Esercizio 1a

Disegna un piano cartesiano ortogonale ed in esso inserisci i punti che seguono, poi uniscili

nell’ordine dato:

Secondo te che tipo di quadrilatero hai ottenuto? Perché? Quali sono le sue caratteristiche?

Assumendo 1 u = 1 cm, calcola il perimetro e l’area del quadrilatero ABCD.

Esercizio 2a

In uno stesso piano cartesiano disegna:

un triangolo ABC, i cui vertici sono

un rettangolo PQRS, i cui vertici hanno coordinate

Poi, nel piano cartesiano metti in evidenza l’intersezione (cioè la parte comune) tra le due

figure.

Che tipo di poligono è l’intersezione tra il triangolo ed il rettangolo? Perché?

Esercizio 1b

Disegna un piano cartesiano ortogonale ed in esso inserisci i punti che seguono, poi uniscili

nell’ordine dato:

Secondo te che tipo di quadrilatero hai ottenuto? Perché? Quali sono le sue caratteristiche?

Assumendo 1 u = 1 cm, calcola il perimetro e l’area del quadrilatero ABCD.

Esercizio 2b

In uno stesso piano cartesiano disegna:

un triangolo ABC, i cui vertici sono

un rettangolo PQRS, i cui vertici hanno coordinate

Poi, nel piano cartesiano metti in evidenza l’intersezione (cioè la parte comune) tra le due

figure.

Che tipo di poligono è l’intersezione tra il triangolo ed il rettangolo? Perché?

A

B

Esercizio 1c

Disegna un piano cartesiano ortogonale ed in esso inserisci i punti che seguono, poi uniscili

nell’ordine dato:

Secondo te che tipo di quadrilatero hai ottenuto? Perché? Quali sono le sue caratteristiche?

Assumendo 1 u = 1 cm, calcola il perimetro e l’area del quadrilatero ABCD.

Esercizio 2c

In uno stesso piano cartesiano disegna:

un triangolo ABC, i cui vertici hanno coordinate

un parallelogramma PQRS, i cui vertici sono

Poi, nel piano cartesiano metti in evidenza l’intersezione (cioè la parte comune) tra le due

figure.

Che tipo di poligono è l’intersezione tra il triangolo ed il parallelogramma? Perché?

Esercizio 1d

Disegna un piano cartesiano ortogonale ed in esso inserisci i punti che seguono, poi uniscili

nell’ordine dato:

Secondo te che tipo di quadrilatero hai ottenuto? Perché? Quali sono le sue caratteristiche?

Assumendo 1 u = 1 cm, calcola il perimetro e l’area del quadrilatero ABCD.

Esercizio 2d

In uno stesso piano cartesiano disegna:

un triangolo ABC, i cui vertici hanno coordinate

un parallelogramma PQRS, i cui vertici sono

Poi, nel piano cartesiano metti in evidenza l’intersezione (cioè la parte comune) tra le due

figure.

Che tipo di poligono è l’intersezione tra il triangolo ed il parallelogramma? Perché?

C

D

Esercizio 1a

Disegna un piano cartesiano ortogonale ed in esso inserisci i punti che seguono, poi uniscili

nell’ordine dato:

Secondo te che tipo di quadrilatero hai ottenuto? Perché? Quali sono le sue

caratteristiche?

Assumendo 1 u = 1 cm, calcola il perimetro e l’area del quadrilatero ABCD.

Nel piano cartesiano, riportando i punti e unendoli

nell’ordine assegnato, ciò che si ottiene è mostrato nella

figura che segue.

Apparentemente, il quadrilatero ABCD è un deltoide.

Ma non posso fare questa affermazione senza prove, devo

dimostrare che ABCD è un deltoide.

A

E posso dimostrarlo in diversi modi.

1° modo)

Trovo il valore della lunghezza dei suoi lati.

Per ottenere la misura delle lunghezza di segmenti

orizzontali e verticali, ovvero paralleli agli assi

cartesiani, posso contare le unità.

Per ottenere la misura delle lunghezza di segmenti

obliqui non posso contare le unità e non posso utilizzare il

righello per misurare, devo trovare dei triangoli

rettangoli “comodi” (cioè di cui posso sapere il valore dei

cateti) per poter applicare il teorema di Pitagora: il lato

incognito, generalmente, è l’ipotenusa.

I triangoli rettangoli evidenziati in giallo fanno al caso

nostro.

P

Q

I due triangoli PBC e QDC sono congruenti, dal momento

che sono rettangoli ( ) ed i cateti sono

congruenti, in particolare:

Così risulta:

Ora, sapendo che il quadrilatero ABCD ha due coppie di

lati consecutivi congruenti, posso affermare con certezza

che il poligono è un deltoide.

2° modo)

Faccio valutazioni sulle diagonali (non importa

calcolare la loro lunghezza).

O

B

Le due diagonali AC e BD sono, ovviamente, di lunghezza

diversa e si incontrano nel punto O; il punto O coincide

con il punto medio della diagonale minore BD:

Inoltre, le due diagonali AC e BD sono perpendicolari, in

quanto coincidenti, rispettivamente, con i due tipi di

diagonale dell’unità quadrata.

Ora, sapendo che il quadrilatero ABCD ha due diagonali

perpendicolari, e che una si biseca, ma non l’altra, posso

affermare con certezza che il poligono è un deltoide.

Elenco delle caratteristiche (o proprietà) di un qualsiasi

deltoide.

ha due coppie di lati consecutivi congruenti

ha una coppia di angoli opposti congruenti

ha le diagonali perpendicolari

una delle due diagonali (quella che unisce i vertici

degli angoli congruenti) si biseca

una delle due diagonali (quella che unisce i vertici

degli angoli non congruenti) è bisettrice degli angoli

ha un asse di simmetria, che coincide con la diagonale

bisettrice

Passo, ora, a calcolare il perimetro e l’area del

quadrilatero, come richiesto.

Per quanto riguarda il perimetro di ABCD, sfrutto i calcoli

precedenti, i cui risultati vengono riassunti qui di seguito.

Per quanto riguarda l’area di ABCD, devo calcolare la

lunghezza delle diagonali per applicare la formula

dell’area oppure ragionare in altro modo.

Come in precedenza, per calcolare la lunghezza delle

diagonali devo trovare dei triangoli rettangoli “comodi”

per poter applicare il teorema di Pitagora.

Lo sono il triangolo evidenziato in verde, per calcolare la

diagonale minore, ed il triangolo evidenziato in

azzurro, per calcolare la diagonale maggiore.

Notando che il triangolo ABD è metà quadrato, potevo

anche utilizzare la formuletta .

Notando che il triangolo APC è metà quadrato, potevo

utilizzare anche in questo caso la formuletta .

Oppure potevo calcolare il valore dell’area facendo altre

considerazioni.

Riprendiamo in esame un disegno già visto.

P

Il quadrilatero APCQ è un quadrato formato dal deltoide

e due triangoli rettangoli congruenti.

Posso, dunque, calcolare l’area del quadrato, l’area di un

triangolo e per differenza calcolare l’area del deltoide.

Q

P

Esercizio 2a

In uno stesso piano cartesiano disegna:

un triangolo ABC, i cui vertici sono

un rettangolo PQRS, i cui vertici hanno coordinate

Poi, nel piano cartesiano metti in evidenza l’intersezione (cioè la parte comune) tra le due figure .

Che tipo di poligono è l’intersezione tra il triangolo ed il rettangolo? Perché?

Nel piano cartesiano, riportando i punti e unendoli

nell’ordine assegnato, ciò che si ottiene è mostrato nella

figura che segue, dove in viola è evidenziata l’intersezione.

Il poligono ottenuto per intersezione è un quadrilatero ed,

in particolare, è un trapezio, perché ha una coppia di lati

opposti paralleli (dal momento che sono parte di una

coppia di lati opposti del rettangolo, le basi).

Esercizio 1b

Disegna un piano cartesiano ortogonale ed in esso inserisci i punti che seguono, poi uniscili

nell’ordine dato:

Secondo te che tipo di quadrilatero hai ottenuto? Perché? Quali sono le sue caratteristiche?

Assumendo 1 u = 1 cm, calcola il perimetro e l’area del quadrilatero ABCD.

Nel piano cartesiano, riportando i punti e unendoli

nell’ordine assegnato, ciò che si ottiene è mostrato nella

figura che segue.

Apparentemente, il quadrilatero ABCD è un trapezio

isoscele.

B

Ma non posso fare questa affermazione senza prove, devo

dimostrare che ABCD è un trapezio isoscele.

Ecco come posso dimostrarlo.

Faccio valutazioni sui lati.

I due lati opposti AB e CD, ovviamente di lunghezza

diversa, sono paralleli, in quanto coincidenti con le

diagonali dell’unità quadrata, aventi la stessa direzione.

I due lati opposti AD e BC hanno direzioni diverse.

Questo è sufficiente a dire che il quadrilatero è un

trapezio: i lati AB e CD costituiscono le sue basi (in

quanto si definiscono basi i lati paralleli del poligono),

così i lati AD e BC (cioè la coppia di lati non paralleli)

costituiscono i lati obliqui.

Trovo il valore della lunghezza dei lati obliqui del

trapezio.

Per ottenere la misura delle lunghezza di segmenti

orizzontali e verticali, ovvero paralleli agli assi

cartesiani, posso contare le unità.

Ora, sapendo che il quadrilatero ABCD ha una coppia di

lati opposti paralleli e che gli altri lati (non paralleli)

sono congruenti, posso affermare con certezza che il

poligono è un trapezio isoscele.

Elenco delle caratteristiche (o proprietà) di un qualsiasi

trapezio isoscele.

ha una coppia di lati opposti paralleli (che

costituiscono le basi del trapezio)

i lati opposti non paralleli (i lati obliqui) sono

congruenti

ha gli angoli adiacenti a ciascuna delle basi

congruenti (due angoli congruenti sono acuti e due

angoli congruenti ottusi)

gli angoli adiacenti a ciascuno dei lati obliqui sono

supplementari

ha le diagonali congruenti

ha un asse di simmetria, che passa per i punti medi delle

basi

Passo, ora, a calcolare il perimetro e l’area del

quadrilatero, come richiesto.

Per quanto riguarda il perimetro di ABCD, devo calcolare

la lunghezza delle basi, mentre conosco già la lunghezza

dei lati obliqui, riportata qui di seguito:

Per ottenere la misura delle lunghezza di segmenti

obliqui non posso contare le unità e non posso utilizzare il

righello per misurare, devo trovare dei triangoli

rettangoli “comodi” (cioè di cui posso sapere il valore dei

cateti) per poter applicare il teorema di Pitagora: il lato

incognito, generalmente, è l’ipotenusa.

Per calcolare la lunghezza della base minore individuo il

triangolo evidenziato in verde, mentre per calcolare la

lunghezza della base maggiore individuo il triangolo

evidenziato in azzurro.

Il triangolo DCQ è rettangolo ( ) e ha i cateti

congruenti, in particolare:

Così risulta:

Notando che il triangolo DCQ è metà quadrato, potevo

anche utilizzare la formuletta .

P

Q

Il triangolo PAB è rettangolo ( ) e ha i cateti

congruenti, in particolare:

Così risulta:

Notando che il triangolo PAB è metà quadrato, potevo

utilizzare, anche in questo caso, la formuletta .

Per quanto riguarda l’area di ABCD, devo calcolare la

lunghezza dell’altezza per applicare la formula dell’area

oppure ragionare in altro modo.

H

K

Come in precedenza, per calcolare la lunghezza della

altezza devo trovare dei triangoli rettangoli “comodi” per

poter applicare il teorema di Pitagora. Lo è il triangolo

evidenziato in rosso (ma anche quello evidenziato in

giallo).

Il triangolo evidenziato in rosso ADR e’ rettangolo

( ) e ha i cateti congruenti, in particolare:

Così risulta:

H

R

K

Altrimenti, notando che il triangolo CBK evidenziato in

giallo è metà quadrato, potevo utilizzare la formuletta

.

Oppure potevo calcolare il valore dell’area facendo altre

considerazioni.

R L

Come evidenziato in figura, il trapezio ABCD è composto

dal triangolo rettangolo ADR e dal parallelogramma

DRBC (di cui RL è l’altezza).

Posso, dunque, calcolare l’area del triangolo e l’area del

parallelogramma e sommarle per calcolare l’area del

trapezio:

Esercizio 2b

In uno stesso piano cartesiano disegna:

un triangolo ABC, i cui vertici sono

un rettangolo PQRS, i cui vertici hanno coordinate

Poi, nel piano cartesiano metti in evidenza l’intersezione (cioè la parte comune) tra le due figure .

Che tipo di poligono è l’intersezione tra il triangolo ed il rettangolo? Perché?

Nel piano cartesiano, riportando i punti e unendoli

nell’ordine assegnato, ciò che si ottiene è mostrato nella

figura che segue, dove in viola è evidenziata l’intersezione.

Il poligono ottenuto per intersezione è un quadrilatero ed,

in particolare, è un trapezio rettangolo: trapezio perché ha

una coppia di lati opposti paralleli (che sono parte di una

coppia di lati opposti del rettangolo, le altezze), rettangolo

perché un lato è perpendicolare ai lati paralleli.

Esercizio 1c

Disegna un piano cartesiano ortogonale ed in esso inserisci i punti che seguono, poi uniscili nell’ordine dato:

Secondo te che tipo di quadrilatero hai ottenuto? Perché? Quali sono le sue caratteristiche?

Assumendo 1 u = 1 cm, calcola il perimetro e l’area del quadrilatero ABCD.

Nel piano cartesiano, riportando i punti e unendoli

nell’ordine assegnato, ciò che si ottiene è mostrato nella

figura che segue.

Apparentemente, il quadrilatero ABCD è un rombo o un

parallelogramma.

C

Ma non posso fare affermazioni senza prove, devo

dimostrare che ABCD è un rombo o un parallelogramma.

E posso dimostrarlo in diversi modi.

1° modo)

Trovo il valore della lunghezza dei suoi lati.

Per ottenere la misura delle lunghezza di segmenti

orizzontali e verticali, ovvero paralleli agli assi

cartesiani, posso contare le unità.

Per ottenere la misura delle lunghezza di segmenti

obliqui non posso contare le unità e non posso utilizzare il

righello per misurare, devo trovare dei triangoli

rettangoli “comodi” (cioè di cui posso sapere il valore dei

P

Q

R

S

cateti) per poter applicare il teorema di Pitagora: il lato

incognito, generalmente, è l’ipotenusa.

I triangoli rettangoli evidenziati in giallo fanno al caso

nostro.

I quattro triangoli ASB, BPC, CQD e ARD sono congruenti,

dal momento che sono rettangoli ( ) ed i

cateti sono congruenti, in particolare:

Così risulta:

Se un quadrilatero ha tutti i lati congruenti o è un

quadrato o è un rombo.

Allora esamino gli angoli.

Si vede chiaramente che gli angoli non sono tutti

congruenti: due angoli opposti sono ottusi e due angoli

opposti sono acuti.

Ora, sapendo che il quadrilatero ABCD ha i lati

congruenti e che gli angoli non sono congruenti, posso

affermare con certezza che il poligono è un rombo.

2° modo)

Faccio valutazioni sulle diagonali (non importa

calcolare la loro lunghezza).

Le due diagonali AC e BD sono, ovviamente, di lunghezza

diversa e si incontrano nel punto O.

Il punto O coincide con il punto medio della diagonale

minore AC e della diagonale maggiore BD:

Inoltre, le due diagonali AC e BD sono perpendicolari, in

quanto coincidenti, rispettivamente, con i due tipi di

diagonale dell’unità quadrata.

O

Ora, sapendo che il quadrilatero ABCD ha due diagonali

perpendicolari, che si bisecano, posso affermare con

certezza che il poligono è un rombo.

Elenco delle caratteristiche (o proprietà) di un qualsiasi

rombo.

ha due coppie di lati opposti paralleli

ha i tutti i lati congruenti

ha due coppie di angoli opposti congruenti (due angoli

congruenti sono acuti e due angoli congruenti ottusi)

gli angoli adiacenti a ciascuno dei lati sono

supplementari

ha le diagonali perpendicolari

le diagonali si bisecano

le diagonali sono bisettrici degli angoli

ha due assi di simmetria, che coincidono con le

diagonali

ha un centro di simmetria, che coincide con il punto

d’incontro delle diagonali

Passo, ora, a calcolare il perimetro e l’area del

quadrilatero, come richiesto.

Per quanto riguarda il perimetro di ABCD, sfrutto i calcoli

precedenti, i cui risultati vengono riassunti qui di seguito.

Per quanto riguarda l’area di ABCD, devo calcolare la

lunghezza delle diagonali per applicare la formula

dell’area oppure ragionare in altro modo.

Come in precedenza, per calcolare la lunghezza delle

diagonali devo trovare dei triangoli rettangoli “comodi”

per poter applicare il teorema di Pitagora.

Lo sono il triangolo evidenziato in verde, per calcolare la

diagonale maggiore, ed il triangolo evidenziato in

azzurro, per calcolare la diagonale minore.

Notando che il triangolo ABD è metà quadrato, potevo

anche utilizzare la formuletta .

M

Notando che il triangolo APC è metà quadrato, potevo

utilizzare anche in questo caso la formuletta .

Oppure potevo calcolare il valore dell’area facendo altre

considerazioni.

Riprendiamo in esame un disegno già visto, con

l’aggiunta di due oggetti.

K

Il quadrilatero BMDN è un quadrato formato dal rombo,

da quattro triangoli rettangoli congruenti e da due

quadratini congruenti.

Posso, dunque, calcolare l’area del quadrato, l’area di un

triangolo, l’area di un quadratino e per differenza

calcolare l’area del rombo:

M

N R

S

P

Q

Esercizio 2c

In uno stesso piano cartesiano disegna:

un triangolo ABC, i cui vertici hanno coordinate

un parallelogramma PQRS, i cui vertici sono

Poi, nel piano cartesiano metti in evidenza l’intersezione (cioè la parte comune) tra le due figure .

Che tipo di poligono è l’intersezione tra il triangolo ed il parallelogramma? Perché?

Nel piano cartesiano, riportando i punti e unendoli

nell’ordine assegnato, ciò che si ottiene è mostrato nella

figura che segue, dove in viola è evidenziata l’intersezione.

Il poligono ottenuto per intersezione è un quadrilatero ed,

in particolare, è un trapezio rettangolo: trapezio perché ha

una coppia di lati opposti paralleli (che sono parte di una

coppia di lati opposti del parallelogramma, le basi),

rettangolo perché un lato è perpendicolare ai lati

paralleli.

Esercizio 1d

Disegna un piano cartesiano ortogonale ed in esso inserisci i punti che seguono, poi uniscili nell’ordine dato:

Secondo te che tipo di quadrilatero hai ottenuto? Perché? Quali sono le sue caratteristiche?

Assumendo 1 u = 1 cm, calcola il perimetro e l’area del quadrilatero ABCD.

Nel piano cartesiano, riportando i punti e unendoli

nell’ordine assegnato, ciò che si ottiene è mostrato nella

figura che segue.

Apparentemente, il quadrilatero ABCD è un rettangolo.

D

Ma non posso fare questa affermazione senza prove, devo

dimostrare che ABCD è un rettangolo.

Ecco come posso dimostrarlo.

Faccio valutazioni sui lati.

Per ottenere la misura delle lunghezza di segmenti

orizzontali e verticali, ovvero paralleli agli assi

cartesiani, posso contare le unità.

I due lati opposti AB e CD sono paralleli, così come lo sono

i lati opposti BC e AD.

Se un quadrilatero ha i lati opposti paralleli e congruenti o

è un rettangolo o è un parallelogramma.

Allora esamino gli angoli.

Si vede chiaramente che gli angoli sono tutti congruenti.

Ora, sapendo che il quadrilatero ABCD ha i lati opposti

paralleli e congruenti e che gli angoli sono tutti retti,

posso affermare con certezza che il poligono è un

rettangolo.

Elenco delle caratteristiche (o proprietà) di un qualsiasi

rettangolo.

ha due coppie di lati opposti paralleli e congruenti

ha tutti gli angoli congruenti (retti)

ha le diagonali congruenti

le diagonali si bisecano

ha due assi di simmetria, che passano per i punti medi

dei lati opposti

ha un centro di simmetria, che coincide con il punto

d’incontro delle diagonali

Passo, ora, a calcolare il perimetro e l’area del

quadrilatero, come richiesto.

Per quanto riguarda il perimetro e l’area di ABCD, sfrutto

i calcoli precedenti, i cui risultati vengono riassunti qui

di seguito.

Esercizio 2d

In uno stesso piano cartesiano disegna:

un triangolo ABC, i cui vertici hanno coordinate

un parallelogramma PQRS, i cui vertici sono

Poi, nel piano cartesiano metti in evidenza l’intersezione (cioè la parte comune) tra le due figure .

Che tipo di poligono è l’intersezione tra il triangolo ed il parallelogramma? Perché?

Nel piano cartesiano, riportando i punti e unendoli

nell’ordine assegnato, ciò che si ottiene è mostrato nella

figura che segue, dove in viola è evidenziata l’intersezione.

Il poligono ottenuto per intersezione è un triangolo ed, in

particolare, è un triangolo isoscele, perché ha una coppia

di lati congruenti (entrambi ipotenusa di triangoli

rettangoli congruenti; l’altezza divide a metà la base).