Fisica II – secondo modulo Lezione...

Fisica II – secondo modulo Lezione II C.C.L. Matematica, a.a.2017/18

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http://people.unica.it/giuliamanca

Calendario Lezioni

G.Manca2Fisica II@Math, 2o mod. a.a.2017-18

Fine lezioni di teoria

Inizio laboratorio

2° parziale ?

Lun-Mer-Gio-Ven : 9-11 (teoria), Mar 15-17 (esercizi); meta` Maggio : inizio Lab !

Induzione elettromagnetica

Fisica II@Math, 2o mod. a.a.2017-18 G.Manca 3

Le equazioni di Maxwell per campi stazionari


• Per campi stazionari, le derivate rispetto al tempo sono nulle• In questo caso, due equazioni contengono solo il campo elettricoe le altre due il solo campo magnetico

∇ ⋅ # =ρ

ε'

∇×# = 0

∇ ⋅ * = 0

1

ε'µ'∇×* =

.⃗

ε'

Per campi stazionari:

• Il campo elettrico statico è conservativo <= cariche elettriche fisse• Si può definire un potenziale scalare # = −∇ϕ

• Il campo magnetico statico NON è conservative <= cariche elettrichein moto stazionario

Equazioni di Maxwell nel vuoto • In realta` le cose cambiano quando consideriamo variazioni dei campi rispetto al tempo

E,B costanti nel tempo locali globali

• Forza di Lorentz (forza esercitata su una carica) "⃗ = $ % + '⃗×)• Carica conservata ∇ ⋅ ,⃗ = − ./

.0Fisica II@Math, 2o mod. a.a.2017-18

G.Manca 5

∇ ⋅ % = ρε3

∇×% = −4)45∇ ⋅ ) = 0

1ε3µ3 ∇×) =

,⃗ε3 +

4%45

9:% ⋅ ;<Σ = $IN

ε3

9@% ⋅ <A⃗ = − 4

45 9:) ⋅ ;<Σ

9:) ⋅ ;<Σ = 0

9@) ⋅ <A⃗ = µ3B + µ3ε3 445 9:

% ⋅ ;<Σ

∇ ⋅ % = ρε3

∇×% = 0

∇ ⋅ ) = 0

∇×) = µ3,⃗

Variazioni dei campi nel tempo• Il campo magnetico ed elettrico compenetrati => campo elettromagnetico

• Correnti elettriche → Campi magnetici

• Campi magnetici → Correnti elettriche

• Se disponiamo due fili paralleli e facciamo circolare una corrente elettrica stazionaria suuno dei due, possiamo chiederci se osserveremo una corrente nell'altro => La risposta ènegativa

• Faraday nel 1840 scoprì che gli effettielettrici esistono solo se “qualcosa” cambia. ➠Se la corrente è variabile, si osservano effetti➠Se un magnete viene spostato, si osservano

degli effetti


i

Induzione Elettromagnetica: osservazioni• Esperimento 1: Muoviamo un magnete dentro e fuori da una spira

➠ Si genera corrente nella spira se il magnete e la spira sono in moto relativo

➠ Più veloce è il movimento, più intensa è la corrente➠ Se allontaniamo un polo del magnete anzichè avvicinarlo, la corrente

circola in senso opposto.➠ Se avviciniamo il polo N del magnete, la corrente circolerà in un

senso. Viceversa, se avviciniamo il polo S, la corrente circolerà in sensoopposto

• Esperimento 2: Consideriamo il sistema di due spire uguali, unapercorsa da corrente ed un no➠ Se chiudiamo l'interruttore S, nella spira a destra si produce una

corrente indotta di breve durata➠ Se apriamo l'interruttore S, nella spira a destra si produce una

corrente indotta in verso opposto rispetto alla precedente


Induzione Elettromagnetica• L'aspetto importante negli esperimenti considerati e in quello

riportato a fianco, consiste nella variazione del flusso del campo

magnetico attraverso la spira (memo: ϕ" = ∮%& ⋅ ()Σ)

• Ciò causa nella spira una corrente indotta

• Si dice che la corrente indotta è fatta circolare da una forza

elettromotrice indotta (memo: ℰ = ∮, ⋅ ).⃗ )

• Più è rapida la variazione, maggiore è la corrente (e la f.e.m.) indotta


Legge di induzione di Faraday• La forza elettromotrice indotta nel circuito è:

ε = −$φ&$'

• dove fB è il flusso del campo magnetico concatenato col circuito, ovvero, attraverso unaqualunque superficie (S) avente per contorno il circuito S ϕ& = ∮*+ ⋅ -$Σ = 0


Michael Faraday (1791, 1867)

Flusso concatenato• Dato un cammino chiuso, possiamo considerare infinite superfici aventi

il cammino come contorno

• Ricordiamo che il campo magnetico è solenoidale

!"# ⋅ %&Σ = 0

➠questo implica che possiamo considerare una linea chiusa (G)come la lineadi demarcazione tra due superfici che, unite, formano una superficiechiusa

• Indipendentemente da come prendo S, il flusso attraverso di essa(concatenato con G)deve essere lo stesso, in modo da elidere quelloattraverso S’

• Memo: Unita di misura flusso magnetico= weber (Wb) = 1 V s , variazione di flusso che in un secondo genera fem di 1 V.


Legge di induzione di Faraday• La forza elettromotrice indotta nel circuito è:

ε = −$φ&$'• dove fB è il flusso del campo magnetico concatenato col circuito, ovvero, attraverso una

qualunque superficie (S) avente per contorno il circuito S: ϕ& = ∮*+ ⋅ -$Σ = 0,

ε = −$φ&$' = − $$' φ& = − $

$' 0*+ ⋅ -$Σ

• Ma ℰ = ∮2 ⋅ $4⃗ , quindi

052 ⋅ $4⃗ = − $

$' 0*+ ⋅ -$Σ

• Nel caso di una bobina formata da N spire, e se trascuriamo le piccole variazioni nellaposizione delle spire, abbiamo

ε = −6 $φ&$' = −$ 6φ&$' = ⋯


Michael Faraday (1791, 1867)

Legge di Lenz• Qual è il verso in cui circola la corrente?

• La legge di Lenz riflette il principio di conservazione dell'energia


Heinrich Lenz (1804,1865)

LA CORRENTE INDOTTA HA UN VERSO TALE DA OPPORSI

ALLA VARIAZIONE CHE L'HA INDOTTA

Induzione• Due modi in cui si puo` variare il flusso di B

1. Conduttore in moto in campo B costante => i.e. in S.R. dove cariche in quiete (a meno di moto traslatorio in campo B uniforme)ü e.g. circuito deformato, circuito rotanteü origine = FL ;

2. Variazione di B nel tempo in un S.R. dove conduttore in quieteü e.g. spostamento sorgente di B, varia i


F

F

i

i

S.R. = sistema di riferimento

Caso 1. Conduttore in moto

• "⃗ = $ % + '⃗×) => %+ =,⃗

-.= '⃗×)

•/0 = /ε+ = '⃗×) 2 /3… = /56) dovuto alla traslazione della spira)•Poiche` B solenoidale,

/5) = − 51− 52 = −/5,

da cui segue

ε = −/φ</6

N.B. se moto uniforme 51 = 52


Caso 1: deformazione del circuito• Considero il caso in cui la variazione di flusso (e fem) è data dalla variazione della geometria

del sistema

• Tiro verso destra con velocità v un ramo mobile di una spira in campo magnetico dispostoperpendicolarmente alla spira (e a v)

• !" =%⃗

&= '⃗×) (campo elettromotore)

• ε" ≡ ΔV./ = ∫./'⃗ ×) ⋅ 23⃗ = −')5

• ε" = −67869

= −)56:

69= −)5'

• Secondo la legge di Lenz i deve circolare in senso orario, per opporsi alla variazione di fBFisica II@Math, 2o mod. a.a.2017-18 G.Manca 16

;<=

;<=

;<=

;>R

Nota: l'orientazione

di MN è

determinatadal verso di B

secondo la regola della

vite

R

Caso 1: Deformazione circuito

• Dunque, quando un elemento di conduttore si muove in un campo magnetico fisso, la ddp generata è dovuta alla forza di Lorentz => In questi casi l'induzione può essere ricondotta alla forza di Lorentz

• Qual è l'origine della corrente elettrica?

• La ddp esiste comunque anche se il circuito è aperto?

➠Calcolare l'intensità di corrente e la potenza dissipata

• Usi: attrito elettromagnetico=> generatori (potenza meccanica=>elettrica)


Caso 2: Campi magnetici variabili nel tempo• Il flusso può essere cambiato anche facendo variare il campo magnetico neltempo

• In una spira posta in una regione sede di campo magnetico non stazionariocomparirà una f.e.m. (e una corrente) indotta

• Diversamente dal caso precedente, non possiamo ricondurre l'effetto allaforza di Lorentz

"⃗ = $%⃗×' = 0

• Poichè ℰ = ∮+ ⋅ -.⃗ dobbiamo supporre che in una regione in

cui B=B(t) venga indotto un campo elettrico E


Campi magnetici variabili neltempo producono campi elettrici

Campi magnetici variabili nel tempo

ℰ" = $%" ⋅ ')⃗ = − ++, -.

/ ⋅ 01'Σ = −-.

+/+, ⋅ 01'Σ

Dal teorema di Stokes:

∮4%" ⋅ ')⃗ = ∫.∇×% ⋅ 01'Σ (S è qualunque superficie avente per contorno G)

Dunque:

∇×% = − 898: questa è una delle quattro eq. di Maxwell

• Nota: poichè / = ∇×;⃗ allora in assenza di cariche fisse % = − 8<⃗8:

• Più in generale, se sono presenti delle cariche fisse che generano un potenzialeper esempio φ

% = − 8<⃗8: − ∇φ => nota : ∇×∇φ = 0


possibile perche` circuito fisso

Problema• Consideriamo una spira circolare posta in B uniforme perpendicolare alla spira crescente nel tempo

(p.es. dato da un elettromagnete in cui aumentiamo i) R=10 cm, !"!# = 0.1 T/s.

Calcolare E per r<R e per r>R.


φ" = & ⋅ π)*

+, ⋅ -/⃗ = −-φ"-1 = −-&-1 ⋅ π)*

Per simmetria, E è tangente alla circonferenza ed ha lo stesso modulo in tutti i suoi punti

, ⋅ 2π) = −-&-1 ⋅ π)* , = −12-&-1 )

Per r<R, E cresce linearmente con r

1) r<R

2) r>R

, ⋅ 2π) = −-&-1 ⋅ π4* , = −12-&-14*)

Campo elettrico indotto e conservatività• Nota: in condizioni stazionarie, il campo elettrico E è conservativo

!" ⋅ $&⃗ = 0• le linee di campo NON sono linee chiuse, ma hanno origine nelle cariche positive e

terminano nelle cariche negative

• Un campo magnetico variabile nel tempo induce un campo elettrico

• Le linee del campo elettrico indotto sono chiuse

!" ⋅ $&⃗ = −$φ+$, ≠ 0• Dunque, mentre i campi elettrici associati a cariche stazionarie sono conservativi,

quelli associati con campi magnetici variabili nel tempo non sono conservativi!

• Il potenziale elettrico non può essere definito per campi elettrici indotti


Legge di Faraday e relatività• Abbiamo un circuito e una sorgente di B in moto relativo

• Nel SR in cui il circuito si muove con velocità v e la sorgente di B è fissa l'effetto è attribuitoalla forza di Lorentz

"⃗ = $%⃗×'

• nel SR in cui il circuito è fisso e la sorgente di B si muove con velocità -v, l'effetto è attribuitoal campo elettrico generato dalla variazione nel tempo di campo magnetico

"⃗ = $( con ∇×( = −.'

./

• L'effetto misurabile è lo stesso → i due casi non sono distinguibili

➠È impossibile stabilire uno stato di moto assoluto• Inoltre, dalla sola misura della fem non possiamo stabilire se la variazione di B rispetto al circuito è

dovuta a una sorgente di B costante in moto o a una sorgente fissa di B variabile


Applicazioni della legge di Faraday• Al momento in cui Faraday rese pubblica la sua scoperta, una domandache gli venne fatta fu: “A che serve?”

• La sua risposta fu: “A che serve un bambino?”

• Vediamo come è cresciuto questo bambino...


Generatore• Faccio girare la spira (stavolta non collegata ad alcun generatore di f.e.m.) tra le espansioni di un magnete, compiendo un lavoro meccanico (p.es. uso una turbinaazionata dal vapore, o l'acqua che proviene da una diga...)

• Nella spira circolerà una corrente elettrica → Ho un generatore di correntealternata

• Posso trasportare la corrente elettrica e poi riconvertire l'energia in lavoromeccanico mediante un motore elettrico


Conversione onde sonore ⟷ impulsi elettrici• Lo stesso dispositivo può essere usato per convertire ondesonore in impulsi elettrici o impulsi elettrici in onde sonore


Trasmettitore o ricevitore telefonico

Conversione onde sonore ⟷ impulsi elettrici


Trasformatori• B, generato dalla corrente alternata nella bobina (a), è variabile

• La variazione di flusso di B induce in (b) unacorrente, anch'essa alternata con la stessafrequenza di quella del generatore

• La f.e.m. in (b) può essere più o meno grande a seconda del numero di spire nella bobina

➠Approfondiremo nel seguito questo argomento


Forze e correnti indotte: il cannone elettromagnetico• Il cannone e.m. del museo di Fisica di Cagliari presso il dipartimento di Fisica


Condensatori da 1000 µF vengono caricati fino a 900 V e scaricati su una bobina piatta ben adattata allecaretteristiche del sistema. Un disco di alluminioinizialmente appoggiato sulla bobina viene proiettato con estrema violenza verso l'alto

http://w

ww.pegna.com/page009.htm

Immagine ripresa con flash

elettronico: tempo di posa circa

1/1000 s. Notare la traccia del

disco in moto.

Nel disco vengono indotte delle correnti che si

oppongono alla variazione del flusso di B dato dalla

bobina: è come se ci fossero un magnete col polo N

diretto verso l'alto e uno col polo N verso il basso

Levitazione magnetica• Poniamo un conduttore sopra un polo di un magnete e lasciamolo cadere

• Quando il conduttore si avvicina cambia FB, e dunque al suo interno si manifesterannodelle correnti indotte

• Per la legge di Lenz, queste correnti creeranno un campo magnetico che si oppone allavariazione di FB. Come nel caso precedente, il campo magnetico si opporrà a quello del magnete e i due si respingeranno, rallentando la caduta del conduttore

• Dopo un po', l'energia elettrica saràdissipata per effetto Joule e ilconduttore continuerà la sua discesa

• Che cosa succede se il grave è un superconduttore?


Correnti di Foucault• Campo B variabile in un conduttore metallico => genera E

• Le linee di E sono ortogonali a quelle di B e le concatenano

• In un conduttore, E darà luogo a delle correntiparassite, dette di Foucault

• Resistività piccola → correnti intense

• Riscaldamento del conduttore➠ Forni ad induzione → metalli fusi se sottoposti a campi B

variabili alta frequenza

• L'effetto può essere ridotto applicando dei tagli nellalamina➠ Freno e.m. → quando un elettromagnete posto sotto un

vagone (vicino alle rotaie) viene azionato le correnti di Foucault causano il frenamento


…•Al momento della scoperta di Faraday, era difficile prevedere quale impatto l'induzione avrebbe avuto nella vita delle persone

•Oggi è chiaro che quel bambino, crescendo, ha fatto parecchia strada...


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