Cap. 7 Le retteCap. 7 Le rette

Rette complanariRette complanari

Cosa significa complanare?Cosa significa complanare?

Letteralmente Letteralmente cheche condividono condividono lo stesso piano lo stesso piano

Consideriamo le seguenti rette Consideriamo le seguenti rette r ed sr ed s

Queste due rette giacciono Queste due rette giacciono sullo stesso piano sullo stesso piano

Definiamo complanari due rette che giacciono sullo stesso piano

Rette complanari

Si incontrano in un punto

Non si incontrano mai

Rette incidenti

Rette perpendicolari

Rette parallele

Rette coincidenti

sono

casi particolari

sono

casi particolari

Rette incidentiRette incidenti

Due rette complanari posso Due rette complanari posso incontrarsi in un puntoincontrarsi in un punto

Consideriamo la figura Consideriamo la figura seguenteseguente

Le rette r ed s, appartenenti al Le rette r ed s, appartenenti al piano piano incontrano nel punto P incontrano nel punto P

Due rette appartenenti ad un piano si dicono incidenti se si incontrano

in un punto

Perpendicolare ad una retta data passante Perpendicolare ad una retta data passante per un suo puntoper un suo punto

Consideriamo 2 rette incidenti a Consideriamo 2 rette incidenti a e b che si incontrano in modo e b che si incontrano in modo da dare origine a quattro angoli da dare origine a quattro angoli congruenti nel punto Dcongruenti nel punto D

Chiamiamo queste rette Chiamiamo queste rette perpendicolariperpendicolari

Quale sarà la definizione di Quale sarà la definizione di rette perpendicolari?rette perpendicolari?

Due rette sono perpendicolari quando incontrandosi formano quattro angoli retti

b ┴ a ┴ simbolo di perpendicolarità

Leggiamo che la rette a è perpendicolare alla retta b

Costruzione di una perpendicolareCostruzione di una perpendicolareÈ data una retta r e un punto P È data una retta r e un punto P si di essasi di essa

Prendo un compasso di Prendo un compasso di apertura a piacere e punto su P apertura a piacere e punto su P e faccio due archi sulla retta e e faccio due archi sulla retta e trovo i punti A e Btrovo i punti A e B

Punto su A con apertura di Punto su A con apertura di compasso AB e faccio due compasso AB e faccio due archi sopra e sotto la retta rarchi sopra e sotto la retta r

Punto in B e ripeto l’operazionePunto in B e ripeto l’operazione

I due archi si incontrano nei punti C e I due archi si incontrano nei punti C e DD

La retta s passante per i punti CPD La retta s passante per i punti CPD sarà perpendicolare alla retta r nel sarà perpendicolare alla retta r nel punto Ppunto P

Per rispondere a questa domanda ce ne dobbiamo fare Per rispondere a questa domanda ce ne dobbiamo fare un’altra:un’altra:

Quante volte posso fare l’operazione precedente su una Quante volte posso fare l’operazione precedente su una retta?retta?

Siccome il punto lo posso mettere dove voglio e la retta Siccome il punto lo posso mettere dove voglio e la retta ha infiniti punti le perpendicolari saranno infiniteha infiniti punti le perpendicolari saranno infinite

Data una retta r sul piano alfa Data una retta r sul piano alfa esistono infinite rette esistono infinite rette perpendicolari ad essaperpendicolari ad essa

Perpendicolare ad una retta Perpendicolare ad una retta passante per un puntopassante per un punto

E data una retta E data una retta rr e un punto e un punto PP appartenenti entrambe al piano appartenenti entrambe al piano con P con P non appartenente ad r r et P non appartenente ad r r et P e P r e P r

Quante perpendicolari ad r passanti per P Quante perpendicolari ad r passanti per P posso tracciare?posso tracciare?

La prima domanda che mi posso fare è La prima domanda che mi posso fare è questa: quante rette passano per un questa: quante rette passano per un punto?punto?

Dai postulati di Euclide sappiamo che per un Dai postulati di Euclide sappiamo che per un punto passano infinite rettepunto passano infinite rette

Ora ci possiamo fare la seguente domanda: Ora ci possiamo fare la seguente domanda: quante di queste rette somo perpendicolari ad r?quante di queste rette somo perpendicolari ad r?

È facile vedere che ci sarà una sola retta che È facile vedere che ci sarà una sola retta che partendo da P risulterà perpendicolare ad rpartendo da P risulterà perpendicolare ad r

Perché?Perché?

Solo una taglia r formando angoli congruentiSolo una taglia r formando angoli congruenti

Data una retta r ed un punto P esterno Data una retta r ed un punto P esterno ad essa e appartenente al medesimo ad essa e appartenente al medesimo piano, dal punto P posso tracciare una piano, dal punto P posso tracciare una ed una sola retta perpendicolare ad red una sola retta perpendicolare ad r

Piede della perpendicolareConsideriamo una retta r e una sua perpendicolare

Le due rette si incontreranno nel punto P

Tale punto prende il nome di piede della perpendicolare

Si dice piede della perpendicolare il punto in cui retta e perpendicolare si incontrano

r

s

P

Rette paralleleConsideriamo due rette r e s appartenente ad un piano e non eventi alcun punto in comune

Chiamiamo queste due rette parallele

r

s

Due rette si dicono parallele se sono complanari e se non hanno alcun punto in comune

Dire che due rette parallele non hanno alcun punto in comune non è una definizione perché per le rette sghembe vale la stessa cosa, quindi la proposizione non ha un significato univoco!!!!!

Retta parallela ad una retta data e passante per un punto

E data una retta r e un punto P appartenenti entrambe al piano alfa E data una retta r e un punto P appartenenti entrambe al piano alfa con P non appartenente ad r r et P con P non appartenente ad r r et P ε e P e P ε r rQuante parallele ad r passanti per P posso tracciare?Quante parallele ad r passanti per P posso tracciare?InfiniteInfiniteDelle infinite rette passanti per P solo una non incontrerà la retta rDelle infinite rette passanti per P solo una non incontrerà la retta r

Data una retta r e un punto P esterno Data una retta r e un punto P esterno ad essa esiste una ed una sola retta ad essa esiste una ed una sola retta parallela ad r passante per Pparallela ad r passante per P

r

Ps

Rette coincidentiConsideriamo la retta r appartenente al piano Immaginiamo ora di disegnare si di essa un’altra retta s

Cosa possiamo vedere?

Le due rette toccano esattamente gli stessi punti del piano

In linguaggio specifico abbiamo che i punti dell’una sono anche punti dell’altra

Due rette sono coincidenti se condividono gli stessi punti del piano

s

Proiezione di un punto su una rettaProiettare significa buttare avanti una cosa, potremmo pensare di lanciare P contro una retta, ma in che modo?Consideriamo una retta r e un punto P sterno ad essa appartenenti entrambi al piano Conduciamo la perpendicolare s ad r passante per il punto PTale retta incontra la retta R nel punto OIl punto O è la proiezione di P su r

r

P

s

O

La proiezione di un punto su una retta è il punto in cui la sua perpendicolare passante per il punto taglia la retta

Proiezione di un segmento su una retta: premesse

Siccome il segmento contiene infiniti punti per proiettarlo io doveri compiere infinite volte l’operazione precedente

Questo è assurdo

La successiva diapositiva farà vedere come risolvere il problema

Proiezione di un segmento su una retta

Consideriamo una retta r e una segmento P appartenenti entrambi al piano Per proiettare in segmento sulla retta basta proiettare i suoi estremi sulla retta r

Troviamo i punti A’ e B’

Il segmento A’B’ sarà la proiezione di AB su r

r

AB

A’ B’

Per proiettare un segmento su una retta basta trovare le proiezioni dei suoi due punti estremi e prendere in considerazione il segmento risultante

Punto medio di un segmentoMedio significa ciò che è nel mezzo tra due estremi

Riferito ad un segmento sarà quel punto che è equidistante (cioè che ha la stessa distanza) dagli estremi

Il punto medio di un segmento è quel punto che lo divide in due parti congruentiA B

M

Asse di un segmentoConsideriamo il segmento AB e sia M il suo punto medioConsideriamo ora la perpendicolare ad AB passante per MChiamiamo questa perpendicolare asse del segmentoL’asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti equidistanti dai suoi estremi http://www.math.it/cabri/asse.htm

Luogo geometricoLuogo geometrico

Ma che bestia è…….Ma che bestia è…….

Il luogo geometrico è dato dall’insieme dei Il luogo geometrico è dato dall’insieme dei punti del piano che hanno una qualche punti del piano che hanno una qualche proprietàproprietà

Es. punti equidistanti dai vertici di un Es. punti equidistanti dai vertici di un segmentosegmento

Rette sghembe

Consideriamo un piano una retta ad esso complanare e una retta s che incontra il pano nel punto P

Com’è la retta s rispetto al piano

Si tratta di una retta incidente

Come sono le rette r ed s

Hanno punti in comune?

No allora sono parallele? No!

È stato dimostrato che esistono rette che non hanno punti in comune e e che non sono paralleleche non sono parallele

r

s

Due rette che non hanno punti in comune e che appartengono a piani diversi si dicono sghembe

P

Fascio di rette

Esistono due tipi di fasci di rette

Il fascio di rette proprio

Il fascio di rette improprio

Fascio proprio di retteFascio proprio di retteConsideriamo un punto P in un Consideriamo un punto P in un piano piano Come sappiamo per il punto P del Come sappiamo per il punto P del piano passano infinite rettepiano passano infinite rette

Se ci troviamo in una situazione Se ci troviamo in una situazione zerodimensionale quante rette zerodimensionale quante rette passano per il punto P?passano per il punto P?

Se ci troviamo in una situazione Se ci troviamo in una situazione unidimensionale quante rette unidimensionale quante rette passano per il punto P?passano per il punto P?

P

Definiamo fascio proprio di rette l’insieme delle rette passanti per il punto P

Fascio improprio di retteFascio improprio di retteConsideriamo una retta r appartenente al piano Consideriamo una retta r appartenente al piano Come sappiamo esistono infinite rette parallele ad rCome sappiamo esistono infinite rette parallele ad r

Si definisce fascio improprio di rette Si definisce fascio improprio di rette l’insieme delle infinite rette parallele fra l’insieme delle infinite rette parallele fra loroloro

DistanzaConsideriamo due oggetti A e B

Possiamo unirli con varie linee di diversa lunghezza

Nessuna di queste è la distanza

Proviamo a tracciare la linea più corta possibile

Essa risulterà immancabilmente un segmento

Definiamo distanza fra due oggetti la lunghezza del segmento che li unisce

AB

Dal punto di vista della lunghezza delle varie linee che caratteristica avrà questo segmento?

Distanza di un punto da una rettaDistanza di un punto da una rettaConsideriamo una retta r e un punto P sterno ad essa appartenenti entrambi al piano Dal punto posso tracciare diversi segmenti che arrivano sulla retta r

Ancora una volta dobbiamo trovare quello più piccolo per avere la distanza

Conduciamo la perpendicolare ad r passante per il punto P

Tale retta incontra la retta R nel punto O

La distanza di P da r è data dalla lunghezza del segmento PO

r

P

s

O

La distanza di un punto da una retta è data dalla lunghezza del segmento perpendicolare che unisce il punto alla retta

Distanza fra due rette paralleleDistanza fra due rette paralleleConsideriamo due rette parallele r Consideriamo due rette parallele r ed s appartenenti al piano ed s appartenenti al piano Tracciamo la perpendicolare alla Tracciamo la perpendicolare alla retta r ed sretta r ed s

Tale retta taglierà le due rette Tale retta taglierà le due rette parallele nei punti A e Bparallele nei punti A e B

Si dice distanza fra le due rette la Si dice distanza fra le due rette la lunghezza del segmento AB lunghezza del segmento AB perché è perpendicolare ad perché è perpendicolare ad entrambe le retteentrambe le rette

r

sA

B

Si definisce distanza di due rette parallele la lunghezza del segmento perpendicolare alle rette date e che ha come suoi estremi punti appartenenti alle due rette

t

Distanza fra rette parallele

Rette parallele tagliate da una trasversaleRette parallele tagliate da una trasversaleConsideriamo due rette r ed s Consideriamo due rette r ed s tagliate da una trasversale t e tagliate da una trasversale t e appartenenti al piano appartenenti al piano Si formano 8 angoli numerati da Si formano 8 angoli numerati da 1 a 81 a 8

Sapendo che gli angoli opposti Sapendo che gli angoli opposti al vertice sono congruenti quali al vertice sono congruenti quali saranno gli angoli uguali?saranno gli angoli uguali?

Gli angoli 1, 2, 6, 8 sono esterniGli angoli 1, 2, 6, 8 sono esterni

Gli angoli 3, 4, 5, 6 sono interniGli angoli 3, 4, 5, 6 sono interni

Le coppie 3,6 e 4,5 si trovano Le coppie 3,6 e 4,5 si trovano uno da una parte e una dall’altra uno da una parte e una dall’altra perciò sono alterni interni e sono perciò sono alterni interni e sono formate da angoli congruentiformate da angoli congruenti

Contributi esterni

r

st

1 2

3 4

5 67 8

Le coppie 1,8 e 2,7 si trovano uno da una parte e una dall’altra perciò sono alterni esterni e sono formate da angoli congruenti

Gli angoli che stanno dalla stessa Gli angoli che stanno dalla stessa parte di t si dicono coniugatiparte di t si dicono coniugati

I gruppi di angoli coniugati sono I gruppi di angoli coniugati sono 1, 3, 5, 7 e 2, 4, 6, 8.1, 3, 5, 7 e 2, 4, 6, 8.

Le coppie 3,5 e 4,6 si dicono Le coppie 3,5 e 4,6 si dicono coniugati interniconiugati interni

Le coppie 1,7 e 2,8 si dicono Le coppie 1,7 e 2,8 si dicono coniugati esterniconiugati esterni

La caratteristica delle coppie La caratteristica delle coppie coniugate è quella di essere coniugate è quella di essere supplementarisupplementari

Quando due angoli si dicono Quando due angoli si dicono supplementari?supplementari?

Gli angoli che occupano posizioni Gli angoli che occupano posizioni analoghe si dicono corrispondentianaloghe si dicono corrispondenti

r

st

1 2

3 4

5 67 8

Sono corrispondenti le seguenti coppie: 1,5;2,6; 3,7 e 4,8Le coppie corrispondenti sono formate da angoli congruenti

Quello che abbiamo detto vale per tutte le coppie di rette tagliate da una trasversale?

Riassumiamo Riassumiamo

Le coppie di angoli Le coppie di angoli alterni interni e alterni alterni interni e alterni esterni sono congruentiesterni sono congruenti

Le coppie coniugate Le coppie coniugate interne ed esterne sono interne ed esterne sono supplementarisupplementari

Le coppie di angoli Le coppie di angoli corrispondenti sono corrispondenti sono congruenticongruenti

r

st

1 2

3 4

5 67 8

… … e se non sono parallele?e se non sono parallele?

……. A voi l’interpretazione . A voi l’interpretazione della figuradella figura

Aguzzate l’ingegno e datevi Aguzzate l’ingegno e datevi da fareda fare

Come sono gli angoli alterni Come sono gli angoli alterni interni o esterni?interni o esterni?

Come sono gli angoli Come sono gli angoli corrispondenti?corrispondenti?

Come sono gli angoli Come sono gli angoli coniugati interni o esterniconiugati interni o esterni

Quali angoli sono congruenti Quali angoli sono congruenti e perchée perché

r

st

1 2

3 4

5 67 8

Quali angoli sono supplementari e perché?

Definizione di rette paralleleDefinizione di rette parallele

In base a quanto detto e compreso In base a quanto detto e compreso possiamo dire che:possiamo dire che:

Due rette si dicono parallele se Due rette si dicono parallele se tagliate da una trasversale formanotagliate da una trasversale formano coppie di angoli alterni interni e coppie di angoli alterni interni e alterni esterni congruenti; alterni esterni congruenti; coppie coppie coniugate interne ed esterne coniugate interne ed esterne supplementari supplementari coppie di angoli coppie di angoli corrispondenti congruenticorrispondenti congruenti