1992 Sessione suppletiva

1 ) Studiare la funzione y (x) = cosx n e-> perx 3 0. Essa, in opportune unità di misura, rappresenti la corrente elettrica di scari- ca di un condens~torc attraverso una impedenza, essendo x il tempo. In tal caso la carica Q inizialrnent prcsenie sulle mature del condensaio-

P"

m i: data da Q = I y(x)&. Calcolare i l valore di Q. J, Risoluzione

La curva inlerseca l'asse x in infiniti punti del tipo:

si accosta asintoticamente all'asse x, essendo

Iim y = O ,T+ +-

Poiché

= epr (-scnx - cos x) , y" = 2 e-T senx, la funzione ammette minimi relativi in corrispondenza dei punti N,, rnassi- mi reIativi In corriqpondenza dei punti Mk e fle~si a tangente obliqua nei punti F, del tipo:

4 = { k ~ : c a s k i ~ + e - ~ ) , c o n k = 0,1,2, ..... Si tratta della legge con cui varia l'intensità di corrente in un circuito RLC serie (circuito oscillante con oscillazioni armoniche srnomate di pulsazio- nc = 1 e ampiezza dccrescente con legge esponenziale n = e-').

MC 135 TF Fascicolo di oggiornamentu allegato al volume cod. MC 135 RA, G. Marino, Temi mi- nistcria!i di rnoternotic~ per i licei scisnliki.

pag 1 di 4 3

La carica presente inizialmente sulle m a t u r e del condensa~orc è:

1

Infatti, integrnndo per parti si ha:

COPX e-" dx = senx COSX+

1 C, cos x - = -e-Ysen x - cos x ) + -.

2 2

Ti grafico k quello di figura, delimitato dal punto: A (O; 1).

2) In una semicirconferenza di diametro = 2r i~scrivere il hangolo ABD retto in D. Tracciare la bisettrjce deIl'angolo DAB:*tale bisettrice in- tersechi i l segmento BD in E. Indicato con x l'iingalo BAE, determinare i l rapporto y tra la lunghezza del segmento RE e la lunghezza del segmento -

BB BD: y = =. Calcolare il rapporto y per x tcndentc a zero, quindi rappre-

BD I sentare In funzione y =f lx ) . I

l Risoluzione I

NcI triangolo di figura si ha:

Pcrciò, per i1 teorema sui triangoli rettangoli del triangolo RDB, rettangolo in D perché inscritto in una scmicirconferenza, e per il teorema dei seni dal triangolo AEB si ha:

- - 2rsenx R Q = 2 r s e n 2 ~ = 4 r s e n x c o s x ; BE=-.

COSX

La funzione da studiare è, allora: 1

v=- 7c sen x

, c o n 0 < x S - , edy'=- " 2cos2x 4 cm3 x

la curva è delimitata dai punti:

ammette tangente parallela ali' a s e x i n A e rappresenta una funzione cre- qcente in tutto il dominio. Il grafico quello di figura.

Y 1

3) Dati i due punti A (-1 ; O) e B (1: 0) determinare il luogo dei punti - PA

P = (x, y ) tali che = = k con k > O. Descrivere le caratteristiche deIle PR

curve trovate come luogo. Trovato, per k $ 1, il centro di tali curve in funzione di k, studiare J'anda- mento dell'ascissa del centro di tali curve al variare di k.

Imponendo al punto P la proprjetà, si ha: per k = l, x = O (asse del segmento AB);

k2 +l per k * 1, x' + y' +2x.- = O (circonferenza con centro sull'aqse .ic e

l - k 2 raggio variabili al variare di k ) . In parlicolare, l'ascissa del centro è:

Essendo lim x = -l, Fim x=-m, Iiinx= t-, lirn x = lt, k+O+ k+t- k + 1 4 k-!.I-

la curva rappresentativa è delimitata dal punto A (0; -l), ammette nsintoto verticale di equazione k = l e asintoto orizzontale di equazione X = I . Dallu sludio del segno di

-4k X' = -,

( k 2 -

si deduce che la funzione è decrescente in ogni intervallo del suo dominio e la curva riippresenlaliva animette tangente parallela all'asse x in A. 11 grafico e, perciò, quello di figura.

1992 Sessione ordinaria sperimentale PNI

l) In un piano cartesiano ortogonale 0q si considerino le parabole C e C' di equazioni rispettivamente:

v-$=& yZ+Rx-6~-3=0. Si verifichi che C e C'ssono tangenti in A ( I ; 1) e che hanno in comune un ulteriore punto P. Detto P un punto deIla retta AB, siano QQ' la corda in- tercettata da C snlla parallela pcr P all'asse dcllc ascisse, RRf la corda in- tercettata da C' sulla pararlela per P all'asse delle ordinale ed S la proiczio- ne di P sulla retta di equazione y + 2 = 0. Si studi come varia il rapporto:

-1

8 L'S*

@Q' . RR'

al varian: di P, determinando in particolare il suo minimo. Si calcoli l'area della regione finita di piano delimitata da C e Cf.

Risoluzione Dal sistema delle due equazioni, si trova l'equazione risolvente:

(x - I l3 (x t.+ 3) =o; per cui A risulta un contatto tripunto delle due curve e l'altro punto cornu-

I ne 5: B 1-3; 9).

Essendo V(O; O ) e V' i vertici delle due parabole, si tracciano i grn-

fici di figura.

Trovata

X

----Lrc------- -- 0

S

l'equazione della retta AB: y=-2,~+3, 3

si ponc P ( t ; - 2 ~ + 3), con t < -. Perciò, i punti della prima curva di cirdi- 1

' L

nata uguale a quella di P sono:

mentre, i punti della seconda curva di ascissa uguale a quella di P sono

quindi: - - - - QQ'=2+=; RR'=4&-2t; PS=5-21.

La funzione da studiare è, allora: (5-2fj' z=-

3 , con t <-.

3 - 2t 2 Essendo

è facile stabilire che la funzione ammette minimo relativo ed assoluto r = 8 1

per t =l. Nel grafico ? rappresentato con A. 2

11 grafico, inoltre, risulta asintntica rispetta alle rette:

interseca l'asse delie ordinate nel punto B , per cui i l suo anda- mento t i l seguente:

La regione racchiusa dalle due parabole 6 la somma di due segmenti para- bolici, per cui la sua area, detti a, e a? i primi coefficienti delle equazioni delle due parabole, è:

Se si vuole determinare l'area mediante i1 cdcole integrale conviene con- siderare i1 primo segmento paraholico normaIe rispebo all'asse x e i1 se- condo normale rispeiio ail'asse y.

2) h un piano cartesiane nrtogonale si indichino con x e le coordinate di un punto P e con X e Y le coordinate di un punto P'. Si consideri ]:i trnsfor- mazione:

X = a x + b y

Y = a'x + h'.v

tale che al punto A di coordinate x = 1 , y = 1 corrisponda il punto A' di coordinate X = O, Y = 2 e al punto R di coordinate x = I , y = O corrisponda i l punlo R' di coordinate X = 1 , Y = O . Si studi la trasforrna7,ione ottenuta determinando in particolare i punti e le rctte che si trasformano in se siewi. Detto u i'angolo uculo formato dalla retta r di equazione y = i7zr e dalla sua tra~fomata i-', si studi come varia la tangente tri_gonoineirica di a al varia- re della retta r determinando in particolare il maqsimo relativo e i l massi- mo assoluto di tg a.

Soctituenda neIla legge a s, y le coordinate di A e a X, Y quelle di A' e, poi, a X, y le coordinate di B e a X, Y quelle di B'. sì trova che la trasformazio- ne C:

F ( X = x - y , Y = 2 y ) ,

che è un'affinità di rapporto R = I ab' - a'b l = 2 e avente come inver- sa la

1 T - ' :

Ponendo x = X e y = Y si trova che sono punti uniti tutii quelli che appar- tengono all'asse x. *Trovata la trasformata dell'eqriazirine y = mx + q ed im- ponendo che resti invariata, sì trnva che le rette linite sono quelle di equa- zione y = -x + q. Trovata la trasformata ddIa retta di equazione y =m:

e detti m, e m, i loro coefficienti angolari, si treva la tangente defl'angolo acuto formato dalle rette con la formula

1 Si trova la funzione:

I Studiando la fumione y = f (m), si mua che essa esiste tl m E R, che il suo grafico interseca l'*se delle ascisse nei punti:

A - 1 , B(O;0);

ammette come asintoto la retta di equazione:

Trovata la derivata prima

si deduce che la funzione ammette minimo relativo e massimo relativo, ri- spettivamente per:

Tenendo presente che f (rn) . p e r m < - l e p e r m 2 0

~f ( m ) ~ = { -J (m), per - 1 I m 50,

La funzione tg a ammette minimi relativi e assoluti in corrispondenza dei punti angolosi A e 8, massimi relativi nei punti:

C (-t: i), D (1; L).

massimo assoluto in D. Perciò, iI grafico è il seguente.

A Y

2 -L

t

A It T 2 X

3) Si desideri fondere due sequenze R e R di numeri interi, non ordinati e con evenwali valori ripetuti, in un'unica sequenza C nella quale compaio- no, in ordine crescente e scnLa ripetizioni, i valori presenti in A e in B. ii candida~o, formulate le eventuali ipotesi aggiuntive che ritiene necessa- rie, proponga e illustn una procedura per risolvere il pi-ohlema e la codifi- chi in un linguaggio di sua conoscenza.

Risoluzione

Pmceduro

Si dispone di due insiemi A e B di numeri interi. Supponiamo che al primo insieme appartengano in = 4 numeri e all'insieme 13 appartengano n = 6 nu- meri così disposti:

A = / 3 , 7. 2. 51; &=(5, 1, T . 9, 4, 3).

La procedura vale per qualunque valore di m e per qualunque valore di n. Inoltre, i numeri possono essere ripetuti sia nello stesso insieme sia passan- do da un insieme ail'alm.

Per formare un'unica sequenza C formata da tutti i numeri di A c di B , in ordine crescente e senza ripetizioni, si pub procedere nel seguente rnodu: -con il primo elemento di A si forma la prima sequenza:

C = (3) - si confronta il secondo elemento di R con gli elementi della sequenza già formata: se 2 uguale a un eIemento della sequenza, non viene inserito; al- trimenti. viene inserito nella sequenza secondo la pusizione che gli spetta, ottenendo iina nuova sequenza:

C = { 3 , 73 - l'operazione suddctta si ripete sino n esaurire gli elementi di A e, poi, quelli di B. Ecco i vari passaggi:

inserisci 3 -+ 3; Tnserisci 7 -3. 7 ; Inserisci 2 4 2, 3, 7; Inserisci 5 4 2, 3, 5, 7; hscnsci 5 +J 2, 3, 5, 7; Tnserisci l + l , 2 , 3, 5, 7; rnserisci741, 2 , 3, 5 , 7; Inserisci 9 1, 2, 3, 5, 7, 9; Insensci4+ 1, 2, 3, 4, 5 , 7, 9; Tncerisci3+1, 2, 3, 4, 5 , 7. 9.

Corl(ficuione in Turbo Pasca1 (Limoli Ettore) Versione 7 O alfre.

Program Unione; uses

c r t ; const

n = 4; a : amay [L..n] of integer = (3, 7, 2, 5); m = 6; b : array [l . .m] of W g e r = (5, 1, 7 , 9, 4, 33;

var c : axray [l..n -t mJ of integer; x : integer; k : integer; L : Integer;

Procedure Vedì; var

i : fnteger; begin

for i : = L downto L do write (C [il : 43; wrikr;n;

end ;

Procedure Irqserfsci {x:integer;p:integer); vm

1 : integer; - begm

if c[p] <zx then begin for i :=L downto p+l do c[il:=cli-11; c[pI :=x;

end else cieca); end ;

W t i o n Posizione (x:integer) : integer ; Ym'

i : in'ceger; begin

i:=l; while x<eli] do hcCD; posizione: =i;

end;

be@n clrscr; L:=O; WriteLn('Inserisci elementi del lo insieme'); for k:=l t o n do

begin x:=a[kl; inc(L); Inserisci Cx,posizioneCxlS; Write ( ~ 4 , '=>'l; Vedi;

end; ~ r i t e z r i ; WriteLn ('Inserisci elementi del 2" insieme'); for k:=l t o m do

beg h x: =b[k] ; incCL); Insemsci (x, posizione Cx)); Write (x:4, '=>'l; Vedi;

end; ReadLn;

end.

1993 Sessione ordinaria

1) La funzione f (x) sia rappresentata: K p e r x I I day=-3?+Hx, p e r x r l da y=-.

x ?

Determinare le costanti H e K, in modo che la funzione y =J(x) e la sua d e rivata siano continue in x = 1 . Rappresentare la funzione così trovata e cal- colarne l'integrale dcf nito tra O e + m.

Risoluzione Imponendo che:

f (i>= lim f(x) e iim f ' ( x ) = i i f ' (x) , i++ T-1- 1 . 1 1

si trovano i valori: H=4, K= 1.

il grafica della funzione è costjtuito da un arco di parabola, di vertice V -. -

1 [:*;l

e da un arco deIla curva v = - asintotica rispetto al semiasse positivo x2

delle x, definiti rispettivamente per x 5 1 e per x > 1. T due archi si raccor- dano, quindi, nel punto A ( 1 ; l ) .

A

Y I

U

m X

L'integrale richiesto è dato dalla somma di due integrali definiti, dei quali i[ secondo è improprio:

f ( x ) dr = I-3x2 -t 4 x ) & + lirn - dl- = =,.... = 2. 1 1 0 l-+* J : ' 2) Dato un sistema di assi cartesiani ortogonali di centra 0, tracciare Isi eir-

conferenza y di raggio unitario e centro 0. Detto A i l punto di coordinate ( l ; O), indicare con B Pangolo formato da una generica serniretka uscente dallbrigine con il semiasse positivo dclle x e con P il punto in cui tale semiretta intcruecii y ( P ~ A = 8). Determinare in funzione di 8 I'ordinata y del punlo Q appartenente al semiaqse positivo delle y tale che m = 2. Descrivere, limitandosi all'use della derivata prima, la funzione y = f (O) trovata. Se P ruota sulla circonferenza con velocith anmlare costante, il moto di Q quali caraaeristiche presenta? Negh istanti in cui Q ha veiocità niilla, P dove si trova?

Risoluzione A

Y , e

Posto Q (O; y ) e poicht P (cos 8; sen 8) si ha:

- v = s e n ~ + J 3 + s e n ? ~ V O E R

Essendo

sen 8 cose yr = cos8-b ~zz i '

71 si stabilisce che la funzione ammette inas5imo per 8 = - + 2 k i ~ e minimo

3~ 2 per Q = - + 2 k i c . ' d k ~ Z .

2

Ete Se P ruota sulla circonferenza con velocità angdare costante w = -, Q

oscilla dal punto (0; 1 ) al punto (0; 3) e viceversa con velocità: dt

a'y dy d0 V = - = - - = y ' ( 0 ) . ~

clr de dt n

Essendo la velocità angolare W costante, v si annulla per e = - + kn. In cnmispondenza, P si trova nci punti (0; l} e (k -1). 2 Si osservi che il moto di Q t periodico ma non armonico, in quanto f (0) non è una sinusoide.

3) Sia:

i x=sen t

y = sen 2r

Esprimere y in funzione di x e rappresentare tale funzione che si presenta sotto la forma y = f f (x). Individtittre simmetrie e caratteristiche del grafica trovato. Calcolare l'area della regione racchiusa dalla figura trovata.

(L'integrale proposto 2 di facile esecuzione se si pone 1 1 1 = 2).

Risoluzione Essendo per la formula di dupIicazione del seno:

sen 2t = 2 sentcost e sostituendo la prima nella seconda, si ha:

y=f2x111-x2.

1 gratici delle due funzioni sono l'uno ~immetrico deIl'altro rispetto all'as- se x e all'asse y e ciascuno 2 simmetrico rispetto dl'origine, per cui ci limi- tiamo a stiidiare quella rappresentata dall'equazione:

y = 2 x m. Essa è definita per:

-1 5 x 2 l. T1 suo grafico interseca l'asse x nei punti:

A (-[;O), O(O;O), B(I;O):

i: simmetrico rispetto all'origine e non ha asintoti. Dallo studio del segno della derivata prima:

2(1 - 2 x 2 ) Y'

Essendo: V'(- l ) = lim y' = -rn e ( ) ] i y' =-m,

,\+l-l)+ -741 - 1 1-

i pumi A C R sono a tangente parallela all'asse y . Il punto 0, come centrrl di simmetria, è di 1lesso a tangente obliqua di equazione:

y = h . La curva completa, riportata in figura, b nota con il nome di krnaisca~a di Bernoulli. Essa I? la composizione di due moti armonici su assi ortogonali, con la stessa fase (cp = O ) , Ia stessa ampiezza ( A = I ) e frequenza l'uno dop- pia rispetto all'altro. Sono evidenti le sue simmetrie rispetto agli assi e ri- spetto all'origine.

/A

Per tali motivi l'area delIa regione racchiusa dalla curva è il quadrupto di quella delimilak dalla curva e dal semiasse pnsitivn delle x:

S = 4 2 x m h a Ponendo:

s i ha: xdx = -zclz.

Poiché: x = O * r = l C x = l * z = O ,

s i ha:

1993 Sessione suppletiva

1) In un sistema di assi coordinati cartesiani ortogonali simo:

A ( - I ; - ? ~ ) e B[I;ì).

Determinare il punto P appartenente all'asse delle x tale che sia minimo - r

y = n A P + P B ove si 2 posto n=42.

Tracciata la retta r perpendicolare all'asse deiie x in P verificare che, delli p l'angalo fotmato dalla serniretta PB con la retta r e a l'angolo formato dalla serniretta PA con la retta r, è:

sen ot

Risoluzione Rifenammi alla seguente figura:

Posto P (x; O), la funzione Tichiesta e la sua derivata sono:

q5 (1 + l) x - l ? = J Z JXZxT4+11x2 -2x+~ ; _ v t = ~ x ' t 2 x + 4 + q'i'-2*+2'

Ponendo la derivata uguale a zero, si ha che la soluzione x è tale chc:

3'5

"nnp 2 , -I <x < 1 per Ia condizione di positivila del radicale e - - - - 1 '

seria ,

da cui si deduce che: f3 = 45". a = 30" e, quindi, x = O.

La sotuzione trovata t chiaramente unica e risulta facilmente che y (O) è minimo. La reiazione

sen p -- - n sen ol

esprime la legge della rifrazione, con passaggio della luce drtl vuoto ad un mezzo di indice di rifrazione a. Essa è una conseguenza del teorema di Fermat: "11 tempo impiegato da un raggio luminoso per andare da un punto B ad un puntn A è il ininirna possibile". Infatti, è facile far vedere che la funzione assegnata, a meno di una costante moltiplicativa positiva, rappre- senta tale tempo in quanto la velocità della luce nel vuoro è C e in un mez-

zo di indice n è L. n

2) Studiare la funzione:

y=\x - x

Quali considerazioni si possono fare sul punti di ascissa x = O e x = 1 ?

La fiirizione esiste t, x E R; il suo grafico t asintotico rispetto alla retta di equazione:

Trovata la derivata prima: 3x - 2

v '= - , 3:[. ( x - 1)'

si stabilisce che la fitnzione ammette minimo e massimo relativa in corri- spondenza dei punti

Inoltre, si trova che 5 è, anche, un punto cuspidale e che il puntn

un punio di flesso a tangente vei~icale. E facile pmvare che la curvn non ammertc aItri punti di flesso e che in par- ticolare la funzionc

t convessaperx<OeperO<x< I , k concava per x > 1.

Il suo grafico t i l seguente:

3) Studiare la funzionc:

dopo aver determinato il valore di k in modo che la funzionc abbia un mas- 7C

simoper x = - . 3

Supposto che la funzione rappresenti il valore numerico dell'intensità (espresw in newton) di una forza che agisce lungo l'asse delle ascisse (ove x rappresenti i l valore iiuinerico della distanza in metri), calcolart i l lavoro fatto dalla fona quando i l suo punio di applicazione si sposta dalla posi- zionex=O a x = -. (L'integrale propoqto è di facile esecuzione se si pone k - cosx = t ) .

Risoluzione Trovata la derivata prima

k c o s x - l .f '(1) =

( k - cos x)" 1 si ha f' (:) = 0 per k = 2, per cui la funi inni in srudiire e:

Studiamo dapprima la f~~nzionc senza il valore assoluto e limitritamente al- l'intervallo [Q, 2x1, corrispondente ad un suo periodo. Si ha:

sen x 2cosx - I R Ix)=- r g ' ( x ) =

2-cosx (2 - cos x ) ~

1 La curva interseca l'asse d d e xnei punti: O (0; O), A {n; O), L? (27~; 0); am-

mette massimo relativo nel punto C -; - e minimo relativo nel pun- (I :) t0 -n;- (: -:) , Tenendo conto che f (x) = g ( x ) per Q S x S 7~ e che

I f (x) = -g (x ) per n 4 x 5 h, s i ha i l seguente grafico deiiaf (x):

Tn particolare.. si deduce che la f ( x ) ammene massimi relativi in conispon- denza dei punii

ininimci rclativn iicl piintu i inploio

A (TI : 01.

E noto che il lavoro di una forza variabile lungo In sua rcua d'aiiiine ii ot- tiene suddividendo lo ~pci<Yiimeiito in ianti spostiimenti elementari 4.r. enl- :olando la somma

f i Ax t.f7 A.r + ........... +,C, Ax,

zssendo,f; la Forza calcolata in un piinto generico del prima inlervallo, fi il valore della form in un piinto gencrico del sccondo iiitci-vallo. ... : calcolan- dn il lirnitc della somma per A x + O. Percib:

e tenendo conto che

si ha:

L = dt = [ln = in 3 (jou~c).

1993 Sessione ordinaria sperimentale PNI

1) Si studi ta funzione:

c s i tracci, in un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogondi 09, la curva G di quazionc y = f (x), verificando che essa è s imetr ica ri- speno alla retta di equa~ione x = 1 . Si determinino in particolare le equazioni J = g, (x ) c y = gz (x) degli asin- loti di C. Si determini sull'asse delle ascissc l'intervallo T di misura massi- ma tale chc, per ogni x E l , L'errore assolulo che si commette, sostitiiendo a

I

f ( x ) il valore g, ( x ) o g, (x), sia maggiore di ( k intero). Successiva- 1 0'. . -

mcnte sì deqcriva una pmceùura che consenta di calcolare gli estremi di ta- le intervalln e la si codifichi in un linguaggio di programmazione cono- sciuto.

Risoluzione La funzione esiste tl .T E R e la curva rappresentativa è simmetrica rispetto

x 1- X' alla retta x = l , in quantn,f (2 - x) = f ( x ) data che x , x' E H, - = I a f ( x ' ) = f (.t). è asintntica rispetto alle rettc: 2

incontm l'asse y ncl pimta A (0: I + &). Trovata la derivata prima

t? facile stabilire che I l punto B ( I ; 3) corrisponde a un minimo relativo. h facile stabilire che la funzione è convessa in tutto il tlominio, per cui il grafico t? quello di Figura: ramo di iperbole equilatera, avente carne assi di simmetria le rette x = 1 e Y = I (asse non traverso), e contenuto nel semi- piano p > 1 .

\

1 /

\ /

2\; ,' ,' -. /

,' T A- r

1 \ / \

/ , \

/

L

,' 1 2\, X

/ /

-.. /

\

/ \

/

-. '. Data la simmetria della curva e dei due asintoti rispetto aUa retta x = 1, ba- ,sta determinare un estremo X , dell'intervallo I e dcdurre l'altro estremo -v2 sfruttando la simmelria (x, = 2 - 1,). A tal proposito, si impone:

1 f Ix>-g,Ixj 2-;

I D' si trova:

Prriceduru I1 problema 6 equivalente a quello d i determinare le radici approssimate (con un errore tr marsimo) dell'equazione:

F (x) = O, con F (x ) = f (x) - ggl (x) - er.

Si può procedere sfnittando il metodo di bisezione o iI metodo delle secanti o il metodo delle tangenti. Riportiamo d i seguito il metodo di bisezione.

t fig. 1 fig. 2

Facciamo l'ipotesi di avere individuato per una funzione continua un inter- vallo [ C I . 61, in cui la funzione si annulla una sola volh, come nel caso di funzione convessa nel17intervaIlo (fig. I ) o di hnzione concava (fig. 2). In tal caso si verifica che:

F (a) F (h) 0.

È possibile individuare la radice dell'equazione mediante il seguente ciclo iterativo:

ai+h a) Si dekrmina il valore medio x, = - e si confronta F (x,) con F (a);

2

b) se F (x,) F (a) > O, si assegna ad u il vaIore xM; se I; (x,) F (a) < O, si as- segna a b i l valore di x , ~ ;

n ciclo si ripete sino a quando si verifica una condizione, ad esempio sino a quando:

l F (x,~) l m7. L'uItimo valore di x, trovato rnppresenta la soluzione approssimata a me- no di lo-'.

Program Bisezione; Uses m%; Var

a, b, xM, x, er: real; Function F Cx:red):real;

B e m - F:sqTt (x*x-2rx+5 )+l-x-r;

End; Bern

C r n C R ; W~ite('emore='); readlli<er); Write ('a='); readlnCaj; Write C'b='); readln 01);

a ~(a)*~(b)> 0 then Writeln ('cambia a e b') eise begm

. repeat xM:=(a+b)/2;

if ~ ( f i ) * f ( a ) > O then a:=xM

else b: =xM;

unti1 abs(F<xM)) < 1E-7- writeb ('la, soluzione e', XM: d : 7);

end ; reaidln;

end.

2) Si stabiliscano le relazioni cui debbono soddisfare n e b afinche i1 siste- ma di equazioni:

mi- y + - h ~ = l x + y + a z = l x-kay-i-IYZ= I

ammetta un'unica soluzione o inf nite soluzioni a nessuna soluzione. Interpretando n C b come coordinate di un punto di un piano riferito a un sistema di assi cartesiani ortogoiiali Onk, si determini il luogo dci punti del piano soddisfacente alla condizione x, = 2yDz,, essendo x,, y,, q, la soluzio- ne del sistema ncl casci essa sia unica.

Risoluzione Trovato il determinante della matrice A dei coefficienti

I A 1 = (LI - 1) (2b - ci2 - a).

si stabilisce chc il sistema ammette un'unica saluzione per:

In tal caso, la soluzione, che puh essere determinata Con la regoIa di Cramcr, E :

Per a = 1 e V b E R, il sistema & indeterminato, per avcrc due equazioni (u2 + a ) .

uguali; per a 3 l e per b # - , in quanto i1 rango di A e 2 e quelle 2

della matrice completa 5 t?. 3, il sistema è impossibile per il teorema di Rouché-Capell i. Imponendo la condizione del problema, si ha che il luogo è:

ossia la prima bisettrice privata dei punti {O; O), {l; 1 ) e una parabola priva-

ta del punto ( 1 ; l ) , con asse parallelo all'asse y e di vertice V -; - . (i 8) 3) Un imputato innocente devc essere giudicate da una giuria composta da tre giurati i l cui verdetto finale C raggiunta a rna~gioranza. I trc giurati A , H, C assumono la loro decisione indipcndcntcmenre. I giurati A e H han- no prrihabilità p (0 < p 1) di decidere per I'assoluxione, mentre il giurato

C decide in base al risultato ottenuto nel lancio di una moneta. a) Si calcoli la probabiliti che l'imputato sia assolto. b) Supponendo di sostittiire il giurato C con un altm giurato D che ha pro- babilità p' + p IO < p' < l } di dccidcre per l'assoiuzionc, si verifichi che In probahilitk di assoluziole per l'imputato t maggiore che nel caso prece-

dente se e solo se p' >L. 2

C) Qualora gli imputati siano tre e siano giudicati, indipendenkmente tra di Io- m, dalle giurie prima considerate, si esprima la probabiliti dei seguenti eventi: E , (la giuria composta da A, R, C ne aqsolve due su tre); E, (la giuria composta da A, B, D ne a~snlve tre su tre); E, (la giuria composta da A, B, D ne assolve almeno unti),

3 In partico1are per p = - si determini il valore di p' in modo che P (E , ) = P (E:).

4

Risoluzione Nel caqo a) s i hanno casi favorevoli se almeno due giurati decidono per I'assoIuzione. Ogni singola decisione è compatibile con le alke, mentre gli eventuali risultad sono incompatibili tra Ioro. Perciò:

Con awalogo ragionamcnro, nel caso b) c i ha:

P ~ = ~ ~ P ' + ( ~ - P ) P P ' ~ ~ ( ~ - P ) P ' + ~ ' ( ~ - P ' ) ~ + P ~ = P ( P - ~ P ' + ~ P ' ) -

Si ha che:

Per il quesito C ) si ricorre al problema delle prove ripetute:

3 Infine, & facile stabilire che per p = -, si ha P ( E , ) = P (l%) per:

4

l

1994 Sessione ordinaria

1) Nel piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani wtogonali (Oxy), è as- x2

segnata la ciirvn k di equazione: y = - + ln lx + l l 2

Disegnare un andamento approssimato dopo aver verificato, fra l'altro, che essa ha due tlessi. Calcol;rre l'arel del miangolo formato daiia retta congiungente tali Ressi e dalle tangenti inflessiondi. Calcolare inoltre l'area della regione piana delimitata da k, dall'asse x e dalla rerta di equazione 2x - 3 = 0. Stabilire infine quale delle due aree precedenti 2 Ia maggiore.

Risoluzione

Essendo x + I > O per x > -1, la funzione gub scriversi così:

xZ -+In{x+l], sex>-1

_ l 2 x2

-+In(-*-l), sex<- l . 2

La curva rappresentativa ammette asintoto di equazione x = -1, essendo:

lim y = lirn y=-W %-)(-l>- r-1-l)+

Essendo

1 1 y'=x+- E Y"=]--,

x + l (1 C l)'

risulta che la funzione non ha estremanti, è creqcente per x > -1, decre- sceme per x < - 1 e. la curva rappresentativa ammette flessi nei punii:

A (O; Q) r O e B (-2: 2).

Le tangenti inflessianali, di equazioni rispettive

individuano un triangolo ARC con la congiungente A con BR, rettangolo in AeconC=(-i;-Iiediarea:

fl grafico è quello di figura. Esso interseca l'asse x in R e in D (a; Il), con -2<a<-1.

La seconda area è:

l i n quanto

47 5 - > ln - {rninnre di l). 40 2

2) Una piramide ha per base i1 triangolo ABC, isoscele e rettangolo in A, e ha per altezza i l segmento AV. Inoltre la faccia VBC forma un angolo di 45" col piano delta haqe e lo spigolo V 3 C lungo Zh &, dove h k una lun-

27

e truvare per quale valore di h tale distanza vale 4&. Verificato che questo valore di h è 4, con nferjrnenta a e.sso secare la pira- mide con un piano parallelo alla base ARC e, proiettalo artogonalrncnte i1 triangolo sezione sulla base stessa, esprimere il volume del prisma triango- lare cusi ottenuto in funzione della sua altcza x. Studim, in rapporto alla questione geomewica, la funzione f ( x ) ricavata e tracciarne l'and~uncnto in un piano riferilo ad un sistema di assi cartesiani ortogunali (OG). Calcolare intine quanti, fra i punti della regione piana campresa £m i1 gra- fico di f (x) e l'asse K, CSCIUSO il contorno, hanno entrambe le coordinate in- t e ~ e .

Risoluzione

Consideriamo la sezione normale del diedra formato dalle facce VBC e ABC. Risulta chc il triangolo VAM k rettangolo in A per definizione di al- tezza di una piramide e isoscele per avere un angolo di 45". Inoltre, la di- stanza di A dalla faccia opposta 15 uguale alla distanza da VM. Posto = t, si ha:

Segue che:

f = 2 h , m=h&, h = 4 .

Per i1 teorema delle sezioni di una piramide, si ha: -q -7

A, {A'B'C') : A, (ABC) = VArL : VA- + A,/A'f?C) = (8 - x) ' .

28

Percib, il voIume del prima 2:

Y = A , I A ' K C ) - A A ' = ( ~ - X ) ~ ~ , con O < x c 8 .

Essendo

V ' = @ - I ) ( & - 3 ~ ) ,

si ha:

Poiché

detti A, C, B i punti can-ispondenti, si ha il grafico di fijyn.

segue che il numero dei punti a coordinate intere e contenuti nella regione delimitata dalla curva e dall'asse delle x. per n intero, è:

C[/(r~)-i] =48+71 + 7 4 C 6 3 + ~ + 2 3 + 6 = 3 2 9 . ,.=L

3) Considerato un triangolo ABC, isoscele sulla base BC, indicare con D i1 piede della sua altezza condotva per C e costruire i1 trimgolo ECD, isosce- le suIla base CD e simile a queIlo dato, in modo che i l punto E cada dalla stessa parte di A rispetto a BC. Sia:

BC=4 e a - 2 4

29

a) Dimostrare che l'angolo ECB è retto.

b) Riferito il piann della figura ad un conveniente sistema di assi cartesiani ortognnali, trovare l'equazione della circonferenza K passante per i punti A , C. a. C) Spiegare perché K p a s a pure per E. d) Detto F i1 punto in cui K seca ulteriormente CB, calcolare le aree delle due regioni piane in cui il minore degli archi DF di K divide il quadrilarero ABCE.

Risoluzione

Risulta = 2, per cui il triangolo ABC è equilatero e l'angalo BCD b di 30". Essendo DEC simile al triangolo ABC, esso è equilatero e l'angolo ECB 2 di 90n, mn E alla stessa quota di A rispetto a BC. Assumendo un si- stema dhssi con l'asse x orientato come BC, con l'ofiginc in B e tale che A si trovi nel primo quadrante, e tenendo presente che il triangolo DAC. rcl- tango10 in D, è inscritto in mczza circonferenza il centro G di tale circon- feren7a k il punto medio di AC e il raggio la metà di AC:

per cui, t'equazione della circonferenza è:

11 rriangoIo AEL, rettangolo in E, P: evidentemente inscritto nell'altra semi- circonferenza. Inoltre, per il teorema delle secanti, d ha:

minore DF:

Perciò, l'area deI triangolo mistilineo RDF t uguale alla differenza fra l'a- rea del quadrilatera BDGF e quella del settore circolare relativo all'sirco

Varea dell'altra regione è la differenza fra l'area del trapezio ABCE e quelIa precedente:

1994 Sessione suppletiva

1) Studiare le funzioni:

y = x 7 + l e y = d Z

e disegnare i loro grafici, rispettivamente K' e K", nello stesso piano, riferi- ta ad un sistema di assi cartesiano ortogonali (Oxy).

Successivamente, tra i segmenti intercettati, dalla regione piana R delimi- tata da K' c K". su una parallela al lbs~e y, determinare quello di lunghezza massima. Calcolare infine il volume del solido generato da tale regione R quando ruota di un giro completo intorno all'asse x.

Risoluzione

La prima funzione y = f ( x ) esiste 'd n E R ed t tale che f (.T) = 32,f (x) = 6x, f (-X) = 2 -.f (x)),

per cui il grafico ammette flesso a tangente orizzontale ascendente nel punto B (0; l}, rispetto al quale è simmetrico (in figura a contorno conti- nuo), e interseca I'a~se x nel puntoA (-1; 0).

La seconda fumione y = g ( x ) esiste perx 3 -1 ed 2 tale che

3x2 3x (x" 44) g 1 ( x ) = -

2 G z ' gn<.,= ,r.

+1j3

per cili, il grafico (in figura a contorno tratteggiato) ammette tangente ver- ticale in A c flesso a tangente orizzontale ascendente in B. Nella regione Ii- rnitata dalle dile curve. la lunghezza di un segmento generico appartenente ad una retta di equazione x = k i:

Z = @ Z - K 3 - 1 , con K E [ - L O ) .

3 K 2 (i - 2 ~ f i ) 2' =

24~- si deduce che il segmento di lunghezza massima si ha per

La regione R è la differenza dei due trapezoidi delimitati dagli archi AB delle due curve, per cui, il volume del solido generato in un giro completo attorno all'osse x è:

3 { [ g ( x ) ] 2 - [ f ( x ) ] 2 } d x = ............ =-n.

28

2) Considerato il! rettangolo ABCU, il cui lato AB t lungo a, condurre per B la perpendicolare alla retta kC e chiamme H ed E i punti in cui essa seca le rette AC e AD nellaordine. Condurre quindi per H la perpendicolare al piano dclIa figura e. su di essa prenderc un punto P tale che:

- HP=BZ

Esprimere i! volume della piramide. avente per vertice il punto P e per ba- se il qundrilatero HDEC, in funzione dclIa lunghezza .r del segmento BH. Studiare, indipendentemente dalla questione georne~rica. la funzione f (n) fornita $ail'espressione del volume suddetto quando a = I e disegnarne il grafico G in un piano carlesiano ortogonale (0-W).

Risalozione

Posto m = x si ha: O G x s a ,

dato che H può scorrere su una semicirconferenza di diametra m = a. Per il primo rearema di Eudide, dal triangolo rettangolo MB e da1 trian- golo rettangolo ACB, sì ha:

h pnssibiIe, quiidi, calcolare l'area di base della piramide:

Essendo l'altezza della piramide

il volume della piramide

La funzione da studiare k

Il - x 2 )* Y=- , con x # O .

xZ

Essendo

Y lim y = +mv Iim = f -,

.t-*- .r+*- X

la curva rappresentativa 15 simmetrica rispetto al1basse x, ammette minimi relativi in corrispondenza dei punti

A(-Z:OI, B(1:0) , ammette asintoco verticale di equazione

x = O ,

non ammette altri tipi di asintoti e si dispone per x -+ 4 m parallelamente al semiasse ps i t ivo delle y. II suo grafico G è, percib, quello di figura.

9 1 Esso è intersecato dalla retta di equazione y = - nei punti di ascisse x = +-

4 2

e x =-f 2. Le due regioni di cui si chiede I'area sono equivalenti per la sim- metria detta. Riferiamoci a quella del primo quadrante:

9 ~ = ~ - ~ ( ~ - ~ - 2 - ~ 2 ) d ~ = .......... =-. 4

2

3) In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani oshgonali (Oxy), so- no assegnate le curve di equazione:

x - a yz- 2x- a

dove rr t un parametro reale non nulIo. n) Diniostrare che esse hanno tutte in comune un punto A ed esso soltanto. b) Tra le curve consideratc, determini quelle che intercettano un seg- mento di lunghezza

4 -1110 l

3 sulla reha passante per A e avente coefficiente angolare 3. C) Calcolare l'area della regione di piano delimitata dallc due curve trovate e dalla retta di equazione x = 1.

Risoluzione L'equazione può esseie scritta nel seguente modo:

2 9 - x - a b - 1 ) = 0 ;

per cui, dal sistema delte due ,equazioni che frimano la combinazione, si deduce che tutte le curve rappresentate dall'equazjone passano per I1 punto:

A (O; 1). Dal sistema fra 17equaz;'one delle curve e qliella della retta; passante p r A e di coefficicntc angulare m = 3 ly = Jx + I ), si trovano i punti:

A(O.1) e B(y;y). Essendo

- 13.-11 ,G, A&= - 6 l

si ha che: 4 %=-a + n = / ; 3 ---h--

3

Le due curve corrispondenti di equazioni

sono due iperboll equilatere, la prima di asintoti

e la seconda di asintoti T 1

e si incontrano nel printo (v. figura):

A (O; 1). L'area deIla regione richiesta è:

Nella figura il grafico della prima funzione e a contorno contimio, queiio Bell'altra t a contorno tratteggiato.

1994 Sessione ordinaria sperimentale PNI

1) Si studi la funzione: 3 1- f ( X ) = Y X f 3 x

Si kaccj, in un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Ovy, il grafico della curva C di equazione y = f (.x) e si scrivano le equazio- ni delle rette tangenti a C nei suoi punti (x, f (x)). per i quali J'(x) assume valore estremo relativo, e della tangente nel suo punto di tlesso. Detta r la parallela all'asse delle ascisse pawante per il punto P d'interse- zione della cucvu C con il proprio a~intoto a, si determini il rapporto dei 'segmenti QH e OP, essendo Q cd R lc proiezioni su a degli ulteriori punti d'interse~ione di r con C.

Risoluzione La funzione esiste V x E R. La curva rappresentativa aminette come asin- toto la retta di equazione 31 = x -t- l ; incontra l'asse x nei punti A (-3; O),

O (0; O) e I'asintoto nel punte P --; - . Dallo studio della [ t]

x+2 =

si deduce che i punti

8 (-2; :#$), A (-3: O>. 0 (O: 0)

sono, rispettivamente, di massimo relativo a tangente nrizzonrdle di equa- zione y = ;1(4, di flesso a tangente veriicale di equazione x = -3, di miui- mo relativo a doppia tangente verlicale (cuspide) di equazione $= O.

L . La retta passante per P e parallela all'asse x, di equazione y = -, incontra

- 4 3 la curva nei punti M ed N tali che MN = -&.

3

a . Essendo = -, si ha:

3

QR 4 4 5 -=- OP 5

n grafico è quello di figura.

L) Si consideri la trasformazione T che muta i punti A {I ; O), i3 (O; T), L (-I; O) di un piano, nferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Qxy, rispettivamente nei punti A ' (O; l), 8' (2; -1 ), C' (O; -I ), Si studi la nattira di T e si determinino gli eIementi che resfano uniti nella rasfomazione e il rapporto tra le aree dei triangoli corrispondenti ABC e 4'B'C'. Detta K la circonferenza per i punti A, 3, C e P la parabola di equazione v = -a2 + 1 m si dimostri che i loro piinti comuni sono vertici di un triango- lo equilatero. Si considerino le figure K' e P' ottenute da K e P mcdiante la .rasfomuione T e la figura Q' ottenuta trasformando il quadrato Q, circo- xritto a K e con i lati paralleli agli assi coordinati. 4vvalendosi della trasfoimazione T si dica la natura di K', P' e Q' e s i de- .erminino: I ) le conrdinate dei punti in cili Q' è tangente a K'; 3) le coordinate dci punti d'intersezione di K' e P'; :) l'area delle tre regioni finite di piano delimitate da K' e P'.

Essendo il rapporto di affinità di T (rapporto fra due superfici corrispondenti)

R = I ab' - a'b ] = 2, 1

risulta che il rapporto delle aree dei due triangoli è -. 2

Ponendo x = X e JI = Y, si ricava il punto unito O (0; O), ossia il punto che ha se stesm come corrispondente. Esso ABC un triangolo rettangolo di ipo- Lenwa AC, il punto medio O (O; O ) di AC 6 il centro deIEa circonferenza e la

l

misura Od = 1 ne 2 il raggio. Percjb: K ) XZ+y?=l .

Dal sistema fra l'equazione di K e l'equazione di p si trovano:

Risoluzione Si mtra di un'affinità del tipo:

T : ( X = a x + h y + c , Y = a l x + b ' y + c ' ) .

Sostituendo a x, y le cnordinrite di A, B, C e a X, Y quelle di A', B', C', si ha:

con EE = BE = BF = 43. +

ii quadnto Q di vertici M, N, R, S ha m e corrispondente i l quadriiatero Q' di vertici M', N', R' , S', che sono i corrispondenti dei vertici precedenti. Esscndo

M' (2; -2), N' ( 2 ; O), R' (-2; 2). S' (-2; O), Q' i. un parallelogrammo. Q' e K' sono tangenti, evidentemente, nei punti corrispondenti ad A, 6, C, D:

A' (0; I}, B' (2;-i), C' (O; - l } , D' (-2; l ) .

Si ha, anche, che K' e p' sono di equazioni l che rappresentano, rispettivamente, un'ellisse c una parabola. Queste si incontrano nei conispandenti di B, E, F:

in particoIare, sono tangenti in B'. h facile la rappresentazione delle figure trasformate. La parabola P e la circonferenza K formano ire regioni. Una di qiieste e la somma del segmento parabolico e del segmento circola- re minore delimitati dalla retta EF. A loro volta, il segmento parabolico & 1 L

i - del rettangolo circoscritto (teorema d i Archimede) e il segmento circo- 3

lare è la differenza fra i l settore circolare corrispondente il Iriangolo OEF. Percib, la sua area è:

Cimcuna deile altre due regioni t la semidifferenza fra i1 c e ~ k i o e quella precedente. Percili, la sua area è:

7Lm2-~, R 3 S2 = S3 = ---- - 45.

2 3 8 Essendo R = 2 il rapporto di affinità, le aree delIe regioni corrispondenti formate da K' e p' sono:

S' = 2 S,; s;= 2S*; Sj = 2 S, l

3) In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxq. si considerino le linee di equazione:

y = x 3 + 2

Si dimostri che le due linee hanno un punto d'intersezione nel primo qua- drante con ascissa xo appartenente all'intervallo (0,4; 0,8). Avvalendosi di un metodo numerico si determini xo con un'approssimazio- ne di 111 00. Si descriva una pmcedura che consenta di calcolm i valofi approssimati di xo con un'approssimazione di IO-" e la si codifichi in un linguaggio di programmazione conosciuto.

La prima funzione esiste v x E R. La curva rappresentativa non ammette asintoti, interseca Iksse x in A (-I; O) c in B (0; O), che E un punto dnppio. Ersendo

y'=3x2tZr , y U = 6 x + 2 , si deduce che i punti

sono, rispettivamente, di massimo relativo, di minimo relativo, di flesso a tangente obliqua. T1 grafico k quello a contorno continuo di figura. La se- conda equazione .? una parabola con l'asse di simmetria coincidente. con l ' m e y (gri~hci a contorno tratteggiato) che inconha la curva precedente in tre punti. Essendo

I f ( ~ ) = X 3 + 3 2 - 1 = O

I'equazione che fornisce le ascissc delle intersezioni ed essendo I f (0,4) = -0,456 e $(n, 8) = 1,432,

una d i tali ascisse k compresa neil'intewallo (0,4: 0,8). 1

I Per la riccrca della radice x,, con un>pp~ossirnazione di A, si può segui- re il metodo d! bis~srzione, essendo f ( x } continua. 100

Merodo di bisczione. Consideriamo il punto medio fra 0.4 e 0,8:

0,4+0,8 - 0,6 con f (x,) = 0,3 Xl =--

2

Per il teorema dell'esistenza degli zeri di una funzione continua essendo f (a) f {h) < O e (a, h) intervallo chiuso e limihto, la soliizione sta fra 0,4 c 0,6. Consideriamo il punto medio fra 0,4 e 0-6:

O, 4 t O, 6 xz =P- -0.5 con f(x2)=4,125.

'1

La soluzione sta fra 0,s e 0,6. Consideriamo il punto medie fra 0,5 e 0,h:

x3=0.55 coqf(x3)=0,07. La soluzione sta fra 0,s e 0,55. Consideriamo il valore medio:

x, = 0,525 con f (x4) = =0,02. La soluzione sta fra 0,525 e 0,55. Consideriamo il v a l o ~ medio:

x5 = 0,5375, con f (xs) = 0,02. La soluzione sta fra 0,525 e 0,5375. Consideriamo il valore medio:

che essendo differente da x, meno di 11100 è il valore x, cercato. Per Ia codificazione in Turha Pascal, basta utilizzare i l listato del quesito n. I della sessione ordinaria sperimentale PNI dcl 1993, inodificando la condizione

unti1 abs (F (xM)) < 1 E -7 con la seguente

until abs ( b - a ) < IE-N,

c m N da specificare.