B. CALEIDOSCOPI E TRIANGOLI SFERICI

certo lato per riflessione rispetto a quel lato.Queste due condizioni sono così restrittive che leuniche triangolazioni della sfera che le soddisfa-no sono sostanzialmente solo le tre proposte nel-le foto. Oltre ad esse infatti vi sono solo quelleche si ottengono suddividendo la sfera in n spic-chi tutti uguali tra loro con n meridiani “equidi-stanziati” e poi tagliando ciascuno spicchio indue triangoli tramite l'equatore.Nel poster viene anche suggerito come questetriangolazioni si generino a partire dai piani disimmetria di alcuni poliedri regolari.Ad esempio, per ottenere la triangolazione delcaleidoscopio blu, si può partire dalla superficiedi un cubo e affettarla con i 9 piani di simmetriadel cubo. Si ottengono 48 triangoli rettangoli iso-sceli (8 per ciascuna faccia del cubo). Se siproietta il cubo radialmente su una sfera che hacentro nel centro del cubo, i 48 triangoli si proiet-tano sui triangoli della triangolazione.Un discorso analogo vale per le triangolazionigialla e rossa, pur di partire con un tetraedro econ un dodecaedro rispettivamente.

B1. COPPIE DI SPECCHI PIANIAvete a disposizione una coppia di specchi inci-denti ad apertura variabile.

• Sapreste utilizzare un piccolo oggetto (unapallina, o un cubetto, o altro ….) per capirequando l’apertura degli specchi è di 60°? Eancora, quando è di 45°? Se sì, come?

Può essere divertente e funzionale all’apprendi-

9QUADERNO LABORATORIO DI MATEMATICA ■ Geometria sferica

B. CALEIDOSCOPI E TRIANGOLI SFERICI

La scheda verte intorno all’argomento dei trian-goli sferici. I contenuti, in particolare, riguarda-no: l’ampiezza di angoli diedri, la somma degliangoli interni di un triangolo sferico, l’eccessosferico, l’area di un triangolo sferico e il legamedi proporzionalità diretta tra l’area di un trian-golo sferico e il suo eccesso sferico. Grazie ai diversi oggetti a disposizione gli studen-ti hanno la possibilità di allenare la loro capacitàdi visualizzazione. Essi dovranno contare il nu-mero di immagini di un oggetto riflesso da duespecchi piani, il numero delle immagini di un og-getto inserito in un caleidoscopio, infine osservaresfere costituite interamente da triangoli sferici.Abbiamo già avuto modo di affermare che la-sciare del materiale manipolabile a disposizionedegli studenti favorisce il loro coinvolgimento e lapartecipazione alle attività. In particolare ciò ac-cade in maniera evidente con gli specchi (sia conquelli piani sia con i caleidoscopi). Per questo mo-tivo consigliamo di lasciare gli studenti liberi diprendere confidenza con questi oggetti prima diiniziare le attività proposte dalla scheda. Per que-ste attività è necesario dare ai gruppi le immagi-ni delle sfere fornite nel CD-rom.I triangoli sferici su cui si propongono i vari que-siti sono di tipo molto particolare: si tratta di tas-selli delle triangolazioni sferiche “provenienti”da poliedri regolari raffigurate nelle foto. Talitriangolazioni godono di due proprietà. Anzitut-to i triangoli che le costituiscono sono tutti ugualifra loro, e inoltre ciascuno dei triangoli può esse-re ottenuto da quello a lui adiacente lungo un

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10 QUADERNO LABORATORIO DI MATEMATICA ■ Geometria sferica

mento lasciare che gli studenti giochino un po’con gli specchi per rispondere alla domanda. Seessi non riuscissero a trovare un modo per giun-gere alla soluzione, si potrebbe suggerire loro di“costruire”, anche semplicemente con un pezzet-to di carta, un angolo dell’apertura richiesta efar notare loro come varia, al variare dell’aper-tura, il numero di immagini di un oggetto inseritofra gli specchi (è pari a 6 se l’apertura deglispecchi è di 60°, 8 se è di 45°, …). Ovviamenteuna misura fatta in questo modo non sarà preci-sa ma comunque lo è in maniera sufficiente peri nostri scopi. Si possono eventualmente fornireagli studenti goniometri o oggetti che presentanoangoli noti, ma ci sembra più costruttivo che sia-no essi stessi ad ingegnarsi nel costruirli. Questoquesito funge da introduzione al successivo.

Immaginate di inserire una pallina tra i due spec-chi a diverse aperture. Quante palline vedrestecompresa quella reale?

Qui è solo questione di contare. In tabella si tro-vano le risposte al quesito:

apertura numero di palline90° 430° 1260° 645° 818° 2010° 36

L’apertura degli specchi rappresenta l’ampiezzadell’angolo (angolo diedro) da essi individuato.

Lo scopo di questa affermazione è di far riflette-re i ragazzi sullo stretto legame tra il primo e ilsecondo quesito. È bene che i ragazzi la legga-no soltanto arrivati a questo punto, perché se laleggessero prima avrebbero il suggerimento perrispondere al primo quesito.Ci sembra importante a questo punto indurre iragazzi a cercare un legame tra apertura deglispecchi e numero di palline riflesse. Potrebbe nonessere immediato per loro arrivare a dire cheeseguendo una semplice divisione (360/apertu-ra espressa in gradi) si risale al numero di im-magini visualizzabili tramite gli specchi. Questaosservazione li aiuterà a rispondere al quesitosuccessivo.

B2. CALEIDOSCOPIAvete a disposizione le fotografie di tre sfere sul-le quali sono evidenziati dei triangoli di coloridifferenti. Sul tavolo trovate anche un caleido-scopio che può essere blu, rosso o giallo. Quelloblu è stato realizzato congiungendo i lati deltriangolo blu al centro della sfera con delle pare-ti riflettenti. In maniera analoga, sono stati rea-lizzati i caleidoscopi corrispondenti ai triangolirossi e gialli. Una coppia di piani che formano ilcaleidoscopio individua un angolo diedro.

• Appoggiate ora una pallina allo spigolo diuno di questi diedri, cioè tra due specchi.Vedrete formarsi tante corone di palline.



Sapreste risalire alla misura dell’angolo die-dro a partire dal numero di palline di unacorona? Riportate i valori nelle seguenti ta-belle, iniziando da quella relativa al calei-doscopio che state utilizzando. Successiva-mente, aiutandovi solo con le fotografie del-le sfere, provate a riempire anche le tabelledegli altri due caleidoscopi.

Analogamente al quesito precedente si cerca difar riflettere gli studenti sul legame tra il numerodi immagini che si formano tra due specchi e l’am-piezza del corrispondente angolo diedro: ese-guendo una semplice divisione (360/numero dipalline della corona) si risale alla misura in gradidell’angolo diedro. Nelle tabelle precedenti sonostate riportate le soluzioni per ogni caleidoscopio.

Potrebbe essere interessante distribuire un solocaleidoscopio a ciascun gruppo, facendo in mo-do che ai vari gruppi vengano forniti caleidosco-pi differenti, dopodiché proporre agli studenti dicompletare le due rimanenti tabelle senza utiliz-zare il caleidoscopio corrispondente ma solo leimmagini delle sfere riportare nel CD-rom. La do-manda è infatti volutamente posta in maniera ta-le da stimolare i ragazzi a ragionare, a fare del-le congetture, prima ancora di avere in mano ilmateriale da manipolare. Essi devono quindi cer-



care di trovare una strategia nuova per rispon-dere. Potrebbero osservare, ad esempio, sulleimmagini delle sfere un vertice del triangolo sfe-rico colorato e contare quanti angoli convergononel vertice stesso. Vale la pena di fare osservareesplicitamente ai ragazzi che i triangoli sono tut-ti uguali e che l’angolo del triangolo sferico puòessere identificato con l’angolo diedro corrispon-dente. Questi angoli sono tutti uguali fra loro e illoro numero corrisponde al numero di palline diuna corona. Da esso si può quindi ricavare l’am-piezza di ciascun angolo diedro con la consuetadivisione (360/numero di palline). Dovrebberopoi ripetere il procedimento per i rimanenti duevertici di triangolo sferico. Alla fine i ragazzi po-tranno confrontare le risposte date sulla base del-l’osservazione delle immagini delle sfere, con

quelle ricavate dagli altri gruppi che hanno dav-vero avuto a disposizione il caleidoscopio e, co-me ulteriore conferma e della correttezza dellerisposte, manipolare il materiale specifico.

B3. ECCESSO SFERICOI tre caleidoscopi individuano dei triangoli sferici.

• Provate a calcolare la somma delle misuredei tre angoli in ciascuno dei tre casi e ri-portate il risultato nella tabella qui sotto (ingradi o in radianti).

• Cosa osservate di diverso rispetto al caso deitriangoli nel piano?

È probabile che gli alunni si aspettino che la som-ma degli angoli interni di un triangolo sferico sia180°, come nel caso dei triangoli piani. Alcuni

CALEIDOSCOPIO BLU Spigolo 1 Spigolo 2 Spigolo 3• Numero di palline della corona 6 4 8• Misura dell’angolo diedro 60º 90º 45º

CALEIDOSCOPIO GIALLO Spigolo 1 Spigolo 2 Spigolo 3• Numero di palline della corona 6 4 6• Misura dell’angolo diedro 60º 90º 60º

CALEIDOSCOPIO ROSSO Spigolo 1 Spigolo 2 Spigolo 3• Numero di palline della corona 6 4 10• Misura dell’angolo diedro 60º 90º 36º



di essi potrebbero aver ricavato, erroneamente,l’ampiezza del terzo angolo diedro (spigolo 3nelle tabelle precedenti) per differenza da 180°della somma degli altri due. Essi hanno quindimodo ora di notare che tale aspettativa non siaveritiera per i triangoli sferici e lo fanno analiz-zando dati da loro stessi ricavati. Non solo infatti la somma degli angoli interni diun triangolo sferico non è 180°, ma inoltre talesomma non è neppure costante: le soluzioni as-sumono tutte valori superiori a 180° e diversi traloro. Ci si può accontentare che gli studenti os-servino che la somma “non è 180°”, tanto il que-sito successivo permette di approfondire la que-stione.

• Calcolate, in ciascuno dei tre casi, quanto lasomma trovata eccede (in radianti) la som-ma degli angoli di un triangolo nel piano eriportate il risultato nella tabella qui sotto.

Questa domanda è il pretesto per un ulterioremomento di riflessione sul fatto che la sommadegli angoli interni di un triangolo sferico siamaggiore di π e non sia costante. Abbiamo no-tato che gli studenti in questo caso non hannonessuna difficoltà a comprendere la richiesta,ma che spesso forniscono come risultato le mi-sure in gradi degli angoli, mentre la domandafa esplicito riferimento ai radianti. Il quesito po-trebbe quindi rappresentare un’occasione perripassare il passaggio da un’unità di misura al-l’altra. La scelta di esprimere in radianti l’ecces-so sferico consente di avere un semplice legame

Somma delle misure degli angoli

Triangolo del caleidoscopio giallo 210º ovvero 7π/6Triangolo del caleidoscopio blu 195º ovvero 39π/36Triangolo del caleidoscopio rosso 186º ovvero 31π/30

Eccesso

Triangolo del caleidoscopio giallo π /6Triangolo del caleidoscopio blu π/12Triangolo del caleidoscopio rosso π/30


voro sul metodo più efficace per effettuare que-sto conteggio.

• L’area del triangolo colorato può essere ri-cavata da quella della sfera. Come?

Un semplice modo per ricavare l’area del trian-golo è quello di dividere la superficie della sferaper il numero dei triangoli sferici che la forma-no. Il procedimento è abbastanza intuitivo, perquesto sarebbe meglio lasciare che gli studentitrovino da soli la risposta, con i loro tempi. Po-trebbe tuttavia essere utile ricordare loro la for-mula per il calcolo dell’area della sfera, che co-munque servirà anche per affrontare le attivitàdella scheda C.

• Indicata con r la misura del raggio della sfe-ra, riportate qui sotto le misure delle areedei triangoli dei caleidoscopi.

• Confrontate la tabella con gli eccessi sferici equella con le aree dei triangoli sferici: che co-sa osservate? Provate a fare una congettura.

Con i dati delle tabelle precedenti, gli studenti


tra questa quantità e l’area del triangolo (seperò la classe non ha introdotto i radianti si puòportare avanti fino in fondo l’attività utilizzandoi gradi).

B4. UNA CONGETTURA: LA PROPORZIONALITÀ DIRETTA TRA L’AREA DI UN TRIANGOLO SFERICO E IL SUO ECCESSO SFERICOOsservate ancora la sfere sulle fotografie.

• Sapete calcolare il numero di triangoli in cuiè suddivisa ciascuna delle tre sfere? Ripor-tate il risultato qui sotto.

Gli studenti devono trovare una strategia per ri-spondere alla domanda, non potendo contare itriangoli uno per uno, anche nel caso in cui ab-biano già costruito le sfere in cartoncino. Con lefotografie a disposizione potrebbero ad esempioosservare la regolarità con cui i triangoli stessi siripetono sulle sfere. Ciò è suggerito anche dalleimmagini del poster, nelle quali a ciascuna delletre sfere sono associati poliedri sui quali il calco-lo richiesto risulta più agevole. Si potrebbe sti-molare una discussione tra i diversi gruppi di la-

Area del triangolo sferico

Triangolo del caleidoscopio giallo πr2/6Triangolo del caleidoscopio giallo πr2/12Triangolo del caleidoscopio rosso πr2/30

Numero di triangoli

Sfera col triangolo giallo 24Sfera col triangolo blu 48Sfera col triangolo rosso 120



generalmente non hanno difficoltà a fare la lorocongettura: area ed eccesso sferico sono diretta-mente proporzionali, con rapporto di proporzio-nalità r2 (se l’eccesso è stato calcolato in radian-ti). È importante sottolineare con gli studenti chela loro è solo un’ipotesi, dal momento che è stataverificata solo per pochi casi, che però potrannodimostrare svolgendo le attività proposte nellascheda C. L’insegnante può suggerire agli studen-ti di testare la validità della congettura su altritriangoli per i quali il calcolo degli angoli risultiagevole, ad esempio quelli che hanno per lati unennesimo di equatore e due semi meridiani checongiungono i suoi estremi al polo nord, comemostrato nella seguente figura.


La scheda verte sui triangoli sferici: sulla loroarea e su alcune semplici loro proprietà. In parti-colare, le prime attività che vengono propostepermettono di ricavare l’area di un triangolo sfe-rico in funzione dei suoi angoli. Ciò può costitui-re un importante spunto di riflessione sul fatto chenella geometria sferica cade il concetto di simili-tudine tra figure. La seconda parte dell’attivitàapprofondisce differenze e analogie tra piano esfera. L’attività è guidata passo passo per per-mettere agli studenti di raggiungere le proprieconclusioni in maniera autonoma. In particolarei quesiti della scheda cercano di far leva sulla co-noscenze che i ragazzi già possiedono riguardoalla geometria piana.

Per svolgere le attività gli studenti hanno a dispo-sizione le sfere di Lénárt: gli studenti sono quindiliberi di utilizzarle per rispondere alle domande,anche dove non esplicitamente richiesto, purchéciò non allunghi troppo i tempi.

C1. AREA DI UN TRIANGOLO SFERICOUn angolo sulla sfera corrisponde a uno spicchiosferico delimitato da due semicirconferenze dicirconferenze massime (si veda la scheda A).L’area di uno spicchio è proporzionale all’ango-lo di apertura.

Conoscendo la superficie della sfera di raggio re l’ampiezza α dell’angolo, è allora semplicecalcolare l’area di uno spicchio. Sapreste scrive-re qui sotto la formula?

Una semplice formula è la seguente: area dellospicchio = area della sfera x α/2π. I ragazzi po-trebbero arrivare alla risposta partendo dall’i-dea di suddividere l’area della sfera per il nume-ro di spicchi, il quale a sua volta si ricava divi-dendo 2π per l’ampiezza α dello spicchio. È fa-cile convincere i ragazzi della validità della for-mula nel caso in cui l’ampiezza dell’angolo siaun sottomultiplo di 2π o commensurabile con 2π.Questo procedimento richiede un paio di pas-saggi algebrici, è quindi importante che vengalasciato il tempo sufficiente per rispondere e chegli studenti non si scoraggino troppo presto. Lavalidità generale richiederebbe un passaggio allimite, sul quale tuttavia riteniamo opportuno nonsoffermarsi in questa sede.

Sempre nella scheda A abbiamo definito untriangolo sferico mediante l’intersezione di tre se-mipiani. In modo analogo, si può ottenere iltriangolo sferico ABC intersecando tre spicchi diampiezze rispettive α, β‚ e γ, come mostrato nel-le figure qui sotto.

S3

S2

S1

A

B

C

α

C. TRIANGOLI SFERICI: ALCUNE PROPRIETÀ




Scrivete qui sotto le aree dei doppi spicchi nume-rati rispettivamente con 1, 2 e 3.

Il calcolo è molto semplice, tanto più che con larisposta alla domanda precedente gli studentidovrebbero già avere dimestichezza con il cal-colo dell’area di uno spicchio. Va notato che quiè richiesta l’area di un doppio spicchio. Questesono le aree richieste:

Area di 1 A1 = 4αr2

Area di 2 A2 = 4βr2

Area di 3 A3 = 4γr2

• Osservate che l’unione di questi doppi spic-chi è l’intera sfera. È corretto allora dire chela somma delle loro aree è l’area della su-perficie sferica? Perché?

L’affermazione non è corretta perché l’intersezio-ne dei doppi spicchi a due a due non è vuota,anzi c’è una tripla sovrapposizione sui triangoliABC e A’B’C’. Questo è un punto delicato: ab-biamo notato che gli studenti inizialmente tendo-no a confondere unione con somma. È benequindi che venga lasciato loro tempo per riflette-re sulla questione.

• Sapete mettere in relazione la differenza trala somma di queste aree e l’area della su-perficie sferica con l’area del triangoloABC?

S3

S2

S1

A

B

Cβ

S3

S2

S1

A

B

Cγ

S3

S2

S1

A

B

C

α

C’

B’

A’

βγ


Dopo che i ragazzi hanno risposto alla doman-da precedente non è difficile rispondere a que-sta. Una possibile soluzione è la seguente:

A1 + A2 + A3 – area sfera = 4 x area ABC (il 4 deriva da un 2+2, nel senso che tanto iltriangolo ABC quanto il triangolo A’B’C’ sonocontati 3 volte in A1 +A2 +A3, quindi due voltedi troppo).

• Riuscite a dedurre una formula che esprimal’area del triangolo sferico ABC in termini delraggio della sfera e degli angoli α, β e γ?

Gli studenti possono utilizzare la formula ottenu-ta poco sopra e inserire all’interno le aree deidoppi spicchi precedentemente ricavate, ottenen-do in tal modo:

Area ABC = (4αr2 + 4βr2 + 4γr2 – 4πr2)/4 ==(α + β + γ – π)xr2.

Questa domanda fornisce uno spunto di riflessio-ne sulle differenze tra triangoli piani e triangolisferici: nel piano non esiste una formula per cal-colare l’area di un triangolo in funzione solo deisuoi angoli. Si potrebbe chiedere direttamenteagli studenti come mai non esista. Le attività suc-cessive permettono una riflessione più approfon-dita sul fatto che nella geometria sferica non esi-stono triangoli simili che non siano congruenti.

C2. CONFRONTO TRA PIANO E SFERAQuesta attività si propone di mettere in evidenzaalcune delle differenze fondamentali tra la geo-

metria dei triangoli sferici e quella dei triangolipiani.

Ricordate la definizione di triangolo isoscele nelpiano? E quella di triangolo equilatero?

Esistono due triangoli isosceli nel piano che nonsono congruenti? E che non sono simili? E nel ca-so di due triangoli equilateri?

Passiamo ora alla sfera.

• Come definireste un triangolo sferico isosce-le? E uno equilatero?

Come sottolineato in precedenza, in questa se-conda parte di attività la scheda guida gli stu-denti passo passo. È importante che essi arrivinoa notare che, a priori, nella definizione bisogne-rebbe distinguere tra lati uguali e angoli uguali.Ad ogni modo è fondamentale che si ricordinoquanto appreso nella scheda A, ovvero che i latidi un triangolo sferico sono archi di cerchi mas-simi. Uno degli errori più frequenti è infatti pro-prio quello di tracciare “triangoli” in cui uno deilati giaccia su un parallelo (diverso dall’equato-re): sarebbe come disegnare nel piano un trian-golo in cui uno dei lati è curvo. Nella figura alla pagina seguente è raffiguratoun triangolo equilatero, con angoli di 90° e latipari a un semimeridiano.

• Con i fili elastici o con il materiale a disposi-



sariamente angoli di ..... gradi. Che cosasuccede nel caso della sfera?

Non c’è un valore fisso per l’angolo. Si veda lascheda B.

Ricordando la relazione tra l’area e gli angoli diun triangolo sferico, sapreste dire quanto valel’area di un triangolo sferico equilatero con an-goli di ampiezza α?

Il calcolo è semplice e fornisce come risultato: (3α-π) r2.

• In base a questa formula, può esistere untriangolo sferico equilatero con angoli di 45gradi?

Un’osservazione: dovendo essere 3α-π>0, quin-di α>π/3, la risposta alla domanda è negativa,non possono esistere triangoli sferici equilatericon angoli di 45 gradi.L'insegnante potrebbe proporre agli studenti dipensare se vi sia o meno un valore minimo e unvalore massimo per i possibili angoli di un trian-golo sferico equilatero. Per quanto riguarda ilvalore minimo (o meglio l'estremo inferiore) laformula dell’area sopra riportata suggerisce larisposta, dal momento che l'area di un triangolodeve restare comunque positiva.Per quanto invece riguarda il valore massimo, bi-sognerà decidere insieme agli studenti che cosasi voglia intendere per “triangolo”. A priori infat-


zione per disegnare, tracciate sulla sfera al-cuni triangoli sferici isosceli ed equilateri.Esistono triangoli sferici con due angoli ret-ti? E con tre?

In genere, questa attività diverte gli studenti: po-ter disegnare triangoli sferici con due o con treangoli retti è un fatto inaspettato per chi è abi-tuato a lavorare con i triangoli piani. In questafase del laboratorio, l’insegnante, tempo permet-tendo, potrebbe chiedere agli studenti di raffigu-rare sulle sfere a disposizione un poligono chenon sia un triangolo (ad esempio un quadrato),lasciando così spazio alla loro creatività. Proprionella fase in cui i ragazzi si scontrano con le dif-ficoltà pratiche dell’utilizzo del materiale, essi siscontrano anche con le difficoltà concettuali de-gli argomenti: per realizzare un quadrato, adesempio, essi devono affrontare il problema didover decidere che cosa si debba intendere per“quadrato” sulla sfera, dal momento che la ri-chiesta più naturale (ovvero quella di un quadri-latero con quattro angoli retti e quattro lati ugua-li) non è realizzabile.

• Nel piano, il triangolo equilatero ha neces-



ti sulla sfera i tre lati di un triangolo delimitanodue regioni complementari: entrambe potrebbe-ro essere chiamate “triangolo”. Se si segue peròla convenzione di limitarsi a considerare trian-goli contenuti in una mezza sfera, il massimo del-l'area (e quindi dell'angolo al vertice) di un trian-golo equilatero è raggiunto quando tutti e tre ivertici stanno su una circonferenza massima. Iltriangolo diviene un emisfero e gli angoli al ver-tice piatti.


D. RETTE SULLA SFERA: ALCUNE DIMOSTRAZIONI


I contenuti della scheda riguardano alcune pro-prietà delle rette sulla sfera, affrontate in paral-lelo con le analoghe proprietà nel piano.L’attività che viene qui proposta è differente daquella delle altre schede: si chiede agli studentidi dare alcune dimostrazioni di semplici pro-prietà geometriche. Se da un lato le richiestepossono sembrare complicate (gli alunni spessonon hanno molta familiarità con le “dimostra-zioni”), dall’altro stimolano notevolmente lacreatività degli studenti. Accanto a ragazzi chegettano la spugna a un passo dalle risposte, cene sono stati altri che sono giunti a risposte ori-ginali e corrette. Per questo motivo suggeriamodi proporre ai ragazzi le attività di questa sche-da, che comunque consigliamo di svolgere altermine del percorso di laboratorio. In partico-lare i docenti che hanno intenzione di far af-frontare agli studenti lo studio delle geometrienon euclidee, potrebbero utilizzare questa sche-da come introduzione a tale argomento. Un sug-gerimento che teniamo a dare è quello di nonindirizzare gli studenti verso la dimostrazioneche abbiamo in mente: in questa attività, ancoradi più che nelle altre, ciò potrebbe indurli a ri-nunciare a ragionare con la loro testa.

Gli archi di circonferenza massima svolgono unruolo “analogo” sulla sfera di quello svolto daisegmenti di linea retta sul piano (si veda schedaA).Per tale motivo, chiameremo “rette” sulla sfera lecirconferenze massime.

Proviamo a seguire in parallelo le proprietà dipunti e rette sul piano e sulla sfera.Sul piano, dati due punti esiste una ed una solaretta che li congiunge. Come si modifica questaaffermazione sulla sfera?

Se i due punti non sono antipodali, esiste una euna sola retta che li congiunge, come mostratonella figura sottostante, altrimenti ne esistono in-finite. Spesso gli studenti tendono a dare risposteincomplete, dimenticando di considerare i puntiantipodali. Bisogna quindi invitarli a riflettere an-che su questi e ciò vale anche per i quesiti suc-cessivi.

Sapete dimostrarlo?

Scriviamo qui una proposta di soluzione. I due punti (se non antipodali) e il centro dellasfera sono 3 punti non allineati, quindi indivi-duano un unico piano che taglia la sfera in uncerchio massimo.



Sul piano, data una retta ed un punto fuori di es-sa, esiste una ed una sola retta parallela alla ret-ta data (ovvero che non la interseca) e passanteper il punto assegnato. Come si modifica questaaffermazione sulla sfera?

Sulla sfera tutte le rette si intersecano in due pun-ti antipodali.

Sapete dimostrarlo?

Scriviamo qui una proposta di soluzione. Due cerchi massimi si intersecano sempre, infattiessi sono tagliati sulla sfera da piani che, pas-sando per il centro della sfera, non sono paralle-li e quindi hanno una retta in comune. La rettataglia la circonferenza in due punti (antipodali)comuni ai due cerchi massimi.

Sul piano, data una retta ed un punto, esiste unaed una sola retta perpendicolare alla retta data(ovvero che forma con essa quattro angoli con-

gruenti) e passante per il punto assegnato. Comesi modifica questa affermazione sulla sfera?

Se retta e punto non sono del tipo polo-equatore,per il punto passa una ed una sola retta perpen-dicolare a quella data, altrimenti ne passano in-finite.

Sapete dimostrarlo?

Scriviamo qui una proposta di soluzione. La retta sulla sfera è una circonferenza massimae individua quindi un piano π passante per ilcentro della sfera. Se la coppia (punto, “retta”)non è del tipo (polo, equatore), la retta dello spa-zio che passa per il centro della sfera ed è orto-gonale al piano π non contiene il punto e, insie-me ad esso, individua il piano che taglia la sferanella “retta” cercata.

Sul piano le rette hanno lunghezza infinita. E sul-la sfera?



Sono tutte di lunghezza finita e uguale tra loro.

Sul piano, dati due punti, esistono infinite rettepassanti per uno di essi e non passanti per l’al-tro. E sulla sfera?

Se i due punti non sono antipodali, esistono infi-nite rette passanti per l’uno ma non per l’altro, sei due punti sono antipodali ogni retta passanteper l’uno passa anche per l’altro.


B. CALEIDOSCOPI E TRIANGOLI SFERICI

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