PUNTI STAZIONARIPUNTI STAZIONARIMASSIMI , MINIMI ,MASSIMI , MINIMI ,

FLESSI A TG ORIZZONTALEFLESSI A TG ORIZZONTALE

- FUNZIONE CRESCENTE- FUNZIONE DECRESCENTE- DEFINIZIONE DI MASSIMO /MINIMO- PUNTI STAZIONARI O ESTREMANTI- STUDIO INTERVALLI DI MONOTONIA

Tutorial di Paola Barberis - aggiornato a marzo 2012

FUNZIONE CRESCENTE in unintervallo I del suo Dominio

se per tutti i punti dell'intervallo:

aumentando l’ascissa x ,aumenta anche l’ordinata y

x1 < x2 f(x1) < f(x2) crescente

x1 x2

f(x1)

f(x2)

x1 < x2 f(x1) ≤ f(x2)

definizione

Crescente in senso largoo NON decrescente

OSS: se aumentando la x , la y aumenta oppure è costante:

FUNZIONE DECRESCENTE in unintervallo I del suo Dominio

se per tutti i punti dell'intervallo:

aumentando l’ascissa x ,diminuisce l’ordinata y

x1 < x2 f(x1) > f(x2) decrescente

x1 x2

f(x1)

f(x2)

x1 < x2 f(x1) ≥ f(x2)

definizione

Decrescente in senso largoo NON crescente

OSS: se aumentando la x , la y diminuisce oppure è costante:

CONDIZIONE DI CRESCITA / DECRESCITA

se f’(x) > 0 allora la funzione cresce

se f’(x) < 0 allora la funzione decresceSPIEGAZIONE INTUITIVA

La derivata prima y’ rappresenta il coefficiente angolare m

della retta tangente. Pertanto :se la derivata prima e' positiva →

il coeff. angolare m della retta tangente è positivo

→ la retta tangente è crescente → la funzione cresce.

MASSIMO RELATIVO IN XO

SE ESISTE UN INTORNO DI Xo TALE CHEPER OGNI X

LE ORDINATESONO

MINORI O UGUALIALL’ORDINATA

DI XO

f(x) ≤ f(xo)xo

f(xo) MAXf(x)

x

SE f(x) < f(xo) si parla di MASSIMO PROPRIO

definizione

MINIMO RELATIVO IN XOSE ESISTE UN INTORNO DI Xo TALE CHE

PER OGNI X:

LE ORDINATE SONOMAGGIORI O UGUALIALL’ORDINATA di X0

f(x) ≥ f(xo)xo

f(xo)MIN

f(x)

x

Se f(x) > f(xo) si parla di MINIMO PROPRIO

definizione

ASCISSAMASSIMO

ASCISSAMINIMO

ASCISSAFLESSO

ASCENDENTE

ASCISSAFLESSO

DISCENDENTE

X0 X0 X0 X0

MA NON VALE IL VICEVERSA: se y’=0la retta tangente in X0 è orizzontale e non è

detto che ci siano sempre MAX o MINci sono infatti 4 casi possibili chiamati

PUNTI STAZIONARI o ESTREMANTI

CONDIZIONE NECESSARIA Y’=0Condizione necessaria per l’esistenza di un

MASSIMO O MINIMO RELATIVO in x0:DERIVATA PRIMA UGUALE A ZERO: f’(x0)=0

• trovo il Dominio della funzione• calcolo la Derivata prima y’• trovo possibili punti stazionari ponendo: y’=0• Studio il segno della derivata prima ( intervalli di

monotonia ): y’>0 (o y’ ≥ 0 )xo

+ -+-

Ascissa Massimo Ascissa Minimo

+ +xo

Flesso tg orizz ascendente

- -

Flesso tg orizz. discendente

xo

xo

y’ y’

y’ y’

Esercizio : trova i punti stazionari ( o estremanti)REGOLA PRATICA

- Dominio = ]-∞,+∞[- Derivata prima: y’ = -2x+4- Trovo punti estremanti : y’ =0; -2x+4 =0; 2x-4=0; x=2- Studio segno derivata prima (intervalli monotonia ) :

y’>0 ; -2x+4 >0 ; 2x-4<0 da cui ottengo 2x<4 x<2

- Trovo l’ ordinata sostituendo x= 2 nella funzione:f(2)=-(2)2+4(2)= -(4)+8= -4 +8 =+4

RISPOSTA: MAX=( 2 ; 4)

2

Segno y’+ -

Max

y = !x2+ 4xEsempio 1 : punti stazionari

y’>0 y’<0

ESEMPIO 2

- Dominio = ]-∞,+∞[- Derivata prima y’ = 3x2-2x- Trovo punti estremanti : y’ =0; x(3x-2)=0 ; x=0 o x=+2/3- Studio segno derivata prima (intervalli monotonia ) : y’>0; 3x2-2x >0 …………e ottengo x< 0 v x> +2/3

- Trovo le ordinate sostituendo le ascisse nella funzione:Ordinata del massimo f(0)=(0)3+(0)2 =0Ordinata del minimo f(2/3)=(2/3)3-(2/3)2=8/27 - 4/9 =-4/27

RISPOSTA: MAX=( 0 ; 0) MIN= (+2/3;-4/27)

0 2/3-

Segno y’ + +MinMax

2 - ESEMPIO : PUNTI STAZIONARI : y = x3! x

2

ESEMPIO 3

- Dominio : (-∞,+∞)- Calcolo derivata prima y’ = 3x2+0; y’= 3x2

- Trovo punti estremanti: y’ =0; 3x2 =0 ; x2=0 x*x=0

- Studio segno derivata prima (intervalli di monotonia) :

y’>0 ; x2>0 R-{0}

la funzione cresce a sinistra e a destra: FLESSO ASCENDENTE Trovo l’ordinata : f (0)=(0)3+4=0+4=4

FLESSO ASCENDENTE a tangente orizzontale F=(0;4)

Segno y’

x=0

x=0

0+ +

y = x3+ 4

y’>0 y’>0

- Dominio = R-{0}- Calcolo derivata prima-Trovo punti estremanti:

- intervalli di monotonia :

MAX=( -2 , 4) MIN=(2 , 4)

�

y =x2

+ 4

x

y ' =(2x)(x) ! (x

2+ 4)(1)

x2

= ... =x2! 4

x2

y ' = 0;x2! 4

x2

= 0" NUM = 0; x2! 4 = 0" x

1= !2; x

2= 2

y ' > 0 :x2! 4

x2

> 0

N > 0 : x < !2 " x > 2

D > 0 : x2> 0 :R ! 0}{ *

+ +MinMax

+2-2

*OSS: nel grafico posso non mettere D>0 : il risultato non cambia

Esempio 4

y’>0 y’>0y’<0

ESEMPIO 5

- Dominio = R-{2}- Calcolo derivata prima

-Trovo punti estremanti:

- intervalli di monotonia :

MAX=(1,2) MIN=(3,6)

y =x2! 3

x ! 2

y ' =(2x)(x ! 2) ! (x

2! 3)(1)

(x ! 2)2

= ... =x2! 4x + 3

(x ! 2)2

y ' = 0;x2! 4x + 3

(x ! 2)2

= 0" NUM = 0; x2! 4x + 3 = 0" x = 1; x = 3

y ' > 0,x2! 4x + 3

(x ! 2)2

> 0

N > 0 : x < 1" x > 3

D > 0 :#x $R ! 2}{ *

+ +

MinMax

31

y’>0 y’>0y’<0