Formule goniometriche. Angoli associati Due angoli orientati si dicono: complementari quando…....
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Formule goniometriche
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Formule goniometriche
Angoli associati
Due angoli orientati si dicono: complementari quando…. supplementari quando… opposti quando … esplementari quando….
Si chiamano “angoli associati” all’angolo alfa gli angoli le cui funzioni goniometriche sono complessivamente uguali, in valore assoluto, a quelle dell’angolo alfa.
O A
M
N
H
K
AOM=NOB=B
AON=90°-
Le coordinate dei punti sono:
)90(),90cos(
),(cos
senN
senM
I triangoli HOM, NOK sono congruenti, quindi:
MH=NK
OH=OK
Allora:
cos)90(
)90cos(
senOHOK
senMHNK
tgsen
senctg
ctgsen
sentg
cos)90(
)90cos()90(
cos
)90cos(
)90()90(
Costruendo altri triangoli congruenti al triangolo MOH, si ottengono le altre formule degli angoli associati
tgctg
ctgtg
sen
sen
)90(
)90(
)90cos(
cos)90(
ctgctg
tgtg
sensen
)180(
)180(
cos)180cos(
)180(
ctgctg
tgtg
sensen
)180(
)180(
cos)180cos(
)180(
tgctg
ctgtg
sen
sen
)270(
)270(
)270cos(
cos)270(
tgctg
ctgtg
sen
sen
)270(
)270(
)270cos(
cos)270(
ctgctgctg
tgtgtg
sensensen
)()360(
)()360(
cos)cos()360cos(
)()360(
Formule di addizione e sottrazione
A
B
PQ
O AOB=
POA =
QOA=
I punti hanno le seguenti coordinate:
A (1,0)
P (cos , sen )
B (cos( ) , sen ( ))
Q (cos , sen )
La corda AB sottende l’angolo BOA =
La corda PQ sottende l’angolo QOP =
PQ = AB PQ 2 = AB 2
)coscos1(2
2
coscos2coscos
)()cos(cos
2
222
222
sensen
sensensen
sen
sensenPQ
)cos(12
)(
)cos(21)(cos
)(1)cos(
2
2
222
sen
senAB
Essendo
sostituendo si ottiene:
=
PQ 2 = AB 2
)coscos1(2 sensen )cos(12
Semplificando:
=
Quindi:
sensen coscos1 )cos(1
sensen coscos)cos(
Dalla formula di sottrazione del coseno si ottiene la formula di addizione del coseno:
sensen
sensen
coscos
)())cos(cos
)(cos)cos(
Dalla formula precedente si ottiene la formula di addizione del seno:
coscos
)2
(cos)2
cos(
)2
(cos
)(2
cos)(
sensen
sensen
sen
Analogamente ottengo la formula di sottrazione del seno:
coscos
)(cos)cos(
)()(
sensen
sensen
sensen
Formule di addizione e sottrazione si hanno anche per la tangente:
tgtg
tgtg
sentg
1
)cos(
)()(
tgtg
tgtg
tgtg
tgtg
tgtg
1)(1
)(
)()(
Formule di duplicazione
cos2
coscos
)(2
sen
sensen
sensen
1cos2
21cos
coscos
)cos(2cos
2
222
sensen
sensen
21
2)(2
tg
tgtgtg
Formule di bisezione
2
cos1
2
22
2
2cos1
2
2cos1
212cos
2
2
sen
sen
sen
sen
2
cos1
2cos
22
2
12coscos
2
12coscos
1cos22cos
2
2
cos1
cos1
2cos
22
sentg
Formule parametriche
22cos
22cos
22cos
22coscos
22
22
22
sen
sen
sen
2
2
2
2
22
22
1
1
21
21
22cos
22cos
t
t
tg
tg
sen
sen
2
2
2
22
1
1
21
22
22cos
2cos
22
2cos
22
22
t
t
tg
tg
sen
sen
sen
sensen
2
2
2
2
1
2111
2
cos
t
ttttt
sentg
Formule di prostaferesi
Sommo membro a membro le due relazioni:
sensen
sensen
coscos)cos(
coscos)cos(
coscos2)cos()cos(
Sostituisco:
2
2qp
qp
risolvendo
q
p
Ottengo:
2cos
2cos2coscos
qpqpqp
Sottraendo membro a membro le due relazioni iniziali, ottengo:
Con le sostituzioni precedenti si ottiene:
sensen2)cos()cos(
222coscos
qpsenqp
senqp
Procedendo in modo analogo si ha:
22cos2
log2
cos2
2
qpsenqp
senqsenp
amenteana
qpqpsensenqsenp
Formule di Werner
)()(2
1cos
)()(2
1cos
)cos()cos(2
1
)cos()cos(2
1coscos
sensensen
sensensen
sensen
