IX –Leggi di conservazione, dinamica relativistica · Leggi di conservazione -II Possibile...

17/02/2008 E.Menichetti 1

Radiazione e Relativita’ Ristretta

IX – Leggi di conservazione, dinamica relativistica


Leggi di Newton e relativita’

Leggi di Newton: principi generali della dinamica, la cui validita’ e’ basatasull’esperienza.

Nella forma con cui le conosciamo, incompatibili con i principi della relativita’ ristretta.

Esempi:

vvv

Ma |v |< c secondo la relativita’…

Jjj Principio di azione/reazione: forze uguali e contrarie, simultaneamentepresenti

Ma la simultaneita’ e’ relativa …

d dm

dt dt= = → =

p vF v F puo' crescere senza limiti per costante


Leggi di conservazione - I

2

cost

cost

1v cost

2

i i i

i i

i i i i i i

i i i

i i i i

i i

m

m

E E m V

= = =

= = × = × =

= = + =

∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑

P p v

L l r p r v

Principali conseguenze delle leggi di Newton:

Leggi di Newton → Leggi di conservazione

Quantita’ di moto

Momento angolare

Energia

Non il solo percorso logicamente possibile …

Scritte cosi’ per un sistema di punti

materiali…


Leggi di conservazione - II

Possibile partire da un principio diverso dalle leggi di Newton:

Principio di Minima Azione

Fra le altre conseguenze di questa scelta:

Leggi di conservazione ↔ Proprieta’ di simmetria del sistema

Semplificando molto un soggetto non elementare:

Se l’energia totale di un sistema e’ invariante rispetto a un insieme di trasformazioni di coordinate, c’e’ una grandezza fisica conservata per il sistema


Principi di invarianza - I

Proprieta’ di simmetria/invarianza dell’energia di un sistema fisico isolato:

Originate da proprieta’ fondamentali dello spazio e del tempo

Invarianza per traslazioni → Conservazione quantita’ di moto

Legata a omogeneita’ dello spazio

Invarianza per rotazioni → Conservazione momento angolare

Legata a isotropia dello spazio

Invarianza per traslazione temporale → Conservazione energia

Legata a omogeneita’ del tempo

Osservazione molto importante:

Conservazione della massa? Nessuna proprieta’ di invarianza…


Invarianza per traslazioni → Conservazione quantita’ di moto

Esempio: Moto della Terra - Sole

1. Si considera il Sole come un punto fisso nell’origine

→L’energia potenziale (e quindi quella totale) della Terra non e’ invariante per uno spostamento generico dell’origine degli assi:

2. Si considera il Sole come parte del sistema

→L’energia potenziale (e quindi quella totale) del sistema Terra+Sole e’ invariante

per uno spostamento generico dell’origine degli assi:

Principi di invarianza - II

( )

{ }

( ) ( ) ( )''

: '

non e' costante

T

T T

T T T

Terra

mMV r G mM mM

V r V r G G V r

T

= → → = = ≠ − → = −

→

rr r a

r r r a

p

( )

{ }( ) ( ) ( )

( )

, , ,

'' '

: '

0 nel CdM e' costante

T S

T S T S

T S T S T S

Terra Sole

mMV r G mM mM

V r V r G G V r

T

= − → → = = = − − → = −

→ + =

r rr r r r

r r r a

p p


Illustrazione della relazione invarianza-conservazione

Per una coppia di punti materiali che interagiscono tramite un potenziale funzione delle posizioni:

Principi di invarianza - III

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )

1 1 1

2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

1 2

'

'

', ' , ,

:

', ' , 0 0

V V V V V V V

V

V V V V V V

V V

V V

r r r ε

r r r ε

r r r r ε ε r r ε

r r r r ε

r r

F

→ = +

→ = +

+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = + ∇ + ∇ ⋅

= → ∇ + ∇ ⋅ = → ∇ + ∇ =

= −

= − ∇ + ∇

�

Invarianza di

condizione sufficiente per invarianza

Poiche'

Invarianza d 0V F P→ = → =i cost


Principi di invarianza - IV

Vista la loro origine, le leggi di conservazione si possono assumere come valide per un sistema isolato (e conservativo), sia che restiamonell’ambito pre-relativistico, sia che ci poniamo nel quadro della RR.

Ora: sappiamo che, se le TdG vengono sostituite dalle TdL, le leggi di Newton devono cambiare.

Per cambiarle:

Assumiamo valide le leggi di conservazione, e cerchiamo:

Nuova definizione di p ed E

Nuova legge del moto


Processi di collisione - I

Caso piu’ immediato di applicazione delle leggi di conservazione:

Collisione di due masse uguali

Confronto fra trattazione galileiana/newtoniana e TdL

Ipotesi non sempre esplicitamente ricordata:

La massa e’ una costante di ogni corpo, indipendente dal SRI in cui viene

misurata.

Conseguenza: la massa totale di un sistema isolato e’ sempre conservata

Questa ipotesi e’ in contrasto con le TdL, se la quantita’ di moto deve

conservarsi. Motivo: legge relativistica di composizione delle velocita’


Esperimento ideale n. 1 (Von Laue):

Collisione completamente anelastica, osservata da due riferimenti inerziali

Processi di collisione - II

S’: Sistema di quiete di 2

S: Centro di massa

( ) ( )1 2m m M+ →


Descrizione galileiana/newtoniana

Ipotesi: m=m’, massa indipendente dal SRI in cui e’ osservata

Nel SRI S, del centro di massa

Nel SRI S’, di quiete di 2 (S ha velocita’ -V rispetto a S’ )

Processi di collisione - III

( ) ( )

( )

1 2

2 2 2

,

0 ' ' ' 0

1 1 12 ' 0

2 2 2

impulso conservato

NB: en. cinetica conservata

u V u V

mV m V Mu m m u u

mV mV m u non

= =−

+ − = = = + → =

+ ≠ =

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )1 1 1 2 2 2

1 1

2 , 0

' ' ' 0

0 2 , ' 2 0 '

= TdG

TdG

OK impulso conservato

u u u V V V V u u u V V V

u u u V V V

mu m V Mu mV mu Mu

→ = − − = − − = → − − =− − − = → = − − = − − =

→ + = = → + =


Trattazione relativistica

Nel SRI del centro di massa, ancora:

Quindi la quantita’ di moto definita classicamente e’ ancora conservata in S

Ma nel SRI di quiete di 2, se usiamo la legge relativistica di trasformazione

delle velocita’:

Se continuiamo ad assumere che la massa sia indipendente dal SRI, la

quantita’ di moto non e’ conservata in S’:

Processi di collisione - IV

1 2,

' 0

u u u u

u

= =− =

( )

( )

1 2

1 1 2 22 2 2 2 2 2

1 2

2 2

v v+ 2 +, 0

1 v 1 1 1 v 1

0' v' '

1 'v 1 0 v

u uu u u u uu u u u

u c uu c u c u c u u c

uuu u u

u c c

− − −→ = = = → = = =

− + + − − −

− −−→ = = =

− − ⋅

2 2

22

1

mumu

u c≠+


Processi di collisione - V

Cosa pensiamo si debba continuare a conservare?

Massa: buona evidenza sperimentale (∼10-6 nelle reazionichimiche), non conseguente ad alcuna proprieta’ di invarianza chesia evidente

Impulso: buona evidenza sperimentale, conseguente a una‘evidente’ proprieta’ di invarianza

Essendo forzato ad abbandonare una delle leggi di conservazione, Einstein abbandona la prima, per la quale non c’e’ ragione di sussistere a priori

Quindi: massa dipendente dal SRI usato


Ri-definizione della massa

Supponiamo che la massa dipenda dalla velocita’: allora possiamo ancora

conservarla, in senso relativistico, insieme all’impulso:

Distinzione fra massa a riposo m(0) e massa relativistica m(u)

[Tuttavia, come si vedra’ il concetto di massa relativistica e’ alla fine

superfluo, e anzi nell’insieme fuorviante]

Attenzione: nel fare queste considerazioni, il concetto di massa come misura

della ‘quantita’ della materia’ e’ da considerarsi del tutto perduto (situazione

che gia’ si presenta nella meccanica newtoniana: massa come inerzia)

( )

( )

( )2 2

2 2

( ') 00( ')

( ') ' ' ( )( ') 0 1

2'

1

M m u mmm u

Mu m u u u u m um u m u c

uu

u c

= + = → = → = + − = +


Processi di collisione - VI

Esperimento ideale n. 2 (Lewis e Tolman):

Collisione elastica fra sfere (massa m) lanciate fra A e B lungo y, y’ con la stessa velocita’ ±u , riferita al proprio SRI di quiete

K: SRI di quiete di A K’: SRI di quiete di B

( )

( ) 2 2

2 2

0 0

'

1 ' 1

Componenti della velocita' delle sfere:

x x

y y

x x

y y

v vA

v u v u

v v v v

B v vv u v u

c c

= → =

= → = −

= → =

= − − → = + −

A

B

A

B

( )

( )

2 2

2 21 ' 1

0 0

'

Componenti della velocita' delle sfere:

x x

y y

x x

y y

v v v v

A v vv u v u

c c

v vB

v u v u

= − → = −

= − → = − −

= → =

= − → = +

vrel= v

( )

2

2

'1

'1

Trasf. delle velocita':

xx x

x

y

y y

x

v vv v

vv c

vv v

vv cγ

+→ =

+

→ =+


Processi di collisione - VII

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )2 2

2 2

2

:

'

:

1 1

Conservazione della quantita' di moto lungo

Conservazione della quantita' di moto lungo

in in fin fin

x x in fin

in fin

x x

in in fin fin

y y

m v

x

m v v m v vv v u u

v v

y

m v v m v v

v vm u u m v u u

c

=

=→ = → =

=

=

→ − + − −

p v

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2

2 2 2 20

2

1 1 1 1

1 1 0 1 1

01 1 0 1

1u

v v vm u u m v u u

c c c c

v v v vm u u m v u u m u u m v u u

c c c c

mv v vm u m v u m m v m v

c c c v

c

→

= − − − + + − −

→ − + − − = → = + − −

→ = + − − → = − → = −

Assumiamo in generale:


Ri-definizione dell’impulso

Come ridefinire l’impulso alla luce della nuova definizione di massa?

Come nella vecchia definizione, con la nuova massa:

Come visto prima, con questa ri-definizione l’impulso si conserva nellecollisioni (e, in realta’, in tutti i processi), in tutti i SRI, in accordo con ilprincipio di relativita’.

Altro modo di scriverlo:

che mostra come per piccole velocita’ si torni alla definizione pre-relativistica

( )

( ) ( )

0

2 2

0

1 v 1 v

m mm

c c

= = ≡− −

vp v v

( )

0 0

0 02 2

011

m m cm c m

v c β

γβ →

= = =−−

→v β

p β v


Andamento con β

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Massa

v/c

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Impulso

v/c

relativistico

non relativistico

Notare la divergenza per β→1: una particella con velocita’ uguale

a quella della luce avrebbe massa e quantita’ di moto infinite


Ri-definizione dell’energia - I

Relazione classica fra energia cinetica e impulso:

Qualche conticino sull’impulso relativistico:

Questa e’ una quantita’ invariante; questo e’ l’impulso relativistico (al

quadrato); che cosa e’ questo??

2

21v

2 2

m

pE m

m

=

= =

p v

( ) 2 4 2 4 2 2 2

0 0

2 2 2 2 2

0

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0

11 1

1 1 1

1

p m c

p m c m c m m c m c pp cc

β γ

β ββ γ γ β γ β γ γ

γ

β β β

γ γ

=

= → − = − = → = −− − −

= −→ = − → = − →


Ri-definizione dell’energia - II

Per capirlo, ricordiamo prima di tutto che la quantita’ ha ilsignificato di massa relativistica.

Sviluppiamo in serie:

Sorpresa! Nel limite di basse velocita’, il termine misterioso si rivela (in parte) del tutto familiare: il secondo pezzo dello sviluppo in serie, infatti, non e’ altro che l’energia cinetica classica del corpo in movimento.

Possiamo allora definire il termine misterioso come l’energia totalerelativistica del corpo di massa a riposo m0:

0m γ

( )2

2 2 2 2 2 20

0 0 0 0 022 1 1

1 11 2 v

1 2 21

m cm c m c m c m c m

β βγ β

ββ= ≈ ≈ + = +

−− � �

2 2 4 2 2 4 2 2

0 0E m c m c p cγ≡ = +


Relazione fra i due (di tipo ‘pitagorico’):

Riarrangiando:

Poiche’ questa e’ una costante, questa e’ una quantita’ invariante ( ossia,

ha lo stesso valore in tutti i SRI):

quindi viene lasciata invariata da ogni TdL.

Energia e impulso relativistici - I

2 2 2 2 4

0E p c m c− =

2 2 4 2 2

0E m c p c= +

2 2 2 2 2 2 2 4

0' 'E p c E p c m c− = − =

m0c2

pc

E


Energia e impulso relativistici - II

Situazione simile a quella incontrata per le TdL delle coordinate di un evento: la quantita’

e’ lasciata invariata da ogni TdL.

Allora, le quantita’ E e p si trasformeranno da un SRI ad un altro con le

stesse TdL:

( )

22 2

2 2

1 v'

1 v

'

'

1' v

1 v

x x

y y

z z

x

Ep p

cc

p p

p p

E E p cc

= − −

=

=

= −−

( ) ( )2 22

s ct ∆ = ∆ − ∆ r

( )

22 2

2 2

1 v ''

1 v

'

'

1' v '

1 v

x x

y y

z z

x

Ep p

cc

p p

p p

E E pc

= + −

=

=

= +−


Collisioni anelastiche - I

Consideriamo la solita collisione anelastica fra le particelle 1 e 2, di ugualemassa a riposo m0, che ‘restano attaccate’ a formare una terza particella 3.

Nel SRI del centro di massa

mentre in ogni altro SRI:

Usiamo le TdL per mettere in relazione i due insiemi di componenti:

1 20+ =p p

1 2 3' ' '+ =p p p

( ) ( )

�

1 2 1 2 1 2

0

3 3 3

0

3 1 2

' '

'

x x x x

x x

p p p p E Ec

p p Ec

E E E

βγγ

βγγ

=

=

+ = + − + = −

→ = +

��


Collisioni anelastiche - II

Dalla definizione di energia totale relativistica, nel SRI S:

La massa a riposo di 3 e’ maggiore della somma delle masse a riposo di 1 e

2 !! L’energia cinetica di 1 e 2 e’ stata convertita in contributo alla massa a

riposo di 3

Quindi e’ possibile convertire en. cinetica in massa

( ) ( )

2

3 032

2 2 00 03

2

2 2

0 0

2

3

12

2 !

2

1 v1 v

!

E m cm c

m c m cE E

m c m c

cc

= → = = = −

>

−

→

2E mc∆ =∆

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