O

σy

σf

F

GY

Bεp,G

εe

σ

ε

OY : comportamento elastico

σy : tensione di snervamento

σf : tensione di rottura

εe : deformazione elastica

εp : deformazione plastica

YF : comportamento elastoplastico

F : rottura

GB : scarico - ricarico

Prova di compressione monoassiale

In uno stato tensionale piano o tridimensionale, ai concetti di tensione disnervamento e di punto di snervamento devono essere sostituiti quelli distato tensionale di snervamento e luogo di snervamento

Criterio di snervamento:

( ) 0, =pijijF εσ

Incrudimento isotropo Incrudimento cinematico Plasticità perfetta

( ) 0=ijF σ

σ1

σ2 σ3

Deve essere sempre verificata la condizione:

( ) 0, ≤pijijF εσ

che esprime la condizione che il punto rappresentativo dello statotensionale può trovarsi solo sulla superficie di snervamento oall’interno di essa

Se dF>0, si ha a che fare con un percorsodi carico, le deformazioni sono elastoplastiche, la superficie si espande.Se dF<0, il percorso è di scarico e le deformazioni sono elastiche.

Gli incrementi di deformazione elastica sono funzione solo deicorrispondentiincrementi di tensione, e sono coassiali con essi.

Gli incrementi di deformazione plastica sono funzione degli incrementi ditensione, ma sono diretti normalmente a un potenziale plastico

In altre parole, gli incrementi di sforzo determinano il valore ma non la direzione

degli incrementi di deformazione plastica

Per una classe di materiali, detti materiali standard omateriali con legge di flusso associata

il potenziale plastico coincide con la funzione di snervamento

Questi materiali possono essere definiti stabilisecondo Drucker, e quindi:

• la superficie di snervamento deve essere convessa

• l’incremento di deformazione plastica deve esserenormale alla superficie di snervamento e diretto versol’esterno

• è possibile dimostrare l’unicità della soluzione di problemial contorno

• valgono i teoremi dell’analisi limite

Analisi limite• consente di calcolare un limite superiore e un

limite inferiore del carico di collasso

• è valida a rigore per un materiale perfettamente plastico con legge di flusso associata

• può essere applicata a un elemento strutturale,a una struttura, a un continuo

• studiando diversi sistemi, è spesso possibilerestringere l’intervallo e talvolta individuare lasoluzione esatta

Teorema del limite superiore(o teorema del maggiorante, o teorema cinematico)

Se esistono un sistema di carichi esterni e un meccanismo dicollasso plastico tale che il lavoro dei carichi esterni per un incremento di spostamento sia uguale al lavoro delle forze interne,• si verifica il collasso;• il sistema di carichi esterni è maggiore o uguale al vero carico di

collasso.

• Il meccanismo di collasso deve essere congruente, ma non necessariamente quello reale;

• non appaiono le condizioni di equilibrio.

Teorema del limite inferiore(o teorema del minorante, o teorema statico)

Se esiste un sistema di carichi esterni in equilibrio con unadistribuzione di sforzi interni che non ecceda in alcun puntola resistenza del materiale,• il collasso non si verifica• il sistema di carichi esterni è minore o uguale al vero caricodi collasso.

• Lo stato di sforzo interno non deve essere necessariamentequello che effettivamente si verifica al collasso, ma solo essereequilibrato e compatibile con la resistenza del materiale

• non appaiono le condizioni di congruenza.

l

l/2

F

• Trave costituita da materialeisoresistente con tensione disnervamento pari a σy

• Sezione rettangolare b·h

h

b σy

yy bhM σ2

61=

yf bhM σ2

41=

δα δα

2δα

δw

Meccanismo: formazione di tre cerniere plasticheLavoro delle forze esterne Fδw = Fδαl/2Lavoro delle forze interne 4Mf δα

F

yf

f

l

bh

l

MF

Ml

F

σ

αα

228

42

==

∂=∂

Teorema cinematico

yf bhM σ241=

δα δα

2δα

δw

F

Teorema statico

FL/8

FL/8

FL/8Distribuzione di sforzi interniequilibrata e compatibile seFl/8 ≤ My

331 61

8

22

yyy l

bh,FbhM

Fl σσ ===

Campo dello sforzo di collasso

yy l

bhF

l

bh, σσ

22

2331 ≤≤

Per applicare l’analisi limite a uncorpo continuo perfettamente plastico,occorre precisare alcuni caratteri delcampo di sforzo e dei meccanismi dicollasso

Per semplicità ci limiteremo alle condizioninon drenate, e quindi ad un mezzo conϕ = 0, c = cu

Discontinuità delle tensioniGli stati tensionali, che vengono considerati nel calcolo dellimite inferiore, possono presentare discontinuità, a pattoche non vengano violate le condizioni di equilibrio

σna = σnb

τna = τnb

θb

θa

Gli stati tensionali nelle regioni A e B separate dalla discontinuitàpossono essere caratterizzati dalle quantità pa, ra e pb, rb

Nel passare da A a Battraverso la discontinuità,la tensione principaleruota di un angolo:

δ θ = θb - θa

Traccia del piano sul qualeagisce σ1b

Traccia del pianosul quale agisce σ1a

Poli dei due cerchi

360-2θb

180-2θb

Angolo in C= 2 δ θ

Se il mezzo è coesivo ed ambedue le regioni A e B sono in stato dirottura, i relativi cerchi di Mohr saranno tangenti all’inviluppo dirottura τ = cu

AC = cu

δ p = 2cusenδθ

(pb – pa) = 2cusen(θb – θa)

Nel passare da A a B lavariazione della tensionenormale media è legata allarotazione della tensioneprincipale massima

2θa

2θb

2 δ θ

Ventaglio di discontinuità tensionali

θf = (n-1)δθ

Δθ = nδθ

∆θ/n = δθ

θf = Δθ(n-1)/n

Δp=n(2cusen δ θ)=n(2cusen (θf/ (n-1))

Per n→∞ si ha:

θf = ∆θ

La variazione della direzionedelle tensioni principali tra A e Be’ pari all’ampiezza del ventaglio

Inoltre si ha:

∆p = 2cu∆θ

Diagrammi degli spostamenti• ogni regione del corpo viene indicata con una lettera maiuscola,inclusa la regione che non partecipa al moto che si indica con O

• Lo spostamento di ogni blocco è rappresentato da un vettore,il cui estremo è indicato con una lettera minuscola

• il vettore congiungente due punti rappresenta in grandezza edirezione lo spostamento relativo dei due blocchi corrispondenti

Ventagli di linee di scorrimento

Cinematismo non possibile: violerebbe la continuità del mezzo plastico

Ventagli di linee di scorrimento

Al tendere di δ θ a 0 si ottiene …

Spostamento lungo l’arco di circonferenza = δw

Spostamento fra due settori contigui δwi,j=δwδθ

Lavoro in un settore δW = cuR(δwδθ) + cu(Rδθ)δwLavoro compiuto tra due settori contigui

Lavoro compiuto lungo l’arco di circonferenza

∫ ∂=∂∂=∂f

afuau wRcwRcWϑ

ϑϑ0

22

In altri termini, il lavoro compiuto dagli sforzi interni inun ventaglio di discontinuità di apertura θf per uno spostamento δwa lungo l’arco di cerchio è pari aldoppio di quello corrispondente ad un settore circolare

Carico limite di una fondazione nastriformesu terreno coesivo

(argilla satura non drenata; tensioni totali)

Limite superiore (teorema cinematico)

1° tentativo

δwf = Bδθ/2

δw = Bδθ

Lavoro del carico esterno: FuBδθ/2Lavoro degli sforzi interni: πBcuBδθ

FuBδθ/2 = πB2cuδθ

qlim = Fu/B = 2πcu

La forza peso del blocconon compie lavoro perchèlo spostamento del bari-centro è orizzontale

Limite inferiore (teorema statico)Sforzi di taglio nulli su p. verticali

Zone I e III: σz = γz =σ3

Zone II e IV: σz =qlim+ γz = σ1

∆θ = 90°

∆p = 2cusen∆ θ = 2cu

qlim+ γz = γz + 4cu

qlim = 4cu

∆ p = 2cu

∆p = 2cu

Fδwf = 6cuBδwf

qlim = F/B = 6cu

Tratto L Spostamento LavoroOA B/√2 √2δwf cuBδwf

OB B 2δwf 2cuBδwf

OC B/√2 √2δwf cuBδwf

AB B/√2 √2δwf cuBδwf

BC B/√2 √2δwf cuBδwf

Lavoro totale = 6cuBδwf

Limite superiore (teorema cinematico)

Il lavoro totale della forza peso è nullo

∆p = 2√2 cu

Limite inferiore(Teorema statico)

Zona I: σz = γz = σ3 tensione principale minima

Zona III: σz =qlim + γz = σ1 tensione principale

massima

∆θ = 90°; n = 2

θf = (n-1)/n ∆θ = 45°

δθ = ∆θ/2 = 45°

δp = 2cusenδθ = √2 cu

∆p = 2δp = 2√2 cu

qlim + γz = 2√2 cu + 2cu + γz

qlim = 2(1+√2)cu

o attraverso le formule generali viste nelle diapositive precedenti oppure per via geometrica con i cerchi di mohr in basso a sinistra

Limite superiore (Teorema cinematico)

Raggio R = B/√2

Tratto L Spostamento LavoroOA B√2 √2 δwf cuBδwf

B√2 √2 δwf cuBδwf

Ventaglio πcuBδwf

Fδwf = (2 + π)cuBδwf

qlim = F/B =(2 + π)cu

Ventaglio

∆p =2cu∆θ = πcu

Limite inferiore(Teorema statico)

Ventaglio Ventaglio

Zona I: σz = γz = σ3

Zona III: qlim + γz = σ1

θf = ∆θ = π/2

qlim + γz = 2cu + γz + πcu

qlim =(2 + π)cu

∆p = 2cu∆θ= πcu

dimostrata in precedenza

Tentativo Limite superiore Limite inferiore

1° 2πcu = 6,28 cu 4cu

2° 6cu 2(1+√2)cu= 4,82cu

3° (2+π)cu= 5,14cu (2+π)cu= 5,14cu