1

Elementi di geodesia

• Origine e compiti della geodesia

La geodesia deriva dal greco geo – daisìa (terra-divisione) anticamente si occupò

della suddivisione dei terreni, mentre a partire dalla fine del secolo XVII, si occupò

dei seguenti problemi:

1. determinazione della forma e delle dimensioni del geoide;

2. determinazione della forma e delle dimensioni dell’ellissoide di rotazione,

forma semplificata del geoide, mediante la definizione degli scostamenti

angolari tra la verticale in un punto del geoide e la normale nel punto

corrispondente dell’ellissoide;

3. determinazione delle latitudini e longitudini, mediante osservazioni

astronomiche;

4. studio dei metodi e strumenti indispensabili per determinare la posizione di

punti della superficie fisica terrestre situati a grandi distanze, per cui non è

possibile trascurare la curvatura terrestre e la rifrazione atmosferica, mediante

triangolazioni e livellazioni;

5. costruzione di carte geografiche, rappresentanti l’intera superficie terrestre o

zone estese, mediante problemi di carattere geometrico differenziale;

6. studio di metodi e strumenti per la determinazione della distribuzione delle

masse interne della terra, mediante misure gravitazionali;

7. studio di metodi e strumenti per seguire i fenomeni delle maree terrestri e

marine, mediante l’osservazione dei fenomeni del magnetismo terrestre.

Poiché oggetto della geodesia è la terra, risulta indispensabile conoscere alcune

notizie inerenti l’origine, i moti, la struttura e la forma.

2

• Origine, struttura e moti della terra

- L’origine

E’ consolidata l’ipotesi che la terra abbia avuto origine, insieme al sole e agli altri

pianeti del sistema solare, da una massa gassosa staccatasi da una nebulosa

primitiva di idrogeno, elio e particelle subatomiche fra i 3 e i 4,6 miliardi di anni fa.

In tempi succesivi, tale massa prese contemporaneamente a raffreddarsi, a contrarsi

e a roteare, assumendo gradualmente la struttura, i moti e la conformazione attuale.

- La struttura

L’effetto combinato dell’enorme calore e dei movimenti disordinati, ha dato luogo a

una prima fase di aggregazione della massa gassosa in composti complessi.

La solidificazione superficiale iniziò quando la temperatura esterna scese sugli 800°

C, la condensazione dei vapori d’acqua presenti nella primitiva atmosfera, quando

tale temperatura scese a valori inferiori a quelli di ebollizione della stessa.

Queste acque, fortemente acide, formarono i primi bacini oceanici, riversando in essi

una notevole quantità di sali provenienti dalla erosione della crosta terrestre. L’azione

chimica e meccanica dei gas atmosferici incrementò questa erosione e determinò

fenomeni di trasporto e sedimentazione dei materiali crostali.

La costituzione della terra, si può dividere in tre zone concentriche:

• La crosta che si estende fino a una profondità di 40 km sotto i continenti e i

10 km sotto gli oceani. Essa è costituita da rocce granitiche, eruttive,

sedimentarie e dioritiche sotto i continenti, da rocce basaltiche sotto gli oceani.

La temperatura aumenta con la profondità con un gradiente termico di 3° C

per ogni 100 m.

• Il mantello che si estende dai 40 km ai 2900 km di profondità. Esso è

costituito da rocce ultrabasiche e inferiormente da uno strato composto da

miscele di magnesio, silicio e ferro. La temperatura continua ad aumentare,

ma con un gradiente termico ridotto a 0,2 – 0,5° C per km, salendo fino a

1500-2000° C.

• Il nucleo che si estende dai 2900 km di profondità fino al centro della terra.

Esso è costituito da uno strato esterno di ferro e nichel allo stato fluido e dal

nucleo centrale di ferro allo stato solido. La temperatura raggiunge valori

dell’ordine di 2000-4000°C.

3

- I moti

I moti inizialmente disordinati e caotici, furono di seguito gradualmente condizionati

dai cambiamenti di stato della materia e dalle leggi di gravitazione universali.

Ad oggi sono stati individuati quattordici movimenti della terra, dei quali i più

significativi ed importanti sono:

Il moto di rotazione attorno all’asse polare, che si compie in un giorno siderale, in

senso antiorario per un osservatore posto nell’emisfero boreale terrestre.

Il moto di rivoluzione attorno al sole, che si compie in un anno siderale, in senso

antiorario per un osservatore posto nell’emisfero boreale celeste. Questo moto

avviene sopra una traiettoria ellittica, nella quale il sole occupa uno dei due fuochi, il

cui piano interseca la sfera celeste secondo una circonferenza chiamata eclittica.

Durante questo movimento, l’asse polare si mantiene inclinato rispetto alla normale

al piano dell’ecclittica di un angolo variabile nel tempo. Il semiasse minore della

traiettoria ellittica è detto linea equinoziale; equinozio di primavera e d’autunno le

posizioni estreme. Il semiasse maggiore è detto linea solstiziale; solstizio d’estate e

d’inverno le posizioni estreme.

• Forma della terra

La superficie terrestre come appare ai nostri occhi, con le sue irregolarità, viene

genericamente definita come superficie fisica della terra.

Lo scopo della topografia è quello di determinare la posizione di un insieme di punti,

opportunamente scelti, in modo da poter rappresentare graficamente la porzione di

superficie terrestre alla quale i punti appartengono.

Nei sistemi di coordinate adottati, per rappresentare zone estese della superficie

fisica della terra, si assume un’opportuna superficie di riferimento e rispetto a essa si

determina la posizione dei punti, ognuno dei quali viene definito dai valori di tre

coordinate. La prima e la seconda coordinata individuano la posizione della

posizione del punto sulla superficie di riferimento (rilievo planimetrico) la terza

rappresenta la distanza del punto dalla superficie stessa (rilievo altimetrico).

Da quanto premesso ne consegue che la soluzione del problema del rilievo passa

fondamentalmente attraverso la scelta di una superficie di riferimento, sulla quale

proiettare i punti della superficie fisica, le cui caratteristiche siano sostanzialmente

quelle di essere definibile da una semplice equazione e di approssimare il più

possibile la forma e le dimensioni reali della terra.

4

- Richiami storici

Le antiche civiltà considerarono la terra di forma piana, poco estesa e simile a un

disco circondato dall’oceano e limitato superiormente dalla cupola del firmamento e

così appariva nelle prime rudimentali carte geografiche. Solo verso la metà del IV

secolo a.C. per opera di matematici e filosofi greci (Pitagora, Aristotele) si intuì che

essa aveva una forma sferica e ne fu data sufficiente dimostrazione da Archimede.

Una volta accertata la sua sfericità, si cercò di calcolarne le principali misure

L’egiziano Eratostene, nel 200 a. C. giunse a determinare con buona

approssimazione il raggio terrestre. Si deve ad Eratostene la prima mappa del

mondo allora conosciuto. Detta mappa riporta un reticolo di meridiani e paralleli

rettilinei ortogonali non equidistanti e passanti per alcune delle città allora più

conosciute.

Le ipotesi di perfetta sfericità della terra furono condizionate dalle scoperte di

Galileo, Newton e Huyghens, risalenti al XVII secolo.

La rotazione della terra intorno al proprio asse, la gravitazione universale e la forza

centrifuga dimostrarono come questa non potesse essere sferica, in quanto tale

forma risulta essere incompatibile con le azioni suddette.

L’assetto definitivo di un corpo qualsiasi e quindi anche della terra, intesa come un

corpo planetario inizialmente allo stato fluido, è di equilibrio sotto l’azione combinata

di forze interne ed esterne che agiscono su di esso.

• Il geoide

In un generico punto della superficie terrestre consideriamo una massa M

sostanzialmente sottoposta a una forza newtoniana n di intensità costante con

direzione verso il centro della terra e a una forza centrifuga c, dovuta al movimento di

rotazione, perpendicolare all’asse di rotazione e di intensità proporzionale alla

distanza di M dall’asse stesso, la risultante g di queste due forze prende il nome di

forza di gravità. In corrispondenza dei poli g assume il massimo valore in quanto si

ha c=0 e quindi g = n; all’equatore si ha g = n – c e quindi la forza di gravità assume

il minimo valore essendo massima la forza centrifuga. L’insieme delle forze g

costituisce il cosiddetto campo gravitazionale terrestre.

Se consideriamo la superficie terrestre deformabile è evidente che essa assume

sotto l’azione della forza di gravità, una forma non sferica ma leggermente

schiacciata ai due poli dove g assume il massimo valore.

5

Poiché la terra è costituita da materiale solido e fluido, non possiamo considerare

realistica l’ipotesi fatta relativamente alla omogeneità della sua massa, ne deriva che,

variando le forze di attrazione n, dipendenti dalla densità, variano in intensità e

direzione anche le forze di gravità secondo la distribuzione della densità delle masse.

6

La conseguenza di tutto ciò è che se pensiamo che il punto M si sposti verso il centro

della terra, la linea di azione della gravità non si mantiene rettilinea, ma diventa una

traiettoria curva detta linea di forza.

La direzione della tangente in un punto della linea di forza rappresenta la verticale

nel punto stesso e coincide con la direzione della forza di gravità in quel punto. (la

direzione della verticale può materializzarsi col filo a piombo)

Tutte le infinite superfici che hanno la caratteristica per cui in ogni punto la tangente

è perpendicolare alla verticale nel punto stesso, si chiamano superfici di livello o

equipotenziali.

La superficie equipotenziale che passa per il livello medio del mare in un determinato

punto si chiama geoide e si assume come superficie di riferimento primaria nelle

operazioni topografiche.

7

Il geoide è la superficie matematica della terra e si presenta con una forma molto

complessa caratterizzata da lievi ondulazioni dette geoidiche, connesse alla

variazione del campo gravitazionale.

Poiché l’unica materia mutevole di forma e di posizione sul nostro pianeta è l’acqua

marina, si può dedurre che la forma della terra è individuabile nel modo migliore dalla

conformazione globale della superficie del mare, nell’ipotesi di mancanza di cause

perturbatrici quali maree e correnti e supponendola estesa idealmente sotto i

continenti. Questa particolare teorica superficie è detta geoide.

Il geoide è la superficie sferica di riferimento di tutti i punti della terra, data dal livello

medio dei mari considerato esteso anche sotto le terre emerse.

• Coordinate geografiche astronomiche

La posizione planimetrica di un punto sopra la superficie di riferimento e cioè la

proiezione di un punto su tale superficie è definita dalle coordinate geografiche.

Le coordinate geografiche astronomiche sono riferite al geoide perché utilizzano il

concetto gravitazionale di verticale e sono così chiamate perché si deducono

mediante osservazioni di carattere astronomico.

Valgono le seguenti definizioni:

- Sfera celeste: è quella sfera, di raggio infinitamente grande, sulla quale un

osservatore terrestre vede apparentemente situati gli astri. La sfera celeste appare

dotata di un moto di rotazione attorno ad un asse detto asse celeste o asse del

mondo. I punti in cui l’asse celeste incontra la sfera celeste si chiamano poli celesti.

8

- Verticale in un punto P: direzione v della forza di gravità in esso.

- Zenit astronomico: è il punto intersezione della verticale v di un punto P con la

sfera celeste dalla parte esterna alla terra.

- Nadir astronomico: è il punto intersezione della verticale v di un punto P con la

sfera celeste passante per il centro della terra, dalla parte opposta rispetto allo zenit.

- Piano orizzontale astronomico: piano passante per P e normale alla direzione

della verticale v.

- Piano equatoriale: piano normale all’asse polare ed equidistante dai poli.

- Piano meridiano astronomico di P: piano individuato dalla verticale v in P e dalla

parallela p in P all’asse polare. Questo piano in genere è parallelo all’asse polare,

ma può anche passare per esso.

- Primo piano meridiano astronomico: è quello passante per Greenwich in

Londra (internazionale) o per Monte Mario (nazionale).

- Latitudine astronomica o geoidica fa: angolo che la verticale v passante per P

forma con il piano equatoriale del geoide . Varia fra 0° (all’equatore) e 90° (ai poli) si

distingue in latitudine Nord (nell’emisfero Boreale) e Sud (in quello australe).

- Longitudine astronomica o geoidica la: angolo diedro formato fra il piano

meridiano astronomico passante per P e il primo piano meridiano di riferimento.

Varia fra 0° e 180°, in senso orario e antiorario (longitudine Ovest e longitudine Est).

- Coordinate astronomiche: sono la latitudine fa e la longitudine la suddette.

9

- Parallelo astronomico: è il luogo dei punti aventi la stessa latitudine, ha la forma di

una linea gobba assai vicina al cerchio.

- Meridiano astronomico: è il luogo dei punti aventi la stessa longitudine, ha la

forma di una linea gobba assai vicina a una ellisse.

- Punti cardinali: l’orientamento Nord-Sud nel punto P è dato dalla retta intersezione

fra il piano meridiano astronomico e il piano orizzontale nel punto stesso, la normale

a questa retta sul piano orizzontale stabilisce la direzione Ovest-Est.

Si definisce meridiano il luogo dei punti aventi la stessa longitudine e si

definisce parallelo il luogo dei punti aventi la stessa latitudine.

• L’ellissoide di rotazione

La complessità della forma del geoide ha indotto la necessità di ricercare una

conformazione rappresentativa della terra in modo più semplice che servisse a

risolvere più facilmente i problemi geodetici planimetrici. Per le quote bisogna riferirsi

sempre al geoide,perché gli strumenti le misurano riferendole al concetto di verticale,

che è definibile partendo da quello di gravità.

La superficie più prossima al geoide, matematicamente e geometricamente definibile

in modo semplice, è quella di un ellissoide di rotazione, teoricamente ottenuto dalla

rotazione nello spazio di un ellisse di semiassi a e b (rispettivamente detti semiasse

equatore) intorno al semiasse minore b supposto coincidente con l’asse polare

terrestre.

L’equazione dell’ellissoide è matematicamente semplice e riferita al sistema di assi

cartesiani ortogonali spaziali con origine nel centro della terra e asse z coincidente

con l’asse polare risulta essere dalla geometria analitica la seguente:

10

12

2

2

22

=++

bz

ayx

dalla quale si deducono, per intersezione con i piani di equazione z=0 e Y=0

rispettivamente la equazione della circonferenza equatoriale: 222 ayx =+

schiacciamento: a

bas

−=

eccentricità: 2

22

aba

e−

=

Fino al 1924 in Italia venne adottato l’ellissoide calcolato nel 1941 dal tedesco

Bessel i suoi parametri sono:

semiasse maggiore dell’ellisse: a = 6377397,15 m

semiasse minore dell’ellisse: b = 6356078,96 m

schiacciamento: s = 1/299

eccentricità: e = 0,082 m

Altri valori vennero calcolati nel 1880 dall’inglese Clarke, nel 1906 dal tedesco

Helmert, nel 1909 dall’americano Hayford, nel 1942 dal russo Grassovsky.

Nel 1947 l’Unione Geodetica e Geofisica Internazionale ha proposto i seguenti

parametri:

semiasse maggiore dell’ellisse: a = 6378160 m

semiasse minore dell’ellisse: b = 6356758 m

schiacciamento: s = 1/298

eccentricità: e = 0,0818 m

Tale ellissoide viene chiamato ellissoide internazionale.

• Coordinate geografiche ellissoidiche

La posizione planimetrica di un punto sopra la superficie di riferimento e cioè la

proiezione di un punto su tale superficie è definita dalle coordinate geografiche.

A causa delle irregolarità del geoide, la normale alla sua superficie (verticale fisica)

che è data dalla direzione del filo a piombo, non coincide perfettamente con la

normale all’ellissoide: le due direzioni formano un angolo a definito deviazione della

verticale che dipende dagli scostamenti tra le due superfici.

Le coordinate geografiche ellissoidiche sono riferite all’ellissoide di rotazione.

11

Si definiscono come le coordinate astronomiche, sostituendo alla verticale v nel

punto P, la normale n all’ellissoide.

- Latitudine ellissoidica fe: è l’angolo che la normale n all’ellissoide, passante per

P forma con il piano equatoriale dell’ellissoide. Varia fra 0° (all’equatore) e 90° (ai

poli) si distingue in latitudine Nord (nell’emisfero Boreale) e Sud (in quello australe).

- Longitudine ellissoidica le: è l’angolo diedro formato fra il piano meridiano

passante per P e il primo piano meridiano di riferimento. Varia fra 0° e 180°, in senso

orario e antiorario (longitudine Ovest e longitudine Est).

Ne seguono le seguenti variazioni:

• i piani meridiani passano tutti per l’asse polare, formando fascio;

• i meridiani sono tutte ellissi uguali;

• i paralleli sono dei cerchi, di raggio progressivamente decrescente

all’aumentare della loro latitudine.

.

Tutti i piani passanti per la normale in P all’ellissoide si chiamano piani verticali e

tagliano l’ellissoide secondo sezioni ellittiche di dimensioni variabili che si chiamano

sezioni normali e dipendono dalla direzione del piano verticale.

La sezione normale che si ottiene con il piano meridiano per P è detta ellisse

meridiana e il suo raggio di curvatura si suole indicare con r.

Il raggio di curvatura della sezione ottenuta con il piano verticale ortogonale al piano

meridiano si indica con N e si chiama gran normale.

Questi due raggi si dicono raggi principali di curvatura e sono esprimibili in funzione

della latitudine di P e dei parametri che definiscono l’ellissoide:

12

( )( )3

22

2

1

1

ϕρ

sene

ea

−

−=

ϕ221 sene

aN

−=

In cui a = semiasse maggiore dell’ellisse, e = eccentricità f = latitudine di P.

I raggi di curvatura delle ellissi ottenute con altri piani verticali, compresi tra i due

precedentemente considerati, assumono tutti i valori che vanno dal più piccolo raggio

di curvatura r al più grande N.

Si definisce meridiano il luogo dei punti aventi la stessa longitudine e si definisce

parallelo il luogo dei punti aventi la stessa latitudine.

I paralleli e i meridiani si intersecano ad angolo retto e costituiscono il reticolo

geografico.

Il grado di latitudine = grado di meridiano.

La lunghezza di tale grado è quasi costante e pari a circa 111 km con una lieve

differenza in meno alle latitudini basse e in più in quelle alte, conseguenza dello

schiacciamento ai poli.

Il grado di longitudine = grado di parallelo.

La lunghezza di tale grado diminuisce dall’equatore ai poli.

13

Se consideriamo sull’ellissoide di riferimento la proiezione di due punti della

superficie fisica della terra, si definisce geodetica la linea curva che congiunge le

due proiezioni secondo il percorso minimo. La distanza calcolata secondo la linea

geodetica si chiama distanza geodetica.

• Campo geodetico di Weingarten – Sfera locale

Dicesi campo geodetico di Weingarten la zona compresa nel raggio di 110 km

circa attorno al punto P dell’ellissoide di rotazione, che può essere sostituita, nelle

operazioni planimetriche, con una sfera tangente internamente in P all’ellissoide

medesimo, con un’approssimazione compatibile col grado di precisione degli

strumenti geodetici moderni più perfezionati.

Il limite di 110 km non è invece valido nelle operazioni altimetriche, nelle quali si

avrebbero errori inaccettabili per distanze superiori ai 30 km.

La sfera che si adatta bene all’ellissoide, da combaciare quasi perfettamente con la

sua superficie, è detta sfera locale ed ha il raggio uguale alla media geometrica dei

14

due raggi principali di curvatura dell’ellissoide, calcolati con la latitudine astronomica

nel punto P, cioè:

NR .ρ= ϕ22

2

11sene

eaR−

−=

a = semiasse maggiore ellissoide

e = eccentricità dell’ellisse generatrice dell’ellissoide

f = latitudine di P.

• Teorema di Legendre

Supponiamo di aver rilevato, attraverso la misura degli angoli e dei lati, un triangolo

geodetico, cioè la figura individuata sull’ellissoide da tre punti e dalle geodetiche che

li congiungono a due a due, se la lunghezza dei suoi lati risulta inferiore alle

dimensioni del campo geodetico allora potrà essere considerato come un triangolo

sferico restando inalterati i lati e gli angoli. La risoluzione del triangolo sferico viene

effettuata mediante le formule della trigonometria piana previa correzione degli angoli

sferici di una quantità pari a un terzo dell’eccesso sferico, calcolato come rapporto tra

l’area del triangolo sferico e il quadrato del raggio della sfera locale.

a' = a – e”/ 3

in cui l’eccesso sferico e” in secondi è dato da: e”= S 206265”/ R2

• Campo topografico

Il campo topografico è quella porzione di superficie terrestre (raggio circa 25 km per

rilievi di buona precisione e 10 km per i rilievi ad alta precisione) che circonda un

punto P, in cui è lecito sostituire alla sfera locale il piano tangente in P, che è

orizzontale, senza commettere errori apprezzabili nel calcolo delle distanze e delle

15

aree topografiche. Il limite di tale campo attorno al punto P è condizionato dalla

precisione che si vuole raggiungere nelle misure.

• Concetto di distanza

La distanza fra due punti della superficie fisica della terra è la linea di minima

lunghezza delle proiezioni dei due punti sopra una superficie di riferimento.

La distanza topografica tra due punti A e B della superficie fisica della terra è

rappresentata dalla distanza tra le due proiezioni A0 e B0 di detti punti sul piano

orizzontale di riferimento, proiezioni ottenute mediante le verticali passanti per A e B.

Per i rilievi altimetrici l’estensione del campo topografico si riduce a qualche centinaio

di metri, in quanto l’effetto della curvatura si ripercuote sui dislivelli.

16

• Quota ortometrica

Si chiama quota ortometrica di un punto, o semplicemente quota, il tratto di

verticale compreso tra il punto e la superficie del geoide, cioè praticamente tra il

punto e la superficie media dei mari, supposta quest’ultima, estesa sotto i continenti.

Tutti i punti sulla superficie del geoide si considerano a quota zero.

Poiché l’unica direzione perfettamente individuabile in un punto A è quella della

verticale, poiché gli strumenti topografici individuano facilmente la direzione della

17

verticale in un punto, risulta indispensabile riferire la quota ortometrica sempre e

soltanto al geoide e non all’ellissoide.

La quota relativa di un punto della superficie fisica della terra è la distanza, presa

secondo la verticale del punto, fra il punto e il piano orizzontale, assunto come

riferimento relativo, passante per un altro punto.

• Influenza dell’errore di sfericità

- Influenza dell’errore di sfericità nelle distanze topografiche.

d = R tang m

m” = l * 206265 / R R = 6.371.000 m

l’errore è dato dalla differenza l – d dove:

d = distanza tra i punti A e B proiettata sul piano orizzontale passante per A

l = distanza tra i punti A e B sulla superficie di riferimento.

- Influenza dell’errore di sfericità negli angoli orizzontali.

18

Dato un triangolo sferico equilatero con lato l

L’errore di sfericità complessivo nei tre angoli è dato dall’eccesso sferico.

l’eccesso sferico e” in secondi è dato da: e”= S 206265”/ R2

- Influenza dell’errore di sfericità nel calcolo del dislivello fra punti.

La quantità D2/2R rappresenta l’errore di sfericità della terra, cioè l’errore che si

commetterebbe nella determinazione della quota di un punto qualora si assumesse

come superficie di riferimento per le quote, il piano tangente anziché la sfera locale.