Luisa Lucchini Maria Teresa Rossi

PUNTI NODALI DELLA

SPERIMENTAZIONE

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Proporre alle classi l’analisi di una situazione di una certa complessità,

tale da indurre curiosità e voglia di mettersi in gioco

Promuovere la ricerca attiva,

lasciando autonomia agli alunni

Stimolare la costruzione del pensiero matematico

attraverso l’attivazione di processi di apprendimento

Favorire l’interazione tra pari

COLLABORARE TRAMITE BLOG

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LO STIMOLO INIZIALE

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Agli studenti viene chiesto di osservare attentamente il reticolo disegnato all’interno del

quadrato e di ipotizzare come realizzare le linee di cui è composto piegando opportunamente

un foglio di carta.

Si raccolgono le varie proposte, si confrontano, si discutono.

Lo scopo è quello di abituare gli alunni a progettare strategie prima di passare all’azione.

Si realizzano i procedimenti immaginati, soffermandosi su quelli che richiedono il numero

minimo e massimo di piegature.

Lo scopo è di porre attenzione ai casi limite entro cui un fenomeno può fluttuare.

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Lavorando sulle piegature si riflette sulle simmetrie assiali utilizzando temini specifici in un

contesto significativo, passando così dall’intuizione all’azione e infine alla formalizzazione.

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Inizialmente si stimola la ricerca dei triangoli rettangoli isosceli, che sono le figure visibili

durante le successive piegature del quadrato.

Si mette in relazione ciascun triangolo con il quadrato iniziale, sollecitando gli alunni con

domande quali: “Quale frazione del quadrato iniziale rappresentano i diversi triangoli

ottenuti?”

Si conviene di raccogliere i risultati in una tabella, allo scopo di fissare maggiormente

l’attenzione, non disperdere i contributi e acquisire familiarità con uno strumento

indispensabile nell’analisi di un fenomeno.

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Asmaa

Numero delle piegature

Numero dei triangoli che si delineano sul quadrato iniziale

Rapporto tra l’area del triangolo ottenuto e l’area del quadrato iniziale

1 2 2

1

2 4 4

1

3 8 8

1

4 16 16

1

5 32 32

1

6 64 64

1

Viene constatato che, proseguendo nel lavoro, la piegatura della carta diventa sempre più

difficile, quasi impossibile, ma in astratto è possibile continuare indefinitamente il lavoro.

Queste riflessioni permettono di consolidare il concetto di divisione attraverso l’azione del

dividere e consentono un approccio al concetto di infinito che tanto interesse genera nei

ragazzi.

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Numero delle piegature

Numero dei triangoli che si delineano sul quadrato iniziale

Rapporto tra l’area del triangolo ottenuto e l’area del quadrato iniziale

1 2 = 12 2

1 = 1

2

1

2 4 = 22

4

1 = 2

2

1

3 8 = 32

8

1 = 3

2

1

4 16 = 42

16

1 = 4

2

1

5 32 = 52

32

1 = 5

2

1

6 64 = 62

64

1 = 6

2

1

…. …. ….

10 1024 = 2 10

1024

1 = 10

2

1

Si scopre che ogni piegatura in più fa raddoppiare il numero dei triangoli che si delineano e fa

dimezzare la loro area. Si arriva così ad una interessante generalizzazione riportata nella

tabella

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Si passa a ricercare le diverse tipologie di poligoni soffermandosi in particolare sui quadrilateri

presenti nel reticolo, chiedendo di individuare quelli di area minima e area massima e si

discute sul perché alcune tipologie di quadrilateri non possono essere presenti.

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Lapo, Laura, Sara, Stefano

Si propone poi di costruire figure di assegnata forma e assegnato rapporto fra le superfici per

far sperimentare il percorso inverso. Si offre in tal modo lo spunto per riflettere sul concetto di

rapporto quale confronto fra grandezze.

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Si focalizza l’attenzione sullo stidio dei quadrati chiedendo di individuare quanti ce ne sono di

diverse dimensioni

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Benedetta

Si pone l’attenzione sui quadrati concentrici , chiedendo: “ Qual è il numero maggiore di

quadrati concentrici che si possono disegnare seguendo le linee del reticolo? “

Si attribuisce all'area del quadrato più grande il valore di 1 e si ricercano i valori delle aree

degli altri quadrati progressivamente più piccoli. Si immagina di continuare la sequenza oltre i

quadrati disegnati sul reticolo.

I valori delle aree vengono riepilogati in una tabella

11/05/2014 13Elena Sofia, Elettra, Laura, Matilde, Matteo, Tommaso B.

I numeri che esprimono le aree sono espressi in diverse modalità con lo scopo di fare acquisire

l’equivalenza delle varie forme di scrittura e familiarità nel passare dall’una all’altra.

L’osservazione dei valori della tabella conduce al processo di generalizzazione.

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“Se attribuisci all’area del quadrato più piccolo il valore di 1 unità, quali valori assumono gli

altri quadrati della successione?”

Si osserva che Il fattore costante di ingrandimento delle aree è 2 e che tutte le aree sono quindi

esprimibili come potenze di 2, inclusa la prima che si associa al quadrato di posizione 0.

Ciò permette una riflessione in un contesto reale sulle potenze con esponente 0, che

rappresentano uno degli elementi di criticità che frequentemente si riscontra.

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��

Se indichiamo con la lettera x l’esponente di 2, l’area y può essere espressa con la formula

��.

Si può costruire il grafico della successione delle aree dei quadrati.

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Giulia

Mattia

La curva esprime l’accrescimento esponenziale delle aree.

Si prendono ora in considerazione i perimetri dei quadrati per esprimere i quali sorge la

necessità di individuare l’unità di misura lineare, che motiva la ricerca della relazione tra

cateto e ipotenusa. Attraverso il disegno e la misura si stima che il rapporto tra ipotenusa e

cateto sia 3/2; utilizzando la formula inversa dell’area del quadrato, tale rapporto viene

precisato in � .

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I numeri che esprimono le misure dei lati dei quadrati sono espresse in diverse modalità con lo

scopo di fare acquisire l’equivalenza delle varie forme di scrittura e familiarità nel passare

dall’una all’altraL’osservazione dei valori dela tabella conduce al processo di generalizzazione.

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Abbiamo ora la possibilità di descrivere in altro modo come ottenere i quadrati concentrici del

reticolo attraverso la composizione di omotetie di rapporto e successive rotazioni di 45° a

partire dal quadrato più interno e intorno al suo centro

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Domenico e Matteo

Si disegnano nel reticolo esteso i rettangoli concentrici con lati paralleli alle diagonali; si ha in

tal modo la modellizzazione di alcuni tra i possibili rettangoli realizzabili con uno spago teso fra

pollice e indice. Si intuisce l’isoperimetria, trovandone poi conferma sperimentale e la

congruenza con il doppio della diagonale. Si analizzano i casi limite della variazione della

superfici corrispondenti ai valori di area massima e minima e si focalizza l’attenzione sul fatto

che alla costanza del perimetro si associa la variazione dell’area.

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Francesco

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TANGRAM

Si lavora ancora sull’isoperimetria e sull’equiestensione. L’area dei 7 TAN viene calcolata

scegliendo il triangolino rettangolo isoscele come unità di misura di superficie e il loro

perimetro viene calcolato scegliendo il cateto del triangolino isoscele rettangolo

Giulia

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Sara

Con opportune isometrie i sette tan ricompongono l’immagine in figura.

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Si chiede di isolare dal reticolo un quadrato formato da 8 triangolini e di ipotizzare in quanti

modi diversi si possono disporre i triangoli al suo interno.

Si passa a verificare l’ipotesi realizzando il disegno

Si ricerca un procedimento teorico che permetta di individuare il numero delle possibili

disposizioni senza realizzare i disegni.

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Elena Sofia, Elettra, Francesco, Marina

Si osserva che gli otto triangolini si dispongono a due a due all’interno dei quadrati A,B,C,D in

due diverse modalità a cui viene associato il valore 0 e 1. Le possibili disposizioni vengono

individuate scrivendo tutti i numeri del sistema binario da 0000 e 1111 in ordine crescente,

sono quindi ��= 16

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Francesco C.

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Si chiede di isolare dal reticolo un quadrato formato da 16 e poi 32 triangolini e di ipotizzare in

quanti modi diversi si possono disporre i triangoli al loro interno.

Si nota che nel quadrato formato da 16 triangolini quest’ultimi non si dispongono a due a due a

formare 8 quadrati congruenti, bensì 4 più 8 triangoli disposti sempre in un'unica modalità, per

cui le dispozioni sono di nuovo 16 (2�) e non 256 (2� )

Nel quadrato formato da 32 le disposizioni sono 2�

A partire dall’elemento modulare rappresentato dal triangolo isoscele rettangolo più piccolo

l’indagine si è estesa all’interpretazione di una successione di figure che proprio

quell’elemento utilizza, chiedendo agli alunni di scoprirne la regola che la genera

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Tommaso B.

Piegando il foglio quadrato eslusivamente lungo le linee del reticolo, senza ricorrere al taglio

della carta, sono stati realizzati cubi e parallelepipedidi

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Jincheng, Chiara, Matilde, Marco, Lorenzo, Matteo, Andrea, Ilaria

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Rapporti fra le superfici dei solidi e quella del reticolo

La superficie del parallelelepipedo è

�e quella del cubo è

�

�di quella del reticolo

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Riprodurre il reticolo

Analizzare le parti che lo compongono

Mettere in relazione ciascuna parte con le altre

Avanzare strategie risolutive ai problemi posti

Produrre astrazioni, formalizzazioni e generalizzazioni

Processi attivati

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Porsi problemi

Utilizzare conoscenze afferenti a temi diversi

Verificare le intuizioni

Sostenere le proprie ragioni ponendo attenzione al linguaggio

Giungere

a modelli condivisi

Attivare processi in un ambiente cooperativo genera competenze

Collaborare a distanza tramite blog

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PER LE INSEGNANTI:

Stimolo al confronto, opportunità di condivisione e di arricchimento professionale

PER LE CLASSI:

Occasione per aprirsi all’esterno sentendosi parte di una comunità educante più ampia

PER I SINGOLI ALUNNI:

Opportunità di collaborazione , stimolo ad impegnarsi, possibilità di avvalersi delle indagini prodotte dall’altra classe, arricchimento disciplinare e personale

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Andrea

Benedetta

Chiara

Elena Sofia

Elettra

Francesco C.

Giorgio

Ilaria

Irene

Jincheng

Lapo

Laura

Lorenzo

Marco M.

Marina

Martina

Matilde

Matteo P.

Sara C.

Stefano

Tommaso B.

Tommaso L.

Alessia M

Alessia P.

Asmaa

Camilla

Carolina

Deivid

Domenico

Federica

Francesco

Giorgia

Giulia

Hind

Ylenia

Marco

Marianeve

Manuele

Matteo B.

Matteo M.

Mattia C.

Mattia R.

Mattia S.

Renzo

Sara

Simone

Vincenta

Alunni coinvolti nella sperimentazione

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