PROGETTO L'ellisse con Cabri - Matematicamente · Concetta Guido L'ellisse con Cabri 1 PROGETTO...

Concetta Guido L'ellisse con Cabri 1

PROGETTO L'ellisse con Cabri

di Concetta GUIDO [email protected]

PRESENTAZIONE

L’obiettivo didattico del Progetto è lo studio dell’ellisse da un punto di vista analitico. Il Progetto è strutturato in 4 Lezioni, suddivise in paragrafi, nei quali verranno trattati specifici argomenti. Una Introduzione illustrerà, sinteticamente, la linea di sviluppo del Progetto e alcuni esempi rappresentativi del mondo reale. Un Test finale, a risposta multipla, offrirà la possibilità di verificare le conoscenze apprese. Il tempo medio di fruizione dell’intero modulo è di 4 ore. Articolazione del Progetto Introduzione Lezione 1 : Definizione ed equazione canonica dell’ellisse Lezione 2 : Metodi per tracciare l’ellisse Lezione 3 : Proprietà e caratteristiche dell’ellisse Lezione 4 : Applicazioni dell’ellisse a grafici, equazioni e disequazioni Test finale Articolazione dei contenuti Lezione 1 : Definizione ed equazione canonica dell’ellisse In questa lezione si considererà una proprietà caratteristica che consentirà di enunciare una nuova definizione di ellisse come luogo geometrico del piano, senza fare riferimento alla relativa sezione conica. Sfruttando tale definizione si determinerà l’equazione cartesiana di questa curva notevole. Si chiariranno alcuni concetti con l’utilizzo del software Cabri Géomètre. Lezione 2 : Metodi per tracciare l’ellisse In questa lezione si illustreranno alcune costruzioni geometriche dell’ellisse con il software Cabri Géomètre. Lezione 3 : Proprietà e caratteristiche dell’ellisse In questa lezione si illustreranno le proprietà e le caratteristiche dell’ellisse: simmetrie, vertici, fuochi, limitatezza, eccentricità, posizioni retta-ellisse. Si chiariranno alcuni concetti con l’utilizzo del software Cabri Géomètre. Lezione 4 : Applicazioni dell’ellisse a grafici, equazioni e disequazioni In questa lezione si utilizzerà l’ellisse per costruire grafici di particolari funzioni e per risolvere per via grafica alcuni tipi di equazioni e disequazioni irrazionali. Inoltre, si presenterà un’esercitazione guidata con il software Derive.


Vantaggi della presente trattazione Gli studenti apprendono meglio dalle parole e dalle immagini piuttosto che solo dalle parole, poiché essi hanno modo di costruire modelli mentali verbali e visivi e di fare delle connessioni tra di loro. C’è una miglior ritenzione e un miglior transfer quando lo studente riceve parole e immagini piuttosto che solo parole. Lo studente assume una posizione centrale rispetto all'utilizzazione delle informazioni; non più costretto a seguire gli imperativi della linearità testuale, capitolo dopo capitolo, l’allievo sceglie quali informazioni visitare; manipola, elabora collegamenti, attiva percorsi informativi, sceglie snodi diversi. La lezione è implementata da supporti altrimenti non possibili (immagini in movimento, simulazioni) che favoriscono negli allievi un atteggiamento partecipativo. Utilizzando Cabri Géomètre può costruire oggetti geometrici, manipolarli modificando la costruzione eseguita, quindi verificare quali relazioni si mantengono o variano nel corso di tali manipolazioni. Grazie all’integrazione della capacità numerica, algebrica e grafica di Derive molti esercizi possono essere affrontati meglio rispetto ai metodi tradizionali. Invece di disperdersi in noiose tecniche di calcolo si può concentrare nella risoluzione dell’esercizio visualizzando le soluzioni in diversi modi.

COLLOCAZIONE NEL CURRICOLO Il Progetto è rivolto ad una classe III del Liceo Scientifico, indirizzo PNI. L’argomento, trattato nel 2° quadrimestre, va inserito nel Modulo “Sezioni coniche” della programmazione curricolare di Geometria Analitica e collocato dopo la Circonferenza.

OBIETTIVI DIDATTICI

Obiettivi cognitivi:

Conoscere alcuni esempi di forme ellittiche reali Comprendere la definizione di ellisse come luogo geometrico Conoscere l’equazione cartesiana dell’ellisse Conoscere alcune costruzioni geometriche dell’ellisse Conoscere le principali caratteristiche di tale curva chiusa Comprendere le reciproche posizioni retta – ellisse Comprendere l’applicabilità dell’ellisse a grafici,equazioni e disequazioni Comprendere la proprietà ottica e acustica dei fuochi

Obiettivi Operativi:

Riconoscere l’equazione di un’ellisse e tracciarne il grafico Eseguire alcune costruzioni geometriche dell’ellisse con Cabri Géométre Individuare le sue principali caratteristiche Scrivere l’equazione di un’ellisse note alcune sue caratteristiche Determinare le reciproche posizioni retta – ellisse Applicare l’ellisse a grafici,equazioni e disequazioni Saper risolvere esercizi con l’utilizzo del software Derive


Obiettivi Formativi:

Affinare la precisione del linguaggio e la coerenza argomentativa Acquisire conoscenze a livelli più elevati di astrazione e di formalizzazione Utilizzare metodi,strumenti e modelli matematici in situazioni diverse Riesaminare criticamente e sistemare logicamente le conoscenze via via acquisite Sviluppare e potenziare le attitudini sia analitiche che sintetiche

Calcolo algebrico Equazioni e disequazioni algebriche Sistemi di grado superiore al primo Concetto di funzione Grafico di funzione Conoscenze di base di geometria sintetica piana Nozioni fondamentali di geometria analitica (luogo geometrico; retta; circonferenza); Trasformazioni geometriche: simmetrie. Costruzioni geometriche elementari Utilizzo dei software Derive e Cabri Géomètre

METODOLOGIE DIDATTICHE

Lezione interattiva Esercitazioni guidate in laboratorio di informatica Socializzazione dei risultati di laboratorio Approfondimento e consolidamento concettuale ed applicativo.

I contenuti si svilupperanno attraverso un alternarsi coordinato di informazione ed applicazione. Ciascun argomento sarà trattato in modo da stimolare l’interesse, la curiosità e la riflessione degli alunni. Massima cura sarà dedicata alla coerenza argomentativa. Le lezioni saranno di tipo interattivo e supportate da attività guidate di laboratorio informatico. Il test finale consisterà in una prova strutturata a risposta multipla. Ogni quesito sarà scelto con cura e formulato in modo univoco e chiaramente comprensibile; inoltre avrà uno spazio temporale determinato.

MEZZI E STRUMENTI

Videoproiettore Schede di lavoro per l’attività di laboratorio informatico Software didattici: Derive e Cabri Géomètre Laboratorio di informatica Scheda per il test finale

PREREQUISITI


FUNZIONE FORMATIVA DELLA MULTIMEDIALITA’ Un ambiente formativo multimediale è un ambiente nel quale operano secondo rapporti integrati media diversi - audiovisivi, informatici, telematici - e quindi linguaggi diversi - analogici, digitali, virtuali . In tale contesto il computer multimediale, grazie alla sua straordinaria polivalenza comunicativa, è destinato ad occupare la scena sempre più massicciamente. Un ambiente multimediale è costituito da un software ipermediale che coordina congiuntamente più sistemi simbolici (testo, audio, immagini, animazioni, ecc.). A media diversi corrispondono abilità cognitive diverse e aspetti diversi della realtà raggiungibili con essi. Dall’integrazione delle tecnologie ipertestuali con le tecnologie multimediali si originano i sistemi ipermediali, capaci di gestire immagini, suoni, testi e animazioni, permettendo l'accesso ai vari tipi di informazione in modo non sequenziale. Gli studenti apprendono meglio dalle parole e dalle immagini piuttosto che solo dalle parole, poiché essi hanno modo di costruire modelli mentali verbali e visivi e di fare delle connessioni tra di loro. C’è una miglior ritenzione e un miglior transfer quando lo studente riceve parole e immagini piuttosto che solo parole. Sotto il profilo cognitivo, l'ipermedia sembra quindi assecondare due aspetti centrali del modo in cui l'essere umano conosce: la multimedialità innesca azioni di rinforzo-integrazione tra gli emisferi cerebrali, intrecciando le sollecitazioni dei linguaggi analogici e digitali; l'ipertestualità accompagna lo svolgersi del pensiero attraverso il reticolo associativo. L'ipermedialità potenzia una didattica per concetti e favorisce negli allievi un atteggiamento partecipativo. L'allievo vede, ascolta, manipola, elabora collegamenti, attiva percorsi informativi, sceglie snodi diversi. Il lettore assume una posizione centrale rispetto all'utilizzazione delle informazioni; non più costretto a seguire gli imperativi della linearità testuale, capitolo dopo capitolo, il lettore sceglie quali informazioni visitare. E' questa la strada attraverso la quale si sta affermando una concezione "antropocentrica della tecnologia informatica applicata alla didattica e alla formazione". Nello stesso spirito, si apre la strada alla costituzione delle "comunità di apprendimento": un modello di formazione alternativo a quello tradizionalmente scolastico e vicino a quello dell'apprendistato, della formazione sul lavoro, delle comunità scientifiche. Si tratta di gruppi eterogeni (pari, esperti, insegnanti); che prevedono una condivisione di compiti e degli strumenti; che incorporano momenti di "apprendistato cognitivo", nei quali ci si interroga e si interroga su quanto si sta facendo, si chiedono consigli, si socializzano difficoltà e competenze. Sotto il profilo tecnico, le comunità possono formarsi utilizzando gli ambienti di authoring multimediali e le tecnologie telematiche per la comunicazione in rete, attuando, in questo secondo caso, delle comunità virtuali on line. La formazione on line è dotata di molti vantaggi. Per esempio, essa riproduce in una situazione di indipendenza spazio-temporale (la lezione on-line può essere seguita nel momento voluto, nel posto voluto, con i tempi voluti), dinamiche comunicative di tipo dialogico (uno a uno), frontale (uno a molti), collaborative (molti a molti). Essa favorisce atteggiamenti collaborativi e interattivi, permette di individualizzare l'offerta formativa; promuove l'iniziativa e l'individuazione di più percorsi di ricerca e approfondimento da parte dei discenti; presenta una grande flessibilità rispetto alle necessità didattiche e metodologiche del corso; consente di monitorare in tempo reale i livelli di apprendimento e di valutare in itinere sia il corso che i partecipanti.


Lezione tradizionale e lezione on-line a confronto Lezione tradizionale: inizia ad un orario prefissato in una aula precisa; l’alunno in genere è passivo per la maggior parte della lezione; il docente decide la struttura della lezione (sempre sequenziale); il docente è al centro dell’attenzione. Lezione on-line: la lezione ha inizio quando lo decide l’alunno, al massimo si decide la durata massima; l’alunno è attivo e si muove all’interno della lezione; è incuriosito e affascinato dalle nuove tecnologie (un libro elettronico "vivo", che parla e che suona, è sicuramente più interessante ed accattivante di uno di tipo cartaceo, anche se fatto benissimo); l’alunno decide la struttura della lezione (struttura a rete ); la lezione è al centro dell’attenzione; la lezione può essere implementata da supporti altrimenti non possibili: immagini in movimento, suoni, filmati, giochi, simulazioni. Conclusioni Nell’attuale società, la tecnologia si pone come un valido e funzionale strumento nel veicolare ed ampliare la conoscenza. Assistiamo ad una crescente complessità e varietà di sapere che, grazie alle moderne tecnologie telematiche, è divenuto sempre più accessibile e personalizzabile sia nei modi sia nei tempi e negli spazi. Per secoli l’apprendimento delle conoscenze è avvenuto mediante quello che gli psicologi definiscono il “modo simbolico–ricostruttivo”. In questo modo si utilizza il linguaggio scritto in maniera sostanzialmente totalizzante e autosufficiente. Ma esiste anche un altro tipo di apprendimento che si ha osservando, toccando, modificando e riosservando gli effetti che conseguono all’azione, riprovando, cambiando qualcosa e di nuovo osservando i risultati: è questo ciò che gli psicologi chiamano apprendimento “percettivo-motorio”. È un apprendimento generato dai continui cicli di percezione ed azione. E’ un apprendimento non circoscritto in un luogo ben preciso e delimitato (l’aula). Lo studente non svolge più un ruolo passivo, ricettore del sapere divulgato dall’insegnante ma ha un ruolo attivo, di attore nella selezione, fruizione e gestione del sapere. Per quanto riguarda l’insegnante anche il suo ruolo sarà sempre più di manager della conoscenza che trasforma la didattica tradizionale in un sistema aperto capace di adattarsi velocemente e continuamente ai diversi contesti, di essere proattivo. Dalla tradizionale figura dell’insegnante depositario del sapere che trasmette in modo unidirezionale allo studente, in un ambiente circoscritto, ad un insegnante attore che sembra più un manager della conoscenza, un consulente nel processo di maturazione intellettuale degli allievi.


ELLISSE INDICE

INTRODUZIONE

- Abstract - L’ellisse nella realtà - Esempi pratici per ottenere un ellisse - Esempi di forme ellittiche reali

LEZIONE 1 : DEFINIZIONE ED EQUAZIONE CANONICA DELL’ELLISSE - Definizione di ellisse - Equazione canonica dell’ellisse - Equazione dell’ellisse con i fuochi sull’asse y

LEZIONE 2 : METODI PER TRACCIARE L’ELLISSE

- Metodo 1 - Metodo 2 - Metodo 3

LEZIONE 3 : PROPRIETA’ E CARATTERISTICHE DELL’ELLISSE - Simmetrie - Intersezione con gli assi coordinati - Fuochi - Una proprietà ottica dei fuochi - Limitatezza - Eccentricità - Condizioni per determinare l’equazione di un’ellisse - Area della regione delimitata dall’ellisse - Retta – ellisse

LEZIONE 4 : APPLICAZIONI DELL’ELLISSE A GRAFICI, EQUAZIONI E

DISEQUAZIONI - Esercitazione con DERIVE

TEST FINALE APPENDICE

- Approfondimento 1 - Approfondimento 2 - Approfondimento 3

Bibliografia


INTRODUZIONE

Abstract Studiare, tracciare, classificare linee curve è stata una delle principali occupazioni dei matematici, a cominciare dalla retta e dal cerchio, con i quali ebbe origine la geometria, per poi passare alle sezioni coniche, che sono state oggetto di studio per molti secoli. Una delle quattro sezioni coniche è l’ellisse. In campo fisico e tecnico, l’ellisse costituisce uno strumento espressivo di rappresentazione e di schematizzazione di notevole efficacia. A conferma di ciò e a titolo puramente illustrativo, osserveremo alcuni esempi particolarmente significativi. Nel presente modulo studieremo, poi, tale particolare curva chiusa da un punto di vista analitico. Considereremo una proprietà caratteristica che consentirà di enunciare una nuova definizione di ellisse come luogo geometrico del piano, senza fare riferimento alla relativa sezione conica. Sfruttando tale definizione si determinerà l’equazione cartesiana di questa curva notevole. Si illustreranno alcune costruzioni geometriche dell’ellisse con il software Cabri Géomètre, utilizzato anche nella comprensione di specifici concetti. Si tratteranno le proprietà e le caratteristiche dell’ellisse e si utilizzerà tale curva per costruire grafici di particolari funzioni e per risolvere per via grafica alcuni tipi di equazioni e disequazioni irrazionali. Infine, si presenterà un’esercitazione guidata con il software Derive.


L’ellisse nella realtà Esempi pratici per ottenere un ellisse Se si accende una torcia elettrica, la luce della lampadina, uscendo dalla lente di forma circolare, formerà un cono di luce che ha come vertice il filamento della lampadina, e come asse la retta che passa per quest’ultimo e per il centro della lente.

Dirigendo il fascio luminoso verso una parete, la forma della parte illuminata varierà con l’inclinazione della torcia (ovvero con l’inclinazione dell’asse del cono di luce). Se questa è perpendicolare alla parete, la parte illuminata è un cerchio, tanto più grande quanto maggiore è la distanza della torcia dalla parete. Si cominci ora a inclinare la torcia verso l'alto; il cerchio si deforma e assume una forma allungata, come quella di uno stadio: la linea curva che delimita tale figura è un'ellisse.

Inoltre, si ottiene l’ellisse inclinando un po’, senza versarlo, un bicchiere cilindrico pieno di liquido.

Si può disegnare un'ellisse servendosi del grande compasso tridimensionale, al quale i geometri arabi avevano dato il nome di compasso perfetto. L'asta inclinata che ruota attorno all'asse verticale descrive un cono, che viene tagliato dal piano del disegno. A seconda dell'inclinazione di quest'ultimo si ottiene una circonferenza (quando il piano è orizzontale) o un'ellisse, tanto più allungata quanto più si inclina il piano.


Esempi di forme ellittiche reali In campo fisico e tecnico, l’ellisse costituisce uno strumento espressivo di rappresentazione e di schematizzazione di notevole efficacia. A conferma di ciò e a titolo puramente illustrativo, si riportano alcuni esempi particolarmente significativi. Orbite astronomiche Nel 1609, Keplero dimostrò che le orbite dei pianeti sono delle ellissi con il Sole in uno dei fuochi.

Nel 1705 Halley mostrò che la cometa che ha poi preso il suo nome si muove su un'orbita ellittica attorno al sole.

Anche le stelle , come i pianeti e tutti gli altri corpi celesti, sono soggette alla legge di gravitazione universale, e perciò due di esse (stelle doppie o binarie) possono attrarsi e muoversi secondo orbite ellittiche attorno ad un comune centro di massa.

Orbite dei satelliti artificiali intorno alla Terra Se si lancia un proiettile, maggiore è la velocità iniziale più il proiettile atterra lontano. Quando la velocità iniziale ha un valore sufficientemente elevato, il proiettile non riesce più ad atterrare: entra in orbita intorno alla Terra e diventa così un satellite. Se lanciamo il satellite con una velocità appena superiore a quella che lo immette su una traiettoria circolare, l’orbita si allunga e diventa ellittica. Esistono infinite orbite ellittiche che il satellite può seguire, a seconda della velocità con cui viene lanciato (l’orbita circolare è solo un caso particolare di esse). Se però la velocità di lancio è molto elevata, il satellite può sfuggire per sempre dalla Terra seguendo traiettorie a forma di iperbole.


Modello atomico di Bohr – Sommerfeld Secondo l’ipotesi di Sommerfeld (1868-1951), ogni elettrone può ruotare intorno al proprio nucleo percorrendo non soltanto orbite circolari, ma anche orbite ellittiche.

Esempi di architettura a pianta ellittica La forma ellittica è stata molto utilizzata da architetti e artisti nelle loro opere. Sono a pianta ellittica edifici famosi quali il Colosseo (asse maggiore188m e asse minore 156m), il colonnato di Piazza S. Pietro (figura seguente), la chiesa di S. Andrea al Quirinale del Bernini, come pure l’anfiteatro di Pompei.

Indice


LEZIONE 1

DEFINIZIONE ED EQUAZIONE CANONICA DELL’ELLISSE In questa lezione si considererà una proprietà caratteristica che consentirà di enunciare una nuova definizione di ellisse come luogo geometrico del piano, senza fare riferimento alla relativa sezione conica. Sfruttando tale definizione si determinerà l’equazione cartesiana di questa curva notevole. Si chiariranno alcuni concetti con l’utilizzo del software Cabri Géomètre. Definizione di ellisse L’ellisse è quella particolare curva chiusa che si ottiene intersecando una superficie conica con un piano non passante per il vertice e non parallelo alla generatrice. Per studiare tale curva notevole da un punto di vista analitico si ricava una proprietà caratteristica (Approfondimento1) che può essere assunta come definizione di ellisse nel piano, senza fare riferimento alla relativa sezione conica. La nuova definizione di ellisse, intesa come luogo geometrico dei punti del piano che godono della proprietà caratteristica in questione è la seguente: Definizione L’ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

Equazione canonica dell’ellisse Sfruttando la definizione di ellisse come luogo geometrico del piano, ci si propone, ora, di determinare l’equazione cartesiana di questa curva notevole, nel caso particolare in cui i fuochi si trovino sull’asse x ed equidistanti dall’origine del sistema di riferimento. Fissato un sistema di riferimento cartesiano, con l’asse delle ascisse coincidente con la retta passante per i fuochi 1F e 2F e con l’asse delle ordinate perpendicolare nel punto medio del segmento 21FF , siano ( )0;1 cF ed ( )0;2 cF − le coordinate dei fuochi e quindi c2 ( 0>c ) la relativa distanza focale.

Indicando con 0>k la somma costante delle distanze dei punti dell’ellisse dai fuochi, la condizione necessaria e sufficiente affinché un generico punto ( )yxP ; appartenga al luogo è che le sue coordinate soddisfino la relazione espressa dalla proprietà caratteristica


kPFPF =+ 21 .

Tale condizione di appartenenza di P al luogo in esame, ricordando la formula della distanza tra due punti, diventa

( ) ( ) kycxycx =++++− 2222 (1)

che è l’equazione dell’ellisse. La forma irrazionale in cui si presenta tale equazione è poco pratica. Mediante semplici operazioni di calcolo per la cui ulteriore semplificazione si pone k=2a ed

222 bca =− risultando ac < (Approfondimento2), essa si trasforma nella seguente forma razionale

222222 bayaxb =+ . che rappresenta l’equazione dell’ellisse nel sistema di riferimento indicato. Infine, dividendo tutti i termini per 22ba , si ottiene (2) Tale forma particolarmente semplice (che dipende dalla particolare scelta del sistema cartesiano di riferimento) si chiama equazione canonica o equazione normale dell’ellisse. Tale equazione è la più semplice possibile ed è quella che meglio evidenzia le proprietà della curva. Quando, come nel nostro caso, i fuochi appartengono all’asse x , è necessariamente

ba > ; viceversa, se è data un’equazione del tipo (2) con ba > , i fuochi dell’ellisse corrispondente appartengono all’asse x .

Equazione dell’ellisse con i fuochi sull’asse y Se i fuochi dell’ellisse sono sull’asse delle ordinate e simmetrici rispetto all’origine risulta

12

2

2

2

=+by

ax


( )cF ;01 e ( )cF −;02 .

Detto P il generico punto dell’ellisse, allo scopo di ottenere, anche nel caso in cui i fuochi stiano sull’asse y , un’equazione formalmente uguale a quella precedentemente ottenuta, è conveniente porre bPFPF 221 =+ con 0>b .

L’equazione dell’ellisse sarà ancora del tipo

12

2

2

2

=+by

ax

ma con ba <<0 e 222 abc −= .

In pratica, per riconoscere a quale tipo di ellisse corrisponde un’equazione del tipo

12

2

2

2

=+by

ax

è sufficiente vedere quale dei due denominatori sia il maggiore:se è quello della variabile x , allora l’ellisse ha i fuochi sull’asse delle ascisse; se è quello della variabile y , allora i fuochi si trovano sull’asse delle ordinate.


LEZIONE 2

METODI PER TRACCIARE L’ELLISSE In questa lezione si illustreranno alcune costruzioni geometriche dell’ellisse con il software Cabri Géomètre. Metodo 1 Costruzione del giardiniere Un semplice metodo per realizzare praticamente il tracciamento dell’ellisse in modo continuo è il seguente: segnati su un foglio due punti (corrispondenti ai fuochi 1F e 2F ), si collocano in essi due chiodini ai quali si fissano i capi di un filo flessibile e inestensibile di lunghezza maggiore della distanza tra i due punti segnati. Si faccia scorrere la punta di una matita in modo che durante il suo moto continuo essa si appoggi costantemente al filo e che questo rimanga sempre teso. In tal modo sul foglio si verrà a tracciare una curva i cui punti hanno, dai due punti segnati inizialmente, distanze la cui somma è uguale alla lunghezza del filo, cioè si viene a tracciare un’ellisse. Questa costruzione è detta “costruzione del giardiniere” perché è comunemente adoperata dai giardinieri per tracciare sul terreno aiuole a contorno ellittico.

Metodo 2 Costruzione dell’ellisse per punti Alternativamente, disponendo di una riga e di un compasso, si può tracciare l’ellisse per punti: si fissano due punti 1F e 2F (corrispondenti ai fuochi) alla distanza desiderata; a parte si traccia un segmento MN di lunghezza costante k maggiore della distanza tra i due punti fissati 1F e 2F e si sceglie un qualunque punto Q su di esso. Il segmento MN viene così ripartito in due segmenti MQ e QN. Con centro in 2F si traccia una circonferenza di raggio

MQr =2 e con centro in 1F si traccia una seconda circonferenza con raggio 21 rkr −= ; i due punti d’intersezione delle circonferenze appartengono certamente all’ellisse che si vuole costruire poiché per ciascuno di essi è k la somma delle distanze dai due fuochi:

( ) krkrrr =−+=+ 2212 . Dunque, si comprende che al variare di Q, scelto sul segmento MN, si ottengono in tal modo tanti punti dell’ellisse quanti se ne desiderano.


Metodo 3 Costruzione dell’ellisse noti i semiassi Ora che si conosce l’equazione canonica dell’ellisse si può illustrare un altro metodo geometrico per costruire l’ellisse per punti. Conoscendo soltanto i semiassi a e b (non occorre, quindi, utilizzare i fuochi) è possibile costruire l’ellisse di equazione

12

2

2

2

=+by

ax

con riga e compasso servendosi di due circonferenze aventi come centro l’origine degli assi e raggi a e b.

Condotta per O una semiretta arbitraria r siano :

( )yxS ;~ e ( )yxT ~;


le sue due intersezionicon le due circonferenze. Poiché S appartiene alla circonferenza di raggio b si ha: 222~ byx =+ . (5) Dalla similitudine dei triangoli OSH e OTR segue:

OTOS

OROH

= cioè ab

xx=

~

quindi:

xabx =~ .

Sostituendo il valore così ottenuto per x~ nella (5) si ottiene: 222

2

2

byxab

=+

ovvero

12

2

2

2

=+by

ax

che è l’equazione dell’ellisse già trovata. Ciò significa che il punto ( )yxP ; , ottenuto come intersezione della parallela all’asse x per S e della parallela all’asse y per T, avendo l’ascissa x uguale a quella di t e l’ordinata y uguale a quella di S, è un punto dell’ellisse; mutando la semiretta r si ottengono punti diversi dell’ellisse.

Procedura di costruzione dell’ellisse con Cabri: - Tracciare gli assi. - Disegnare due circonferenze C e C’ concentriche di raggi a e b con a>b. - Tracciare una semiretta uscente dall’origine e segnare i punti di intersezione S e T di questa rispettivamente con le due circonferenze C e C’. - Segnare l’intersezione P tra la retta per Se parallela all’asse x e della retta per T e parallela all’asse y. - Per tracciare l’ellisse: strumento Traccia; cliccare su P; muovere la semiretta oppure cliccare su Animazione.


LEZIONE 3

PROPRIETA’ E CARATTERISTICHE DELL’ELLISSE In questa lezione si illustreranno le proprietà e le caratteristiche dell’ellisse: simmetrie, vertici, fuochi, limitatezza, eccentricità, posizioni retta-ellisse. Si chiariranno alcuni concetti con l’utilizzo del software Cabri Géomètre. Simmetrie L’ellisse è una curva simmetrica rispetto all’asse y , all’asse x e all’origine. Infatti, se il punto ( )yxP ; appartiene all’ellisse di equazione (2) è evidente che anche i punti

( )yxP ;1 − , ( )yxP −− ;2 , ( )yxP −;3 appartengono alla curva, perché anche le loro coordinate soddisfano l’equazione (2) in quanto in essa compaiono solo termini di secondo grado nelle variabili x e y . Ma 1P è il simmetrico di P rispetto all’asse y , 2P è il simmetrico di P rispetto all’origine e 3P è il simmetrico di P rispetto all’asse x . Gli assi coordinati sono, dunque, assi di simmetria della curva e l’origine O è il centro di simmetria dell’ellisse. Per questi motivi si dice che la (2) rappresenta un’ellisse riferita al proprio centro e ai propri assi di simmetria o anche, più semplicemente, un’ellisse riferita al centro e agli assi.

Intersezione con gli assi coordinati I punti d’intersezione dell’ellisse con l’asse delle ascisse e con quello delle ordinate si ottengono risolvendo i sistemi:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+

0

12

2

2

2

yby

ax

e ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+

0

12

2

2

2

xby

ax

cioè

⎩⎨⎧

=±=0y

ax e

⎩⎨⎧

=±=0y

ax

L’ellisse incontra gli assi coordinati in quattro punti:


( )0;1 aA ( )0;2 aA − ( )bB ;01 ( )bB −;02 . Tali punti si dicono vertici dell’ellisse. I segmenti 21 AA e 21BB , di lunghezze rispettivamente a2 e b2 , si dicono assi dell’ellisse. Se ba > , il segmento 21 AA , è l’asse maggiore, mentre il segmento 21BB è l’asse minore. I parametri a e b presenti nell’equazione (2) rappresentano quindi le misure dei semiassi. Si noti che la misura a2 dell’asse maggiore non è altro che la costante che rappresenta la somma delle distanze del generico punto dell’ellisse dai due fuochi.

Se ba < , il segmento 21 AA , è l’asse minore, mentre il segmento 21BB è l’asse maggiore. In tal caso la misura b2 dell’asse maggiore non è altro che la costante che rappresenta la somma delle distanze del generico punto dell’ellisse dai due fuochi.


Fuochi I fuochi 1F e 2F stanno sempre sull’asse maggiore, detto perciò asse focale. Se ba > i fuochi ( )0;1 cF e ( )0;2 cF − sono sull’asse x e c è la semidistanza focale. Note le misure dei semiassi, le coordinate dei fuochi si determinano dalla relazione

222 bca =−

ossia da 222 bac −=

da cui,avendo supposto 0>c , si deduce 22 bac −=

e dunque

( )0;221 baF − e ( )0;22

2 baF −− .

La relazione 222 cba += fornisce ulteriori informazioni sul significato geometrico dei semiassi e del segmento che rappresenta la semidistanza focale; infatti è possibile interpretare la costante a come la misura del segmento che ha per estremi un fuoco ed il vertice dell’ellisse che appartiene al semiasse minore (si applichi il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo di lati a , b , c ).

Se ba < i fuochi dell’ellisse sono sull’asse delle ordinate e simmetrici rispetto all’origine

( )cF ;01 e ( )cF −;02

e l’asse maggiore, che misurerà b2 , starà sull’asse y . I fuochi avranno coordinate

( )22

1 ;0 abF − e ( )222 ;0 abF −− .


Una proprietà ottica dei fuochi Un raggio di luce che colpisca una superficie riflettente viene riflesso, ossia viene rimandato indietro, in una direzione che dipende dalla direzione di arrivo del raggio di luce e dalla forma della superficie che lo riflette. Se la superficie riflettente è uno specchio piano, il raggio si riflette su se stesso se incide perpendicolarmente alla superficie dello specchio mentre, se arriva obliquamente, viene riflesso in un’altra direzione anch’essa obliqua, in modo che il raggio incidente e il raggio riflesso formino con la perpendicolare allo specchio nel punto d’incidenza angoli uguali e complanari.

La stessa legge vale anche nel caso che la superficie riflettente non sia piana ma curva. A questo proposito l’ellisse possiede una importante proprietà ottica:pensata come un filo riflettente, l’ellisse è tale da riflettere ogni raggio di luce proveniente da uno dei due fuochi in un raggio che passerà per l’altro fuoco ( Approfondimento3).


Ovviamente il ruolo dei due fuochi è simmetrico: 1F “vede” nello specchio 2F ed 2F “vede” nello specchio 1F .

Dunque, un raggio di luce che parte da un fuoco dopo essersi riflesso sull'ellisse andrà a colpire l'altro fuoco. Ciò vale naturalmente per qualsiasi tipo di raggi: luminosi, sonori, calorifici. In ogni caso, tutti i raggi che partono da un fuoco, dopo una riflessione sull'ellisse vanno a concentrarsi nell'altro. Di qui la ragione del nome fuochi; se si mette una fonte di calore in uno dei fuochi, il calore si concentra nell'altro e può incendiare un pezzo di carta o un materiale infiammabile. Una semplice teglia (di forma approssimativamente ellittica) con il fondo coperto d'acqua può servire per illustrare il fenomeno. Se si tocca l'acqua con un dito in corrispondenza di uno dei fuochi, segnati con un pallino sul fondo, si formano delle onde concentriche che dopo essersi riflesse sulla parete della teglia vanno a concentrarsi sull'altro fuoco.

Esiste anche un fenomeno acustico, che molti hanno avuto modo di sperimentare in antiche sale con il soffitto a forma ellittica (ottenuto ruotando una mezza ellisse attorno all'asse maggiore) dove due interlocutori, posti in due punti particolari, possono discorrere chiaramente sebbene a voce bassissima mentre nulla del loro colloquio si sente negli altri punti della sala. Il fenomeno è evidentemente dovuto al fatto che la volta riflette tutti i suoni provenienti da un punto “speciale” in un altro punto “speciale”:tali punti sono i fuochi di una superficie con proprietà del tipo di quella ottica dell’ellisse. Questa proprietà è stata sfruttata nella costruzione di alcuni teatri rinascimentali, ad esempio in quello di Schifanoia a Ferrara e in quello costruito a Granada per CarloV.


Limitatezza L’ellisse è una curva tutta contenuta nel rettangolo individuato dalle parallele agli assi condotte per i vertici. Infatti, dalla sua equazione canonica si deduce

( )222

22 xa

aby −= e ( )22

2

22 yb

abx −= .

Essendo i primi membri positivi o nulli, dovranno esserlo anche i secondi membri, da cui 022 ≥− xa e 022 ≥− xb

e dunque axa ≤≤− e byb ≤≤−

Nel caso ba > :


Eccentricità

Si consideri l’ellisse di equazione 149

22

=+yx , i cui fuochi appartengono all’asse x ed in cui,

essendo a=3 e b=2, il semiasse maggiore misura 3 e quello minore misura 2. Il valore del parametro c che determina le coordinate dei fuochi è 549 =−=c .

Si consideri ora l’ellisse di equazione 1425

22

=+yx . Anche in questo caso i fuochi

appartengono all’asse x, l’asse minore misura ancora 2, ma l’asse maggiore misura 5, cioè è più lungo di quello della precedente ellisse; inoltre si ha che 21=c . Si riportano i rispettivi grafici:


Confrontando i due grafici,si nota subito che la seconda ellisse è più “schiacciata” della prima.

Cerchiamo di capirne il motivo. Si osservino i triangoli rettangoli evidenziati in colore nella seguente figura:

In essi, b e c rappresentano le misure dei due cateti (rispettivamente il semiasse minore e la semidistanza focale), mentre, essendo 222 acb =+ , a rappresenta la misura dell’ipotenusa (cioè il segmento BF è congruente al semiasse maggiore). Si rifletta ora sul fatto che l’ellisse risulta tanto più schiacciata quanto più piccolo è l’angolo β individuato dai segmenti BF ed OF.


Una indicazione dell’ampiezza di β è data dal rapporto fra i lati che lo formano, cioè dal

rapporto ac fra il cateto e l’ipotenusa (se lo studente ha già studiato un po’ di trigonometria sa

che βcos=ac ); nei due esempi visti 74.0

35≅=

ac nel primo caso e 92.0

521

≅=ac nel

secondo.

In generale , quando ac diminuisce, l’ampiezza di β aumenta e l’ellisse appare meno

schiacciata. Il rapporto fra la semidistanza focale e l’asse maggiore di solito si indica con e e prende il nome di eccentricità dell’ellisse. Nel caso dell’ellisse riferita al centro e agli assi e con i fuochi sull’asse x :

ace = . (3)

Poiché la semidistanza focale è sempre minore del semiasse maggiore, è evidente che è sempre 10 << e . Nel caso limite 0=e risulta, dalla (3), 0=c , la semidistanza tra i fuochi è nulla ed essi coincidono con il centro. In tal caso dalla relazione 222 bca =− si deduce (essendo 0=c ) che è 22 ba = e quindi l’equazione canonica di una tale ellisse diventa

12

2

2

2

=+ay

ax

ossia 222 ayx =+ .

Quest’ultima è l’equazione di una circonferenza con centro nell’origine e raggio di misura a . La circonferenza può quindi essere pensata come una particolare ellisse con eccentricità nulla,ossia con i fuochi coincidenti. Nel caso limite 1=e risulta, dalla (3), ac = , la semidistanza focale è uguale al semiasse maggiore (cioè i fuochi coincidono con i due vertici) e quindi, risultando nullo l’asse minore, l’ellisse si riduce all’asse maggiore (ellisse degenere).


In sostanza, l’eccentricità misura lo “schiacciamento” dell’ellisse sull’asse maggiore rispetto alla circonferenza che ha per diametro lo stesso asse maggiore: tanto più l’ellisse è eccentrica (“schiacciata”) e tanto più l’eccentricità è vicina al valore 1; tanto meno l’ellisse è eccentrica e tanto più l’eccentricità è vicina al valore 0.


Le stesse considerazioni possono essere ripetute nel caso in cui l’ellisse ha i fuochi sull’asse delle ordinate. In tal caso l’eccentricità sarà

bce = .

Condizioni per determinare l’equazione di un’ellisse Quante informazioni indipendenti occorrono per poter scrivere l’equazione di un’ellisse? Poiché nell’equazione

12

2

2

2

=+by

ax

compaiono due coefficienti a e b, sono necessarie due condizioni indipendenti per determinare l’equazione di un’ellisse riferita ai suoi assi di simmetria. Alcuni dei casi che possono presentarsi sono: 1. passaggio per l’ellisse per due punti (non simmetrici rispetto agli assi o rispetto

all’origine); 2. conoscenza delle coordinate di un fuoco e di un vertice; 3. conoscenza dell’eccentricità e passaggio per un punto; 4. conoscenza della misura di un semiasse e dell’eccentricità.


Osservazioni L’equazione canonica di un’ellisse dipende dalla determinazione di 2a e di

2b ; sarà dunque sufficiente risolvere equazioni o sistemi fino ad arrivare a trovare tali valori;

Quando si deve determinare l’equazione di un’ellisse e non è nota a priori la posizione dei due fuochi (se appartengono all’asse x o all’asse y), si considera l’equazione nella forma generale

12

2

2

2

=+qy

px

in cui i valori dei parametri 2a e 2b sono stati sostituiti da 2p e 2q . Se, a calcoli svolti, si verificherà che è 22 qp > , allora l’ellisse avrà i fuochi sull’asse delle ascisse, altrimenti li avrà sull’asse delle ordinate.

Se le informazioni riguardano il passaggio per due punti simmetrici, in realtà si ha una sola informazione valida che consente di determinare il valore di un solo parametro. L’equazione dell’ellisse dipenderà, pertanto, da un parametro.

Area della regione delimitata dall’ellisse L’ellisse:

12

2

2

2

=+by

ax

delimita una regione finita D di piano rappresentata analiticamente dalla disequazione:

12

2

2

2

≤+by

ax

la cui area è data da:

Area D abπ=

essendo a e b i semiassi dell’ellisse. Si osservi che tale formula contiene come caso particolare, se a=b, l’area 2aπ del cerchio di raggio a. Ne segue che la posizione reciproca di un punto ( )000 ; yxP e di un’ellisse di equazione

12

2

2

2

=+by

ax è determinata dalle seguenti condizioni:

1) Se 12

20

2

20 =+

by

ax

il punto sta sull’ellisse;

2) Se 12

20

2

20 >+

by

ax

il punto sta all’esterno dell’ellisse;

3) Se 12

20

2

20 <+

by

ax

il punto sta all’interno dell’ellisse.


Retta - ellisse Per studiare le varie posizioni che può assumere una retta r, rispetto ad un’ellisse, basta risolvere il sistema di 2° grado formato dalle equazioni dell’ellisse e della retta:

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

=+

qmxyby

ax 12

2

2

2

Le sue eventuali soluzioni sono le coordinate dei punti d’intersezione tra l’ellisse e la retta. Applicando il metodo di sostituzione, si ottiene l’equazione risolvente:

( ) ( ) 02 22222222 =−+++ bqamqxaxmab

sempre di 2° grado, poiché 0222 ≠+ mab . Calcolato il discriminante di tale equazione:

( )( )222222224

4mabbqaqma +−−=

∆

a seconda che risulti: 0>∆ 0=∆ 0<∆

la retta r è rispettivamente: secante tangente esterna

all’ellisse.


LEZIONE 4 APPLICAZIONI DELL’ELLISSE A GRAFICI, EQUAZIONI E DISEQUAZIONI La conoscenza dell’ellisse, in alcune situazioni, può facilitare lo svolgimento di un esercizio matematico. In questa lezione si utilizzerà l’ellisse per costruire grafici di particolari funzioni e per risolvere per via grafica alcuni tipi di equazioni e disequazioni irrazionali. Inoltre, si presenterà un’esercitazione guidata con il software Derive. Esercizio 1 Tracciare il grafico della funzione di equazione 294 xy −= , determinandone dominio e condominio.

La funzione esiste se ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−=⇒≤≤−⇒≥−

32;

32

32

32094 2 Dxx .

Si osservi che, Dx∈∀ , è 0≥y . Elevando al quadrato, avremo che l’equazione data è equivalente a

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥

=+⇒

⎩⎨⎧

≥−=

0

14

94

094

22

22

y

yx

yxy

Poiché 14

94

22

=+yx è l’equazione di un’ellisse riferita al centro e agli assi con

32

=a e 2=b ,

tenendo conto della condizione 0≥y , si può concludere che il grafico richiesto è quello illustrato nella figura seguente e rappresenta una semiellisse. Il condominio della funzione è

[ ]2;0=C .


Esercizio 2 Risolvere la seguente equazione 0333 2 =−++ xx . Si scriva l’equazione data nel seguente modo

2333 xx −−=+ cioè

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤∧=+

+=⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−=

+=

0333

33

3222 yyx

xy

xy

xy

Si tratta di intersecare l’arco dell’ellisse di equazione 13

22 =+

yx , situato nel semipiano delle

y negative o nulle, con la retta di equazione 3+= xy . Dall’esame della figura seguente si vede che l’equazione data non ha soluzioni.

Esercizio 3 Risolvere graficamente la disequazione xxx ≥− 232 . Si consideri la curva e la retta di equazioni rispettivamente 232 xxy −= e xy = . Si osservi che

⎩⎨⎧

≥=−+

⇒⎩⎨⎧

≥−=

⇒−=0

0230

3232

22222

yxyx

yxxy

xxy


L’equazione 023 22 =−+ xyx si può scrivere

1

31

9131

2

2

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

yx

e pertanto rappresenta un’ellisse di centro ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 0;

31 e di semiassi

31

=a e 3

1=b , con l’asse

minore disposto sull’asse x, essendo ba < . A causa della condizione 0≥y , l’equazione 232 xxy −= rappresenta quindi la semiellisse appartenente al semipiano delle ordinate positive o nulle.

Risolvere la disequazione data significa determinare le ascisse dei punti della semiellisse che hanno ordinata maggiore o uguale di quella dei corrispondenti punti della retta xy = . Dall’esame della figura si può vedere che la disequazione è verificata per Axx ≤≤0 essendo A il punto d’intersezione, distinto dall’origine, tra l’ellisse e la retta. Ponendo a sistema

l’equazione dell’ellisse con quella della retta, si trova 21

=Ax .

Si conclude che la disequazione è soddisfatta per 210 ≤≤ x .

ESERCITAZIONE CON DERIVE

1. Determinare le eventuali intersezioni delle seguenti rette di equazione:

a) 2+= xy b) 5+= xy

c) 22+=

xy

con l’ellisse di equazione: 14

22

=+ yx .

1. a)


b)


c)

2. Risolvere graficamente le seguenti equazioni e disequazioni:

a) 0132 2 =−+− xx ; b) xx 3141 2 +>− ; c) 541625 2 +≤− xx ; d) 1123 2 +<++− xxx .


2. a)

b)


c)

d)


TEST Scelta multipla (4 risposte, una sola corretta) Individua la risposta corretta tra quelle elencate

1 L’equazione canonica dell’ellisse 301030 22 =+ yx è:

a. 13

22

=+ yx

b. 13

22 =+

yx (V)

c. 133

22

=+yx

d. 33 22 =+ yx

2 L’ellisse di equazione 185

22

=+yx è simmetrica rispetto:

a. all’origine b. all’asse x c. all’asse y d. agli assi cartesiani e all’origine (V)

3 L’ellisse di equazione 123

22

=+yx ha i fuochi:

a. sull’asse x (V) b. sull’asse y c. nell’origine d. sia sull’asse x che sull’asse y

4 L’ellisse di equazione 3284 22 =+ yx ha eccentricità uguale a : a. 2

b. 26

c. 22 (V)

d. 1

5 L’ellisse che ha fuochi in ( )1,0 ± e passa per ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

362,1P ha equazione:

a. 1243 22 =+ yx b. 1234 22 =+ yx (V)

c. 192

42

2

=+ yx

d. 194

22

=+yx


APPENDICE Approfondimento 1 Per ricavare la proprietà caratteristica che può essere assunta come definizione di ellisse nel piano si procede nel seguente modo. Si esamini la seguente figura, dove il piano del disegno passa per l’asse a della superficie conica ed è perpendicolare al piano secante α .

Fig. 1

Siano r ed s le generatrici appartenenti al piano del disegno, M il punto d’intersezione tra α ed r, N quello tra α ed s. Si considerino la circonferenza 1γ inscritta nel triangolo VMN e la circonferenza 2γ tangente a MN e ai prolungamenti dei lati VM e VN, come indicato in figura precedente (si dice che 2γ è la circonferenza ex-inscritta al triangolo VMN relativa al lato MN). Siano 1F e 2F i punti di contatto di 1γ e 2γ con il lato MN. Ruotando le rette r ed s e le due circonferenze di un angolo piatto attorno all’asse a, le circonferenze 1γ e 2γ generano le superfici sferiche di due sfere 1β e 2β inscritte nella stessa falda e tangenti in 1F e 2F al piano α : i punti 1F e 2F sono detti fuochi dell’ellisse.


Si consideri ancora la figura precedente; ricordando che i segmenti di tangente condotti da un punto esterno ad una circonferenza sono congruenti si ha

NSNF ≅1 e NTNF ≅2 . Sommando membro a membro queste due relazioni si ha

STNFNF ≅+ 21 dove N è un punto dell’ellisse (quello sulla generatrice s) e ST è la distanza, su una generatrice, tra i punti di contatto delle sfere 1β e 2β con la falda (nella figura seguente si avrà ovviamente '''''' TSTSST ≅≅ ). Si può ora vedere che la proprietà di cui gode il punto N è goduta anche da ogni altro punto P dell’ellisse

STPFPF ≅+ 21 . Per verificarlo si consideri la seguente figura:

P è un generico punto dell’ellisse e la generatrice VP tange la sfera 1β in 'S e la sfera 2β in

'T . Anche se per ora lo studente forse non ha conoscenze di geometria razionale nello spazio, non è però difficile intuire che i segmenti di tangente condotti da un punto esterno P a una


sfera sono congruenti e che quindi, sempre osservando la figura precedente dove 1PF è tangente a 1β e 2PF è tangente a 2β , si ha

'1 PSPF ≅ e '2 PTPF ≅ . Sommando membro a membro queste due relazioni si ha

''21 TSPFPF ≅+ e dunque

STPFPF ≅+ 21 come si voleva verificare. Si può quindi affermare che l’ellisse è il luogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle loro distanze da due punti detti fuochi. Considerando ancora la Fig. 1 si verifica che è 12 NFMF ≅ e che è STMN ≅ . Infatti, dalla relazione precedentemente ricavata

STNFNF ≅+ 21 risulta

STFFNFNF ≅++ 2111

2122212211 2''''''''2 FFMFMFFFMFMTMSTSSTFFNF +≅++≅+≅≅≅+ da cui

21 MFNF ≅ . Inoltre si ha

STNTSNNTNFNFMFMN ≅+≅+≅+≅ 122 . Pertanto, la relazione

STPFPF ≅+ 21 che caratterizza dal punto di vista geometrico l’ellisse si può scrivere

MNPFPF ≅+ 21 dove il segmento MN è l’asse maggiore dell’ellisse, come si vedrà nel seguito.


Approfondimento 2 La forma irrazionale in cui si presenta l’equazione è poco pratica e trasforma in forma razionale isolando un radicale, elevando al quadrato entrambi i membri, semplificando e sviluppando i calcoli come di seguito indicato:

( ) ( ) 2222 ycxkycx ++−=+−

( ) ( )2

222

22 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +− ycxkycx

( ) ( )( ) ( ) 2222222 2 ycxkycxkycx ++−+++=+−

2222222222 2222 yccxxkyccxxkyccxx +++−++++=++−

cxkyccxxk 422 2222 +=+++ . Per semplificare ulteriormente i calcoli si può porre k=2a :

( )cxayccxxa +=+++ 2222 424

( ) ( )222

222 2 cxayccxxa +=+++

cxaxcayacacxaxa 22242222222 22 ++=+++

224222222 caayaxcxa −=+−

( ) ( )22222222 caayaxca −=+− . Osservazione E’ importante osservare che i due successivi elevamenti al quadrato non hanno introdotto soluzioni estranee1 e quindi l’equazione ottenuta è equivalente alla (1) inizialmente considerata. Ora, poiché in un qualsiasi triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due, per il triangolo 21FPF risulta

2121 PFPFFF +< cioè

ac 22 < ossia ac < .

Allora la differenza 22 ca − è sicuramente positiva; si può pensare a questa differenza come al quadrato di un numero reale e porre quindi

1 Per esempio,dall’equazione 3=x ,che ha soltanto la soluzione 3 ,si passa,elevando ambo i membri al quadrato, all’equazione 92 =x ,che ha le soluzioni +3 e –3.


222 bca =− .

Pertanto l’equazione precedente diventa

222222 bayaxb =+ .


Approfondimento 3 Per verificare analiticamente la proprietà ottica occorre, scelto un qualunque punto 0P dell’ellisse: a. determinare l’equazione della retta n “perpendicolare all’ellisse” in quel punto; b. determinare le equazioni delle rette 10 FP e 20 FP ; c. verificare che una delle bisettrici degli angoli formati dalle rette 10 FP e 20 FP è la normale

n. Si procede ora alla verifica. a. La retta n è la retta per 0P perpendicolare alla tangente all’ellisse nel punto 0P . Considerato che la tangente ha equazione:

120

20 =+

byy

axx

la perpendicolare avrà equazione:

( ) ( ) 0020

020 =−−− yy

bx

xxby

cioè

0200

200

20

20 =+−−

ayx

byx

ayx

bxy

ovvero 00

20

20

2: yxcyxbxyan =− b. Sia )( 00 xxmyy −=− l’equazione del fascio di rette per 0P . La retta 10 FP ha coefficiente

angolare cx

ym

−=

0

0 e quindi equazione:

0)( 000 =−−− cyycxxy

mentre la retta 20 FP ha coefficiente angolare cx

ym

+=

0

0 e quindi equazione:

0)( 000 =++− cyycxxy c. Le equazioni delle bisettrici degli angoli formati dalle due rette 10 FP e 20 FP risultano

essere:

20

20

000

20

20

000

)(

)(

)(

)(

cxy

cyycxxy

cxy

cycxxy

−+

−−−±=

++

++−

Posto:

202

0202 )( FPcxyd =++= e 10

20

201 )( FPcxyd =−+=

le due bisettrici hanno equazione:

[ ] 0)()()()( 21021210210 =++++−−− ddcyyddcddxxddy

[ ] 0)()()()( 21021210210 =−+−++−+ ddcyyddcddxxddy Moltiplicando entrambe le equazioni per 21 dd + e tenuto conto che:

aFPFPdd 2201021 =+=+ cxdd 022

21 4−=−

si ottengono le equazioni:


[ ] 04444 0222

000 =++−−− cyaycacxxcyx

[ ] 04444 200

200

20

2 =−−− cyxycxxaxya ossia:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−+−

=+−+−

0

02

002

002

02

0222

000

cyxycxyxaxya

yayayxxyx

Dividendo poi per 0

2 ya− la prima e ricordando che 222 bca =− , le equazioni divengono:

11 2

20

020 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

ax

yy

axx

2

0002

02 cyxyxbxya =−

Ora nella prima equazione, tenuto conto che 2

20

2

201

by

ax

=− , si riconosce la tangente e nella

seconda la normale. Pertanto un raggio luminoso i proveniente dal fuoco 1F viene riflesso in un raggio r in modo che:

∧∧

= rnin quindi il raggio r passa per il fuoco 2F .


BIBLIOGRAFIA

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Ghisetti e Corvi.

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G. Zwirner – L. Scaglianti “Pensare la matematica”, vol. 1, Ed. Cedam.

M. Re Fraschini –G. Grazzi “Matematica e tecnica”, tomo A, Ed. Atlas.

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www.math.unifi.it/archimede “Oltre il compasso”

www.astrosurf.com/cosmoweb/sistemasolare/pianeti

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www.scibio.unifi.it/lezioni/atomo.html

“La struttura dell’atomo”

www.itg-rondani.it/dida/Matem/ipermonica/coniche/ellisse/costruz.htm “Costruzioni relative all’ellisse”

www.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/Cabri/

“Costruzioni in Cabri”

PROGETTO L'ellisse con Cabri - Matematicamente · Concetta Guido L'ellisse con Cabri 1 PROGETTO...

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