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Ragionare per assurdo Liceo classico statale DAdda di Varallo Sesia 11 dicembre 2006

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Cominciamo con Lucrezio Il brano che leggeremo tratto da: Lucrezio (De rerum nat., I, 238-249) Copia del De rerum natura eseguita da Girolamo di Matteo de Tauris per Sisto V, 1483. Roma, Biblioteca Vaticana

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Tesi T da dimostrare Huc accedit uti quidque in sua corpora rursum dissolvat natura neque ad nihilum interemat res. Dimostrazione Denique res omnis eadem vis causaque vulgo conficeret, nisi materies aeterna teneret, inter se nexus minus aut magis indupedita. Tactus enim leti satis esset causa profecto, quippe ubi nulla forent aeterno corpore, quorum contextum vis deberet dissolvere quaeque. At nunc, inter se quia nexus principiorum dissimiles constant aeternaque materies est, incolumi remanent res corpore, dum satis acris vis obeat pro textura cuiusque reperta. Haud igitur redit ad nilum res ulla, sed omnes discidio redeunt in corpora materiai.

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Abbiamo letto unargomentazione che procede per reductio ad absurdum. La sua struttura indicata qui a destra. I passi dellargomentazione sono: lantitesi T la proposizione Q 1 la proposizione Q 2 la proposizione Q 3 lipotesi (data per vera) H

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Ma ecco esattamente le parole di Lucrezio.

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Passiamo adesso ad Aristotele I pitagorici scoprirono, nonostante il loro motto fosse Tutto numero, che esistevano grandezze radicalmente diverse dai numeri ordinari. Per esempio, la lunghezza della diagonale di un quadrato non si pu esprimere come multiplo della lunghezza del lato, e nemmeno come sua frazione di numeri interi. In questo consiste lo scandalo degli irrazionali, la cui esistenza fu tenuta segreta dalla setta dei pitagorici. Il segreto fu poi svelato da Ippaso di Metaponto che, proprio per questo tradimento, fu messo al bando dalla comunit. Anzi, gli innalzarono un monumento funebre, perch fosse chiaro che per loro Ippaso era morto. Il segreto non tarda a diffondersi, cos Aristotele negli Analytica priora non solo lo riporta, ma ci fornisce il bandolo di una dimostrazione. Si noti che erano stati i pitagorici a introdurre il concetto di dimostrazione matematica! Qui accanto: trad. latina (di Boezio) degli Analytica Priora, 1.46-2.2. Pergamena inglese del XIV secolo.

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, , 23, 41a , , . , , , . , , . , . , , , . , . , . - . Niente paura, non leggiamo questo brano (che semmai potr venire utile per un lavoro interdisciplinare). Limitiamoci a rilevare le considerazioni di metodo: la dimostrazione nasce dallimpossibilit delle conseguenze dellantitesi. Per esempio, se la diagonale del quadrato fosse commensurabile con il lato, i numeri dispari sarebbero uguali ai pari ( , , ).

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Lincommensurabilit della diagonale con il lato del quadrato, cio lirrazionalit di si dimostra con la medesima procedura di riduzione allassurdo che abbiamo considerato nel ragionamento di Lucrezio. Lunica differenza che qui il ragionamento presenta una biforcazione: si assume dapprima che m sia dispari, quindi si perviene a una chiusura del discorso, indicata dal simbolo (infatti, sarebbero vere simultaneamente le proposizioni H e H). A unanaloga chiusura del discorso si perviene se si assume che m sia pari. 1 2

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Sviluppiamo il ragionamento di dimostrazione passo passo, in base allo schema riportato nella schermata precedente, dove ogni passo del ragionamento numerato progressivamente, da 1 a 6: il passo 1 corrisponde alla fascia verdolina in alto, il passo 2 corrisponde alla fascia cilestrina sottostante ecc. Ecco dunque il ragionamento: 1. Una proposizione P o vera o falsa, per il principio del terzo escluso. In logica si scrive: P P dove il simbolo significa oppure e il simbolo significa non. Dunque al passo 1 del nostro ragionamento affermiamo: La proposizione P vera, oppure P non vera. Questo un principio generale, e vale anche per la tesi T che intendiamo dimostrare: T T. 2. A questo punto affermiamo la nostra tesi T: affermiamo cio che 2 un numero irrazionale. In altre parole, siano m e n sono due numeri interi e positivi. Sar allora: m/n Questa relazione significa che non possibile esprimere 2 come rapporto di due interi. In questo senso si dice, appunto, che 2 non razionale (ratio in latino significa rapporto). Poich per non siamo capaci di dimostrare la tesi T con unargomentazione diretta, concediamo che sia vera la tesi opposta T (antitesi), che cio 2 sia un numero razionale. Ci proponiamo di verificare che laffermazione dellantitesi comporta logicamente una conseguenza, o un insieme di conseguenze, in contraddizione con il resto delle nostre conoscenze (con ipotesi che sono accettate come vere). Dunque abbandoniamo (per il momento) la tesi T e spostiamoci, nella schermata precedente, a destra della linea spessa verticale, nel ramo dellantitesi T. Cio, sia 2 = m/n e, conseguentemente, sia 2 = m 2 /n 2. 3. Il terzo passo del nostro ragionamento fa nuovamente ricorso al principio del terzo escluso. Perci nello schema tracciamo una seconda linea verticale (in tratto pi sottile). Infatti, possiamo ipotizzare che m sia dispari, o che sia pari. Chiamiamo queste due ipotesi, rispettivamente, Q e Q. Ammettiamo che Q sia vera (m dispari) e sviluppiamo le conseguenze di questa affermazione (nello schema, a sinistra della linea verticale sottile). Lo stesso faremo in seguito per Q. 4. Dunque, se m dispari, anche m 2 sar dispari. Questa proposizione (chiamiamola H) conseguenza di quanto si affermato al passo 3, applicando la ben nota propriet dei numeri, per cui il quadrato di un numero dispari anchesso dispari. 5. Abbiamo visto per, al passo 2, che 2 = m 2 /n 2 : dunque m 2 = 2n 2 e, quale che sia il valore di n, m 2 risulta in base al passo 2 pari. Cos affermiamo H. 6. Dunque le proposizioni 4. e 5. sono in contraddizione, e questo precisamente ci che significa il crocino () nellultima fascia cilestrina del nostro schema. In altre parole, se m dispari, lantitesi T non accettabile. Lo schema presentato nella schermata precedente dovrebbe essere di per s eloquente, una volta chiarito il significato dei simboli. Comunque, ecco una spiegazione diffusa della biforcazione sinistra del ragionamento.

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Fondamenti logici della dimostrazione per assurdo La dimostrazione per assurdo era probabilmente gi conosciuta da Pitagora. Parmenide, il fondatore della scuola di Elea, fu il primo a farne uso in pubblico. Il suo discepolo Zenone, che Aristotele indicher come linventore della dialettica, vi fece ricorso nei suoi celebri paradossi. Parmenide in unillustrazione del Liber Chronicarum (o Cronaca di Norimberga), del 1493, una delle pi celebri opere iconografiche del XV secolo.

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Fondamenti logici Nella dimostrazione per assurdo, dovendosi dimostrare che una certa tesi T vera, si assume invece che sia vera lantitesi, cio il contrario della tesi. Di qui si deduce una serie di conseguenze contraddittorie o errate. E poich queste conseguenze sono errate, ne risulta che sono errate le premesse a partire dalle quali sono ricavate, in particolare lantitesi. Lo schema di ragionamento sostanzialmente quello del modus tollens: il quale ricordiamo una forma di sillogismo, cosiddetto ipotetico. 1 Cio, tanto per intenderci, un sillogismo del tipo: Se Giulia felice, allora sorride. / Giulia non sorride / Dunque Giulia non felice. Lo schema generale del modus tollens il seguente: p q q p dove il segno il simbolo logico di implicazione (se allora) e il segno il simbolo logico di negazione. Una proposizione come p q dunque una proposizione ipotetica, perci il modus tollens un sillogismo ipotetico. Possiamo leggere lo schema del modus tollens in questi termini: Se la proposizione p vera, allora vera anche la proposizione q. Ma la proposizione q falsa. Allora falsa la proposizione p. Dunque attraverso la negazione del conseguente q si perviene alla negazione dellantecedente p. 1 Numerosissime sono le variet di sillogismo. Rivestono particolare importanza com noto, i sillogismi categorici (del tipo Tutti i greci sono mortali. / Socrate greco. / Dunque Socrate mortale). In linea teorica, possibile costruire 256 tipi di sillogismi categorici, combinando opportunamente proposizioni: 1. universali affermative; 2. universali negative; 3. particolari affermative; 4. particolari negative. In realt quelli validi sono 24, gli altri sono fallaci. Lo schema di ragionamento della riduzione allassurdo quello di un sillogismo ipotetico

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Fondamenti logici (segue) Nel ragionamento per assurdo dallantitesi T si sviluppa una conseguenza H che in contraddizione con unipotesi ritenuta vera o con unaltra conseguenza ottenuta da T introducendo unipotesi ritenuta vera. Ma H vera. Dunque falsa lantitesi che comporta H. Ecco lo schema del modus tollens adattato alla dimostrazione per assurdo: T H H T Anche in questo caso la negazione del conseguente (che qui H: la seconda premessa del modus tollens, H, pu essere letta come (H)) comporta la negazione dellantecedente (che qui T: la conclusione del sillogismo ipotetico, T, pu esser letta come (T)) Sviluppo delle conseguenze logiche dellantitesi

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Sullarte di ragionare La dimostrazione per assurdo un modo di ragionare. Ma i ragionamenti non sono soltanto dimostrazioni, e le dimostrazioni non sono soltanto per assurdo. In questo intermezzo vedremo come un ragionamento possa essere dimostrativo o argomentativo e come quello argomentativo possa eventualmente essere fallace o irrilevante. Frontespizio dellOpera omnia di Giovanni Duns Scoto (Lione, 1639), contenente fra laltro due opere fondamentali dello Pseudoscoto: In librum primum Priorum Analyticorum Aristotelis Quaestiones e In librum secundum Priorum Analyticorum Aristotelis Quaestiones. Allo Psuedoscoto viene attribuito laforisma Ex absurdis sequitur quodlibet (v. Dante, Par., VI, 19-21).

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I modi di ragionare Ragionamento dimostrativo (premesse vere, inferenze necessarie): diretto: sillogismo con premesse (e conclusione) categoriche sillogismo disgiuntivo sillogismo ipotetico (modus ponens, modus tollens) entimema polisillogismo sorite ecc. indiretto: ragionamento per assurdo Ragionamento argomentativo (premesse non sempre vere e/o inferenze non sempre necessarie): pseudodeduttivo (fra questi, celebre il dilemma di Protagora) a priori a posteriori (sono importantissimi fra questi, nella scienza moderna, gli argomenti induttivi) ecc. Ragionamento argomentativo fallace (premesse non sempre vere, inferenze invalide). Ragionamento argomentativo razionalmente irrilevante: ad baculum, ad verecundiam, ad misericordiam, ad iudicium, ad populum, ad personam (questo , spesso, il modo di ragionare degli avvocati e dei politici).

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Unapplicazione moderna del principio di dimostrazione per assurdo Il principio dinduzione matematica pu essere considerato un assioma, o anche una conseguenza degli assiomi stabiliti da Peano per descrivere la struttura dei numeri naturali. In particolare il principio di induzione matematica (che non va confuso con il ragionamento induttivo) pu essere dimostrato per assurdo. A sinistra: curva di Peano in 3-D.

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Principio o assioma dinduzione Se P(n) una proposizione dipendente da n e si sa che: P(0) vera; lessere vera P(n) implica la validit di P(n + 1); allora P(n) vera per ogni n naturale. Per esempio, si dimostra in questo modo che: o anche che:

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Dimostrazione per assurdo del principio dinduzione Abbiamo visto che se P(n) una proposizione dipendente da n e che se valgono le proposizioni 1) e 2): 1) P(0) vera; 2) lessere vera P(n) implica la validit di P(n + 1); 3) allora P(n) vera per ogni n naturale. Neghiamo la tesi e stabiliamo che esiste almeno un numero naturale m tale che la proposizione P(m) sia falsa. In generale, si avr m = m 0, m 1 . Poniamo cio lantitesi: 4) P(m) 5)Inoltre, se vi sono parecchie proposizioni P(m 0 ), P(m 1 ) ecc. false, consideriamo quella dipendente da m 0 minimo. Se la proposizione falsa una sola, m = m 0. Sar in ogni caso: 5)P(m 0 ) [cio P(m 0 ) falsa: segue dalla 5)] 6)P(m 0 1) [cio P(m 0 1) vera: segue dalla 5)] Chiaramente m 0 non pu essere zero. Infatti, per la 1), P(0) vera. Dunque, necessariamente, m 0 1 non un numero negativo, ma un numero naturale. Ma se P(m 0 1) vera, deve anche essere vera P(m 0 ). una conseguenza di quanto abbiamo ammesso con la 2): se vero lantecedente, parimenti vero il conseguente (o anche successore, come si dice). Dunque: 7)P(m 0 ) [Qui il discorso si chiude, perch la 7) in contraddizione con la 5). Dunque la 4), dalla quale il nostro ragionamento ha preso le mosse, falsa, ed vera la 3)]. c.v.d.