Lageometriaanaliticanellospazio:punti,vettori,retteepianiesercizi1

prof.D.BenettiRisolvereiseguentiesercizi(lesoluzionisonoallafinedituttigliesercizi).Esercizio1.Determinaduevettoridimodulo5parallelialvettore

!v 1;#2;#−1( ) .

Esercizio 2. Determina due vettori

!w1 e

!w2 paralleli al vettore

!v 1;#−1;#1( ) e tali che !wi − i ,

i =1,#2 ,abbiamodulo3(attenzione:nell’esercizioièunindice,mentre i ilversoredix).Esercizio 3. Determina un vettore di modulo unitario perpendicolare ai vettori

!v 1;#2;#3( ) e

!w 1;#1;#−1( ) .RappresentailtuttosullospaziocartesianoOxyz.Esercizio4.Sonodatiivettori

!v 3;#4;#−2( ) e !w 3;#−3;#2( ) .

i. Determinal’angolotraiduevettorierappresentalisullospaziocartesianoOxyz.ii. Determinalaproiezioneortogonaledelprimovettoresulsecondo.

Esercizio5.Sonodatiivettori!v 2;#0;# 3( ) e !w 0;#0;#−3( ) .

i. Determinamoduloedirezionedeivettori!u =!v ×!we!w×!v .

ii. Determinailvolumedelparallelepipedorettangolodilativx ,uy ewz .

iii. Determinailvaloredelprodottomisto!w×!u( )• !v .

Lageometriaanaliticanellospazio:punti,vettori,retteepianiesercizi2

prof.D.BenettiEsercizio1.Sonodati,nellospazio,itrepunti , ,C −1;#−3;#−4( ) .

i. Determinaperimetro,areaelecoordinatedelbaricentrodeltriangoloABC.ii. Determinal’equazionedelpiano individuatodaipuntiA,BeC.iii. Determinal’equazionedellarettaperpendicolarealpiano passanteperA.

Esercizio2.Sonodatiilpunto eilpiano .

i. DeterminaladistanzadelpuntoPdalpiano .ii. Determinal’equazionedellarettarperpendicolarealpiano passanteperP.iii. Individuaunarettain chesiasghembaconlarettar.

Esercizio3.Sonodatiilpunto eilpiano .

i. Determinalecoordinatecartesianedelpiano .ii. Determinal’equazionedelpiano paralleloalpiano passanteperP.iii. Determinaladistanzatraiduepiani.

Esercizio4.Sonodatiipunti e .

i. Determinalecoordinatecartesianedellarettarpassanteperiduepunti.ii. DeterminacentroeraggiodellasferadidiametroPQ.iii. Determinaladistanzadelpunto dallarettar.

Esercizio5.Sonodatiipunti , e .

i. Determinalecoordinatedelleproiezioni , , deitrepuntisulpianoOxy.ii. Calcolal’areadeltriangolo .iii. Determina l’equazione del luogo geometrico individuato dall’intersezione del pianoOxy

conilpianopassanteperA,BeC.

A 1;#−1;#2( ) B 0;#1;#5( )

ΓΓ

P 1;#−1;#2( ) Γ : x − y+1= 0

ΓΓ

Γ

P 1;#−1;#2( ) Γ :x =−1+ty =−t+ sz =1+t+ s

#

$%

&%

Γ!Γ Γ

P 1;#−1;#2( ) Q 0;#−1;#2( )

R 3;#−3;#3( )

A 1;#3;#2( ) B 2;#1;#3( ) C 3;#2;#1( )!A !B !C

!A !B !C

Lageometriaanaliticanellospazio:punti,vettori,rette,pianiesuperficisfericheesercizi3*

prof.D.Benetti

Esercizio1.Consideralaretta r :

x−y+ z−2=0x−y−2z−1=0

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪.Tratuttiipianipassantiperrdeterminaquello:

i. perpendicolarealpiano Γ : x−5y+6z−3=0 ;

ii. paralleloallaretta

s :x= 4+6ty=−13+3tz=19+t

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

;

iii. perpendicolareallaretta

u :x=2+7ty=−7tz=1−11t

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

.

Esercizio2.Èdatoilpunto

P 2;−2;4( ) .Determina:

i. l’equazionedellasferaaventecentroPetangentealpiano Γ : x−2y+3z−4=0 ;

ii. ladistanzadiPdallaretta r :

x−y−2=0x+ z=0

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪;

iii. Individuaunarettain chesiasghembaconlarettar.Esercizio3.Sonodatiipunti

A 1;1;0( ) e

B 0;1;−1( ) .Dimostracheilluogogeometricodeipunti

P x;y;z( ) taliche AP=2·BP èunasuperficiesfericaS.

i. DeterminacentroCeraggiordiS.ii. VerificaseA,BeCsonoallineati.iii. DeterminaleequazionideipianitangentiallasferaSneisuoipuntidi intersezioneconla

rettapassanteperAeB.Esercizio 4. Determina le equazioni dei piani paralleli al piano Γ : x−2y+2z−2017=0 e cheintersecanolasferaS: x

2 +y2 + z2−10y+6z+9=0 ciascunoinunacirconferenzaaventeraggio3.Esercizio5.Sonodatiipunti

A 1;0;2( ) ,

B 2;1;0( ) e

C 0;0;3( ) .Determina:

i. l’equazionedelpianopassanteperA,BeC;ii. ilcentroeilraggiodellacirconferenzaCpassanteperitrepuntidati;iii. l’equazionedellacirconferenzaC.

*Trattidahttp://www.webalice.it/francesco.daddi/.

Γ

Soluzioni1

1.± 5

61;%2;%−1( ) .

2.2 1;$−1;$1( ) e− 43 1;%−1;%1( ) .

3.± 1

425;&−4;&1( ) .

4.ϑ = arccos 13

174≈10° ; 4;#2;#−2( ) .

5. 6;# π2,# π2

!

"#

$

%& e 6;#−

π2,#− π

2

"

#$

%

&' ;36;36.

Soluzioni2

1. 2pABC ;AABC ; . . r :x =1+ty =−1+2tz =2−t

"

#$

%$

.

2. dist P;"Γ( )= 32 2 . r :x =1+ty =−1−tz =2

"

#$

%$

.Basta individuareuna retta in nonpassanteper !P , la

proiezionediPsulpiano ;Poiché !P −12;$ 12;$2

#

$%

&

'( ,scelgoduepuntinonallineatia !P ,per

esempio A 0;#1;#0( ) e B −1;#0;#1( ) (il valore assegnato a z è casuale). Otteniamo

r : x − y+1= 0y+ z−1= 0

"#$

%$.

3. Γ :2x+ y− z+3= 0 . !Γ :2x+ y− z+1= 0 .dist !Γ ;"Γ( )=dist P;"Γ( )= 63

.

4. r : y+1= 0z−2= 0

"#$

%$. S C 1

2;$−1;$2

"

#$

%

&';$r = 1

2

"

#$$

%

&'' . dist R;"r( )=R !R = 5 , dove è la

proiezionediRsullarettar.5. !A 1;#3;#0( ) , !B 2;#3;#0( ) e !C 3;#2;#0( ) . Posso considerare il problema inR2 visto che i tre

puntihannolamedesimaquota:AA’B’C’=1 . r :x+ y+ z−6= 0z = 0

"#$

%$.

= 7 + 22 +7( ) 2 =3 6 G 0;#−1;#1( ) Γ : x+2y− z+3= 0

Γ

Γ

!R 3;#−1;#2( )

Soluzioni3

1. x−y−z−4=0 ; 18x+9y+3z+14=0 ; 11x−11y+14z+41=0 .

2. x2 +y2 + z2−4x+4y−8z+10=0 ;

dist P;r( )=2 42 3 ; osservo che r∉Γ in quanto si

intersecano solamentenelpunto A 0;−2;0( ) .Basta individuareuna retta sulpianonon

passanteperA.Siprocedequindicomein2.2.

3. AP=2·BP→ x−1( )2 + y−1( )2 + z2 = 4x2 +4 y−1( )2 +4 z+1( )2→

→ x2 +y2 + z2 +2x 3−2y+8z 3+2=0 quindi C −1 3;1;−4 3( ) e r =2 2 3 ; si nota

che rk −1 0 −1−4 3 0 −4 3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟=1 ; 3x+3z+1=0 e x+ z+3=0 .

4. L’eserciziorichiededideterminareipiani !Γ e lacuidistanzadalcentroCdellasferaSè

paria4(perché?).Quindi x−2y+2z−8=0 e x−2y+2z+16=0 .

5. x−3y−z+1=0 ; basta considerare i piani passanti per i punti medi di AB e BCperpendicolaririspettivamenteallerettepassantiperAeBeperBeC.Intersecoallafinequestiduepianiconilpianotrovatonelpuntoprecedenteperottenerelecoordinatedel

centro K −13 3;−1 3;−7 3( ) e quindi il raggio r =CK = 426 3 ; Basta intersecare il

pianotrovatonelprimopuntoconlasuperficiesfericadicentroKeraggior.