LA RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI RETTANGOLI Consideriamo il seguente triangolo rettangolo:

Dove con 𝛼,𝛽, 𝛾 abbiamo indicato rispettivamente gli angoli di vertici A, B, C e con a, b, c rispettivamente le lunghezze dei lati BC (opposto all’angolo di vertice A), AC (opposto all’angolo di vertice B) e AB (opposto all’angolo di vertice C). Trattandosi di un triangolo rettangolo a e b saranno ovviamente le misure dei cateti e c la misura dell’ipotenusa e inoltre 𝛾 = 90°. 1. In un triangolo rettangolo, si definisce seno* (si abbrevia con sen oppure sin) di un angolo il rapporto tra la lunghezza del cateto opposto all’angolo e la lunghezza dell’ipotenusa. In formule:

𝑠𝑒𝑛𝛼 =𝑎𝑐 ,      𝑠𝑒𝑛𝛽 =

𝑏𝑐

2. In un triangolo rettangolo, si definisce coseno (si abbrevia con cos) di un angolo il rapporto tra la lunghezza del cateto adiacente all’angolo e la lunghezza dell’ipotenusa. In formule:

𝑐𝑜𝑠𝛼 =𝑏𝑐 ,      𝑐𝑜𝑠𝛽 =

𝑎𝑐

Da considerazioni di goniometria che ora omettiamo si ha che 𝑠𝑒𝑛90° = 1, 𝑐𝑜𝑠90° = 0; inoltre essendo un cateto sempre minore dell’ipotenusa avremo che il seno e il coseno di un angolo acuto sono sempre quantità comprese tra 0 e 1 (estremi ovviamente esclusi). Dalle formule precedenti si può osservare che 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛽 e in maniera analoga 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 e questo succede perché gli angoli 𝛼  𝑒  𝛽 sono complementari 𝛼 + 𝛽 = 90°. 3. In un triangolo rettangolo, si definisce tangente (si abbrevia con tan o tg) di un angolo il rapporto tra la lunghezza del cateto opposto all’angolo e il cateto adiacente. In formule:

𝑡𝑔𝛼 =𝑎𝑏 ,      𝑡𝑔𝛽 =

𝑏𝑎

Dalle formule dei punti 1 e 2 ricaviamo 𝑎 = 𝑐 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛼, 𝑏 = 𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼   ⇒ 𝑡𝑔𝛼 = !∙!"#$

!∙!"!"= !"#$

!"#$ quindi la

tangente di un angolo è data dal rapporto tra il seno e il coseno di quest’angolo. 3. In un triangolo rettangolo, si definisce cotangente (si abbrevia con cotan o ctg) di un angolo il rapporto tra la lunghezza del cateto adiacente all’angolo e il cateto opposto. In formule:

𝑐𝑡𝑔𝛼 =𝑏𝑎 ,      𝑐𝑡𝑔𝛽 =

𝑎𝑏

 

 

2  

Dalle formule del punto 1 e 2 ricaviamo ad esempio 𝑏 = 𝑐 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛽,𝑎 = 𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛽   ⇒ 𝑡𝑔𝛽 = !∙!"#!!∙!"#!

=!"#!!"#!

quindi la cotangente di un angolo è data dal rapporto tra il coseno e il seno di quest’angolo.

Anche in questo caso avremo 𝑡𝑔𝛼 = 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛽, 𝑡𝑔𝛽 = 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼. * OSS: 𝑠𝑒𝑛𝛼 non si deve leggere come sen moltiplicato 𝛼 ma è un operatore matematico “compatto”. LA CALCOLATRICE SCIENTIFICA Con la calcolatrice, una volta noti il seno, coseno o la tangente di un angolo non è difficile risalire all’angolo stesso. Tutte le calcolatrici scientifiche sono dotate di un tasto funzione inversa. Sopra il tasto sin potrai trovare sin-1 e in maniera analoga per il coseno e la tangente; questo tasto ti permette di calcolare la misura di un angolo noto il suo seno (attenzione! La notazione della calcolatrice non è la stessa che si usa in matematica: sin-1 è la funzione inversa del seno secondo la notazione della calcolatrice mentre in matematica intendiamo il reciproco del seno!). Esempi

• 𝑠𝑒𝑛𝛼=0,5 dopo aver digitato 0,5 2ndf +(oppure shift, a seconda delle calcolatrici) sin ottieni 𝛼 = 30°;

• 𝑐𝑜𝑠𝛼=0,5 dopo aver digitato 0,5 2ndf +(oppure shift, a seconda delle calcolatrici) cos ottieni 𝛼 = 60°;

• 𝑡𝑔𝛼=1 dopo aver digitato 1 2ndf +(oppure shift, a seconda delle calcolatrici) tg ottieni 𝛼 =45°;

• 𝑠𝑒𝑛𝛼=0,425 dopo aver digitato 0,425 2ndf +(oppure shift, a seconda delle calcolatrici) sin ottieni 𝛼 = 25,15°;

• 𝑐𝑜𝑠𝛼=0,83 dopo aver digitato 0,83 2ndf +(oppure shift, a seconda delle calcolatrici) cos ottieni 𝛼 = 33,90°;

• 𝑡𝑔𝛼=3,17 dopo aver digitato 3,17 2ndf +(oppure shift, a seconda delle calcolatrici) tg ottieni 𝛼 = 72,50°.

OSS. 1: In alcune calcolatrici con la scrittura “naturale” per calcolare, ad esempio, l’angolo per il quale 𝑡𝑔𝛼=3,17 dovrai prima digitare 2ndf +(oppure shift, a seconda delle calcolatrici) e poi 3,17. OSS. 2: nei calcoli con i decimali arrotonderemo sempre a due cifre dopo la virgola (25,46=25,50; 43,34=43,34 ecc.).

RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI RETTANGOLI Risolvere un triangolo rettangolo significa determinare la misura di tutti gli angoli e di tutti i lati che lo compongono; per fare questo occorre avere due informazioni (oltre all’angolo retto) di cui una almeno dovrà essere un lato. Per tutti gli esempi farò riferimento alla figura:

 

 

3  

1. Sono noti due cateti: a=40, b=110

𝑡𝑔𝛼 = !"

!!"= 0, 36  →  𝛼 ≈ 19,98°   → 𝛼 ≈ 19°58!59!!

 𝛽 = 90°− 19°58!59!! = 70°1′1′′ 𝐴𝑝𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜  𝑃𝑖𝑡𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎: 𝑐 = 𝑎! + 𝑏! = 13700 = 117,05

2. Sono noti un cateto e l’ipotenusa: a=21,13, c=50

𝑠𝑒𝑛𝛼 = !",!"!"

= 0,42   →  𝛼 ≈ 25°

 𝛽 = 90°− 25 = 65°

𝐴𝑝𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜  𝑃𝑖𝑡𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎: 𝑏 = 𝑐! − 𝑎! = 2053,52 = 45,31

Oppure anche in questo modo 𝑏 = 𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 50 ∙ 𝑐𝑜𝑠25° = 50 ∙ 𝑠𝑒𝑛65°

3. Sono noti un cateto e un angolo acuto: a=8, 𝜶 = 𝟐𝟖°

𝛽 = 90°− 28° = 62°   →  𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑡𝑔𝛽 = 8 ∙ 𝑡𝑔62° ≈ 15,04 𝐴𝑝𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜  𝑃𝑖𝑡𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎: 𝑐 = 𝑎! + 𝑏! = 290,38 = 17,04

4. Sono noti l’ipotenusa e un angolo acuto: c=28,3, 𝜶 = 𝟓𝟖°

𝛽 = 90°− 58° = 32                        𝑎 = 𝑐 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛂 = 28,3 ∙ 𝑠𝑒𝑛58° ≈ 24                      𝑏 = 𝑐 ∙ 𝑠𝑒𝑛  𝛽 = 28,3 ∙ 𝑠𝑒𝑛32° ≈ 15 ESERCIZI Risolvi i seguenti esercizi (qualora gli angoli fossero “particolari” ossia 30°, 60°, 45° dei quali sappiamo quanto valgono seno, coseno e tangente, non usate la calcolatrice e lasciate i risultati indicati, ad esempio 3 2). 1. In un triangolo rettangolo ABC i cateti sono AB e AC rispettivamente lunghi c e b, l’ipotenusa

è lunga a. Risolvilo sapendo che: b=15 𝛾 = 30° a=24 𝛽 = 60° b=8 𝑐 = 8 3 a=48 c=24 c=10 𝛾 = 60° b=22 𝛾 = 45° b=46 𝛽 = 30° a=84 𝑐 = 42 3 a=28 𝛾 = 45°

 

 

4  

2. In un triangolo rettangolo conosciamo l’ipotenusa lunga 10 cm e un cateto lungo 5 3 cm.

3. In un triangolo rettangolo conosciamo un cateto lungo 8 cm e il seno dell’angolo opposto

uguale a 3/5.

4. In un triangolo rettangolo conosciamo l’ipotenusa lunga 15 cm e il coseno di un angolo acuto uguale a 1/4.

5. In un triangolo rettangolo conosciamo un cateto lungo 8 cm e il coseno di un angolo acuto

uguale a 4/5. PROBLEMI

1. In un triangolo rettangolo un cateto è lungo 10 cm e l’angolo opposto ad esso è di 40°. Trova il perimetro del triangolo.

2. In un triangolo rettangolo il rapporto tra un cateto e l’ipotenusa è 5/13 e l’altro cateto è lungo

48 cm. Determina l’areaa del triangolo e le misure degli angoli.

3. Nel triangolo ABC, rettangolo in A, un cateto è lungo 20 cm e il coseno dell’angolo acuto ad esso adiacente è 0,7. Determina l’area e il perimetro del triangolo.

4. Nel triangolo rettangolo ABC la lunghezza dell’ipotenusa BC è 41 cm e la tangente dell’angolo

𝐵 è 40/9. Determina perimetro e area del triangolo.

5. Nel triangolo rettangolo ABC le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa BC sono BH=25 cm e CH=49 cm. Determina i cateti e gli angoli acuti.

6. In un triangolo rettangolo un cateto è lungo 75 cm e il seno del suo angolo opposto è 15/17.

Determina il perimetro del triangolo e l’altezza relativa all’ipotenusa.

7. In un triangolo isoscele la base è lunga 24 cm e il coseno dell’angolo al vertice è 7/25. Determina le altezze del triangolo.

8. Nel trapezio isoscele ABCD di base AB è AD=DC=82 cm e 𝑡𝑔𝐴 = 9/40 . Determina

perimetro e area del trapezio.

9. In un triangolo ABC, 𝐴 = 30°,𝐵 = 45°. Essendo AC=20 cm e CB=10 2 cm, calcola la lunghezza del lato AB.

10. In un triangolo rettangolo la differenza tra i cateti è 6 cm e la tangente dell’angolo opposto al

cateto maggiore è 21/20. Calcola il perimetro e l’area del triangolo.

11. Una funivia collega due località, A e B, distanti 1200 m ed è inclinata di 42° sul piano orizzontale. A che altezza, rispetto ad A, si trova la stazione B?

12. La rampa di un parcheggio sotterraneo è lunga 8,4 m e forma un angolo di 21° con il piano

orizzontale. A che profondità si trova il parcheggio? 13. Su un cartello stradale si legge: “pendenza del 14%”. Percorrendo un tratto di 280 m, quanto si

sale in altezza? Che angolo forma la strada con il piano orizzonale?