Sull’apprendimento -...

Sull’apprendimento..............................................................................................................................2

Sulla definizione ..................................................................................................................................6

Sulla dimostrazione..............................................................................................................................8

Sull’infinito ........................................................................................................................................13

Sulla matematica ................................................................................................................................16

Sui matematici....................................................................................................................................23

Su Matematica e Scienze ...................................................................................................................26

Sulla mistica.......................................................................................................................................29

Sui simboli .........................................................................................................................................31

Dalla letteratura..................................................................................................................................34

Sull’apprendimento

Il fanciullo apprende solo ciò che impara attraverso la sua attività [...] non apprende

nulla da parole avulse da un significato reale [...] l'istruzione impartita in ciascun parti-

colare momento del processo evolutivo deve rispondere ai bisogni del fanciullo

Irving Adler, Matematica e sviluppo mentale

Quando insegniamo ai nostri studenti a usare una formula, li rendiamo dipendenti da

quella formula. Se invece insegniamo senza usare formule, sviluppiamo nei nostri stu-

denti l'abilità a creare le cose da soli.

C. Adwards

La matematica non è una marcia lungo una strada spaziosa ed asfaltata, ma un viaggio

in un regno selvaggio, dove spesso gli esploratori si perdono. Il rigore dovrebbe essere

un segnale per gli storici che le mappe sono state fatte, ma gli esploratori sono andati

da tutt’altra parte.

W.S. Anglin

In due occasioni mi è stato chiesto [da membri del Parlamento] 'Scusi Mr. Babbage, se

mettiamo dentro la macchina dati errati, otterremo risposte corrette?' Non sono in gra-

do di spiegarvi la confusione di idee che può provocare una tale domanda.

C. Babbage

Una cosa è matematicamente ovvia solo dopo che l’hai capita.

R.D. Carmichael

L’insegnamento di tale disciplina [la matematica] ha talvolta degenerato in vuota eser-

citazione nella risoluzione di problemi, il che può sviluppare un’abilità formale, ma non

conduce ad una reale comprensione dei vari argomenti né accresce l’indipendenza in-

tellettuale.

R. Courant, H. Robbins, Che cos è la matematica?

Non esiste un rigore assoluto, esiste un progresso del concetto di rigore ed esiste un

rigore moderno cioè alla moda.

Modesto Dedò, 1986

Spero che i posteri mi giudichino non solo per le cose che ho spiegato, ma anche per

quelle che ho intenzionalmente omesso, così da lasciare ad altri il piacere della loro

scoperta.

R. Descartes, La geometrie, 1637

Io seguo le seguenti quattro regole [...] La prima è di non accettare nulla per vero se

non ho sufficiente conoscenza del fatto; [...] la seconda è di dividere ogni problema che

ho esaminato in tanta piccole parti quanto risulta possibile per ottenere la migliore so-

luzione; La terza è di dirigere i miei pensieri in modo ordinato, cominciando con gli og-

getti più semplici, quelli che si conoscono in modo più immediato, salendo poco a poco,

per raggiungere la conoscenza del fatto più complesso [...] l'ultima consiste nell'enu-

merare in modo completo e generale in modo da essere sicuro di non avere trascurato

nulla.

R. Descartes, Discours de la Méthode, 1637

Tutti i grandi matematici che hanno parlato delle loro ricerche hanno voluto insistere

sulla funzione che vi ha quella che in generale chiamano l' "intuizione". Il fatto può ap-

parire strano ai non iniziati; se si apre un libro di matematica di oggi, si vedono soltanto

centinaia di lemmi, formule, teoremi, corollari collegati tra loro in modo complicato se-

condo regole logiche implacabili

J. Dieudonné, L'arte dei numeri

Io dico di avere capito un'equazione quando sono in grado di predire le proprietà delle

sue soluzioni senza effettivamente risolverla.

P. Dirac

Insanità è fare e rifare la stessa cosa aspettandosi che succeda qualcosa di diverso.

A. Einstein

Se un difetto può trovarsi talvolta, nei riguardi didattici, è soltanto che l'esposizione

perfetta lascia meno allo sforzo dell'allievo, o che il rigore logico nasconde in parte la

genesi delle idee. Anche l'esatta formulazione delle restrizioni che si richiedono nell'e-

nunciato dei teoremi, può togliere la veduta della genesi delle idee, e perfino l'intelli-

genza del loro valore.

F. Enriques Le matematiche nella storia e nella cultura

Se si guarda al concetti di area da Euclide ad Archimede, da Newton a Leibniz a

Cauchy ed a Lebesgue, ci si accorge che l’evoluzione di tale concetto è stata sempre

condizionata dai metodi a disposizione del matematico per «calcolare» un’area: metodi

via via più nuovi ed efficaci hanno modificato la definizione dell’area di una regione

piana, in guisa tale che il calcolo di essa fosse perseguibile con i procedimenti sempre

più potenti e generali escogitati dai matematici. Domani, quando per calcolare un’area

sarà molto più rapido e conveniente usare un «metodo Montecarlo» anziché, ad esem-

pio, calcolare un integrale, la definizione di area sarà sempre quella di Peano – Jordan

(o anche di Lebesgue) o no, piuttosto, quella che può darsi mediante un’interpretazione

probabilistica del concetto di area?

G. Fichera, Il calcolo infinitesimale alle soglie del duemila, 1993

La matematica non è una scienza deduttiva, questo è un cliché. Quando si dimostra un

teorema non si scrivono le ipotesi e poi si comincia a ragionare. Ciò che si fa è trial and

error, esperimenti, andare a indovinare.

Halmos I want to be a Mathematician,1985

Il reale pericolo non è che i computers comincino a pensare come gli uomini, ma che gli

uomini comincino a pensare come computers.

S. Harris

Uno dei più grandi errori che riguardano la matematica insegnata nelle classi è che

l’insegnante mostra di conoscere la risposta ad ogni problema che viene trattato. Que-

sto dà allo studente l’idea che esiste un libro da qualche parte con tutte le risposte e-

satte per ogni domanda interessante, e che tutti gli insegnanti conoscono queste ri-

sposte. Così se uno potesse ottenere il libro, ogni cosa sarebbe bella e sistemata. Ciò è

del tutto contrario alla vera natura della matematica.

L. Henkin

La presentazione della matematica nelle scuole dovrebbe essere psicologica e siste-

matica. l'insegnante dovrebbe essere diplomatico. Dovrebbe tenere conto dei processi

psichici del ragazzo per capirne gli interessi, quindi dovrebbe presentare le cose in una

forma intuitivamente comprensibile. La presentazione astratta è possibile solo nelle

classi superiori.

F. Klein

Nulla è più importante che vedere le origini delle invenzioni il che, a mio parere, è molto

più interessante delle stesse invenzioni.

G. W. Leibniz

Il professore di matematica tradizionale ha la testa fra le nuvole. Di solito si presenta in

pubblico con un ombrello in ciascuna mano. Preferisce rivolgersi alla lavagna, volgendo

le spalle alla classe-. Scrive a, dice b, intende c, ma dovrebbe essere d.

G. Polya, How to solve it

Perfino gli studenti più bravi una volta che hanno ottenuto la soluzione del problema, la

scrivono sul quaderno, chiudono il libro e fanno qualcos'altro. Nel fare ciò tralasciano

una fase importante e istruttiva del lavoro... Un buon insegnante dovrebbe far capire ai

suoi studenti che nessun problema è mai completamente esaurito.

G. Polya, How to solve it

Uno dei primi doveri dell'insegnante è di non dare l'impressione, ai propri allievi, che i

problemi matematici abbiano scarse connessioni con il resto e nessuna connessione

con nient'altro. Abbiamo un'opportunità naturale di investigare le connessioni di un

problema guardando le sue soluzioni.

G. Polya, La scoperta matematica

Una GRANDE scoperta risolve un grande problema, ma c'è un granello di scoperta nella

soluzione di ogni problema. Il nostro problema potrebbe essere modesto, ma se sfida la

nostra curiosità e mette in gioco le nostre facoltà inventive, e se lo risolviamo da soli,

possiamo sperimentare la tensione, la gioia e il trionfo della scoperta.


La prima regola della scoperta è avere cervello e fortuna. La seconda regola è sedersi e

aspettare che arrivi una buona idea.


Sì, la soluzione sembra funzionare, sembra corretta, ma com'è possibile inventare una

tale soluzione? [...] come può la gente scoprire questi fatti?

G. Polya How to solve it

Alcuni studenti non sono per niente disturbati dal trovare che una barca è lunga 16130

piedi e l'età del capitano è 8 anni e 2 mesi, pur sapendo che questi è un nonno. Tale

trascuratezza dell'ovvio non significa necessariamente stupidità, quanto piuttosto indif-

ferenza verso i problemi artificiosi.

G. Polya How to solve it

L'insegnamento ha ovviamente molto in comune con l'arte teatrale. Per esempio, dove-

te presentare alla vostra classe una dimostrazione che conoscete alla perfezione, a-

vendo la già presentata una quantità di volte negli anni precedenti nel medesimo corso.

Certamente non potete essere eccitato per questa dimostrazione ma, per favore, non

fatelo capire alla scolaresca; se avete l'aria annoiata, tutta la scolaresca sarà annoia-

ta. Fingete di essere eccitato per la dimostrazione quando la incominciate, fingete di

avere delle idee brillanti mentre la svolgete, fingete di essere sorpreso e sollevato

quando la dimostrazione ha termine. Dovreste recitare un po' per il bene dei vostri stu-

denti che, ogni tanto, possono imparare di più dai vostri atteggiamenti che dall'argo-

mento presentato.

G. Polya La scoperta matematica

Se siete familiare col campo al quale appartiene il problema, ne conoscete i "fatti chia-

ve", i fatti che avete avuto maggiori opportunità di usare. Teneteli pronti come fa un

bravo operaio che tiene pronti i suoi attrezzi preferiti, in modo da averli a portata di

mano.

G. Polya La scoperta matematica

[il rigore] serve ad evitare ambiguità e fraintendimenti. Si pensi per es. all'importanza di

dare definizioni corrette ed esaurienti degli enti che si considerano, per sapere con si-

curezza e precisione di cosa si parla.

V. Villani, Perché la matematica è difficile

La precisione terminologica ed il rigore logico devono essere conquistati dagli allievi a

poco a poco, con estrema gradualità, non imposti d'autorità quando ancora gli allievi

non ne avvertono la necessità.

V. Villani, Perché la matematica è difficile

Due regole d'oro per ogni insegnante:

I. Non sopravvalutate la stupidità del vostro uditorio

II. Insistete su ciò che è ovvio e sorvolate su ciò che è essenziale

E. Zermelo

Sulla definizione

Dal nulla ho creato un nuovo e strano universo. [Riferimento alla creazione di una geo-

metria non euclidea]

J. Bolyai

Per aggregato (menge) intendiamo ogni collezione in un tutto (Zusammenfassung zu

zeinem Ganzen) M di oggetti definiti e separati m della nostra intuizione o del nostro

pensiero.

G. Cantor, Contributo al fondamento della teoria dei numeri transfiniti (1895-7)

Chiameremo con il nome "potenza" o "numero cardinale" di M il concetto generale che,

mediante la nostra attiva facoltà di pensiero, sorge dall'aggregato M quando facciamo

astrazione delle natura dei suoi vari elementi m e dell'ordine in cui sono dati.

G. Cantor, Contributo al fondamento della teoria dei numeri transfiniti (1895-7)

Chiameremo definizione possibile di un simbolo ogni eguaglianza fra codesto simbolo e

una scrittura priva di variabili effettive, in cui quel simbolo non sia adoperato.[...] Chia-

meremo invece definizione possibile di una scrittura composta di un simbolo e di qual-

che variabile effettiva ogni eguaglianza fra codesta scrittura e una scrittura in cui si

trovino le medesime variabili effettive e in cui quel simbolo non sia adoperato o sia u-

sato diversamente. [...] Se una proposizione di un trattato è una definizione possibile,

l'autore può assumerla come definizione attuale, purché se la scrittura definita è un

simbolo (isolato), esso non si trovi in alcuna proposizione precedente del trattato stes-

so; Se la scrittura definita è composta di un simbolo e di qualche variabile effettiva,

quel simbolo non si trovi in alcuna proposizione precedente del trattato stesso o ci si

trovi usato diversamente.

A. Padoa, Articolo Logica in Enciclop. matemat. elem., Hoepli

Ogni definizione ha la forma: definito = definiente,ove il definito è un nuovo segno, o pa-

rola o frase o proposizione, ed il definiente è un'espressione composta con segni noti.

La definizione esprime la convenzione diusare il definito invece del definiente più lungo.

G. Peano, Le definizioni in matematica

In matematica tutte le definizioni sono nominali


Alcuni logici affermano che si deve solo definire cose esistenti. fra essi lo Stuart Mill,

che partendo dalla definizione di cosa non esistente, e supponendola esistente, arriva a

risultato assurdo. Ma l'assurdo deriva dal supporre esistente ciò che si è definito, non

già dall'aver definito cosa non esistente.


Le definizioni sono utili, ma non necessarie, poiché al posto del definito si può sempre

sostituire il definiente, e perciò eliminare da tutta la teoria il definito. Questa elimina-

zione è cosa molto importante. Se eliminando il simbolo definito, la nuova esposizione

non è più lunga e più complicata della precedente, ciò significa che quella definizione

era poco utile. Se si trovano difficoltà nell'eliminazione, ciò prova che la definizione non

fu ben data; anzi questo metodo della sostituzione è ottimo per riconoscere l'esattezza

d'una definizione.


Il rigore matematico è molto semplice. Esso sta nell'affermare tutte cose vere, e nel

non affermare cose che sappiamo non vere. Non sta nell'affermare tutte le verità possi-

bili. [...] Quindi per essere rigorosi, non è necessario di definire tutti gli enti che consi-

deriamo. In primo luogo non si può tutto definire. [..] E anche dove si può definire, non è

sempre utile il farlo.

G. Peano, Sui fondamenti dell'Analisi

... la definizione in matematica, non significa, come in filosofia, un'analisi dell'idea da

definirsi nelle idee costituenti. Questa nozione, in ogni caso, si può applicare solo a

concetti, mentre in matematica è possibile definire termini che non sono concetti. [...]

Una definizione matematica consiste nell'indicare una certa relazione per un certo ter-

mine, valida solo per quel termine: questo termine allora si definisce con la relazione

stabilita ed il termine stabilito.

B. Russell, I principi della matematica

«[Le definizioni sono] convenzioni che stabiliscono quale significato vada attribuito ad

un’espressione che fino a quel momento non si era mai presentata in una data discipli-

na e che non sia immediatamente comprensibile

A. Tarski, Introduzione alla logica

Perché una definizione soddisfi pienamente al suo compito, nella sua formulazione si

devono osservare certe misure precauzionali. A questo scopo vengono date speciali re-

gole, le cosiddette REGOLE DI DEFINIZIONE, che specificano come debbano corretta-

mente essere costruite le definizioni. Poiché noi qui non esamineremo un’esatta formu-

lazione di queste regole, può essere sufficiente notare che, in base ad esse, ogni defi-

nizione può assumere la forma di un’equivalenza; il lato sinistro di questa, il DEFINIEN-

DUM, può essere una breve funzione enunciativa, grammaticalmente semplice, conte-

nente la costante che deve essere definita; il lato destro, il DEFINIENS, può essere una

funzione enunciativa di una struttura arbitraria, contenente comunque, solo costanti il

cui significato sia immediatamente ovvio, o sia stato spiegato precedentemente. In

particolare, la costante da definirsi o qualsiasi espressione precedentemente definita

col suo aiuto, non deve occorrere nel definiens; altrimenti la definizione non è corretta,

contiene un errore noto come un CIRCOLO VIZIOSO NELLA DEFINIZIONE.


Sulla dimostrazione

Se trascuriamo i casi più semplici in tutta la matematica non c'è una sola serie infinita

di cui abbiamo determinato rigorosamente la somma. In altre parole la parte più impor-

tante della matematica è senza fondazione.

N. Abel

Si può arrivare addirittura a seguire un argomento deduttivo passo passo [finendo] per

non riconoscere che cosa è stato dimostrato"

I. Adler Matematica e sviluppo mentale

Non tutta la matematica è formale e deduttiva e, in primo luogo, la scoperta matemati-

ca non è deduttiva.

I. Adler, Matematica e sviluppo mentale

Non importa quanto appaia corretto un teorema, non si dovrebbe mai essere soddisfatti

finché non si ha l'impressione che esso sia bello.

G. Boole

Questa geometria pratica [degli Egizi] difficilmente può chiamarsi scienza. Invano cer-

chiamo teoremi e dimostrazioni, o un sistema logico basato su assiomi e postulati. [...]

La mente speculativa dei Greci subito trascendeva questioni riguardanti semplicemen-

te i bisogni pratici della vita quotidiana; essi si interessavano alle relazioni ideali delle

cose, e si dedicavano allo studio della scienza come scienza. Per questo motivo la ge-

ometria Greca sarà sempre ammirata, al di là dei suoi limiti e difetti.

F. Cajori, A history of elementary mathematics

È ormai sicuramente provato che l'assiomatica di Euclide non risponde più alle nostre

esigenze logiche [...] si sa che Hilbert ha sfrondato e completato l'assiomatica di Eucli-

de per farne un sistema logicamente soddisfacente. [...] L'assiomatica di Euclide-

Hilbert è fondata sulle nozioni di lunghezza, d'angolo, di triangolo. Essa nasconde a tal

punto la struttura vettoriale dello spazio che per molti secoli è rimasta ignorata la no-

zione di vettore.

G. Choquet, L'insegnamento della geometria

Ogni problema che ho risolto è diventata una regola che mi è servita in seguito per ri-

solvere altri problemi.

R. Descartes, Discorso sul metodo, 1637

In matematica tutti i risultati sono "veri" nel senso che sono stati dimostrati seguendo

le regole logiche che si sono ammesse [...] un'affermazione non dimostrata non fa parte

della matematica


Questo risultato è troppo bello per esser falso; è più importante che vi sia bellezza in

un'equazione che non che essa sia in accordo con gli esperimenti.

P. Dirac

La dimostrazione è l'idolo dinanzi al quale il matematico tortura se stesso.

S.A. Eddington

Nella geometria elementare generalmente pensiamo allo spazio come consistente di in-

finiti unti. Ci avviciniamo molto al significato fisico di spazio se pensiamo a esso come

una rete di distanze. Ma questo non ci porta molto in là, perché abbiamo visto che è so-

lo il rapporto di distanze che entra nell'esperienza fisica. Perché uno spazio possa cor-

rispondere ad una realtà fisica deve essere capace di essere costituito da rapporti di

distanze. La geometria pura non è limitata da tali considerazioni, e liberamente inventa

spazi consistenti solo di punti senza distanze, o spazi formati di distanze assolute.

A. S. Eddington, Le costanti della natura

Per la geometria, [...] in quanto essa è fondata sull'intuizione, non ci domanderemo se i

postulati sono compatibili, purché essi siano intuitivamente evidenti.

F. Enriques, L'evoluzione delle idee geometriche nel pensiero greco

La logica dei Greci suppone un ingenuo realismo per cui il pensiero appare come la co-

pia o la visione di una natura esterna. Così il "numero" dei pitagorici e lo "spazio conti-

nuo" degli eleati, sono pensati in concreto, a imitazione di quella sostanza cosmica che

viene figurata costituire il sostrato naturale di tutte le cose.

F. Enriques, Per la storia della logica

[nella logica dei greci si trova] il criterio che la deduzione logica debba tener presenti,

non soltanto le premesse esplicitamente enunciate come assiomi o postulati, bensì an-

che il significato dei termini su cui si ragiona, vedendo, attraverso di essi,quella realtà

(geometrica ecc.) che è oggetto del pensiero. Ma ciò significa autorizzare nel ragiona-

mento inconfessati appelli all'intuizione, che, se dichiarati, si tradurrebbero in nuovi

assiomi. Ora se l'intuizione (o visione del significato) rimane sempre presupposta nel

ragionamento, quando mai potremo assicurarci che gli assiomi formino un sistema

completo?

F. Enriques, Per la storia della logica

Io uso la parola dimostrazione non nel senso dell'avvocato che pone due mezze dimo-

strazioni uguali a una, ma nel senso del matematico per il quale mezza dimostrazione

vale zero, nelle dimostrazioni non devono esistere dubbi.

K. F. Gauss

L'idea di basare tutti gli sviluppi possibili di una teoria su un insieme ben delimitato di

nozioni e di principi è senza dubbio essenziale ad ogni pensiero speculativo; ma è pro-

prio la matematica che ha dato e dà ancora oggi a tale idea il suo senso più compiuto.

G. G. Granger, voce Matematiche in Enciclopedia Einaudi

La "serietà" di un teorema matematico non dipende dalle sue applicazioni pratiche, che

di solito sono irrilevanti, ma dalla significatività delle idee matematiche che esso mette

in relazione. In termini approssimativi si può dire che un'idea matematica è "significati-

va" se la si può collegare in modo naturale e illuminante a una vasta rete di altre idee

matematiche. Perciò un teorema matematico serio, un teorema che collega idee signi-

ficative, porterà molto probabilmente grandi progressi in matematica e anche nelle al-

tre scienze.

G.H.Hardy, Apologia di un matematico

La reductio ad absurdum, che Euclide amava alla follia, è una delle armi migliori a di-

sposizione di un matematico. Essa lo rende più azzardoso di un giocatore di scacchi:

uno scacchista può offrire il sacrificio di un pedone o di un pezzo, ma un matematico

offre l’intera partita.

G. H. Hardy, Apologia di un matematico

Gli assiomi della geometria, presi per essi stessi al di fuori da tutte le connessioni con

le proposizioni meccaniche, non rappresenta alcuna relazione delle cose reali.[...] Ap-

pena certi principi della meccanica sono congiunti agli assiomi della geometria, otte-

niamo un sistema di proposizioni che un reale peso, e che può essere verificato o con-

traddetto dalle osservazioni empiriche, proprio come può essere dedotto dall'esperien-

za. Se un tale sistema fosse preso come una forma trascendente di intuizione e pensie-

ro, dovrebbe assumersi una prestabilita armonia fra forma e realtà.

H. von Helmholtz, Sull'origine e il significato degli assiomi geometrici

Quali sono gli argomenti che stabiliscono l'accettazione in matematica? [...] Una delle

diverse risposte che sono state date al nostro problema asserisce che le verità mate-

matiche, in contraddizione alle ipotesi di scienza empirica, non richiede né evidenza ef-

fettiva né altra giustificazione poiché sono auto-evidenti. Questo punto di vista, co-

munque, [...] incontra varie difficoltà. [...] E se l'autoevidenza fosse attribuita solo ai

postulati base della matematica, da cui tutte le altre proposizioni matematiche posso-

no essere dedotte, dovrebbe essere pertinente osservare che i giudizi così come ciò

che possa essere considerato autoevidente sono soggettivi.

C. G. Hempel, On the nature of mathematical truth

Invero il metodo assiomatico è e rimane l’unico sussidio indispensabile e appropriato

allo spirito di ogni ricerca esatta, non importa in quale dominio; esso è inattaccabile

dal punto di vista logico ed è al tempo stesso fecondo; garantisce perciò una piena li-

bertà di ricerca. In questo senso procedere assiomaticamente significa nient’altro che

pensare sapendo ciò che si fa. Mentre prima, senza il metodo assiomatico, si procede-

va ingenuamente in quanto certi rapporti venivano considerati dogmi, il metodo assio-

matico rimuove questa ingenuità e tuttavia permette i vantaggi della fede. (…) Non ap-

pena giunge a termine la costruzione di una teoria, tutto ciò che è oggetto del pensiero

matematico ricade nel metodo assiomatico e perciò direttamente nella matematica.

Scendendo a livelli sempre più profondi di assiomi possiamo penetrare sempre più pro-

fondamente nel pensiero scientifico e apprendere l’unità del sapere. Soprattutto in virtù

del metodo assiomatico la matematica sembra chiamata a svolgere un ruolo trainante

per tutto il sapere.

D. Hilbert, Nuova fondazione della matematica

Una formula è detta dimostrabile se o è un assioma […] oppure è la forma finale di una

dimostrazione […]. Così il concetto “dimostrabile” va inteso relativamente al sistema di

assiomi su cui ci si basa. Questo relativismo è naturale e necessario; non ne scaturi-

scono danni, poiché il sistema di assiomi viene continuamente esteso e la costruzione

formale, in conformità alla nostra tendenza costruttiva, diviene sempre più completa

D. Hilbert, Nuova fondazione della matematica

Il primo dovere di un’ipotesi è essere comprensibile.

H. T. Huxley

il problema della coerenza per un sistema assiomatico può in generale essere affronta-

to in due modi essenzialmente diversi fra loro:

1. si può cercare di dimostrare la coerenza assoluta di un sistema, ossia si può tentare

di dimostrare che è impossibile in assoluto ottenere una proposizione contradditto-

ria fra i teoremi del sistema considerato; oppure

2. si può cercare di ottenere una dimostrazione relativa di coerenza, riconducendo

questa proprietà del sistema considerato alla analoga proprietà di un altro sistema

che coi è noto essere coerente ( o che comunque si suppone tale).

C. Mangione, S. Bozzi, Storia della logica da Boole ai giorni nostri

Alcuni matematici, fra cui Cartesio, proclamarono essere l’evidenza l’unico criterio per

riconoscere l’esattezza di un ragionamento. Ma questo principio lascia a sua volta a

desiderare. Una dimostrazione può essere più o meno evidente; essere evidente per

una persona, dubbia per un’altra; e ad ognuno sarà successo di trovare insufficienti del-

le dimostrazioni già ritenute esatte

G. Peano, I principi di geometria logicamente esposti

Se la matematica invoca solo le regole della logica, quelle che sono accettate da tutte

le menti normali; se la sua evidenza è basata su principi comuni a tutti gli uomini, e che

nessuno potrebbe negare senza essere considerato pazzo, com'è possibile che così

tante persone siano refrattarie alla matematica?[...] E inoltre: com'è possibile l'errore in

matematica? Una mente sana non dovrebbe essere colpevole di alcuna fallacia logica,

eppure vi sono molte ottime menti che non incespicano nei brevi ragionamenti che or-

dinariamente si trovano negli ordinari fatti della vita, e che sono incapaci di seguire o

ripetere senza errore le dimostrazioni matematiche che sono più lunghe, ma che dopo

tutto sono solo un accumulazione di brevi ragionamenti interamente analoghi a quelli

che riescono a fare facilmente. è necessario aggiungere che le matematiche stesse

non sono infallibili? La risposta mi sembra evidente. Immaginiamo una lunga serie di

sillogismi [...] siamo capaci di seguire ciascuno di questi sillogismi [....] ma fra il mo-

mento in cui incontriamo per prima una proposizione come conclusione di un sillogi-

smo, e quello in cui lo rincontriamo come premessa di un altro sillogismo, un po' di

tempo è passato, diverse maglie della catena sono state svolte; così può accadere che

abbiamo dimenticato o peggio ne abbiamo scordato il significato. Così accade che so-

stituiamo una leggermente diversa proposizione o che, mentre manteniamo la stessa

enunciazione, le attribuiamo un significato leggermente diverso, e così siamo esposti

all'errore.

H. Poincaré, La creazione matematica

Cosa ci da in effetti il sentimento di eleganza in una soluzione, in una dimostrazione?

L'armonia delle diverse parti, la loro simmetria, il loro felice bilancio; in una parola tutto

ciò che introduce ordine, tutto ciò che fornisce unità; che ci permette di vedere chia-

ramente e di comprendere subito l'insieme e i suoi dettagli.

H. Poincarè

La matematica è considerata una scienza dimostrativa. In effetti questo è solo uno dei

suoi aspetti. La matematica compiuta, presentata in una forma definitiva appare pura-

mente dimostrativa, consistente solo di dimostrazioni. eppure la matematica in crea-

zione assomiglia ad ogni altra conoscenza umana. Devi indovinare un teorema matema-

tico, prima di dimostrarlo; devi intuire l'idea della dimostrazione prima di eseguirla nei

dettagli. Devi combinare osservazioni e seguire analogie; devi tentare e tentare.

G. Polya, Induction and analogy

L'eleganza di un teorema matematico è direttamente proporzionale al numero di idee

indipendenti che si riescono a vedere nel teorema e inversamente proporzionale agli

sforzi fatti per vederli.

G. Polya

Supponiamo che si trovi una contraddizione negli assiomi della teoria degli insiemi.

Credete seriamente che qualche ponte cadrà?

F. Ramsey

Sull’infinito

Non vi è il più piccolo fra i piccoli né il più grande fra i grandi. Vi è piuttosto qualcosa

di ancora più piccolo e qualcosa di ancora più grande.

Anassagora

La natura rifugge dall'infinito, perché l'infinito è senza fine o imperfetto, e la Natura

sempre ricerca una fine

Aristotele, Genesi degli Animali

Il continuo consiste nel dividere in indivisibili che sono infinitamente divisibili.

Aristotele, Fisica

Il termine stesso dimostra che noi contrapponiamo l'infinito al semplice finito. Inoltre.

la circostanza che noi deriviamo il primo nome dal secondo tradisce il fatto addizionale

che noi riteniamo che oil concetto dell'infinito sorga da quello del finito mediante, e so-

lo mediante, l'aggiunta di un nuovo elemento (tale è infatti il concetto astratto di nega-

zione.

B. Bolzano, I paradossi dell'infinito (1842-48)

Chiamerò moltitudine infinita una moltitudine che è più grande di tutte quelle finite,

cioè una moltitudine costituita in modo tale che ogni insieme finito rappresenti soltanto

una parte di essa.


non tutti gli insiemi infiniti debbono considerarsi uguali l'un l'altro rispetto alla loro mol-

teplicità, bensì che molti di essi sono più grandi (o più piccoli) di qualche altro, cioè in-

cludono in sé l'altro come una parte (oppure al contrario si trovano essi stessi nell'altro

come una semplice parte). [...] certamente quelli che definiscono l'infinito come un

qualche cosa che non è capace di ulteriore accrescimento devono trovare l'idea che un

infinito sia più grande di un altro, non soltanto paradossale, ma addirittura contraddit-

toria.


Il vuoto infinito della matematica, impensabile, eppure necessario al pensiero .

G.K. Chesterton, L'uomo che fu Giovedì (1908)

Se una quantità non negativa è più piccola di una qualsiasi altra quantità, allora certa-

mente essa è zero. A quelli che chiedono cos'è una quantità infinitamente piccola in

matematica, rispondiamo che è effettivamente zero. Quindi non vi sono misteri nasco-

sti in questo concetto, come di solito si crede. Questi supposti misteri hanno reso il

calcolo dell'infinitamente piccolo abbastanza sospetto a molte persone.

L. Eulero

Simplicio. Qui nasce il dubbio, che mi pare insolubile ed è, che sendo noi sicuri trovarsi

linee una maggior del’altra, tutta volta che amendue contenghino punti infiniti, bisogna

confessare trovarsi nel medesimo genere una cosa maggior dell’infinito, perché la infi-

nità de i punti della linea maggiore eccederà l’infinità de i punti della minore. Ora que-

sto darsi un infinito maggior dell’infinito mi par concetto da non poter esser capito in

verun modo.

Salviati. Queste sono di quelle difficoltà che derivano dal discorrer che noi facciamo

col nostro intelletto finito intorno a gl’infiniti, dandogli quelli attributi che noi diamo alle

cose finite e terminate; il che penso che sia inconveniente, perché stimo che questi at-

tributi di maggioranza, minorità ed egualità non convenghino a gl’infiniti, de i quali non

si può dire, uno esser maggiore o minore o eguale all’altro

[…]

Salv. Onde se io dirò, i numeri tutti, comprendendo i quadrati e i non quadrati, essere

più che i quadrati soli, dirò proposizione verissima, non è così?

Simp. Non si può dir altrimenti.

Salv. Interrogando io di poi, quanti siano i numeri quadrati, si può con verità rispondere,

loro esser tanti quante sono le proprie radici, avvenga che ogni quadrato ha la sua ra-

dice, ogni radice il suo quadrato, né quadrato alcuno ha più d’una sola radice, né radice

alcuna più d’un quadrato solo.

Simp. Così sia.

Salv. Ma se io domanderò, quante siano le radici, non si può negare che elle non siano

quante tutti i numeri, poiché non vi è numero alcuno che non sia radice di qualche qua-

drato; e stante questo, converrà dire che i numeri quadrati siano quanti tutti i numeri,

poiché tanti sono quante le lor radici, e radici sono tutti i numeri: e pur da principio di-

cemmo, tutti i numeri esser assai più che tutti i quadrati, essendo la maggior parte non

quadrati.

[..]

Salv. Io non veggo che ad altra decisione si possa venire, che a dire, infiniti essere tutti

i numeri, infiniti i quadrati, infinite le loro radici, né la moltitudine de’ quadrati esser

minore di quella di tutti i numeri, né questa maggior di quella, e in ultima conclusione,

gli attributi di eguale maggiore e minore non aver luogo ne gl’infiniti, ma solo nelle

quantità terminate.

[…]

Salv. [...] ma né anco che è [l’infinito] essere maggiore d’un finito, perché se ’l numero

infinito fusse maggiore, v.g. del millione, ne seguirebbe, che passando dal millione ad

altri e ad altri continuamente maggiori si camminasse verso l’infinito; il che non è: anzi,

per l’opposito a quanto maggiori numeri facciamo passaggio, tanto più ci discostiamo

dal numero infinito; perché ne i numeri, quanto più si pigliano grandi sempre più e più

rari sono i numeri quadrati in esso contenuti; ma nel numero infinito i quadrati non pos-

sono esser manco che tutti i numeri, come pur ora si è concluso; adunque l’andar verso

numeri sempre maggiori e maggiori è un discostarsi dal numero infinito

G. Galilei, Discorsi intorno a due nuove scienze

Ci soffermiamo [...] sui requisiti generali che legittimamente vanno posti alla soluzione

di un problema matematico. Penso innanzitutto a questo: si deve riuscire a far vedere

la correttezza della risposta mediante un numero finito di inferenze e precisamente in

base ad un numero finito di ipotesi che si trovano nelle nella presentazione del proble-

ma e che ogni volta vanno formulate con esattezza. Questo requisito della deduzione

logica mediante un numero finito di inferenze è nient'altro che il requisito del rigore nel-

la conduzione della dimostrazione.

D. Hilbert, Problemi matematici

Del fatto che al di là di una porzione di spazio ci sia sempre ancora spazio segue sol-

tanto l'illimitatezza dello spazio e in nessun modo la sua infinità. Illimitatezza e finitez-

za, però, non sono incompatibili. Nella cosiddetta geometria ellittica, la ricerca mate-

matica fornisce il modello naturale di un universo finito.

D. Hilbert, Sull'infinito

La divisibilità all’infinito di un continuo è un’operazione che esiste soltanto nel pensie-

ro, è soltanto un’idea che è rifiutata dalla nostra osservazione della natura e dagli e-

sperimenti della fisica e della chimica


Dal paradiso che Cantor ha creato per noi, nessuno deve poterci mai scacciare


Io penso che sia la stessa cosa, non solamente che la differenza sia nulla, ma che la lo-

ro differenza sia incomparabilmente piccola; e comunque che quella non debba essere

detta niente, dato che non ci sono delle quantità comparabili con le stesse quantità di

cui è composta la differenza. Come se aggiungendo a una retta il punto di un'altra retta,

o una retta a una superficie, non si aumenta la quantità..

G.W.Leibniz, Risposte ad alcune difficoltà

bisogna supporre che le grandezze siano qualcosa, che siano diverse tra di loro, e che

siano marcate in modi diversi nella nuova analisi; poiché allora saranno confuse se sa-

ranno considerate degli zeri. Io le considero quindi non come nulla, né come degli infi-

nitamente piccoli, a rigore,ma per delle quantità incomparabilmente o indefinitamente

piccole, e più che di una grandezza data o assegnabile, inferiori ad altre di cui esse

fanno la differenza, il che rende l'errore minore di ogni errore assegnabile, o dato, e per

conseguenza esso è nullo.

G.W.Leibniz, Lettera a R.P.Tournemine

Arrivando a zero diviso per infinito e cose simili, dico che per tali cose non può che a-

versi un'interpretazione di comodo, prendendo zero per un numero di grande piccolezza,

e l'infinito per un numero molto grande. O più voi diminuite il numeratore e più aumen-

terete in proporzione il denominatore della frazione, più vi avvicinerete a zero

G.W.Leibniz, Lettera a Dangicourt

certamente io so anche che, qualunque numero mi verrà dato, io sarò in grado di indi-

care, subito e con sicurezza, il numero successivo- Escluso, naturalmente, il caso che

io muoia prima di arrivarci, e molti altri casi ancora. Ma naturalmente è molto importan-

te che io sia così sicuro di potere continuare.

L. Wittgenstein, Osservazioni sopra i fondamenti della matematica

"Si deve evitare la parola 'infinito' in matematica?" Sì, dove sembra conferire un signifi-

cato al Calcolo, invece di riceverlo da esso.

L. Wittgenstein, Osservazioni sopra i fondamenti della matematica

Sulla matematica

Le scienze matematiche esibiscono in particolare ordine, simmetria e limitazioni e que-

ste sono le forme massime della bellezza.

Aristotele Metaphysica

Se consideriamo la matematica come un gioco di segni, privo di senso, dove risiede

l'importanza del gioco? Per quale motivo la matematica merita di essere giocata? Alcu-

ni formalisti risponderebbero che detto gioco merita di essere giocato e studiato in

quanto tale, come il gioco degli scacchi. Ma questa non può essere una risposta esau-

riente, perché non spiega l'enorme utilità della matematica per le scienze.

S. F. Barker, Filosofia della matematica

Matematica la solida Fondazione delle Scienze, e la florida Fontana del Vantaggio degli

affari umani.

Isaac Barrow

E' la sua stessa giovinezza che fa spiccare la matematica dalle altre scienza con una

sconcertante immortalità.

E.T.Bell

Matematica, la cameriera delle Scienze.

E.T.Bell

“Ovvio” è la parola più pericolosa in matematica.

E. T. Bell

Mi piace guardare alla matematica più come un'arte che come una scienza, perché l'at-

tività dei matematici, che creano costantemente, è guidata ma non controllata dal

mondo esterno dei sensi; quindi assomiglia, io credo, in realtà all'attività di un artista,

di un pittore. Proprio come non si può essere pittore senza una certa tecnica, così non

si può essere un matematico senza il potere della ragione accuratamente giunto a un

certo punto Tuttavia queste qualità, fondamentali, non fanno un pittore o un matemati-

co degno di questo nome, né in verità sono i fattori più importanti. Altre qualità di una

specie più sottile, alla cui vetta vi è in entrambi i casi l'immaginazione, creano un buon

artista o un buon matematico.

Bocher, Bulletin of the American Mathematical Society 11 1904

La matematica è una forma di poesia che trascende la poesia nel momento in cui pro-

clama una verità; una forma di ragionamento che trascende il ragionamento nel mo-

mento in cui vuole estrarre la verità che ha proclamato; una forma di azione, di compor-

tamento rituale, che non trova pienezza nell'atto ma deve proclamare ed elaborare una

forma poetica di verità.

Bochner The Role of Mathematics in the Rise of Science

Le scoperte matematiche, come le violette primaverili nei boschi, hanno la loro stagio-

ne, nessuno può anticiparle o ritardarle.

J. Bolyai

La matematica è la scienza che tratta delle leggi generali alle quali le cose si devono

uniformare nella loro essenza.

B. Bolzano

La matematica altri non è che il lato esatto del nostro pensiero.

L. Brouwer

La tecnologia non ha l'effetto di cambiare la matematica, bensì di cambiare il modo di

fare matematica.

R. Brown

Può darsi che l'interesse dell'uomo preistorico per concezioni e relazioni spaziali sia

stato originato dal suo senso estetico e dal piacere provato per la bellezza della forma,

motivi che spesso stimolano anche i matematici del nostro tempo.

C. Boyer, Storia della matematica

Come per ogni cosa, ciò vale anche per una teoria matematica: la bellezza può essere

percepita ma non spiegata.

A. Cayley

La matematica [...] è una scienza oscura e astrusa, complicata ed esatta […] tuttavia

coloro che vi hanno raggiunto la perfezione sono tanto numerosi che è possibile dedur-

ne che più o meno chiunque vi si applichi con serietà potrebbe avervi successo.

Cicerone, De Oratore (citata da Stahl, La scienza dei Romani

Mathemata mathematicis scribuntur (La matematica è scritta per i matematici)

Copernico, De Revolutionibus

Come espressione della mente umana, la matematica riflette la volontà attiva, la ragio-

ne contemplativa e il desiderio di perfezione estetica. I suoi elementi sono la logica e

l’intuizione, l’analisi e la costruzione, la generalità e l’individualità.

R. Courant, H, Robbins, Che cos è la matematica?

Così la metafisica e la matematica, fra tutte le scienze che appartengono alla ragione,

sono quelle in cui l'immaginazione ha il ruolo maggiore... Chiedo perdono a quegli spiriti

delicati che mettono in ridicolo la matematica dicendo questo... L'immaginazione in un

matematico che crea non differisce da quella di un poeta che inventa.... Di tutti i grandi

uomini dell'Antichità, Archimede è quello che più degli altri merita di essere posto ac-

canto ad Omero.

D'Alembert, Discours Preliminaire de L'Encyclopedie, Tome 1

Il motore dell'invenzione matematica non è la ragione ma l'immaginazione.

A. De Morgan

Si fa fatica d'altronde a capire l'astio che esplode nei pamphlet che, di tanto in tanto,

attaccano ancora la matematica "pura". Esistono tante altre discipline [...] che non

hanno certamente alcuna "utilità" e contro le quali nessuno si solleva.


Matematica, o matematiche (dal greco insegnamento) significa originariamente "disci-

plina" o "scienza razionale". Questo significato conferirono alla parola i filosofi della

scuola italica, fondata da Pitagora (prima del 500 a. C.), che pose la scienza dei numeri

a base di ogni conoscenza della natura.

F. Enriques, Enciclopedia Italiana

A quelli che non conoscono la matematica è difficile percepire come una sensazione

reale la bellezza, la profonda bellezza della natura ... Se volete conoscere la natura, ap-

prezzarla, è necessario comprendere il linguaggio che essa parla.

R. Feynman, The Character of Physical Law

La matematica è la regina delle Scienze e la teoria dei numeri la regina delle matema-

tiche

K. F. Gauss

La matematica è un linguaggio

W. Gibbs

La matematica incomincia solamente quando il misuratore ed il calcolatore si interes-

sano al funzionamento della loro tecnica e la istituzionalizzano come una specie di gio-

co le cui due idee direttrici sono l'invenzione e la dimostrazione

G. G. Granger, voce Matematiche in Enciclopedia Einaudi, 1979

La ricerca dell'esattezza è una delle componenti che si sono anzitutto riconosciute nel-

lo spirito matematico


Le matematiche testimoniano la stupefacente potenza creatrice del pensiero formale.

Eppure, nel momento stesso in cui se ne ammira il potere, si tocca con mano l'insuffi-

cienza di tale forma di pensiero non appena si tratta di regolare, collettivamente o indi-

vidualmente, il corso della vita


La storia dell'idea di matematica potrebbe riassumersi nella presa di coscienza sempre

più netta delle nozioni di rigore e di precisione. Nozioni in sé certamente banali, il cui

senso è peraltro costantemente rinnovato e approfondito dal pensiero matematico.


La Matematica Greca è “permanente”, molto più permanente perfino della letteratura

greca. Archimede sarà ricordato quando Eschilo sarà ormai dimenticato, perché le lin-

gue muoiono ma le idee matematiche no.

G. H. Hardy, Apologia di un matematico

Le forme create dal matematico, come quelle create dal pittore o dal poeta, devono es-

sere "belle"; le idee, come i colori o le parole, devono legarsi armoniosamente. La bel-

lezza è il requisito fondamentale: al mondo non c'è un posto perenne per la matematica

brutta.

G.H.Hardy, Apologia di un matematico

Molte persone riconoscono dei meriti alla Matematica, proprio come altrettante perso-

ne possono trarre piacere da un piacevole motivo musicale; eppure ci sono probabil-

mente più persone realmente interessate alla matematica che non alla musica.

G. H. Hardy

La matematica è una scienza Greca, non importa quanti nuovi sviluppi ha prodotto o

possa produrre l’analisi moderna.

T. Heath, A history of Greek mathematics

Il carattere più distintivo che differenzia la matematica dalle varie branche delle scien-

ze empiriche. e che le assegna la fama di regina delle scienze, è senza dubbio la pecu-

liare certezza e necessità del risultato. Nessuna proposizione, neanche nella più avan-

zata parte della scienza empirica può meritare questo status; un'ipotesi riguardante

"argomento di fatto empirico" può al meglio acquisire ciò che è liberamente chiamata

un'alta probabilità o un alto grado di conferma sulla base della rilevante evidenza am-

missibile; ma comunque bene possa essere stata confermata da test rigorosi, la possi-

bilità che sarà scaricata più tardi alla luce di una nuova evidenza non può mai essere

preclusa. Così tutte le teorie e le ipotesi della scienza empirica condividono questo ca-

rattere provvisorio di essere stato stabilito e accettato "fino a prova contraria", mentre

un teorema matematico, una volta provato, è stabilito una volta per sempre; vale con

quella particolare certezza che nessuna successiva scoperta empirica, comunque inat-

tesa e straordinaria, possa mai avere la minima ripercussione su di esso.

C. G. Hempel, Geometry and empirical science

La matematica è un gioco che segue semplici regole che riguardano segni privi di sen-

so tracciati sulla carta.

D. Hilbert

Ci sono solo due classi di scienze – quelle che sono semplicemente logiche, e quelle

che, oltre a essere logiche, sono anche matematiche. Se ci fosse una qualche scienza

che determina puramente se una cosa è o non è, se un evento accadrà o no, deve esse-

re una scienza puramente logica; ma se ci si chiede se la cosa può essere più grande o

più piccola, o l'evento possa accadere prima o dopo, più vicino o più lontano, allora en-

trano in gioco nozioni quantitative, e la scienza deve essere matematica in natura, qua-

le che sia il nome che le diamo.

W. S. Jevons, Theory of political economy

La matematica è la scienza di ciò che è chiaro di per sé.

K. Jacobi

La restrizione alla linea retta e al cerchio, autoimposta e arbitraria, era motivata dal

desiderio di mantenere la geometria semplice, armoniosa e perciò esteticamente at-

traente.

M. Kline, La matematica nella cultura occidentale

(Sulla facilità della matematica) Quale altra scienza si occupa di verità più elementari, poiché essa non ne presuppone alcun altra, mentre ogni altra presuppone la matemati-

ca? In quale altra scienza le argomentazioni sono altrettanto convincenti ed esaurienti?

Quale altra scienza conduce a risultati più sicuri e più agevolmente controllabili? E' ap-

punto la facilità e l'immediatezza della verifica che, dando autorità critica decisiva an-

che ai più ignari, rende impossibile ogni frode. Invero, mentre un matematico ciarlatano

può essere messo con le spalle al muro da uno anche non molto esperto, soltanto un

dotto può riuscire a confondere, se pur vi riesce, un presuntuoso che si vanti compe-

tente in questioni politiche od economiche, filosofiche o artistiche essa riguarda i con-

cetti base del pensiero.

A. Padoa, Elogio della matematica, pubblico discorso, Pinerolo 28/03/1908

La Matematica è la scienza che traccia le conclusioni necessarie.

B. Peirce

La matematica è puramente ipotetica, non produce nulla tranne che proposizioni condi-

zionali.

C. Peirce

Mi rendo conto di quanto l’aritmetica sia bella e utile per molti aspetti al raggiungimen-

to del nostro scopo, purché la si coltivi per la conoscenza e non per lucro.

Platone, La Repubblica

La matematica è come il gioco della dama, adatta ai giovani, non troppo difficile, diver-

tente e senza alcun pericolo per lo stato.

Platone

La matematica è l'arte di dare lo stesso nome ad oggetti diversi.

H. Poincarè

Strettamente parlando, tutte le nostre conoscenze al di fuori della matematica e della

logica dimostrativa (che è un ramo della matematica), consiste di congetture.

G. Polya, Induction and analogy

La geometria è la scienza dei ragionamenti corretti sulle figure sbagliate.

G. Polya

La matematica consiste nel provare le cose più ovvie nel modo meno ovvio.

G. Polyà

Il pensare matematico non è puramente" formale"; non è interessato soltanto agli as-

siomi, alle definizioni, o alle dimostrazioni rigorose, ma gli appartengono molte altre

cose: generalizzazioni da casi osservati, argomenti induttivi, argomenti tratti dall'ana-

logia, riconoscimento di un concetto matematico in una situazione concreta, o estra-

zione di un tale concetto da essa.

G. Polyà, La scoperta matematica

La matematica pura è la classe di tutte le proposizioni della forma "p implica q", dove p

e q sono proposizioni contenenti una o più variabili, le stesse nelle due proposizioni, e

né p né q contengono alcuna costante eccetto costanti logiche. [...] Oltre a queste, la

matematica adopera poi una nozione che non entra come costituente nelle proposizioni

da essa considerate, e precisamente la nozione di verità.

B. Russell, I principi della matematica, 1903

Cos'è esattamente la matematica? Molti hanno tentato, ma pochi sono riusciti a definir-

la; è sempre qualcos'altro. In poche parole la gente sa che riguarda numeri, figure, re-

lazioni, operazioni, le sue procedure formali hanno a che fare con assiomi, dimostrazio-

ni, lemmi, teoremi che non sono cambiati dai tempi di Archimede.

S. Ulam

Certa matematica diviene più importante perché la tecnologia lo richiede

Certa matematica diviene meno importante perché la tecnologia la sostituisce.

Certa matematica diviene possibile perché la tecnologia lo consente.

B. Waits (fondatore di T3)

Dio esiste perché la matematica è consistente, il Diavolo esiste perché non riusciamo a

provare che essa è consistente.

A. Weil

La simmetria, indipendentemente dalla importanza che ciascuno può affidare al suo si-

gnificato, è un’idea mediante la quale l’uomo attraverso i secoli ha cercato di compren-

dere e creare l’ordine, la bellezza e la perfezione.

H. Weyl

La matematica come scienza è iniziata quando qualcuno, probabilmente un greco, pro-

vò dei fatti su qualche cosa senza specificare cosa fosse in particolare.

A.N. Whitehead

La matematica, nel suo significato più ampio, è lo sviluppo di tutti i tipi di ragionamenti,

formali e deduttivi.

A. N. Whitehead, A treatise on universal algebra, 1960

La scienza della matematica pura, può aspirare ad essere chiamata la più originale

creazione dello spirito umano. [...] L'originalità della matematica consiste nel fatto che

nella scienza matematica le connessioni fra le cose con le quali sono mostrate, a parte

dall'agenzia della ragione umana, sono estremamente poco ovvie. Così le idee, adesso

nelle menti della matematica contemporanea, sono molto lontane da ogni nozione che

può essere immediatamente derivata dalla percezione attraverso i sensi; tranne che

tale percezione sia stimolata e guidata da un'antecedente conoscenza matematica.

A.N. Whitehead, Mathematics as an element

La matematica è un metodo logico. Le proposizioni matematiche non esprimono pen-

sieri. Nella vita non avremo mai bisogno di una proposizione matematica; usiamo le

proposizioni matematiche solo per dedurre da proposizioni che non appartengono alla

matematica altre che ugualmente non vi appartengono.

L. Wittgenstein, Tractatus Logico Philosophicus, 1922

Se la matematica è un giuoco, allora giocare un giuoco è matematica; e allora, perché

non lo è anche il danzare?

L. Wittgenstein, Osservazioni sopra I fondamenti della matematica

Tutta la matematica è tautologica

L. Wittgenstein

Sui matematici

Ogni generazione ha i suoi, pochi, grandi matematici e la matematica nemmeno nota

l’assenza degli altri. Essi sono utili come insegnanti, e la loro ricerca non infastidisce

nessuno, ma è di nessuna importanza. Un matematico o è grande o è nessuno.

A. Adler

Per Talete la domanda fondamentale non era "Cosa dobbiamo conoscere", ma "Come

dobbiamo conoscere?"

Aristotele

Un matematico è una persona che riesce a trovare analogie tra teoremi; un matematico

migliore è uno che riesce a vedere analogie fra dimostrazioni e il matematico migliore

coglie analogie fra le teorie. Si può perciò immaginare che il massimo fra i matematici

è quello che riesce a cogliere analogie fra le analogie.

S. Banach

Guidati solo dal loro sentimento per la simmetria, la semplicità, la generalità e un inde-

finibile senso di perfezione per le cose, i matematici creativi, ora come nel passato, so-

no ispirati dall'arte della matematica, piuttosto che da qualsiasi prospettiva di utilità

pratica.

E. T. Bell

... non vi è filosofia che non sia fondata sulla conoscenza dei fenomeni, ma per ottenere

qualche profitto da questa conoscenza è assolutamente necessario essere un matema-

tico.

D. Bernoulli

Chi conosce distintamente la somma e il resto delle venti operazioni e gli otto processi

inclusa la misurazione con le ombre è un matematico.

Brahmagupta (598 d. C.)

Una persona che riesce, nel tempo di un anno, a risolvere l'equazione x2 - y2 = 1 è un

matematico.

Brahmagupta (900 d. C.)

Un matematico è un cieco in una stanza buia alla ricerca di un gatto nero che non è lì.

C. R. Darwin

Dato che tutti sono entrati in contatto con la matematica attraverso i calcoli della

scuola elementare, l'idea più diffusa è che un matematico sia una persona particolar-

mente versata in questi calcoli. Oggi, con l'avvento dei calcolatori e dei loro linguaggi

si tenderà a credere che il matematico sia un individuo molto abile a "programmarli" e

che dedichi a questa attività tutto il suo tempo. Gli ingegneri, sempre alla ricerca di va-

lori ottimali per le loro grandezze, vedono nei matematici i depositari di un tesoro di

formule, da fornire loro a richiesta. Ma di tutte le opinioni correnti la più fallace è quella

secondo la quale la maggior parte dei nostri contemporanei, sommersi dai progressi re-

lativi a tutte le altre scienze che i mass media descrivono fino alla nausea è convinta

che nella matematica non vi sia più nulla di nuovo da scoprire, e che il matematico si

limiti a insegnare quanto ha ereditato dai secoli passati.


Un matematico è una macchina che tramuta caffè in teoremi

P. Erdos

Un matematico, come un pittore o un poeta, è un creatore di schemi. Se i suoi schemi

durano più dei loro, è perché sono fatti di idee.

G. Hardy, Apologia di un matematico

E' impossibile essere un matematico senza essere un poeta nell'animo

S. Kovalevskaya

La matematica è una professione pericolosa, una ragguardevole proporzione di noi di-

venta matto.

J. Littlewood

Matematici si nasce, non si diventa.

H. Poincarè

I matematici non studiano gli oggetti, ma le relazioni fra oggetti. Così sono liberi di so-

stituire questi oggetti con altri purché le relazioni non varino. Il contenuto è. per essi,

irrilevante, ciò che conta è la forma.

H. Poincarè

Un matematico che sa solo generalizzare è come una scimmia che sa solo salire sugli

alberi, un matematico che sa solo specializzare è come una scimmia che sa solo scen-

dere dagli alberi. Nessuna delle due scimmie è una creatura vitale. Una vera scimmia

deve trovare cibo e scappare dai nemici, perciò deve incessantemente salire e scende-

re alberi. Un vero matematico deve essere capace di generalizzare e specializzare.

G. Polya

(Sull’interesse dei matematici verso la politica) In verità ho osservato le stesse dispo-

sizioni tra la maggior parte dei matematici che ho conosciuto in Europa, sebbene non

sia mai riuscito a scoprire la minima analogia tra le due scienze; a meno che questa

gente non pensi che, come il cerchio più piccolo ha tanti gradi quanti ne ha il più gran-

de, così la direzione e il governo del mondo non richiedano maggiore abilità di quella

necessaria per maneggiare e far rotolare una pallina, ma credo piuttosto che questo

derivi dalla solita debolezza umana, la quale ci induce sempre a occuparci presuntuo-

samente di tutto ciò che non ci riguarda e a cui siamo meno adatti per indole e per stu-

dio

Swift, I viaggi di Gulliver

C'era più immaginazione nella testa di Archimede che in quella di Omero.

Voltaire

Su Matematica e Scienze

è logico che, essendo state scoperte numerose arti, le une dirette alle necessità della

vita e le altre al benessere, si siano sempre giudicati più sapienti gli scopritori di que-

ste che non gli scopritori di quelle, per la ragione che le loro conoscenze non erano ri-

volte all’utile. Di qui, quando già si erano costituite tutte le arti di questo tipo, si passò

alla scoperta di quelle scienze che non sono dirette né al piacere né alle necessità del-

la vita, e ciò avvenne dapprima in quei luoghi in cui gli uomini dapprima furono liberi da

occupazioni pratiche. Per questo le arti matematiche si costituirono per la prima volta

in Egitto: infatti là era concessa questa libertà alla casta dei sacerdoti.

Aristotele, Metafisica

Gli errori ottenuti usando dati inadeguati sono inferiori a quelli ottenuti senza dati.

C. Babbage

Et harum scientarum porta et clavis est Mathematica.

La matematica è la porta e la chiave delle scienze

R. Bacone, Opus Majus

Trascurare la matematica è un'offesa al sapere, poiché chi la ignora non può conoscere

le altre scienze o le cose del mondo.


... la matematica è assolutamente necessaria e utile alle altre scienze.


Le cose del mondo non possono essere conosciute senza la matematica

R. Bacone

La probabilità deve essere considerata analogamente alla misurazione delle grandezze

fisiche, cioè, non possiamo mai conoscerle esattamente ma solo con una certa appros-

simazione.

E. Borel, Probabilità e nascite

La probabilità è fondata su un sapere parziale. Una perfetta conoscenza delle circo-

stanze che riguardano l'accadere di un evento cambierebbe l'attesa in certezza e non

lascerebbe spazio alla teoria della probabilità.

G. Boole, An Investigation of the Law of Thought

Se Dio ha creato il mondo come un meccanismo perfetto, ha almeno concesso al nostro

imperfetto intelletto di poterne predire piccole parti, senza dover risolvere innumerevoli

equazioni differenziali, ma lanciando dadi regolari.

M. Born

È dunque attraverso lo studio delle matematiche, e solo mediante esse, che ci si può

fare un’idea giusta ed approfondita di ciò che è una scienza.

A. Comte

Al geometra puro il raggio di curvatura è una caratteristica incidentale – come il ghigno

del gatto del Cheshire. Per il fisico è invece una caratteristica indispensabile. Potrem-

mo anche dire che per il fisico è il gatto a essere puramente incidentale per il ghigno.

La fisica riguarda le interrelazioni, come quelle fra gatti e ghigni. In questo caso il "gat-

to senza ghigno" e il "ghigno senza gatto" sono ugualmente considerate delle fantasie

matematiche.

S. A. Eddington, The Expanding Universe

Finché le leggi della matematica si riferiscono alla realtà non sono certe e finché sono

certe non si riferiscono alla realtà.

A. Einstein

Da quando i matematici hanno invaso la teoria della relatività, non ho più capito me

stesso.

A. Einstein

C'è un altro motivo per l'alta reputazione della matematica; è la matematica che offre

alle scienze naturali un certo grado di sicurezza che, senza la matematica, non potreb-

bero avere.

A.Einstein

Com’è possibile che la matematica, essendo dopotutto un prodotto del pensiero umano

indipendente dall’esperienza, si adatti in modo così ammirevole agli oggetti della real-

tà?

A. Einstein

La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto in-

nanzi a gli occhi (io dico l'universo), ma non si può intendere se prima non s'impara a

intendere la lingua e conoscer i caratteri, ne' quali è scritto. Egli è scritto in lingua ma-

tematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali

mezi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vana-

mente per un oscuro laberinto.

Galileo, Il Saggiatore

Sto arrivando alla conclusione che la necessità della nostra geometria non può dimo-

strarsi ... la geometria dovrebbe essere trattata non con l'aritmetica, che è puramente

aprioristica, ma con la meccanica.

K.F. Gauss, 1817

Anche gli astronomi non dovranno esercitare più a lungo la pazienza richiesta dal cal-

colo. Ciò li ha sempre distratti [...] dal lavoro sulle ipotesi, e dalle discussioni sulle os-

servazioni fra di loro. Non è del resto degno di uomini eccellenti perdere ore come

schiavi in calcoli, che potrebbero essere risparmiati usando le macchine.

G.W. Leibniz, Sulla sua macchina calcolatrice

Nessuna humana investigazione si puo dimandare vera scienzia s'essa non passa per le

matematiche dimostrazioni.

Leonardo, Trattato di pittura

Non vi è alcun ramo della matematica, per quanto astratto sia, che non possa, qualche

giorno, essere applicato ai fenomeni reali del mondo.

N. Lobacevskij

Tutte le scienze matematiche sono fondate su relazioni fra leggi fisiche e leggi dei nu-

meri, così che lo scopo della scienza esatta è di ridurre i problemi della natura alla de-

terminazione di quantità mediante operazioni con numeri.

Maxwell, On Faraday's Lines of Force (1856)

La descrizione delle rette e dei cerchi, su cui si fonda la geometria, appartiene alla

meccanica. La geometria non insegna a tracciare queste linee, ma richiede che lo sia-

no.

I. Newton, 1687

Questa macchina facilita il lavoro ed elimina tutto ciò che non è necessario. Il più igno-

rante trova tanti vantaggi quanto il più capace. [...] Allo stesso modo si sa che operan-

do con la penna si è obbligati a mantenere o a prendere in prestito i numeri necessari,

e che gli errori sfuggono, in queste conservazioni e prese in prestito, nonostante la lun-

ga pratica, e a dispetto di una profonda attenzione che spesso affatica la mente. Que-

sta macchina libera l'operatore da questa vessazione; basta che egli abbia giudizio; è

sollevato dalla caduta di memoria; e senza alcun mantenimento o presa in prestito, fa

da sé ciò che vuole, senza alcun pensiero da parte sua.

B. Pascal, Sulla sua macchina calcolatrice

Cos'è il caso? Gli antichi distinguevano fra fenomeni che sembravano obbedire a leggi

armoniche, stabilite una volta per tutte, e quelle che attribuivano al caso; queste erano

quelle impredicibili perché ribelli a ogni legge. In ogni dominio le leggi precise non de-

cidono ogni cosa, solo forniscono limiti all'interno dei quali il caso può agire. In questa

concezione la parola caso ha un significato preciso e oggettivo; ciò che è caso per uno

lo è anche per un altro e perfino per gli dei.

H. Poincaré, Chance

Maggiori sono i progressi della fisica, più tendiamo a entrare nel dominio della matema-

tica, che è una specie di centro verso cui tutto converge. Possiamo perfino giudicare il

grado di perfezioni a cui è giunta una scienza dalla facilità con cui essa può essere sot-

toposta a calcoli.

Quetelet

Non vi è errore più comune di credere che, poiché abbiamo effettuato prolungati e ac-

curati calcoli matematici, l'applicazione dei risultati ottenuti a qualche fatto naturale

sia assolutamente certa.

A. N. Whitehead

Sulla mistica

(Sul numero 3) i tre doni dei magi, il triplice rifiuto di San Pietro, i tre giorni fra la croci-

fissione e la resurrezione e le tre apparizioni di Cristo risorto ai discepoli

Bell, The magic of numbers

(relativamente ai pitagorici e al misticismo dei loro numeri) siamo in un mondo di sogno

in cui ogni cosa che vogliamo provare può essere provata, per la semplice ragione che

ogni ostacolo alla stretta deduzione può essere abolito introducendo come un nuovo

postulato la non esistenza dell’ostacolo.


contrariamente al senso comune, i matematici non furono i primi, bensì gli ultimi a

prendere i numeri sul serio, forse troppo sul serio. Dietro ogni matematico nell’alba del

pensiero numerico c’era uno scienziato e dietro ogni scienziato un prete. Lo scienziato

poteva essere solo un astrologo primitivo che leggeva nel movimento dei pianeti più di

ciò che un astronomo avrebbe visto. Tuttavia era uno scienziato poiché cercava di ri-

durre le sue crude osservazioni della natura a un sistema razionale. Al prete che guar-

dava sopra le spalle dello scienziato, l’irreprensibile prolificità dei numeri ripeteva una

storia familiare. Egli e il suo genere sapevano da secoli che la più potente delle magie

risiedeva nei numeri


Il numero uno si riferisce al Dio, unico, il due ai Testamenti, il tre alla Trinità, il quattro

ai Vangeli, il cinque al Pentateuco, il sei al giorno in cui Dio creò l’uomo a propria im-

magine e somiglianza, il sette al settemplice Spirito Santo.

Aurelio Cassiodoro Institutiones divinarum et saecularium lectionum,

citato in Stahl, La scienza dei Romani

[Nell’antico Egitto] I sacerdoti monopolizzavano l’intero insegnamento, inclusa la ma-

tematica, per asservirlo ai loro fini. La conoscenza dava loro il potere e, limitando la

conoscenza, essi riducevano la probabilità che qualcuno potesse sfidare la loro posi-

zione

M. Klein, La matematica nella cultura occidentale

(Sui numeri amici) Persone che si occupano di magia assicurano che questi numeri

hanno una particolare influenza nello stabilire unione ed amicizia fra due individui. [...]

Essi stabiliscano un legame così forte fra due persone che esse non possono essere più

separate. L’autore di Ghaïa e di altri capolavori in quest’arte [la magia] dichiarano che

ciò è stato confermato dalla loro esperienza personale.

Ore, The theory of numbers and its history

Per la prole divina il periodo fecondo è racchiuso da un numero perfetto, per quella u-

mana dal primo numero in cui le elevazioni al quadrato e al cubo, comprendenti tre in-

tervalli e quattro termini costituiti da fattori uguali e disuguali, crescenti e decrescenti,

rendono tutte le cose tra loro commensurabili e razionali. La loro base epitrita, accop-

piata al numero cinque ed elevata al cubo, genera due armonie, l'una rappresentata da

un numero moltiplicato per se stesso, cento volte cento, l'altra composta di fattori in

parte usuali e in parte disuguali, ossia da cento diagonali razionali di cinque diminuite

ciascuna di una unità, o altrettante irrazionali diminuite di due unità, e da cento cubi di

tre.

Platone, La Repubblica

Si uede adonque che il ponto ha similitudine con tutte le cose: immo ha gran similitudi-

ne con Iddio: & per questa causa li Sapienti hanno attribuito questo nome ponto. a esso

Iddio, come nelli suoi settanta duoi nomi manifestamente appare

N. Tartaglia, Euclide megarense philosopho

solo introduttore delle scientie mathematice

Sui simboli

Se un pazzo scrive una selva di simboli matematici, ciò non vuol dire che essi abbiano

un qualche significato solo perché un occhio inesperto non riesce a distinguerli da un

risultato di matematica superiore.

E. T. Bell

L'astrazione, spesso trattata come un vizio della matematica, è in effetti il suo capola-

voro ed ha grande utilità pratica. Risulta anche la sorgente della bellezza che può

sgorgare dalla matematica.

E. T. Bell

Più a lungo vive la matematica più astratta, e perciò più pratica, diviene.

E. T. Bell

Le formule in un test matematico non sono più matematica di quanto le parole in un di-

zionario possano essere un capolavoro letterario.

E. T. Bell, The development of mathematics

Si ritiene generalmente che nello sviluppo storico dell'algebra siano riconoscibili tre

stadi: 1) quello retorico o primitivo, in cui tutto viene scritto completamente a parole;

2) quello "sincopato" o intermedio, in cui vengono adottate alcune abbreviazioni; e 3)

quello simbolico o finale.

C. Boyer, Storia della matematica

Dal nulla ho creato un nuovo e strano universo. [Riferimento alla creazione di una geo-

metria non euclidea]

J. Bolyai

(Spiegazione dei termini usati per le incognite di I, II e III grado) Con positio ci riferiamo a una linea, con quadratum a una superficie, con cubum a un solido, sarebbe assurdo andare oltre questo punto, l Natura non lo permette.

G. Cardano, Ars Magna

Considero l'intera aritmetica come una conseguenza necessaria, o almeno naturale, del

più semplice atto dell'aritmetica, quello di contare, e lo stesso contare come nient'altro

che la creazione successiva della serie infinita degli interi positivi in cui ogni individuo

è definito da quello immediatamente precedente; il più semplice atto è passare da un

individuo già formato al consecutivo da formarsi.

R. Dedekind, Continuità e numeri irrazionali (1887)

I numeri sono una libera creazione della mente umana.

R. Dedekind, Continuità e numeri irrazionali (1887)

Ogni scienza si è evoluta grazie alla propria simbologia; la logica è l'unica scienza che

non ha avuto miglioramenti secolo dopo secolo e l'unica che non ha creato simboli.

A. De Morgan, Transactions Cambridge Philosophical Society, 1864

... invece del gran numero di precetti dei quali è composta la logica, ritenni che mi sa-

rebbero bastate le quattro regole seguenti [...] La prima era di non accogliere nulla co-

me vero che non conoscessi con evidenza essere tale: di evitare cioè accuratamente la

precipitazione e la prevenzione, e di non comprendere nei miei giudizi nulla che non si

presentasse alla mia mente con tale chiarezza e distinzione da non aver alcun motivo

per metterlo in dubbio. La seconda prescriveva di suddividere ciascuna difficoltà da

esaminare in tutte le parti in cui era possibile e necessario dividerla per meglio risol-

verla. La terza consisteva nel condurre con ordine i miei pensieri iniziando dagli oggetti

più semplici e più facili a conoscersi per salire progressivamente, come per gradi, fino

alla conoscenza di quelli più complessi; e supponendo un ordine anche tra quelli di cui

gli uni non precedono gli altri e viceversa. E infine l'ultima era di fare ovunque enume-

razioni così complete e rassegne così generali, da essere certo di non aver tralasciato

nulla.

R. Descartes, Discorso sul metodo, 1637

... quando io vedo una tavola triangolare o quadrata, posso avere l'idea di un triangolo o

di un quadrato, quantunque una simile figura non esista mai di per se stessa o separa-

tamente da un oggetto reale, avente questa figura. Le idee dei numeri hanno un origine

del tutto simile: avendo visto due o tre persone o altri oggetti, l'anima se ne forma l'i-

dea del due, del tre, che non è più legata a quelle persone. Una volta arrivata all'idea

del tre, l'anima può andare oltre e formarsi idee di numeri più grandi, del quattro, cin-

que, dieci, cento, mille eccetera, senza avere mai visto esattamente tante cose insie-

me. [...] L'anima dispiega in ciò una nuova facoltà, chiamata astrazione, che si ha

quando l'anima fissa la propria attenzione esclusivamente su una quantità o qualità del-

l'oggetto da cui la separa, considerandola come se non fosse più unita ad esso.

L. Eulero, Sull'astrazione delle nozioni

a=a e a=b sono palesemente due proposizioni di valore conoscitivo diverso, poiché a=a

vale a priori e deve chiamasi, secondo Kant, analitica, mentre proposizioni della forma

a=b contengono spesso ampliamenti notevoli della nostra conoscenza e non sempre

possono venir fondate a priori.

G. Frege, Senso e significato

...per "segno" o "nome" io intendo qui una qualunque indicazione la quale compia l'uffi-

cio di un nome proprio, il cui significato cioè sia un oggetto determinato. [...]Il significa-

to di un nome proprio è l'oggetto che noi indichiamo con esso; la rappresentazione che

ne abbiamo è invece completamente soggettiva. Fra l'uno e l'altra sta il senso che non

è più soggettivo come la rappresentazione, ma non coincide nemmeno con l'oggetto

stesso. [...]useremo il verbo esprimere riferendoci al senso di un nome proprio (parola,

segno, nesso di segni, espressione), e invece il verbo significare o denotare riferendoci

al suo significato.

G. Frege, Senso e significato

I matematici sono come i francesi, qualsiasi cosa gli dici la traducono nel loro linguag-

gio e quel che così ottengono ha un significato del tutto diverso dall'originale.

W. Goethe

La matematica, che, nella sua più generale accezione,descrive le forme della realtà

comuni a tutte le prospettive individuali, mon può dunque presentarsi che come cono-

scenza simbolica ; senz'esser affatto una combinazione arbitraria di segni priva di rap-

porto con l'esistenza, essa ci procura quello che, nell'esistenza stessa, è sottomesso al

principio di non contraddizione o d'identità ed esaurisce così il campo dei possibili nel

senso più forte.

G. G. Granger, voce Matematiche in Enciclopedia Einaudi

Simboli, sebbene abbrevino la scrittura, ancora non fanno sì che il lettore comprenda

più rapidamente che se fosse scritto in parole. Perché la concezione delle rette e delle

figure ... deve procedere da parole o parlate o pensate. Così che c'è un doppio lavoro

della mente, uno per ridurre i simboli in parole, che sono anch'esse simboli, un altro per

riportare le idee a ciò che significano. Inoltre, si considera che nessuno degli antichi ne

ha mai usati nelle dimostrazioni pubblicate di geometria, né nei loro libri di aritmetica

... penso che non sarai, nel futuro, molto in accordo con essi.

T. Hobbes, citato in F. Cajori, A history of mathematical notations

Ecco il vantaggio di un linguaggio ben costruito, che la sua notazione semplificata di-

viene spesso la sorgente di profonde teorie

P. S. Laplace

Un linguista sarà sorpreso di imparare che se un insieme non è chiuso ciò non vuol dire

che è aperto. o ancora che "E è denso in E" non ha lo stesso significato di "E è denso in

se".

J. Littlewood, A Mathematician's Miscellany

La domanda "cosa sono i numeri" e i tentativi diretti di risposta hanno uno stato e una

funzione ambigui: non è chiaro se domanda e risposta siano matematica o metafisica,

se sia necessario rispondere per fare matematica, e se ci sia in matematica una rispo-

sta (una definizione) che però non è ritenuta soddisfacente o completa, o se la mate-

matica possa fare a meno di una risposta.

G. Lolli, Capire la matematica

Senza tema di esagerazione, si può dire che l'invenzione delle variabili costituisce un

punto chiave della storia della matematica; con questi simboli si è trovato uno stru-

mento che ha preparato la via per il grandioso sviluppo della scienza matematica e per

il consolidamento dei suoi fondamenti logici.


Dalla letteratura

La tecnica matematica è qui applicabile: il denso romanzo di Bahadur è una progres-

sione ascendente, il cui termine finale è il presentito «uomo che si chiama Almotasim.

J.L. Borges, Accostamento ad Almotasim

Gli ignoranti suppongono che infiniti sorteggi richiedano un tempo infinito; basta in re-

altà che il tempo sia infinitamente divisibile, come insegna la famosa parabola della

Gara con la Tartaruga.

J.L. Borges, Lotteria a Babilonia

Nel corridoio è uno specchio, che fedelmente duplica le apparenze. Gli uomini sogliono

inferire da questo specchio che la Biblioteca non è infinita (se realmente fosse tale,

perché questa duplicazione illusoria?); io preferisco sognare che queste superfici ar-

gentate figurino e promettano l’infinito...

J.L. Borges, La Biblioteca di Babele

Per ogni matematico

c'è un senso d'infinito

nel dar la caccia ai numeri

già sfuggenti di per sé

c'è un sogno pitagorico

che a me non è servito

adesso che

nel due per tre

so cosa 6 per me

Per ogni matematico

che non si è mai pentito

d'aver sbagliato un calcolo

ch'è già grave di per sè

rimane un senso logico


adesso che

nel tre più tre

so cosa sei per me.

Per ogni matematico

finisce l'infinito

se a confermar la regola

è l'eccezione di per sé

ma resta un caso unico


adesso che

nell'io più te

so cosa sei per me.

Per ogni matematico, Angelo Branduardi

“Sai sommare?” chiese la Regina Bianca. “Quanto fa uno più uno più uno più uno più

uno più uno più uno più uno più uno più uno più uno?” “non so”, disse Alice, “ho perso il

conto”.

L. Carrol, Attraverso lo specchio

Alice sorrise: “Non ha senso tentare”, disse, “non si possono credere cose impossibili”

“Direi piuttosto che non hai molta pratica”, disse la Regina, “quando ero più giovane, lo

facevo sempre per mezzora al giorno. Alcune volte ho creduto fino a sei cose impossibi-

li prima di colazione”.

L. Carrol, Alice nel paese delle meraviglie

“Dovresti dire ciò che pensi”, continuò la lepre marzolina. “Lo faccio”, replicò Alice

seccata; “o almeno penso ciò che dico, che è la stessa cosa” “Niente affatto! “, disse il

Cappellaio, “Perché allora potresti dire che «Vedo ciò che mangio» è lo stesso di

«Mangio ciò che vedo!»”

L. Carrol, Alice nel paese delle meraviglie

Ciò che dico tre volte è vero.

L. Carroll, The Hunting of the Snark

"Spero che hai avuto una buona notte, ragazzo." Bruno guardò sorpreso. "E' stata la

stessa notte che avete avuto voi", replicò. "C'è stata una sola notte da ieri!"

L. Carroll, Bruno e Sylvie

"C'è così tanta Scienza scritta che nessun essere vivente ha mai letto; e c'è così tanta

Scienza pensata che non è ancora stata scritta. [...] io penso che [...] ogni cosa scritta

nei libri, deve essere stata almeno una volta in qualche mente" "Quindi è come quella

regola dell'Algebra? [...] Voglio dire, se consideriamo i pensieri come fattori, possiamo

dire che il minimo comune multiplo di tutte le menti contiene quello di tutti i libri, ma

non il viceversa?"


"... questo portentoso movimento ha già raggiunto le dimensioni di una Rivoluzione!" " E

quali sono le dimensioni di una Rivoluzione?" [...] "Le dimensioni, vostra Eccellenza"

Non capisco!" "Bene, la lunghezza larghezza e spessore, se preferite!"


"Dovresti prendere esempio da Sylvie. Ella è sempre indaffarata per quanto è lungo il

giorno!" "Ma anch'io lo sono!" disse Bruno. "No, no!", Sylvie lo corresse. "Tu sei indaffa-

rato per quanto è corto il giorno!" "Non vedo la differenza." disse Bruno. "Signore, il giorno non è lungo quanto è corto? Voglio dire non è la stessa lunghezza?"


"L'Imperatore voleva che ognuno a Outland fosse due volte più ricco di prima, proprio

per rendere il nuovo Governo popolare. Purtroppo non c'era abbastanza denaro in Teso-

ro per fare ciò. Così io suggerii che bastava raddoppiare il valore di ogni moneta di Out-

land. È la cosa più semplice del mondo. Non capisco perché nessuno ci abbia mai pen-

sato prima!"


"Sapete Signore", Bruno osservò pensosamente, "che Sylvie non sa contare' Quando

dice «devo dirti una cosa», sono sicuro che mi dirà almeno due cose! E fa sempre così"

L. Carroll, Sylvie and Bruno concluded

"Non ha testa per l'Aritmetica" "Neanch'io naturalmente ne ho", disse Bruno, "La mia

testa è per i capelli, non ne ho molte di teste!"


"... ci sono due errori nella tua affermazione [...] uno è quello che chiamo fallacia di am-biguità – l'assunzione che far del bene (cioè beneficare qualcuno) è necessariamente una cosa buona da fare (cioè una cosa giusta). L'altra è l'assunzione che se uno di due atti è meglio di un altro, è necessariamente un atto buono in sé. Mi piace chiamare questa come la fallacia del confronto, intendendo con ciò che si suppone che compara-tivamente buono significhi positivamente buono."


"... dimmi tutto". "Non posso", disse Bruno. "Non c'è abbastanza tempo. Inoltre io non

so tutto."


"L'ignoranza degli Assiomi è un grave problema nella vita. Fa perdere un sacco di tem-

po a ripetere cose ovvie. Pere esempio prendiamo l'Assioma: Niente è maggiore di se stesso: cioè niente può contenere sé stesso. Spesso si sente la gente dire 'Era così ec-citato che non riusciva a contenersi' Naturalmente che non era capace. L'eccitazione

non ha niente a che fare con ciò."


Non è che non vediamo la soluzione. Il fatto è che non vediamo il problema.

G. K. Chesterston, Lo scandalo di Padre Brown

Quando avete eliminato l’impossibile, ciò che rimane, comunque improbabile deve es-

sere la verità.

A. Conan Doyle, Il segno dei quattro

È un errore capitale teorizzare prima di avere i dati.

A. Conan Doyle, Scandalo in Bohemia

Il Professore: "Sa contare? Fino a quanto sa contare?"

L’allieva "Posso contare fino ... all’infinito!”

P: "Impossibile, Signorina "

A: "Allora, facciamo fino a sedici”

P: "Basta così. Bisogna sapersi limitare."

E. Ionesco, La lezione

P: ... qual è il più grande? Tre o quattro?

A: ... tre o quattro? Qual è il più grande? Il più grande fra tre e quattro? In che senso il

più grande?

P: Esistono dei numeri più piccoli e degli altri più grandi. Nei numeri più grandi ci so-

no più unità che non nei piccoli...

A: ... che non nei piccoli numeri?

P: A meno che i piccoli abbiano delle unità più piccole. Se esse sono piccolissime, allo-

ra può darsi il caso che vi siano più unità nei numeri piccoli che non in quelli grandi... Si

tratta però di altre unità.

A: In questi casi i numeri piccoli possono essere più grandi di quelli grandi?

P: Sorvoliamo [...] quale dei due sarà il più grande? Il numero più grande o il numero

più piccolo?


Mrs Smith Discutevamo perché mio marito sosteneva che quando si sente suonare alla

porta c'è sempre qualcuno.

Mr Martin La cosa è plausibile.

Mrs S. E io invece sostenevo che quando il campanello suona è segno che non c'è nes-

suno.

Mrs Martin La cosa può sembrare strana.

Mrs S. Strana, ma convalidata non da dimostrazioni astrattamente teoriche, bensì da

fatti.

Mr Smith E' falso, dal momento che il Pompiere è qua. Ha suonato, ho aperto e lui era lì.

Mrs M. Quando?

Mr M. Subito, no?

Mrs S. D'accordo, ma soltanto dopo aver udito suonare per la quarta volta si è trovato

qualcuno. E la quarta volta non conta.

Mrs M. E' una regola generale. Solo le prime tre volte contano.

Mr S. Signor capitano , permetta anche a me di farle alcune domande.

Pompiere Dica pure.

Mr S. Quando ho aperto la porta e l'ho vista, era lei che aveva suonato?

P. Si.

Mr M. Lei era alla porta? Suonava per farsi aprire?

P. Non potrei negarlo.

Mr S. (alla moglie, con aria vittoriosa) Vedi? Avevo ragione. Quando si sente suonare, è

segno che qualcuno che suona. Non puoi negare che il capitano sia qualcuno.

Mrs S. No no e no. Ti ripeto che parlo unicamente delle tre prime volte, giacché la quar-

ta non conta.

Mrs M. Quando suonò la prima volta, era lei?

P. No, non ero io.

Mrs M. Vedete? Suonava e non c'era nessuno.

Mr M. Forse c'era qualcun'altro.

Mr S. Era alla porta da molto tempo?

P. Tre quarti d'ora.

Mr S. E non ha visto nessuno?

P. Nessuno. Ne sono certo.

Mrs M. E la seconda volta ha sentito suonare?

P. , ma neppure quella volta ero io. E continuava a non esserci nessuno.

Mrs S. Vittoria! Avevo ragione io.

Mr S. (alla moglie) Piano, piano. (Al Pompiere) E che faceva lei alla porta?

P. Niente. Ero lì. Pensavo a tante cose.

Mrs M. Ma la terza volta... non è stato lei a suonare?

P. Sì, sono stato io.

Mrs S. Ma quando ho aperto, non l'ho vista.

P. Mi ero nascosto... per scherzo.

Mrs S. Non scherzi, non scherzi, signor capitano. Questa storia è troppo triste.

Mr M. Insomma, però, resta da risolvere il problema che ci interessa: quando suonano

alla porta, c'è qualcuno o no?

Mrs S. Mai nessuno.

Mr S. Sempre qualcuno.

P. Vi metterò d'accordo io. Avete un po' di ragione tutti e due. Quando suonano alla por-

ta, talvolta qualcuno, talaltra non c'è nessuno.

Mr M. Questo mi sembra logico.

Mrs M. Pare anche a me.

E. Ionesco, La cantatrice calva

P : Riconosco che non è facile, è molto, molto astratto ...., evidentemente ... ma come

potrete arrivare, senza avere bene approfondito gli elementi, a calcolare mentalmente

quanto fa, ed è il minimo che possa richiedersi a un ingegnere medio –quanto fa, per

esempio, tre miliardi settecentocinquantacinque milioni novecentonovantotto mila

duecentocinquantuno moltiplicato per cinque miliardi centosessantadue milioni trecen-

totrentamila cinquecentootto?

A : (molto rapidamente) Fa diciannove quintilioni trecentonovanta quadrilioni due trilio-

ni ottocentoquarantaquattro miliardi duecentodiciannove milioni centossessantaquat-

tromila cinquecentootto.

P : (stupito) No, non mi pare. Deve fare diciannove quintilioni trecentonovanta quadri-

lioni due trilioni ottocentoquarantaquattro miliardi duecentodiciannove milioni centos-

sessantaquattromila cinquecentonove.

A : No .. cinquecentootto..

P : sempre più stupito, calcola mentalmente) Sì ... ha ragione ... il prodotto è giusto ....

(Borbotta in modo inintelligibile) Quintilioni, quadrilioni, trilioni, miliardi, milioni .... (Di-

stintamente) Centosessantaquattromilacinquecentootto .... (Stupito) Ma come lo sa lei,

se non conosce i principi del ragionamento aritmetico?

A: Semplice. Non potendo fidarmi del mio ragionamento ho imparato a memoria tutti i

risultati possibili di tutte le moltiplicazioni possibili.


O matematica severa, io non vi ho dimenticata, da quando le vostre dotte lezioni, più

dolci del miele, filtrarono nel mio cuore, come onda rinfrescante. Aspiravo istintivamen-

te, fin dalla culla, a bere dalla vostra fonte, più antica del sole, e ancora continuo a cal-

care il sacro vestibolo del vostro tempio solenne, io, il vostro più fedele iniziato. C’era

del vago nella mia mente, un non so che di denso come il fumo; ma seppi salire religio-

samente i gradini che portano al vostro altare, e voi avete cacciato quel velo oscuro,

come il vento caccia la procellaria. Avete messo, al suo posto, una freddezza eccessi-

va, una profonda prudenza e una logica spietata. Con l’aiuto del vostro latte fortifican-

te, la mia intelligenza si è rapidamente sviluppata, e ha preso proporzioni immense,

nell’estasiante chiarezza che voi donate con prodigalità a coloro che vi amano di since-

ro amore. Aritmetica! Algebra! Geometria! trinità grandiosa! triangolo luminoso! Colui

che non vi ha conosciuto è un insensato! Meriterebbe di provare i massimi supplizi; c’è

infatti un cieco disprezzo nella sua ignorante noncuranza; ma colui che vi apprezza e vi

conosce non vuole più alcun bene della terra; si accontenta dei vostri magici godimen-

ti, e, portato sulle vostre cupe ali, desidera solo innalzarsi, con volo leggero, tracciando

una spirale ascendente, verso la sferica volta dei cieli. La terra gli mostra soltanto illu-

sioni e fantasmagorie morali; ma voi, matematica concisa, grazie alla concatenazione

rigorosa delle vostre tenaci proposizioni e alla costanza delle vostre ferree leggi, fate

rifulgere, agli occhi abbagliati, un riflesso di quella suprema verità la cui impronta si

nota nell’ordine dell’universo. Ma l’ordine che vi circonda, soprattutto rappresentato

dalla perfetta regolarità del quadrato, l’amico di Pitagora, è ancora più grande;

l’Onnipotente infatti si è rivelato completamente, lui e i suoi attributi, nel memorabile

lavoro che consistette nel fare uscire, dalle viscere del caos, i vostri tesori di teoremi e

i vostri magnifici splendori. Nelle epoche antiche e nei tempi moderni, più di una grande

immaginazione vide il proprio genio, atterrito, nella contemplazione delle simboliche fi-

gure tracciate sulla carta bruciante, come altrettanti segni misteriosi, vivi di un soffio

latente, che il volgo profano non comprende e che non erano che la splendente rivela-

zione di assiomi e geroglifici eterni, esistiti prima dell’universo e che sopravvivranno

dopo di lui. Essa si domanda, china sul precipizio di un punto interrogativo, come mai la

matematica contenga tanta imponente grandezza e tanta incontestabile verità, mentre,

se le paragona all’uomo, non trova in quest’ultimo che falso orgoglio e menzogna. Allo-

ra, quello spirito superiore, rattristato, al quale la nobile familiarità dei vostri consigli fa

sentire ancor più la piccolezza dell’umanità e la sua impareggiabile follia, affonda la te-

sta canuta, in una mano scarna e resta assorto nelle sovrannaturali meditazioni. Piega

le ginocchia dinanzi a voi, e la sua venerazione rende omaggio al vostro volto divino,

come alla vera immagine dell’Onnipotente. [...] Ma voi, rimanete sempre le stesse. Nes-

sun cambiamento, nessun’aria ammorbata sfiora i macigni scoscesi e le immense valla-

te della vostra identità. Le vostre modeste piramidi dureranno più delle piramidi

d’Egitto, formicai eretti dalla stupidità e dalla schiavitù. La fine dei secoli vedrà ancora

erette sulle rovine dei tempi le vostre cifre cabalistiche, le vostre laconiche equazioni e

le vostre linee scultoree sedere alla destra vendicatrice dell’Onnipotente [... ] Voi mi

deste la logica, che è come l’anima stessa dei vostri insegnamenti pieni di saggezza;

con i suoi sillogismi, il cui complicato labirinto è tale quanto più è comprensibile [...] O

santa matematica, possiate, con il perpetuo commercio, consolare il resto dei miei

giorni dalla malvagità dell’uomo e dell’ingiustizia del Gran Tutto.

Lautreamont, I canti di Maldoror

Bisogna evitare, disse Triuscaillon, che, in questa semplice ellisse si utilizzi iperboli-

camente il circolo vizioso della parabola.

R. Queneau, Zazie dans le métro

I tempi sono tristi,

Il vecchio mondo s’usa

a trascinarsi il fianco nel giro dei pianeti

le balene si fan sempre più rare,

i feti voglion dar fuoco all’alcol

ove la vita han chiuso.

Per consolarti, o povera anima mia, ripeti:

“il quadrato costrutto sovra l’ipotenusa

è la somma di quelli fatti sui due cateti”

Anima mia, rammenti,

dall’ombre d’oggi illusa,

questo non ti riporta al raggio dei dì lieti?

O che, non ci fiorivano nel cuor tutti i roseti,

al tempo in cui, a zuffa con l’algebra confusa,

sui banchi imparavamo, monelli irrequieti, che


è la somma di quelli fatti sui due cateti”.

Ora i tempi a mal volgono

l’un polo l’altro accusa di accaparrarsi il ghiaccio

e sono ambo inquieti,

l’oche pretendon essere, ahimé, cigni,

i poeti annegano in troppa acqua il vino della musa,

le questioni scottanti bruciano tutti i tappeti, ma



Il cannone, tamagno delle battaglie, abusa della sua voce e fulmina.

O dunque, dai roveti ardenti più non parlano i geova e i profeti

Non tentenna la terra un guardo di Medusa

Un mane o te che il fares è a tutte le pareti, ma



La vita è una prigione, finché l’anima è chiusa,

uomo, ed invan brancoli, cercando alle pareti,

sono di là da quelle, i bei fonti segreti

ove tu aneli e dove la pura gloria è fusa,

Qui solo hai qualche gocciola di vel per le tue seti.

“Il quadrato costrutto sovra l’ipotenusa


E. Ragazzoni, Il Teorema di Pitagora

“Lei è certamente di quelli […] che si vantano di non capire niente di matematica, che

sono fieri di non poter superare il ponte degli asini” “Per quel mi riguarda”, disse Saxel.

“E non la rattrista?” “Dovrei?” “Certamente. Che soddisfazione si può provare a non ca-

pire qualcosa? […] Non esiste un solo mondo, quello che lei vede o che crede di vedere,

o che immagina di vedere o che vuole vedere, quel mondo che toccano i ciechi, sento-

no i mutilati e annusano i sordi, quel mondo di cose e di forze, di solidità o di illusioni,

di vita e di morte, di nascita e di distruzioni, il mondo in cui viviamo, in mezzo al quale

siamo soliti addormentarci. Per quel che ne so io, ne esiste almeno un altro: quello dei

numeri e delle figure, delle identità e delle funzioni, delle operazioni e dei gruppi, degli

insiemi e degli spazi. C'è gente, come sa, che pretende si tratti solo di astrazioni, co-

struzioni, combinazioni. Vogliono far credere a una specie di architettura; si prendono

degli elementi nella natura, si affinano, si puliscono, si prosciugano e lo spirito umano

costruisce con questi mattoni, una casa splendida, magistrale testimonianza della po-

tenza della sua ragione. Dovete certamente conoscere questa teoria, il vostro professo-

re di filosofia l'avrà sostenuta: è la più volgare che ci sia. Un fabbricato, considerano la

scienza matematica un fabbricato! Ci si assicura della solidità delle fondamenta prima

di costruire il pianterreno si passa al primo piano poi al secondo e così di seguito senza

che ci sia motivo di interruzione. Ma in realtà le cose non vanno così; non all'architettu-

ra, all'edilizia bisogna paragonare la geometria o l'analisi,ma alla botanica,alla geogra-

fia, alle scienze fisiche. Si tratta di descrivere un mondo, di scoprirlo e non di costruirlo

o inventarlo, perché esiste al di fuori dello spirito umano e indipendente da esso. Dob-

biamo esplorare quest'universo e dire poi agli uomini quel che ci abbiamo visto. Ma per

esprimerlo, occorre un linguaggio: quello dei segni e delle formule, quello che si consi-

dera comunemente l'essenza stessa della scienza e non ne è che il modo d'espressio-

ne. Questo linguaggio si rivela ancor più impotente a descrivere le ricchezze del mondo

matematico che non la lingua francese a formulare la molteplicità delle cose, poiché

esse non si situano allo stesso livello d'esistenza.

R. Queneau, Odile

Exercices de style di Raimond Queneau Consiste nel raccontare 99 volte in 99 diversi

stili letterari e non solo, lo stesso banale fatto di un giovane dal lungo collo che litiga

sull'autobus e che successivamente incontra un amico. Almeno due di questi racconti

sono narrati da un punto di vista matematico.

Visione insiemistica

Nell'autobus S consideriamo l'insieme A dei viaggiatori seduti e l'insieme D dei viaggia-

tori in piedi. Ad una certa fermata vi è l'insieme P delle persone che aspettano. Sia C

l'insieme dei viaggiatori che salgono; questo è un sottoinsieme di P ed è anche l'unione

di C', insieme dei viaggiatori che restano sulla piattaforma, con C" , insieme di quelli

che vanno a sedersi. Dimostrare che C" è vuoto.

Sia Z l'insieme dei giovinastri e {z} l'intersezione di Z con C', ridotto a un solo elemento.

In seguito alla suriezione dei piedi di z su quelli di y (elemento qualunque di C' diverso

da z), si crea un insieme M di parole pronunciate da z. Essendo adesso l'insieme C" non

vuoto, dimostrare che è formato dal solo z.

Sia adesso P l'insieme dei pedoni che si trovano dinanzi la Gare Saint Lazare, {z, z'},

l'intersezione di Z con P, B l'insieme dei bottoni del soprabito di z, B' l'insieme dei pos-

sibili spostamenti dei sopradetti bottoni secondo z', dimostrare che l'iniezione di B in B'

non è una biiezione.

Visione geometrica

In un parallelepipedo rettangolo si tracci la retta di equazione 84x + S = y; un omoide A che, al di sopra di una parte cilindrica di lunghezza l > n, porta una calotta sferica cir-condata da due sinusoidi, presenta un punto di contatto con un omoide banale B. Dimo-

strare che questo punto di contatto è un punto di arruffamento.

Se l'omoide A incontra un omoide omologo C, allora il punto di contatto è un disco di

raggio r < l. Determinare l'altezza h di questo punto di contatto in rapporto all'asse ver-ticale dell'omoide A.

Sull’apprendimento -...

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