CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 1

UNITArsquo X

LA FORMA DELLA TERRA

CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 2

LA FORMA DELLA TERRA

Lo scopo di una carta geografica egrave quello di rappresentare sul piano aree piugrave o

meno estese della superficie terrestre che in realtagrave non egrave affatto piana ne

regolare La carta geografica deve comunque restituire in modo realistico ed

efficace quello che si vuole rappresentare Ciograve

egrave difficoltoso in quanto la superficie della

Terra ha una forma irregolare cosi come egrave

irregolare la distribuzione delle masse

(materia) che la compongono Per poter

rappresentare la superficie fisica della Terra egrave

necessario assumere una forma ideale tale da

poter essere il piugrave possibile rappresentativa e

trattabile in modo semplice e lineare sia

geometricamente che matematicamente

Immaginiamo che il nostro pianeta sia

costituito da una massa omogenea e che

abbia una forma sferica in rotazione attorno

ad un asse passante per i poli Consideriamo

un punto sulla superficie (fig 1) questo egrave

sottoposto alla forza newtoniana Fn di

intensitagrave costante e diretta verso il

centro della Terra e alla forza

centrifuga Fc dovuta alla rotazione

terrestre e di intensitagrave proporzionale

alla distanza del punto dallrsquoasse di

rotazione La risultante di queste due

forze egrave la forza di gravita Fg che risulta

massima ai poli e minima allrsquoequatore

Lrsquoinsieme delle forze Fg viene

chiamato campo gravitazionale

terrestre Nella realtagrave la superficie

terrestre assume sotto lrsquoazione del

campo gravitazionale una forma non

sferica ma leggermente schiacciata ai

poli dove Fg assume il valore massimo

La direzione per ogni punto della

superficie terrestre della forza di gravita

viene detta verticale Se ci si sposta

lungo tale verticale la forza di gravita si

modifica in direzione e valore ne

consegue che la verticale non ha un

andamento rettilineo ma leggermente

curvato Le superfici che in ogni punto

della superficie terrestre sono

perpendicolari alla verticale in quel

punto sono chiamate superfici

RICORDIAMO CHE

forza la forza egrave un vettore Si

definisce vettore unrsquo entitagrave

matematica che viene

rappresentato graficamente con un

segmento orientato La lunghezza

di tale segmento ne indica lrsquo

intensitagrave la direzione egrave data dalla

retta su cui giace ed il verso di

azione del vettore egrave dato dalla

freccia

Somma di vettori la somma di

due vettori che hanno direzioni

differenti si effettua mediante la

regola del parallelogramma Il

vettore somma chiamasi

Risultante R e corrisponde alla

diagonale del parallelogramma

costruito

CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 3

equipotenziali o di livello Poicheacute la superficie libera di un liquido costituisce una

superficie di livello verrebbe spontaneo prolungare idealmente la superficie delle

acque marine supposte in quiete al disotto dei continenti per fissare cosigrave una

superficie matematica della che fra le tante superfici di

livello sarebbe la piugrave adatta a rappresentarne la forma

geometrica Di fatto si sa che le acque marine non sono

in equilibrio sia per movimenti irregolari dovuti a venti o

ad altre cause meteorologiche sia per le oscillazioni

periodiche che vanno sotto il nome di maree dipendenti

dallazione attrattiva principale della luna e del sole sulle

masse oceaniche ci si riferisce allora al suo livello

medio Detta superficie viene chiamata Geoide ( vedi

fig2 )e si definisce come

APPROFONDIAMO

Livello medio del marein ogni punto dove sia possibile porre uno strumento fisso capace di fornire l

altezza del livello dellacqua al momento dellosservazione (idrometri e flussometri) oppure che descrive le

oscillazioni altimetriche delle maree (mareografi) si egrave in grado di fornire il valore del livello medio del mare

Anche se egrave stato dimostrato che le varie misurazioni effettuate in luoghi diversi del pianeta hanno condotto a

valori discordanti del livello medio del mare va comunque detto che con laffinarsi dei metodi di

osservazione e degli strumenti impiegati alcuni notevoli disaccordi trovati tra il Mediterraneo il mar Baltico

e lOceano Atlantico siano adesso quasi ridotti allordine di grandezza dellerrore medio delle livellazioni che

danno tali dislivelli e quindi accettabili ai fini e agli scopi preposti

Mareografo strumento che consente di misurare il livello medio del mare attraverso osservazioni

statistiche protratte per lunghi periodi temporali (almeno un secolo)Egrave costituito da un tubo verticale

provvisto di un galleggiante i cui movimenti dovuti alle variazioni di livello dellrsquoacqua vengono trasmessi a un

apposito registratore In Italia il mareografo piugrave antico dunque quello piugrave affidabile egrave quello di Genova

Nellrsquoambito topografico i mareografi forniscono punti di partenza per le operazioni di livellazione in grado

di fornire le quote assolute dei punti rilevati

Superficie equipotenziale posta al livello medio del

mare considerato privo di perturbazioni e

immaginata al di sotto dei continenti in modo da

mantenersi sempre perpendicolare alle verticali

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LA FORMA DELLA TERRA

Lo scopo di una carta geografica egrave quello di rappresentare sul piano aree piugrave o

meno estese della superficie terrestre che in realtagrave non egrave affatto piana ne

regolare La carta geografica deve comunque restituire in modo realistico ed

efficace quello che si vuole rappresentare Ciograve

egrave difficoltoso in quanto la superficie della

Terra ha una forma irregolare cosi come egrave

irregolare la distribuzione delle masse

(materia) che la compongono Per poter

rappresentare la superficie fisica della Terra egrave

necessario assumere una forma ideale tale da

poter essere il piugrave possibile rappresentativa e

trattabile in modo semplice e lineare sia

geometricamente che matematicamente

Immaginiamo che il nostro pianeta sia

costituito da una massa omogenea e che

abbia una forma sferica in rotazione attorno

ad un asse passante per i poli Consideriamo

un punto sulla superficie (fig 1) questo egrave

sottoposto alla forza newtoniana Fn di

intensitagrave costante e diretta verso il

centro della Terra e alla forza

centrifuga Fc dovuta alla rotazione

terrestre e di intensitagrave proporzionale

alla distanza del punto dallrsquoasse di

rotazione La risultante di queste due

forze egrave la forza di gravita Fg che risulta

massima ai poli e minima allrsquoequatore

Lrsquoinsieme delle forze Fg viene

chiamato campo gravitazionale

terrestre Nella realtagrave la superficie

terrestre assume sotto lrsquoazione del

campo gravitazionale una forma non

sferica ma leggermente schiacciata ai

poli dove Fg assume il valore massimo

La direzione per ogni punto della

superficie terrestre della forza di gravita

viene detta verticale Se ci si sposta

lungo tale verticale la forza di gravita si

modifica in direzione e valore ne

consegue che la verticale non ha un

andamento rettilineo ma leggermente

curvato Le superfici che in ogni punto

della superficie terrestre sono

perpendicolari alla verticale in quel

punto sono chiamate superfici

RICORDIAMO CHE

forza la forza egrave un vettore Si

definisce vettore unrsquo entitagrave

matematica che viene

rappresentato graficamente con un

segmento orientato La lunghezza

di tale segmento ne indica lrsquo

intensitagrave la direzione egrave data dalla

retta su cui giace ed il verso di

azione del vettore egrave dato dalla

freccia

Somma di vettori la somma di

due vettori che hanno direzioni

differenti si effettua mediante la

regola del parallelogramma Il

vettore somma chiamasi

Risultante R e corrisponde alla

diagonale del parallelogramma

costruito

CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 3

equipotenziali o di livello Poicheacute la superficie libera di un liquido costituisce una

superficie di livello verrebbe spontaneo prolungare idealmente la superficie delle

acque marine supposte in quiete al disotto dei continenti per fissare cosigrave una

superficie matematica della che fra le tante superfici di

livello sarebbe la piugrave adatta a rappresentarne la forma

geometrica Di fatto si sa che le acque marine non sono

in equilibrio sia per movimenti irregolari dovuti a venti o

ad altre cause meteorologiche sia per le oscillazioni

periodiche che vanno sotto il nome di maree dipendenti

dallazione attrattiva principale della luna e del sole sulle

masse oceaniche ci si riferisce allora al suo livello

medio Detta superficie viene chiamata Geoide ( vedi

fig2 )e si definisce come

APPROFONDIAMO

Livello medio del marein ogni punto dove sia possibile porre uno strumento fisso capace di fornire l

altezza del livello dellacqua al momento dellosservazione (idrometri e flussometri) oppure che descrive le

oscillazioni altimetriche delle maree (mareografi) si egrave in grado di fornire il valore del livello medio del mare

Anche se egrave stato dimostrato che le varie misurazioni effettuate in luoghi diversi del pianeta hanno condotto a

valori discordanti del livello medio del mare va comunque detto che con laffinarsi dei metodi di

osservazione e degli strumenti impiegati alcuni notevoli disaccordi trovati tra il Mediterraneo il mar Baltico

e lOceano Atlantico siano adesso quasi ridotti allordine di grandezza dellerrore medio delle livellazioni che

danno tali dislivelli e quindi accettabili ai fini e agli scopi preposti

Mareografo strumento che consente di misurare il livello medio del mare attraverso osservazioni

statistiche protratte per lunghi periodi temporali (almeno un secolo)Egrave costituito da un tubo verticale

provvisto di un galleggiante i cui movimenti dovuti alle variazioni di livello dellrsquoacqua vengono trasmessi a un

apposito registratore In Italia il mareografo piugrave antico dunque quello piugrave affidabile egrave quello di Genova

Nellrsquoambito topografico i mareografi forniscono punti di partenza per le operazioni di livellazione in grado

di fornire le quote assolute dei punti rilevati

Superficie equipotenziale posta al livello medio del

mare considerato privo di perturbazioni e

immaginata al di sotto dei continenti in modo da

mantenersi sempre perpendicolare alle verticali

CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 3

equipotenziali o di livello Poicheacute la superficie libera di un liquido costituisce una

superficie di livello verrebbe spontaneo prolungare idealmente la superficie delle

acque marine supposte in quiete al disotto dei continenti per fissare cosigrave una

superficie matematica della che fra le tante superfici di

livello sarebbe la piugrave adatta a rappresentarne la forma

geometrica Di fatto si sa che le acque marine non sono

in equilibrio sia per movimenti irregolari dovuti a venti o

ad altre cause meteorologiche sia per le oscillazioni

periodiche che vanno sotto il nome di maree dipendenti

dallazione attrattiva principale della luna e del sole sulle

masse oceaniche ci si riferisce allora al suo livello

medio Detta superficie viene chiamata Geoide ( vedi

fig2 )e si definisce come

APPROFONDIAMO

Livello medio del marein ogni punto dove sia possibile porre uno strumento fisso capace di fornire l

altezza del livello dellacqua al momento dellosservazione (idrometri e flussometri) oppure che descrive le

oscillazioni altimetriche delle maree (mareografi) si egrave in grado di fornire il valore del livello medio del mare

Anche se egrave stato dimostrato che le varie misurazioni effettuate in luoghi diversi del pianeta hanno condotto a

valori discordanti del livello medio del mare va comunque detto che con laffinarsi dei metodi di

osservazione e degli strumenti impiegati alcuni notevoli disaccordi trovati tra il Mediterraneo il mar Baltico

e lOceano Atlantico siano adesso quasi ridotti allordine di grandezza dellerrore medio delle livellazioni che

danno tali dislivelli e quindi accettabili ai fini e agli scopi preposti

Mareografo strumento che consente di misurare il livello medio del mare attraverso osservazioni

statistiche protratte per lunghi periodi temporali (almeno un secolo)Egrave costituito da un tubo verticale

provvisto di un galleggiante i cui movimenti dovuti alle variazioni di livello dellrsquoacqua vengono trasmessi a un

apposito registratore In Italia il mareografo piugrave antico dunque quello piugrave affidabile egrave quello di Genova

Nellrsquoambito topografico i mareografi forniscono punti di partenza per le operazioni di livellazione in grado

di fornire le quote assolute dei punti rilevati

Superficie equipotenziale posta al livello medio del

mare considerato privo di perturbazioni e

immaginata al di sotto dei continenti in modo da

mantenersi sempre perpendicolare alle verticali

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ONDULAZIONI GEOIDICHE ED ELLISSOIDE DI ROTAZIONE

Le differenti densitagrave delle masse terrestri determinano variazioni della direzione della

forza di gravitagrave dunque anche lievi ondulazioni sulla superficie del geoide dandogli

lrsquoaspetto di una figura irregolare Se immaginassimo di tagliare il geoide con piani

aventi una qualunque giacitura verrebbero generate sezioni il cui contorno sarebbe

costituito da linee chiuse con andamento irregolare tutte diverse tra loro e non

equiparabili a figure elementari come cerchi o ellissi Nella scala della figura queste

ondulazioni non sarebbero visibili esse pertanto sono state enfatizzate per chiarire

meglio il concetto Tuttavia il trattamento matematico del geoide (indispensabile

nelle operazioni planimetriche per creare la corrispondenza tra i punti sul terreno e le

loro proiezioni) egrave molto complesso e non utilizzabile nel contesto operativo Effettuare misure e calcoli sul Geoide e una operazione complessa Si e quindi deciso

a livello internazionale di adottare ma solo per le misure di tipo planimetrico una

superficie di riferimento molto piugrave semplice lrsquoEllissoide di rotazione terrestre Ersquo

la superficie generata dalla rotazione di unrsquoellisse (detta ellisse meridiana di semiassi

a b) attorno allrsquoasse minore (asse polare)

Vantaggi

- approssima bene (con

appropriati valori dei parametri

dimensionali) la forma della Terra

- egrave abbastanza semplice da

descrivere matematicamente

PARAMETRI DELLrsquo ELLISSOIDE

Lrsquoellissoide risulta definito

assegnando i valori dei due semiassi a b oppure un semiasse e uno dei seguenti

parametri adimensionali a cui si dagrave il nome rispettivamente di schiacciamento ed

eccentricitagrave

s =

( schiacciamento)

e =

( eccentricitagrave)

Ondulazioni

del geoide

CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 5

In Europa lrsquoellissoide utilizzato egrave quello di Hayford che presenta i seguenti valori dei

parametri

a = 6 378 388 m s=1297

Di seguito egrave riportata una tabella con i parametri degli ellissoidi piugrave utilizzati Per la

determinazione dei parametri egrave stato possibile utilizzare metodi geometrici basati su

misure a terra e piugrave recentemente osservazioni e rilievi con satelliti

anno

Denominazione

a (m)

s

1738 Bauguer Maupertuis 6377300 1 2168

1810 Delambre 6376985 1 3086

1830 Everest 6377276 1 3008

1841 Bessel 6377397 1 2992

1866 Clarke I 63782064 1 294978 698 2

1868 Fiscer 6378338 1 2885

1880 Clarke II 6378249145 1 293465

1891 Harkness 6377972 1 3000

1906 Helmert 6378140 1 2983

1924 Hayford 6378388 1 2970

1942 Krassowsky 6378245 1 2983

1948 Jeffreys 6378099 1 2971

1956 Army Map Service (USA) 6378260 1 2970

1965 Australia 6378160 1 29825

1972 WGS72 6378137 1 29826

1984 WGS84 6378137 1 298257 2

1980 ED80 6378137 1 298257 222 101

ESERCIZIO GUIDATO

Determinare il semiasse minore e lrsquo eccentricitagrave dellrsquo ellissoide di Bessel

Sapendo che s =

ricavo b con la formula inversa ed ottengo b=a(1-s)

b= 6377397 (1- 1 2992)= 6 356 082171 m

e =

=

= 0081690398

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COORDINATE GEOGRAFICHE

LrsquoEllissoide di rotazione e una superficie che si puograve considerare formata da due

distinte famiglie di curve i paralleli (circonferenze) e i meridiani (semi ellissi) Tali

curve si intersecano tra loro ad angolo retto La posizione di un punto sullrsquoEllissoide

puograve essere determinata fornendo il valore del parallelo e del meridiano a cui

appartiene Per individuare il parallelo saragrave sufficiente conoscere la latitudine

geografica cioegrave lrsquoangolo φ formato dalla normale per il punto P ( vedi figura) e il

piano equatoriale Tale angolo egrave positivo se il punto si trova tra lrsquoequatore e il polo

nord negativo se si trova tra equatore e polo sud Il meridiano egrave invece individuato

dalla longitudine geografica cioegrave dallrsquoangolo λ che si forma tra il piano contenente il

meridiano passante per il punto P e il piano per il meridiano assunto come origine

passante per Greenwich (Londra) La longitudine eacute positiva andando verso est e varia

da 0o a 180o Nellapproccio classico laltimetria viene trattata a parte Nella geodesia

satellitare data la natura tridimensionale delle osservazioni alla coppia (φ λ)

viene associata la quota ellissoidica h La terna (φ λ h) definisce la posizione

tridimensionale di un punto

CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 7

RAGGI PRINCIPALI DI CURVATURA DELLrsquo ELLISSOIDE

Tutti i piani passanti per n tagliano la superficie dellrsquoellissoide secondo sezioni

normali Per ogni punto P0 sullrsquoellissoide crsquoegrave una sezione normale di curvatura minima

e una sezione normale di curvatura massima Le sezioni normali caratterizzate da

questi raggi di valori estremi sono chiamate sezioni principali esse sono tra loro

ortogonali e i loro raggi ed N sono chiamati raggi principali di curvatura

dellrsquoellissoide nel punto P0 Il raggio principale minimo si riscontra sul piano

meridiano passante per P0 (sezione meridiana) pertanto il raggio principale massimo

N si verifica sulla sezione normale perpendicolare al piano meridiano Le espressioni

di questi raggi sono di seguito riportate si noti come essi sono funzione della

latitudine e dei parametri dellrsquo ellissoide di rotazione

322

2

)1(

)1(

sene

ea

)1( 22 sene

aN

ESERCIZIO GUIDATO 1

Calcolare i raggi di curvatura delle sezioni normali principali nel Polo Nord( e

allrsquo equatore ( dell ellissoide di Hayford

e2 hayford = 000672267002233 a hayford = 6378388 m e2 = e2hayford a=ahayford

322

2

)1(

)1(

sene

ea

=[ 6 378 388 ( 1-0006723 ) ] =6 399 936608 m

CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 8

)1( 22 sene

aN

= ( 6 378 388 ) =6 399 936608 m

Si noti come al Polo Nord i due raggi principali coincidono drsquoaltronde ce lo

aspettavamo Le sezioni nomali sono due ellissi congruenti Mentre allrsquo equatore

abbiamo che sen 0deg=0 quindi

a ( 1- e2) = 6 378 388 ( 1-0006723 )=6 375 506 m

N = a =6 378 388 m

Notiamo che allrsquo equatore le due sezioni normali corrispondono ad una circonferenza

di raggio a ed unrsquo ellisse

ESERCIZIO GUIDATO 2

Considerando lrsquo ellissoide di Hayford calcolare

1) la lunghezza equatoriale

2) La lunghezza del parallelo passante per un punto P la cui latitudine egrave

di 45deg

3) La distanza tra due punti A e B posti sul parallelo (45deg) e aventi

rispettivamente longitudine λA = 0deg e λB = 40deg

e2 hayford = 000672267

a hayford = 6378388 m

b hayford = 6 356 911946 m

e2 = e2hayford

a=ahayford b= b hayford

soluzione quesito 1

La lunghezza equatoriale egrave pari a

Leq = a =6 378 388 2 =40 076 5938

m

soluzione quesito 2

essendo r p il raggio del parallelo a 45deg e

calcolabile mediante la seguente

espressione

r p = Nmiddot cosφ = 4 510 252368 m ( vedi figura )

CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 9

con N (gran normale)

)1( 22 sene

aN

= 6 378 460068 m

La lunghezza relativa al parallelo passante per il punto a

latitudine 45deg egrave pari a

L P(45deg) = rp middot2prod =28 338 75141 m

soluzione quesito 3

L AB = rp middot Δλ

con Δ= differenza di longitudini in radianti

Δλ = λ B ndash λ A = 40deg-0deg= 40deg

e trasformato in radianti

Δλrad= 40 middotprod 180 = 0rad6981

L AB=06981 4 510 252368 = 3 148 750157 m

RICORDIAMO CHE

Lunghezza di un arco di

circonferenza

L(arco) = ω middot R

Con ω in radianti

R

L (arco)

ω R

L (arco)

ω

CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 10

APPROFONDIAMO

A causa delle ondulazioni del Geoide la verticale V non coincide con la normale N allrsquoEllissoide

Le due direzioni formano un angolo δ detto di deviazione della verticale Anche se lrsquoellissoide

geocentrico viene collocato in modo da approssimare al meglio la reale forma di tutto il pianeta

esso viene utilizzato nelle applicazioni di carattere globale come nei sistemi di supporto alla

navigazione ( ) o nei sistemi di posizionamento globale (GPS) mentre per lrsquoutilizzo locale

lrsquoellissoide viene traslato e ruotato in modo tale da far coincidere la verticale al geoide con la

con la normale allrsquo ellissoide in tal caso lrsquoangolo δ =0 Di questrsquo ultimo ellissoide ( orientato)

se ne fa uso locale ed esso consente di approssimare ancor di piugrave il Geoide nelle

rappresentazioni cartografiche Esso egrave caratterizzato da determinati parametri detti lsquoDATUMrsquo e

viene utilizzato nelle rappresentazioni cartografiche nazionali

CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 11

COORDINATE GEOCENTRICHE

Le coordinate geocentriche (X Y Z) sono le coordinate cartesiane di un punto

rispetto alla terna dassi geocentrica OXYZ definita come segue Origine O nel

baricentro della massa terrestre asse Z coincidente con lrsquoasse di rotazione terrestre

asse X collocato nel piano contenente lrsquoasse di rotazione e un punto convenzionale

(Greenwich) La terna di valori (X Y Z) definisce la posizione tridimensionale di un

punto in modo del tutto equivalente alla terna (φ ω h) riferita allellissoide

geocentrico avente gli assi lungo le direzioni X Y Z Le coordinate geocentriche

individuano la posizione tridimensionale di un punto senza ambiguitagrave tuttavia le sue

coordinate non consentono di intuire la posizione reciproca dei punti considerati non

distinguendo la posizione planimetrica da quella altimetrica (se due punti A e B

presentano lo stesso valore della coordinata Z ciograve non significa che i due punti A e B

sono alla stessa altezza )Di solito si preferisce esprimere i risultati di un

rilevamento con le coordinate geografiche il cui significato risulta piugrave intuitivo

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In Europa lrsquoellissoide utilizzato egrave quello di Hayford che presenta i seguenti valori dei

parametri

a = 6 378 388 m s=1297

Di seguito egrave riportata una tabella con i parametri degli ellissoidi piugrave utilizzati Per la

determinazione dei parametri egrave stato possibile utilizzare metodi geometrici basati su

misure a terra e piugrave recentemente osservazioni e rilievi con satelliti

anno

Denominazione

a (m)

s

1738 Bauguer Maupertuis 6377300 1 2168

1810 Delambre 6376985 1 3086

1830 Everest 6377276 1 3008

1841 Bessel 6377397 1 2992

1866 Clarke I 63782064 1 294978 698 2

1868 Fiscer 6378338 1 2885

1880 Clarke II 6378249145 1 293465

1891 Harkness 6377972 1 3000

1906 Helmert 6378140 1 2983

1924 Hayford 6378388 1 2970

1942 Krassowsky 6378245 1 2983

1948 Jeffreys 6378099 1 2971

1956 Army Map Service (USA) 6378260 1 2970

1965 Australia 6378160 1 29825

1972 WGS72 6378137 1 29826

1984 WGS84 6378137 1 298257 2

1980 ED80 6378137 1 298257 222 101

ESERCIZIO GUIDATO

Determinare il semiasse minore e lrsquo eccentricitagrave dellrsquo ellissoide di Bessel

Sapendo che s =

ricavo b con la formula inversa ed ottengo b=a(1-s)

b= 6377397 (1- 1 2992)= 6 356 082171 m

e =

=

= 0081690398

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COORDINATE GEOGRAFICHE

LrsquoEllissoide di rotazione e una superficie che si puograve considerare formata da due

distinte famiglie di curve i paralleli (circonferenze) e i meridiani (semi ellissi) Tali

curve si intersecano tra loro ad angolo retto La posizione di un punto sullrsquoEllissoide

puograve essere determinata fornendo il valore del parallelo e del meridiano a cui

appartiene Per individuare il parallelo saragrave sufficiente conoscere la latitudine

geografica cioegrave lrsquoangolo φ formato dalla normale per il punto P ( vedi figura) e il

piano equatoriale Tale angolo egrave positivo se il punto si trova tra lrsquoequatore e il polo

nord negativo se si trova tra equatore e polo sud Il meridiano egrave invece individuato

dalla longitudine geografica cioegrave dallrsquoangolo λ che si forma tra il piano contenente il

meridiano passante per il punto P e il piano per il meridiano assunto come origine

passante per Greenwich (Londra) La longitudine eacute positiva andando verso est e varia

da 0o a 180o Nellapproccio classico laltimetria viene trattata a parte Nella geodesia

satellitare data la natura tridimensionale delle osservazioni alla coppia (φ λ)

viene associata la quota ellissoidica h La terna (φ λ h) definisce la posizione

tridimensionale di un punto

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RAGGI PRINCIPALI DI CURVATURA DELLrsquo ELLISSOIDE

Tutti i piani passanti per n tagliano la superficie dellrsquoellissoide secondo sezioni

normali Per ogni punto P0 sullrsquoellissoide crsquoegrave una sezione normale di curvatura minima

e una sezione normale di curvatura massima Le sezioni normali caratterizzate da

questi raggi di valori estremi sono chiamate sezioni principali esse sono tra loro

ortogonali e i loro raggi ed N sono chiamati raggi principali di curvatura

dellrsquoellissoide nel punto P0 Il raggio principale minimo si riscontra sul piano

meridiano passante per P0 (sezione meridiana) pertanto il raggio principale massimo

N si verifica sulla sezione normale perpendicolare al piano meridiano Le espressioni

di questi raggi sono di seguito riportate si noti come essi sono funzione della

latitudine e dei parametri dellrsquo ellissoide di rotazione

322

2

)1(

)1(

sene

ea

)1( 22 sene

aN

ESERCIZIO GUIDATO 1

Calcolare i raggi di curvatura delle sezioni normali principali nel Polo Nord( e

allrsquo equatore ( dell ellissoide di Hayford

e2 hayford = 000672267002233 a hayford = 6378388 m e2 = e2hayford a=ahayford

322

2

)1(

)1(

sene

ea

=[ 6 378 388 ( 1-0006723 ) ] =6 399 936608 m

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)1( 22 sene

aN

= ( 6 378 388 ) =6 399 936608 m

Si noti come al Polo Nord i due raggi principali coincidono drsquoaltronde ce lo

aspettavamo Le sezioni nomali sono due ellissi congruenti Mentre allrsquo equatore

abbiamo che sen 0deg=0 quindi

a ( 1- e2) = 6 378 388 ( 1-0006723 )=6 375 506 m

N = a =6 378 388 m

Notiamo che allrsquo equatore le due sezioni normali corrispondono ad una circonferenza

di raggio a ed unrsquo ellisse

ESERCIZIO GUIDATO 2

Considerando lrsquo ellissoide di Hayford calcolare

1) la lunghezza equatoriale

2) La lunghezza del parallelo passante per un punto P la cui latitudine egrave

di 45deg

3) La distanza tra due punti A e B posti sul parallelo (45deg) e aventi

rispettivamente longitudine λA = 0deg e λB = 40deg

e2 hayford = 000672267

a hayford = 6378388 m

b hayford = 6 356 911946 m

e2 = e2hayford

a=ahayford b= b hayford

soluzione quesito 1

La lunghezza equatoriale egrave pari a

Leq = a =6 378 388 2 =40 076 5938

m

soluzione quesito 2

essendo r p il raggio del parallelo a 45deg e

calcolabile mediante la seguente

espressione

r p = Nmiddot cosφ = 4 510 252368 m ( vedi figura )

CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 9

con N (gran normale)

)1( 22 sene

aN

= 6 378 460068 m

La lunghezza relativa al parallelo passante per il punto a

latitudine 45deg egrave pari a

L P(45deg) = rp middot2prod =28 338 75141 m

soluzione quesito 3

L AB = rp middot Δλ

con Δ= differenza di longitudini in radianti

Δλ = λ B ndash λ A = 40deg-0deg= 40deg

e trasformato in radianti

Δλrad= 40 middotprod 180 = 0rad6981

L AB=06981 4 510 252368 = 3 148 750157 m

RICORDIAMO CHE

Lunghezza di un arco di

circonferenza

L(arco) = ω middot R

Con ω in radianti

R

L (arco)

ω R

L (arco)

ω

CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 10

APPROFONDIAMO

A causa delle ondulazioni del Geoide la verticale V non coincide con la normale N allrsquoEllissoide

Le due direzioni formano un angolo δ detto di deviazione della verticale Anche se lrsquoellissoide

geocentrico viene collocato in modo da approssimare al meglio la reale forma di tutto il pianeta

esso viene utilizzato nelle applicazioni di carattere globale come nei sistemi di supporto alla

navigazione ( ) o nei sistemi di posizionamento globale (GPS) mentre per lrsquoutilizzo locale

lrsquoellissoide viene traslato e ruotato in modo tale da far coincidere la verticale al geoide con la

con la normale allrsquo ellissoide in tal caso lrsquoangolo δ =0 Di questrsquo ultimo ellissoide ( orientato)

se ne fa uso locale ed esso consente di approssimare ancor di piugrave il Geoide nelle

rappresentazioni cartografiche Esso egrave caratterizzato da determinati parametri detti lsquoDATUMrsquo e

viene utilizzato nelle rappresentazioni cartografiche nazionali

CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 11

COORDINATE GEOCENTRICHE

Le coordinate geocentriche (X Y Z) sono le coordinate cartesiane di un punto

rispetto alla terna dassi geocentrica OXYZ definita come segue Origine O nel

baricentro della massa terrestre asse Z coincidente con lrsquoasse di rotazione terrestre

asse X collocato nel piano contenente lrsquoasse di rotazione e un punto convenzionale

(Greenwich) La terna di valori (X Y Z) definisce la posizione tridimensionale di un

punto in modo del tutto equivalente alla terna (φ ω h) riferita allellissoide

geocentrico avente gli assi lungo le direzioni X Y Z Le coordinate geocentriche

individuano la posizione tridimensionale di un punto senza ambiguitagrave tuttavia le sue

coordinate non consentono di intuire la posizione reciproca dei punti considerati non

distinguendo la posizione planimetrica da quella altimetrica (se due punti A e B

presentano lo stesso valore della coordinata Z ciograve non significa che i due punti A e B

sono alla stessa altezza )Di solito si preferisce esprimere i risultati di un

rilevamento con le coordinate geografiche il cui significato risulta piugrave intuitivo

CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 6

COORDINATE GEOGRAFICHE

LrsquoEllissoide di rotazione e una superficie che si puograve considerare formata da due

distinte famiglie di curve i paralleli (circonferenze) e i meridiani (semi ellissi) Tali

curve si intersecano tra loro ad angolo retto La posizione di un punto sullrsquoEllissoide

puograve essere determinata fornendo il valore del parallelo e del meridiano a cui

appartiene Per individuare il parallelo saragrave sufficiente conoscere la latitudine

geografica cioegrave lrsquoangolo φ formato dalla normale per il punto P ( vedi figura) e il

piano equatoriale Tale angolo egrave positivo se il punto si trova tra lrsquoequatore e il polo

nord negativo se si trova tra equatore e polo sud Il meridiano egrave invece individuato

dalla longitudine geografica cioegrave dallrsquoangolo λ che si forma tra il piano contenente il

meridiano passante per il punto P e il piano per il meridiano assunto come origine

passante per Greenwich (Londra) La longitudine eacute positiva andando verso est e varia

da 0o a 180o Nellapproccio classico laltimetria viene trattata a parte Nella geodesia

satellitare data la natura tridimensionale delle osservazioni alla coppia (φ λ)

viene associata la quota ellissoidica h La terna (φ λ h) definisce la posizione

tridimensionale di un punto

CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 7

RAGGI PRINCIPALI DI CURVATURA DELLrsquo ELLISSOIDE

Tutti i piani passanti per n tagliano la superficie dellrsquoellissoide secondo sezioni

normali Per ogni punto P0 sullrsquoellissoide crsquoegrave una sezione normale di curvatura minima

e una sezione normale di curvatura massima Le sezioni normali caratterizzate da

questi raggi di valori estremi sono chiamate sezioni principali esse sono tra loro

ortogonali e i loro raggi ed N sono chiamati raggi principali di curvatura

dellrsquoellissoide nel punto P0 Il raggio principale minimo si riscontra sul piano

meridiano passante per P0 (sezione meridiana) pertanto il raggio principale massimo

N si verifica sulla sezione normale perpendicolare al piano meridiano Le espressioni

di questi raggi sono di seguito riportate si noti come essi sono funzione della

latitudine e dei parametri dellrsquo ellissoide di rotazione

322

2

)1(

)1(

sene

ea

)1( 22 sene

aN

ESERCIZIO GUIDATO 1

Calcolare i raggi di curvatura delle sezioni normali principali nel Polo Nord( e

allrsquo equatore ( dell ellissoide di Hayford

e2 hayford = 000672267002233 a hayford = 6378388 m e2 = e2hayford a=ahayford

322

2

)1(

)1(

sene

ea

=[ 6 378 388 ( 1-0006723 ) ] =6 399 936608 m

CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 8

)1( 22 sene

aN

= ( 6 378 388 ) =6 399 936608 m

Si noti come al Polo Nord i due raggi principali coincidono drsquoaltronde ce lo

aspettavamo Le sezioni nomali sono due ellissi congruenti Mentre allrsquo equatore

abbiamo che sen 0deg=0 quindi

a ( 1- e2) = 6 378 388 ( 1-0006723 )=6 375 506 m

N = a =6 378 388 m

Notiamo che allrsquo equatore le due sezioni normali corrispondono ad una circonferenza

di raggio a ed unrsquo ellisse

ESERCIZIO GUIDATO 2

Considerando lrsquo ellissoide di Hayford calcolare

1) la lunghezza equatoriale

2) La lunghezza del parallelo passante per un punto P la cui latitudine egrave

di 45deg

3) La distanza tra due punti A e B posti sul parallelo (45deg) e aventi

rispettivamente longitudine λA = 0deg e λB = 40deg

e2 hayford = 000672267

a hayford = 6378388 m

b hayford = 6 356 911946 m

e2 = e2hayford

a=ahayford b= b hayford

soluzione quesito 1

La lunghezza equatoriale egrave pari a

Leq = a =6 378 388 2 =40 076 5938

m

soluzione quesito 2

essendo r p il raggio del parallelo a 45deg e

calcolabile mediante la seguente

espressione

r p = Nmiddot cosφ = 4 510 252368 m ( vedi figura )

CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 9

con N (gran normale)

)1( 22 sene

aN

= 6 378 460068 m

La lunghezza relativa al parallelo passante per il punto a

latitudine 45deg egrave pari a

L P(45deg) = rp middot2prod =28 338 75141 m

soluzione quesito 3

L AB = rp middot Δλ

con Δ= differenza di longitudini in radianti

Δλ = λ B ndash λ A = 40deg-0deg= 40deg

e trasformato in radianti

Δλrad= 40 middotprod 180 = 0rad6981

L AB=06981 4 510 252368 = 3 148 750157 m

RICORDIAMO CHE

Lunghezza di un arco di

circonferenza

L(arco) = ω middot R

Con ω in radianti

R

L (arco)

ω R

L (arco)

ω

CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 10

APPROFONDIAMO

A causa delle ondulazioni del Geoide la verticale V non coincide con la normale N allrsquoEllissoide

Le due direzioni formano un angolo δ detto di deviazione della verticale Anche se lrsquoellissoide

geocentrico viene collocato in modo da approssimare al meglio la reale forma di tutto il pianeta

esso viene utilizzato nelle applicazioni di carattere globale come nei sistemi di supporto alla

navigazione ( ) o nei sistemi di posizionamento globale (GPS) mentre per lrsquoutilizzo locale

lrsquoellissoide viene traslato e ruotato in modo tale da far coincidere la verticale al geoide con la

con la normale allrsquo ellissoide in tal caso lrsquoangolo δ =0 Di questrsquo ultimo ellissoide ( orientato)

se ne fa uso locale ed esso consente di approssimare ancor di piugrave il Geoide nelle

rappresentazioni cartografiche Esso egrave caratterizzato da determinati parametri detti lsquoDATUMrsquo e

viene utilizzato nelle rappresentazioni cartografiche nazionali

CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 11

COORDINATE GEOCENTRICHE

Le coordinate geocentriche (X Y Z) sono le coordinate cartesiane di un punto

rispetto alla terna dassi geocentrica OXYZ definita come segue Origine O nel

baricentro della massa terrestre asse Z coincidente con lrsquoasse di rotazione terrestre

asse X collocato nel piano contenente lrsquoasse di rotazione e un punto convenzionale

(Greenwich) La terna di valori (X Y Z) definisce la posizione tridimensionale di un

punto in modo del tutto equivalente alla terna (φ ω h) riferita allellissoide

geocentrico avente gli assi lungo le direzioni X Y Z Le coordinate geocentriche

individuano la posizione tridimensionale di un punto senza ambiguitagrave tuttavia le sue

coordinate non consentono di intuire la posizione reciproca dei punti considerati non

distinguendo la posizione planimetrica da quella altimetrica (se due punti A e B

presentano lo stesso valore della coordinata Z ciograve non significa che i due punti A e B

sono alla stessa altezza )Di solito si preferisce esprimere i risultati di un

rilevamento con le coordinate geografiche il cui significato risulta piugrave intuitivo

CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 7

RAGGI PRINCIPALI DI CURVATURA DELLrsquo ELLISSOIDE

Tutti i piani passanti per n tagliano la superficie dellrsquoellissoide secondo sezioni

normali Per ogni punto P0 sullrsquoellissoide crsquoegrave una sezione normale di curvatura minima

e una sezione normale di curvatura massima Le sezioni normali caratterizzate da

questi raggi di valori estremi sono chiamate sezioni principali esse sono tra loro

ortogonali e i loro raggi ed N sono chiamati raggi principali di curvatura

dellrsquoellissoide nel punto P0 Il raggio principale minimo si riscontra sul piano

meridiano passante per P0 (sezione meridiana) pertanto il raggio principale massimo

N si verifica sulla sezione normale perpendicolare al piano meridiano Le espressioni

di questi raggi sono di seguito riportate si noti come essi sono funzione della

latitudine e dei parametri dellrsquo ellissoide di rotazione

322

2

)1(

)1(

sene

ea

)1( 22 sene

aN

ESERCIZIO GUIDATO 1

Calcolare i raggi di curvatura delle sezioni normali principali nel Polo Nord( e

allrsquo equatore ( dell ellissoide di Hayford

e2 hayford = 000672267002233 a hayford = 6378388 m e2 = e2hayford a=ahayford

322

2

)1(

)1(

sene

ea

=[ 6 378 388 ( 1-0006723 ) ] =6 399 936608 m

CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 8

)1( 22 sene

aN

= ( 6 378 388 ) =6 399 936608 m

Si noti come al Polo Nord i due raggi principali coincidono drsquoaltronde ce lo

aspettavamo Le sezioni nomali sono due ellissi congruenti Mentre allrsquo equatore

abbiamo che sen 0deg=0 quindi

a ( 1- e2) = 6 378 388 ( 1-0006723 )=6 375 506 m

N = a =6 378 388 m

Notiamo che allrsquo equatore le due sezioni normali corrispondono ad una circonferenza

di raggio a ed unrsquo ellisse

ESERCIZIO GUIDATO 2

Considerando lrsquo ellissoide di Hayford calcolare

1) la lunghezza equatoriale

2) La lunghezza del parallelo passante per un punto P la cui latitudine egrave

di 45deg

3) La distanza tra due punti A e B posti sul parallelo (45deg) e aventi

rispettivamente longitudine λA = 0deg e λB = 40deg

e2 hayford = 000672267

a hayford = 6378388 m

b hayford = 6 356 911946 m

e2 = e2hayford

a=ahayford b= b hayford

soluzione quesito 1

La lunghezza equatoriale egrave pari a

Leq = a =6 378 388 2 =40 076 5938

m

soluzione quesito 2

essendo r p il raggio del parallelo a 45deg e

calcolabile mediante la seguente

espressione

r p = Nmiddot cosφ = 4 510 252368 m ( vedi figura )

CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 9

con N (gran normale)

)1( 22 sene

aN

= 6 378 460068 m

La lunghezza relativa al parallelo passante per il punto a

latitudine 45deg egrave pari a

L P(45deg) = rp middot2prod =28 338 75141 m

soluzione quesito 3

L AB = rp middot Δλ

con Δ= differenza di longitudini in radianti

Δλ = λ B ndash λ A = 40deg-0deg= 40deg

e trasformato in radianti

Δλrad= 40 middotprod 180 = 0rad6981

L AB=06981 4 510 252368 = 3 148 750157 m

RICORDIAMO CHE

Lunghezza di un arco di

circonferenza

L(arco) = ω middot R

Con ω in radianti

R

L (arco)

ω R

L (arco)

ω

CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 10

APPROFONDIAMO

A causa delle ondulazioni del Geoide la verticale V non coincide con la normale N allrsquoEllissoide

Le due direzioni formano un angolo δ detto di deviazione della verticale Anche se lrsquoellissoide

geocentrico viene collocato in modo da approssimare al meglio la reale forma di tutto il pianeta

esso viene utilizzato nelle applicazioni di carattere globale come nei sistemi di supporto alla

navigazione ( ) o nei sistemi di posizionamento globale (GPS) mentre per lrsquoutilizzo locale

lrsquoellissoide viene traslato e ruotato in modo tale da far coincidere la verticale al geoide con la

con la normale allrsquo ellissoide in tal caso lrsquoangolo δ =0 Di questrsquo ultimo ellissoide ( orientato)

se ne fa uso locale ed esso consente di approssimare ancor di piugrave il Geoide nelle

rappresentazioni cartografiche Esso egrave caratterizzato da determinati parametri detti lsquoDATUMrsquo e

viene utilizzato nelle rappresentazioni cartografiche nazionali

CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 11

COORDINATE GEOCENTRICHE

Le coordinate geocentriche (X Y Z) sono le coordinate cartesiane di un punto

rispetto alla terna dassi geocentrica OXYZ definita come segue Origine O nel

baricentro della massa terrestre asse Z coincidente con lrsquoasse di rotazione terrestre

asse X collocato nel piano contenente lrsquoasse di rotazione e un punto convenzionale

(Greenwich) La terna di valori (X Y Z) definisce la posizione tridimensionale di un

punto in modo del tutto equivalente alla terna (φ ω h) riferita allellissoide

geocentrico avente gli assi lungo le direzioni X Y Z Le coordinate geocentriche

individuano la posizione tridimensionale di un punto senza ambiguitagrave tuttavia le sue

coordinate non consentono di intuire la posizione reciproca dei punti considerati non

distinguendo la posizione planimetrica da quella altimetrica (se due punti A e B

presentano lo stesso valore della coordinata Z ciograve non significa che i due punti A e B

sono alla stessa altezza )Di solito si preferisce esprimere i risultati di un

rilevamento con le coordinate geografiche il cui significato risulta piugrave intuitivo

CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 8

)1( 22 sene

aN

= ( 6 378 388 ) =6 399 936608 m

Si noti come al Polo Nord i due raggi principali coincidono drsquoaltronde ce lo

aspettavamo Le sezioni nomali sono due ellissi congruenti Mentre allrsquo equatore

abbiamo che sen 0deg=0 quindi

a ( 1- e2) = 6 378 388 ( 1-0006723 )=6 375 506 m

N = a =6 378 388 m

Notiamo che allrsquo equatore le due sezioni normali corrispondono ad una circonferenza

di raggio a ed unrsquo ellisse

ESERCIZIO GUIDATO 2

Considerando lrsquo ellissoide di Hayford calcolare

1) la lunghezza equatoriale

2) La lunghezza del parallelo passante per un punto P la cui latitudine egrave

di 45deg

3) La distanza tra due punti A e B posti sul parallelo (45deg) e aventi

rispettivamente longitudine λA = 0deg e λB = 40deg

e2 hayford = 000672267

a hayford = 6378388 m

b hayford = 6 356 911946 m

e2 = e2hayford

a=ahayford b= b hayford

soluzione quesito 1

La lunghezza equatoriale egrave pari a

Leq = a =6 378 388 2 =40 076 5938

m

soluzione quesito 2

essendo r p il raggio del parallelo a 45deg e

calcolabile mediante la seguente

espressione

r p = Nmiddot cosφ = 4 510 252368 m ( vedi figura )

CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 9

con N (gran normale)

)1( 22 sene

aN

= 6 378 460068 m

La lunghezza relativa al parallelo passante per il punto a

latitudine 45deg egrave pari a

L P(45deg) = rp middot2prod =28 338 75141 m

soluzione quesito 3

L AB = rp middot Δλ

con Δ= differenza di longitudini in radianti

Δλ = λ B ndash λ A = 40deg-0deg= 40deg

e trasformato in radianti

Δλrad= 40 middotprod 180 = 0rad6981

L AB=06981 4 510 252368 = 3 148 750157 m

RICORDIAMO CHE

Lunghezza di un arco di

circonferenza

L(arco) = ω middot R

Con ω in radianti

R

L (arco)

ω R

L (arco)

ω

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APPROFONDIAMO

A causa delle ondulazioni del Geoide la verticale V non coincide con la normale N allrsquoEllissoide

Le due direzioni formano un angolo δ detto di deviazione della verticale Anche se lrsquoellissoide

geocentrico viene collocato in modo da approssimare al meglio la reale forma di tutto il pianeta

esso viene utilizzato nelle applicazioni di carattere globale come nei sistemi di supporto alla

navigazione ( ) o nei sistemi di posizionamento globale (GPS) mentre per lrsquoutilizzo locale

lrsquoellissoide viene traslato e ruotato in modo tale da far coincidere la verticale al geoide con la

con la normale allrsquo ellissoide in tal caso lrsquoangolo δ =0 Di questrsquo ultimo ellissoide ( orientato)

se ne fa uso locale ed esso consente di approssimare ancor di piugrave il Geoide nelle

rappresentazioni cartografiche Esso egrave caratterizzato da determinati parametri detti lsquoDATUMrsquo e

viene utilizzato nelle rappresentazioni cartografiche nazionali

CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 11

COORDINATE GEOCENTRICHE

Le coordinate geocentriche (X Y Z) sono le coordinate cartesiane di un punto

rispetto alla terna dassi geocentrica OXYZ definita come segue Origine O nel

baricentro della massa terrestre asse Z coincidente con lrsquoasse di rotazione terrestre

asse X collocato nel piano contenente lrsquoasse di rotazione e un punto convenzionale

(Greenwich) La terna di valori (X Y Z) definisce la posizione tridimensionale di un

punto in modo del tutto equivalente alla terna (φ ω h) riferita allellissoide

geocentrico avente gli assi lungo le direzioni X Y Z Le coordinate geocentriche

individuano la posizione tridimensionale di un punto senza ambiguitagrave tuttavia le sue

coordinate non consentono di intuire la posizione reciproca dei punti considerati non

distinguendo la posizione planimetrica da quella altimetrica (se due punti A e B

presentano lo stesso valore della coordinata Z ciograve non significa che i due punti A e B

sono alla stessa altezza )Di solito si preferisce esprimere i risultati di un

rilevamento con le coordinate geografiche il cui significato risulta piugrave intuitivo

CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 9

con N (gran normale)

)1( 22 sene

aN

= 6 378 460068 m

La lunghezza relativa al parallelo passante per il punto a

latitudine 45deg egrave pari a

L P(45deg) = rp middot2prod =28 338 75141 m

soluzione quesito 3

L AB = rp middot Δλ

con Δ= differenza di longitudini in radianti

Δλ = λ B ndash λ A = 40deg-0deg= 40deg

e trasformato in radianti

Δλrad= 40 middotprod 180 = 0rad6981

L AB=06981 4 510 252368 = 3 148 750157 m

RICORDIAMO CHE

Lunghezza di un arco di

circonferenza

L(arco) = ω middot R

Con ω in radianti

R

L (arco)

ω R

L (arco)

ω

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APPROFONDIAMO

A causa delle ondulazioni del Geoide la verticale V non coincide con la normale N allrsquoEllissoide

Le due direzioni formano un angolo δ detto di deviazione della verticale Anche se lrsquoellissoide

geocentrico viene collocato in modo da approssimare al meglio la reale forma di tutto il pianeta

esso viene utilizzato nelle applicazioni di carattere globale come nei sistemi di supporto alla

navigazione ( ) o nei sistemi di posizionamento globale (GPS) mentre per lrsquoutilizzo locale

lrsquoellissoide viene traslato e ruotato in modo tale da far coincidere la verticale al geoide con la

con la normale allrsquo ellissoide in tal caso lrsquoangolo δ =0 Di questrsquo ultimo ellissoide ( orientato)

se ne fa uso locale ed esso consente di approssimare ancor di piugrave il Geoide nelle

rappresentazioni cartografiche Esso egrave caratterizzato da determinati parametri detti lsquoDATUMrsquo e

viene utilizzato nelle rappresentazioni cartografiche nazionali

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COORDINATE GEOCENTRICHE

Le coordinate geocentriche (X Y Z) sono le coordinate cartesiane di un punto

rispetto alla terna dassi geocentrica OXYZ definita come segue Origine O nel

baricentro della massa terrestre asse Z coincidente con lrsquoasse di rotazione terrestre

asse X collocato nel piano contenente lrsquoasse di rotazione e un punto convenzionale

(Greenwich) La terna di valori (X Y Z) definisce la posizione tridimensionale di un

punto in modo del tutto equivalente alla terna (φ ω h) riferita allellissoide

geocentrico avente gli assi lungo le direzioni X Y Z Le coordinate geocentriche

individuano la posizione tridimensionale di un punto senza ambiguitagrave tuttavia le sue

coordinate non consentono di intuire la posizione reciproca dei punti considerati non

distinguendo la posizione planimetrica da quella altimetrica (se due punti A e B

presentano lo stesso valore della coordinata Z ciograve non significa che i due punti A e B

sono alla stessa altezza )Di solito si preferisce esprimere i risultati di un

rilevamento con le coordinate geografiche il cui significato risulta piugrave intuitivo

CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 10

APPROFONDIAMO

A causa delle ondulazioni del Geoide la verticale V non coincide con la normale N allrsquoEllissoide

Le due direzioni formano un angolo δ detto di deviazione della verticale Anche se lrsquoellissoide

geocentrico viene collocato in modo da approssimare al meglio la reale forma di tutto il pianeta

esso viene utilizzato nelle applicazioni di carattere globale come nei sistemi di supporto alla

navigazione ( ) o nei sistemi di posizionamento globale (GPS) mentre per lrsquoutilizzo locale

lrsquoellissoide viene traslato e ruotato in modo tale da far coincidere la verticale al geoide con la

con la normale allrsquo ellissoide in tal caso lrsquoangolo δ =0 Di questrsquo ultimo ellissoide ( orientato)

se ne fa uso locale ed esso consente di approssimare ancor di piugrave il Geoide nelle

rappresentazioni cartografiche Esso egrave caratterizzato da determinati parametri detti lsquoDATUMrsquo e

viene utilizzato nelle rappresentazioni cartografiche nazionali

CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 11

COORDINATE GEOCENTRICHE

Le coordinate geocentriche (X Y Z) sono le coordinate cartesiane di un punto

rispetto alla terna dassi geocentrica OXYZ definita come segue Origine O nel

baricentro della massa terrestre asse Z coincidente con lrsquoasse di rotazione terrestre

asse X collocato nel piano contenente lrsquoasse di rotazione e un punto convenzionale

(Greenwich) La terna di valori (X Y Z) definisce la posizione tridimensionale di un

punto in modo del tutto equivalente alla terna (φ ω h) riferita allellissoide

geocentrico avente gli assi lungo le direzioni X Y Z Le coordinate geocentriche

individuano la posizione tridimensionale di un punto senza ambiguitagrave tuttavia le sue

coordinate non consentono di intuire la posizione reciproca dei punti considerati non

distinguendo la posizione planimetrica da quella altimetrica (se due punti A e B

presentano lo stesso valore della coordinata Z ciograve non significa che i due punti A e B

sono alla stessa altezza )Di solito si preferisce esprimere i risultati di un

rilevamento con le coordinate geografiche il cui significato risulta piugrave intuitivo

CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 11

COORDINATE GEOCENTRICHE

Le coordinate geocentriche (X Y Z) sono le coordinate cartesiane di un punto

rispetto alla terna dassi geocentrica OXYZ definita come segue Origine O nel

baricentro della massa terrestre asse Z coincidente con lrsquoasse di rotazione terrestre

asse X collocato nel piano contenente lrsquoasse di rotazione e un punto convenzionale

(Greenwich) La terna di valori (X Y Z) definisce la posizione tridimensionale di un

punto in modo del tutto equivalente alla terna (φ ω h) riferita allellissoide

geocentrico avente gli assi lungo le direzioni X Y Z Le coordinate geocentriche

individuano la posizione tridimensionale di un punto senza ambiguitagrave tuttavia le sue

coordinate non consentono di intuire la posizione reciproca dei punti considerati non

distinguendo la posizione planimetrica da quella altimetrica (se due punti A e B

presentano lo stesso valore della coordinata Z ciograve non significa che i due punti A e B

sono alla stessa altezza )Di solito si preferisce esprimere i risultati di un

rilevamento con le coordinate geografiche il cui significato risulta piugrave intuitivo