Dimostrazioni 5 febbraio 2010 Prof Fabio Bonoli. Sommario Introduzione La dimostrazione diretta La...

Dimostrazioni

5 febbraio 2010Prof Fabio Bonoli

Sommario

Introduzione La dimostrazione diretta La dimostrazione per assurdo La dimostrazione per induzione La dimostrazione per invarianza

Introduzione

In un problema di dimostrazione non si chiede di

trovare un elemento incognito, né di

determinare una regola o una formula.

Si chiede piuttosto di spiegare perché sussiste una

certa proprietà, o una certa relazione che

tuttavia già si conosce o si intuisce essere vera.

Anche i problemi di costruzione possono essere visti

come problemi di dimostrazione: una

dimostrazione di esistenza.

Costruire l'asse di un segmento vuol dire dimostrare

che è possibile costruirlo a partire dai dati (il

segmento stesso) con determinate regole(l'uso di

riga e compasso), vuol dire cioè dimostrare che

esiste (e che nel caso specifico è unico).

Introduzione

Che cosa si dimostra?

Sarebbe più semplice chiedersi: che cosa non si

dimostra? La matematica è infatti una scienza

deduttiva e le sue proposizioni sono, di norma,

accettate se, e solo se, sono dimostrate.

Anche se talvolta la dimostrazione di una

proposizione viene omessa perché considerata

ovvia, la dimostrazione resta necessaria.

Introduzione


Le uniche proposizioni di cui non si richiede

dimostrazione sono gli assiomi, che sono le

proposizioni alla base di ogni teoria matematica.

Agli assiomi si affiancano le definizioni, che servono ad

introdurre nuovi termini a partire da quelli di base

della teoria (questi vengono anche detti "primitivi").

Le proposizioni che si dimostrano a partire dagli assiomi

sono invece i teoremi.

Introduzione


Finché una proposizione non è stata dimostrata,

essa rimane una congettura o un'ipotesi:

dimostrarla vuol dire fare una catena di

ragionamenti, che si susseguono rigorosamente

in base a regole di deduzione accettate, e che, a

partire da assiomi o da proposizioni

precedentemente già dimostrate, portano alla

proposizione voluta.

Introduzione

Come si dimostra?

Leggendo la dimostrazione di un teorema, si può

rimanere perplessi per la difficoltà di comprenderla,

e talvolta la difficoltà dipende dalla particolarità

degli stratagemmi o delle costruzioni impiegate:

come può venire in mente una cosa simile?

Di fatto, le dimostrazioni che si trovano pubblicate

non descrivono il procedimento mentale seguito

per ottenerle

Introduzione

Come si dimostra?

La ricerca di una dimostrazione:

1. (fase di analisi) si studia e si rappresenta il

problema, analizzando le relazioni tra le ipotesi e la

tesi. Una volta "compresi" i legami tra ipotesi e tesi,

ordiniamo le varie deduzioni che dall'ipotesi portano

alla tesi.

2. (fase di sintesi), si elabora l'esposizione chiara dei

legami, degli assiomi e dei teoremi precedenti che

possiamo utilizzare.

Introduzione

Come si conclude?

Nei testi di matematica si trova spesso una sigla, o

un simbolo, che segnala il termine di una

dimostrazione. Tradizionalmente, si trovano le

seguenti sigle:

c.v.d. (come volevasi dimostrare)

c.d.d. (come dovevasi dimostrare)

q.e.d. (quod erat demonstrandum)

Introduzione

Una dimostrazione diretta procede direttamente

dalle ipotesi alla tesi, attraverso una catena di

ragionamenti che utilizzano gli assiomi della

teoria o teoremi precedentemente dimostrati.

Caso particolare della dimostrazione diretta: si

suddivide il teorema da dimostrare in più

sottocasi che, uniti, conducono alla

dimostrazione del teorema nella sua globalità

(dimostrazione per casi).

La dimostrazione diretta


Esempi

1. Dimostrare che ogni

angolo alla circonferenza

è la metà dell'angolo al

centro corrispondente allo

stesso arco.

uno bis.ggb

Uno.ggb


2. Dimostrare che il

teorema "due

triangoli sono

congruenti se hanno

congruenti due lati e

l'angolo opposto ad

uno di essi" è

sbagliato.Due.ggb

due bis.ggb

due ter.ggb


3. Dimostrare che la

somma degli angoli

interni di un poligono

convesso con n lati è

uguale a n-2 angoli

piatti ((n-2)*180°).

Tre.ggb


4. Dato un triangolo ABC e il

cerchio circoscritto ad

esso, si consideri un punto

arbitrario P sulla

circonferenza e da questo

si traccino le perpendicolari

ai 3 lati del triangolo.

Dimostrare che i piedi di

tali perpendicolari sono

allineati.

Quattro.ggb


Una possibile strategia di dimostrazione:

1. cercare di formulare in termini

equivalenti la tesi;

2. risalire dalla tesi finale a tesi

intermedie, analizzando relazioni e

teoremi che si intravede di poter

utilizzare.

La dimostrazione per assurdo

Si basa sull’equivalenza logica:

Un teorema ha la forma IPOTESI →TESI (ovvero

NON TESI→ NON IPOTESI).

Negando la tesi (supponendo cioè che non sia

vero ciò che si vuole dimostrare) si giunge alla

negazione dell’ipotesi.

__

abba


Ma l’ipotesi è data per vera, quindi dove si è

sbagliato?

Nel negare la tesi, pertanto la tesi è vera.

Non è necessario dimostrare che dalla negazione

della tesi segue la negazione dell’ipotesi, è

sufficiente giungere ad un qualunque altro

assurdo (ad esempio negare una proposizione

già dimostrata o un assioma).


Dimostrare che nell'insieme dei numeri reali vi è un

solo elemento neutro per l'addizione (lo zero).

Dim Supponiamo per assurdo che esista un altro

elemento neutro z≠0. Pertanto per ogni a reale si ha a+z=z+a=a.

Come numero reale considero 0, quindi: 0+z=0 ,ma anche 0+z=z (perché pure 0 è elemento neutro).

In conclusione z=0, contrariamente all’ipotesi che sia diverso da 0.


L'irrazionalità di radice di 2: uno scandalo filosofico!

Dim

Tradizionalmente si dice che Ippaso di Metaponto produsse

una argomentazione (probabilmente con considerazioni

geometriche) dell'irrazionalità della radice quadrata di 2

scoprendo i numeri irrazionali mentre tentava di

rappresentare la radice quadrata di 2 come frazione. La

dimostrazione geometrica si basa sul fatto che se due

segmenti L e D sono commensurabili, e L<D<2L, allora

sono commensurabili anche D–L e 2L–D.

La dimostrazione per assurdoSupponiamo ora per assurdo che

il lato L e la diagonale D di un quadrato siano commensurabili, e sia H un sottomultiplo comune. Dividiamo in due parti uguali l’angolo ABP, e dal punto E tiriamo la perpendicolare EF alla diagonale. I due triangoli ABE e BEF sono uguali (sono rettangoli, hanno gli angoli in B uguali, e il lato BE comune); quindi BF=AB=L, e PF=D-L. Il triangolo PEF è isoscele (infatti l’angolo EPF è di 45 gradi), e dunque si ha AE=EF=FP=D-L, ed EP=L–(D–L)=2L-D. Completiamo il quadrato EFPG.

radicedi2.ggb

La dimostrazione per assurdoSiccome avevamo supposto che il lato L e la diagonale D

avessero un comune sottomultiplo H, anche il lato PF=D–L e la diagonale EP=2L–D del quadrato piccolo avranno lo stesso sottomultiplo H. Se ripetiamo in questo quadrato la costruzione che abbiamo fatto nel precedente, otteniamo un nuovo quadrato, ancora più piccolo, il cui lato e la cui diagonale hanno ancora H come sottomultiplo. Continuando sempre nello stesso modo, otteniamo dei quadrati sempre più piccoli, tutti però con il lato e la diagonale che hanno H come sottomultiplo comune. Ma questo non è possibile, perché il lato e la diagonale diventano sempre più piccoli, e dopo un certo numero di passi finirebbero per diventare minori di H, cioè di un loro sottomultiplo. Siamo dunque arrivati a un assurdo, e quindi il lato e la diagonale di un quadrato non possono essere commensurabili.

La dimostrazione per assurdoDim

L’altra dimostrazione pervenutaci è quella di cui ci parla

Aristotele; supponiamo che siano commensurabili, ossia

che il loro rapporto d/l sia un numero razionale m/n, con m

ed n numeri interi primi fra loro, per cui (m/n)2= 2, cioè

m2= 2n2. Pertanto m2 è pari e quindi m è pari. Se poniamo

m = 2p si ha che 4p2 = 2n2 da cui otteniamo che anche n

dovrebbe essere pari contro l’ipotesi che m ed n non

avessero fattori in comune. Ne segue che l’ipotesi della

commensurabilità tra diagonale e lato di un quadrato è

falsa.


Dimostrare che esistono infiniti numeri primi.

Dim Supponiamo per assurdo che i numeri primi siano in numero finito

p1, p2, p3,… pk,

Consideriamo q = p1* p2* p3*… *pk,+1. Se si divide q per p1 si ottiene

p2*p3*,… *pk come quoziente e 1 come resto, quindi q non è

divisibile per p1.

In modo analogo si trova che q non è divisibile per nessuno degli altri primi, ma se un numero non è primo deve essere scomponibile in qualcuno dei k fattori primi.

In conclusione q non è scomponibile, e allora rappresenta un nuovo numero primo, contro l’ipotesi che i numeri primi siano solo k.

La dimostrazione per induzione

Come possiamo dimostrare che un’asserzione `e

vera per ogni numero naturale?

E’ chiaro che non possiamo dimostrare un

asserto generale verificando che questo è vero

quando il numero in questione è 1 oppure 2 o

3 e così via, poiché non é possibile effettuare

infinite verifiche.


Anche se verifichiamo che una proposizione è

vera per ogni numero fino a un milione, o a un

miliardo, non ci siamo neppure minimamente

avvicinati a stabilire la veridicità in generale. Ad esempio Dato un polinomio p(x) =x2 + x + 11, si ha che

p(0) = 11 p(5) = 41p(1) = 13 p(6) = 53p(2) = 17 p(7) = 67p(3) = 23 p(8) = 83p(4) = 31 p(9) = 101.

E’ facile vedere che tutti questi numeri sono primi. Ma il numerosuccessivo p(10) = 121 = 11 × 11 non è più un primo.


Supponiamo di saper dimostrare che se la

proposizione in oggetto é vera per il numero n,

allora essa è vera anche per il numero successivo n

+ 1.

Allora il fatto che la proposizione sia vera per il numero

1 ne implicherà la validità per il numero successivo

2; ed ancora, il fatto che essa sia vera per il numero

2 comporterà che essa è vera per il numero 3, e così

via.


La proposizione sarà pertanto vera per ogni numero

naturale a patto che essa sia vera per il numero 1.Principio dell’induzione

La proposizione si dimostra per induzione tramite iseguenti passi:(a) La proposizione è vera per n = 1;(b) Supponi che la proposizione sia vera per n;(c) Verifica che la proposizione è vera per n + 1.

Allora la proposizione è valida per tutti i numeri naturali.


Esempio 1. Dimostrare che

Esempio 2. Dimostrare che

6

)12)(1(...21 222

nnn

n

1)1(

1

32

1

21

1

n

n

nn


Esempio 1. la proposizione vale se n = 1

vogliamo dimostrare che

sapendo che

16

321

6

)12)(1(12

nnn

6

)1)1(2)(2)(1()1(...21 2222

nnn

nn

6

)12)(1(...21 222

nnn

n


Pertanto

2222 )1(...21 nn

2)1(

6

)12)(1(n

nnn

6

)662)(1(

6

)1(6)12)(1( 22

nnnnnnnn

6

)2)(32)(1(

nnn


Esempio 2. la proposizione vale se n = 1

vogliamo dimostrare che

sapendo che

2

1

)2()1(

1

)1(

1

32

1

21

1

n

n

nnnn

2

1

121

1

n

n

1)1(

1

32

1

21

1

n

n

nn


Pertanto

2

1

n

n

)2()1(

1

)1(

1

32

1

21

1

nnnn

)2()1(

1

1 nnn

n

)2()1(

12

)2()1(

1)2( 2

nn

nn

nn

nn


E’ possibile discutere se il principio abbia la natura

di una definizione, di un postulato, o di un atto

di fede.

Il principio di induzione è essenzialmente

un’enunciazione della regola con la quale

enumeriamo i numeri naturali.

Dunque il principio è in effetti una precisazione di

ciò che si intende con la parola “e così via”.

La dimostrazione per invarianza

Operando su una figura con una

trasformazione (isometria, similitudine,

affinità, proiettività), alcune

caratteristiche rimangono invariate,

mentre altre cambiano.

Gli invarianti permettono di trasportare

alla nuova figura proprietà della prima.


Esempio:

Con un’affinità il quadrato si trasforma in un

parallelogrammo (è invariante per affinità il

parallelismo,il punto medio di un segmento,

ma non l’uguaglianza di angoli e lunghezze).

Quindi anche in un parallelogrammo le diagonali

si tagliano nel punto medio


Dimostrare che in un trapezio i punti medi delle basi,

i punti d'incontro delle diagonali, e il punto di

intersezione dei prolungamenti dei lati obliqui

sono allineati.

Inva1.ggb


Sia ABCD un parallelogramma, M ed N siano, rispettivamente, i punti medi dei lati BC e CD; siano poi P e Q le intersezioni rispettivamente di AN e AM con BD: provare che i punti P e Q dividono la diagonale BD in 3 parti uguali.

Inva2.ggb

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