Appunti del corso di

METODI MATEMATICI DELLA FISICA

Guido Cognola ∗

anno accademico 2006-2007

Questi appunti sono essenzialmente la trascrizione, in maniera schematica e concisa, delle lezioni svoltenel corso di Metodi Matematici della Fisica – Prima Unita – nell’anno accademico 2006-2007.

Il materiale e preso dai libri di testo consigliati e non deve assolutamente diventare un sostituto deglistessi.

∗e-mail:cognola@science.unitn.it

Indice

1 Numeri complessi 4

2 Funzioni di variabile complessa 4

2.1 Alcune funzioni importanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Funzioni analitiche 8

3.1 Condizioni di Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Integrazione nel campo complesso 9

4.1 Teorema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.2 Rappresentazione integrale di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5 Sviluppi in serie di Taylor e Laurent 13

5.1 Singolarita isolate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.2 Singolarita all’infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6 Classificazione delle funzioni 17

7 Residui 17

7.1 Teorema dei residui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

7.2 Indicatore logaritmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

7.3 Sviluppo di Mittag-Leffler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

8 Prolungamento analitico 21

8.1 Metodo di Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

8.2 Punti di diramazione e funzioni polidrome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

8.3 Funzioni con bordo naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

9 Funzioni speciali 24

9.1 Funzione Gamma di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

9.2 Funzione Zeta di Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

10 Complementi 27

10.1 Lemma di Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

10.2 Somma di serie numeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

10.3 Integrazione di funzioni trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

10.4 Valore principale di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

10.5 Trasformate di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

i

11 Applicazioni 32

11.1 Integrali di Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

11.2 Sviluppi di Mittag-Leffler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

11.3 Quantizzazione secondo Bohr-Sommerfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

12 Spazio Euclideo (complesso) 39

12.1 Esempi di spazi euclidei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

12.2 Sistemi ortonormali chiusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

12.3 Teorema di Riesz-Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

12.4 Lo spazio L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

12.5 Basi ortonormali in L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

12.5.1 Sistema trigonometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

12.6 Forma complessa della serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

13 Serie di Fourier 46

13.1 Convergenza della serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

13.1.1 Convergenza puntuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

14 Integrale di Fourier 48

14.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

14.2 Alcune importanti proprieta della trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

14.3 Trasformata di Fourier in piu variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

14.4 Soluzione di equazioni differenziali mediante la trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . 50

14.5 Trasformata di Fourier in L2(−∞,∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

14.6 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

15 Trasformata di Laplace 55

15.1 Proprieta della trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

15.2 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

15.3 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

ii

Testi consigliati

E.C. Titchmarsh, The Theory of Functions, second editions, Oxford U.P. (1968).A.N. Kolmogorov and S.V. Fomin. Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale. EdizioniMIR 1980.M.R. Spiegel, Teoria ed Applicazioni delle Variabili Complesse, Collana Schaum, Etas Libri, Milano(1985).G.Arfken, H. Weber, Mathematical Methods for Physicists, Harcourt Academic Press (2001).

iii

PRIMA PARTE

Definizioni e richiami

• Un insieme si dice semplicemente connesso se ogni curva chiusa contenuta al suo interno e con-trattibile ad un punto. Di seguito, se non specificato diversamente, con D si indichera sempre uninsieme semplicemente connesso.

• IR e IC rappresentano i campi dei numeri reali e complessi rispettivamente. Se non specificatoaltrimenti, x, y, ϑ saranno variabili reali, z = x + iy sara una variabile complessa, z∗ ≡ z = x− iyla sua variabile coniugata, |z| il modulo, x = Re z, y = Im z e ϑ = arg z la parte reale, la parteimmaginaria e l’argomento rispettivamente.

• Con γ,Γ si indicheranno curve generiche nel piano complesso e con C curve chiuse. Il verso dipercorrenza di una curva chiusa si dira positivo se lungo il cammino la regione interna rimanesempre a sinistra della curva stessa. Di fatto, se la regione interna contiene solo punti al finito,allora il verso di percorrenza positivo coincide con il verso antiorario, mentre coincide con il versoorario se la regione interna contiene l’infinito.

• Di norma, con f(z) si indichera una funzione ad un solo valore definita in un dominio semplicementeconnesso D.

Sviluppi in serie

• serie esponenziale:

ex =

∞∑

n=0

xn

n!, (|x| <∞) ;

• serie iperbolica:

coshx =

∞∑

n=0

x2n

(2n)!, sinhx =

∞∑

n=0

x2n+1

(2n+ 1)!, (|x| <∞) ;

• serie trigonometrica:

cosx =

∞∑

n=0

(−1)n x2n

(2n)!, sinx =

∞∑

n=0

(−1)n x2n+1

(2n+ 1)!, (|x| <∞) ;

• serie logaritmica:

log(1 + x) = −∞∑

n=1

(−1)n xn

n, (|x| < 1) ;

• serie geometrica:

1

1 − x=

∞∑

n=0

xn , (|x| < 1) ;1

1 − x= −

∞∑

n=1

1

xn, (|x| > 1) ;

1

• derivata della serie geometrica:

1

(1 − x)2=

∞∑

n=0

(n+ 1)xn , (|x| < 1) ;1

1 − x=

∞∑

n=2

n− 1

xn, (|x| > 1) ;

• radice quadrata:

√1 + x ∼ 1 +

x

2− x2

8+ ... ,

1√1 + x

∼ 1 − x

2+

3x2

8+ ... , (|x| < 1) ;

2

3

1 Numeri complessi

I numeri complessi emergono in modo naturale come soluzione delle equazioni algebriche di grado supe-riore al primo1 e si trovano nelle opere di alcuni matematici del XVI secolo come Girolamo Cardano eRafael Bombelli. Quest’ultimo in particolare studio le loro proprieta. Il termine “immaginari”, dovuto aRene Descartes (1596-1650), viene introdotto per indicare delle soluzioni a quel tempo considerate fittiziee irreali. Come conseguenza di questa terminologia, i numeri “non immaginari” vengono chiamati “reali”nel IXX secolo.

Da un punto di vista formale, un numero complesso z e definito come una coppia ordinata di numerireali z ≡ (x, y) e con tale notazione, l’unita reale e immaginaria sono rappresentate rispettivamente dallecoppie 1 ≡ (1, 0) e

√−1 ≡ i ≡ (0, 1).

Dal punto di vista del calcolo e molto piu utile usare la notazione algebrica z = x+ iy a cui corrispondeun’intuitiva rappresentazione grafica (geometrica)2. In questa notazione x = Re z e y = Im z sono detterispettivamente parte reale e parte immaginaria del numero complesso z.

Dalla rappresentazione geometrica e immediato ottenere la rappresentazione polare (o trigonometrica)

z = ρ(cosϑ+ i sinϑ) , ρ = |z| , tanϑ =y

x,

dove ρ =√

x2 + y2 e ϑ = arg z sono detti rispettivamente modulo e argomento di z. La rappresentazionepolare puo essere scritta usando la formula di Eulero3

eiϑ = cosϑ+ i sinϑ =⇒ eiπ = −1 ,

che si dimostra rapidamente confrontando gli sviluppi di Taylor delle funzioni trigonomatriche e dell’e-sponenziale. In questo modo si ottiene

z = ρ(cosϑ+ i sinϑ) = ρ eiϑ

e questa espressione permette di ricavare rapidamente le formule

z1z2 = ρ1ρ2 ei(ϑ1+ϑ2) , z

(n)k = e2πik/n , k = 0, 1, 2, ..., n− 1 ,

dove z(n)k sono le n radici n− esime dell’unita, ossia [z

(n)k ]n = 1, mentre le radici di un numero qualsiasi

z = ρeiϑ sono

z(n)k = n

√ρ ei(ϑ+2πk)/n , [z

(n)k ]n = z , k = 0, 1, ..., n− 1 .

2 Funzioni di variabile complessa

L’estensione dei concetti di funzione, limite e continuita dal campo dei numeri reali a quello dei numericomplessi non presenta particolari difficolta in quanto una funzione complessa f(z) si puo vedere comesomma di due funzioni reali (di due variabili), vale a dire

f(z) = u(x, y) + iv(x, y) , u(x, y) = Re f(z) , v(x, y) = Im f(z) .

1Teorema fondamentale dell’algebra: ogni equazione algebrica di grado arbitrario ha almeno una radice nel campocomplesso, sia che i coefficienti siano reali o complessi (Carl Friedrich Gauss, 1799).

2Questa rappresentazione era usata da Gauss nelle dimostrazioni, ma non compariva nelle pubblicazioni ufficiali in quanto“non ortodossa”.

3Leonhard Eulero (1707-1783).

4

z

x

y

0

θ

z

z

z z

z

z

2 1

3

4 5

0

Re z

Im z

Re z

Im z

0

Figura 1: rappresentazione geometrica (a sinistra) —— 6√

1 (a destra)

Ad esempio f(z) si dira continua nel punto z0 se fissato ε > 0 esiste δ > 0 per cui

|f(z) − f(z0)| < ε , ∀z tale che |z − z0| < δ .

Usando la disuguaglianza triangolare si verifica facilmente che f(z) e continua in z0 = x0 + iy0 se e solose u(x, y) e v(x, y), come funzioni di due variabili, sono continue nel punto P0 ≡ (x0, y0).

L’estensione del concetto di derivata e piu “problematica” in quanto il rapporto incrementale in generaleha un limite che dipende da come tendono a zero gli incrementi che lo definiscono. Per chiarire meglioquesto concetto si consideri la funzione complessa di variabile complessa

f(z) = z + 2z = u(x, y) + iv(x, y) =⇒ u(x, y) = 3x , v(x, y) = −y

e il rapporto incrementale

∆ f(z)

∆ z≡ f(z) − f(z0)

z − z0=

∆u(x, y) + i∆ v(x, y)

∆x+ i∆ y=

3∆x− i∆ y

∆x+ i∆ y.

Nel limite in cui ∆ z → 0 questo dovrebbe definire la derivata della funzione in z0, ma si vede chiaramenteche questo limite non e unico. Esistono infatti infiniti limiti corrispondenti agli infiniti modi di far tendere∆ z = z − z0 → 0. Ad esempio, facendo tendere a zero prima ∆x e successivamente ∆ y si ottiene

lim∆ y→0

lim∆ x→0

[

3∆x− i∆ y

∆x+ i∆ y

]

= −1 .

Viceversa, scambiando l’ordine si ricava

lim∆ x→0

lim∆ y→0

[

3∆x− i∆ y

∆x+ i∆ y

]

= 3 .

Piu in generale si puo porre ∆ y = α∆x e quindi

lim∆ x→0

[

3∆x− i∆ y

∆x+ i∆ y

]

= lim∆ x→0

[

3∆x− iα∆x

∆x+ iα∆x

]

= −1 +4

1 + iα,

da cui segue che il limite dipende dal rapporto α = ∆ y/∆x.

5

La funzione f(z) si dira differenziabile in z0 quando il limite del rapporto incrementale esiste ed e unicoe piu precisamente, se e solo se esiste un numero λ ∈ IC e una funzione ω(z, z0) tali che

f(z) − f(z0) = λ(z − z0) + ω(z, z0) , limz→z0

∣

∣

∣

∣

ω(z, z0)

z − z0

∣

∣

∣

∣

= 0 . (2.1)

In tal caso λ = df/dz|z=z0si dira derivata di f(z) in z0. Per quanto visto sopra, la derivabilita di u(x, y)

e v(x, y) non e sufficiente a garantire la derivabilita di f(z). Una funzione f(z) differenziabile in z0 e inun suo intorno sara detta analitica in z0. (a volte viene usato anche il termine olomorfa). Una funzionedifferenziabile in tutti i punti z ∈ D si dira analitica in D.

Teorema – Ogni serie di potenze in z definisce una funzione differenziabile nel dominio di convergenzadella serie.

Dimostrazione – Si consideri una serie di potenze con raggio di convergenza uguale a r. Allora

f(z) ≡∑

n

anzn <∞ per ogni z tale che |z| < r = lim

n→∞|an|

|an+1|,

g(z) ≡∑

n

nanzn−1 <∞ per ogni z tale che |z| < r .

Per dimostrare il teorema basta verificare che g(z) e la derivata di f(z) secondo la definizione data sopra,ossia che

limh→0

∣

∣

∣

∣

ω(z + h, z)

h

∣

∣

∣

∣

= 0 , ω(z + h, z) = f(z + h) − f(z) − hg(z) .

A tale scopo sia ρ < r, |z| < ρ e |z + h| ≤ |z| + |h| < ρ. Poiche la serie converge deve esistere K tale che|anρ

n| ≤ K, ∀n. Ricordando lo sviluppo binomiale

(z + h)n =n∑

k=0

bkzn−khk , b0 = bn = 1 , b1 = bn−1 = n , ... bk (coefficienti binomiali),

si ottiene

∣

∣

∣

∣

(z + h)n − zn

h− nzn−1

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

n∑

k=2

bkzn−khk−1

∣

∣

∣

∣

∣

≤n∑

k=2

bk|z|n−k|h|k−1 =(|z| + |h|)n − |z|n

h− n|z|n−1 .

Usando ora questa maggiorazione nella serie che definisce ω(z + h, z) e ricordando lo sviluppo della seriegeometrica e della sua derivata si ricava

∣

∣

∣

∣

ω(z + h, z)

h

∣

∣

∣

∣

≤∑

n

|an|[

(|z| + |h|)n − |z|n|h| − n|z|n−1

]

≤ K∑

n

1

ρn

[

(|z| + |h|)n − |z|n|h| − n|z|n−1

]

=Kρ

|h|

[

1

ρ− |z| − |h| −1

ρ− |z| −|h|

(ρ− |z|)2]

=Kρ|h|

(ρ− |z| − |h|)(ρ− |z|)2 ,

6

che tende a zero per h→ 0 e quindi la serie e differenziabile in ogni punto interno al raggio di convergenza.Come si vedra in seguito, questo e un caso particolare di un teorema generale sullo sviluppo in serie dipotenze delle funzioni analitiche.

2.1 Alcune funzioni importanti

La funzione esponenziale, le funzioni trigonometriche e le funzioni iperboliche si possono definire per ognivalore dell’argomento usando gli sviluppi in serie, che hanno raggio di convergenza infinito. Quindi

ez =

∞∑

n=0

zn

n!,

cos z =

∞∑

n=0

(−1)n z2n

(2n)!, sin z =

∞∑

n=0

(−1)n z2n+1

(2n+ 1)!.

cosh z =

∞∑

n=0

z2n

(2n)!, sinh z =

∞∑

n=0

z2n+1

(2n+ 1)!.

Come nel campo reale, per ogni z ∈ IC valgono le formule di Eulero

eiz = cos z + i sin z , cos z =eiz + e−iz

2, sin z =

eiz − e−iz

2i

e inoltre

ez = cosh z + sinh z , cosh z =ez + e−z

2, sinh z =

ez − e−z

2.

E’ chiaro che nel campo complesso la distinzione fra funzioni trigonometriche e funzioni iperboliche epuramente formale. Infatti valgono le relazioni

sin iz = i sinh z , cos iz = cosh z .

Le funzioni iperboliche hanno proprieta simili a quelle trigonometriche ma non identiche, quindi si devefare un po’ di attenzione quando si usano. Valgono le proprieta

cosh2 z − sinh2 z = 1 , cos2 z + sin2 z = 1 ,

d

dzsinh z = cosh z ,

d

dzcosh z = sinh z ,

d

dzsin z = cos z ,

d

dzcos z = − sin z .

Il logaritmo si puo definire come funzione inversa dell’esponenziale richiedendo che goda delle proprietanote. Usando la rappresentazione polare si ha

z = |z|ei arg z =⇒ log z = log |z| + i arg z .

Si vede subito che in questo caso si va incontro ad una situazione completamente nuova in quanto e2πi = 1.Questo significa che il logaritmo e una funzione polidroma ad infiniti valori, che dipendono da come sisceglie l’argomento di z. A volte si trova la notazione

Log z = log z + 2πik = log |z| + i arg z + 2πik , 0 ≤ arg z ≤ 2π , k ∈ ZZ ,

7

dove con Log z si intende la funzione completa ad infiniti valori e con log z solo la determinazione principalein cui l’argomento di z e compreso in [0, 2π] o [−π, π] e per la quale si ha log 1 = 0. Nei rami successividella funzione si ha invece Log 1 = 2πik.

3 Funzioni analitiche

Come gia detto sopra, una funzione derivabile in un punto z0 e in un suo intorno si dice analitica.

3.1 Condizioni di Cauchy-Riemann

Una condizione necessaria (ma non sufficiente) per l’analiticita di f(z) = u(x, y) + iv(x, y) e che le suecomponenti soddisfino le condizioni di Cauchy-Riemann

u′x ≡ ∂u(x, y)

∂x=∂v(x, y)

∂y≡ v′y , u′y ≡ ∂u(x, y)

∂y= −∂v(x, y)

∂x≡ −v′x .

Se queste condizioni non sono soddisfatte in un punto z0 si puo immediatamente affermare che la funzionef(z) non e analitica in z0. In generale pero le condizioni di Cauchy-Riemann da sole non sono sufficientiper determinare l’analiticita di f . Affinche questo avvenga si deve richiedere anche la continuita di tuttele derivate prime di u e v.

Per vedere che queste condizioni sono necessarie consideriamo una funzione f(z) analitica in z0. Poichela funzione e derivabile si ha

∆ f(z)

∆ z=

∆ f(z)

∆x=u′x∆x+ iv′x∆x

∆x= u′x + iv′x ,

=∆ f(z)

i∆ y=u′y∆ y + iv′y∆ y

i∆ y= v′y − iu′y ,

da cui seguono le condizioni di Cauchy-Riemann e inoltre

f ′(z) ≡ df(z)

dz= u′x + iv′x = v′y − iu′y .

Come si vedra in seguito, la derivata di una funzione analitica e ancora una funzione analitica e quindile funzioni analitiche ammettono derivate di qualunque ordine e in particolare la derivata seconda. Perquesta si ha

f ′′(z) ≡ d2f(z)

dz2=

{

u′′xx + iv′′xx

−u′′yy − iv′′yy=⇒ u′′xx + u′′yy = v′′xx + v′′yy = 0 .

La parte reale e la parte immaginaria di una funzione analitica sono entrambe funzioni armoniche, valea dire che soddisfano l’equazione di Laplace

∆u(x, y) =∂2u(x, y)

∂x2+∂2u(x, y)

∂y2= 0 , ∆ v(x, y) =

∂2v(x, y)

∂x2+∂2v(x, y)

∂y2= 0 .

Un’altra importante proprieta delle funzioni analitiche consiste nel fatto che il piano (x, y) e il piano(u, v) sono conformemente correlati. Una funzione f(z) connette il punto P ≡ (x, y) nel piano (x, y) alpunto P ≡ (u, v) nel piano (u, v) e al variare del punto stabilisce una corrispondenza fra una curva γ(x,y)

nel piano (x, y) e una curva γ(u,v) nel piano (u, v). Piu in generale, siano date due curve γ1(x,y) e γ2

(x,y)

che si intersecano nel punto P ≡ (x, y) formando un angolo α e le curve corrispondenti γ1(u,v) γ

2(u,v) che

si intersecano nel punto P ≡ (u, v) formando un algolo α. Allora se la funzione f e analitica α ≡ α equesto significa che la trasformazione generata da f e una trasformazione conforme (preserva gli angoli).In particolare, le curve nel piano che corrrispondono a f = costante sono ortogonali fra loro.

8

4 Integrazione nel campo complesso

L’integrale di una funzione complessa f(z) lungo la curva orientata γ si puo ricondurre ad una coppia diintegrali reali osservando che

f(z) dz = (u+ iv)(dx+ idy) = (u dx− v dy) + i(v dx+ u dy) .

Pertanto si definisce

∫

γ

dz f(z) =

∫

γ

[u(x, y) dx− v(x, y) dy] + i

∫

γ

[v(x, y) dx+ u(x, y) dy] .

Se la funzione f(z) e limitata e la curva γ e rettificabile si ha (teorema di Darboux)

∣

∣

∣

∣

∫

γ

dz f(z)

∣

∣

∣

∣

≤ Kℓγ , supz∈γ

|f(z)| ≤ K , ℓγ =

∫

γ

ds , (4.1)

dove ds =√

dx2 + dy2 e l’elemento di linea. La dimostrazione di questo teorema deriva direttamentedalle proprieta dell’integrale, infatti

∣

∣

∣

∣

∫

γ

dz f(z)

∣

∣

∣

∣

≤∫

γ

|dz| |f(z)| ≤ K

∫

γ

ds = Kℓγ .

4.1 Teorema di Cauchy

Andiamo ora a dimostrare uno dei teoremi piu importanti dell’analisi complessa.

Teorema di Cauchy – Sia f(z) una funzione (ad un valore) analitica definita in un insieme semplice-mente connesso D e C una curva chiusa contenuta nel dominio D (o sulla frontiera). Allora

∮

C

dz f(z) = 0 . (4.2)

Questa formulazione del teorema e dovuta a Goursat. Nella versione originale di Cauchy si assumevaanche la continuita della derivata prima di f .

Dimostrazione – Anche qui per semplicita assumiamo f(z) = u+ iv analitica e con derivata continua.Senza questa ipotesi (in effetti ridondante) la dimostrazione risulta assai complicata.Si introduca il vettore dr ≡ (dx, dy) nel piano (x, y) e i due campi di vettori F ≡ (u,−v), G ≡ (v, u) nelpiano (u, v). Usando queste notazioni di ha

∮

C

dz f(z) =

∮

C

dr · F + i

∮

C

dr · G .

L’ipotesi di continuita di f ′(z), ossia di u′(x, y) e v′(x, y) permette di applicare il teorema di Stokes. Intal modo si ottiene

∮

C

dz f(z) =

∫

Σ

dσ rotF · n + i

∫

Σ

dσ rotG · n , (4.3)

dove Σ e la superficie racchiusa dalla curva C e n e il versore normale a tale superficie (e un versorecostante perche la superficie e piana). Usando le condizioni di Cauchy-Riemann si ha

rotF = u′y + v′x = 0 , rotG = v′y − u′x = 0

9

e questo implica che l’integrale (4.3) si annulla come dovevasi dimostrare.

Corollario – 1. Sia f(z) una funzione analitica in D e C una curva chiusa avente almeno un trattocontenuto in D. Allora

∫

C

dz f(z) =

∫

C

dz f(z) ,

dove C e una curva ottenuta mediante un’arbitraria deformazione di C nella regione di analiticita D.Se f e interamente contenuta in D allora il risultato e banale in quanto l’integrale e nullo qualunque siala curva chiusa (in D). Il risultato diventa significativo quando solo un tratto di cammino γ e contenutoin D. In tal caso l’integrale non e necessariamente nullo (non vale il teorema di Cauchy in quanto lacurva C non e interamente in D). Il risultato precedente si ottiene osservando che la differenza fra i dueintegrali sopra coincide con l’integrale di f fatto lungo la curva chiusa ottenuta dall’unione di γ con lasua deformazione γ. Questa e interamente contenuta in D e pertanto l’integrale di f su tale curva e nulloper il teorema di Cauchy.

Corollario – 2. Se f(z) e una funzione analitica in D, allora l’integrale

F (z0, z1) =

∫ z1

z0

dz f(z) , ∀z0, z1 ∈ D ,

non dipende dal cammino.Questo e una diretta conseguenza del fatto che la differenza fra gli integrali di f fatti lungo due camminiarbitrari (in D), che portano da z0 a z1 coincide con l’integrale della funzione lungo la curva chiusaottenuta dall’unione dei due cammini e questo integrale e nullo per il teorema di Cauchy.

Teorema fondamentale del calcolo – Sia f(z) una funzione analitica in un dominio semplicementeconnesso D e z0 ∈ D un punto arbitrario, allora la funzione

F (z) =

∫ z

z0

dw f(w) , ∀z ∈ D

e analitica in D e F ′(z) = f(z).

Dimostrazione – Per il teorema di Cauchy l’integrale di f(z) non dipende dal cammino e quindi leuno-forme dU = u dx− v dy e dV = v dx+ u dy sono esatte in quanto

∫ z

z0

dw f(w) =

∫ z

z0

(u dx− v dy) + i

∫ z

z0

(v dx+ u dy) .

Si ha quindi

F (z) =

∫ (x,y)

(x0,y0)

dU(x, y) + i

∫ (y,y)

(x0,y0)

dV (x, y) = U(x, y) − U(x0, y0) + i[V (x, y) − V (x0, y0)] ,

da cui segue che F (z) e una funzione analitica poiche U e V soddisfano le condizioni di Cauchy-Riemanne hanno derivate continue, infatti

∂U

∂x= u =

∂V

∂y,

∂V

∂x= v = −∂U

∂y

e inoltre

F ′(z) = U ′x + iV ′

y = V ′y − iU ′

y = u+ iv = f(z) .

10

4.2 Rappresentazione integrale di Cauchy

Un altro teorema fondamentale per l’analisi complessa dal quale derivano importanti conseguenze e ilseguente.

Teorema (rappresentazione integrale di Cauchy) – Sia f(z) una funzione analitica in D, C unaqualunque curva chiusa contenuta in D (o sulla frontiera) e z un punto arbitrario contenuto (strettamente)all’interno di C. Allora

f(z) =1

2πi

∮

C

dwf(w)

w − z.

Questo significa che il valore di una funzione analitica in un punto arbitrario e determinato dai valori chela funzione assume lungo una qualunque curva chiusa che racchiude il punto stesso.Si osservi che la funzione integranda non e analitica in quanto diverge per w = z e quindi non vale ilteorema di Cauchy (4.2), altrimenti l’integrale sarebbe nullo.

Dimostrazione – Si consideri un cammino chiuso Cε ≡ Γε + γε(r) + γ+ + γ− che non contiene z al suointerno (vedi figura 2). Γε e un cammino aperto che coincide con C a parte un piccolo tratto di lunghezza(infinitesima) ε; γε(δ) e un arco di circonferenza di raggio δ (infinitesimo) (percorso in senso orario) checirconda il punto z, mentre γ+ e γ− sono due tratti paralleli a distanza infinitesima ε, ma percorsi insenso opposto.La funzione integranda e analitica all’intenrno di Cε per cui si ha

0 =

∮

Cε

dwf(w)

w − z=

∫

Γε

dwf(w)

w − z+

∫

γε(δ)

dwf(w)

w − z+

∫

γ+

dwf(w)

w − z+

∫

γ−

dwf(w)

w − z.

Nel limite in cui ε→ 0 la curva aperta Γε diventa la curva chiusa C, l’arco di circonfrenza γε(δ) diventauna circonferenza di raggio δ e i due tratti paralleli γ± diventano coincidenti. Tenendo conto che questidue ultimi tratti sono percorsi in senso opposto si ottiene

∮

C

dwf(w)

w − z= lim

ε→0

∫

Γε

dwf(w)

w − z= − lim

ε→0

∫

γε(r)

dwf(w)

w − z=

∮

|w−z|=δ

dwf(w)

w − z.

L’ultimo integrale e fatto su una circonferenza di raggio δ e si puo calcolare usando la rappresentazionepolare e l’analiticita di f(z). Si ha infatti

w − z = δ eiϑ , dw = iδ eiϑ dϑ , f(w) = f(z) + f(w) − f(z) ,

per cui

∮

|w−z|=δ

dwf(w)

w − z= if(z)

∫ 2π

0

dϑ+

∮

|w−z|=δ

dwf(w) − f(z)

w − z

= 2πif(z) +

∮

|w−z|=δ

dwf(w) − f(z)

w − z.

Il risultato richiesto si ottiene prendendo il limite δ → 0. In questo caso infatti l’ultimo integrale siannulla poiche la funzione integranda e derivabile in z (basta applicare il lemma di Darboux).

Corollario – Ogni funzione analitica in D e infinitamente derivabile e la derivata n − esima e unafunzione analitica in D data da

f (n)(z) =n!

2πi

∮

C

dwf(w)

(w − z)n+1. (4.4)

11

ε

γε

γ+

γε

δ

Γε

_

_

γ+γγ+ ++ΓC =ε ε

Figura 2: Rappresentazione integrale di Cauchy (cammino usato)

Dimostrazione – Dal teorema precedente si ottiene

f(z + h) − f(z)

h=

1

2πhi

∮

C

dw f(w)

[

1

w − z − h− 1

w − z

]

=1

2πi

∮

C

dwf(w)

(w − z)(w − z − h).

Nel limite h→ 0 si ottiene il risultato per n = 1. Per ottenere il risultato per n arbitrario si puo procedereper induzione. Si dimostra che se la formula e valida per n− 1 allora vale anche per n. Si ha infatti

f (n−1)(z + h) − f (n−1)(z)

h=

(n− 1)!

2πhi

∮

C

dw f(w)

[

1

(w − z − h)n− 1

(w − z)n

]

=1

2πhi

∮

C

dw f(w)

[

nh(w − z)n−1 + o(h2)

(w − z)n(w − z − h)n

]

,

dove o(h2) sta per termini di ordine h2 e superiore. Prendendo ora il limite h → 0 si ottiene il risultatoper n arbitrario (Nota: nell’ultimo integrale si e fatto uso dello sviluppo binomiale).

Teorema di Morera – Sia f(z) una funzione continua in D e∮

Cdz f(z) = 0 per ogni curva chiusa in

D. Allora f(z) e analitica. (e “l’inverso” del teorema di Cauchy).

Dimostrazione – Basta dimostrare che F (z) =∫ z

z0dw f(w) e analitica e F ′(z) = f(z). Allora per il

corollario al teorema precedente anche f(z) e analitica. Per le ipotesi fatte, l’integrale che definisce F (z)non dipende dal percorso. Ricordando la (2.1) e posto λ = f(z) si ha allora

ω(z + h, z) = F (z + h) − F (z) − hf(z) =

∫ z+h

z

dw [f(w) − f(z)] .

Usando ora la disuguaglianza di Darboux e la continuita di f si ha

|ω(z + h, z)| ≤ |h| sup|w−z|<|h|

|f(w) − f(z)| =⇒ limh→0

|ω(z + h, z)||h| = 0 .

Teorema di Liouville – Una funzione analitica e limitata in tutto il piano complesso e costante.

Dimostrazione – Per l’ipotesi di analiticita, la funzione f ′(z) si puo rappresentare mediante un integralesulla circonferenza CR di raggio R centrata in z (vedi 4.4)), ossia

f ′(z) =1

2πi

∮

CR

dwf(w)

(w − z)2=

1

2πR

∫ 2π

0

dϑ e−iϑ f(z +Reiϑ) .

Prendendo il modulo di quest’ultima equazione, maggiorando e usando il fatto che |f(z)| ≤M (∀z ∈ IC)si ottiene |f ′(z)| ≤M/R e poiche R e arbitrariamente grande la derivata di f si annulla in ogni punto equindi f e costante.

12

Come corollario a questo teorema si ottiene il

Teorema fondamentale dell’algebra – Ogni polinomio complesso P (z), di ordine arbitrario, haalmeno una radice complessa.

Dimostrazione – Si supponga per assurdo che P (z) non abbia radici, ossia P (z) 6= 0, ∀z ∈ IC. Allorala funzione f(z) = 1/P (z) e analitica e limitata e per il teorema precedente deve essere costante, da cuil’assurdo.

5 Sviluppi in serie di Taylor e Laurent

Teorema – Sia f(z) una funzione analitica per |z−z0| ≤ R (cerchio di raggio R centrato in z0). Alloravale lo sviluppo (serie di Taylor)

f(z) =

∞∑

n=0

f (n)(z0)

n!(z − z0)n , |z − z0| < R . (5.1)

Nota: in precedenza si era dimostrato che ogni serie di potenze rappresenta una funzione analiticaall’interno del raggio di convergenza. Questo teorema ci dice che vale anche il viceversa.

Dimostrazione – Indichiamo con CR ≡ {z : |z−z0| = R} il bordo del cerchio e con z un punto arbitrario(strettamente) contenuto al suo interno. Osserviamo inoltre che, per ogni punto sul bordo w ∈ CR si ha

1

w − z=

1

w − z0 + z0 − z=

1

(w − z0)[

1 − z−z0

w−z0

] =1

w − z0

∞∑

n=0

(

z − z0w − z0

)n

.

Dal teorema di rappresentazione integrale e dal suo corollario si ottiene allora

f(z) =1

2πi

∮

CR

dwf(w)

w − z=

1

2πi

∞∑

n=0

(z − z0)n

∮

CR

dwf(w)

(w − z0)n+1

=∞∑

n=0

f (n)(z0)

n!(z − z0)n .

Esiste una generalizzazione dello sviluppo in serie di Taylor valida in punti di non analiticita. Questarisulta estremamente utile per studiare il comportamento di una funzione nell’intorno di punti singolari.

Teorema di Laurent – Sia f(z) una funzione analitica in una corona circolare Cr,R centrata in z0(punto al finito), con raggi r < R. Allora, per ogni punto z interno a Cr,R vale lo sviluppo (serie diLaurent)

f(z) =

∞∑

n=0

an(z − z0)n +

∞∑

n=1

bn(z − z0)n

=

∞∑

n=−∞cn(z − z0)n , (5.2)

dove

an =1

2πi

∮

C

dwf(w)

(w − z0)n+1, n = 0, 1, 2, ...

bn =1

2πi

∮

C

dw (w − z0)n−1f(w) , n = 1, 2, 3, ...

cn =1

2πi

∮

C

dwf(w)

(w − z0)n+1, n = 0,±1,±2, ...

13

ε

γ

γ

γ_ε

εΓ

+

C = ε ε ε

r

r

r

R

2

1

z

z0

γ + Γ + γ + γ_+

Figura 3: Teorema di Laurent (cammino usato)

e C e una qualunque curva chiusa percorsa in verso positivo (antiorario) contenente la singolarita al suointerno e contenuta nella corona di analiticita. La serie

∑∞n=1 bn(z− z0)−n e detta parte principale di f .

Dimostrazione – Si consideri una curva chiusa Cε = γε + Γε + γ+ + γ− dove, per ε → 0, γε e Γε

diventano due circonferenze concentriche di raggi r1 e r2 (r < r1 < r2 < R) centrate in z0, interne allacorona di analiticita e connesse da due tratti paralleli γ+ e γ− coincidenti ma percorsi in verso opposto(vedi figura 3). La funzione f(z) e analitica all’interno di Cε e per il teorema integrale di Cauchy si puoscrivere nella forma

f(z) =1

2πi

∮

Cε

dwf(w)

w − z=

1

2πi

∫

γε

dwf(w)

w − z+

1

2πi

∫

Γε

dwf(w)

w − z

+1

2πi

∫

γ+

dwf(w)

w − z+

1

2πi

∫

γ−

dwf(w)

w − z,

che vale per ogni z ∈ Cr1,r2. Nel limite ε→ 0, tenendo conto dei versi di percorrenza si ottiene

f(z) =1

2πi

∮

|z2−z|=r2

dz2f(z2)

z2 − z− 1

2πi

∮

|z1−z|=r1

dz1f(z1)

z1 − z.

Tenendo conto che r1 < |z − z0| < r2, nei due integrali precedenti possiamo usare gli sviluppi (seriegeometrica)

1

z2 − z=

1

(z2 − z0)[

1 − z−z0

z2−z0

] =∞∑

n=0

(z − z0)n

(z2 − z0)n+1,

∣

∣

∣

∣

z − z0z2 − z0

∣

∣

∣

∣

< 1 ,

1

z1 − z= − 1

(z − z0)[

1 − z1−z0

z−z0

] = −∞∑

n=1

(z1 − z0)n−1

(z − z0)n,

∣

∣

∣

∣

z − z0z1 − z0

∣

∣

∣

∣

> 1 .

In tal modo si ottiene

f(z) =1

2πi

∞∑

n=0

(z − z0)n

∮

|z2−z|=r2

dz2f(z2)

(z2 − z0)n+1

+1

2πi

∞∑

n=1

1

(z − z0)n

∮

|z1−z|=r1

dz1 f(z1)(z1 − z0)n−1 .

14

Il risultato finale si ottiene definendo i coefficienti an e bn, tenendo conto che all’interno del dominio dianaliticita il contorno di integrazione puo essere deformato a piacere per cui le due circonferenze possonoessere sostituite mediante una curva chiusa arbitraria C (contenente z0).

Corollario – Se f(z) e analitica nel cerchio |z − z0| ≥ R, allora vale lo sviluppo in serie di Taylor

f(z) =

∞∑

n=0

f (n)(z0)

n!(z − z0)n , |z − z0| < R .

In questo caso infatti tutti i bn si annullano come conseguenza del teorema di Cauchy e lo sviluppo (5.2)diventa lo sviluppo di Taylor (5.1). In questo caso e solo in questo caso il coefficiente an coincide concon la derivata f (n)(z0)/n!.

5.1 Singolarita isolate

Un punto del piano complesso in cui f(z) non e definita si dice singolarita della funzione. In particolare, unpunto singolare z0 si dice singolarita isolata se la funzione e analitica in un intorno di z0 e piu precisamentese la funzione e analitica in una corona circolare Cε,R, centrata in z0, con ε > 0 arbitrariamente piccolo.• Se ε puo assumere anche il valore nullo, allora la funzione e regolare in z0.• Se ε non puo essere scelto piccolo a piacere allora la singolarita non e isolata.• Se R puo essere scelto grande a piacere, allora f non ha altre singolarita (al finito).

Sia z0 una singolarita isolata per f(z). Allora in un intorno di z0 vale lo sviluppo di Laurent

f(z) =∞∑

k=0

ak(z − z0)k +∞∑

k=1

bk(z − z0)−k , 0 < |z − z0| < R .

In generale si possono avere tre possibilita:

• tutti i coefficienti bn sono nulli; in tal caso il punto z0 e regolare oppure la singolarita e rimovibile.Il caso tipico e quello di una discontinuita in z0. Se tutti i bn sono nulli la serie defnisce unafunzione analitica (quindi continua) con f(z0) = a0. Per rimuovere la singolarita basta allora porref(z0) = a0.

• soltanto un numero finito di coefficienti bk e diverso da zero; in tal caso la singolarita z0 si chiamapolo di ordine n, dove n corrisponde al piu alto coefficiente non nullo, vale a dire bn 6= 0, bk = 0 perogni k > n. I coefficienti con k < n possono essere anche tutti nulli. Quindi si avra un polo semplicese solo b1 6= 0, un polo doppio se bk = 0 per ogni k > 2, etc... L’espansione assume la forma

f(z) =∞∑

k=0

ak(z − z0)k +n∑

k=1

bk(z − z0)−k , bn 6= 0 .

In z0 la funzione diverge mentre 1/f(z) ha in z0 uno zero di ordine n.

• un numero infinito di coefficienti bk e diverso da zero; in tal caso la singolarita z0 si chiama essenziale.Nell’intorno di una singolarita essenziale la funzione ha un comportamento sorprendente e inaspet-tato in quanto puo avvicinarsi arbitrariamente ad un qualunque valore fissato. Piu precisamente siha

Teorema di Weierstrass – Fissato arbitrariamente un numero complesso w e due numeri realiρ e ε, nell’intorno di una singolarita essenziale esiste sempre un punto z per cui

|f(z) − w| < ε , |z − z0| < ρ .

15

Dimostrazione – Scelto arbitrariamente un numero positivo M si ha sempre |f(z)| > M perqualche z con |z − z0| < ρ (questo perche z0 e un punto singolare). Infatti, sia per assurdo|f(z)| ≤M , allora si ha

|bn| =

∣

∣

∣

∣

∣

1

2πi

∫

|z−z0|=r

dz (z − z0)n−1f(z)

∣

∣

∣

∣

∣

≤Mrn , (n ≥ 1)

e poiche per una singolarita isolata r puo essere piccolo a piacere, bn → 0. Quindi tutti i bn sononulli e la funzione e regolare in z0, da cui l’assurdo. Per dimostrare il teorema, ora consideriamo unnumero complesso qualunque w e la funzione f(z) −w. Se per qualche valore di z con |z − z0| < ρquesta funzione si annulla, allora il teorema e dimostrato. Altrimenti la funzione

φ(z) =1

f(z) − w, f(z) =

1

φ(z)+ w , |z − z0| < ρ ,

e regolare a parte il punto z0 che e una singolarita essenziale anche per φ(z). Allora per φ(z) valequanto dimostrato precedentemente, ossia, scelto M = 1/ε, esiste z per cui

|φ(z)| =1

|f(z) − w| >1

ε=⇒ |f(z) − w| < ε , |z − z0| < ρ.

bf Nota: per la dimostrazione e fondamentale che z0 sia una singolarita essenziale per f . Se fosse un poloallora solo φ sarebbe regolare in z0.

5.2 Singolarita all’infinito

Nel campo complesso l’infinito va considerato alla stregua di un qualsiasi punto al finito e il comporta-mento di una funzione f(z) in un intorno dell’infinito si determina studiando la funzione g(w) = f(1/w)in un intorno dell’origine. Si dira che z = ∞ e un polo o una singolarita essenziale per f(z) se tale ew = 0 per la funzione g(w).

E’ interessante osservare che una funzione analitica ovunque (infinito compreso) e necessariamente co-stante (teorema di Liouville). Infatti, per ogni z <∞ si ha

f(z) =

∞∑

n=0

anzn =⇒ g(w) = f

(

1

w

)

=

∞∑

n=0

an

wn= a0 +

∞∑

n=1

an

wn

e poiche f(z) e regolare ovunque, g(w) deve essere definita anche per w = 0 e questo implica ak = 0 perogni k > 0.

Come conseguenza di questo fatto si ricava che una funzione le cui uniche singolarita (al finito e all’infinito)siano poli e necessariamente una funzione razionale (rapporto di due polinomi). Infatti, sia f(z) unafunzione con poli di ordine k1, k2, ..., kn in z1, z2, ...zn (il numero e necessariamente finito altrimenti sicotraddirebbero le ipotesi). Allora la funzione

g(z) = (z − z1)k1(z − z2)k2 ...(z − zn)kn f(z)

e analitica ovunque a parte eventualmente z = ∞ dove puo avere un polo di ordine m ≥ 0 (se lo haf) e di conseguenza puo avere un polo di ordine m nell’origine la funzione g(1/w). Questo significa cheg(1/w) deve avere uno sviluppo della forma

g

(

1

w

)

= a0 +

m∑

k=1

bkwk

=

m∑

k=0

ak

wk, ak = bk , (k ≥ 1) ,

16

questo perche in assenza del polo la funzione e costante per il risultato precedente. Si vede dunque cheg(z) e un polinomio di ordine m e

f(z) =

∑mk=0 akz

k

(z − z1)k1(z − z2)k2 ...(z − zn)kn,

e quindi una funzione razionale.

6 Classificazione delle funzioni

Per questa classificazione consideriamo funzioni ad un solo valore definite in tutto il campo complesso.Questo significa che, se non sono funzioni costanti, devono avere necessariamente delle singolarita (vedi ilterorema di Liouville). In base al tipo di singolarita (al finito e all’infinito) distinguiamo i seguenti casi:

• funzioni razionali: le uniche singolarita sono poli. Si noti che in tal caso le singolarita non possonoessere in un numero infinito altrimenti ci sarebbe un punto di accumulazione e questo sarebbe unasingolarita essenziale. Queste funzioni si possono esprimere mediante il rapporto di due polinomi.

• funzioni intere: hanno soltanto una singolarita essenziale all’infinito. Queste funzioni hanno unosviluppo in serie di Taylor con raggio di convergenza infinito.

• funzioni meromorfe: hanno una singolarita essenziale all’infinito e un numero arbitrario (finito oinfinito) di poli.

Esistono anche funzioni con due o piu singolarita essenziali, ma si incontrano assai raramente e qui nonverranno considerate.

Usando lo sviluppo di Laurent (5.2) si puo vedere che una funzione meromorfa con N poli in zj di ordinenj si puo sempre scrivere nella forma

f(z) = G(z) +

N∑

j=1

ψj

(

1

z − zj

)

, ψj

(

1

z − zj

)

=

nj∑

k=1

b(j)k

(z − zj)k,

dove G(z) e una funzione intera. Infatti G(z) e la funzione f a cui sono state sottratte tutte le partiprincipali e quindi e una funzione analitica in tutto il piano complesso, a parte l’eventuale singolaritaall’infinito. Se f non ha singolarita all’infinito, allora G = f(∞) e una costante.

Nota: se il numero di poli e infinito allora non e sufficiente sostituire la somma con una serie, in quantoquesta potrebbe essere divergente. Vale tuttavia uno sviluppo simile che sara derivato nel prossimocapitolo (vedi equazione (7.1)) nel caso particolare in cui gli infiniti poli siano semplici.

Come esempio particolare si consideri una funzione razionale R(z) con N poli semplici in zj e regolareall’infinito. Allora si ha

R(z) = R(∞) +

N∑

k=1

Bk

z − zk, Bk = Res(R; zk) .

7 Residui

Sia z0 una singolarita isolata per la funzione f(z). Dallo sviluppo di Laurent in un intorno della singolaritasi ha

b1 =1

2πi

∮

C

dz f(z) ,

17

dove l’integrale e fatto su un qualunque cammino chiuso che racchiude soltanto la singolarita z0. Il versodi percorrenza e quello antiorario sia per i punti al finito che per l’infinito.

Come si vede dall’equazione precedente, il primo coefficiente della parte principale di f riveste un ruoloassai importante in quanto permette di calcolare l’integrale di f su un qualunque cammino chiuso cheracchiude la singolarita. Per le singolarita al finito, tale coefficiente viene chiamato residuo di f in z0e talvolta si indica con la notazione Res(f) ≡ Res(f ; z0) = b1. Se la funzione e regolare in z0 allora ilresiduo e nullo, ma in generale non vale il viceversa; b1 puo essere nullo ma non l’intera parte principaledi f . Per le singolarita all’infinito si pone invece Res(f ;∞) = −b1. In tal modo si ha sempre

Res(f) =

∮

C

dz f(z) ,

dove la curva racchiude (soltanto) la singolarita ed e percorsa in verso positivo, vale a dire in sensoantiorario, se la singolarita e un punto al finito e in senso orario se il punto in esame e l’infinito.

Il residuo di f si determina mediante lo sviluppo di Laurent

f(z) =

∞∑

k=0

ak(z − z0)k +

∞∑

k=1

bk(z − z0)k

Res(f ; z0) = b1 , |z − z0| < r ,

f(z) =

∞∑

k=0

akzk +

∞∑

k=1

bkzk

Res(f ;∞) = −b1 , |z| > R

e nel calcolo esplicito e sufficiente isolare il termine che diverge come (z − z0)−1 (z−1 per l’infinito).

Nel caso in cui la singolarita al finito sia un polo di ordine n si puo usare la formula

Res(f ; z0) ≡ b1 = limz→z0

1

(n− 1)!

dn−1

dzn−1[(z − z0)nf(z)] , n = 1, 2, 3, ...

che deriva direttamente dallo sviluppo di Laurent. In particolare, per un polo semplice si ha banalmemte

Res(f ; z0) = limz→z0

(z − z0)f(z) , polo semplice.

Se il punto in esame e l’infinito e la funzione e regolare all’infinito, quindi f(∞) esiste, allora vale laformula

Res(f ;∞) ≡ −b1 = − limz→∞

z[f(z) − f(∞)] .

Nota: il residuo in qualunque punto e sempre legato al coefficiente b1 dello sviluppo di Laurent attornoal punto considerato. Questo significa che per i punti al finito il residuo e nullo se la funzione e regolare,mentre per l’infinito il residuo puo essere diverso da zero anche se la funzione e regolare, in quantol’infinito e un punto singolare se almeno uno dei coefficienti ak (k ≥ 1) e diverso da zero. Per capire lanatura della singolarita di f(z) all’infinito si studia la funzione g(w) = f(1/w) in un intorno dell’origine,ma questo sviluppo permette solo di classificare la singolarita di f all’infinito. Per calcolare il residuo sideve effettuare lo sviluppo di f(z) per |z| ≫ 1 e isolare il coefficiente di 1/z.

Esiste anche un metodo alternativo che deriva dal fatto che il residuo e dato dall’integrale di f(z) suun cammino che racchiude solo l’eventuale singolarita z = ∞. Mediante il cambiamento di variabilez → 1/w questo diventa l’integrale della funzione φ(w) = f(1/w)/w2 su un cammino che racchiude solola singolarita di φ(w) in w = 0. Infatti si ha

−Res(f ;∞) =

∮

|z|≫1

dz f(z) =

∮

|w|≪1

dwf(1/w)

w2=

∮

|w|≪1

dw φ(w) = Res(φ; 0) ,

18

ε

C = Γ + Σ ( γ + γ + γ_)ε ε ε +

Γ

γ_

γ_

γ

γ

γ

γ_

+

+

+

γ

γγ

ε

εε

ε

z

z

1

2

z

3ε

ε

Figura 4: Teorema dei residui (cammino usato)

dove gli integrali sono percorsi tutti in senso antiorario. Dall’uguaglianza precedente e dalla definizionedi residuo si ha

b1 = −Res(f ;∞) = Res(φ; 0) = b1 ,

dove

f(z) =

∞∑

n=0

anzn +

∞∑

n=1

bnzn

, |z| ≫ 1 ,

φ(w) =

∞∑

n=0

anwn +

∞∑

n=1

bnwn

, |w| ≪ 1 .

7.1 Teorema dei residui

Questo teorema permette di calcolare integrali nel campo complesso conoscendo i residui della funzionein tutte le singolarita.

Teorema dei residui – Sia f(z) una funzione analitica in D a meno di un numero finito di singolaritaisolate z1, z2, z3, ... e C una curva chiusa contenuta in D e non passante per alcuna singolarita di f . Alloral’integrale di f lungo C e dato da 2πi per la somma dei residui in tutte le singolarita interne a C; informule

∮

C

dz f(z) = 2πi∑

n

Res(f ; zn) .

Dimostrazione – Per la dimostrazione si integra la funzione su un cammino chiuso che non contienesingolarita dato da Cε = Γε +

∑

n(γnε + γn

+ + γn−), dove Γε e un cammino aperto che coincide con C

per ε → 0, γnε sono dei circoletti intorno alle singolarita e γn

± sono dei tratti paralleli che connettonoquesti circoletti con Γε (vedi figura 4). Usando il teorema di Cauchy (4.2) e la definizione di residuo sitrova direttamente il risultato cercato. Infatti, l’integrale di f su Cε e nullo e nel limite ε → 0 divental’integrale su C meno la somma degli integrali sui circoletti attorno alle singolarita.

Corollario – Sia f(z) una funzione analitica in IC a meno di un numero finito di singolarita isolatez1, z2, z3, ..., zN . Allora la somma di tutti i residui (infinito compreso) e nulla; in formule

N∑

n=1

Res(f ; zn) + Res(f ;∞) = 0 .

La dimostrazione e una diretta conseguenza del teorema precedente. Basta infatti integrare la funzionesu una generica circonferenza |z| = R non passante per qualche singolarita. L’integrale percorso in sensoantiorario e dato dalla somma dei residui nelle singolarita interne (|zk| < R), mentre l’integrale percorso

19

in senso orario e dato dala somma dei residui nelle singolarita esterne (|zk| > R) e la somma dei dueintegrali e nulla. Si noti che il risultato precedente in generale non e valido per un’infinita numerabile disingolarita, pero vale ancora se la serie

∑∞n=1 Res(f ; zn) e convergente.

7.2 Indicatore logaritmico

Sia f(z) una funzione analitica in D a meno di un numero finito di poli. La derivata logaritmica dellafunzione

L(z) =d log f(z)

dz=f ′(z)

f(z),

ha poli semplici dove f ha zeri o poli ed e regolare altrimenti. Piu precisamente, se z0 e uno zero o unpolo di ordine n per f allora e un polo semplice con residuo n o −n (rispettivamente) per L(z). Scrivendola funzione nella forma

f(z) = (z − z0)αg(z) , α = 0,±n , g(z0) 6= 0 ,

g(z) analitica si ottiene

L(z) =α(z − z0)α−1g(z) + (z − z0)αg′(z)

(z − z0)αg(z)=

α

z − z0+g′(z)

g(z),

da cui si vede che il polo (eventuale) e semplice e il residuo e uguale ad α = 0,±n.

Integrando finalmente L(z) su una curva chiusa contenente al suo interno N zeri e P poli (zeri e poli diordine n sono contati n volte) si ricava

N − P =1

2πi

∫

C

dzf ′(z)

f(z)=

1

2πi

∫

C

dzd log f(z)

dz=

1

2π∆ arg f(z)|C ,

dove ∆ argf(z) e l’incremento dell’argomento di f lungo l’intera curva chiusa C. Questo e chiaramente unmultiplo di 2π. L’integrale precedente e detto indicatore logaritmico e come si vede fornisce la differenzafra il numero di zeri e il numero di poli (contati con la loro molteplicita) interni al cammino di integrazione.

E’ interessante osservare che se una funzione e analitica in tutto il piano complesso a meno di un numerofinito di poli, allora il numero totale di zeri e uguale al numero totale di poli. Infatti, l’indicatorelogaritmico fatto lungo una circonferenza di raggio R fornisce sempre la differenza N − P fra gli zeri e ipoli interni alla curva. Questo significa che se l’integrale e fatto in senso antiorario allora contano i poli egli zeri con |z| < R, mentre se l’integrale e fatto in senso orario allora contano i poli e gli zeri con |z| > Re la somma dei due integrali e sempre nulla.Una immediata conseguenza di questa fatto e che un polinomio PN (z) di grado N ha sempre N radici(teorema fondamentale dell’algebra) in quanto e una funzione analitica in tutto IC a parte un polo diordine N all’infinito.

7.3 Sviluppo di Mittag-Leffler

E’ uno sviluppo in serie che permette di ricostruire l’intera funzione conoscendo il comportamento intutti i poli. Qui lo dimostreremo solo per il caso in cui la funzione in esame abbia solo poli semplici, peroesistono simili sviluppi anche per funzioni con poli di ordine arbitrario.

Teorema di Mittag-Leffler – Sia f(z) una funzione meromorfa con (infiniti) poli semplici nei punti0 < |z1| < |z2| < ... con residui B1, B2, B3, ... e CN una circonferenza di raggio RN contenente i primi Npoli. Se vale la condizione

limN→∞

max|z|=RN

|f(z)|RN

= 0 ,

20

allora vale lo sviluppo di Mittag-Leffler

f(z) = f(0) +

∞∑

n=1

Bn z

zn(z − zn)= f(0) +

∞∑

n=1

[

Bn

zn+

Bn

(z − zn)

]

. (7.1)

Per la dimostrazione si immagina di ordinare i poli in ordine crescente (in modulo), ma e evidente chenelle applicazioni la sommatoria e fatta su tutti i poli della funzione. Si faccia inoltre attenzione al fattoche in generale non e consentito separare le ultime due serie precedenti perche singolarmente potrebberonon convergere.

Dimostrazione – Si consideri la funzione g(w) = f(w)/[w(w−z)] che ha un polo semplice nell’origine, unpolo semplice in z e infiniti poli semplici nei punti zn. I residui sono rispettivamente Res(g; 0) = −f(0)/z,Res(g; z) = f(z)/z e Res(g; zn) = Bn/[zn(zn − z)] (n = 1, 2, 3, ...). Integrando questa funzione con|z| < RN su CN e usando il teorema dei residui si ottiene

FN (z) =1

2πi

∮

CN

dw g(w) =1

2πi

∮

|w|=RN

dwf(w)

w(w − z)

= −f(0)

z+f(z)

z+

N∑

n=1

Bn

zn(zn − z), |z| < RN .

Questo integrale puo essere maggiorato usando la disuguaglianza di Darboux (4.1). Si ha

|FN (z)| ≤ max|w|=RN

|g(w)|RN = max|w|=RN

|f(w)||w − z| ≤

[

1

RN − |z|

]

max|w|=RN

|f(w)|

e per le ipotesi fatte questa espressione tende a 0 per N → ∞, da cui il risultato (7.1).E’ chiaro che il risultato vale anche se il numero di poli e finito. In questo caso si ottiene l’espansione diuna funzione razionale in frazioni semplici.

8 Prolungamento analitico

Alla base del concetto di prolungamento analitico (o continuazione analitica) sta l’osservazione del fattoche due funzioni f1(z) e f2(z) definite nei domini D1 e D2 possono coincidere in tutti i punti dell’interse-zione D1

⋂

D2. Allora la funzione f2(z) si puo pensare come il prolungamento di f1(z) all’intero dominioD = D1

⋃

D2 e allo stesso tempo, la funzione f1(z) si puo vedere come il prolungamento di f2(z) a D.A questo punto e naturale pensare f1(z) e f2(z) come due rappresentazioni della stessa funzione f(z)riferite a domini diversi. Quando si parla di una funzione complessa si intende sempre la sua massimaestensione analitica.

Si cosiderino dapprima le seguenti funzioni reali definite negli intervalli aperti I1 , I3

f1(x) =∞∑

n=0

xn , I1 ≡ {x : |x| < 1} ,

f3(x) = −∞∑

n=0

(−1)n(x− 2)n , I3 ≡ {x : |x− 2| < 1} .

Queste due funzioni sono definite in intervalli disgiunti e non c’e modo di confrontarle fra loro. L’unicomodo per vedere che di fatto sono due sviluppi in serie della stessa funzione f(x) = 1/(1 − x) e quellodi sommare le serie (in questo caso si sa fare). La funzione f(x) e singolare in x = 1 e quindi non esistenessun sviluppo che valga in un intervallo I2 con intersezioni non nulle con I1 e I3. Nel campo reale ilpunto x = 1 costituisce un “limite invalicabile” alla possibile estensione di f1.

21

Nel campo complesso la situazione e completamente diversa in quanto il “confine” in cui vale lo sviluppoin serie e una circonferenza lungo la quale in generale ci sono dei tratti di analiticita attraverso i quali epossibile “passare”. Si considerino ad esempio le seguenti funzioni definite nei domini D1,D2,D3

f1(z) =∞∑

n=0

zn , D1 ≡ {z : |z| < 1} ,

f2(z) = i

∞∑

n=0

(i)n[z − (1 + i)]n , D2 ≡ {z : |z − (1 + i)| < 1} ,

f3(z) = −∞∑

n=0

(−1)n(z − 2)n , D3 ≡ {z : |z − 2| < 1} .

Queste funzioni definite da serie convergenti in domini diversi coincidono nell’intersezione dei domini epertanto e naturale considerarle come rappresentazioni di un’unica funzione f(z), che in questo caso e

f(z) =1

1 − z, z 6= 1 ,

che e una funzione razionale definita in tutto il piano complesso eccetto che nel punto z = 1 dove c’e unpolo semplice. Questa costituisce la massima estensione di f1(z) , f2(z) , f3(z).

8.1 Metodo di Weierstrass

Esponiamo brevemente il metodo di continuazione analitica dovuto a Weierstrass e basato sullo sviluppoin serie di Taylor. E’ noto infatti che se una funzione e analitica in un certo dominio D allora puo esseresviluppata in serie di Taylor attorno ad un punto qualunque interno al dominio e la serie converge in uncerchio centrato nel punto considerato. Si immagini allora di avere una funzione f1 definita mediante lasua serie di Taylor nel cerchio D1 ≡ {z : |z − z1| < r1}. f1 e analitica nel cerchio D1 e lo sviluppo diTaylor si puo fare attorno ad un qualunque punto z2 ∈ D1. Effettuando effettivamente tale sviluppo siottiene una serie di potenze che converge ad una funzione f2(z) per ogni z ∈ D2 ≡ {z : |z− z2| < r2}. E’chiaro per costruzione che f1(z) = f2(z) per tutti i punti che appartengono all’intersezione dei due cerchiD1

⋂

D2. Se succede che il cerchio D2 non e interamente contenuto in D1, allora abbiamo ottenuto unprolungamento di f1(z) al dominio D1

⋃

D2. Ora si puo continuare il processo sviluppando attorno alpunto z3 ∈ D1

⋃

D2 e ottenendo una funzione f3(z) definita in D3 ≡ {z : |z − z3| < r3} che coincide conf1(z) e/o f2(z) nell’intersezione D1

⋂

D2

⋂

D3. Se D3 non e interamente contenuto in D1

⋃

D2, alloraabbiamo ottenuto un prolungamento di f1 e/o f2. In linea di principio con questo metodo e possibileottenere la massima estensione di ogni funzione, ma nella pratica si usano metodi piu rapidi.

Con questo metodo e anche possibile prolungare la funzione lungo un percorso chiuso e dopo un numeron di passi tornare al punto di partenza. Sia f1(z) definita in D1 la funzione di partenza e fn(z) definita inDn la funzione di arrivo con D1

⋂

Dn 6= φ. Se la funzione f(z) che rappresenta la massima estensione dif1 e una funzione ad un solo valore allora si ha f1(z) = fn(z) per ogni z ∈ D1

⋂

Dn, se pero la funzionee a piu valori (polidroma) allora nell’intersezione dei domini si puo avere f1(z) 6= fn(z). Questo succedead esempio con la funzione log z. Questa e infatti una funzione ad infiniti valori e ogni volta che si fa ungiro completo attorno all’origine la funzione aumenta di 2πi.

8.2 Punti di diramazione e funzioni polidrome

I punti di diramazione sono delle singolarita delle funzioni a molti valori e pertanto una funzione polidromanon e mai analitica. Tali singolarita non sono isolate e si presentano sempre a coppie.

A titolo di esempio si consideri l’equazione w2 = z = |z|eiϑ. Le soluzioni sono della forma

wk =√

|z|ei(ϑ+2πk)/2 , k ∈ ZZ .

22

La radice quadrata e quindi un funzione polidroma a due valori poiche w2k = −w2k+1 = w2k+2. Come eben noto le due radici differiscono per il segno (w0 =

√

|z|eiϑ/2 = −w1).

E’ chiaro che la funzione f(z) =√z non e analitica in z = ∞, ma anche il punto z = 0 e un punto di

non-analiticita in quanto f non e derivabile nell’origine (f ′(z) = 1/[2√z] diverge in 0). La funzione ha

due punti (0,∞) in cui non e derivabile (singolarita). Queste “singolatita” sono di natura completamentediversa rispetto alle singolarita isolate incontrate fino ad ora. Questo si vede gia dal fatto che f non esviluppabile in serie di Laurent attorno all’origine.

Per capire meglio quanto succede, calcoliamo l’integrale della funzione lungo la circonferenza |z| = r. Siha

∮

|z|=r

dz√

|z| = ±ir3/2

∫ 2π

0

dϑ e3iϑ/2 = ∓4r3/2

3.

Vediamo che l’integrale e diverso da zero, ma questo non e sorprendente in quanto sappiamo gia che lafunzione non e analitica nell’origine. La cosa nuova sta invece nel fatto che l’integrale dipende da r equesto significa che non esiste una corona circolare centrata nell’origine in cui f e analitica. Se questofosse possibile, per il teorema di Laurent l’integrale di f su una qualunque circonferenza Cr ≡ {z : |z| = r}contenuta nella corona circolare sarebbe uguale a b1, indipendentemente da r.

Queste singolarita sono quindi di tipo diverso rispetto a quelle classificate mediante lo sviluppo di Laurente sono dovute al fatto che la funzione e a piu valori. Quando si fa un giro completo attorno alla singolaritala funzione cambia segno. Queste singolarita sono dette punti di diramazione.

Il modo piu semplice per trattare le funzioni a piu valori e quello di considerare un solo ramo (o rami-ficazione o determinazione) della funzione, considerando un dominio D ⊂ IC nel quale non e possibilegirare attorno ai punti di diramazione e quindi togliendo dal piano complesso le linee (detti tagli) checongiungono le coppie di punti di diramazione. Nel caso della radice quadrata la coppia di punti didiramazione e (0,∞) e pertanto se dal piano complesso si esclude una qualunque linea che congiungel’origine con l’infinito, la funzione risulta analitica. Poiche in tale dominio non e possibile fare un girocompleto attorno all’origine (o all’infinito), la funzione e ad un solo valore corrispondente al ramo fissato.Il ramo corrispondente alla scelta | arg z| < 2π e detto determinazione principale. L’intervallo in cuivaria arg z dipende da dove si effettua il taglio e questo e dettato dal problema specifico. Il taglio checongiunge i due punti di diramazione in linea di principio e abitrario, ma nei casi piu semplici e frequentiquesto coincide con il semiasse reale positivo (negativo) e questo corrisponde alla scelta 0 < arg z < 2π(−π < arg z < π). Il valore della funzione “sopra” il taglio e diverso rispetto a quello che la funzioneassume “sotto” il taglio (discontinuita). Nel caso della radice quadrata la funzione cambia segno, mentrenel caso del logaritmo la funzione aumenta di 2πi.

Se analizziamo con maggior dettaglio l’integrale precedente, vediamo che il risultato non dipende dallacurva di integrazione, come potrebbe sembrare a prima vista, ma dalla discontinuita della primitivaattraverso il taglio. Questo risulta chiaro se integriamo la radice quadrata lungo un curva arbitrariaC ≡ {z : z = z(ϑ) = ρ(ϑ)eiϑ} contenente l’origine. Poniamo

f(z) =√z =

√

ρ(ϑ)eiϑ/2 ≡ F ′(z) , F (z) =2z3/2

3=

2

3

[

ρ(ϑ)eiϑ]3/2

.

Con queste notazioni si ottiene

∮

C

dz f(z) =

∮

C

dz F ′(z) =2

3

∫ ϑ0+2π

ϑ0

dϑd

dϑ

[

ρ(ϑ)eiϑ]3/2

= F (z+0 ) − F (z−0 ) = −4ρ

3/20

3.

Con z0 si e indicato il punto (arbitrario) sulla curva chiusa dove “inizia” e “termina” l’integrazione. Piuprecisamente

z+0 = ρ0e

iϑ0 , z−0 = ρ0ei(ϑ0+2π) ,

23

sono i due estremi di integrazione, uno sopra e uno sotto il taglio.

Un modo piu elaborato per trattare queste funzioni e quello di considerare tante copie del piano complessoquanti sono i rami della funzione, tagliarle lungo delle linee che congiungono i punti di diramazione esaldarle fra loro ottenendo in tal modo quella che viene chiamata superficie di Riemann. Su tale superficiela funzione e ad un solo valore. Quando si fa un giro completo attorno al punto di diramazione si passasul piano complesso superiore (2πk ≤ arg z ≤ 2(k + 1)π). Se la funzione ha n ramificazioni (come z1/n)allora la superficie di Riemann e una torre con n piani e l’ultimo e saldato con il primo. Nel caso dellogaritmo la torre e infinita perche il logaritmo ha infinite ramificazioni. La topologia delle superfici diRiemann e non banale e diventa assai complicata per funzioni con molti punti di diramazione.

8.3 Funzioni con bordo naturale

Esistono delle funzioni che non possono essere prolungate analiticamente in quanto hanno un bordonaturale in cui le singolarita (non isolate) formano un insieme denso.

Un classico esempio e dato dalla funzione

f(z) =

∞∑

n=0

zn! , |z| < 1.

Questa funzione ha un insieme di singolarita che e denso sulla circonferenza |z| = 1 (bordo naturale).

E’ evidente che per z = 1 la serie diverge e quindi z = 1 e una sigolarita per f . Per la stessa ragione, tuttii punti sulla circonferenza unitaria C1 ≡ {z : |z| = 1} della forma zk = eiϑk costituiscono una singolaritaper f se

ϑkn! = 2πk , (per n ≥ q ∈ IN) , k ∈ ZZ .

Infatti in tal caso si ha

fN (zk) =

N∑

n=0

zn!k =

q−1∑

n=0

eiϑkn! +

N∑

n=q

ziϑkn! =

q−1∑

n=0

eiϑkn! +N ,

che diverge nel limite N → ∞. Punti che soddisfano queste richieste ce sono infiniti. Tutti i punti dellaforma

zp,q = e2πip/q , p, q ∈ IN ,

soddisfano le proprieta

|zp,q| = 1 ,pn!

q= k ∈ IN , ∀n ≥ q

e pertanto f ha infinite singolarita su C1. Cio che effettivamente impedisce il prolungamento analitico e ilfatto che questi punti formano un insieme denso su C1. Questo significa che in ogni arco (arbitraramentepiccolo) di C1 si trovano infinite singolarita della funzione e pertanto il bordo e un limite invalicabile.Nota: la densita deriva direttamente dal fatto che in un intorno arbitrariamente piccolo di ogni numeroreale ci sono infiniti numeri razionali.

9 Funzioni speciali

Come esempi di prolungamento analitico studiamo le proprieta di alcune funzioni speciali che si incontranofrequentemente nella fisica.

24

9.1 Funzione Gamma di Eulero

E’ definita mediante l’equazione (integrale di Eulero del II tipo)

Γ(z) =

∫ ∞

0

dt tz−1e−t , Re z > 0 . (9.1)

Questo integrale definisce una funzione analitica nel semipiano Re z > 0. L’integrale diverge per z = 0 equindi la funzione deve avere una singolarita in tale punto. Per vedere il tipo di singolarita prolunghiamola funzione facendo una prima integrazione per parti, vale a dire

∫ ∞

0

dt tz−1e−t =1

z

∫ ∞

0

dt tze−t , Re z > 0 .

L’uguaglianza precedente vale per Re z > 0, pero l’ultimo integrale e definito per Re z > −1. Si vededunque che l’origine e un polo semplice per la funzione Γ(z) e che si ha

Γ(z) =1

z

∫ ∞

0

dt tze−t , Re z > −1 , z 6= 0 . (9.2)

In z = −1 c’e un’altra singolarita. Ora si puo continuare ad integrare per parti isolando le singolaritadella funzione. Dopo n+ 1 integrazioni si ottiene

Γ(z) =1

z(z + 1)(z + 2)...(z + n)

∫ ∞

0

dt tz+ne−t , Re z > −n , z 6= 0,−1,−2, ...,−n ,

da cui si vede che la funzione Γ(z) e una funzione meromorfa con poli semplici nei punti 0,−1,−2, ....Il residuo nel generico polo si ottiene mediante la formula

Res(Γ;−n) = limz→−n

(z + n)Γ(z) =(−1)n

n!, n ∈ IN .

Se z non e un polo, si ha la relazione (vedi 9.2)

Γ(z + 1) = zΓ(z) =⇒ Γ(n+ 1) = n! .

Quest’ultima relazione si potrebbe usare per prolungare la funzione dal dominio Re z > −n al dominioRe z > −n− 1.

Vogliamo ora ricavare una relazione che connette Γ(z) con Γ(1 − z). Per 0 < Re z < 1 si ha

Γ(z) =∫∞0dxxz−1e−x

Γ(1 − z) =∫∞0dy y−ze−y =⇒ Γ(z)Γ(1 − z) =

∫ ∞

0

∫ ∞

0

dxdy xz−1y−ze−(x+y) .

Per calcolare l’integrale conviene prima effettuare il cambiamento di variabili (x, y) → (x2, y2) e passarequindi a coordinate polari (x = r cosϕ, y = r sinϕ). In tal modo si ottiene

Γ(z)Γ(1 − z) = 4

∫ ∞

0

dr re−r2

∫ π/2

0

dϕ [cosϕ]2z−1[sinϕ]1−2z =

∫ 1

0

dttz−1

(1 − t)z= B(z, z + 1) . (9.3)

La funzione beta B(x, y) (integrale di Eulero del I tipo) e data da

B(x, y) =

∫ 1

0

dttx−1

(1 − t)y−1=

Γ(x)Γ(y)

Γ(x+ y) = B(y, x), Rex > 0 , Re y > 0 . (9.4)

25

L’ultimo integrale in (??) si calcola esattamente con il metodo dei residui considerando la funzionef(w) = wz−1/(1 − w)z e integrandola su un contorno chiuso C che racchiude la coppia di punti didiramazione w = 0 e w = 1. Se il cammpino e percorso in senso orario (positivo rispetto all’infinito) siha

2πiRes(f ;∞) =

∮

C

dw f(w) = (−1)z sinπz

∫ 1

0

dt f(t) .

Per calcolare il residuo all’inifinito conviene effettuare lo sviluppo di Laurent della funzione per |w| ≫ 1.Si ha

(1 − w)z = (−w)z

(

1 − 1

w

)

∼ (−w)z

(

1 − z

w− z(1 − z)

2w2+ ...

)

,

da cui segue

f(w) =wz−1

(1 − w)z∼ wz−1

(−w)z (1 − z/w + ...)∼ (−1)z

[

1

w+

z

w2+ ...

]

=⇒ Res(f ;∞) = (−1)z .

Finalmente si ottiene il risultato cercato

Γ(z)Γ(1 − z) =(−1)zπ

sinπzRes(f ;∞) =

π

sinπz. (9.5)

9.2 Funzione Zeta di Riemann

Questa e definita mediante la serie

ζ(z) =

∞∑

n=1

1

nz, Re z > 1 . (9.6)

Per ottenere il prolungamento analitico e studiare le singolarita conviene usare un’altra rappresentazionedi ζ(z). Si osserva dapprima che per Re z > 0

∫ ∞

0

dt tz−1e−nt =1

nz

∫ ∞

0

dt tz−1e−t =Γ(z)

nz.

Allora, per Re z > 1 si puo scrivere

ζ(z) =1

Γ(z)

∞∑

n=1

∫ ∞

0

dt tz−1e−nt =1

Γ(z)

∫ ∞

0

dttz−1

et − 1.

Ricordando le proprieta del logaritmo si ottiene anche

∫ ∞

0

dttz−1

et − 1= − 1

2i sinπz

∫

γ

dw(−w)z−1

ew − 1,

dove γ e un cammino aperto da (∞,−iδ) a (∞,+iδ) che gira attorno all’asse reale positivo. Il cam-mino non deve contenere i poli della funzione integranda wk = 2πik , k = ±1,±2, .... Dall’espressioneprecedente e usando la (9.5) si ha finalmente

ζ(z) = −Γ(1 − z)

2πi

∫

γ

dw(−w)z−1

ew − 1, z 6= 1, 2, 3, ... (9.7)

26

Questa rappresenta il prolungamento analitico per ogni valore di z 6= 1, 2, 3, .... In z = 1 la funzione haun polo semplice con residuo uguale a 1. Infatti

Res(ζ; 1) = limz→1

(z − 1)ζ(z) = limz→1

Γ(2 − z)

2πi

∫

γ

dw1

ew − 1= 1 .

L’integrale e stato calcolato con il metodo dei residui osservando che la funzione integranda ora e ad unsolo valore e quindi il taglio puo essere rimosso. In tal modo il cammino di integrazione diventa una curvachiusa attorno all’origine.

Per finire calcoliamo il valore di ζ(0) dove la funzione e analitica. Per z = 0 la funzione integrandaf(w) = 1/w(ew − 1) ha una singolarita essenziale nell’origine per cui si puo rimuovere il taglio e chiudereil cammino di integrazione. Allora si ha

ζ(0) =1

2πi

∮

C

dw f(w) = Res(f ; 0) .

Per calcolare il residuo nella singolarita essenziale w = 0 si deve effettuare lo sviluppo di Laurent per|w| < 1. Si ha

f(w) =1

w(ew − 1)∼ 1

w2[1 + w/2 + w2/6 + ...∼ 1

w2

[

1 − w

2+w2

12+ ...

]

∼ 1

w2− 1

2w+

1

12+ ...

In conclusione ζ(0) = −1/2.

Si verifica anche facilmente che z(−2n) = 0 (n = 1, 2, 3, ...). A questo proposito basta osservare che lafunzione g(w) e una funzione dispari, cioe g(w) = −g(−w), dove

g(w) =1

ew − 1− 1

w+

1

2

e quindi la funzione g(w)/w2n+1 e pari e il suo sviluppo conterra solo potenze pari di w. Questo significache lo sviluppo di Laurent per |w| < 1 della funzione integranda

f(w) =1

w2n+1(ew − 1)=

1

w2n+1

[

1

w− 1

2+ g(w)

]

=1

w2(n+2)− 1

2w2n+1+

g(w)

w2n+1,

non contiene il termina b1/w (per n > 1) e dunque il residuo nell’origine e nullo.

Una rappresentazione integrale simile alla (9.7) si puo ricavare anche per la funzione Γ(z). Si puo verificaredirettamente che

Γ(z) = − 1

2i sinπz

∫

γ

dw (−w)z−1e−w

e questa vale per ogni valore di z 6= 0,−1,−2, .. dove la funzione ha poli semplici. Il cammino γ e quelloprecedente senza restrizioni in quanto qui la funzione integranda non ha poli.

10 Complementi

10.1 Lemma di Jordan

Sia f(z) una funzione che si annulla all’infinito nel semipiano superiore, vale a dire

limR→∞

f(Reiϑ) = 0 , 0 ≤ ϑ ≤ π

27

e α un numero reale positivo (α > 0). Allora si ha

limR→∞

∫

Γ+R

dz eiαzf(z) = 0 , α > 0 , Γ+R ≡ {z : |z| = R , 0 ≤ arg z ≤ π} .

Dimostrazione – Riscriviamo l’integrale precedente usando la rappresentazione polare, cioe

∫

Γ+R

dz eiαzf(z) = iR

∫ π

0

dϑ eiϑ eiαR(cos ϑ+i sin ϑ)f(Reiϑ) .

Per le ipotesi fatte, fissato arbitrariamente ε > 0, per R abbastanza grande si ha |f(Reiϑ)| < ε, quindi

∣

∣

∣

∣

∣

∫

Γ+R

dz eiαzf(z)

∣

∣

∣

∣

∣

≤ R

∫ π

0

dϑ e−αR sin ϑ|f(Reiϑ)| ≤ εR

∫ π

0

dϑ e−αR sin ϑ

= 2εR

∫ π/2

0

dϑ e−αR sin ϑ .

L’ultima espressione si e ottenuta usando il fatto che sinϑ e simmetrico rispetto all’asse ϑ = π/2. Permaggiorare ulteriormente l’integrale si osserva che nell’intervallo che interessa (0 ≤ ϑ ≤ π/2) vale ladisuguaglianza

sinϑ ≥ 2ϑ

π=⇒ e−αR sin ϑ ≤ e−2αRϑ/π ,

per cui

∫ π/2

0

dϑ e−αR sin ϑ ≤∫ π/2

0

dϑ e−2αRϑ/π =π(1 − e−αR)

2αR.

Finalmente si ha

limR→∞

∣

∣

∣

∣

∣

∫

Γ+R

dz eiαzf(z)

∣

∣

∣

∣

∣

≤ limR→∞

επ(1 − e−αR)

2α=πε

α

e dall’arbitrarieta di ε segue il risultato cercato.

In modo del tutto simile si puo dimostrare il lemma precedente con “tutti i segni scambiati” (ossia nelsemipiano inferiore). Piu precisamente si ottiene

limR→∞

|f(Re±iϑ)| = 0 =⇒ limR→∞

∫

Γ±

R

dz e±i|α|zf(z) = 0 , 0 ≤ ϑ ≤ π , (10.1)

dove Γ±R ≡ {z : |z| = R , 0 ≤ ϑ = arg z ≤ ±π}. Come si vedra in seguito, il lemma di Jordan risulta

particolarmente utile nel calcolo delle trasformate di Fourier di funzioni razionali.

10.2 Somma di serie numeriche

Il metodo dei residui permette di calcolare la somma di serie numeriche della forma

∞∑

n=−∞f(n) ,

∞∑

n=−∞(−1)n f(n) ,

28

quando il modulo della funzione f(z) tende a zero piu rapidamente di 1/|z| all’infinito.

Siano zk i poli di f(z) (zk /∈ ZZ, altrimenti la serie diverge) e |zf(z)| → 0 per |z| → ∞. Allora si ha

∞∑

n=−∞f(n) = −π

∑

k

Res (f(z) cotπz; zk) ,

∞∑

n=−∞(−1)nf(n) = −π

∑

k

Res

(

f(z)

sinπz; zk

)

,

dove la somma e estesa a tutti i poli della funzione f(z).

Dimostrazione – Le funzioni cotπz e 1/ sinπz hanno poli semplici su tutti i numeri interi (wn = n,n ∈ ZZ) e i rispettivi residui sono

Res(cotπz;n) =1

π, Res

(

1

sinπz;n

)

=(−1)n

π.

Si consideri allora una curva chiusa CN contenente (strettamente) al suo interno i poli wn con |n| ≤ N enon passante per nessun polo di f(z). Integrando si ottiene

∮

CN

dz f(z) cotπz = 2πi

[

N∑

n=−N

Res(f(z) cotπz;wn) +∑

k

,Res(f(z) cotπz; zk

]

= 2πi

[

N∑

n=−N

f(n)

π+∑

k

,Res(f(z) cotπz; zk

]

,

dove la somma su k e fatta su tutti i poli di f(z) interni a CN . Una equazione simile si ottiene considerandol’inverso del seno in luogo della cotangente. Il risultato richiesto si ricava prendendo il limite per N → ∞se si dimostra che in tal caso l’integrale su CN si annulla. Questo e garantito dal seguente

Lemma: le funzioni trigonometriche | cotπz| e |1/ sinπz| sono limitate su ogni quadrato QN di lato2(N + 1/2) centrato nell’origine.

Dimostrazione – Si consideri un punto z = x+ iy ∈ QN . Si hanno i seguenti casi:

• y > 1/2, x arbitrario

| cotπz| =

∣

∣

∣

∣

eiπz + e−iπz

eiπz − e−iπz

∣

∣

∣

∣

≤∣

∣

∣

∣

1 + e−2πy

1 − e−2πy

∣

∣

∣

∣

≤ 1 + e−π

1 − e−π= coth

π

2,

• y < −1/2, x arbitrario

| cotπz| =

∣

∣

∣

∣

eiπz + e−iπz

eiπz − e−iπz

∣

∣

∣

∣

≤∣

∣

∣

∣

1 + e+2πy

1 − e2πy

∣

∣

∣

∣

≤ 1 + e−π

1 − e−π= coth

π

2, ,

• −1/2 ≤ y ≤ 1/2, x = ±(N + 1/2)

| cotπz| =

∣

∣

∣

∣

cotπ

(

N +1

2± iy

)∣

∣

∣

∣

= |tan iπy| = | tanhπy| ≤ tanhπ

2< coth

π

2.

Di qui segue che per ogni z ∈ QN , cotπz e maggiorata da una costante indipendente da N , cioe

| cotπz| ≤ cothπ

2, z ∈ QN .

29

Una simile maggiorazione vale anche per l’inverso del seno.

Questo significa che, data una qualunque funzione che si annulla piu rapidamente di 1/|z| all’infinito, peril teorema di Darboux si ha

limN→∞

∣

∣

∣

∣

∮

QN

dz f(z)T (z)

∣

∣

∣

∣

≤ limN→∞

8

(

N +1

2

)

|f(z)||T (z)| = 0 ,

dove T (z) e una delle funzioni trigonometriche precedenti (cotangente o cosecante). Il cammino diintegrazione puo essere deformato a piacere (basta non attraverare i poli) e quindi a QN si puo sostitureuna qualsiasi curva chiusa CN .

E’ evidente che un risultato analogo vale anche per la tangente e la secante che sono le funzioni precedentitraslate. Volendo effettuare una dimostrazione diretta anche per questi due casi si deve considerare unquadrato QN di lato 2N , in quanto i poli sono i numeri semi-interi).

Per concludere si ha

limN→∞

∣

∣

∣

∣

∮

CN

dz f(z)T (z)

∣

∣

∣

∣

≤ 0 , (10.2)

dove T (z) e la tangente, la cotangente, la secante o la cosecante e CN e un cammino chiuso che noninterseca nessun polo.

E’ evidente che il metodo di somma appena esposto si puo applicare anche se la funzione f(z) non erazionale, ma in tal caso bisogna verificare esplicitamente la validita dell’equazione (10.2). A titolo diesempio si consideri la serie trigonometrica

g(α) =

∞∑

n=1

(−1)n sinnα

n3,

che converge uniformemente ad una funzione (continua) dispari e periodica. E’ quindi sufficiente consi-derare α ∈ [0, π]. In questo intervallo, procedendo come sopra per y > 1/2 e x arbitrario si ha

∣

∣

∣

∣

sinαz

sinπz

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

e−iαz(1 − e2iαz)

e−iπz(1 − e2iπz)

∣

∣

∣

∣

≤∣

∣

∣

∣

eαy(1 + e−2αy)

eπy(1 − e−2πy

∣

∣

∣

∣

≤ [e−(π−α)y]

∣

∣

∣

∣

1 + e−π

1 − e−π

∣

∣

∣

∣

≤∣

∣

∣cothπ

2

∣

∣

∣ .

In modo simile si ottengono le maggiorazioni sugli altri lati del quadrato e quindi la (10.2) e verificata.Ora integrando la funzione sinαz/(z3 sinπz sul quadrato QN e prendendo il limite N → ∞ si ottiene

0 =

∮

dzsinαz

z3 sinπz= 2πi

∑

n6=0

(−1)n sinnα

πn3+ Res

(

sinαz

z3 sinπz; 0

)

,

da cui segue

g(α) =1

2

∑

n6=0

(−1)n sinnα

n3= −π

2Res

(

sinαz

z3 sinπz; 0

)

.

Si osservi che il polo nell’origine deve essere trattato a parte in quanto il polo e triplo. Dallo sviluppo diLaurent attorno all’origine si ha

sinαz

z3 sinπz∼ αz − α3z3/6 + ...

z3(πz − π3z3/6) + ...∼ α

πz3

(

1 − α2z2

6

)(

1 +π2z2

6

)

+ ... ∼ α(π2 − α2)

6πz+ ...

30

da cui

g(α) = −α(π2 − α2)

12, −π ≤ α ≤ π .

(Si verifichi il risultato usando lo sviluppo di Fourier).

10.3 Integrazione di funzioni trigonometriche

L’integrale su un periodo di una funzione arbitraria di funzioni trigonometriche F (sinϑ, cosϑ) e equiva-lente all’integrale di una funzione f(z) sulla circonferenza |z| = 1. Mediante il cambiamento di variabilez = eiϑ e l’uso delle formule di Eulero si ricava infatti

∫ 2π

0

dϑF (sinϑ, cosϑ) =

∮

|z|=1

dz f(z) , f(z) =1

izF

(

z2 − 1

2iz,z2 + 1

2z

)

.

10.4 Valore principale di Cauchy

E’ una regola che permette di dare un senso a integrali altrimenti divergenti. Si consideri una funzionef(x) continua in [a, b] eccetto che nel punto x0 e la funzione

I(ε) =

∫ x0−ε

a

dx f(x) +

∫ b

x0+ε

dx f(x) .

Il limite per ε → 0 di I(ε) puo esistere anche se la funzione non e integrabile (negli integrali improprisecondo Riemann si richiede l’esistenza del limite destro e sinistro separatamente). Se tale limite e finitosi dice che l’integrale esiste come valore principale di Cauchy. Si scrive

vP

∫ b

a

dx f(x) = limε→0

[

∫ x0−ε

a

dx f(x) +

∫ b

x0+ε

dx f(x)

]

.

Se nell’intervallo di integrazione ci sono n punti singolari x1, x2, ..., xn, allora

vP

∫ b

a

dx f(x) =

n∑

k=1

limεk→0

[

∫ xk−εk

a

dx f(x) +

∫ b

xk+εk

dx f(x)

]

.

In modo analogo si tratta l’eventuale singolarita all’infinito, cioe

vP

∫ ∞

−∞dx f(x) = lim

R→∞

∫ R

−R

dx f(x) .

10.5 Trasformate di Hilbert

Queste connettono fra loro la parte reale e la parte immaginaria di una funzione analitica. Sia f(z) unafunzione analitica nel semipiano superiore Im z ≥ 0 e tale che |f(z)| → 0 per z → ∞ (nel semipianosuperiore). Si chiamano trasformate di Hilbert gli integrali

Re f(x) =1

πvP

∫ ∞

−∞dt

Im f(t)

t− x, Im f(x) =

1

πivP

∫ ∞

−∞dt

Re f(t)

t− x.

Per verificare questo risultato basta integrare la funzione g(z) = f(z)/(z − x) lungo il cammino chiusoCR,ε = γR + γε + γ+ + γ− dove γR e la semicirconferenza |z| = R (nel semipiano superiore), γε e la

31

semicirconferenza |z − x| = ε (nel semipiano superiore), γ+ e la semiretta [x + ε,∞) e infine γ− e lasemiretta (−∞, x − ε]. La funzione integranda g(z) ha un solo polo sull’asse reale, ma questo e esternoal cammino di integrazione e pertanto il suo integrale e nullo. Pertanto

∫

ΓR

dz g(z) +

∫

γε

dz g(z) +

∫

Γ+

dz g(+) +

∫

Γ−

dz g(z) = 0 .

Nel limite R → ∞, il primo integrale si annulla per il teorenma di Darboux, mentre i due integralisu γ±, nel limite ε → 0, danno il valore principale dell’integrale della funzione g(x) sull’asse reale. Ilsecondo integrale si calcola direttamente usando la rappresentazione polare e osservando che, per l’ipotesidi analiticita,

f(z) = f(x) + f ′(x)(z − x) + o(

[z − x]2)

.

In tal modo si ottiene

∫

γε

dz g(z) = f(x)

∫

γε

dz

z − x+ f ′(x)

∫

γε

dz + o(ε2) = −iπf(x) + o(ε) .

Nel limite R→ ∞ , ε→ 0 si ha finalmente

f(x) =1

iπvP

∫ ∞

−∞dt

f(t)

t− x.

Prendendo la parte reale e la parte immaginaria dell’espressione precedente si ottiene il risultato richiesto.

E’ evidente che un risultato simile vale anche per unaa funzione f(z) analitica e tendente a zero nelsemipiano inferiore. In tal caso si ottengono le stesse trasformazioni pero con il segno scambiato. Questonon e in contraddizione con le formule precedenti perche una funzione analitica ovunque e che si annullaall’infinito e identicamnte nulla.

11 Applicazioni

Consideriamo ora alcuni problemi classici che si risolvono mediante l’uso dell’analisi complessa.

11.1 Integrali di Fresnel

Si incontrano in ottica nello studio della rifrazione:

∫ ∞

0

dx cos(αx2) ,

∫ ∞

0

dx sin(αx2) , α ∈ IR .

Si consideri la funzione complessa f(z) = e−αz2

con α > 0 e la si integri sul cammino chiuso C formatodal perimetro del settore circolare di raggio R e di ampiezza π/4. All’interno di tale settore, costituitodai punti con |z| ≤ R ; 0 ≤ arg z ≤ π/4, la funzione e analitica. Allora si ha

0 =

∮

C

dz f(z) =

∫ R

0

dρ f(ρ) − eiπ/4

∫ R

0

dρ f(ρeiπ/2) + iR

∫ π/4

0

dϑ eiϑf(Re2iϑ) .

Ora osserviamo che

limR→∞

∣

∣

∣

∣

∣

iR

∫ π/4

0

dϑ eiϑ e−αR2e2iϑ

∣

∣

∣

∣

∣

≤ limR→∞

R

∫ π/4

0

dϑ e−αR2 cos 2ϑ

≤ limR→∞

R

2

∫ π/2

0

dϕ e−2αR2ϕ/π = limR→∞

π

4αR

[

1 − e−αR2]

= 0 .

32

Nell’ultimo integrale si e effettuato il cambiamento di variabile 2ϑ = π/2 − ϕ e quindi si e maggioratoulteriormente(vedi Lemma di Jordan).

Passando al limite nell’espressione sopra si ottiene quindi

∫ ∞

0

dρ e−iαρ2

= e−iπ/4

∫ ∞

0

dρ e−αρ2

=e−iπ/4

2

√

π

α=

1

2√

2

√

π

α(1 − i) , α > 0 .

Si osservi che questo risultato e quello che si ottiene con la sostituzione α→ iα se per la radice si prendela determinazione principale.

Gli integrali di Fresnel corrispondono alla parte reale e immaginaria dell’espressione precedente, per cui

∫ ∞

0

dx cos(αx2) =

∫ ∞

0

dx sin(αx2) =1

4

√

2π

|α| , α > 0 .

Nel caso del coseno, che e una funzione pari, questo risultato vale anche per α < 0 mentre per il seno,che e una funzione dispari, il valore dell’integrale e negativo se α < 0.

11.2 Sviluppi di Mittag-Leffler

Sviluppare le seguenti funzioni trigonometriche:

f1(z) =1

cos z, f2(z) = tan z , f3(z) =

1

sin z, f4(z) = cot z .

La formula di Mittag-Leffler (7.1) vale se tutti i poli sono semplici e ovviamente non nell’origine. Inoltrela funzione f(z) in esame deve soddisfare la condizione max |f(z)|/|z| → 0 quando z → ∞, con z ∈ CN ;CN e una curva chiusa che non interseca nessun polo.

Le funzioni considerate sopra soddisfano tutte la condizione richiesta all’infinito in quanto si e dimostratoprecedentemente che sono limitate su opportuni quadrati QN e inoltre hanno tutte poli semplici. Lefunzioni f1(z) e f2(z) sono pure regolari nell’origine e quindi si possono sviluppare applicando la formula(7.1), mentre le funzioni f3(z) e f4(z) hanno un polo nell’origine che si deve togliere prima di applicarela (7.1) definendo le funzioni

g3(z) = f3(z) − Res(f3; 0)

z=

1

sin z− 1

z, g4(z) = f4(z) − Res(f4; 0)

z= cot z − 1

z.

I residui nei poli delle funzioni fk sono (n ∈ ZZ)

Res(f1; [n+ 1/2]π) = −(−1)n , Res(f3;nπ) = (−1)n ,

Res(f2; [n+ 1/2]π) = −1 , Res(f4;nπ) = 1 ,

Ora e possibile applicare la (7.1). Si ottiene

f1(z) =1

cos z= 1 −

∞∑

n=−∞

(−1)nz

[z − (n+ 1/2)π](n+ 1/2)π,

f2(z) = tan z = −∞∑

n=−∞

z

[z − (n+ 1/2)π](n+ 1/2)π,

f3(z) =1

sin z=

1

z+ 2

∞∑

n=1

(−1)nz

z2 − n2π2,

f4(z) = cot z =1

z+ 2

∞∑

n=1

z

z2 − n2π2.

33

11.3 Quantizzazione secondo Bohr-Sommerfeld

E’ una ricetta di quantizzazione precedente alla meccanica quantistica.

Siano pk, qk le variabili coniugate di una particella (legata; moto classico periodico). La quantizzazionedi Bohr-Sommerfeld afferma che le “traiettorie” della particella nello spazio delle fasi non possono esserequalsiasi ma devono soddisfare la regola di quantizzazione

∮

dqk pk = nkh , nk ∈ IN (numeri quantici),

che vale per grandi numeri quantici (nk ≫ 1; quantizzazione semiclassica). Gli integrali sono fatti lungola traiettoria classica (chiusa) e devono essere dei multipli interi della costante di Planck h.

• Come primo esempio si consideri un oscillatore armonico unidimensionale di massa m e frequenzaangolare ω. L’hamiltoniana e H = p2/2m + mω2q2/2 e classicamente non c’e nessuna restrizionesui possibili valori dell’energia. Ad ogni valore di E corrisponde una traiettoria (ellisse) nello spaziodelle fasi. Si ha infatti

E =p2

2m+mω2q2

2=⇒ p2 = m2ω2

(

L2 − q2)

, |q| ≤√

2E

mω2= L ,

dove L e la massima elongazione. Usando il metodo di quantizzazione descritto sopra si ottiene

∮

dq p = 2mω

∫ −L

L

dq√

L2 − q2 = nh .

L’integrale precedente si calcola con il metodo dei residui integrando la funzione f(z) =√L2 − z2

su una curva chiusa C contenente il segmento [−L,L]. All’esterno della curva la funzione e analitica,quindi

∮

C

dz f(z) = −2πiRes(f ;∞) = πL2 .

La curva C e arbitraria (basta soltanto che racchiuda il taglio) per cui si puo scegliere arbitraria-mente vicina al segmento [−L,L]. In tal modo si ottiene

∮

C

dz f(z) = 2

∫ −L

L

dq√

L2 − q2

e finalmente∮

dq p = mω

∮

C

dz f(z) = mπωL2 = nh =⇒ En = nhω ,

che per n≫ 1 coincide con il valore dato dalla meccanica quantistica En = (n+ 1/2)hω.

• Come secondo esempio si consideri una particella di massa m in un potenziale centrale attrattivoV (r) = −k/r (k > 0; atomo di idrogeno). La lagrangiana e l’hamiltoniana in coordinate polarisferiche sono

L =m

2

[

r2 + r2ϑ2 + r2 sin2 ϑϕ2]

− V (r) ,

H =1

2m

[

p2r +

p2ϑ

r2+

p2ϕ

r2 sin2 ϑ

]

+ V (r) ,

dove pr, pϑ, pϕ sono gli impulsi coniugati alle coordinate polari r, ϑ, ϕ. Dalla regola di quantizzazionesi ha

Jr =

∮

dr pr = nrh , Jϑ =

∮

dϑ pϑ = nϑh , Jϕ =

∮

dϕ pϕ = nϕh .

34

Poiche ϕ e una variabile ciclica il suo impulso coniugato e costante e quindi

Jϕ =

∮

dϕ pϕ = 2πpϕ = nϕh =⇒ pϕ = nϕh ,

che e la regola di quantizzazione della proiezione lungo l’asse z del momento angolare L (pϕ ≡ Lz).nϕ e il numero quantico magnetico che usulamente si indica con m. Ricordando le equazioni diHalmiton e la definizione di impulso coniugato

pk =∂L

∂qk, pk = −∂H

∂qk,

si ricava direttamente

d

dt

[

p2ϑ +

p2ϕ

sin2 ϑ

]

= 0 , =⇒ p2ϑ +

p2ϕ

sin2 ϑ= α2 = costante ,

che e la legge di conservazione del quadrato del momento angolare (α2 = |L|2).

Per ricavare Jϑ conviene sfruttare il fatto che il momento angolare e conservato. Questo significache la traiettoria e contenuta in un piano e quindi conviene scegliere il sistema di riferimento inmodo che l’asse z sia ortogonale al piano del moto (o equivalentemente parallelo al vettore momentoangolare). Con questa scelta l’hamiltoniana assume la forma

H =1

2m

[

p2r +

p2φ

r2

]

+ V (r) ,

dove ora r, φ sono coordinate polari piane (cilindriche) e pφ = α e il modulo del momento angolare(costante).

Come e noto, in generale l’energia cinetica e data dall’espressione T = (1/2)∑

k pk qk. Per il nostrosistema, scrivendo questa espressione in coordinate sferiche e cilindriche si ottiene

2T = pr r + pϑϑ+ pϕϕ = pr r + pφφ =⇒ pϑdϑ = pφdφ− pϕdϕ .

Poiche pφ e pϕ sono entrambi costanti si ha banalmente

Jϑ =

∮

dϑ pϑ =

∫ 2π

0

dφ pφ −∫ 2π

0

dϕ pϕ = 2π(pφ − pϕ) .

Da quest’ultima equazione e da Jϕ si ricava finalmente

pφ =Jϑ + Jϕ

2π= (nϑ + nϕ)h = α =⇒ E =

1

2m

[

p2r +

α2

r2

]

+ V (r) ,

dove E e l’energia della particella. Siamo ora in grado di ricavare anche Jr e di conseguenza laregola di quantizzazione dell’energia. Si ha

Jr =

∮

dr pr = 2

∫ r2

r1

dr

√

2m[E − V (r)] − α2

r2

= 2√

2m|E|∫ r2

r1

dr

r

√

r2 − kr

|E| +α2

2m|E| = 2√

2m|E|∫ r2

r1

dr

r

√

r − r1)(r2 − r) ,

dove r1, r2 sono gli zeri della funzione sotto radice che soddisfano le condizioni

r1 + r2 =k

|E| , r1r2 =α2

2m|E| , (11.1)

35

L’integrale precedente si calcola con il metodo dei residui. A questo scopo consideriamo la funzione

f(z) =1

z

√

(z − r1)(z − r2) = ig(z) , g(z) =1

z

√

(z − r1)(r2 − z) ,

e la integriamo su un contorno chiuso attorno al taglio fra r1 e r2. Usiamo la determinazioneprincipale per entrambe le radici e osserviamo che per z± = x± iε (0 < ε ≤ 1, x ∈ (r1, r2)) si ha

f(z+) =1

z

[

e12 log(x−r1+iε)+ 1

2 log(x−r2+iε)]

∼ 1

z

[

e12 log |x−r1|+ 1

2 log |x−r2|+i π2

]

= ig(x)

f(z−) =1

z

[

e12 log(x−r1−iε)+ 1

2 log(x−r2−iε)]

∼ 1

z

[

e12 log |x−r1|+iπ+ 1

2 log |x−r2|+i π2

]

= −ig(x) .

Con la determinazione scelta si ha inoltre

{

limz→0√z − r1 =

√r1e

iπ/2 ,limz→0

√z − r2 =

√r2e

iπ/2 .=⇒ lim

z→0

√

(z − r1)(z − r2) = −√r1r2 .

Tenendo conto di queste osservazioni e del fatto che la funzione ha un polo all’infinito e unonell’origine si ottiene

∮

dz f(z) = −2i

∫ r2

r1

dr g(r) = −2πi[Res(f(z); 0) + Res(f(z);∞)] = 2πi[−√r1r2 + fracr1 + r22] ,

da cui segue

Jr

2π= k

√

m

2|E| − α = nrh

e finalmente

En = − mk2

2n2h2 , n2 = (nr + nϑ + nϕ)2 ,

che in questo caso coincide esattamente con la regola di quantizzazione della meccanica quantistica.

36

SECONDA PARTE

Definizioni

Alcuni dei concetti seguenti si possono definire in spazi piu generali, ma qui siamo interessati agli spazieuclidei per i quali e definito il concetto di “distanza” fra due punti arbitrari. Questo e dato dalla normadella differenza dei due punti, che per spazi reali diventa una vera distanza ρ(x, y) = ||x−y|| (vedi sotto).

• Discontinuita di prima specie. – Quando i limiti destro e sinistro esistono entrambi ma sono diversifra loro.

• Funzione a variazione limitata. – f definita in [a, b] si dice a variazione limitata se, per ognisuddivisone dell’intervallo del tipo a = x0 < x2 < · · · < xn = b si ha

n∑

k=1

|f(xk) − f(xk−1)| < costante .

• Funzione assolutamente continua. – f definita in [a, b] si dice assolutamente continua se, fissatoarbitrariamente ε > 0, esiste δ per cui

∑

k

|f(bk) − f(ak)| < ε ,∑

k

(bk − ak) < δ ,

dove (ak, bk) e una qualsiasi famiglia finita di intervalli disgiunti.Ogni funzione assolutamente continua e uniformemente continua e a variazione limitata.In particolare, l’integrale indefinito di ogni funzione sommabile definisce una funzione assolutamentecontinua.

• Convergenza quasi ovunque. – Si dice che la successione {fn} converge a f quasi ovunque sefn(x) → f(x), a meno di un insieme di misura nulla, vale a dire, l’insieme dei punti in cui la funzionenon converge ha misura nulla.

• Sottoinsieme denso: un insieme M1 e denso in M se ogni punto di M e circondato da punti di M1

arbitrariamente vicini. In maniera precisa: per ogni x ∈ M e comunque scelto un numero ε > 0,esiste un elemento x1 ∈M1 tale che ||x− x1|| < ε.

• Successione Fondamentale (o di Cauchy). – Una successione {xk} si dice fondamentale se soddisfail criterio di Cauchy, vale a dire se, comunque scelto un numero ε > 0, esiste un intero Nε taleche ||xn − xm|| < ε, per ogni n,m > Nε. Ogni successione convergente ovviamente soddisfa questocriterio. In generale pero non vale il viceversa. Quindi il criterio di Cauchy e una condizionenecessaria ma non sufficiente per la convergenza delle successioni.

• Completezza di uno spazio. – Uno spazio M si dice completo se ogni successione fondamentale econvergente. Questo significa che in uno spazio completo, la condizione di Cauchy e necessaria esufficiente per la convergenza.Esempio. L’insieme Q dei numeri razionali non e completo. Esistono infatti successioni di numerirazionali che convergono ad un numero reale, ma non razionale. L’insieme dei numeri reali IR ecompleto ed e anche il completamento di Q. In IR ogni successione fondamentale converge ad unnumero reale.

• Spazio separabile. – Uno spazio M si dice separabile se contiene un insieme numerabile ovunquedenso in M (gli spazi che si incontrano comunemente lo sono).Esempio. Un numero reale si puo approssimare con precisione assoluta mediante un numero razio-nale. L’insieme dei numeri razionali Q e quindi denso in IR; inoltre Q e numerabile e dunque IR eseparabile.

37

Teoremi classici

• Teorema di Lebesgue. – Se {fn} e una successione di funzioni convergente a f e per ogni n valela relazione |fn(x)| ≤ φ(x), dove φ(x) e una funzione integrabile, allora anche le funzioni fn sonointegrabili e il limite degli integrali di fn converge all’integrale di f (si puo scambiare il limite conl’integrale). In particolare, se l’insieme di integrazione ha misura finita, allora il teorema vale perogni successione limitata.

• Teorema di Levi. – Se f1(x) ≤ f2(x) ≤ ... ≤ fn(x) ≤ ... e una successione di funzioni integrabilie tutti gli integrali sono maggiorati da un’unica costante, allora la successione converge a f quasiovunque e inoltre l’integrale di f e il limite degli integrali.

• Teorema di Fatou. – Se {fn} e una successione di funzioni non negative convergente a f e tutti gliintegrali di fn sono maggiorati da una costante comune, allora l’integrale di f esiste ed e maggioratodalla stessa costante.

38

12 Spazio Euclideo (complesso)

• Se non specificato diversamente, in questa sezione x, y, z, ... sono arbitrari elementi (vettori) di unospazio lineare M , mentre α, β, ... sono numeri complessi arbitrari.

Si chiama spazio euclideo (complesso) uno spazio lineare complesso M in cui e definito un prodotto scalare.Questo e una funzione (x, y) che ad ogni coppia di elementi x, y ∈ M associa un numero complesso egode delle seguenti proprieta:

1) (x, x) ≥ 0 e inoltre (x, x) = 0 se e solo se x = 0;2) (x, y) = (y, x) (la barra rappresenta la coniugazione complessa);3) (x, α y) = α (x, y) , (αx, y) = α (x, y);4) (x, y + z) = (x, y) + (x, z).

Ogni spazio euclideo e anche normato e metrico. Infatti, mediante il prodotto scalare si puo definire lanorma ||x|| del generico elemento x ∈M , vale a dire

||x|| =√

(x, x) , (12.1)

che gode delle proprieta:

1) ||x|| ≥ 0 e ||x|| = 0 se e solo se x = 0;2) ||αx|| = |α| · ||x||;3) ||x+ y|| ≤ ||x|| + ||y|| (disuguaglianza triangolare).

Le proprieta 1) e 2) seguono direttamente dalle proprieta del prodotto scalare, mentre la 3) segue dalladisuguaglianza di Cauchy-Bounjakowskij4.

|(x, y)| ≤ ||x|| · ||y|| . (12.2)

Questa si dimostra facilmente considerando la disuguaglianza

0 ≤ (λx+ y, λx+ y) = |λ|2(x, x) + λ(x, y) + λ(y, x) + (y, y) = ||x||2|λ|2 + 2 Re [λ(y, x)] + ||y||2 .

Poiche λ e un un numero complesso arbitrario si puo scegliere

λ =(x, y)

|(x, y)| t , t ∈ IR =⇒ Re [λ(y, x)] = |(x, y)| t .

Con questa scelta si ricava la disequazione

||x||2t2 + 2|(x, y)|t+ ||y||2 ≥ 0 ,

che e sempre verificata se il discriminante e negativo o nullo. Imponendo tale condizione si ottienedirettamente la disuguaglianza di Cauchy-Bounjakowskij.

Se lo spazio euclideo e reale, allora mediante la norma si puo definire la distanza ρ(x, y) fra due puntiarbitrari x, y ∈M . Questa e data da

ρ(x, y) = ||x− y||

e gode delle proprieta:

4Si ricordi che il modulo del prodotto di due vettori reali e uguale al prodotto dei moduli per il coseno del’angolocompreso, che e sempre minore di 1.

39

1) ρ(x, y) ≥ 0 e ρ(x, y) = 0 se e solo se x = y;2) ρ(x, y) = ρ(y, x);3) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(y, z) (disuguaglianza triangolare).

In ogni spazio euclideo la somma, il prodotto per un numero e il prodotto scalare sono continui. Questosignifica che se {xn} e {yn} sono due successioni che convergono a x e y rispettivamente e αn e unasuccessione numerica che converge ad α, allora si ha

xn + yn → x+ y , αnxx → αx , (xn, yn) → (x, y) .

La convergenza nello spazio M va intesa rispetto alla norma, vale a dire:xn → x significa che ||xn − x|| → 0.Qui dimostriamo la prima di queste relazioni. Le altre due si dimostrano in modo analogo usando leproprieta della norma e la disugualianza (12.2). Si ha

||(xn + yn) − (x+ y)|| = ||(xn − x) + (yn − y)|| ≤ ||xn − x|| + ||yn − y|| → 0 .

In uno spazio euclideo reale, la norma rappresenta la “lunghezza del vettore” e il prodotto scalare permettedi definire l’angolo φ formato da due vettori x, y (non nulli) mediante la relazione

cosφ =(x, y)

||x|| · ||y|| , | cosφ ≤ 1| , 0 ≤ φ ≤ π , (spazio reale). (12.3)

Se φ = π/2 i due vettori si dicono ortogonali.

Se lo spazio in questione e complesso, la relazione (12.3) perde in generale di significato in quanto ilprodotto scalare puo essere complesso, tuttavia rimane significativo il concetto di ortogonalita fra vettori.In uno spazio euclideo (complesso) un sistema di vettori non nulli {xi} si dice ortonormale se

(xi, xj) = δij , δij =

{

0 per i 6= j1 per i = j

,

e semplicemente ortogonale se tutti i vettori in questione non hanno norma uguale a 1.

Si verifica facilmente che i vettori ortogonali sono fra loro linearmente indipendenti. Infatti si ha (bastamoltiplicare scalarmente per xi generico)

α1x1 + α2x2 + ...+ αnxn = 0 =⇒ αi = 0 , i = 1, 2, ..., n .

Un sistema (ortogonale) si dice completo se il piu piccolo sottospazio (chiuso) di M che contiene lospazio generato dal sistema e M stesso. In tal caso il sistema (ortogonale/ortonormale) forma una base(ortogonale/ortonormale) e ogni elemento di M si puo scrivere (in un solo modo) come combinazionelineare dei vettori di base.

Si dimostra che in uno spazio euclideo separabile, ogni sistema ortonormale e numerabile (o finito) e sidimostra inoltre che esiste sempre un sistema ortonormale completo.Se non specificato altrimenti, nel seguito cosidereremo sempre sistemi ortonormali in quanto a partire daun sistema di vettori linearmente indipendenti e possibile costruire un sistema ortonormale mediante unaprocedura di ortonormalizzazione.

12.1 Esempi di spazi euclidei

IR – La retta reale e uno spazio euclideo (reale) di dimensione 1. Il prodotto scalare e banalmente ilprodotto fra numeri reali e la norma coincide con il modulo. La distanza e il modulo della differenza.

40

IRn – Le n-uple ordinate x ≡ (x1, x2, ..., xn) di numeri reali formano uno spazio euclideo (reale) didimensione n con il prodotto scalare dato da (x, y) = x1y1+x2y2+...+xnyn. Una base ortonormalee data dai versori

e1 = (1, 0, 0, ..., 0) , e2 = (0, 1, 0, ..., 0) , ... en = (0, 0, 0, ..., 1) .

ℓ2 – Lo spazio i cui elementi sono della forma x ≡ (x1, x2, ..., xn, ...) (xk ∈ IC) con la condizione∑∞

k=1 |xk|2 < ∞. Questo spazio, munito del prodotto scalare (x, y) =∑∞

k=1 xkyk , e uno spazio

euclideo (complesso) infinito-dimensionale. Una base e data dal sistema di infiniti vettori

e1 = (1, 0, 0, ...) , e2 = (0, 1, 0, ...) , e3 = (0, 0, 1, ...) , ....

C2[a, b] – Lo spazio delle funzioni complesse, continue nell’intervallo [a, b] munito del prodotto scalare

(f, g) =∫ b

af(t)g(t) dt e uno spazio euclideo (complesso) infinito-dimensionale. Una base

{ϕn, ψn} per questo spazio e data dalle funzioni trigonometriche

ϕ0 = 1 , ϕn = cos2πn t

b− a, ψn = sin

2πn t

b− a, n = 1, 2, 3, ...

L’ortogonalita di questo sistema si verifica direttamente, mentre la completezza e una diretta con-seguenza del teorema di Weierstrass (La completezza di un sistema in genere e assai difficile dadimostrare).

12.2 Sistemi ortonormali chiusi

Da ora in avanti si assumera che gli spazi in esame siano separabili.

Dato un vettore x in IRn e una base ortonormale {ek} si ha

x =

n∑

k=1

ckxk , ck = (xk, x) ,

dove i coefficienti ck rappresentano le coordinate del vettore rispetto alla base data (se la base e quelladell’esempio precedente allora ck sono le coordinate cartesiane).

Il concetto di “coordinata” si puo generalizzare anche al caso in cui lo spazio sia infinito-dimensionale.Sia infatti M uno spazio euclideo infinito-dimensionale e ϕn un sistema ortonormale. Dato un arbitrarioelemento f ∈ M , che chiameremo ancora vettore, definiamo le sue “coordinate” ck, dette in questo casocoefficienti di Fourier (in senso generalizzato-vedi sezione (12.5.1)), mediante la relazione

ck = (ϕk, f) , ck = (ϕk, f) = (f, ϕk) , k = 1, 2, 3, ...

e consideriamo la serie formale

∞∑

k=1

ckϕk , (serie di Fourier). (12.4)

La serie precedente sara detta serie di Fourier (in senso generalizzato-vedi sezione (12.5.1)), del vettoref rispetto al sistema {ϕk}. E’ chiaro che tutto questo e sensato se la serie e convergente e se questaconverge al vettore f .

Per prima cosa dimostriamo che effettivamente la serie precedente e convergente per qualunque f ∈ M .Abbiamo

Sn =n∑

k=1

ckϕk , ||f − Sn|| ≥ 0 .

41

Usando le proprieta della norma e la definizione di ck si ha

0 ≤ ||f −n∑

k=1

ckϕk||2 =

f −n∑

i=1

ciϕi, f −n∑

j=1

cjϕj

= ||f ||2 −n∑

k=1

ck(ϕk, f) −n∑

k=1

ck(f, ϕk) +

n∑

i=1

n∑

j=1

cicj(ϕi, ϕj)

= ||f ||2 −n∑

k=1

c2k .

Dalla disuguaglianza precedente segue

n∑

k=1

|ck|2 ≤ ||f ||2 =⇒∞∑

k=1

|ck|2 ≤ ||f ||2 , (disuguaglianza di Bessel)

e di conseguenza la serie di partenza e convergente. Come si vede, la serie (12.4) converge al vettore f(in norma) quando nell’ultima espressione vale l’uguaglianza.

E’ interessante osservare che fra tutti i possibili vettori g =∑n

k=1 αkϕk (n e αk sono arbitrari) costruitimediante combinazioni lineari delle {ϕk}, quello che ha “distanza” minima da f si ha per αk = ck. Infatti,procedendo come sopra si ottiene

||f − g||2 = ||f −n∑

k=1

αkϕk||2 = ||f ||2 −n∑

k=1

(αkck + αk ck) +

n∑

k=1

|αk|2

= ||f ||2 −n∑

k=1

|ck|2 +

n∑

k=1

|αk − ck|2 .

Questa espressione e chiaramente minima per αk = ck.

Come detto sopra, la serie (12.4) converge al vettore f quando la relazione di Bessel diventa un’ugua-glianza, ossia quando il sistema ortonormale e chiuso.

Definizione . – Il sistema ortonormale ϕk si dice chiuso se vale la relazione di Parseval

∞∑

k=1

|ck|2 = ||f ||2 , (uguaglianza di Parseval).

Si e detto precedentemente che in ogni spazio euclideo separabile esiste sempre un sistema ortonormale(numerabile) completo. Ora dimostriamo che ogni sistema ortonormale completo e anche chiuso e quindicompletezza e chiusura diventano concetti “equivalenti”.

Teorema . – In ogni spazio euclideo separabile M , ogni sistema ortonormale completo {ϕk} e chiuso eviceversa.

Dimostrazione – . – Sia {ϕk} chiuso. Allora ogni elemento f ∈M si puo sviluppare in serie di Fourier,ossia si puo approssimare, con precisione a piacere, mediante una combinazione di vettori {ϕk}. Questosignifica che lo spazio generato da {ϕk} e denso in M e quindi il sistema e completo.– Vicersa, sia {ϕk} completo. Allora ogni elemento f ∈M si puo approssimare, con precisione a piacere,mediante una combinazione di vettori di base. Per quanto dimostrato sopra, fra tutte le possibili com-binazioni che approssimano f , la somma parziale

∑nk=1 ckϕk e la piu precisa. Quindi la serie di Fourier

converge a f e vale la relazione di Parseval.

Da questo teorema segue che ogni spazio euclideo infinito-dimensionale, separabile e completo e isomorfoa ℓ2 (i coefficienti di Fourier {ck} di una funzione sono un elemento di ℓ2).

42

12.3 Teorema di Riesz-Fisher

Siano dati un sistema ortonormale (non necessariamente completo) e una successione di numeri c1, c2, c3....Ci si puo chiedere sotto quali condizioni questi numeri sono i coefficienti di Fourier di qualche vettoref ∈M . Come segue dalla disuguaglianza di Bessel, una condizione necessaria e che

∑∞k=1 |ck|2 <∞. Se

lo spazio e completo, questa condizione e anche sufficiente.

Teorema (Riesz-Fisher). – Sia {ϕk} un sistema ortonormale in uno spazio euclideo M separabile ecompleto e {ck} una successione numerica tale che

∑∞k=1 |ck|2 < ∞. Allora esiste un elemento f ∈ M

per cui

ck = (ϕk, f) ,

∞∑

k=1

|ck|2 = ||f ||2.

Dimostrazione – . Poniamo fn =∑n

k=1 ckϕk. Questa e una successione fondamentale in quanto, pern abbastanza grande si ha

||fn+p − fn||2 = ||n+p∑

k=n+1

ckϕk||2 =

n+p∑

k=n+1

|ck|2 < ε .

L’ultima espressione segue dall’ipotesi di convergenza. Inoltre, per l’ipotesi di completezza di M , deveesistere un vettore f ∈M tale che

fn → f , vale a dire ||f − fn|| → 0 .

Ora osserviamo che, per n ≥ k si ha

(ϕk, f) = (ϕk, fn) + (ϕk, f − fn) = ck + (ϕk, f − fn) .

Passando al limite per n → ∞ e usando la continuita del prodotto scalare si ottiene la prima tesi(ϕk, f) = ck.Per ricavare la seconda basta sviluppare la norma

||f − fn||2 =

f −n∑

i=1

ciϕi, f −n∑

j=1

cjϕj

= ||f ||2 −n∑

k=1

|ck|2

e passare al limite per n→ ∞.

Definizione . – Uno spazio euclideo completo infinito-dimensionale e detto spazio di Hilbert.

Teorema . – Ogni spazio di Hilbert separabile e isomorfo a ℓ2 e quindi due qualsiasi spazi di Hilbertseparabili sono isomorfi fra loro.

12.4 Lo spazio L2

Un esempio molto importante di spazio di Hilbert e costituito dalle funzioni (complesse) a quadratosommabile (integrabile). Per i nostri scopi sara sufficiente considerare funzioni f : IRn → IC, ma IRn puoessere sostituito da qualunque spazio misurabile X.

Sia quindi

L2(X,µ) ≡{

f : X → IC tali che

∫

|f(x)|2 dµ <∞}

,

43

dove x ∈ X e dµ e la misura (di Lebesgue) di X e l’integrale e fatto su tutto X (nelle applicazioni fisicheX ≡ IRn (o un sottospazio) e dµ ≡ dx = dx1dx2 · · · dxn). Si dimostra che lo spazio L2(X,µ) (brevementeL2(X) o L2) con il prodotto scalare

(f, g) =

∫

f(x)g(x) dµ (12.5)

e uno spazio euclideo infinito-dimensionale e completo (spazio di Hilbert). Nel seguito si considererannosempre spazi separabili.

Si dimostra facilmente che la definizione (12.5) verifica le proprieta del prodotto scalare. A questo scoposi deve osservare che, se f ∈ L2, g ∈ L2 e α ∈ IC allora

fg ∈ L2 ; f + g ∈ L2 ; αf ∈ L2 .

Queste proprieta sono una diretta conseguenza di

|f(x) + g(x)|2 = |f(x)|2 + 2|f(x)g(x)| + |g(x)|2 ;

|f(x)g(x)| ≤ 1

2

(

|f(x)|2 + |g(x)|2)

;

|αf(x)|2 = |α|2|f(x)|2 .

Una funzione f a quadrato sommabile in X non e necessariamente integrabile, ma lo e certamante se Xha misura finita (conseguenza della prima disuguaglianza; basta porre g(x) = 1).

Dato il prodotto scalare si ha la norma

||f || =

[∫

|f(x)|2dx]1/2

e si dira che la successione di funzioni fn ∈ L2 converge in media (quadratica) a f ∈ L2 se

||fn − f || =

[∫

|fn(x) − f(x)|2dx]1/2

→ 0 .

12.5 Basi ortonormali in L2

Come segue dalle considerazioni di carattere generale, in L2 (spazio euclideo infinito-dimensionale, sepa-rabile e completo) esiste un sistema ortonormale completo ϕk per cui ogni f ∈ L2 si puo scrivere nellaforma f =

∑∞k=1 ckϕk, dove i coefficienti di Fourier {ck} formano un elemento di ℓ2. Valgono le relazioni

||f ||2 = (f, f) =

∫

|f(x)|2dx =

∞∑

k=1

|ck|2 , ck = (ϕk, f) .

12.5.1 Sistema trigonometrico

Si consideri lo spazio delle funzioni a quadrato sommabile nell’intervallo [−π, π]. E’ immediato verificareche le funzioni trigonometriche

ϕ0 =1√2π

, ϕn(x) =cosnx√

π, ψn(x)

sinnx√π

, n = 1, 2, 3, ...

44

appartengono a L2([−π, π]) e sono fra loro ortonormali. Inoltre formano un sistema completo comeconseguenza di un teorema di Weierstrass. Ogni funzione f ∈ L2([−π, π]) avra quindi uno sviluppo dellaforma

f = c0ϕ0 +∞∑

n=1

cnϕn +∞∑

n=1

cnψn =a0

2+

∞∑

n=1

an cosnx+∞∑

n=1

bn sinnx , (12.6)

dove i coefficienti di Fourier sono dati da

an =1

π

∫ π

−π

f(x) cosnx dx , n = 0, 1, 2, ...

bn =1

π

∫ π

−π

f(x) sinnx dx , n = 1, 2, 3, ... (12.7)

Non si deve dimenticare che la convergenza e in media quadratica. Questo significa che

∫ π

−π

∣

∣

∣

∣

∣

f(x) − a0

2+

∞∑

n=1

an cosnx+

∞∑

n=1

bn sinnx

∣

∣

∣

∣

∣

2

dx→ 0 .

In generale non vale la convergenza puntuale (vedi sotto). La serie calcolata in un punto puo differire dalvalore della funzione calcolata nello stesso punto.

Anziche [−π, π] si puo considerare un intervallo arbitrario [−a, a] di lunghezza 2a. In tal caso per ognif ∈ L2([−a, a]) si ha (basta fare il cambio di variabile x→ πx/a)

f =a0

2+

∞∑

n=1

an cosnπx

a+

∞∑

n=1

bn sinnπx

a,

an =1

a

∫ a

−a

f(x) cosnπx

adx , n = 0, 1, 2, ...

bn =1

a

∫ a

−a

f(x) sinnπx

adx , n = 1, 2, 3, ...

12.6 Forma complessa della serie di Fourier

Si ottiene come conseguenza diretta delle formule di Eulero

cosx =eix + e−ix

2, sinx =

eix − e−ix

2i.

Usando queste espressioni e ponendo

c0 =a0

2, c±n =

an ∓ ibn2

, n = 1, 2, 3, ...

per ogni f ∈ L2([−π, π]) si ha

cn =1

2π

∫ π

−π

f(x)e−inx dx , n = 0,±1,±2, ...

f =

∞∑

n=−∞cne

inx (12.8)

45

13 Serie di Fourier

13.1 Convergenza della serie di Fourier

Come detto sopra, la serie (12.6) o l’analoga complessa (12.8) convergono a f in media quadratica.Questo e quanto effettivamente serve per quanto concerne la meccanica quantistica. Ci sono tuttaviasituazioni fisiche in cui e necessario avere la convergenza puntuale. In questa sezione studieremo sottoquali condizioni (sufficienti) questo effettivamente si verifica.

Dato che la serie di Fourier e periodica, si possono considerare funzioni periodiche di periodo 2π definitesu tutta la retta (tipiche dei moti oscillatori). Notiamo inoltre che i coefficienti di Fourier (12.7) sonodefiniti per ogni funzione f sommabile nell’intervallo [−π, π], questo perche le funzioni trigonometrichesono limitate. E’ quindi sufficiente che f appartenga a L1([−π, π]) e non necessariamente a L2([−π, π])(che e un insieme contenuto nel precedente).

13.1.1 Convergenza puntuale

Poniamo

Sn(x) =a0

2+

n∑

k=1

(ak cos kx+ bk sin kx)

e a andiamo a vedere sotto quali condizioni questa successione numerica converge a f(x). Abbiamo ilseguente

Teorema . – La successione delle somme parziali Sn(x) converge alla funzione periodica f(x) sef ∈ L1([−π, π]) e soddisfa la condizione di Dini

∫ ε

−ε

f(x+ z) − f(x)

zdz <∞ , ε > 0 .

Dimostrazione – . – Dalla definizione dei coefficienti si ha

Sn(x) =1

π

∫ π

−π

[

1

2+

n∑

k=1

(cos kt cos kx+ sin kt sin kx)

]

f(t) dt

=1

π

∫ π

−π

[

1

2+

n∑

k=1

cos k(t− x)

]

f(t) dt .

Ora osserviamo che

(

1

2+

n∑

k=1

cos ky

)

siny

2=

1

2sin

y

2+

1

2

n∑

k=1

[

sin

(

k +1

2

)

y − sin

(

k − 1

2

)

y

]

=1

2

[

siny

2+ sin

3y

2− sin

y

2+ ...+ sin

(

n+1

2

)

y − sin

(

n− 1

2

)

y

]

=1

2sin

(

n+1

2

)

y .

Quindi si ha la relazione

1

π

[

1

2+

n∑

k=1

cos ky

]

=sin(n+ 1/2)y

2π sin(y/2)= Dn(y) . (13.1)

46

La funzione Dn(y) e detta nucleo di Dirichlet. E’ immediato verificare che

∫ π

−π

Dn(z) dz = 1 , Sn(x) =

∫ π

−π

f(x+ z)Dn(z) dz .

Per ricavare l’ultima espressione si deve usare il fatto che f(x) e una funzione periodica.

La convergenza della serie di Fourier a f e quindi equivalente a dimostrare che

Sn(x) − f(x) =

∫ π

−π

[f(x+ z) − f(x)] Dn(z) dz → 0 .

A questo proposito si usa il seguente

Lemma. – Se g ∈ L1([−π, π]) allora

limn→∞

∫ π

−π

g(z) sinnz dz = 0 .

La dimostrazione e banale (basta integrare per parti) se g ∈ C1([−π, π]) (funzioni continue, derivabili econ derivata continua), ma sfruttando il fatto che tale spazio e denso in L1 si estende il risultato a tuttoL1.

Nel caso che ci interessa la funzione da considerare e

g(z) =f(x+ z) − f(x)

2π sin(z/2)=f(x+ z) − f(x)

z

z

2π sin(z/2),

nel punto considerato. Questa e una funzione L1([−π, π]) come conseguenza della condizione di Dini.Poiche f ∈ L1([−π, π]), l’unico punto critico e l’intorno di x. Di fatto e sufficiente richiedere che valganodue condizioni tipo Dini da (−ε, 0−) e da (0+, ε), questo perche f(x) potrebbe non essere definita in x).

Una condizione sufficiente per la convergenza in ogni punto e data dal seguente

Teorema . – Sia f una funzione periodica, limitata, avente al piu discontinuita di prima specie e aventein ogni punto la derivata sinistra e destra. Allora in ogni punto la serie di Fourier converge a[f(x−) + f(x+)]/2.

La classe delle funzioni che hanno una serie di Fourier convergente puntualmente e assai ampia. Per averela convergenza uniforme si deve restringere la classe. Vale il seguente

Teorema . – Sia f una funzione periodica, assolutamente continua e con derivata a quadrato sommabile.Allora la serie di Fourier converge uniformemente a f in ogni punto.

Si deve osservare che la serie di Fourier di una funzione continua potrebbe divergere in qualche punto.Quindi non basta la continuta per avere la convergenza delle somme parziali Sn. Esistono tuttavia altremaniere di sommare la serie di Fourier in modo da avere la convergenza. A tale scopo poniamo

S0(x) =a0

2, Sn(x) =

n∑

k=1

[ak cos kx+ bk sin kx]

e consideramo la media aritmetica

σn =S0 + S1 + S2 + ...+ Sn

n.

Vale il seguente

Teorema (Fejer). Se f e una funzione periodica e continua, allora la successione {σn} delle somme diFejer converge uniformemente a f in ogni punto.

47

14 Integrale di Fourier

Si e visto sopra che le funzioni periodiche (con ulteriori condizioni) sono la sovrapposizione di oscillazioniarmoniche di frequenze opportune (infinite frequenze numerabili). Qui vedremo che anche le funzioni nonperiodiche si possono scrivere come sovrapposizione di funzioni armoniche, ma in questo caso lo spettrodelle frequenze e continuo e quindi, in luogo della serie ci sara un integrale detto integrale di Fourier.

Il passaggio dalle funzioni periodiche a quelle non periodiche si puo effettuare in maniera formale facendotendere il periodo all’infinito. Consideriamo dunque una funzione f di periodo 2a e il suo sviluppo diFourier (vedi equazione (12.8))

cn =

∫ a

−a

f(x)e−inπx/a

√2a

dx , n = 0,±1,±2, ...

f(x) =∞∑

n=−∞cneinπx/a

√2a

,

che si ottiene dall’espressione (12.8) con la sostituzione x→ πx/a per tenere conto del periodo arbitrario.Si e usato inoltre il sistema ortonormale {einπx/a/

√2a} e la forma “simmetrica” definendo i coefficienti

cn =√

2acn. Assumiamo a≫ π e poniamo ∆k = π/a≪ 1 e kn = n∆k. Allora

[√acn√π

]

=1√2π

∫ a

−a

f(x)e−iknx dx ≡ f(kn) ,

f(x) =1√2π

∞∑

n=−∞

[√acn√π

]

eiknx ∆k ≡ 1√2π

∞∑

n=−∞f(kn)eiknx ∆k .

Passando al limite formale a→ ∞, kn diventa una variabile continua (k), la somma diventa un integrale“tipo Riemann” e l’espressione fra parentesi quadre diventa una funzione continua di k che indicheremocon f(k). In conclusione

f(k) =1√2π

∫ ∞

−∞f(x)e−ikx dx , trasformata di Fourier di f , (14.1)

f(x) =1√2π

∫ ∞

−∞f(k)eikx dk , trasformata inversa di f . (14.2)

La prima espressione e semplicemente la definizione dei “coefficienti dello sviluppo” f(k). L’integrale(14.1) e certamente convergente e quindi f(k) e ben definito se f ∈ L1(−∞,∞). Questa condizione nonassicura automaticamente l’esistenza del secondo integrale nel senso ordinario (esiste nel senso del valoreprincipale). Inoltre la sua convergenza (puntuale) a f(x) non e garantita. Affinche questo avvenga si deverestringere lo spazio delle funzioni, scegliendo ad esempio quelle di L1 che inoltre soddisfano la condizionedi Dini (condizione sufficiente).

La coppia di integrali (14.1) e (14.2) costituisce la cosiddetta trasfomata di Fourier. f e detta trasformatadi Fourier di f e f trasformata inversa o anti-trasformata di f .

14.1 Esempi

Calcolare le trasformate di Fourier delle seguenti funzioni:

• f(x) = e−α|x|, (α > 0).

f(k) =1√2π

∫ ∞

−∞e−α|x|e−ikx dx =

1√2π

∫ ∞

0

[

e−x(α+ik) + e−x(α−ik)]

dx

=2α√

2π (k2 + α2).

48

In questo caso la trasformata appartiene a L1 e quindi l’integrale di Fourier esiste come integraleordinario.

• f(x) = 1 per −a < x < a e zero altrimenti.

f(k) =1√2π

∫ a

−a

e−ikx dx =2 sin ka√

2π k.

La trasformata non appartiene a L1. L’anti-trasformata esiste in senso generalizzato.

• f(x) = e−αx2/2 (α > 0).

f(k) =1√2π

∫ ∞

−∞e−

α2 (x2+2ik/α) dx =

e−k2

2α

√2π

∫ ∞

−∞e−

α2 (x+ik/α)2 dx

=e−

k2

2α

√α.

Come si vede la trasformata di Fourier di una gaussiana e ancora una gaussiana. In particolare seα = 1 la funzione e esattamente la stessa.

14.2 Alcune importanti proprieta della trasformata di Fourier

• Esiste un semplice legame fra la trasformata delle derivate di una funzione e la trasformata dellafunzione stessa (ovviamnete nell’ipotesi che le trasformate abbiano significato). Per cominciare, siconsideri una funzione f(x) e la sua derivata f ′(x) e si assuma che entrambe stiano in L1, in modoche esistano le trasformate. Si assuma inoltre che f(x) sia assolutamente continua in ogni intervallo,in modo che si possa rappresentare come integrale indefinito di f ′. Sotto queste ipotesi si ha

F

[

df

dx

]

(k) =

∫ ∞

−∞f ′(x)e−ikx dx =

[

f(x)e−ikx]∞−∞ + ik

∫ ∞

−∞f(x)e−ikx dx

= ik F [f ](k) .

In modo analogo, con f (k)(x) ∈ L1 (k = 0, 1, ..., n) e f (n−1) assolutamente continua in ogniintervallo, si ricava

F

[

dnf

dxn

]

(k) =

∫ ∞

−∞f (n)(x)e−ikx dx = (ik)n F [f ](k) ,

d

dx→ ik . (14.3)

Si vede che l’operatore di derivazione (d/dx) nello spazio di partenza diventa un operatore dimoltiplicazione rispetto a ik nello spazio delle trasformate.

• Vale una proprieta “complementare” a quella precedente. Vale a dire che l’operatore di moltiplica-zione viene trasformato in un operatore di derivazione. Infatti, siano f(x) e xkf(x) (k = 1, 2, ..., n)funzioni assolutamente integrabili. Allora la trasforata di f e derivabile almeno n volte e vale larelazione

d

dknF [f ](k) = F [(−ix)n f(x)](k) , −ix→ d

dk.

• Una immediata conseguenza della (14.3) e che la trasformata di Fourier di una funzione n voltederivabile (con le ipotesi precedenti) decresce all’infinito piu rapidamente di 1/kn. Infatti si ha

|F [f ](k)| =

∣

∣

∣

∣

F [f (n)](k)

kn

∣

∣

∣

∣

→ 0.

49

• Convoluzione. Siano h e g due funzioni assolutamente integrabili su tutta la retta. La funzione

f(x) =

∫ ∞

−∞h(x− y) g(y) dy =

∫ ∞

−∞h(y) g(x− y) dy , f = h ∗ g ,

e detta convoluzione (o prodotto di convoluzione) di h con g. Date le proprieta delle funzioniintegrande, f e integrabile. Si verifica che la trasformata di Fourier del prodotto di convoluzione eproporzionale al prodotto (di funzioni) delle due trasformate; in formule

F [f ] = F [h ∗ g] =√

2π F [h] · F [g] .

Si ha infatti (in modo formale)

f(k) =1√2π

∫ ∞

−∞dx e−kx f(x) =

1√2π

∫ ∞

−∞dx e−kx

∫ ∞

−∞dy h(x− y)g(y)

=1√2π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞dz dy e−k(z+y) h(z)g(y) =

√2π h(k) g(k) .

Osservazione: Nei testi matematici la trasformata di Fourier e definita in modo asimmetrico (con unfattore 1/2π nella trasformata e senza fattori nell’inversa) e in tal modo la trasformata del prodotto diconvoluzione e esattamente il prodotto delle trasformate.

14.3 Trasformata di Fourier in piu variabili

L’estensione di quanto detto sopra da IR a IRn e immediata. Infatti, sia f(x1, ..., xn) una funzioneintegrabile in IRn. Allora si puo definire l’integrale

f(k1, ..., kn) =1

(2π)n/2

∫ ∞

−∞· · ·∫ ∞

−∞f(x1, ..., xn)e−i(k1x1+...+knxn) dx1 · · · dxn

=1√2π

∫ ∞

−∞

[

1√2π

∫ ∞

−∞

[

· · ·[

1√2π

∫ ∞

−∞f(x1, ..., xn)e−ik1x1 dx1

]

e−ik2x2 dx2

]

· · ·]

e−iknxn dxn .

L’ultima espressione e giustificata dal teorema di Fubini. Si vede che e possibile ottenere la trasformata diFourier multipla mediante una successione di trasformate singole. Invertendo progressivamente l’ultimaespressione si ottiene

f(x1, ..., xn) =

=1√2π

∫ ∞

−∞

[

1√2π

∫ ∞

−∞

[

· · ·[

1√2π

∫ ∞

−∞f(k1, ..., kn)eik1x1 dk1

]

eik2x2 dk2

]

· · ·]

eiknxn dkn

=1

(2π)n/2

∫ ∞

−∞· · ·∫ ∞

−∞f(k1, ..., kn)ei(k1x1+...+knxn) dk1 · · · dkn .

Come nel caso unidimensionale, gli ultimi due integrali vanno intesi nel senso del valore principale. Inoltresi devono imporre ulteriori restrizioni su f per avere corrispondenza con il valore dell’integrale.

14.4 Soluzione di equazioni differenziali mediante la trasformata di Fourier

La trasformata di Fourier puo risultare utile nella soluzione di equazioni differenziali. Questo e dovuto alfatto che l’operatore di derivazione viene trasformato in un operatore di moltiplicazione e di conseguenzal’equazione differenziale viene trasformata in una equazione algebrica.

Si consideri in proposito l’equazione differenziale, lineare e a coefficienti costanti

a0f(x) + a1f′(x) + a2f

′′(x) + · · · + anf(n)(x) = g(x) .

50

Mediante una trasformazione di Fourier

F [a0f(x) + a1f′(x) + a2f

′′(x) + · · · + anf(n)(x)](k) = F [g(x)](k) .

si ottiene l’equazione algebrica

[

a0 + a1(ik) + a2(ik)2 + · · · + an(ik)n]

f(k) = g(k)

da cui segue

f(k) =g(k)

a0 + a1(ik) + a2(ik)2 + · · · + an(ik)n.

La soluzione f(x) si ottiene mediante la trasformata inversa f(x) = F−1[g](x). Per questo tipo diequazioni non c’e un grande vantaggio. Inoltre si deve assumere che la soluzione sia integrabile e cio nonvale in generale. Notevoli vantaggi si hanno invece nella soluzione di equazioni alle derivate parziali.

• Equazione del calore. Si consideri l’equazione

∂tu(x, t) − α∂2xu(x, t) = 0 , α > 0 , −∞ < x <∞ , t ≥ 0 ,

con la condizione iniziale u(x, 0) = u0(x), dove u0(x) e una funzione nota. Questa equazione descrivela propagazione del calore attraverso un conduttore infinito.

Da considerazioni fisiche e ragionevole assumere che la funzione nota (temperatura iniziale positiva)assieme alle sue derivate prima e seconda sia in L1 e cosı pure la soluzione u(x, t) per ogni t.Assumiamo inoltre che ∂tu(x, t), per ogni t finito, sia maggiorata da una funzione integrabile di x,vale a dire

∣

∣

∣

∣

∂u(x, t)

∂t

∣

∣

∣

∣

≤ f(x) ,

∫ ∞

−∞f(x) dx <∞ .

Queste condizioni ci permettono di trasformare l’equazione rispetto alla variabile x, considerando tcome un parametro fissato. In tal modo si ottiene

F [u(x, t)](k) = u(k, t) , F[

∂2xu(x, t)

]

(k) = (ik)2u(k, t) , F [u0(x)](k) = u0(k) ,

da cui segue

∂tu(k, t) = −αk2u(k, t) , u(k, 0) = u0(k) .

La soluzione dell’equazione precedente e

u(k, t) = e−αk2tu0(k) , (14.4)

vale a dire il prodotto di una gaussiana per la trasformata della condizione iniziale. Per ricavare lasoluzione si deve effettuare la trasformazione inversa. Ricordiamo che per trasformazioni di Fourier,il prodotto di convoluzione diventa proporzionale al prodotto di funzioni. La soluzione sara quindiproporzionale al prodotto di convoluzione della trasformata inversa della gaussiana per la funzioneiniziale. Si ha

F−1[

e−αk2t]

(x) =1√2π

∫ ∞

−∞e−αk2teikx dk =

1√2αt

e−x2/4αt

e finalmente

u(x, t) =1√2π

u0(x) ∗ e−x2/4αt

√2αt

=1√παt

∫ ∞

−∞e−

(x−y)2

4αt u0(y) dy , (integrale di Poisson).

51

14.5 Trasformata di Fourier in L2(−∞,∞)

L’ambiente “naturale” per definire le trasformate di Fourier e lo spazio L2. Infatti in questo spazio latrasformata di Fourier diventa un operatore lineare limitato F : L2 → L2. Il prezzo da pagare e la rinunciaalla convergenza puntuale. In L2 inoltre c’e una notevole corrispondenza con le serie di Fourier (in sensogeneralizzato) definite precedentemente. Per cominciare esiste un teorema che e l’analogo (continuo)dell’uguaglianza di Parseval. Si ha infatti

Teorema (Plancherel). – Si consideri una funzione f ∈ L2(−∞,∞) e la successione di funzioni

fn(k) =1√2π

∫ n

−n

f(x)e−ikx dx .

Il teorema di Plancherel afferma che

a) ogni fn e una funzione a quadrato sommabile sulla retta;b) la successione di funzioni {fn} e convergente in media quadratica ad una funzione f ;c) vale la relazione di Plancherel

∫ ∞

−∞|f(k)|2 dk =

∫ ∞

−∞|f(x)|2 dx .

Come corollario segue che, per ogni coppia f, g di funzioni a quadrato sommabile sulla retta vale larelazione

∫ ∞

−∞f∗(x)g(x) dx =

∫ ∞

−∞f∗(k)g(k) dk , (relazione di Plancherel).

Usando la notazione degli spazi euclidei queste relazioni si possono scrivere in forma compatta

||f ||2 = ||f ||2 , (f, g) = (f , g) .

Il prodotto scalare e invariante (si conserva) per trasformazioni di Fourier.Osservazione: questo e vero poiche si e definita la trasformata in forma simmetrica, altrimenti c’e unfattore 2π.

Dimostrazione – . – La dimostrazione del teorema di Plancherel e relativamente facile se si lavoranello spazio S∞ delle funzioni infinitamente derivabili e a decrescenza rapida. In tal caso ogni passaggioformale puo essere rigorosamente giustificato. Siano allora f, g due funzioni in S∞. Come conseguenzadel fatto che f e infinitamente derivabile si ottiene che fn e a decrescenza rapida e e quindi a quadratosommabile e come conseguenza del fatto che f e a decrescenza rapida si ottiene che fn e a decrescenzarapida in n e quindi converge a f ≡ f∞. Si ha inoltre

∫ ∞

−∞f∗(x)g(x) dx =

∫ ∞

−∞f∗(x)

[∫ ∞

−∞g(k)eikx dk

]

dx

=

∫ ∞

−∞

[∫ ∞

−∞f(x)e−ikx dx

]∗g(k) dk =

∫ ∞

−∞f∗(k)g(k) dk .

Sfruttando ora il fatto che S∞ e denso in L2 si estende la dimostrazione a qualunque f ∈ L2 (questaseconda parte e assai tecnica e piuttosto laboriosa).

14.6 Esempi

• Si veda la trasformata di Fourier come un operatore lineare F : L2 → L2 e si cerchino le funzioni(autofunzioni) che rimangono invarianti (a meno di un fattore) per questo tipo di trasformazione.

52

Se ψ e una funzione di L2 invariante per trasformazioni di Fourier, allora

F [ψ(x)](k) = ψ(k) = λψ(k) , (14.5)

dove λ e un numero complesso. Applicando tuttavia 4-volte di seguito la trasformata di Fourier sideve ottenere la funzione di partenza, dunque

ψ = F 4[ψ] = F 3[λψ] = F2[λ2ψ] = F [λ3ψ] = λ4ψ =⇒ λ = ±1,±i .

La trasformata di Fourier, vista come operatore F : L2 → L2 ha autovalori ±1,±i.Alcune autofunzioni si possono ricavare ricordando la proprieta

F [(−ix)n f(x)](k) =d

dknF [f ](k)

e il fatto che la gaussiana ψ0(x) = e−x2

2 e autofunzione. Infatti

F [ψ0](k) = e−k2

2 = ψ0(k) =⇒ λ0 = 1 .

Consideriamo ora la funzione ψ1(x) = −ixψ0(x). Per questa si ha

F [ψ1(x)](k) = F [−ixψ0(x)](k) = ψ′0(k) = −iψ1(k) =⇒ λ1 = −i .

Analogamente per ψ2(x) = [(−ix)2 + (1/2)]ψ0(x) si ha

F [ψ2(x)](k) = ψ′′0 (k) +

1

2ψ0 = −ψ2(k) =⇒ λ2 = −1 .

Per procedere oltre osserviamo che, se ψ(x) e autofunzione con autovalore λ, allora xψ(x) − ψ′(x)e autofunzione con autovalore −iλ. Infatti

F [xψ(x) − ψ′(x)] (k) = iψ′(k) − ikψ(k) = −iλψ(k) .

Per ottenere le autofunzioni di F basta quindi agire con l’operatore x− d/dx, partendo da ψ0. Inquesto modo abbiamo

ψ0 = e−x2

2 , ψ1 = 2xψ0 , ψ2 = (4x2 − 2)ψ0 , ...

che a parte delle costanti moltiplicative coincidono con quelle calcolate precedentemete. Evidente-mente esistono infinite autofunzioni, che sono tutte della forma

ψn(x) = Hn(x) e−x2

2 , funzioni di Hermite, (14.6)

dove Hn sono polinomi di grado n con parita definita, detti polinomi di Hermite.

• Oscillatore armonico. In meccanica quantistica e descritto mediante l’equazione differenziale

(

− d2

dx2+ α2x2

)

ψ(x) = −ψ′′(x) + α2 x2ψ(x) = µαψ(x) , (14.7)

(il parametro α e stato introdotto per ragioni dimensionali). Si osservi che, per α = 1, questaequazione e invariante rispetto a trasformazioni di Fourier. Infatti si ottiene

−(ik)2ψ(k) − α2ψ′′(k) = µψ(k) =⇒ −ψ′′(k) +k2

α2ψ(k) =

µ

αψ(k) . (14.8)

Questo significa che se ψ(x) = f(x) e soluzione della (14.7), allora ψ(k) = f(k) e soluzione della(14.8). In altre parole, le soluzioni dell’equazione (14.7) (autofunzioni dell’oscillatore armonico)

53

sono anche autofunzioni dell’operatore F . Le autofunzioni di F sono le funzioni di Hermite (14.6).Sostituendo ψ(x) con ψn(x) nell’equazione differenziale (14.7) (con α = 1) si ottiene

−ψ′′n(x) + x2ψ(x) = − [H ′′

n(x) − 2xH ′n(x) −H(x)] e−

x2

2 = µnHne− x2

2 ,

da cui segue

H ′′n(x) − 2xH ′

n(x) + (µn − 1)Hn(x) = 0 , Hn(x) =

n∑

j=0

ajxj . (14.9)

Usando nell’equazione (14.9) l’espressione esplicita per i polinomi Hn(x) si ottengono le formule diricorrenza

n∑

j=0

[(j + 1)(j + 2)aj+2 − (2j + 1 − µn)aj ] xj = 0 =⇒

aj+2 =2j + 1 − µn

(j + 1)(j + 2), j = 0, 1, ..., n− 2 , an+2 = 0 =

2n+ 1 − µn

(n+ 1)(n+ 2).

Dall’ultima espressione si ricava µn = 2n+ 1 che e l’autovalore corrispondente all’autofunzione ψn.In conclusione si ha

H ′′n(x) − 2xH ′

n(x) + 2nHn(x) = 0 , aj+2 =2(j + 1 − n)

(j + 1)(j + 2), j ≤ n− 2 .

L’ultima espressione permette di ricavare esplicitamente i coefficienti dei polinomi di Hermite.

Le funzioni di Hermite costituiscono un sistema ortogonale completo in L2(−∞,∞). Di norma lacompletezza e di difficile dimostrazione, mentre invece e immediato verificare l’ortogonalita. Usandola (14.7) si ha

−ψ′′n + x2ψn = µnψn , −ψ′′

m + x2ψm = µmψm .

Moltiplicando la prima per ψm e la seconda per ψn e sottraendo si ottiene

ψ′′nψm − ψnψ

′′m =

d

dx(ψ′

nψm − ψnψ′m) = (µm − µn)ψnψm . (14.10)

Assumendo n 6= m e integrando si ricava il risultato desiderato, cioe

∫ ∞

−∞ψnψm dx =

1

µm − µn

∫ ∞

−∞

d

dx(ψ′

nψm − ψnψ′m) dx = 0 .

Mediante un’analisi dimensionale si puo reintrodurre il parametro α. Guardando l’equazione inizialesi vede che α ha le stesse dimensioni di x−2 e quindi, per ragioni dimensionali nelle autofunzioni sideve effettuare la trasformazione x→ √

αx. Nella meccanica quantistica α = mω/h eµα = 2mE/h2. Si ottiene quindi il risultato ben noto

ψn(x) = AnHn(√αx) e−αx2/2 , En =

(

n+1

2

)

hω , n = 0, 1, 2, ..

dove An e la costante di normalizzazione.

54

15 Trasformata di Laplace

La trasformata di Fourier e definita per le funzioni integrabili su tutta la retta. Per estenderla (adesempio alle funzioni sommabili solo localmente, che si incontrano in fisica) si deve uscire dallo spaziodelle funzioni e lavorare in quello delle distribuzioni.

Volendo rimanere in uno spazio di funzioni si deve modificare il tipo di trasformata in modo da garantirela convergenza dell’integrale per una classe piu ampia di quella delle funzioni sommabili. Questo puoessere fatto sostituendo nell’integrale di Fourier l’esponenziale oscillante con uno decrescente (vedi sotto).

Definizione . Sia f(x) una funzione in IR+ che soddisfa la proprieta

|f(x)| ≤ C eγx per x ≥ 0 ,

f(x) = 0 per x < 0 , (15.1)

dove C e γ sono costanti. In tal caso si definisce trasformata di Laplace di f la funzione

f(s) =

∫ ∞

0

f(x)e−sx dx ≡ L[f ](s) , Re s > γ , (trasformata di Laplace).

La condizione sul numero complesso s garantisce la convergenza dell’integrale. Posto s = η + ik si ha

f(η + ik) =1√2π

∫ ∞

−∞

√2π θ(x)f(x)e−ηxe−ikx dx , θ(x) =

{

1 per x > 0 ,0 per x < 0 .

}

Si vede dunque che f(s) e la trasformata di Fourier, per x ≥ 0, della funzione√

2πf(x)e−ηx. La formulainversa ci permette di ricavare

f(x)e−ηx =1

2π

∫ ∞

−∞f(η + ik)eikx dk =

e−ηx

2πi

∫ η+i∞

η−i∞f(s)esx ds , x ≥ 0 .

In conclusione, per Re s > γ, η > γ si ha

f(s) =

∫ ∞

0

f(x)e−sx dx , (trasformata di Laplace); (15.2)

f(x) =1

2πi

∫ η+i∞

η−i∞f(s)esx ds , (formula di inversione o antitrasformata). (15.3)

Le formule precedenti si possono estendere a funzioni definite anche per x < 0, estendendo il primointegrale su tutto l’asse reale e richiedendo che la funzione soddisfi una condizione analoga alla (15.1)anche per x < 0 in modo che l’integrale esista (trasformata di Laplace bilatera).

15.1 Proprieta della trasformata di Laplace

Dalla linearita dell’integrale segue immediatamente la linearita della trasformata. Valgono inoltre delleutili proprieta simili a quelle che si hanno per la trasformata di Fourier. Quando le seguenti equazionihanno significato (le funzioni coinvolte sono tali per cui tutti gli integrali esistono) si ha

• Traslazione (attenuazione).

L[eaxf(x)](s) = L[f(x)](s− a) ,

L[f(x− a)](s) = e−asL[f(x)](s) .

55

• Dilatazione.

L[f(ax)](s) =1

aL[f(x)](s/a) .

• Derivate.

L[

df(x)

dx

]

(s) = sL[f ](s) − f(0+) , f(0+) = limx↓0

f(x) .

Questa vale se f e continua in IR+. Se ci sono punti di discontinuita si devono trattare singolarmente.

Dimostrazione – . Si ha

L[

df(x)

dx

]

(s) = limN→∞

∫ N

0

f ′(x)e−sx dx = limN→∞

[

f(x)e−sx]N

0+ s

∫ N

0

f(x)e−sx dx

= sL[f ](s) − f(0+) .

Piu in generale si ottiene

L[

f (n)(x)

dx

]

(s) = sn L[f ](s) −n−1∑

k=0

f (k)(0+)sn−1−k .

• Primitiva.

L[∫ x

0

f(t) dt

]

(s) =1

sL[f ](s) .

Dimostrazione – . Posto F (x) =∫ x

0f(t) dt si ha F ′(x) = f(x) e F (0) = 0. Applicando la

proprieta precedente a F ′ si ottiene

L[F ′](s) = sL[F ](s) − F (0) = sL[F ](s) =⇒ L[F ](s) =1

sL[F ′](s) ,

da cui il risultato cercato.

• Analiticita.Per s > γ la trasformata di Fourier di una funzione f e analitica e si ha

dn

dsnL[f ](s) = L[(−x)nf(x)](s) . (15.4)

Dimostrazione – . Consideriamo la successione di funzioni fN (x) = θ(N − x)f(x) → f(x). Perogni funzione della serie e ogni s0 > γ si ha

fN (s) =

∫ ∞

0

fN (x)e−sx dx =

∫ N

0

f(x)e−sx dx ,

f ′N (s) =

∫ N

0

(−x)f(x)e−sx dx = L[(−x)fN (x)](s) ,

f(n)N (s) =

∫ N

0

(−x)nf(x)e−sx dx = L[(−x)nfN (x)](s) .

Passando al limite N → ∞ si ottiene il risultato cercato. Si ha anche

fN (s) =

∫ N

0

f(x)e−s0e−(s−s0)x dx

=

∫ N

0

∞∑

n=0

[

(−x)nf(x)e−s0x (s− s0)n

n!

]

dx

=

∞∑

n=0

[

∫ N

0

(−x)nf(x) e−s0x dx

]

(s− s0)n

n!

=

∞∑

n=0

L[(−x)nfN (x)](s0)(s− s0)n

n!.

56

Si vede dunque che fN (s) e sviluppabile in serie di Taylor e quindi e analitica. Per il teorema diWeierstrass si puo ora effettuare il limite N → ∞ ottenendo il risultato per f .

• Convoluzione.

L[h ∗ g](s) = L[h](s)L[g](s) .

Dimostrazione – . Tenendo conto che le funzioni sono definite in IR+ si ha

f(x) = (h ∗ g)(x) =

∫ x

0

h(x− y)g(y) dy =

∫ x

0

h(y)g(x− y) dy ,

L[f ](s) =

∫ ∞

0

[∫ x

0

h(x− y)g(y) dy

]

e−sx dx .

Si ha anche

L[h](s)L[g](s) =

∫ ∞

0

h(u)e−su du

∫ ∞

0

g(v)e−sv dv

=

∫ ∫ ∞

0

h(u)g(v)e−s(u+v) du , dv

=

∫ ∞

0

[∫ x

0

h(x− y)g(y) dy

]

e−sx dx .

Nel calcolo precedente si e usato il teorema di Fubini e si e effettuato il cambiamento di varibilix = u+ v, y = v. Il determinante jacobiano di questa trasformazione e uguale a 1.

• Funzioni Periodiche.Sia f(x) una funzione periodica di periodo T , cioe f(x+ T ) = f(x). Allora

L[f ](s) =1

1 − e−sT

∫ T

0

f(x)e−sx dx .

• Limiti.Sia f(s) = L[f ](s). Se i limiti esistono valgono le relazioni

limx→0

f(x) = lims→∞

s f(s) , limx→∞

f(x) = lims→0

s f(s) .

15.2 Esempi

Calcolare le trasformate di Laplace delle seguenti funzioni:

• f(x) = xα per Reα > −1.Definiamo la funzione Γ (secondo integrale di Eulero) mediante l’equazione

Γ(s) =

∫ ∞

0

ts−1e−t dt , Re s > 0 .

E’ immediato verificare che per s = n + 1 (n = 0, 1, 2, ...) questa funzione corrisponde a n!. Inte-grando per parti si puo estendere analiticamente a tutto il piano complesso dove ha poli sempliciper tutti i valori s = 0,−1,−2, .... Si ha

f(s) =

∫ ∞

0

xαe−sx dx =1

sα+1

∫ ∞

0

t(α+1)−1e−t dt =Γ(α+ 1)

sα+1.

In particolare, per n = 0, 1, 2, ... si ottiene L[xn](s) = n! s−(n+1).

57

• eγx.Per Res > γ si ha

L[eγx] =

∫ ∞

0

e(γ−s)x dx =1

s− γ.

• sinαx e cosαx.Gli integrali si fanno rapidamente usando le formule di Eulero, vale a dire

L[sinαx](s) =

∫ ∞

0

e−(s−iα)x − e−(s+iα)x

2idx =

α

s2 + α2. (15.5)

Usando la proprieta della derivata si ha rapidamnete

L[cosαx](s) =s

αL[sinαx](s) =

s

s2 + α2. (15.6)

15.3 Applicazioni

• Soluzione di equazioni differenziali. Si consideri l’equazione differenziale lineare a coefficienticostanti

a0f(x) + a1f′(x) + a2f

′′(x) + · · · + anf(n)(x) = g(x) ,

con le condizioni iniziali

f (k)(0+) = fk , k = 0, 1, 2, ..., n− 1 ,

Mediante una trasformazione di Laplace si ottiene l’equazione algebrica

Pn(s)f(s) −Qn−1(s) = g(s) ,

dove Pn e il polinomio caratteristico dell’equazione, mentre Qn−1 e un polinomio di grado n − 1che contiene tutte le condizioni iniziali. Questi hanno la forma

Pn(s) =n∑

k=0

aksk , Qn−1(s) =

n∑

j=1

n∑

k=j

aksk−j fj .

Risolvendo si ricava

f(s) =g(s) +Qn−1(s)

Pn(s)=⇒ f(x) =

1

2πi

∫ η+i∞

η−i∞

[g(s) +Qn−1(s)] esx

Pn(s)ds .

• Dimostrare che

∫ ∞

0

sinx

xdx =

π

2,

dove l’integrale va inteso nel senso del valore principale.Per prima cosa si deve dimostrare che se limx−>∞ f(x)/x = 0, allora

L[

f

x

]

(s) =

∫ ∞

0

f(s) ds .

Posto f(x) = xg(x) e usando la proprieta (15.4) si ha effettivamente

f(s) = −g′(s) =⇒ g(s) = −∫ ∞

s

g′(s) ds =

∫ ∞

s

f(s) ds .

58

In particolare,

g(0) =

∫ ∞

0

f(x)

xdx =

∫ ∞

0

f(s) ds .

Nel caso in questione f(x) = sinx, f(s) = 1/(s2 + α2) (vedi (15.5)) e quindi

∫ ∞

0

sinx

xdx =

∫ ∞

0

1

s2 + α2ds = [arctan s]

∞0 =

π

2.

• Oscillatore forzato. Trovare la soluzione particolare dell’equazione

x(t) + ω2x(t) = f(t) , x(0) = x0 , x(0) = v0 .

Assumiamo che tutte le funzioni in gioco siano tali per cui sia definita la loro trasformata di Laplace.Mediante una trasformazione si ottiene allora l’equazione algebrica

s2x(s) − sx0 − v0 + ω2x(s) = f(s) =⇒ x(s) =f(s)

s2 + ω2+

x0 s

s2 + ω2+

v0s2 + ω2

.

Ricordando le equazioni (15.5) e (15.6) si puo scrivere

x(s) =1

ωf(s)L[sin(ωt)](s) + x0 L[cos(ωt)](s) +

v0ω

L[sin(ωt)](s) .

Mediante la trasformazione inversa si ricava infine la soluzione nella forma

x(t) = x0 cosωt+v0ω

sinωt+1

ω

∫ t

0

sinω(t− t′) f(t′) dt′ .

• Circuito RLC, Determinare la corrente I(t) che passa in un circuito semplice formato da ungeneratore di forza elettomotrice V (t), un resistore di resistenza R, una bobina di induttanza L eun condensatore di capacita C posti in serie.

Il circuito e descritto dall’equazione integro-differenziale

V (t) = RI(t) + LdI(t)

dt+

1

C

∫ t

0

I(t′) dt′ .

Effettuando la trasformata di Laplace sull’intera equazione si ottiene

V (s) = RI(s) + L[sI(s) − I(0)] +1

sCI(s) =

[

R+ sL+1

sC

]

I(s) − LI(0) ,

da cui

I(s) = s

[

I(0) +V (s)

L

]

[

s2 +R

Ls+

1

LC

]−1

.

Ad esempio, considerando un generatore di corrente alternata della forma V (t) = V0 sinω0t con lacondizione iniziale I(0) = 0 si ha

V (s) =V0ω0

s2 + ω20

, I(s) =V0ω0s

L(s2 + ω20)

[

s2 +R

Ls+

1

LC

]−1

,

da cui

I(t) =V0ω0

2πiL

∫ η+i∞

η−i∞

s

s2 + ω20

[

s2 +R

Ls+

1

LC

]−1

est ds .

59

L’integrale si effettua usando il metodo dei residui, chiudendo il cammino di integrazione medianteuna curva Γ all’infinito (nel semipiano sinistro), ricordando che tutte le singolarita della funzionestanno alla sinistra dell’asse di integrazione (η− i∞, η+ i∞). Su Γ la funzione integranda si annullae pertanto I(t) diventa uguale all’integrale sul cammino chiuso, che in generale contiene quattropoli semplici nei punti

a± = ±iω0 , b± =R

2L

[

1 ±√

1 − 4L

R2C

]

.

Come si vede, i punti a± sono sempre immaginari, mentre i punti b± sono complessi coniugati se4L/R2C > 1 e reali altrimenti. Nel caso particolare in cui 4L/R2C = 1, b+ = b− e il polo e doppio.I residui di I(s) hanno un’espressione piuttosto complicata, ma il loro calcolo non presenta nessunadifficolta tecnica. In conlusione di ha

I(t) = Res(I(s); a+) + Res(I(s); a−) + Res(I(s); b+) + Res(I(s); b−) .

Se b+ = b− allora gli ultimi due termini vanno sostituiti con il residuo nel polo doppio.

• Equazione integrale di Volterra. Trovare la soluzione dell’equazione integrale

f(x) = g(x) +

∫ x

0

K(x− y)f(y) dy ,

dove g(x) e K(x) sono funzioni note che hanno trasformata di Laplace. Allora l’equazione integralesi puo scrivere nella forma f = g +K ∗ f , che trasformata diventa l’equazione algebrica

f = g + Kf =⇒ f =g

1 − K= g +

K

1 − Kg .

La soluzione ha quindi la forma

f(x) = g(x) +

∫ x

0

R(x− y)g(y) dy , R =K

1 − K.

• Metodo di Laplace. E’ una tecnica che permette di risolvere equazioni differenziali con coefficientinon costanti, ma al pu lineari nella variabile indipendente. E’ basata su una “generalizzazione” dellatrasformata di Laplace.

Per illustrare il metodo in generale, si consideri l’equazione differenziale lineare di ordine n

n∑

k=0

ck(x)y(k)(x) = 0 , ck(x) = ak + bk x .

In generale non e possibile risolvere equazioni di questo tipo usando metodi elementari. Il metododi Laplace assume che la soluzione y(x) sia la trasformata di una funzione z(s) della forma

y(x) =

∫

Cαβ

ds z(s)exs ,

dove Cαβ e un cammino nel piano complesso che congiunge i punti α, β. Questo sara scelto in mododa ottenere soluzioni non banali. Derivando ripetutamente l’equazione precedente si ricavano lerappresentazioni integrali delle derivate, ossia

y(k)(x) =

∫

Cαβ

ds z(s)sk exs .

60

Posto per comodita

A(s) =

n∑

k=0

ak sk , B(s) =

n∑

k=0

bk sk ,

l’equazione di partenza diventa

x

∫

Cαβ

ds exsz(s)B(s) +

∫

Cαβ

ds exsz(s)A(s) = 0 .

Integriamo per parti il primo termine, vale a dire

x

∫

Cαβ

ds exsz(s)B(s) = [exsz(s)B(s)]βα −

∫

Cαβ

ds exs d

ds[z(s)B(s)] .

In questo modo si ottiene l’equazione

[exsz(s)B(s)]βα +

∫

Cαβ

ds exs

{

z(s)A(s) − d

ds[z(s)B(s)]

}

= 0 .

Poiche questa deve valere per ogni valore di x, i due termini dell’equazionee precedente devonoannullarsi separatamente, per cui

0 = [exsz(s)B(s)]βα = V (β) − V (α) = 0 , V (s) = exsz(s)B(s) , (15.7)

0 =d

ds[z(s)B(s)] − z(s)A(s) . (15.8)

Conviene porre u(s) = z(s)B(s). In tal modo l’ultima equazione diventa a variabili separabili e sipuo integrare. Infatti

u′(s) = z(s)A(s) =A(s)

B(s)u(s) =⇒ u(s) = z(s)B(s) = C exp

(∫

dsA(s)

B(s)

)

,

dove C e una costante arbitraria. La soluzione cercata e finalmente

z(s) =C

B(s)exp

(∫

dsA(s)

B(s)

)

.

Si dimostra (senza eccessive restrizioni) che la (15.7) si puo soddisfare scegliendo i punti α, β e ilcammino di integrazione in n modi distinti, a cui corrispondono n funzioni z(s) (e di conseguenza nintegrali y(x)) linearmente indipendenti. Se la soluzione e monodroma, allora e possibile sceglieren cammini chiusi. Questo significa che la (15.7) e banalmente soddisfatta. Ogni cammino devecontenere almeno un polo di z(s) per evitare che la soluzione y(x) sia quella banale.

Esempio 1. Consideriamo come prima applicazione del metodo di Laplace la semplice equazione

y′′(x) + xy(x) = 0 , =⇒ n = 2 , a0 = a1 = b0 = b2 = 0 , a2 = b1 = 1 ,

da cui segue

A(s) = s2 , B(s) = 1 , z(s) = C exp

(∫

ds s2)

= Ces3/3 .

In questo caso la (15.7) diventa

eβx+β3/3 − eαx+α3/3 = 0 . (15.9)

61

Qui non e possibile scegliere cammini chiusi poiche z(s) e analitica. Un modo semplice persoddisfare la (15.9) e quello di scegliere α, β tali che

|α| = |β| = |β±| = R→ ∞ , arg (α) = π , arg (β±) = ± π

3,

vale a dire α = −∞, β± = Re±iπ/3 con R→ ∞. Infatti con questa scelta V (α) → 0, V (β) → 0.Scegliamo quindi due camminiC+ = l0

⋃

l+ e C− = l0⋃

l−, dove l0 e una seniretta lungo l’asse reale negativo che connetteα con l’origine, mentre l± sono due semirette che connettono l’origine con β±.

Con questa scelta, una soluzione per y(x) e data dall’integrale

y(x) =

∫

C+

ds z(s) =

∫

l0

ds exs+s3/3 +

∫

l+

ds exs+s3/3

=

∫ 0

−∞dt ext+t3/3 +

∫ ∞

0

dt eiπ/3 ext/2−t3/3+ixt√

2/3

=

∫ ∞

0

dt e−xt−t3/3

+

∫ ∞

0

dt ext/2−t3/3

[

cos

(√3xt

2+π

3

)

+ i sin

(√3xt

2+π

3

)]

=

∫ ∞

0

dt

[

e−xt−t3/3 + ext/2−t3/3 cos

(√3xt

2+π

3

)]

+i

∫ ∞

0

dt

[

ext/2−t3/3 sin

(√3xt

2+π

3

)]

. (15.10)

Poiche i coefficienti dell’equazione sono reali e sempre possibile scegliere soluzioni reali. Questosignifica che la parte reale e la parte immaginaria di (15.10) costituiscono due soluzioni. Siverifica che sono entrambe non nulle e linearmente indipendenti e quindi la soluzione piugenerale e una combinazione arbitraria delle due. In questo caso non e necessario considerareanche il secondo cammino, il quale fornisce la soluzione coniugata della (15.10).

In conclusione si ottiene

y1(x) =

∫ ∞

0

dt

[

e−xt−t3/3 + ext/2−t3/3 cos

(√3xt

2+π

3

)]

y2(x) =

∫ ∞

0

dt

[

ext/2−t3/3 sin

(√3xt

2+π

3

)]

,

La soluzione piu generale e della forma y(x) = C1y1(x) + C2y2(x).

Esempio 2: Equazione di Bessel. E’ un’equazione fra le piu importanti della Fisica-Matematicae si incontra , quando si usano coordinate polari (cilindriche). La scriviamo nella forma

x2 f ′′(x) + x f ′(x) + [x2 − ν2] f(x) = 0 , ν ∈ IC .

Per applicare il metodo di Laplace facciamo la sostituzione f(x) = xν y(x), per cui l’equazionediventa

x y′′(x) + (2ν + 1) y′(x) + x y(x) = 0 .

L’integrale y(x) si puo ora calcolare usando il metodo di Laplace in quanto l’equazione diffe-renziale ha coefficienti al piu lineari nella variabile indipendente x. Si ha

b0 = b2 = 1 , a1 = 2ν + 1 , a0 = a2 = b1 = 0 ,

da cui segue

A(s) = (2ν + 1)s , B(s) = 1 + s2 ,

62

z(s) =C

1 + s2exp

[∫

ds(2ν + 1)s

1 + s2

]

=C

1 + s2exp

[

2ν + 1

2log(1 + s2)

]

= C (1 + s2)ν−1/2 .

La condizione (15.7) in questo caso specifico diventa

exβ(1 + β2)ν+1/2 − exα(1 + α2)ν+1/2 = 0 ,

che si puo verificare banalmente scegliendo α = −i e β = i in quanto 1 + (±i)2 = 0.

Poiche z(s) in generale e una funzione a piu valori, per renderla analitica si deve effettuareun taglio che impedisca di girare attorno ad un solo punto di diramazione ±i e quindi untaglio che connetta i due punti di diramazione (passando ad esempio per infinito, lungo l’asseimmaginario [i,∞)

⋃

(−∞,−i]). In questa regione (il piano complesso privato del taglio) lafunzione e analitica e l’integrale da −i a i non dipende dal cammino. Come cammino diintegrazione scegliamo allore il segmento che congiunge −i, i lungo l’asse immaginario. Conquesta scelta si ha

f(x) = xν y(x) = Cxν

∫ i

−i

ds exs(1 + s2)ν−1/2

= iCxν

∫ 1

−1

dt eixt(1 − t2)ν−1/2

= iCxν

∫ 1

−1

dt cos(xt) (1 − t2)ν−1/2 .

Qui abbiamo assunto implicitamente che Re ν > −1/2 per avere la convergenza dell’integralee abbiamo tralasciato l’integrale con sin(xt) perche e identicamente nullo per parita. Abbiamoquindi ottenuto la soluzione, valida per Re ν > −1/2 (funzioni di Bessel di Ia specie)

Jν(z) =(z/2)ν

Γ(ν + 1/2)Γ(1/2)

∫ 1

−1

dt cos(zt) (1 − t2)ν−1/2 , (15.11)

dove x e stato sostituito dalla variabile complessa z e si e fissata la costanteiC = [2νΓ(ν + 1/2)Γ(1/2)]−1.

Usando la rappresentazione integrale (15.11) si ricava facilmente lo sviluppo di Taylor di Jν(z)attorno all’origine, per | arg (z)| < π. Infatti si ha

Jν(z) =(z/2)ν

Γ(ν + 1/2)Γ(1/2)

∫ 1

−1

dt

∞∑

k=0

(−1)k (zt)2k

(2k)!(1 − t2)ν−1/2

=(z/2)ν

Γ(ν + 1/2)Γ(1/2)

∞∑

k=0

(−1)k z2k

(2k)!

∫ 1

0

dτ τk−1/2(1 − τ)ν−1/2

=(z/2)ν

Γ(ν + 1/2)Γ(1/2)

∞∑

k=0

(−1)k z2kB(k + 1/2, ν + 1/2)

(2k)!

=(z

2

)ν ∞∑

k=0

(−1)k

k!Γ(k + 1 + ν)

(z

2

)2k

,

dove si e usata la relazione B(x, y) = Γ(x)Γ(y)/Γ(x+ y) fra gli integrali di Eulero B(x, y) delIo tipo e Γ(x) del IIo tipo. Si osservi che la rappresentazione sotto forma di serie per Jν(z) evalida per ogni valore di ν.

Qui abbiamo ottenuto solo una soluzione perche abbiamo fissato delle condizioni sulla suaforma per usare il metodo di Laplace. L’altra soluzione indipendente (funzioni di Bessel di IIa

specie o funzioni di Newmann) si scrive nella forma

Nν(z) =1

sin(πν)[cos(πν)Jν(z) − J−ν ] , | arg (z)| < π , ν 6= 0,±1,±2, ...

Oscillatore armonico in meccanica quantistica. Vogliamo trovare le autofunzioni dell’oscilla-tore armonico unidimensionale. Indichiamo con m,ω, h rispettivamente la massa, la frequenza

63

angolare e la costante di Planck razionalizzata h/2π. L’equazione che fornisce gli autovalori Edell’hamiltoniana H e

Hψ(x) =

[

− h2

2m

d2

dx2+

1

2mω2x2

]

ψ(x) = Eψ(x) ,

dove ψ(x) ∈ L2(IR) e la funzione d’onda. Per prima cosa facciamo il cambiamento di variabili

ξ =

√

mω

hx , λ =

2E

hω≥ 0 , ψ(x) → ψ(ξ) .

Usando queste grandezze adimensionali, l’equazione agli autovalori diventa[

− d2

dξ2+ ξ2

]

ψ(ξ) = λψ(ξ) ,

che non e un’equazione a coefficienti lineari, ma lo diventa mediante il cambiamento di funzioneψ(ξ) = e−ξ2/2 y(ξ). L’equazione per y(ξ) e infatti

y′′(ξ) − 2ξy′(ξ) + (λ− 1)y(ξ) = 0 , (15.12)

che si puo risolvere mediante il metodo di Laplace. Abbiamo a0 = λ − 1, a1 = b0 = b2 = 0,a2 = 1, b1 = −2, da cui

A(s) = s2 + λ− 1 , B(s) = −2s .

Dalla teoria generale otteniamo (per λ > 0)

z(s) ∝ 1

sexp

(∫

ds1 − λ− s2

2s

)

=e−s2/4

s1+(λ−1)/2,

V (s) = esx e−s2

4 s1−λ

2 , V (β) = V (α) , (15.13)

dove per semplicita abbiamo omesso la costante e usato il simbolo ∝ in luogo dell’uguaglian-za. Per quanto concerne la fisica, possiamo limitarci a valori λ ≥ 0 (l’energia del sistema esicuramente non negativa).

Un modo semplice per soddisfare la (15.13) e quello di effettuare un taglio lungo il semi-assereale positivo/negativo e considerare i cammini C± che girano attorno a questi due tagli. Intal modo α e β sono entrambi punti a piu/meno infinito, uno sopra e l’altro sotto il taglio ela (15.13) e banalmente soddisfatta poiche limRe s→±∞ V (s) = 0. Se (λ − 1)/2 non e intero,allora z(s) ha un punto di diramazione nell’origine, e si puo vedere che in tal caso le soluzioni

che si ottengono integrando su C± sono divergenti (come eξ2

) per ξ → ±∞. Pertanto questesoluzoni non sono fisicamente accettabili in quanto ψ(x) /∈ L2(IR).

Quando invece (λ − 1)/2 = n e un intero (n = 0, 1, 2, ...), allora z(s) ha un polo di ordinen + 1 nell’origine e i due cammini C± si possono chiudere e collassano in un unico camminochiuso attorno al polo. La (15.13) e ancora banalmente soddisfatta. poiche gli estremi α, βcoincidono. La soluzione y(ξ) si ricava dall’integrale

y(ξ) ∝∮

dseξs−s2/4

sn+1∝ eξ2

∮

dwe−w2

(w − ξ)n+1, (15.14)

dove si e effettuato il cambiamento di variabile w = ξ−s/2 e n = 0, 1, 2, ... e legato allo spettroenergetico dell’oscillatore armonico dalla relazione

λ− 1 = 2n =⇒ E = En =

(

n+1

2

)

hω .

Ricordando la rappresentazione integrale di Cauchy, vediamo che l’ultimo termine della (15.14)e proporzionale alla derivata di ordine n della gaussiana e pertanto

y(ξ) = yn(ξ) = CnHn(ξ) , Hn(ξ) = (−1)n eξ2 dn

dξne−ξ2

, n = 0, 1, 2, ...

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Cn e una costante (normalizzazione) inessenziale per i nostri scopi e Hn(x) sono i polinomi diHermite. Questi sono polinomi di grado n, di parita definita e soddisfano l’equazione (15.12)con λ− 1 = 2n, dunque

H ′′n(ξ) − 2ξH ′

n(ξ) + 2nHn(ξ) = 0 . (15.15)

Ora siamo in grado di scrivere la funzione d’onda del problema iniziale. Ripristinando levariabili originali otteniamo

ψn(x) = Cn e−αx2/2Hn(

√αx) , α =

√

mω

h.

In meccanica quantistica la costante Cn si fissa imponendo la normalizzazione ‖ψn‖2 = 1.

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