Formule goniometriche

Angoli associati

Due angoli orientati si dicono: complementari quando…. supplementari quando… opposti quando … esplementari quando….

Si chiamano “angoli associati” all’angolo alfa gli angoli le cui funzioni goniometriche sono complessivamente uguali, in valore assoluto, a quelle dell’angolo alfa.

O A

M

N

H

K

AOM=NOB=B

AON=90°-

Le coordinate dei punti sono:

)90(),90cos(

),(cos

senN

senM

I triangoli HOM, NOK sono congruenti, quindi:

MH=NK

OH=OK

Allora:

cos)90(

)90cos(

senOHOK

senMHNK

tgsen

senctg

ctgsen

sentg

cos)90(

)90cos()90(

cos

)90cos(

)90()90(

Costruendo altri triangoli congruenti al triangolo MOH, si ottengono le altre formule degli angoli associati

tgctg

ctgtg

sen

sen

)90(

)90(

)90cos(

cos)90(

ctgctg

tgtg

sensen

)180(

)180(

cos)180cos(

)180(

ctgctg

tgtg

sensen

)180(

)180(

cos)180cos(

)180(

tgctg

ctgtg

sen

sen

)270(

)270(

)270cos(

cos)270(

tgctg

ctgtg

sen

sen

)270(

)270(

)270cos(

cos)270(

ctgctgctg

tgtgtg

sensensen

)()360(

)()360(

cos)cos()360cos(

)()360(

Formule di addizione e sottrazione

A

B

PQ

O AOB=

POA =

QOA=

I punti hanno le seguenti coordinate:

A (1,0)

P (cos , sen )

B (cos( ) , sen ( ))

Q (cos , sen )

La corda AB sottende l’angolo BOA =

La corda PQ sottende l’angolo QOP =

PQ = AB PQ 2 = AB 2

)coscos1(2

2

coscos2coscos

)()cos(cos

2

222

222

sensen

sensensen

sen

sensenPQ

)cos(12

)(

)cos(21)(cos

)(1)cos(

2

2

222

sen

senAB

Essendo

sostituendo si ottiene:

=

PQ 2 = AB 2

)coscos1(2 sensen )cos(12

Semplificando:

=

Quindi:

sensen coscos1 )cos(1

sensen coscos)cos(

Dalla formula di sottrazione del coseno si ottiene la formula di addizione del coseno:

sensen

sensen

coscos

)())cos(cos

)(cos)cos(

Dalla formula precedente si ottiene la formula di addizione del seno:

coscos

)2

(cos)2

cos(

)2

(cos

)(2

cos)(

sensen

sensen

sen

Analogamente ottengo la formula di sottrazione del seno:

coscos

)(cos)cos(

)()(

sensen

sensen

sensen

Formule di addizione e sottrazione si hanno anche per la tangente:

tgtg

tgtg

sentg

1

)cos(

)()(

tgtg

tgtg

tgtg

tgtg

tgtg

1)(1

)(

)()(

Formule di duplicazione

cos2

coscos

)(2

sen

sensen

sensen

1cos2

21cos

coscos

)cos(2cos

2

222

sensen

sensen

21

2)(2

tg

tgtgtg

Formule di bisezione

2

cos1

2

22

2

2cos1

2

2cos1

212cos

2

2

sen

sen

sen

sen

2

cos1

2cos

22

2

12coscos

2

12coscos

1cos22cos

2

2

cos1

cos1

2cos

22

sentg

Formule parametriche

22cos

22cos

22cos

22coscos

22

22

22

sen

sen

sen

2

2

2

2

22

22

1

1

21

21

22cos

22cos

t

t

tg

tg

sen

sen

2

2

2

22

1

1

21

22

22cos

2cos

22

2cos

22

22

t

t

tg

tg

sen

sen

sen

sensen

2

2

2

2

1

2111

2

cos

t

ttttt

sentg

Formule di prostaferesi

Sommo membro a membro le due relazioni:

sensen

sensen

coscos)cos(

coscos)cos(

coscos2)cos()cos(

Sostituisco:

2

2qp

qp

risolvendo

q

p

Ottengo:

2cos

2cos2coscos

qpqpqp

Sottraendo membro a membro le due relazioni iniziali, ottengo:

Con le sostituzioni precedenti si ottiene:

sensen2)cos()cos(

222coscos

qpsenqp

senqp

Procedendo in modo analogo si ha:

22cos2

log2

cos2

2

qpsenqp

senqsenp

amenteana

qpqpsensenqsenp

Formule di Werner

)()(2

1cos

)()(2

1cos

)cos()cos(2

1

)cos()cos(2

1coscos

sensensen

sensensen

sensen