radici per un sistema con due poli e uno zero(K ≥ 0)


Radici reali. Appartengono al luogo delle radici i punti appartenentiagli intervalli ]−∞ , −2, 6[ e ]− 0, 4 , 0[.

Asintoti. E presente n−m = 2− 1 = 1 asintoto, che forma con l’assereale un angolo pari a:

ϑa,ν = (2ν + 1)π

2− 1= π ν = {0}

quindi l’asse reale negativo e asintoto (infatti ]−∞ , −2[ appartiene al luogo).L’ascissa centrale degli asintoti e:

σa =1

2− 1

(2∑

i=1

pi −1∑

i=1

zi

)= (−2, 6− 0, 4− 0) = −3

(che, pero, e ininfluente, visto che l’asintoto e un intero semiasse).

Punti di emergenza.

• p2 si muove verso z1:vi tende quando K → +∞.

• p1 e sull’asintoto: tende a −∞ quando K → +∞.

L’analisi qualitativa e sufficiente per constatare che non ci sono punti diemergenza, infatti nessun polo si dirige verso un altro polo. Eventuali4 puntidi emergenza saranno presenti per K ≤ 0.

Intersezioni con l’asse immaginario. Si calcolano col criterio diRouth (tab. 3.9).

1 + Ks

s2 + 3s + 1= 0

s2 + (3 + K)s + 1 = 0

2 1 11 3 + K 00 3 + K 0

Tabella 3.9: Uso della tabella di Routh nel luogo delle radici

• Il sistema e asintoticamente stabile se K > −3.

• Il sistema e semplicemente stabile se K = −3, quindi le radici si trovanosull’asse immaginario.

Con l’equazione ausiliaria (riga 2) e K = −3 si trovano le ordinate diintersezione:

s2 + 1 = 0 s1,2 = ±j

Comportamento dinamico. Il sistema e sempre stabile per K ≥ 0.La risposta non e mai oscillatoria.

Il tempo di assestamento peggiora con K crescente: il polo dominante,infatti, si avvicina all’origine.

4Si possono, comunque, calcolare annullando la derivata prima di G1(s), ma tali puntirisultano esterni al luogo trovato per K ≥ 0.


Luogo delle radici per K ≤ 0

Il luogo delle radici relativo a K ≤ 0 e riportato in figura 3.16.

Figura 3.16: Luogo delle radici per un sistema con due poli e uno zero(K ≤ 0)

Radici reali. Appartenengono al luogo gli intervalli ] − 2, 6 , −0, 4[ e]0 , +∞[.

Asintoti. E presente un asintoto, che forma con l’asse reale un angolopari a:

ϑa,ν = 2νπ

2− 1= 0 ν = {0}

quindi l’asse reale positivo e asintoto (infatti ]0 , +∞[ appartiene al luogo).

Punti di emergenza.

• I poli si muovono uno verso l’altro, poi emergono dall’asse reale quandodiventano coincidenti.

• Dopo l’emersione, un polo va all’asintoto, l’altro va a z1.

Cerchiamo i punti di emergenza, con la formula particolare per i sistemi adue poli:

m∑i=1

1s− zi

−n∑

i=1

1s− pi

= 0

1s− 1

s + 2, 618− 1

s + 0, 382= 0

s2 + 3s + 1− 2s2 − 3s = 0−s2 + 1 = 0

sa,b = ±1

sa e sb sono punti di emergenza per K ≤ 0, perche appartengono al luogodelle radici.

I valori di K per cui le radici reali sono uguali sono:

|G1(s)|sa=+1 =1K

⇒ Kemergenzaa = −5


|G1(s)|sb=−1 =1K

⇒ Kemergenzab = −1

Nei punti di emergenza entrano due rami e ne escono altrettanti, per cuiil luogo esce da sa e sb perpendicolarmente (con angoli di π

2 ).

Intersezioni con l’asse immaginario. Avevamo calcolato le interse-zioni, che valevano ±j quando K = −3.

Comportamento dinamico.

• Il sistema e asintoticamente stabile se −3 < K ≤ 0.

• Il sistema e semplicemente stabile se K = −3.

• Il sistema e instabile se K ≤ −3.

• Il sistema non risponde in maniera oscillatoria se 0 ≤ K < 1, e il polopiu lento si velocizza (la parte reale diventa piu negativa).

Per questi motivi, il valore K = −1 e la scelta migliore, rispetto a sovrae-longazione e tempo di assestamento. Tale scelta e migliore di K ≥ 0, che harisposta non oscillatoria, ma ha un polo tendente all’origine che deteriora iltempo di assestamento.

Supponiamo di avere specifiche sul tempo di salita, che sappiamo esserecalcolabile come:

ωnts =1, 8

1, 5− δ

ωn e costante con le radici complesse coniugate: descrivendo un cerchio,hanno modulo costante. Allora δ e ts sono inversamente proporzionali. Se,pero, cambiano assieme δ e ωn, allora cambia anche la sovraelongazione (inpeggio) pur a fronte di un miglioramento del tempo di salita.

3.6 Analisi degli errori a regime 41

3.6 Analisi degli errori a regime

Per ogni valore temporale t ≥ 0 si vuole:

c(t) = Kc · r(t)

dove c(t) e la variabile controllata, r(t) il riferimento e Kc una costante dicontrollo.

Durante il transitorio e impossibile soddisfare l’uguaglianza: si puo otte-nere solo asintoticamente nel tempo.

In un sistema retroazionato (fig. 3.17) si rileva un segnale errore (e(t) =r(t) − c(t)) che misura la precisione del sistema di controllo. Idealmente siavrebbe e(t) = 0. L’errore a regime, invece, e:

er = limt→∞

e(t) errore a regime

Gli errori a regime sono valutabili solo quando il sistema e asintotica-mente stabile.

Figura 3.17: Sistema in retroazione unitaria

3.6.1 Retroazione negativa unitaria

Si studiano le nove combinazioni tra i tre segnali di test (gradino, rampa eparabola) e i tre tipi di sistema (tipo 0, 1 e 2). In particolare:

• la trasformata del gradino R0s ha un polo nullo;

• la trasformata della rampa R0s2 ha un polo nullo doppio;

• la trasformata della parabola R02s3 ha un polo nullo triplo.

La trasformata del segnale errore e:

E(s) = R(s)− C(s) = R(s)−G(s) · E(s)

per cui E(s) =R(s)

1 + G(s)per sistemi in retroazione negativa unitaria. Col

teorema del valore finale si trova:

er = limt→∞

e(t) = lims→0

s · E(s) = lims→0

s ·R(s)1 + G(s)

Errore nella risposta al gradino (errore di posizione)

Il gradino e r(t) = R0 · h(t).

er(t) = lims→0

s ·R0 · 1s

1 + G(s)=

R0

1 + lims→0

G(s)=

R0

1 + Kp

dove Kp = lims→0

G(s) e la costante di posizione. Per questo motivo er e

chiamato errore di posizione (ep).


Errore nella risposta alla rampa (errore di velocita)

La rampa e r(t) = R0 · t · h(t).

er(t) = lims→0

s ·R0 · 1s2

1 + G(s)=

R0

lims→0

s ·G(s)=

R0

Kv

dove Kv = lims→0

s · G(s) e la costante di velocita. Per questo motivo er e

chiamato errore di velocita (ev).

Errore nella risposta alla parabola (errore di accelerazione)

La parabola e r(t) = 12R0 · t2 · h(t).

er(t) = lims→0

s ·R0 · 1s3

1 + G(s)=

R0

lims→0

s2 ·G(s)=

R0

Ka

dove Ka = lims→0

s2 ·G(s) e la costante di accelerazione. Per questo motivo er

e chiamato errore di accelerazione (ea).

Tipo di sistema Kp ep Kv ev Ka ea

tipo 0 KR0

1 + K(finito) 0 ∞ 0 ∞

tipo 1 ∞ 0 KR0

K(finito) 0 ∞

tipo 2 ∞ 0 ∞ 0 KR0

K(finito)

Tabella 3.10: Costanti ed errori di un sistema in retroazione negativa unitaria

Teorema 11 (Principio del modello interno). Per avere errore a regimenullo, se R(s) ha un polo nullo di molteplicita h, allora G(s) (nel ramodiretto) deve avere un polo nullo di molteplicita h.

Definizione 3.6 (Errore a regime percentuale). Indipendentemente dalriferimento:

er% =1

1 + G(0)· 100

3.6.2 Retroazione negativa (non unitaria)

Figura 3.18: Sistema in retroazione non unitaria

Per un sistema in retroazione non unitaria (fig. 3.18) si cerca comeobiettivo:

c(t) = Kc · r(t)

3.6.2 Retroazione negativa (non unitaria) 43

Il segnale errore riferito all’ingresso e:

ei(t) = r(t)− 1Kc

c(t)

che vale idealmente 0 (con inseguimento ideale). Considerare Kc =1

H(s)e

conveniente per rifarsi al caso di retroazione unitaria.

Figura 3.19: Retroazione unitaria equivalente

Considerando lo schema equivalente (fig. 3.19), che ha funzione di tra-sferimento equivalente

Ge(s) =G(s)

Kc + G(s) ·(Kc ·H(s)− 1

)si ha la formula equivalente:

Ei(s) =R(s)

1 + Ge(s)

Per estensione di concetto, l’errore a regime riferito all’ingresso sara:

ei% =1

1 + Ge(0)

e, ancora, non dipende da R0.


Esempio di progetto

Dati. E dato un sistema G(s) con blocco di retroazione H(s) (fig. 3.18),avente le seguenti caratteristiche:

• G(s) =1

s + 1

• H(s) = K

• R(s) =1s

(gradino)

Si vuole un errore a regime er = 0, 1. Determinare K.

Soluzione.

Gretroazione(s) =C(s)R(s)

=G(s)

1 + G(s)H(s)=

1s+1

1 + Ks+1

=1

s + (K + 1)

Il sistema e stabile per K > −1 (usando, ad esempio, il criterio di Routh:gli addendi del denominatore mantengono lo stesso segno, quindi c’e un polostabile).

E(s) = R(s)−K · C(s)

= R(s)−K · E(s)s + 1

E(s) ·(

1 +K

s + 1

)= R(s)

E(s)R(s)

=1

1 + Ks+1

=s + 1

s + 1 + k

Col teorema del valore finale:

er = limt→∞

e(t)

= lims→0

s · E(s)

= lims→0

s · s + 1s + 1 + K

·R(s)

= lims→0

s · s + 1s + 1 + K

· 1s

=1

1 + K

0, 1 =1

1 + KK = 9

CAPITOLO 4

Analisi armonica

Nei metodi presentati in precedenza si cercava e studiava il legame tra laposizione dei poli e le caratteristiche nel dominio del tempo. Questo metodoe agevole solo fino a due poli, e diventa complicato da tre poli e oltre.

Un metodo piu agevole consiste nello studiare il sistema in frequenza,in particolare analizzando la funzione di risposta armonica, che descrivecompletamente il comportamento a regime in corrispondenza di ingressisinusoidali.

Risposta a regime di un sistema (lineare e stazionario) a uningresso sinusoidale

Dato un ingresso u(t) = U sin(ωt), esauriti tutti i transitori la rispostaassume forma:

y(t) = Y (ω) sin(ωt + ϕ(ω))

con: {Y (ω) = U · |G(jω)|ϕ(ω) = arg G(jω)

Si nota che:

• u(t) e y(t) sono sinusoidi con la stessa frequenza (ω);

• Y (ω) e ϕ(ω) sono funzioni della frequenza: il sistema amplifica e sfasadifferentemente, a seconda della frequenza in ingresso;

• non serve conoscere G(s), ma i valori che assume sull’asse immaginario(cioe il solo comportamento in frequenza a transitori esauriti).

4.1 Funzione di risposta armonica

In un sistema lineare e stazionario vale l’importante relazione:

F (ω) =Y (ω)

Uejϕ(ω)

= |G(jω)| · ejϕ(ω)

= |G(jω)| · ej arg G(jω)

= G(jω)

46 Analisi armonica

Affinche F (ω) sia un modello del sistema, serve che essa possa definire com-pletamente il comportamento del sistema. Questo e vero perche F (ω) e latrasformata di Fourier della risposta impulsiva:

G(jω) =∫ +∞

0e−jωtg(t) dt

A questo punto si possono definire tutte le importanti relazioni tra le funzionirappresentative di un sistema:

g(t) = L−1{G(s)} = F−1F (ω)

4.2 Diagrammi di Bode

I diagrammi di Bode sono riportati in figura 4.1. Sono diagrammi logaritmici:i valori sull’asse delle ascisse sono riportati in scala logaritmica (log ω). Ivalori sull’asse delle ordinate, invece:

sono deciBel per il diagramma delle ampiezze;

sono angoli (lineari) per il diagramma delle fasi.

I decibel si usano per avere una scala lineare, invece di riportare i valorilogaritmici del modulo di G(jω). Si tratta, comunque, di una unita di misuralogaritmica.

(a) Diagramma delle ampiezze (b) Diagramma delle fasi

Figura 4.1: Diagrammi di Bode

Nota 4.2.1. Per motivi analitici, talvolta i diagrammi di Bode vengonocalcolati con i logaritmi naturali invece dei logaritmi in base 10, senza cambiodella sostanza e del risultato. In questa eventualita, il diagramma delleampiezze e chiamato diagramma α, quello della fasi diagramma β.

4.2.1 deciBel (dB)

E un’unita di misura logaritmica che permette di riportare intervalli moltoridotti o molto estesi su brevi porzioni di piano (linearizzandone la scala,come si nota dalle tabelle successive). Da questa proprieta segue la somma-bilita dei valori tra diagrammi in decibel, nel momento in cui i diagrammicon valori reali andassero moltiplicati.

La definizione matematica di decibel e:

AdB = 20 log A

4.2.2 Diagrammi elementari 47

A AdB

1 0√2 = 1, 4142 3

1,778 53,16 105,62 1510 20

Tabella 4.1: Corrispondenze tra valori effettivi e in dB

In tabella 4.1 sono riportate le corrispondenze tra alcuni valori assolutiassunti da A e il corrispettivo in decibel.

Trattandosi di un’unita logaritmica, le operazioni moltiplicative sui valorireali di A diventano operazioni additive quando A e in decibel (tab. 4.2).

A AdB

2A AdB + 6A

2AdB − 6

10A AdB + 20A

10AdB − 20

10n 20 · n

Tabella 4.2: Operazioni notevoli in dB

L’uso dei decibel (logaritmici) per |G(jω)| tramuta il prodotto tra i fattoridi G in somma tra i rispettivi diagrammi, permettendo facilmente di ottenereun unico diagramma complessivo.

4.2.2 Diagrammi elementari

I diagrammi elementari si riferiscono ai fattori elementari di G(jω) (in formafattorizzata).

G(jω) = K Si tratta di una costante (fig. 4.2).

Figura 4.2: Diagrammi di Bode (ampiezza e fase) per una costante

48 Analisi armonica

G(jω) =1

(jω)hSi tratta di un polo nell’origine, con molteplicita h (fig. 4.3).

Per il diagramma delle ampiezze si trova la relazione:

log |G(jω)| = −h log ω ⇒ |G(jω)| = −hω

per cui, in decibel: |G(jω)|dB = −20 · h · ω.Per il diagramma delle ampiezze e piu facile: arg G(jω) = −h

π

2.

Figura 4.3: Diagrammi di Bode (ampiezza e fase) per un polo nell’origine(di molteplicita h)

G(jω) =1

1 + jωτSi tratta di un polo semplice (fig. 4.4):

• negativo (stabile), per τ > 0;

• positivo (instabile), per τ < 0.

Per il diagramma delle ampiezze:

|G(jω)| = 1√1 + ω2τ2

Si studiano gli asintoti per ω → 0 e ω →∞.

• ω � 1τ :

log |G(jω)| = log1√

1 + ω2τ2︸︷︷︸trasc.

= log 1

cioe |G(jω)| = 1;

• ω � 1τ :

log |G(jω)| = log1√

1︸︷︷︸trasc.

+ω2τ2= log

1ωτ

= − log ω + log1τ

cioe |G(jω)| = −ω + 1τ .


Figura 4.4: Diagrammi di Bode (ampiezza e fase) per un polo semplice

Figura 4.5: Diagramma di Bode reale (ampiezza) per un polo semplice

Il valore ω0 =1τ

e detto pulsazione di taglio o punto di rottura. Il diagramma

reale (fig. 4.5), in sua corrispondenza, assume un valore inferiore di 3 dBrispetto alla cuspide dell’approssimazione asintotica. L’errore tra diagrammareale e asintotico si esaurisce, a partire da ω0, entro una decade di ω.

Per il diagramma delle fasi:

arg G(jω) = − arctan(ωτ)

Agli asintoti:

• ω � 1τ : arg G(jω) = 0;

• ω � 1τ : arg G(jω) = −π

2

Il diagramma reale delle fasi e la funzione arcotangente, e passa per il puntocentrale del segmento obliquo dell’approssimazione (in corrispondenza di ω0,dove la fase vale −π

4 ). I valori estremi del segmento obliquo si calcolano comesegue:

ωa =ω0

4, 81ωb = ω0 · 4, 81

50 Analisi armonica

Il diagramma delle fasi per τ < 0 (fig. 4.6) e ribaltato rispetto all’assedelle ascisse, ma conserva le stesse caratteristiche.

Figura 4.6: Diagramma di Bode (fase, quando τ < 0) per un polo semplice

G(jω) = 1 + jωτ Si tratta di uno zero semplice:

• negativo (“zero stabile”), per τ > 0;

• positivo (“zero instabile”), per τ < 0.

I diagrammi di Bode di ampiezza e fase (figg. 4.7 e 4.8) si ottengono ri-baltando i corrispettivi diagrammi del polo semplice. In particolare, per leampiezze si ha |G(jω)| = ω − 1

τ come approssimazione per ω � 1τ .

Figura 4.7: Diagramma di Bode (ampiezza) per uno zero semplice

Figura 4.8: Diagrammi di Bode (fase) per uno zero semplice


G(jω) =1

1 + 2δ ωωn− ω2

ω2n

Si tratta di due poli complessi coniugati (fig. 4.9):

• con parte reale negativa (stabili), per δ > 0;

• con parte reale positiva (instabili), per δ < 0.

Figura 4.9: Diagrammi di Bode (ampiezza e fase) per due poli complessiconiugati

Figura 4.10: Diagramma di Bode reale (ampiezza) per due poli complessiconiugati

Il diagramma delle ampiezze assume alcune caratteristiche interessantial variare di δ:

• 0 ≤ δ ≤ 1√2: c’e un picco di risonanza in (ωn);

• 0 ≤ δ < 12 : l’intersezione con l’asse delle ascisse e a destra di ωn

(l’approssimazione sottovaluta il diagramma reale);

• δ = 12 : l’intersezione con l’asse delle ascisse e in ωn;

• 12 < δ ≤ 1√

2: l’intersezione con l’asse delle ascisse e a sinistra di ωn;

52 Analisi armonica

• 1√2≤ δ ≤ 1: non c’e picco ne intersezione con l’asse delle ascisse

(l’approssimazione sopravvaluta il diagramma reale).

Si definisce la pulsazione di risonanza:

ωr = ωn

√1− 2δ2

In sua corrispondenza si misura l’ampiezza del picco di risonanza:

Mr =1

2δ√

1− δ2

che e una funzione decrescente di δ, e ha senso fino a δ ≤ 1√2.

Il diagramma delle fasi presenta il segmento di raccordo con pendenza

variabile −1δ: da verticale (con δ = 0) il segmento aumenta l’inclinazione col

crescere di δ (ruotando attorno al centro, che si trova in corrispondenza dellapulsazione ωn). Gli estremi del raccordo si calcolano estendendo le formuleviste per il polo semplice:

ωa 'ωn

4, 81δωb ' 4, 81δ · ωn

La funzione reale per il diagramma delle fasi (fig. 4.11) e l’arcotangente.

Figura 4.11: Diagramma di Bode reale (fase) per due poli complessi coniugati

Quando −1 < δ < 0 il diagramma delle ampiezze e sempre uguale aquello presentato, mentre il diagramma delle fasi e ribaltato sull’asse delleascisse (fig. 4.12), pur conservando tutte le caratteristiche.

G(jω) = 1 + 2δω

ωn− ω2

ω2n

Si tratta di due zeri complessi coniugati.

I diagrammi di Bode di ampiezza e fase (figg. 4.13 e 4.14) si ottengonoribaltando i corrispettivi diagrammi dei poli complessi coniugati.


Figura 4.12: Diagramma di Bode (fase, quando −1 < δ < 0) per due policomplessi coniugati

Figura 4.13: Diagramma di Bode (ampiezza) per due zeri complessi coniugati

Figura 4.14: Diagrammi di Bode (fase) per due zeri complessi coniugati

54 Analisi armonica

4.2.3 Esempio di tracciamento di diagrammi di Bode

Consideriamo

G(s) =10(s− 5)s(s− 1)

⇒ G(jω) =50(1− 1

5jω)

jω(1− jω)

Dall’espressione di G(jω) traiamo i fattori elementari:

1. G1(jω) = 50 (costante);

2. G2(jω) = 1jω (polo nell’origine);

3. G3(jω) = 11−jω (polo reale: p1 = +1, τp1 = −1);

4. G4(jω) = 1− 15jω (zero reale: z1 = +5, τz1 = −1

5).

Il contributo della costante viene conteggiato assieme a quello del polo nel-l’origine, perche questa unione non svilisce le caratteristiche del polo nell’o-rigine (ne cambia solo il modulo):

G12 =50jω

I tre fattori contribuiscono in zone diverse del diagramma:

• ω → 0 (e su tutte le ω): contribuisce G12 (con −20 dB/dec.);

• ω >

∣∣∣∣− 1τp1

∣∣∣∣ = 1: contribuisce G3 (con −20 dB/dec.);

• ω >

∣∣∣∣− 1τz1

∣∣∣∣ = 5: contribuisce G4 (con +20 dB/dec.).

Ricerchiamo le ordinate in corrispondenza delle ascisse (ωp1 = 1 e ωz1 =5) ove avvengono le intersezioni tra i tre contributi. Nel primo caso (checoincide con l’intersezione con l’asse delle ascisse):

|G(jω)|ω=1 = 20 log∣∣∣∣ 50j · 1

∣∣∣∣ = 20 log 50 = 34 dB

Noti i due estremi del segmento di raccordo, si trova l’ascissa del puntocentrale:

log ωcentrale =log ωp1 + log ωz1

2= 2, 24

La pendenza del segmento di raccordo e quella presente per ω < 1 (cioe−20 dB/dec.), incrementata dei −20 dB/dec. contribuiti dal polo reale. Apartire da ω = 5, a questa pendenza si aggiungono i 20 dB/dec. dello zero.

Per quanto riguarda le fasi:

• la costante da contributo di fase nullo;

• il polo nell’origine da contributo di fase costante di valore −π2 ;

• il polo reale contribuisce (con il diagramma relativo):

– con fase 0 per ω ≤ ωp1a =ωp1

4, 81= 0, 21;

4.2.3 Esempio di tracciamento di diagrammi di Bode 55

– con faseπ

2per ω ≥ ωp1b = ωp1 · 4, 81 = 4, 81;

– con un raccordo di pendenza90◦

log ωp1b − log ωp1a= 66◦.

• lo zero reale contribuisce (con il diagramma relativo):

– con fase 0 per ω ≤ ωz1a =ωz1

4, 81= 1, 04;

– con fase −π

2per ω ≥ ωz1b = ωz1 · 4, 81 = 24, 05;

– con un raccordo di pendenza−90◦

log ωz1b − log ωz1a= −66◦.

A questo punto si definisce la fase intervallo per intervallo, calcolando lependenze dei raccordi sommando i diagrammi dei singoli fattori.

La fase vale sicuramente −π2 per ω < 0, 21 e ω > 24, 05. Altrettanto

sicuramente la fase e costante per 1, 04 ≤ ω ≤ 4, 81, poiche e data da duesoli contributi di pendenza opposta.

Questa fase costante e quella assunta nel punto finale dell’intervallo[0, 21 , 1, 04] dal raccordo di pendenza 66◦, cioe −43, 8◦. Da questo valoreriparte il raccordo, di pendenza −66◦, nell’intervallo [4, 81 , 24, 05].

I diagrammi asintotici risultanti sono in figura 4.15.

Figura 4.15: Esempio di tracciamento dei diagrammi di Bode (ampiezza efase)

56 Analisi armonica

4.3 Diagrammi polari

Un diagramma polare e una curva che unisce tutte le coppie modulo-fase (diG(jω)) al variare di ω, riportata sul piano di Gauss (fig. 4.16).

Figura 4.16: Diagramma polare

4.3.1 Diagrammi elementari

I diagrammi elementari (come nel caso visto per i diagrammi di Bode) siriferiscono ai fattori elementari di G(jω) (in forma fattorizzata).

G(jω) = K Per una costante si hanno i diagrammi in figura 4.17.

(a) Diagramma polare per costantepositiva

(b) Diagramma polare per costantenegativa

Figura 4.17: Diagrammi polari per una costante

G(jω) =1

(jω)nPer un polo multiplo si ha:

|G(jω)| = 1ωh

arg G(jω) = −hπ

2

Ad esempio, se h = 1, si ha il diagramma in figura 4.18.

G(jω) =1

1 + jωτPer un polo semplice si ha modulo:

|G(jω)| = 1√1 + ω2τ2

={

1 , ω → 00 , ω →∞

4.3.2 Comportamenti al variare di ω 57

Figura 4.18: Diagramma polare per un polo multiplo

e argomento:

arg G(jω) = − arctan(ωτ) =

0 , ω → 0

−ωτ , ω piccolo−π

2, ω →∞

Quanto appena visto e visibile in figura 4.19.

Figura 4.19: Diagramma polare per un polo semplice

4.3.2 Comportamenti al variare di ω

Consideriamo G(jω) in forma polinomiale, oppure fattorizzata.

ω → 0+

Con h = 0: il diagramma parte dal punto dell’asse reale limω→0+

G(jω).

Con h = 1: il diagramma ha un asintoto verticale di ascissa σa = limω→0+

<{G(jω)}.Se G(jω) e in forma polinomiale:

G(jω) = Kb0 + jωb1

jω(a0 + jωa1)⇒ σa = K

b1a0 − b0a1

a20

58 Analisi armonica

Se G(jω) e in forma fattorizzata:

σa = K

∑i

(τ ′i + 2

δ′iω′ni

)−∑

j

(τj + 2

δj

ωnj

)Con h > 1: il diagramma parte da un punto all’infinito e tende a una curva

di ordine h.lim

ω→0+|G(jω)| = ∞

limω→0+

arg G(jω) = −hπ

2+ϕn con ϕn =

0, K · b0

a0> 0, K > 0

−π, K · b0

a0< 0, K < 0

Esempio. Supponiamo il caso G(jω) =1

(jω)2(1 + jω). Poiche h = 2,

il diagramma polare e una parabola che, per ω → 0+, ha argomento:

arg G(jω) = −2 · π

2+ ϕn = −π + ϕn = −π

con ϕn = 0 perche K > 0. Dalla figura 4.20 si nota che, per ω → 0+, lacurva parte dall’infinito per poi convergere all’origine degli assi, al cresceredi ω.

Figura 4.20: Esempio di diagramma polare per un polo multiplo (h = 2)

ω > 0 (piccolo) Determina come ruota, inizialmente, il raggio vettore. Sivaluta la variazione di arg G(jω) rispetto ad arg G(0): si possono trascuraretutti i termini di grado superiore a ω.

Per qualunque valore di h ≥ 0, il vettore ruota in senso orario/antiorarioa seconda che le parentesi (nelle formule 4.1 e 4.2) siano negative/positive:

∆ arg G(jω) ' ω ·(

b1

b0− a1

a0

)(4.1)

= ω ·

∑i

(τ ′i + 2

δ′iω′ni

)−∑

j

(τj + 2

δj

ωnj

) (4.2)

4.3.3 Rotazioni complessive al finito 59

ω → +∞

Con n = m (tanti poli quanti zeri): il diagramma termina su un puntodell’asse reale:

limω→+∞

G(jω) = K = Kτ ′1 · τ ′2 · · · · · ωn

21 · ωn

22 · . . .

τ1 · τ2 · · · · · ω′n21 · ω′n

22 · . . .

Con n > m (piu poli che zeri): il diagramma termina nell’origine, tan-gente ad un asse:

limω→+∞

|G(jω)| = 0

Il limite dell’argomento determina l’asse e il verso di tangenza:

limω→+∞

arg G(jω) = (m− n)π

2+[sgn

(K)− 1] π

2

dove:

• m: zeri a parte reale negativa + poli a parte reale positiva;

• n: zeri a parte reale positiva + poli a parte reale negativa.

4.3.3 Rotazioni complessive al finito

Variando ω da 0 a ∞:

[∆ arg G(jω)]∞ω=0 = (m− n)π

2− (µ− ν)

π

2− (nz − np)π

con:

m grado numeratoren grado denominatoreµ numero di zeri immaginariν numero di poli immaginarinz numero di zeri a parte reale positivanp numero di poli a parte reale positiva

60 Analisi armonica

4.3.4 Esempi di tracciamento di diagrammi polari

Caso (sistema di tipo 0): G(jω) =1

1 + jω. E un polo stabile.

• Con ω → 0+:lim

ω→0+

11 + jω

= 1

• Con ω piccolo:τ1 = 1

∆ arg G(jω) = −τ1ω = −ω < 0

La rotazione e oraria.

• ω → +∞:

limω→+∞


2+[sgn

(K)− 1] π

2

= (0− 1)π

2+ (1− 1)

π

2= −π

2

Anche questa caratteristica era nota, per il polo stabile.

• Rotazioni al finito:

[∆ arg G(jω)]∞n=0 = (m− n)π

2− (µ− ν)

π

2− (nz − np)π

= (0− 1)π

2− (0− 0)π − (0− 0)π

= −π

2

Il raggio vettore compie un quarto di giro (in senso orario).

Il diagramma polare ottenuto con queste informazioni e in figura 4.21.

Figura 4.21: Diagramma polare per un sistema di tipo 0

4.3.4 Esempi di tracciamento di diagrammi polari 61


jω(1 + jω).

• Con ω → 0+:

limω→0+

∣∣∣∣ 1jω(1 + jω)

∣∣∣∣ = ∞

E presente un asintoto verticale di ascissa σa = −1 (perche τ1 = 1).L’argomento iniziale e −π

2 , che e dovuto al polo nell’origine.

• Con ω piccolo:

∆ arg G(jω) = −τ1ω = −ω < 0

La rotazione e oraria.

• ω → +∞:

limω→+∞


2+[sgn

(K)− 1] π

2

= (0− 2)π

2+ (1− 1)

π

2= −π


[∆ arg G(jω)]∞n=0 = (m− n)π

2− (µ− ν)

π

2− (nz − np)π

= (0− 2)π

2− (0− 1)π − (0− 0)π

= −π

2




62 Analisi armonica


(jω)2(1 + jω).

• Con ω → 0+: il comportamento e parabolico, con fase iniziale −π (idue poli contribuiscono ciascuno per −π

2 .

• Con ω piccolo: la rotazione e oraria (il polo con τ > 0 da sfasamentonegativo).

• ω → +∞:

limω→+∞


2+[sgn

(K)− 1] π

2

= (0− 3)π

2+ (1− 1)

π

2

= −32π

Il diagramma termina tangente all’asse immaginario, in direzione nega-tiva (al contributo di due poli, per complessivi −π radianti, si aggiungeil contributo di −π

2 radianti del polo stabile).


[∆ arg G(jω)]∞n=0 = (m− n)π

2− (µ− ν)

π

2− (nz − np)π

= (0− 3)π

2− (0− 2)π − (0− 0)π

= −π

2




4.3.5 Diagramma polare completo (di Nyquist) 63

4.3.5 Diagramma polare completo (di Nyquist)

Nel diagramma polare di Nyquist si ha variazione completa di ω, da −∞ a+∞. Poiche Ga(−jω) = G∗

a(jω), il diagramma delle pulsazioni negative siottiene ribaltando il diagramma polare sull’asse delle ascisse.

Sistema di tipo 0. Il diagramma, ottenuto per riflessione, e chiuso (fig. 4.24).

Figura 4.24: Diagramma di Nyquist per un sistema di tipo 0

Sistema di tipo 1. Il diagramma, ottenuto per riflessione, e aperto. Perchiuderlo si usa una circonferenza all’infinito, che gira in senso orario con ω(a partire dal ramo superiore, per arrivare a quello inferiore: fig. 4.25).


Sistema di tipo 2. Il diagramma, ottenuto per riflessione, e aperto. Perchiuderlo si usa una circonferenza all’infinito, che gira in senso orario con ω(a partire dal ramo inferiore, per arrivare a quello superiore: fig. 4.26).


64 Analisi armonica

4.4 Criterio di Nyquist

Dato un sistema retroazionato, come in figura 3.18, caratterizzato da:

• funzione di trasferimento: Gretroazione(s) = G(s)1+G(s)·H(s)

• guadagno d’anello: Ga(s) = G(s) ·H(s)

dato il diagramma di Nyquist della funzione di risposta armonica di Ga(s)si hanno condizioni per avere Gretroazione(s) asintoticamente stabile.

Teorema 12 (Criterio di Nyquist (I)). Dato un sistema con poli tuttia parte reale negativa, perche esso sia stabile il diagramma di Nyquist nondeve circondare ne toccare il punto critico −1 + j0.

Teorema 13 (Criterio di Nyquist (II)). Dato un sistema senza poliimmaginari (eccetto un eventuale polo nullo semplice o doppio) e con glialtri poli con parte reale qualsiasi, perche esso sia stabile il diagramma diNyquist deve circondare il punto critico −1 + j0 (in senso antiorario) tantevolte quanti sono i poli di Ga con parte reale positiva (poli instabili).

Ogni giro di differenza corrisponde a un polo instabile del sistema.

Teorema 14 (Criterio di Nyquist (generale)). Un sistema e stabile seil suo diagramma di Nyquist circonda il punto critico −1 + j0:

• con tanti giri al finito in senso antiorario quanti sono i poli instabilidi Ga(s);

• con tanti mezzi giri al finito in senso antiorario quanti sono i polisull’asse immaginario.

Calcolo del numero di poli instabili di H(s). Senza chiudere i dia-grammi di Nyquist con circonferenze all’infinito, si puo calcolare il numerodi poli instabili della funzione di trasferimento con la formula:

nz = nf + np +ν

2

con:

• nz: numero di poli instabili di H(s);

• nf : numero di giri al finito di Ga(jω):

– col segno −: giri antiorari;

– col segno +: giri orari;

• np: numero di poli instabili di Ga(s);

• ν

2: numero di poli immaginari di Ga(s).

Quando nz = 0, allora H(s) e asintoticamente stabile.

4.4 Criterio di Nyquist 65

Stabilita condizionata. Quando il luogo dei punti e funzione di K cisono due possibilita, per verificare il comportamento del diagramma polare(che si sposta, rispetto al punto critico, e dunque cambia comportamento):

1. avere piu versioni della curva, mantenendo intatta la scala (fig. 4.27(a));

2. avere un’unica curva (essendo difficile tracciare piu curve), variando il

punto critico, che diventa − 1K

(fig. 4.27(b)).

(a) Scala costante (b) Curva costante

Figura 4.27: Influenza di K sulla stabilita

La stabilita condizionata lega il valore di K con la stabilita (o instabilita)del sistema.

Esempio. Studiare la stabilita di:

Ga(s) = K(s + 1)2

s2(s + 0, 1)con K ≥ 0

Il sistema ha due poli nell’origine e nessun polo a parte reale positiva. Af-finche sia stabile, il diagramma di Nyquist deve fare due mezzi giri antiorariattorno al punto critico.

In figura 4.28 e riportato il diagramma di Nyquist, con scala graduata suK = 1; l’intersezione con l’asse reale avviene nel punto −2, 5 + j0, mentre ilpunto critico e − 1

K = −1.In questo caso, il diagramma compie due mezzi giri antiorari attorno al

punto critico −1, per cui e asintoticamente stabile per K = 1.Con K < 0, 4, il punto critico ha ascissa −2, 5 o inferiore. In tali condi-

zioni, il diagramma compie un giro completo in senso orario attorno a questipunti critici, quindi il sistema e asintoticamente instabile (infatti ci sono duepoli instabili).

Concludendo, il sistema e stabile per K > 0, 4 e instabile per K < 0, 4.(Si puo trovare lo stesso risultato con il luogo delle radici, in figura 4.29:

per K = 0, 4 i poli sono puramente immaginari, per K > 0, 4 i poli sonoa parte reale negativa cioe stabili, per K < 0, 4 i poli sono a parte realepositiva cioe instabili.)

66 Analisi armonica

Figura 4.28: Esempio di studio di stabilita condizionata (col diagramma diNyquist)

Figura 4.29: Esempio di studio di stabilita condizionata (col luogo delleradici)

4.4.1 Analisi di robustezza alla stabilita 67

4.4.1 Analisi di robustezza alla stabilita

Si possono definire due margini di stabilita:

margine di fase (mf): angolo da sottrarre alla fase di Ga, quando ω da|Ga(jω)| = 1 (cioe 0 dB), per ottenere −π;

margine di guadagno (ma): inverso del guadagno di anello, quando ω daangolo di fase −π.

mf = arg G(jωu) + π ma =1

|G(jω−n|con ωu la pulsazione di guadagno unitario.

In figure 4.30 e 4.31 sono riportati, sui diagrammi di Bode e sul diagram-ma polare, le definizioni di mf e ma.

Figura 4.30: Significato geometrico dei margini di stabilita (diagrammi diBode)

Figura 4.31: Significato geometrico dei margini di stabilita (diagrammapolare)

Teorema 15. Applicando il criterio di Nyquist (I), se mf < 1, oppurema < 1, allora il sistema e instabile.

68 Analisi armonica

Se i parametri sono incerti, si puo assegnare a un punto del diagramma unvalore nominale, per poi ampliarne la posizione a una piccola circonferenzacentrata sul punto. Il raggio dipende dall’incertezza. Ai fini del criterio diNyquist, questa circonferenza non deve circondare il punto critico.

Esempio. Trovare mf di Ga(s) = − 2√

2s + 2

.

Ga(jω) = −√

21 + 1

2jω

|Ga(jω)| =√

2√1 + 1

4ω2= 1 ⇒ 1 +

14ω2 = 2

cioe ωu = 2.

mf = arg Ga(jωu) + π

= −π +(0− arctan

(0, 25ω2

u

))= − arctan 1= −π

4sistema instabile

Lo stesso risultato e riscontrabile tracciando il diagramma polare relativo alcaso ω = ωu = 2 (fig. 4.32), in ben due modi:

1. si puo riscontrare il valore mf = −π

4come da significato geometrico;

2. si nota che il diagramma completo, ad esso associato, circonda com-pletamente il punto critico −1 + j0.

Anche con i diagrammi di Bode (fig. 4.33) e possibile visualizzare imargini di stabilita e confermare quanto ricavato per via analitica.

4.4.1 Analisi di robustezza alla stabilita 69

Figura 4.32: Esempio di analisi coi margini di stabilita (diagramma polare)

Figura 4.33: Esempio di analisi coi margini di stabilita (diagrammi di Bode)

CAPITOLO 5

Esempi di progetto

5.1 Progetto (1)

E data la funzione di trasferimento:

G(s) =s + 2

(s− 1)(s− 0, 5)

Si consideri un sistema K ·G(s), con retroazione unitaria negativa.

1. Tracciare il diagramma polare della funzione di risposta armonica.

2. Analizzare le proprieta di stabilita del sistema per K = 1.

3. Determinare i valori di K per cui il sistema e asintoticamente stabile.

1. Diagramma polare

In forma fattorizzata:

G(s) =2(1 + 1

2s)

(−1)(1− s) ·(−1

2

)(1− 2s)

= 41 + 1

2s

(1− s)(1− 2s)

G(jω) = 41 + 1

2jω

(1− jω)(1− 2jω)

ω → 0+lim

ω→0+|G(jω)| = lim

ω→0+

∣∣∣∣∣4 1 + 12jω

(1− jω)(1− 2jω)

∣∣∣∣∣ = 4

limω→0+

arg G(jω) = limω→0+

[arctan

(12ω

)− arctan(−ω)− arctan(−2ω)

]= 0

Il diagramma parte dal punto (4 , 0). La fase iniziale e nulla.

Nota 5.1.1. Non ci sono poli nell’origine e K > 0: quindi i termini,all’inizio, contribuiscono tutti con fase nulla.

5.1 Progetto (1) 71

ω piccolo

∆ arg G(jω) = (τ ′1 − τ1 − τ2)ω =[12− (−1)− (−1)

]ω =

72ω > 0

Il raggio vettore ruota, inizialmente, in senso antiorario.

Nota 5.1.2. Le costanti di tempo dei poli, essendo negative, danno contri-buto di fase positivo.

ω → +∞ Poiche n > m, il modulo tende a 0. Direttamente:

limω→+∞

arg G(jω) = limω→+∞

[arctan

(12ω

)− arctan(−ω)− arctan(−2ω)

]=

π

2+

π

2+

π

2

=32π

Altrimenti, con la formula:

limω→+∞


2+[

sgn(

Kτ ′1

τ1τ2

)− 1]

π

2= (m = 3 zeri a parte reale neg. + poli a parte reale pos.)

= (3− 0)π

2+

[sgn

(4

12

(−1)(−2)

)− 1

]π

2

=32π + (1− 1)

π

2

=32π

Nota 5.1.3. Poli e zeri, asintoticamente, contribuiscono ognuno per π2 .

Rotazioni complessive

[∆ arg G(jω)]+∞0 = (m− n)π

2− (µ− ν)

π

2− (nz − np)π

= (1− 2)π

2− (0− 0)

π

2− (0− 2)π

= −π

2+ 2π

=32

in senso antiorario

La fase finale e: 0 +32π =

32π.

Intersezioni con gli assi Scriviamo G(jω) come somma di parte rea-le e immaginaria.

G(jω) = 4 · 1− 3, 5ω2

(1 + ω2)(1 + 4ω2)+ j4 · 3, 5− ω2

(1 + ω2)(1 + 4ω2)

72 Esempi di progetto

Annullando le due componenti alternativamente:

<{G(jω} = 0 ⇒ ω =1√3, 5

⇒ ={

G

(j

1√3, 5

)}' 2, 49

={G(jω} = 0 ⇒ ω =√

3, 5

⇒ <{

G(j√

3, 5)}

= −23

Il diagramma polare cosı ricavato, e quello completo ottenuto per riflessione,sono in figura 5.1.

(a) Diagramma polare (b) Diagramma di Nyquist

Figura 5.1: Diagrammi polari [Progetto 1]

2. Stabilita per K = 1

Il sistema ha due poli instabili, quindi servono due giri in senso antiorarioper avere stabilita.

Il diagramma di Nyquist per K = 1, attorno al punto critico −1, noncompie alcun giro. Avendo fatto due giri in meno del richiesto, il sistema einstabile per K = 1.

Utilizzando il criterio generale di Nyquist:

nz = nf + np +ν

2= 0 + 2 + 0 = 2

3. Stabilita condizionata

Esprimendo K · G(s) in somma di parte reale e immaginaria, si calcola Kcorrispondente alle intersezioni con gli assi.

G(jω) = 4K · 1− 3, 5ω2

(1 + ω2)(1 + 4ω2)+ j4K · 3, 5− ω2

(1 + ω2)(1 + 4ω2)

<{G(jω} = 0 ⇒ ω =1√3, 5

⇒ ={

G

(j

1√3, 5

)}' 2, 49 ·K

={G(jω} = 0 ⇒ ω =√

3, 5

⇒ <{

G(j√

3, 5)}

= −23K

5.2 Progetto (2) 73

Vogliamo <{

G(j√

3, 5)}

< −1 (punto critico):

−23K < −1 ⇒ K >

32

In questo modo, i diagrammi di Nyquist relativi a tali K compiono due giriantiorari completi attorno al punto critico.

5.2 Progetto (2)

E data la funzione di trasferimento:

G(s) =K

s− 1, K ∈ R

Si consideri un sistema G(s) con retroazione unitaria negativa (fig. 3.17).

1. Determinare i valori di K per cui il sistema e asintoticamente stabile.

2. Calcolare, per questi valori di K, l’errore a regime in risposta a ungradino unitario.

3. Calcolare, per questi valori di K, l’errore a regime in risposta a unarampa unitaria.

1. Stabilita condizionata


1 + G(s)=

K

s + K − 1

Il polo e p = 1 − K, che ha parte reale negativa (cioe e asintoticamentestabile) se K > 1.

2. Errore a regime con gradino

Con K > 1:

Kp = lims→0

G(s) = −K ep =R0

1 + Kp=

11−K

< 0

3. Errore a regime con rampa

Con K > 1:Kv = lim

s→0s ·G(s) = 0 ev =

R0

Kv= ∞


5.3 Progetto (3)

Figura 5.2: Sistema con retroazione variabile [Progetto 3]

Si consideri un sistema con retroazione negativa variabile (fig. 5.2), ca-ratterizzato da:

K ∈ R , Gp(s) =1

(s + 2)(s + 3)

1. Con H(s) = 1, determinare i valori di K per cui si ha:

er = limt→+∞

e(t) <110

2. Determinare, per questi valori di K, la massima sovraelongazione per-centuale di c(t), quando r(t) e un gradino unitario.

3. Con H(s) = 3, determinare i valori di K per cui si ha:

er = limt→+∞

e(t) <13

4. Determinare, per questi valori di K, la massima sovraelongazione per-centuale di c(t), quando r(t) e un gradino unitario.

5. Con H(s) = 3, utilizzando l’errore percentuale riferito all’ingresso:

ei%(t) = 100 · r(t)− c(t)r(t)

determinare il valore di K per cui si ha ei% = 50%.

1. Errore a regime condizionato (H(s) = 1)


1 + G(s) ·H(s)=

K

s2 + 5s + 6 + K

I poli hanno parte reale negativa (cioe sono asintoticamente stabili) se 6 +K > 0, cioe se K > −6.

Con questi valori di K:

Kp = lims→0

G(s) =K

6er = ep =

R0

1 + Kp=

66 + K

Vogliamo ep < 110 :

66 + K

<110

⇒ 6 + K > 60 ⇒ K > 54

5.3 Progetto (3) 75

2. Massima sovraelongazione, con gradino in ingresso e H(s) = 1

Poiche il polinomio caratteristico e di secondo grado, determiniamo δ e ωn.

{ω2

n = 6 + K2δωn = 5

;

ωn =√

6 + K

δ =5

2√

6 + K

Con K = 54 prima calcolato si ottiene δ =5

2√

60= 0, 3227. La massima

sovraelongazione percentuale, per K = 54, e:

S% = 100 · e− πδ√

1−δ2 = 100 · e− π·0,3227√

1−0,32272 = 34, 26%

3. Errore a regime condizionato (H(s) = 3)

Il segnale errore riferito all’ingresso e ei(t) = r(t)− 1Kc

·c(t). Dai dati forniti:

ei(t) = r(t)− 3c(t) ⇒ Kc =13

L’errore riferito all’ingresso e E(s) =1

1 + Ge(s)·R(s). Determiniamo la fdt

con retroazione equivalente unitaria:

Ge(s) =G(s)

Kc + G(s) · (Kc ·H(s)− 1)=

3K

(s + 2)(s + 3)

⇒ E(s) =1

1 + Ge(s)·R(s) =

(s + 2)(s + 3)s2 + 5s + 6 + 3K

· 1s

I poli di E(s) hanno parte reale negativa (cioe sono asintoticamente stabili)se 6+3K > 0, cioe se K > −2. Con questi valori di K si ha errore a regime:

er = limt→+∞

e(t) = lims→0

s · E(s) =1

1 +3K

2 · 3

=2

2 + K

Vogliamo er ≤13:

22 + K

≤ 13

⇒ 2 + K ≥ 6 ⇒ K ≥ 4

4. Massima sovraelongazione, con gradino in ingresso e H(s) = 3

Poiche il polinomio caratteristico e di secondo grado, determiniamo δ e ωn.

{ω2

n = 6 + 3K2δωn = 5

;

ωn =√

6 + 3K

δ =5

2√

6 + 3K

Con K = 4 prima calcolato si ottiene δ =5

2√

18= 0, 5893. La massima

sovraelongazione percentuale, per K = 4, e:

S% = 100 · e− πδ√

1−δ2 = 100 · e− π·0,5893√

1−0,58932 = 10, 1%


5. Errore a regime condizionato dell’ingresso (H(s) = 3)

Il segnale errore riferito all’ingresso e ei(t) = r(t)− 1Kc

·c(t). Dai dati forniti:

ei(t) = r(t)− c(t) ⇒ Kc = 1

L’errore a regime riferito all’ingresso e ei% = 100 · 11 + Ge(0)

. Determiniamo

la fdt con retroazione equivalente unitaria:

Ge(0) =G(0)

Kc + G(0) · (Kc ·H(0)− 1)=

K6

1 + K6 (3− 1)

=K

6 + 2K

⇒ ei% = 100 · 6 + 2K

6 + 3K

Vogliamo ei% = 50%:

100 · 6 + 2K

6 + 3K= 50 ⇒ K = −6

Per tale valore di K il sistema e instabile, quindi non ammette errore aregime.

Cerchiamo il massimo1 errore che si puo richiedere, a regime:

K ∈]− 2 , +∞[ stabilita asintotica

ei% = 100 · 6 + 2K

6 + 3K⇒

{K → −2 : ei% → +∞K → +∞ : ei% → ei%min = 100 · 2

3= 66%

Poiche r(t) e c(t) sono in due scale diverse2, l’errore non puo scendere al disotto del minimo calcolato.

Il confronto corretto e fattibile utilizzando ei(t) = r(t)− 3c(t):

Kc =13

Ge(0) =K

2

ei% = 100 · 22 + K

⇒{

K → −2 : ei% → +∞K → +∞ : ei% → ei%min = 0

Vogliamo ei% = 50%:

100 · 22 + K

= 50 ⇒ K = 2

1Per logica il valore che sara trovato ora deve essere superiore a quello fissato inprecedenza, in questo caso 50%.

2c(t) viene moltiplicato per 3 dal blocco di retroazione, prima di arrivare al sommatore.

Elenco delle figure

2.1 Sistema non puramente dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1 Risposta all’impulso di un sistema del I ordine . . . . . . . . 153.2 Risposta al gradino di un sistema del I ordine . . . . . . . . . 153.3 Risposta al gradino di un sistema del II ordine . . . . . . . . 173.4 Significato geometrico di δ e ωn . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.5 Piano di Gauss con coordinate δ e ωn costanti . . . . . . . . . 183.6 Parametri della risposta al gradino di un sistema del II ordine 193.7 Parametri della risposta al gradino di un sistema del II ordine 203.8 Dominio individuato dai valori massimi assegnati di S e ta . . 203.9 Grafici dei modi relativi a poli semplici . . . . . . . . . . . . . 243.10 Grafici dei modi relativi a poli multipli . . . . . . . . . . . . . 243.11 Luogo delle radici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.12 Poli dominanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.13 Luogo delle radici per un sistema con tre poli (K ≥ 0) . . . . 343.14 Luogo delle radici per un sistema con tre poli (K ≤ 0) . . . . 363.15 Luogo delle radici per un sistema con due poli e uno zero

(K ≥ 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.16 Luogo delle radici per un sistema con due poli e uno zero

(K ≤ 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.17 Sistema in retroazione unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.18 Sistema in retroazione non unitaria . . . . . . . . . . . . . . . 423.19 Retroazione unitaria equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1 Diagrammi di Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2 Diagrammi di Bode (ampiezza e fase) per una costante . . . . 474.3 Diagrammi di Bode (ampiezza e fase) per un polo nell’origine

(di molteplicita h) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.4 Diagrammi di Bode (ampiezza e fase) per un polo semplice . 494.5 Diagramma di Bode reale (ampiezza) per un polo semplice . . 494.6 Diagramma di Bode (fase, quando τ < 0) per un polo semplice 504.7 Diagramma di Bode (ampiezza) per uno zero semplice . . . . 504.8 Diagrammi di Bode (fase) per uno zero semplice . . . . . . . 504.9 Diagrammi di Bode (ampiezza e fase) per due poli complessi

coniugati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

78 Elenco delle figure

4.10 Diagramma di Bode reale (ampiezza) per due poli complessiconiugati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.11 Diagramma di Bode reale (fase) per due poli complessi coniugati 524.12 Diagramma di Bode (fase, quando −1 < δ < 0) per due poli

complessi coniugati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.13 Diagramma di Bode (ampiezza) per due zeri complessi coniugati 534.14 Diagrammi di Bode (fase) per due zeri complessi coniugati . . 534.15 Esempio di tracciamento dei diagrammi di Bode (ampiezza e

fase) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.16 Diagramma polare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.17 Diagrammi polari per una costante . . . . . . . . . . . . . . . 564.18 Diagramma polare per un polo multiplo . . . . . . . . . . . . 574.19 Diagramma polare per un polo semplice . . . . . . . . . . . . 574.20 Esempio di diagramma polare per un polo multiplo (h = 2) . 584.21 Diagramma polare per un sistema di tipo 0 . . . . . . . . . . 604.22 Diagramma polare per un sistema di tipo 1 . . . . . . . . . . 614.23 Diagramma polare per un sistema di tipo 2 . . . . . . . . . . 624.24 Diagramma di Nyquist per un sistema di tipo 0 . . . . . . . . 634.25 Diagramma di Nyquist per un sistema di tipo 1 . . . . . . . . 634.26 Diagramma di Nyquist per un sistema di tipo 2 . . . . . . . . 634.27 Influenza di K sulla stabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.28 Esempio di studio di stabilita condizionata (col diagramma di

Nyquist) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.29 Esempio di studio di stabilita condizionata (col luogo delle

radici) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.30 Significato geometrico dei margini di stabilita (diagrammi di

Bode) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.31 Significato geometrico dei margini di stabilita (diagramma

polare) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.32 Esempio di analisi coi margini di stabilita (diagramma polare) 694.33 Esempio di analisi coi margini di stabilita (diagrammi di Bode) 69

5.1 Diagrammi polari [Progetto 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.2 Sistema con retroazione variabile [Progetto 3] . . . . . . . . . 74

Elenco delle tabelle

1.1 Tabella delle trasformate di Laplace piu utilizzate . . . . . . . 91.2 Tabella delle antitrasformate di Laplace piu utilizzate . . . . 10

3.1 Poli di un sistema del II ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2 Rapporto tra poli e modi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 Tabella di Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4 Esempio di tabella di Routh con riga nulla . . . . . . . . . . . 273.5 Esempio di tabella proseguita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.6 Esempio di tabella di Routh parametrica con riga nulla . . . 283.7 Esempio di tabella proseguita con parametro vincolato . . . . 293.8 Uso della tabella di Routh nel luogo delle radici . . . . . . . . 353.9 Uso della tabella di Routh nel luogo delle radici . . . . . . . . 383.10 Costanti ed errori di un sistema in retroazione negativa unitaria 42

4.1 Corrispondenze tra valori effettivi e in dB . . . . . . . . . . . 474.2 Operazioni notevoli in dB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

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