Fisica II - Informatica Circuiti elettrici stazionari Come facciamo a determinare le correnti che...

Fisica II - Informatica

Circuiti elettrici “stazionari”

Come facciamo a determinare le correnti che fluiscono negli elementi circuitali (resistenze) quando le combinazioni di tali elementi diventano più complesse (circuiti) ?

Cioè non possiamo “ridurre” ad un’unico resistore equivalente le resistenze presenti nel circuito.


Leggi di Kirchoff“I legge: dei nodi”

“La somma delle correnti che entrano in nodo deve essere eguale alla somma delle correnti che escono dal nodo stesso."

in outI I• Questa legge deriva dal principio di

conservazione della carica, valido in ogni nodo.

• Le correnti che entrano e escono dai nodi del circuito sono note come “correnti di ramo”.

• Ciascun ramo deve avere una distinta corrente, Ii assegnata ad esso


Leggi di Kirchhoff“II legge: delle maglie”

“La somma algebrica delle differenze di potenziale rilevate su un circuito chiuso in un giro completo è nulla."

• Questo è soltanto un altro modo per ribadire ciò che sapevamo: la differenza di potenziale è indipendente dal cammino!

0nmaglia

V

R1

R2IMuovendosi in senso orario sul circuito: IR1 IR2

0


Regola pratica

Muovendosi sul circuito:

•Gli incrementi di potenziale sono positivi, le diminuzioni (“caduta”) sono negative.

•Scegliamo una direzione ARBITRARIA per la corrente e percorriamo il circuito nella medesima direzione (p. es.).

•Se una batteria viene attraversata dal terminale negativo a quello positivo, il potenziale aumenta, e quindi la tensione della batteria entra nell’equazione con un segno +,

•Se il percorso scelto è tale da attraversare la batteria da (+) a (-) V diminuisce ed entra nell’equazione con il segno -.

•Attraversando un resistore (resistenza), nel verso della corrente, il potenziale diminuisce e quindi entra nell’equazione con un segno - .

R1

R2I

IR1 IR2 0

- + -+


Regola pratica

invertendo il senso della corrente, si ha sulla maglia

•E’ impossibile scegliere un verso del cammino “sbagliato” (circuiti a più maglie). SE INVERTIAMO UN CAMMINO, SI DEVONO CAMBIARE TUTTI I SEGNI NELL’EQUAZIONE. Non vi è alcuna differenza nell’algebra !

•COMUNQUE, è possibile che nella soluzione una o più delle correnti risultino NEGATIVE.

•Se questo accade, vuole semplicemente dire che la direzione del flusso di corrente è in realtà opposto a quello del cammino arbitrariamente scelto.

IR1 IR2 0

- + -+

I


Esempio a

d

b

ec

f

R1

I

R2 R3

R4

I

1 2

1 2 3 4

IR R R R

1 2 2 3 4 1 0IR IR IR IR 0nloop

V

2 1

1 2 3 4

IR R R R

Se 2 < 1 , I sarebbe negativa, cioè fluirebbe in senso orario, opposto al verso di percorrenza scelto

Se 1 < 2 , I sarebbe negativa, cioè fluirebbe in senso orario, opposto al verso di percorrenza scelto

Se invertiamo il verso scelto per I 1 2 2 3 4 1 0IR IR IR IR 0n

loop

V


Resistenza interna di un dispositivo fem

• Qualunque dispositivo fem ha una resistenza interna. Consideriamo una batteria reale.

ab

RV ir

R r

rRiiRir

0

• Applichiamo la legge di Kirchhoff alle maglie (senso orario)


Potenza (elettrica) e Dissipazione

• La potenza netta trasferita da un dispositivo fem ai portatori di carica è data da

riiiriVViiVP ab2)()(

Definizioni:

riPr2Dissipazione interna di potenza:

femP ipotenza FEM :

fem rP P P Conservazione dell’Energia !


Resistori in serie a

b

c

R1

R2

I

1IRVV ba 2IRVV cb

)( 21 RRIVV ca

Il potenziale “diminuisce”:

)( 21 RRReq Quindi:

Quando i dispositivi sono in SERIE, la corrente che li attraversa è identica !

a

c

ReqIl circuito si riduce a :


Definizioni

Nodo: giunzione di ALMENO tre rami di un circuito

Maglia: percorso CHIUSO lungo un circuito elettrico (punto iniziale e finale coincidenti).


• Analizzare il circuito, identificare tutti i nodi ed usare la I legge di K. (1) I1 = I2 + I3 ovvero, al nodo inferiore I2 + I3 = I1 (solo una è indipendente)

Come usare le leggi di Kirchhoff ?

1

2

R1

R3R2

I1 I2

I3

(2) 1 I1R1 I2R2 = 0(3) 1 I1R1 2 I3R3 = 0(4)=(3-2) I2R2 2 I3R3 = 0

• Identificare tutte le maglie indipendenti ed usare la II legge di K.

Ma … solo due sono independenti!

(2)(3) (4)


Come usare le leggi di Kirchhoff ?

1

2

R1

R3R2

I1 I2

I3

• Risolviamo le equazioni per I1, I2, e I3:

troviamo prima I2 e I3 in termini di I1 :

Questo sistema funziona solo perchè le eq. 2 e 3 coinvolgono ciascuna solo due correnti. Nel caso peggiore, sarà necessario risolvere simultaneamente tre eq. lineari.ora risolviamo per I1 usando l’eq. (1):

1 1 2 1 11 1

2 3 2 3

( )R R

I IR R R R

1 1 2

2 31

1 1

2 3

1

R RI

R RR R

2 1 1 1 2( ) /I I R R

3 1 2 1 1 3( ) /I I R R

dall’eq. (2)

dall’eq. (3)


Resistori in parallelo

a

d

I

I

R1 R2

I1 I2

V

Ia

dI

RV

• Ma la corrente attraverso R1 non è I ! Chiamiamola I1. Analogamente, R2 I2.

II legge1 1 0V I R

2 2 0V I R

• Cosa fare? IRV

• I dispositivi in parallelo hanno la medesima caduta di tensione

1 2

V V V

R R R

1 2

1 1 1

R R R

• Come si correla I a I 1 & I 2 ?La corrente si conserva !

1 2I I I


Esempio 1• Consideriamo il circuito in figura:

Qual è la relazione tra Va -Vd e Va -Vc ?

(a) (Va -Vd) < (Va -Vc) (b) (Va -Vd) = (Va -Vc) (c) (Va -Vd) > (Va -Vc)

• Rammentare che il potenziale è indipendente dal cammino !

• I punti d e c sono identici, elettricamente

Avendo assunto cd come un perfetto conduttore, i punti c e d sono

equipotenziali anche se questo esempio non è statico.

12VI1 I2

a

b

d c

50

20 80


Esempio 2

(a) I1 < I2 (b) I1 = I2 (c) I1 > I2

– Qual è la relazione tra I1 e I2?

• Consideriamo il circuito in figura:

• Si noti che: Vb -Vd = Vb -Vc assumendo fili perfettamente conduttori• Pertanto,

1 2(20 ) (80 )I I 1 24I I

12VI1 I2

a

b

d c

50

20 80


Riassumendo

1 2 3 ...eqR R R R • Resistori in serie :

• Resistori in parallelo :1 2 3

1 1 1 1...

eqR R R R

La corrente attraverso è identica; la caduta di tensione ai capi è IRi

La caduta di tensione ai capi è identica; la corrente attraverso è V/Ri


Suggerimenti per risolvere i problemi• Dato un circuito, analizzarne attentamente la

topologia.

– trovare i nodi e ciascun ramo , selezionarne i sottoinsiemi Linearmente Indipendenti.

– definire le correnti di ramo

• Usare la II legge di Kirchhoff per tutte le maglie indipendenti nel circuito.

– la somma delle tensioni lungo queste maglie è nulla !

• Usare la I legge di Kirchhoff per tutti i nodi independenti del circuito.

• Il numero di equazioni indipendenti necessarie deve essere eguale al numero di correnti incognite !


Amperometro e Voltmetro

Amperometro: strumento usato per

misurare correnti • Deve essere connesso in serie.• La resistenza interna di un amperometro deve essere la più piccola possibile.

Voltmetro: uno strumento usato per misurare differenze di potenziale• Deve essere connesso in parallelo.• La resistenza interna di un voltmetro deve essere la più grande possibile.


Amperometro: misura correnti • connesso in serie: bisogna “interrompere” un ramo di circuito ed inserire lo strumento.• In pratica l’Amperometro è essenzialmente una resistenza di “shunt” (di caduta) Rs molto bassa, inserita nel ramo del circuito, con un voltmetro ad elevata “impedenza” connesso ai suoi capi (dello “shunt”) che misura la corrente di “shunt” come

I = V/Rs

Voltmetro: misura differenze di potenziale • La resistenza interna di un voltmetro deve essere resa la più grande possibile rispetto alle resistenze presenti nel circuito dove effettuare la misura. • Se Rvoltmetro = 100 x Rj essa ridurrà il valore effettivo di Rj di circa 1% e perturberà il flusso delle correnti nella maglia e, potenzialmente, anche in altre.

Amperometro e Voltmetro


•

a

b

R

C

II

q C e t RC 1 /

t

q

RC 2RC

0

C

C

a

b+

- -

R+

I I

Circuiti RC

q

RC 2RC

0t

q C e t RC /

C


Circuiti non-stazionari• Fin qui abbiamo trattato correnti costanti,

cioè circuiti in condizioni stazionarie• Consideriamo adesso dei semplici circuiti in

cui la corrente varia nel tempo

• Calcolo Carica di un condensatore attraverso una Resistenza

• Calcolo Scarica di un condensatore attraverso una Resistenza


Circuiti RC

• il condensatore è inizialmente scarico• per t<0 l’interruttore S è aperto, non circola corrente• per t>0 chiudiamo S, circola una corrente I: il campo

elettrico della batteria spinge gli elettroni verso la placca superiore di C e li rimuove da quella inferiore

• non vi è passaggio di corrente tra le placche di C !!!• il valore max di carica dipende dalla f.e.m., quando viene

raggiunto non circola più corrente


Circuiti RC

• Carica di un condensatore:

C inizialmente scarico; chiudiamo l’interruttore su a a t=0

a

b

R

C

II

Calcoliamo la corrente e la

carica in funzione del tempo.

È importante la posizione di R nella maglia ?• Legge maglia 0

QIR

C

• Convertiamola in una equazione differenziale per Q:

dQ dQ QI R

dt dt C

+ +


Soluzione eq. differenziale (1° ordine)

/ / /avendo posto X R Q RC con dX dQ RC

/ /

0 /

( / / )

/ /

Q R Q RC

R

d R Q RC dXt RC RC

R Q RC X

dQ QRdt C

dQ Q

dt R RC

/ /

/

/ /ln ln

/

R Q RC

R

t R Q RCX

RC R

/ /1 ,t RC t RCdQQ C e i e

dt R

0 0/ /

Q tdQdt

R Q RC


Carica del condensatore Carica su C

Max = C

63% Max a t = RC

/1 t RCQ C e

Corrente

Max =/R

37% Max a t = RC

/t RCdQ

I edt R

Q

0

C

t

RC 2RC

I

0t

costante di tempo

RC


Circuiti RC• Scarica del condensatore:

C inizialmente caricocon Q=C

Chiudiamo l’interruttore su b a t=0.

Calcoliamo la corrente e la carica in funzione del tempo.

• Convertiamola nella equazione differenziale per Q:

C

a

b+ +

- -

R

I I

dt

dQI 0

C

Q

dt

dQR

0C

QIR• Legge maglia


Soluzione

0

1Q t

C

dQdt

Q RC

ln lnQ

C

t QQ

RC C

/

/

t RC

t RC

Q C e

dQi e

dt R

0dQ Q

Rdt C

Conclusioni: • il condensatore si scarica

esponenzialmente con costante di tempo = RC

• la corrente decade dal valore max iniziale (= -/R) con la stessa costante di tempo


Corrente

Max = -/R

37% Max a t=RC

/t RCdQ

I edt R

Scarica del condensatore

Carica su C

Max = C

37% Max a t=RC

Q = C e -t/RC

t

Q

0

C RC 2RC

0

-/R

I

t

zero


Combinazioni di RC: quanto vale ?

R R

C C

RCC

R

2)2(

RCR

C

2)2(

R

R

CC


Riassunto

VR

R

C VC

+ +

- -

R

CS

VC

VR

+-

+ +

- -

RCt

RCt

eR

Vi

eCVq

/

/ )1(

RCt

RCt

eR

Vi

eCVq

/

/

Carica

Scarica


Comportamento dei Condensatori

• Carica

– Inizialmente, il condensatore si comporta come un filo (cond.).

– Dopo lungo tempo, il condensatore si comporta come uninterruttore aperto.

• Scarica

– Inizialmente, il condensatore si comporta come una batteria.

– Dopo lungo tempo, il condensatore si comporta come uninterruttore aperto


Applicazione: il “flash”


Esempio 1• A t=0 l’interruttore è connesso in a nel

circuito in figura: il condensatore è inizialmente scarico.– A t = t0, l’interruttore è commutato dalla

posizione a alla posizione b.

– Quale dei seguenti grafici rappresenta meglio la dipendenza dal tempo della carica su C?

C

a b

R 2R

(a) (b) (c)

t

q

0

C

0 1 2 3 40

0.5

1

t/RC

Q f( )x

x

t0 t

q

0

C

0 1 2 3 40

0.5

1

t/RC

Q f ( )x

x

t 0 0 1 2 3 40

0.5

1

t/RCQ f ( )x

x

q

0

C

tt0

• Per 0 < t < t0, il condensatore si carica con costante di tempo = RC• Per t > t0, il condensatore si scarica con costante di tempo = 2RC

• (a) costanti di tempo eguali nella carica e nella scarica• (b) la costante di tempo di scarica t è maggiore di quella di carica • (c) la costante di tempo di scarica t è minore di quella di carica


• Quanta energia è immagazzinata in C nell’istante in cui i=2.0 mA. Assumere q(t=0)=0, =50V, R=5K and C=40F

• Usiamo la corrente i per trovare

Esempio 2

R

C

S

VC

VR

VAiRVR 10105102 33


Usiamo la conservazione dell’energia

L’energia immagazzinata nel condensatore C è:

Esempio 2

VVVVV RC 401050

mJU

VFCVU C

32

)40(10402

1

2

1 262

R

C

S

VC

VR


Esempio 3I1

I3I2

R2C

R1

Consideriamo il comportamento transiente (tempi brevi e lunghi) di questo circuito.

• Comportamento a breve termine (t=0):

Inizialmente il condensatore agisce come un filo ideale. Quindi,

e

• Comportamento a lungo termine (t→∞):

il condensatore è un circuito aperto


Esempio 3

I1

I3

I2

R2C

R1

Maglia 1

Maglia 2

• Nodo:

• Maglia 1: 1 1 0cQ I RC

• Maglia 2: 2 2 1 1 0I R I R

1 2 3I I I

• Eliminare I1 in M1 e M2 usando l’equazione al nodo :

• Maglia 1: 1 2 0cQ dQR I

C dt

• Maglia 2: 2 2 1 2 0dQ

I R R Idt

eliminare I2

• eqn. differenziale finale :1 1 2

1 2

dQ Q

R dt R RC

R R


Esempio 3

I1I3I2

R2C

R1

Maglia 1

Maglia 2• eqn. differenziale finale :

1

21

21 RC

RRRR

Q

dt

dQ

costante di tempo: combinazione del parallelo

tra R1 e R2

• Cerchiamo una soluzione del tipo:

– sostituiamo nella eq. per ricavare A e t

/1)( teAtQ

• I risultati devono obbedire alle condizioni iniziali e finali:

1 2

1 2

R RC

R R

2

1 2

RA C

R R


Esempio 3

• per quanto riguarda la scarica ?– Aprendo l’interruttore ...

I1I3I2

R2C

R1

Maglia 1

Maglia 2

• Maglia 1 e Maglia 2 non esistono!

• I2 è l’unica corrente

• una sola maglia I2 R2

C

R1

2 2 20Q dQ

I R ma IC dt

costante di tempo diversa per la scarica


• Le leggi di Kirchoff si applicano anche ai circuiti dipendenti dal tempo: si hanno equazioni differenziali !

• Soluzioni di tipo esponenziale – dovute alla forma dell’equazione differenziale

• costante di tempo = RC

– cosa sono R e C ? → bisogna analizzare il circuito !

• con RC in serie la soluzione per la carica è

• con RC in serie la soluzione per la scarica è

Riassunto

/1 e t RCQ C

/e t RCQ C


• Soluzioni di tipo esponenziale – dovute alla forma dell’equazione differenziale

• costante di tempo = RC

– Quando il sistema raggiunge l’equilibrio ?– è una convenzione: se diciamo che il sistema è in

equilibrio entro, diciamo, lo 0.1% del suo valore asintotico (max o 0) della tensione (carica) di carica o scarica

– diciamo quindi t = RC* ln(1/.001) = 6.9

Esempio = 10 F * 10 M = 100 s 690 s per 0.1%

Se vogliamo una accuratezza di 1 parte per milione,

dobbiamo attendere più a lungo.

Riassunto

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