“Teoria e metodi della ricerca sociale e organizzativa”
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1 “Teoria e metodi della ricerca sociale e organizzativa” Corso di Laurea in Scienze dell’Organizzazione Facoltà di Sociologia Università Milano-Bicocca 2009 Simone Sarti
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“Teoria e metodi della ricerca sociale e organizzativa”. Corso di Laurea in Scienze dell’Organizzazione Facoltà di Sociologia Università Milano-Bicocca 2009 Simone Sarti. Elementi introduttivi di statistica. LA PROBABILITA’. Definizione classica (o frequentista): - PowerPoint PPT Presentation
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“Teoria e metodi della ricerca sociale e organizzativa”
Corso di Laurea in Scienze dell’OrganizzazioneFacoltà di Sociologia
Università Milano-Bicocca
2009Simone Sarti
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Elementi introduttivi di statistica
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LA PROBABILITA’
Definizione classica (o frequentista):
la probabilità di evento è il rapporto tra la frequenza con cui un evento accade e l’insieme degli eventi possibili.
5,02
1
)(
)()(
possibilieventi
testaeventitestap
La probabilità che dal lancio di una moneta otteniamo testa è 0,5.
16,06
1
)(
)1()1(
possibilieventi
eventip
La probabilità che dal lancio di un dado otteniamo 1 è 0,16.
4
LA PROBABILITA’
11,036
4
)(
)5()5(
possibilieventi
eventip
La probabilità che dal lancio di due dadi otteniamo 5 è 0,11.
D1 D2 Tot D1 D2 Tot D1 D2 Tot D1 D2 Tot D1 D2 Tot D1 D2 Tot
1 1 2 2 1 3 3 1 4 4 1 5 5 1 6 6 1 7
1 2 3 2 2 4 3 2 5 4 2 6 5 2 7 6 2 8
1 3 4 2 3 5 3 3 6 4 3 7 5 3 8 6 3 9
1 4 5 2 4 6 3 4 7 4 4 8 5 4 9 6 4 10
1 5 6 2 5 7 3 5 8 4 5 9 5 5 10 6 5 11
1 6 7 2 6 8 3 6 9 4 6 10 5 6 11 6 6 12
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DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA’
La distribuzione di probabilità rappresenta come le probabilità sono associate ai diversi eventi (discreti).
La somma delle probabilità da sempre 1.
Risultato del lancio di una moneta
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
o x
6
DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA’
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Somma ricavata dal lancio di due dadi
Evento più probabile
LA FUNZIONE DI PROBABILITA’ è una funzione algebrica che
descrive la forma della distribuzione di probabilità
)( xXPxpX
La funzione di probabilità assegna una probabilità ad ogni realizzazione x della
variabile casuale discreta X.
px(2)=0.03
px(3)=0.06
px(4)=0.08
px(5)=0.11
px(6)=0.14
px(7)=0.17
px(8)=0.14
px(9)=0.11
px(10)
=0.08
px(11)
=0.06
px(12)
=0.03
1 xpX
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Se invece di avere un numero discreto di eventi, ne avessimo uno continuo le funzioni di probabilità sono funzioni di
densità di probabilità ed avrebbero la forma di una linea.
In tal caso l’area sottesa alla curva darebbe valore 1.
p
Reddito0 1300 4000
L’area è uguale a 1.
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Molti fenomeni hanno una distribuzione che approssima una distribuzione nota detta curva normale o gaussiana.
Z
L’area è uguale a 1.p(Z)
10
Somma ricavata dal lancio di due dadi
p
x
0,17
0,08
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Statura in cm, maschi 20-64 anni
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«E non è ingiusto, questo? Non è forse vero che chi si comporta così, evidentemente vive tra gli uomini senza averne nessuna esperienza? Se, infatti, li conoscesse appena, saprebbe che son pochi quelli veramente buoni o completamente malvagi e che per la maggior parte, invece, sono dei mediocri.»
«In che senso?» feci.
«È lo stesso delle cose molto piccole e molto grandi. Credi forse che sia tanto facile trovare un uomo o un cane o un altro essere qualunque molto grande o molto piccolo o, che so io, uno molto veloce o molto lento o molto brutto o molto bello o tutto bianco o tutto nero? Non ti sei mai accorto che in tutte le cose gli estremi sono rari mentre gli aspetti intermedi sono frequenti, anzi numerosi?»
Platone, Fedone, XXXIX
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La curva normale ha delle proprietà statistiche, per cui ad un valore sull’asse delle ascisse corrisponde
un preciso valore dell’area della curva.
xxp
xX
Za
1
p(x)
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Quando la curva normale è standardizzata (media=0, varianza=1) i valori in ascissa sono detti
punteggi ZETA (Z) e ai punti zeta è possibile associare direttamente l’area sottesa alla curva in
base ad alcune tavole statistiche.
Z
Quando za>1
L’area vale 0,159
za
p(z)
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ALTRI VALORI DI CORRISPONDENZA TRA Z E LA DENSITA’ DI PROBABILITA’
0,500 = P{ z < 0 }0,500 = P{ z > 0 }0,900 = P{- 1,65 < z < +1,65 }0,950 = P{- 1,96 < z < +1,96 } 0,955 = P{- 2 < z < + 2 } 0,990 = P{- 2,58 < z < + 2,58 } 0,997 = P{ - 3 < z < + 3 }
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QUALSIASI DISTRIBUZIONE CONTINUA PUO’ ESSERE STANDARDIZZATA
xx
Z i Una distribuzione standardizzata ha media uguale a 0 e deviazione standard (o varianza) uguale a 1.
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Elementi introduttivi di statistica inferenziale
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Elementi introduttivi di statistica inferenziale
Si usano le lettere latine per il campione, quelle greche per la popolazione (o universo)
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Statistica descrittiva e statistica inferenzialeLa statistica descrittiva si propone di riassumere le proprietà di un campione di osservazione (distribuzioni di frequenze, valori tipici).Queste statistiche non offrono alcuna informazione diretta sulla popolazione dalla quale è stato tratto il campione analizzato.Per ottenere tali informazioni è necessario ricorrere alla statistica inferenziale che, applicando la teoria matematica della probabilità, desume le caratteristiche dell’intera popolazione sulla base dell’evidenza campionaria disponibile.
Un’inferenza è una generalizzazione o conclusione riguardante una data popolazione formulata sulla base di dati campionari. Se un campione è altamente “rappresentativo” della popolazione di riferimento, allora le inferenze relative a quest’ultima possono essere formulate con un elevato livello di accuratezza (sebbene mai con certezza).
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Il fatto che ci rivolgiamo ad un campione, che è solo una parte della popolazione, comporta che le “misure” che effettuiamo sul campione sono in qualche modo sbagliate.
Più correttamente, le STIME che effettuiamo sul campione hanno un certo grado di INCERTEZZA.
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Quando parliamo di valori tipici della popolazione, parliamo di PARAMETRI
Quando parliamo di valori tipici di un campione, parliamo di STATISTICHE.
Quando facciamo inferenza, attribuiamo conclusioni fatte sul campione alla popolazione, parliamo allora di STIME DI
PARAMETRI, e relativi INTERVALLI DI CONFIDENZA (o di intervalli di credibilità nella statistica bayesiana)
Si usano le lettere latine per il campione (S, X, Y..) quelle greche per la popolazione (μ, σ , …)
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Teorema del limite centrale
Se tutti i possibili campioni casuali di numerosità n vengono estratti da una data popolazione avente media mu e varianza sigma-quadro,
all’aumentare di n le medie di questi campioni approssimeranno una distribuzione normale, con media mu e varianza sigma-quadro/N.
Indipendentemente dalla forma della distribuzione !
YY n
YY
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Media della popolazione Varianza della
popolazione
Media delle medie
campionarieVarianza
delle medie campionarie
universo
Media, varianza
Media, varianza
campioni
………………
Distribuzione delle medie campionarie
Y
Y
YY
nY
Y
22
2Y
2Y
Media, varianzaMedia, varianzaMedia, varianza
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Teorema del limite centrale
La varianza delle medie campionarie diminuisce all’aumentare della grandezza del campione (n). Si parla di ERRORE STANDARD.
Più grandi sono i campioni, minore è l’errore standard e più precisa è la media campionaria nello stimare la media della popolazione.
nY
Y
22
nse Y
Y
2
..
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Teorema del limite centrale
Distribuendosi le medie campionarie secondo una curva normale, possiamo conoscere la probabilità che le medie campionarie siano
comprese in un dato intervallo.
nse Y
2
..
Teorema del limite centrale
UNIVERSO 100000 CASI
Campione 1 Campione 2 Campione 3 Campione 4 Campione t. . .100 100 100 100 100
. . .
Media=173 Media=174 Media=176 Media=172 Media=175
Le medie campionarie (sotto) approssimano la media della popolazione (174) a meno di un certo margine di incertezza
(che dipende dall’errore standard).
Media= 174 Dev.std.=15
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Teorema del limite centrale
UNIVERSO 100000 CASI
Campione 1 Campione 2 Campione 3 Campione 4 Campione t. . .100 100 100 100 100
. . .
Media=173 Media=174 Media=176 Media=172 Media=175
5,1100
15..
22
n
se Y
Media= 174 Dev.std.=15
n campionario uguale a 100
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Z
YZY 2
2Z 2Z
0,950,025 0,025
Il 95% di tutte le medie campionarie sono comprese nell’intervallo: 96,12 Z
05,0
p(Z)
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Sappiamo che Z ritaglia un’area di 0,95 con valori corrispondenti a più/meno 1,96.
YZY 2 5,196,1 Y
Se consideriamo il primo campione estratto abbiamo che l’incertezza della stima del valore medio di questo campione riguarda l’intervallo:
5,196,1173
1,170 9,176
30
Se stiamo lavorando sul primo campione estratto abbiamo che l’incertezza della stima del valore medio
dell’altezza nella popolazione riguarda l’intervallo:
5,196,1173
1,170 9,176
Estratti un numero molto elevato di campioni di numerosità 100, l’altezza è nel 95% dei casi
compresa tra 170,1 e 176,9
31
0,950,025 0,025
173 176,9170,1
5,196,1173
0,95
0,025 0,025
Prendendo un campione più ampio… n=1000
174 174,9173,1
47,096,1174
170 175,4164,6
0,95
0,025 0,025
Prendendo un campione più piccolo … n=30
74,296,1170
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Incertezza e numerosità campionaria
YZY 2
n=1000
n=100
n=50
Y
L’e.s. è funzione di n
270,6 300 329,4
0
270,6 300 329,4
10
18
27
• •• •• •• • •• • •• •• • •• •• ••••• • ••• ••• ••••• •• •• • •• • •• •• •• •• •••• • ••
1
^
95%
Esempio tratto da M.Pisati, “Analisi dei dati”
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Quando la deviazione standard della popolazione non è nota, e la numerosità del campione è elevata, è
possibile stimare l’errore standard usando la deviazione standard del campione.
n
sseStima Y
Y
2
ˆ.).( IN TAL CASO PERO’ SI USA LA DISTRIBUZIONE t di
Student, una distribuzione che approssima la curva normale, ma che ha errori standard più ampi (le code
sono più lunghe) ed è funzione anche della dimensione del campione.
Se n è molto grande T e Z convergono.
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VALORI DI CORRISPONDENZA TRA T E LA DENSITA’ DI PROBABILITA’:
0,500 = P{ t < 0 }0,500 = P{ t > 0 }0,900 = P{- 1,66 < t < +1,66 }0,950 = P{- 1,98 < t < +1,98 } 0,990 = P{- 2,62 < t < + 2,62 }
0,500 = P{ t < 0 }0,500 = P{ t > 0 }0,900 = P{- 1,65 < t < +1,65 }0,950 = P{- 1,96 < t < +1,96 } 0,990 = P{- 2,57 < t < + 2,57 }
PER n=100
PER n molto grande(convergono con Z)
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Test di significatività
Se testiamo un’ipotesi su un campione, quanto la risposta che diamo a questa ipotesi è “vera” anche nella
popolazione?
