Punti Stazionari. Estremanti locali e assoluti.20Dispense%20STB/2014...(*) Nota. Da intendersi come...

Punti Stazionari. Punti Stazionari. EstremantiEstremanti locali locali e assoluti.e assoluti.Def.

Considerata la funzione f definita in un intorno U di x0 diremo che x0 è un punto di massimo locale (minimo locale) se:

)U(x )()( 00 xxfxf ∈∀≤ [ ])U(x )()( 00 xxfxf ∈∀≥

Def.

Considerata la funzione f avente insieme di esistenza A diremo che x0 è un punto di massimo assoluto (minimo assoluto) se:

1

Def.

Considerata la funzione f definita in x0 diremo che x0 è un punto estremante se esso è un massimo o un minimo locale.

Def.

Considerata la funzione f derivabile in x0 diremo che x0 è un punto stazionario se f’(x0)=0.

Axfxf ∈∀≤ x )()( 0 [ ]Axfxf ∈∀≥ x )()( 0

Nota. I punti stazionari sono i punti in cui la tangente al grafico della funzione è orizzontale.

Esempi 1: punti stazionari ed Esempi 1: punti stazionari ed estremantiestremanti

X=0 minimo assoluto (locale).

X=2 massimo assoluto (locale). Punto derivabile (stazionario).

X=3 minimo locale. Punto non derivabile (angoloso).

X=4 massimo locale. Punto derivabile (stazionario)

≤<+

≤≤+−−=

6x3 2

94)-(x

2

1-

3x0 5)2()(

2

2xxf

derivabile (stazionario)

X=6 minimo locale.

Esempi 2: punti stazionari ed Esempi 2: punti stazionari ed estremantiestremanti

Punti stazionari estremanti. Punti stazionari non estremanti.

1)( 3 += xxf( ) )2(1)( 2 −−= xxxf

Punti stazionari estremanti. Punti stazionari non estremanti.

Punto estremante non stazionario.

>

≤=

2 xx

16

2 x2)(

2

x

xf

Teorema di Teorema di FermatFermatTeorema (di Fermat).

Sia f :[a,b]�R , derivabile in x0 appartenente ad (a,b); Se x0 è punto estremante per f allora f’(x0)=0.

Dimostrazione.Supponiamo che x0 sia un punto di massimo. Allora per ogni x di un opportuno intorno U di x0 abbiamo che f(x)≤f(x0). Consideriamo il rapporto incrementale di f in tale intorno e consideriamo separatamente h tendente a zero da destra e da sinistra, abbiamo:

0h 0 h

)()( )1( 00 >≤−+ xfhxf

0h 0 h

)()( )2( 00 <≥−+ xfhxf

4

h hPer il teorema della permanenza del segno(*) la (1) e la (2) diventano:

0)( h

)()(lim )3( 0

'00

0h≤=−+

+→ +

xfxfhxf

0)(f' h

)()(lim )4( 0

00

0h≥=−+

−→ −

xxfhxf

Dovendo essere la funzione derivabile in x0 la (3) e la (4) devono valere contemporaneamente, quindi:

0)(')(f')(f' 000 === −+ xfxx

(*) Nota. Da intendersi come segue: se per assurdo il valore del limite fosse nel primo caso >0, allora il teorema della permanenza del segno implicherebbe l’esistenza un intorno in cui la funzione argomento del limite è >0 , cosa che è in contrastocon la (1). Da ciò si deduce la correttezza della (3). Analogamente per (2) e (4).

Ricerca Ricerca EstremantiEstremanti di una funzione 1di una funzione 1

Riassumendo, la ricerca dei punti estremanti di una funzione f:[a,b] � R, continua , va condotta:

• Nei punti interni (dell’insieme di definizione) in cui la funzione è derivabile, solo tra i punti stazionari (f’(x)=0).

• Nei punti interni (dell’insieme di definizione) nei punti in cui la funzione NON è

5

• Nei punti interni (dell’insieme di definizione) nei punti in cui la funzione NON è derivabile.

•Nei punti di frontiera (dell’insieme di definizione).

•Si aggiungano (separatamente) i punti in cui la funzione non è continua.

Teorema di Teorema di RolleRolle

Dimostrazione.

0)(':),( =∈∃ cfbac

Teorema (di Rolle).

Sia f :[a,b]�R , continua in [a,b], derivabile in (a,b). Sia f(a)=f(b). Allora:

Per il teorema di Weierstrass la funzione f possiede massimo e minimo in [a,b].

Se il massimo ( o il minimo) sono interni , allora per il teorema di Fermat esiste c in (a,b) tale che f’(c)=0. ed il teorema di Rolle risulta dimostrato.

Invece se il massimo (vale discorso analogo per il minimo) è ad un estremo (in a o in

6

Invece se il massimo (vale discorso analogo per il minimo) è ad un estremo (in a o in b) allora ci sono due possibilità:i) Il massimo ed il minimo coincidono (nel qual caso f è una funzione costante ed ha derivata nulla in tutti i punti di (a,b))ii) Il massimo ed il minimo non coincidono. In questo caso il minimo deve trovarsi all’interno ( in (a,b)) ed il teorema di Fermat assicura che in tale punto ( c ) si ha che f’(c)=0.In entrambi i casi esiste c in (a,b) tale che f’(c)=0. Il che dimostra completamente il teorema di Rolle.c.v.d.

Osservazioni 1Osservazioni 1Funzione continua in [a,b] , derivabile in (a,b)con f(a)=f(b). Esiste almeno un punto in (a,b) che ha derivata nulla.

7

Osservazioni 2Osservazioni 2Lasciando cadere una delle tre ipotesi del teorema di Rolle la tesi non è più verificata.

Funzione continua in [a,b) , derivabile in (a,b)con f(a)=f(b). Nessun punto in (a,b) ha derivata nulla.

Funzione continua in [a,b] , derivabile in (a,b) con f(a)≠f(b). Nessun punto in (a,b) ha derivata nulla.

8

Funzione continua in [a,b] , derivabile in (a,b)\{0} con f(a)=f(b). Nessun punto in (a,b) ha derivata nulla.

derivata nulla.

Teorema di Lagrange (o del valor medio)Teorema di Lagrange (o del valor medio)Teorema (di Lagrange).

Sia f :[a,b]�R , continua in [a,b], derivabile in (a,b). Allora:

Dimostrazione.

)(')()(

:),( cfab

afbfbac =

−−∈∃

Si consideri la retta secante passante per (a;f(a)) e (b;f(b)):

)()()(

)( axab

afbfafy −

−−+=

9

)()( axab

afy −−

+=

Si consideri la funzione ausiliaria:

−−−+−= )(

)()()()()( ax

ab

afbfafxfxg

ab

afbfxfxg

−−−= )()(

)(')(' g è continua in [a,b] g(a)=g(b)=0

La tesi consiste nel dimostrare che esiste un punto c di (a,b) tale che g’(c)=0Ma g soddisfa alle ipotesi del teorema di Rolle, dunque esiste c in (a,b) tale g’(c)=0. Questo dimostra il teorema. c.v.d.

Significato Geometrico Teorema di LagrangeSignificato Geometrico Teorema di Lagrange

ab

afbf

−− )()(

Coefficiente angolare secante

)(' cfCoefficiente angolare tangente (punto interno)

Es. Applicare il teorema del valor medio alla funzione:

a

b

)(bf

10

4

22)(

23 +−−= xxxxf

medio alla funzione:

]3;2[−∈x

14

143)('

2

=−−= xxxf

Estremi: (-2; f(-2))≡(-2;-3)

Retta secante

1−= xy 1)2(3

)3(2 =−−−−=m

⇒=−−⇒=−−05431

4

143 22

xxxx

3

192±=x

(3; f(3))≡(3;2).

)(af

AppplicazioniAppplicazioni Teorema di LagrangeTeorema di Lagrange

3

2

xy =Non è possibile applicare il teorema di Lagrange, per es. relativamente all’intervallo [-8;8] a tale funzione, in quanto essa non è derivabile in x=0

Es. Applicare il teorema del valor medio alla funzione:

11

33

2'

xy =

Esercizi 1Esercizi 1Es. Data f(x)=x^2. Si dimostri che in (a,b) , il p unto c del teorema di Lagrange coincide con la media aritmetica di a e b.

=−−=

−−

ab

ab

ab

afbf 22)()(

⇒=+ cab 2

( )0;33b 0;a )( 2 ⇒==== xxfy

⇒==+= ccfab 2)('

secante

12

2

abc

+=

⇒=+ cab 2

xy 3=

4

93 −= xy

secante

tangente

Esercizi 2Esercizi 2Es. Data f(x)=1/x. Si dimostri che in (a,b) , il p unto c del teorema di Lagrange coincide con la media geometrica di a e b.

=−

−

=−

−=

−−

abab

ba

abab

ab

afbf11

)()(

⇒−=− 11

⇒−==−=2

1)('

1

ccf

ab

xxf

1)( =

4;4

11

4

14 ==c

13

abc =

⇒−=−2

11

cab

2+−= xy

4

17+−= xy secante

tangente

Esercizi 3Esercizi 3

Calcolo secante e tangente Esercizio 1

Secante: retta per (0;0) e (3;9) xy3

9=

Tangente: retta per (3/2;9/4) con coefficiente angolare f’(3/2)=3

)2

3(3

4

9 −=− xy

xy 3=

4

93 −= xy

14

Calcolo secante e tangente Esercizio 2

)1(11 −−=− xy

Secante: retta per (1/4;4) e (4;1/4)( )4

41

4

441

4

1 −−

−=− xy

Tangente: retta per (1;1) con coefficiente angolare f’(1)=-1

4

17+−= xy

2+−= xy

Derivata prima e monotonia di una funzione 1Derivata prima e monotonia di una funzione 1Dalla definizione di rapporto incrementale, si deduce che :

h

xfhxf )()( −+

Sia h>0, se f è monotona crescente in (x;x+h) ed f è ivi derivabile

0)()( ≥−+

h

xfhxf0)(' ≥⇒ xf

Sia h>0, se f è monotona decrescente in (x;x+h) ed f è ivi derivabile

Per il teorema della permanenza del segno (*)

15

0)()( ≤−+

h

xfhxf 0)(' ≤⇒ xfPer il teorema della permanenza del segno

Analogamente per h<0.

Nota Se infatti f’(x) fosse minore di 0, il teorema della permanenza del segno implicherebbe che in un intorno dix il segno del rapporto incrementale debba essere negativo, il che è in contraddizione con la proprietà dimonotonia della funzione.

Derivata prima e monotonia di una funzione 2Derivata prima e monotonia di una funzione 2TeoremaSe f:(a,b)�R è derivabile in (a,b) allora:

).( 0)(' edecrescent

0)(' crescente bax

xff

xff∈∀

≤⇔≥⇔

DimostrazioneBasta dimostrare che f’(x)≥0 implica che la f sia monotona crescente. L’altra implicazione discende dalla definizione di rapporto incrementale e dal teorema della permanenza del segno (vedi sopra).

Siano x e x in (a,b) con x <x . Dal teorema di Lagrange applicato all’intervallo [x ,x ]:

16

Siano x1 e x2 in (a,b) con x1<x2. Dal teorema di Lagrange applicato all’intervallo [x1,x2]:

);(con )()(

)(' 2112

12 xxcxx

xfxfcf ∈

−−=

Poiché f’(c) ≥0 , poiché (x2-x1)>0 � f(x2)-f(x1) ≥0 e quindi la funzione f è monotona crescente in (a;b) data l’arbitrarietà di x1 ed x2.c.v.d.

Condizione Sufficiente per massimi e minimiCondizione Sufficiente per massimi e minimiSia f:[a,b] � R , derivabile, supponiamo che x0 sia un punto stazionario in (a,b). Allora ci sono 4 possibili casi per il segno della derivata prima f’(x) in un opportuno intorno di x0:

0x

− +'f 0 MINIMO 0x

0x

+ 0MASSIMO 0x

17

−+'f 0 0

0x

+'f 0+

e)(ascendent orizz. tangentea FLESSO, 0x

0x

−'f 0 −

ediscendent , orizz. tangentea FLESSO, 0x

Ricerca Ricerca EstremantiEstremanti di una funzione 2di una funzione 2

Riassumendo, la ricerca dei punti estremanti di una funzione f:[a,b] � R, continua e derivabile , va così condotta:

• Si calcola f(a) ed f(b)

• Si risolve f’(x)=0 in (a,b) (ricerca punti stazionari).

• Se esistono punti stazionari se ne determina la natura (massimi,minimi o flessi a tangente orizzontale)

18

tangente orizzontale)

• si confronta il valore di f in tali punti con f(a) ed f(b) [per determinare gli estremanti assoluti]

• Se non esistono, allora la funzione è monotona crescente o decrescente in (a,b) e dunque gli estremanti sono f(a) ed f(b)

Esempi 1Esempi 1

]2,0[ )(2

∈= − xxexf x

037.0~2)2( 0)0( 4−== eff )21()2()(' 2222

xexxeexf xxx −=−+= −−−

2

1 0210)(' 2 ±=⇒=−⇒= xxxf

2

1

−+'f 0

La funzione ha simmetria dispari.

429.0~2

1

2

1

2

1 2/1

eef ==

−

Si studino massimi e minimi in [0;2] della seguente funzione.

19

x=0 è minimo assoluto in [0;2]x=1/√2 è massimo assoluto in [0;2].

429.0~222 e

ef ==

( ) +

+∞→= 0lim :nota xf

x

Estendendo a tutto R lo studio:

x=-1/√2 è minimo assoluto in Rx=1/√2 è massimo assoluto in R.

Corollari al teorema di Lagrange 1Corollari al teorema di Lagrange 1

b)(a,in costante f b)(a,in 0)(' ⇔=xf

Corollario 1Sia f:(a,b)� R derivabile in (a,b). Allora:

Dim.

b)(a,in 0)(' b)(a,in costante)() =⇒= xfxfi

⇒= b)(a,in 0)(') xfii Considerati x1<x2 in (a,b) è possibile applicare ad f in [x1;x2] il teorema di Lagrange. Si ha:

)()( xfxf −

b)(a,in b)(a,in )(')(' cg(x)f(x)xgxf +=⇔=

Corollario 2Siano f,g:(a,b)� R derivabili in (a,b). Allora:

Dim.

Si consideri F(x)=f(x)-g(x) e si applichi il corollario precedente alla funzione F.20

)()(),( c )()(

0)(' 122112

12 xfxfxxxx

xfxfcf =⇒∈

−−==

Da cui segue la tesi per l’arbitrarietà di x1 ed x2.

Corollari al teorema di Lagrange 2Corollari al teorema di Lagrange 2Es. Attenzione!! Le precedenti considerazioni devono essere estese con cautela se non si tratta di intervalli del tipo (a;b). Si consideri:

0per 1

arctanarctan)( ≠

+= xx

(x)xf

0per 01

11

1

1

1)('

222≠=

−

++

+= x

x

x

xxf

Come scelgo (a,b)? Posso sceglie (-∞,0) o (0,+ ∞) non entrambi. La funzione f è

21

Come scelgo (a,b)? Posso sceglie (-∞,0) o (0,+ ∞) non entrambi. La funzione f è costante su ciascuno dei due ma non su tutti e due insieme. Infatti, ad esempio:

( ) 2

4

21arctan1arctan)1(ππ ==+= )(f ( )

2

421arctan1arctan)1(

ππ −=

−=−+−=− )(f

Dunque:

0per x 2

0per x 2

1arctanarctan)(

<−

>=

+=π

π

x(x)xf

Corollari al teorema di Lagrange 3Corollari al teorema di Lagrange 3Es. Si dimostri che:

( )22

00arccos0)(ππ =+=+= )arcsen(xf

costante)( 01

1

1

1)('

22=⇒=

−−

−= xf

xxxf

Per calcolare la costante scelgo x=0 e la calcolo.

La derivata prima:

( ) (-1;1)x 2

arccos)( ∈∀=+= πxarcsen(x)xf

22

Es. Determinare la funzione f, sapendo che:

1f(2)

5-7x-6)(' 2

== xxf

52

72)( 23 cxxxxf +−−= 9c 1101416)2( =⇒=+−−= cf

952

72)( 23 +−−= xxxxf

Cenno ai Problemi di ottimo ( massimo e minimo)Cenno ai Problemi di ottimo ( massimo e minimo)

Inscrivere in un cono retto (altezza h , raggio di base R) un cilindro di volume massimo:

Sia x l’altezza del cilindro inscritto, r il raggio di base del cilindro: allora:

hx0 )(

:)(: <<−=⇒=−h

RxhrrRxhh

Volume cilindro:

)()( 22

22 xfxhx

h

RxrVc =−== ππ

23

)()(2

xfxhxh

xrVc =−== ππ

Cerchiamone il massimo :

[ ] )3)(()2)(()(2)()('2

2

2

22

2

2

xhxhh

Rxxhxh

h

Rxhxxh

h

Rxf −−=−−−=−−−= πππ

hxh

xxf =∨=⇒=3

0)(' hxh

xxf >∨<⇒>3

0)('

x=h/3 è un punto di massimo

hRxhxh

RhV h

xc

2

3

22

2

27

4)(

3ππ =−=

=

3/h

− +'f 0+h

0

Teorema di De l’HospitalTeorema di De l’HospitalTeorema (di de l’Hospital).

Siano f,g :(a,b)�R , derivabili in (a,b) con g e g’ ≠0 in (a,b). Se:

∞±==++ →→

oppure 0)(lim)(lim )axax

xgxfi

RL)('

)('lim ) *

ax∈=

+→ xg

xfii

Allora:

L)(

)(lim

ax=

+→ xg

xf

24

NOTA: Il teorema continua a valere se a=-∞ oppure se si considera il limite per x � b-

con b≤+∞

Teorema di De l’Hospital: Applicazioni 1Teorema di De l’Hospital: Applicazioni 1

+∞=⋅⋅

=⋅⋅

=⋅

==+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→ 234

lim234

lim34

lim 4

lim lim xx2x3x4x

xxxxx e

x

e

x

e

x

e

x

e

+∞===+∞→+∞→+∞→

xxx

xxxxlim

/1

1lim

)ln(lim

Gerarchia Infiniti:

25

33lim

31

/1lim

1

)ln(lim 3

1

13

2131===

−−

→−→→x

x

x

x

xxxx

Limiti Infinitesimi :

=+=−+→→ x

xsenxx

x

xxsenxx 2

)(2)cos(lim

)cos(1)(lim

2

02

2

0

2

3

2

)cos(2)cos(22)(lim

22

0=++⋅−=

→

xxxxxsenx

Cfr. Calcolo con limiti notevoli.


11

)cos(lim

)(lim

00==

→→

x

x

xsenxx

Limiti Notevoli:

2

1

2

)(lim

)cos(1lim

020==−

→→ x

xsen

x

xxx

11

lim 1

lim ==− xx e

x

e)ln(

)ln(lim

1lim a

aaa xx

==−11

lim lim 00

==→→ xx x

11

11

lim )1ln(

lim 00

=+=+→→

xx

xxx

)ln(1

lim lim 00

ax xx

==→→

)(log1

)(log1

1

lim )1(log

lim 00

ee

xx

xa

a

x

a

x=+=+

→→

Teorema di De l’Hospital: Attenzione !!Teorema di De l’Hospital: Attenzione !!

xx e

xxx

−

⋅

−−

→ 1

)2sin()21ln(

11

lim

2

0 e−1

[ ]3.−R

Differenziale di una funzione 1Differenziale di una funzione 1

Def. Differenziale di una funzione

Si chiama differenziale della funzione f nel punto x0 in cui f è derivabile, relativo all’incremento dx, la seguente quantità:

dxxfdx)df(x ⋅= )(', 00

Interpretazione Geometrica )tan()(' 0 β=xf

f(x +dx)

28

Δf

dx

x0 x0+dx

f(x0)df

β

dxxfdf ⋅= )(' 0

)()( 00 xfdxxff −+=∆

f(x0+dx)

Differenziale di una funzione 2Differenziale di una funzione 2dxxfdx)df(x ⋅= )(', 00 )tan()(' 0 β=xf dxxfdf ⋅= )(' 0

)()( 00 xfdxxff −+=∆

Poniamo che f sia derivabile in x0 e poniamo:

dxxfxfdxxfdff )(')()(: 000 −−+=−∆=εAllora:

0)(')()(

limlim 000

00=−−+=

→→xf

dx

xfdxxf

dx dxdx

ε)(dxεε =

29

dxdxε è quindi infinitesimo di ordine superiore a dx. Ciò indica che la relazione

)()(')()( 000 dxdxxfxfdxxf ε++=+

È una buona approssimazione lineare della funzione f in x0

Con approssimazione lineare o linearizzazione della funzione f in x0 si intende la sostituzione ( e l’errore che con essa si commette) della stessa funzione f incrementata con una espressione lineare nella variabile dx (che costituisce l’incremento).

Useremo come sinonimi l’aggettivo “derivabile ” o “differenziabile ” in riferimento ad una data funzione.

Derivata secondaDerivata seconda•La derivata prima di una funzione f(x) rappresenta la pendenza della retta tangente al grafico della funzione.•Può essere identificata con la velocità di variazione della funzione rispetto alla variabile indipendente.•La derivata seconda rappresenta allora la velocità di variazione della pendenza delle tangenti al grafico rispetto alla variabile indipendente.•In analogia al teorema di monotonia della derivata prima potremmo dire (considerando la derivata seconda come la derivata prima della derivata prima) se f è derivabile due volte:

30

b)(a,in crescente 'b)(a,in 0'' ff ⇔≥

b)(a,in edecrescent 'b)(a,in 0'' ff ⇔≤

Convessità e Concavità 1Convessità e Concavità 1Def. (locale, in un punto)Una funzione f:(a,b)�R è convessa (concava) in un punto x 0 di (a,b) se il grafico della funzione si mantiene sopra (sotto) la tangente in(x0;f(x0)) in un opportuno intorno di x0.

Def. (in un intervallo)Una funzione f:(a,b)�R è convessa (concava) in (a,b) se preso un punto qualsiasi x0 di (a,b) se il grafico della funzione si mantiene sopra (sotto) la tangente in(x0;f(x0)).

Funzione convessa : f’ è monotona crescente.

Funzione concava :f’ è monotona decrescente.

31

Convessità e Concavità 2Convessità e Concavità 2

b)(a,in convessa fb)(a,in crescente 'b)(a,in 0'' ⇔⇔≥ ff

b)(a,in concava fb)(a,in edecrescent 'b)(a,in 0'' ⇔⇔≤ ff

ConfrontaUna funzione f:(a,b)�R è convessa (concava) in (a,b) se il grafico è tutto sotto (sopra) la corda (secante) che unisce i punti (x1, f(x1)) (x2,f(x2)) con x1 ed x2 appartenenti ad

32

1 1 2 2 1 2(a,b).

RiassumendoUna funzione é convessa in (a,b) se il grafico è tutto sotto le corde e sopra le tangenti al grafico in (a,b).Una funzione é concava in (a,b) se il grafico è tutto sopra le corde e sotto le tangenti al grafico in (a,b).

Convessità e Concavità 3Convessità e Concavità 3

b)(a,in edecrescent 'b)(a,in 0'' ff ⇔≤


b)(a,in concava f⇔

33

Flessi 1Flessi 1

0)('' flesso 00 =⇒ xfx

Def.Il punto x0 interno di (a,b) è detto flesso ( o di inflessione) per la funzione f definita su tale intervallo , se esiste un opportuno intorno di x0 in cui il grafico di f cambia la propria concavità.

Se la funzione f è derivabile due volte abbiamo la seguente condizione (necessaria) per la determinazione dei flessi di una funzione:

Ci sono due possibilità:FLESSO ASCENDENTE se la concavità passa dal basso (-) all’alto (+)FLESSO DISCENDENTE

34

FLESSO DISCENDENTE se la concavità passa dall’alto (+) al basso (-)

Lo studio della disequazione f’’(x) ≥0 ci permette di individuare i punti di flesso e la loro natura, stabilendo l’andamento della convessità e della concavità del grafico della funzione.

0x

− +''f 0

ascendente flesso

0x

−+''f 0

ediscendent flesso

Flessi 2Flessi 2

35

Flessi e Tangente Flessi e Tangente inflessionaleinflessionale 11Def. Tangente InflessionaleE’ la tangente al grafico della funzione f passante per l’eventuale punto di flesso x0.Essa ha equazione: ))((')( 000 xxxfxfy −=−

Es. Si calcolino i punti di flesso e le tangenti inflessionali della funzione f(x)=x^4-x^3

23 34)(' xxxf −= xxxf 612)('' 2 −=2

100)('' =∨=⇒= xxxf

1

(In genere, nel punto di flesso, il grafico della funzione passa da un semipiano all’altro rispetto alla tangente inflessionale)

36

2Segno di f’’: f’’(x)>0 per x<0 vel x>1/2

Il punto (1/2;f(1/2))=(1/2; -1/16) é flesso ascendente

Il punto (0;f(0))=(0;0) é flesso discendente

0−+''f 0

2

1

0 +

Tangente inflessionale in (0;0):y=0 ( il grafico della funzione passa da sopra a sotto rispetto alla tangente)

Tangente inflessionale in (1/2;-1/16):y+1/16=(-1/4)(x-1/2) ( il grafico della funzione passa da sotto a sopra rispetto alla tangente)

Flessi e Tangente Flessi e Tangente inflessionaleinflessionale 22


Applicazioni Ulteriori:

kxnnn

x

xnn

xsen

nx

x

x

xxsennxnxnxnx

=−⋅−⋅

−=−⋅

−=−=−−→−→−→→ 3020100 )2()1(

)cos(lim

)1(

)(lim

1)cos(lim

)(lim

Trovare l’ordine di infinitesimo per f(x)=sen(x)-x quando x � 0

Bisogna porre, per ottenere k finito e k ≠0, n=3. Allora:

6

1-

123

1)(lim

30=

⋅⋅−=−

→ x

xxsenx

Che possiamo scrivere: ( ) 33

6

1~)(

6

1-~ xxxsenxsen(x)-x −⇔


6

1-

123

1)(lim

30=

⋅⋅−=−

→ x

xxsenx

Che possiamo scrivere: ( ) 33

3!

1~)(

3!

1-~ xxxsenxsen(x)-x −⇔

Il discorso può proseguire….:

Trovare l’ordine di infinitesimo per f(x)=sen(x)-x+1/6x3 quando x � 0

11

( ) =−⋅

+−=+−

=+−

−→−→→ 201

2

0

3

0 1

)(lim2

11)cos(

lim 61

)(lim

nxnxnx xnn

xxsen

nx

xx

x

xxxsen

( ) ( ) =−⋅−⋅−⋅

=−⋅−⋅+−= −→−→ 4030 )3()2(1

)(lim

)2(1

1)cos(lim

nxnx xnnnn

xsen

xnnn

x

( ) kxnnnnn

xnx

=−⋅−⋅−⋅−⋅

= −→ 50 )4()3()2(1

)cos(lim Per avere k finito e diverso da zero

occorre scegliere n=5

Teorema di De l’Hospital: Applicazioni 5Teorema di De l’Hospital: Applicazioni 5Con ragionamento analogo al precedente:

⇔

+ 53

5!

1~

3!

1 xxsen(x)-x 5!

1 6

1)(

lim 5

3

0=

+−

→ x

xxxsen

x

53

5!

1

3!

1~)( xxxxsen +−

xy =

3

!3

1xxy −=

Si sta “costruendo” un’approssimazione polinomiale di sen(x), sempre “più fine”.

53

!5

1

!3

1xxxy +−=

Gli sviluppi di Gli sviluppi di McLaurinMcLaurinTeorema (sviluppo di McLaurin)Sia f una funzione derivabile n volte in un intorno di x=0. Allora, considerato un incremento h vale il seguente sviluppo polinomiale (sviluppo di McLaurin):

)()0(!

1...)0('''

!3

1)0(''

!2

1)0(')0( )(32 nnn hohf

nhfhfhfff(h) +⋅++⋅+⋅+⋅+=

Con o(hn) [simbolo “o piccolo” ] si intende una grandezza infinitesima di ordine superiore ad hn , cioè:

0)(

lim =nho

41

0)(

lim0

=→ nh h

ho

Possiamo anche scrivere:

)()0(!

1...)0('''

!3

1)0(''

!2

1)0(')0( )(32 nnn xoxf

nxfxfxfff(x) +⋅++⋅+⋅+⋅+=

0)(

lim0

=→ n

n

x x

xo

Gli sviluppi di Gli sviluppi di McLaurinMcLaurin delle funzioni delle funzioni elementari 1elementari 1

0~con x )()0(!

1

0

)( nkn

k

k xoxfk

f(x) +⋅=∑=

Consideriamo le funzioni elementari in un intorno dello 0. Essendo infinitamente derivabili lo sviluppo di Mclaurin può essere portato sino all’ordine di infinitesimo desiderato (e di conseguenza anche l’approssimazione polinomiale desiderata).

)()( xsenxf = 0)0()0( == senf 0)0()0('' =−= senf

Con le convenzioni: 0!=1 1!=1 f(0)(0)=f(0)

42

],...2,1,0[ )()!12(

)1(..!5

1

!3

1

!1

1)( 12

1253 =+

+−+++−= +

+

nxon

xxxxxsen n

nn

)()( xsenxf =

1)0cos()0(' ==f

0)0()0( == senf 0)0()0('' =−= senf

1)0cos()0(''' −=−=fE poi ciclicamente


)()!2(

)1(..!4

1

!2

11)cos( 2

242 n

nn xo

n

xxxx +−+++−=

)cos()( xxf =

0)0()0(' =−= senf

1)0cos()0( ==f 1)0cos()0('' −=−=f

0)0()0(''' == senfE poi ciclicamente

43

)tan()( xxf =

1)(cos

1)0(' 02

== =xxf

0)tan()0( 0 == =xxf 0)(cos

)(2)0(''

0

3==

=xx

xsenf

2)(cos

)(212)0('''

0

4

2

=+==x

x

xsenf

)(315

17

15

2

3

1)tan( 8753 xoxxxxx ++++=


)()!(

..!4

1

!3

1

!2

11 432 n

nx xo

n

xxxxxe +++++++=

xexf =)( 1)0(...)0('')0(')0( )( ===== nffff

...)!(

1..

!4

1

!3

1

!2

111~ +++++++

ne

(estensione analitica)Una buona approssimazione di e

44

)1ln()( xxf += )()1(..4

1

3

1

2

1)1ln( 1432 n

nn xo

n

xxxxxx +−++−+−=+ −

)!(!4!3!2 nUna buona approssimazione di e


( ) ( ))(

2

111 22 xoxxx +−++=+ αααα( )αxxf += 1)(

xxf

−=

1

1)( )(..1

1

1 32 nn xoxxxxx

++++++=−

1 1

45

xxf

+=

1

1)( )()1(..1

1

1 32 nnn xoxxxxx

+−++−+−=+

Esempio (Esempio ( McLaurinMcLaurin per calcolo limite) 1per calcolo limite) 1Es.

=

+−−++=−+

→→ 2

2222

02

2

0

)(21

133)]([3lim

)cos(33)sin(3lim

x

xoxxox

x

xxxx

=

+−−++=

→ 2

2222

0

)(21

133)]([3lim

x

xoxxox

x

46

x

=++

=++−++

=→→ 2

222

02

2222

0

)(23

3lim

)(23

33)(3lim

x

xoxx

x

xoxxox

xx

2

9)(29

lim2

22

0=

+=

→ x

xox

x

Esempio (Esempio ( McLaurinMcLaurin per calcolo limite) 2per calcolo limite) 2Es.

=+

−−−→ )1ln(

)(1lim

2

32

0

2

x

xxex

x=

+

+−−−++

→ )(

)()(21

1))(1(lim

22

33222

0 xox

xoxxxox

x

2

3=+

++−+=

→ )(

)()(21

lim22

32322

0 xox

xoxoxxx

x=

+

++

→ )(

)(21

lim22

222

0 xox

xoxx

x

47

Utilizzando il teorema di De l’Hospital si complicherebbe:

=+

−−−→ )1ln(

)(1lim

2

32

0

2

x

xxex

x...

21

1)(12

)32(2

lim

2

32

2

0

2

=

+

−−−−−

→x

x

xx

xxxex

x

Esempio (Esempio ( McLaurinMcLaurin per Studio Funzione)per Studio Funzione)Es. Si studi il comportamento della seguente funzione in un intorno di x=0

3

)sin()(

x

xxxf

−= ...!56

1~

..!5!3

~)(2

3

53

++−−

++−

x

x

xxx

x

xf

Parabola con la concavità verso l’alto (a meno di infinitesimi di ordine superiore)

48

Gli sviluppi di TaylorGli sviluppi di TaylorTeorema (sviluppo di Taylor)Sia f una funzione derivabile n volte in un intorno di x0. Allora, considerato un incremento h vale il seguente sviluppo polinomiale (sviluppo di Taylor):

)()(!

1....)(''

!2

1)(')( )1( 0

)(20000

nnn hohxfn

hxfhxfxfh)f(x +⋅++⋅+⋅+=+

Con o(hn) [simbolo “o piccolo”] definito come grandezza infinitesima di ordine superiore ad hn , cioè:

)( nho

49

0)(

lim0

=→ n

n

h h

ho

Possiamo anche scrivere:

)()(!

10

0

)(0

nkn

k

k hohxfk

h)f(x +⋅=+ ∑=

Con le convenzioni: 0!=1 1!=1 f(0)(0)=f(0)

))(()()(!

1....)()(''

!2

1)()(')( 000

)(200000

nnn xxoxxxfn

xxxfxxxfxff(x) −+−⋅++−⋅+−⋅+=

Attenzione, ponendo x=x0+h e quindi h=x-x0, possiamo riscrivere la (1) come:

Esempio di sviluppo di TaylorEsempio di sviluppo di TaylorEs.Si consideri f(x)=exp(x) e x0 =1. f(1)=e=f’(1)=f’’(1)….

=+⋅++⋅+⋅+=+ )()1(!

1....)1(''

!2

1)1(')1(1 )(2 nnn hohf

nhfhffh)f(

)(!

...!2

1)(!

1....

!2

1 22 n

nnn ho

n

hhhehohe

nhehee +

++++=+⋅++⋅+⋅+=

50

Es.Si consideri f(x)=5x2+7x-2 e x0 =2.

3221420)2( =−+=f 710)(' += xxf 27)2(' =f

10)('' =xf 10)2('' =f

2)2(5)2(2732)( −+−+= xxxf

seguenti e 0)(''' =xf

Esempio di sviluppo di TaylorEsempio di sviluppo di TaylorEs. Si consideri f(x)=x4+6x3+8x-1 x0=1 , si scriva lo sviluppo di Taylor arrestato al secondo ordine

141861)1( =−++=f 8184)(' 23 ++= xxxf 308184)1(' =++=f

xxxf 3612)('' 2 += 483612)1('' =+=f

( )22

1~)1()1(24)1(3014)( −+−+−+= xoxxxf

x

51

( )1~

)1()1(24)1(3014)( −+−+−+= xoxxxfx

Approssimazione parabolica in x0=1

Concavità e segno della derivata secondaConcavità e segno della derivata secondaAbbiamo visto che :

Traccia dimostrativaDallo sviluppo di Taylor: )()(''

!2

1)(')( 22

0000 hohxfhxfxfh)f(x +⋅+⋅+=+

Scriviamolo come: ....))((''!2

1)()(')( 2

00000 +−+−⋅+= xxxfxxxfxff(x)

Ricordiamo che l’equazione della tangente al grafico di f(x) in x è :


b)(a,in concava fb)(a,in edecrescent 'b)(a,in 0'' ⇔⇔≤ ff

52

Perciò:

Ricordiamo che l’equazione della tangente al grafico di f(x) in x0 è :

)()(')( 000 xxxfxfy −⋅+=

....))((''!2

1 200 +−=− xxxfyf(x) Rappresenta la differenza di ordinate

tra la funzione la tangente quindi:

Se f’’(x0) ≥0 � f(x) ≥ y � la funzione sta sopra la tangente (funzione convessa nel punto)

Se f’’(x0) ≤0 � f(x) ≤ y � la funzione sta sotto la tangente (funzione concava nel punto)

Ulteriore condizione sufficiente per massimi e Ulteriore condizione sufficiente per massimi e minimi (derivate successive) 1minimi (derivate successive) 1

TeoremaSia f:[a,b]�R. Sia x0 un punto di (a,b) in cui la funzione sia derivabile almeno due volte. Sia x0 un punto stazionario. Allora condizione sufficiente affinché x0 sia un massimo(minimo) è che f’’(x 0)<0 (>0).

Traccia dimostrativaDallo sviluppo di Taylor:

⇒+⋅+⋅+=+ )()(''1

)(')( 22 hohxfhxfxfh)f(x

53

⇒+⋅+⋅+=+ )()(''!2

1)(')( 22

0000 hohxfhxfxfh)f(x

)()(''!2

1)( 22

000 hohxfh)f(xxf +⋅−=+−

Se f’’(x0)<0 per h sufficientemente piccolo f(x0 )>f(x0 +h), allora x0 è un punto di massimo

Ulteriore condizione sufficiente per massimi e Ulteriore condizione sufficiente per massimi e minimi (derivate successive) 2minimi (derivate successive) 2

Teorema (estensione del precedente)Sia f:[a,b]�R. Sia x0 un punto di (a,b) in cui la funzione sia derivabile n volte. Sia x0 un punto stazionario, con derivate successive nulle sino alla derivata di ordine (n-1). Allora se n è pari condizione sufficiente affinché x0 sia un massimo (minimo) è che f(n)(x0)<0 (>0).

Nota. Se n è dispari x0 non è né massimo né minimo (flesso vd poi).

Es. Sia f(x)=x4 f’(x)=4x3 � f’(0)=0 f’’(x)=12x2 � f’’(0)=0

54

Es. Sia f(x)=x4 f’(x)=4x3 � f’(0)=0 f’’(x)=12x2 � f’’(0)=0

f’’’(x)=24x � f’’’(0)=0 fiv(x)=24 � fiv(0)=24>0

x=0 NON è punto di minimo né di massimoEs. Sia f(x)=x5

� allora x=0 è un punto di minimo

f’(x)=5x4 � f’(0)=0 f’’(x)=20x3 � f’’(0)=0 f’’’(x)=60x2 � f’’’(0)=0

fiv(x)=120x � fiv(0)=0 fv(x)=120 � fv(0)>0

� allora x=0 NON è un estremante

Flessi a tangente orizzontale: caso A (1)Flessi a tangente orizzontale: caso A (1)

0x

+'f0

+

orizz. tangentea FLESSO, : 0xcasoA

Quindi x0 è punto di flesso (ascendente)

Nel nostro caso f’(x0)=0 e f’(x)≥0 nell’intorno di x0, . Dunque f(x) è monotona crescente in tale intorno. Inoltre y=f(x0) è la tangente nel punto x0. Quindi :

0)( 00 <−⇒< xff(x)xxse Dunque la funzione è concava per x<x0

0)( 00 >−⇒> xff(x)xxse Dunque la funzione è convessa per x>x0

55

Si consideri inoltre lo sviluppo di Taylor della funzione f (derivabile almeno 3 volte) in un opportuno intorno di x0:

))(()(2

)(''))((')( 2

02

00

000 xxoxxxf

xxxfxff(x) −+−⋅+−+=

Quindi x0 è punto di flesso (ascendente)

( )20

20

00 )()(

2

)('')( xxoxx

xfxff(x) −+−⋅=−

Flessi a tangente orizzontale: caso A (2)Flessi a tangente orizzontale: caso A (2)

( )20

20

00 )()(

2

)('')( xxoxx


0)(''0)(et 000 ≥⇒>−> xfxff(x)xxse ⇒(x)'f' di continuitàper

0)('' 0 =xf0)(''0)(et 000 ≤⇒<−< xfxff(x)xxse

Dunque lo sviluppo di Taylor diventa:

( )30

30

00 )()(

!3

)(''')( xxoxx


56

( )000 )()(!3

)( xxoxxxff(x) −+−⋅=−

0)('''0)(et 000 ≥⇒>−> xfxff(x)xxse

0)('''0)(et 000 ≥⇒<−< xfxff(x)xxse

in x crescente monotona )(''0)(''' 00 xfxf ⇒≥0x

+''f0

−Dunque:

x0 è punto di flesso (ascendente)

Flessi a tangente orizzontale: caso B (1)Flessi a tangente orizzontale: caso B (1)

Quindi x0 è punto di flesso (discendente)

Nel nostro caso f’(x0)=0 e f’(x)≤0 nell’intorno di x0, . Dunque f(x) è monotona decrescente in tale intorno. Inoltre y=f(x0) è la tangente nel punto x0. Quindi :

0)( 00 >−⇒< xff(x)xxse Dunque la funzione è convessa per x<x0

0)( 00 <−⇒> xff(x)xxse Dunque la funzione è concava per x>x0

0x

−'f0 −

orizz. tangentea FLESSO, : 0xcasoB

57

Si consideri inoltre lo sviluppo di Taylor della funzione f (derivabile almeno 3 volte) in un opportuno intorno di x0:

))(()(2

)(''))((')( 2

02

00

000 xxoxxxf

xxxfxff(x) −+−⋅+−+=

Quindi x0 è punto di flesso (discendente)

( )20

20

00 )()(

2

)('')( xxoxx


Flessi a tangente orizzontale: caso B (2)Flessi a tangente orizzontale: caso B (2)

( )20

20

00 )()(

2

)('')( xxoxx


0)(''0)(et 000 ≤⇒<−> xfxff(x)xxse ⇒(x)'f' di continuitàper

0)('' 0 =xf0)(''0)(et 000 ≥⇒>−< xfxff(x)xxse

Dunque lo sviluppo di Taylor diventa:

( )30

30

00 )()(

!3

)(''')( xxoxx


58

( )000 )()(!3

)( xxoxxxff(x) −+−⋅=−

0)('''0)(et 000 ≤⇒<−> xfxff(x)xxse

0)('''0)(et 000 ≤⇒>−< xfxff(x)xxse

in x edecrescent monotona )(''0)(''' 00 xfxf ⇒≤0x

+''f0

−Dunque:

x0 è punto di flesso (discendente)

Ulteriore condizione sufficiente per massimi, Ulteriore condizione sufficiente per massimi, minimi e flessi (derivate successive)minimi e flessi (derivate successive)

TeoremaSia f:[a,b]�R. Sia x0 un punto di (a,b) in cui la funzione sia derivabile n volte. Sia x0 un punto stazionario, con derivate successive nulle sino alla derivata di ordine (n-1). Allora:• se n è pari e f(n)(x0)<0 f è concava in x0 e x0 é un MASSIMO.• se n è pari e f(n)(x0)>0 f è convessa in x0 e x0 é un MINIMO.• se n è dispari x0 é un FLESSO.

Traccia dimostrativa

59

Traccia dimostrativa

))(()(!

)(...)(

2

)(''))((')( 00

0)(

20

0000

nnn

xxoxxn

xfxx

xfxxxfxff(x) −+−⋅++−⋅+−+=

))(()(!

)()( 00

0)(

0nn

n

xxoxxn

xfxff(x) −+−⋅+=

))(()(!

)()( 00

0)(

0nn

n

xxoxxn


y=f(x0) è la tangente nel punto x0.

Ulteriore condizione sufficiente per massimi, Ulteriore condizione sufficiente per massimi, minimi e flessi (derivate successive)minimi e flessi (derivate successive)

))(()(!

)()( 00

0)(

0nn

n

xxoxxn

xfxff(x) −+−⋅=− y=f(x0) è la tangente nel punto x0.

n-dispari

Cambia di segno passando dalla sinistra alla destra di x0. Ciò implica Che la funzione la passa da concava a convessa o viceversa ( a seconda del segno di f(n)(x0).

)( 0xff(x)−

Dunque x è un punto di flesso ascendente se f(n)(x ) >0 ; discendente se f(n)(x ) <0

60

Dunque x0 è un punto di flesso ascendente se f(n)(x0) >0 ; discendente se f(n)(x0) <0

N-pari nxx )( 0− E’ sempre positivo per x≠ x0

⇒≥⇒> )(0)( 00)( xff(x)xf n

⇒≤⇒< )(0)( 00)( xff(x)xf n

x0 è un MINIMO

x0 è un MASSIMO

Punti Stazionari. Estremanti locali e assoluti.20Dispense%20STB/2014...(*) Nota. Da intendersi come...

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