UNITÀ 2 LA GEOMETRIA NELLO SPAZIO82

è quella parte della geometria che studia le figure nello spazio.

Gli scorsi anni hai conosciuto le figure piane cioè figure formate da punti che appartengono a uno stesso piano.

Le figure piane hanno 2 dimensioni: la lunghezza e la larghezza.

Noi, però, viviamo in un mondo a 3D dove tutto ciò che ci circonda ha sì una LUNGHEZZA e una LARGHEZZA ma ha anche una ALTEZZA.

La geometria solida si occupa proprio delle figure a 3 dimensioni cioè dei SOLIDI GEOMETRICI.

LA GEOMETRIA NELLO SPAZIO

LA GEOMETRIA SOLIDA...

PROVA TU!

1. Osserva il frigorifero della tua cucina e individua su di esso le 3 dimensioni.

2 Scrivi sui puntini lunghezza, larghezza e altezza al posto giusto.

larghezza

altezza

lunghezza

larghezza

lunghezza

Scatola dicaramelle

.............................................

.............................................

.............................................

UNIT

À 2 Seleziona i concetti

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83

r

a

RETTA PARALLELAAL PIANO

r

a

RETTA GIACENTENEL PIANO

r

Ha

90°

RETTA PERPENDICOLARE

AL PIANO

r

Ha

90°

P

DISTANZA DEL PUNTO P DAL PIANO

PROVA TU!3. Esegui il Laboratorio “Retta perpendicolare al piano" di pag. 96.4. Esegui l’esercizio n. 6 a pag. 65.5. Esegui l’esercizio n. 7 a pag. 65.6. Esegui l’esercizio n. 8 a pag. 65.7. Esegui l’esercizio n. 23 a pag. 97.

può essere:

NELLO SPAZIO, RISPETTO A UN PIANO, UNA RETTA...

che ha come caso particolare

in cui PH

è la

ATTENZIONE Una retta perpendicolare al piano è perpendicolare a tutte le rette del piano che passano per il punto in cui la perpendicolare incontra il piano.

P

r

a

RETTA INCIDENTEAL PIANO

base dell’unità

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UNITÀ 2 LA GEOMETRIA NELLO SPAZIO84

Possono essere:

NELLO SPAZIO, DUE PIANI...

piani incidenti hanno come caso

particolare

piano

rettacomune

r

pian

o

piano

piano

90°

PIANI INCIDENTIse hanno in comune

una retta

PIANI PERPENDICOLARI

PROVA TU!8. Esegui l’esercizio n. 9a), c) a pag. 67.

9. Esegui l’esercizio n. 12 a pag. 67.

10. Esegui l’esercizio n. 26 a pag. 97.

11. Esegui l’esercizio n. 31 a pag. 97.

piani paralleli mantengono la

stessa distanza tra di loro

piano

piano

piano

pianoH

rettaperpendicolare

K

HK � distanza tradue piani paralleli

PIANI PARALLELIse non hanno alcun punto in comune

DISTANZA TRA PIANI PARALLELI

UNIT

À 2 Seleziona i concetti

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85

Noi studieremo i POLIEDRI e i SOLIDI DI ROTAZIONE.

1. POLIEDRI

Le superfici piane che formano i confini di un poliedro sono dei poligoni.

Chiameremo FACCIA ciascuno di questi poligoni, 1

SPIGOLO ciascun lato del poligono 2

e VERTICE ciascun vertice del poligono. 3

Chiameremo invece DIAGONALE DEL POLIEDRO 4 non la diagonale di un poligono, ma ogni segmento che unisce due vertici che non appartengono alla stessa faccia del poliedro.

Sono figure geometriche con 3 DIMENSIONI: LUNGHEZZA, LARGHEZZA e ALTEZZA.Possiamo suddividere i solidi geometrici in POLIEDRI e in SOLIDI ROTONDI.

SOLIDI GEOMETRICI

PRISMA PIRAMIDE POLIEDROREGOLARE

FACCIA

1

SPIGOLO

2

DIAGONALEDEL POLIEDRO

4

VERTICE

3

I poliedri che studierai sono i PRISMI, le PIRAMIDI e i POLIEDRI REGOLARI.

SOLIDI DI ROTAZIONE(solidi rotondi generati dalla rotazione di una superficie piana

attorno a una retta chiamata “asse di

rotazione")

asse dirotazione

POLIEDRI(hanno per confini

solo superfici piane)

SOLIDI ROTONDI

(hanno per confini superfici piane e curve o solo

superfici curve)

SOLIDI GEOMETRICI

base dell’unità

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UNITÀ 2 LA GEOMETRIA NELLO SPAZIO86

PROVA TU!12. Collega con una freccia ogni oggetto al solido geometrico

corrispondente.

13. Nel poliedro, individua e colora di rosso:

a. una faccia

b. tutti gli spigoli

c. tutti i vertici

stickdi colla

tenda dacampeggio

punta dimatita diario melone

CILINDRO CONO SFERAPRISMA PIRAMIDE

2. SOLIDI DI ROTAZIONE

Sono solidi generati dalla rotazione di una figura piana attorno a una retta.

Hanno per confini superfici curve e piane 1 e 2 oppure solo curve 3 .

Tra di essi ricordiamo il CILINDRO, il CONO, la SFERA.

pag. esercizio n.98 38

pag. esercizio n.99 42

CILINDRO CONO SFERA

1 2 3

a. b. c.

UNIT

À 2 Seleziona i concetti

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87

PROVA TU!14. Esegui l’esercizio n. 1 a pag. 73.

15. Esegui l’esercizio n. 3 a pag. 73.

16. Qui sotto hai un cubetto di legno. Colora in modo giusto l’immagine della faccia che hai di fronte, quella che hai di lato e quella che hai dall’alto.

Prendi la scatoletta di un medicinale. Ha 6 facce. Immagina di doverle dipingere tutte.

Hai dipinto ciò che viene chiamata SUPERFICIE TOTALE del solido.

Appoggia ora la scatoletta su un foglio.

La faccia di appoggio (e la faccia opposta) si chiama SUPERFICIE DI BASE. Le altre facce formano invece la SUPERFICIE LATERALE.

Pensa ora di aprire la scatoletta e di distenderla sul tavolo.

Ciò che ottieni è lo SVILUPPO SUL PIANO della SUPERFICIE TOTALE DEL SOLIDO.

La superficie totale è quindi uguale all’unione della superficie laterale (quella colorata in giallo e in arancione) e della superficie di base (quella colorata di azzurro).

LA SUPERFICIE DI UN SOLIDO

BASE

BASE

BASE

SOLIDO SVILUPPO SUL PIANO

DI FRONTE DI LATO DALL’ALTO

base dell’unità

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UNITÀ 2 LA GEOMETRIA NELLO SPAZIO88

È la MISURA dell’ESTENSIONE di un SOLIDO cioè dello spazio occupato dal solido.

L’unità di misura principale del volume è il METRO CUBO (m3).

Multipli e sottomultipli del metro cubo:

VOLUME DI UN SOLIDO

� moltiplica per 1000 � dividi per 1000

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

CHILOMETRO

CUBO

ETTOMETRO

CUBO

DECAMETRO

CUBO

METRO

CUBO

DECIMETRO

CUBO

CENTIMETRO

CUBO

MILLIMETRO

CUBO

PROVA TU!17. Osserva la figura e rispondi.

a. Quanti mattoncini ci sono nel solido? .................

b. La misura del volume del solido rispetto al mattoncino è:

a 1 b 3 c 4

c. Perciò V � ............

Esempio 1:4,5 cm3 � ............ mm3

Parti da cm3 .

Per arrivare a mm3

devi andare avanti di .

� moltiplica per 1000

Perciò:

4,5 cm3 � 1000 � 4500 mm3

Esempio 2:12 dm3 � ............ m3

Parti da dm3 .

Per arrivare a m3

devi andare indietro di .

� dividi per 1000

Perciò:

12 dm3 : 1000 � 0,012 m3

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

PARTENZAARRIVO

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

ARRIVOPARTENZA

UNIT

À 2 Seleziona i concetti

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89

Esempio: 1 dm3 di acqua � 1 l di acqua

perciò

1 l di acqua � 1 dm3 di acqua

PROVA TU!20. Trasforma nelle misure richieste.

a. 0,5 dm3 � ............... l b. 5 l � ............... dm3 c. 2 dm3 � ............. l � ................... ml

18. La misura del volume del solido in cm3 è:

V � ............ cm3

19. Trasforma nelle unità di misura richieste.

a. 2 m3 � ........................... dm3 km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

b. 0,5 dm3 � ........................... cm3 km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

c. 3,42 cm3 � ........................... mm3 km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

d. 1560 mm3 � ........................... cm3 km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

e. 27 534 cm3 � ........................... dm3 km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

f. 28 dm3 � ........................... m3 km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

pag. esercizio n.100 48; 49101 51; 52; 56

pag. esercizio n.102 59; 60; 61

unità di misura

1 cm3

solido

LEGAME TRA VOLUME E CAPACITÀ

In tutti i liquidi... 1 dm3 � 1 l

RICORDA

dm3 cm3

l dl cl ml

base dell’unità

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UNITÀ 2 LA GEOMETRIA NELLO SPAZIO90

Sono solidi che hanno lo stesso volume.Possono essere congruenti o no.

SOLIDI EQUIVALENTI

Esempio 1:I solidi A e B sono formati da cubetti di 1 cm3.

I solidi A e B sono equivalenti? Contiamo i cubetti di A e di B.

A è formato da 4 cubetti: ha V � 4 cm3.

Anche B è formato da 4 cubetti: ha V � 4 cm3.

CONCLUSIONE: i solidi A e B sono equivalenti.

Esempio 2:Sai che il solido A è equivalente al solido B.Il solido A ha volume di 8 cm3. Quant’è il volume di B?

Siccome i due solidi sono equivalenti, avranno lo stesso volume perciò anche il solido B avrà volume di 8 cm3:

VA � VB � 8 cm3

BA

VA = 8 cm3

PROVA TU!21. Esegui l’esercizio n. 5 a pag. 77.

22. Un dado da gioco ha il volume di 6,4 cm3. Quant’è il volume di una pallina equivalente al dado?

a 6,4 cm3 b 2 c Non si può trovare

pag. esercizio n.102 67; 68; 72

BA

UNIT

À 2 Seleziona i concetti

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91

Esempio 1:

Ricorda la formula �ps PV

Sostituisci e fai i calcoli

� � �ps PV

357

5 g/cm3

dati incognita

P � 35 gV � 7 cm3

ps � ?

Esempio 2:

Ricorda la formula p � ps � V

Sostituisci e fai i calcoli

p � ps � V � 2 � 1,5 � 3 g

dati incognita

ps � 2 g/cm3

V � 1,5 cm3

P � ?

Esempio 3:

Ricorda la formula �V Pps

Sostituisci e fai i calcoli

� � �V Pps

92

4,5 cm3

dati incognita

P � 9 gps � 2 g/cm3

V � ?

è il rapporto tra PESO e VOLUME di una stessa sostanza. In formula:

IL PESO SPECIFICO...

�ps PV

Quando conosci il peso specifico e il volume puoi trovare il peso con la formula inversa:

LE FORMULE INVERSE

P � ps � V

Quando conosci il peso e il peso specifico puoi trovare il volume con la formula inversa:

�V Pps

base dell’unità

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UNITÀ 2 LA GEOMETRIA NELLO SPAZIO92

PROVA TU!

23. Fai i calcoli e scrivi la risposta sui puntini.

a. P � 10 g

V � 2 cm3

� �ps PV � .........................

b. ps � 4 g/cm3

V � 5 cm3

P � ps � V � .........................

c. ps � 8 g/cm3

P � 4 g

� �V Pps

� .........................

a. b. c.

1. Calcola il peso

specifico:

ps � .......................................

2. Consulta la tabella del peso specifico

di S.O.S e scrivi di

quale sostanza si

tratta: ................................

Calcola il peso:

P � .......................................

Calcola il Volume:

V � .......................................

24. Osserva le figure e calcola quanto richiesto.

pag. esercizio n.103 da 75 a 78 e 80; 81104 85; 86; 87

42 g

4 cm32 cm3

........... cm3

stagnops � 7,3 Piombo

ps � 11,3

........... g

ps � ...........

113 g42 g

4 cm32 cm3

........... cm3

stagnops � 7,3 Piombo

ps � 11,3

........... g

ps � ...........

113 g42 g

4 cm32 cm3

........... cm3

stagnops � 7,3 Piombo

ps � 11,3

........... g

ps � ...........

113 g

UNIT

À 2 Seleziona i concetti base dell’unità

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93

COMPLANARI SGHEMBE

PARALLELI INCIDENTI

INCIDENTE

GIACENTE

PARALLELA

PERPENDICOLARI

90°PERPENDICOLARE

r

H90°

E COME CASO PARTICOLARE

LE RETTE POSSONO ESSERE

(vedi pag. 64)

I PIANI POSSONO ESSERE

UNA RETTA RISPETTO A UN PIANO PUÒ ESSERE

E COME CASO PARTICOLARE

NELLO SPAZIO

GEOMETRIA SOLIDA

STUDIA

SOLIDI GEOMETRICI

SI DIVIDONO IN

EQUIVALENTI

QUANDOSONO

RETTE

PIANI

FORMATI DA

POLIEDRI SOLIDI DI ROTAZIONE

AREA VOLUME PESO

PESOSPECIFICO

�ps PV

CHE CON IL DETERMINA

DI ESSI SI STUDIANO

STESSO VOLUME

HANNO

L’ESSENZIALE

Seleziona i concetti base dell’unità

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