Le leggi di conservazione

L. Martina Dipartimento di Matematica e Fisica

“Ennio De Giorgi” Università del Salento, Sezione INFN - Lecce

I significati di simmetria

•  Nel linguaggio comune: »  Armonia e bella proporzione »  Relazione tra elementi simili, ma contrapposti

•  In matematica (> 1850): »  Invarianza rispetto a gruppi di trasformazioni

O

x

z

y

z’

O’

x’

y’ OO’

Trasformazioni continue dello spazio

Traslazioni OO’

O

x

z

y

û

Rotazioni û, θ

Invarianti: a·b = a’·b’

distanze

angoli

Gr. EUCLIDEO (+ Parità: Gr. Euclideo improprio)

Omogeneità dello spazio

Isotropia dello spazio

Trasformazioni continue dello spazio: Omogeneità dello spazio

O

x

z

y

z’

O’

x’

y’ b

b’

P’

P b’ =b + OO’ P’= P + OO’

O

x

z

y

La dinamica di un sistema fisico in uno spazio omogeneo NON cambia a seguito di traslazioni arbitrarie

O

x

z

y

z’

O’

x’

y’

V

r r’=r +V t

Trasformazioni di Galilei

r’=r +V t t’ = t

Invarianza delle equazioni del moto di Newton

Gr. EUCLIDEO + Trasf. Galilei Gr. di GALILEI

Lo spazio – tempo classico

MC e MQ non relativistica hanno la struttura geometrica determinata dal Gr. Galilei

L’equazione del moto classica più semplice invariante sotto il Gr. di Galilei è

d 2

dt2r = 0a = 0

Conservazione della Quantità di Moto

x

z

y

F12 = F (r1 –r2) F21 = - F (r1 –r2)

Fi = Fi (r1 –r2, r1 –r3, …)

Σ Fi =Σi Fi (r1 –r2, r1 –r3, …) = 0 Forze interne Newtoniane

Rcm =Mn!rn

n∑

Mnn∑

Rcm

!Acm =

Mn!an

n∑

Mnn∑

=

!Fn

n∑Mn

n∑

= 0!Vcm = costan te

Invarianza per Traslazioni

!pn =Mn!vn

!Pcm =

!pnn∑ = Mn

n∑ !vn = Mn

n∑

Mn!vn

n∑

Mnn∑

= Mnn∑"

#$

%

&'!Vcm

Urto anelastico tra particelle

V1 0

t < 0

t >= 0

V2

Quantità di moto della particella n

Quantità di moto del Centro di Massa : COSTANTE

!Pcm =M1

!v1

!Pcm = M1 +M2( )

!v2

!v2 =M1!v1

M1 +M2( )

Conservazione del Momento Angolare

Invarianza per Rotazioni

!J = "r × "p

x

z

y

r

p !J

Δ!J = Δ"r × "p+ "r ×Δ"p

Δ!JΔt

=Δ"rΔt

×"p+ "r × Δ

"pΔt

!p =M !v

⇒!v ⇒

!F

Δ!JΔt

="r ×"F ="M

Momento Angolare

Momento delle Forze

!M =!r ×!F = 0⇒ Δ

!JΔt

= 0⇒!J = costan te

!Jtot =

"rn ×"pnn∑

!Jtot =

"rn −"Rcm( )× !pnn∑ +

!Rcm ×

!pnn∑ =

=!Jcm +

"Rcm ×

"Pcm

!Mtot =

!rn ×!Fnn∑ =

!M int +

!Mext

Forze Newtoniane ⇒!M int = 0 ⇒

Δ!JtotΔt

=!Mext

!Mext = 0⇒

!Jtot = costan teInvarianza per Rotazioni

O

r

r + Δr

Δr ΔS= r x Δr/2

ΔSΔt

=12!r × "v = 1

2M!r × !p = 1

2M!J

Forze centrali !F = f (r)r ⇒

!M =!0⇒

!J = costan te

La forza di gravitazione universale

!F = −G M1M2

r2r

!J = costan te⇒ ΔS

Δt= costan te

I e II legge di Keplero

J =Mvr =Mωr2Moti circolari unif

Invarianza per traslazione temporale

t

-5 0 5 10 15

t’=t-5

t’ = t - t0

T: Traslazione temporale

x = vt + x0 → x ' = vt '+ x0 '

x = 12at2 + vt + x0 → x ' = 1

2at '2+ v 't '+ x0 '

Le leggi del moto possono ammettere soluzioni traslate arbitrariamente nel tempo

x =−µN2m

t2 + vt + x0

x fin t fin ≥mvµN

#

$

%%

&

%%

t ' = t − t0, t0 > t fin x = x fin

La legge del moto dettata dalla forza di attrito Non è invariante nel tempo

Se il corpo è in moto e N =- v/|v| Fattrito dinamico = µ!N!0 Se il corpo è fermo

La leggi del moto invarianti nel tempo

CALORE

MATERIA

SISTEMA APERTO

CALORE

SISTEMA CHIUSO La leggi del moto non invarianti nel tempo

SISTEMA ISOLATO (?)

SISTEMA piu’ (?) ISOLATO

V1 V1

Freccia del tempo per i sistemi macroscopici: irreversibilita’

La Forza Peso •  Una Forza e’ una grandezza

fisica vettoriale , la cui intensita’ e’ misurata con il dinamometro •  La Forza Peso e’ quella esercitata dalla Terra su ogni altro corpo in prossimita’ della sua superficie •  II Principio di Newton: •  Quando una Forza muove qualcosa fa un Lavoro

aMF !!=

gmFP!!

=

( ) fininfinin PPFPPLavoro ⋅=→!

Lavoro di una forza costante

F ⋅PinPfin

=F PinPfin

cos ϕ( ) =Fx PinPfin( )x + Fy PinPfin( ) y + Fz PinPfin( )z

Pin Pfin

F

PinPfin

π/2 nel SI il lavoro si misura in

Joule = Newton X m

Dimensioni : [ Lavoro ] = [ Forza ] [ spostamento] = ML T-2 L = ML2 T-2

Pin

Pfin

F

PinPfin

φ x

y z

macignoF!

H!

LavoroPeso Pin → Pfin( ) =Fpeso macigno ⋅

H = −Mmacigno g H < 0

−LavoroGigante Pin → Pfin( ) ?

Qual e’ il Lavoro compiuto dalla (sola) Forza Peso sul macigno ?

Forze non necessariamente

costanti, uniformi, attriti interni, …

macignoF!

H!

LavoroPeso Pin → Pfin( ) ==Fpeso macigno ⋅

H =Mmacigno g H > 0

Pin

Pfin

Pin

Pfin

Lavoro1 =Fattr 1 ⋅

l1 = −Fattr

l1

1l!

P iniziale

P finale

1attrFr

P iniziale

P finale

2l!

3l!

2attrF!

3attrF!P med

attrattrattrattr FFFF === 321

!!!

Lavoro2 = Lavoro Piniz → Pmed( )+ Lavoro Pmed → Pfin( )=Fattr 2 ⋅

l2 +Fattr 3 ⋅

l3 = −Fattr

l2 +l3( )

321 lll!!!

+≤

1 2Lavoro Lavoro≤

Lavoro delle forze di Attrito (radente)

Lavorotot Piniziale → Pfinale lungo γ( ) =Fi ⋅li

i∑

=FPeso ⋅PinizialePfinale

li

Lavoro di una Forza uniforme lungo un cammino arbitrario

Piniziale

Vero solo per forze uniformi !!!!!

Fi = FPeso

Pfinale

γ

Lavoro di una Forza non uniforme

lungo un cammino arbitrario

Lavorotot Piniziale → Pfinale lungo γ( ) =Fi ⋅li

i∑

Piniziale

Pfinale

Fi

li

γ

0→iPl!

LavoroF , γ( ) =

F ⋅dl

γ∫

Forze Conservative e Non Conservative

LavoroF ,γ( ) =

F ⋅dl

Piniziale

P finale∫ In GENERALE Lungo un cammino ben specificato γ

LavoroF ,γ1( ) ≠ Lavoro

F ,γ2( )

LavoroF ,γchiusa = γ1 −γ2( ) ≠ 0

F

LavoroF ,γchiusa( ) = 0 ∀ γchiusa

E’ CONSERVATIVA

P iniziale

P finale

γ1

γ2

γchiusa

-γ2 Lungo un

qualunque cammino !=== 321 γγγ LavoroLavoroLavoro

La Forza Peso e’ CONSERVATIVA

Piniziale

Fi = FPeso

Pfinale

γ1

γ2

LavoroFPeso , γchiusa = γ1 −γ2( ) =

LavoroFPeso , γ1( )+ Lavoro

FPeso , −γ2( ) =

FPeso ⋅PinizialePfinale

+FPeso ⋅ −PinizialePfinale

( ) = 0

Il lavoro dipende solo dagli estremi del cammino, non dal cammino stesso

Energia Potenziale della Forza Peso

U Pfinale( ) =U Piniziale( )− LavoroFPeso , Piniziale → Pfinale( ) =

U Piniziale( )−Mg − z( ) ⋅PinizialePfinale

=

U Piniziale( )+M g× z finale − ziniziale( )=U Piniziale( )+M g h

Piniziale

Fi = FPeso

Pfinale zfinale

ziniziale

z

x

In Pfinale la particella possiede una energia potenziale

U(Pfinale) , che consente alla Forza Peso

di compiere il lavoro M g h = U(Pfinale) - U(Piniziale)

nel riportarla in Piniziale

h

Energia Potenziale di Forze Conservative

Fissato arbitrariamente P0 l’Energia Potenziale e’ definita da P iniziale

P finale

γ1

γ2

γ3

P 0

LavoroF ,Piniziale → Pfinale( ) =

F ⋅dl

Piniziale

P finale∫ =F ⋅dl +

Piniziale

P0∫F ⋅dl

P0

Pfinale∫ =

F ⋅dl

P0

P finale∫ −F ⋅dl

P0

P iniziale∫ = − U Pfinale( )−U Piniziale( )%&

'(= −ΔUPiniziale→Pfinale

L’Energia Potenziale dipende dalla posizione del corpo relativamente a un punto di riferimento

Gravitazionale Elettrica Elastica …

- Variazione di E. P.

U P( ) = −F ⋅dl

P0

P∫

•  Sollevare pesi usando la Forza Peso •  Usare l’energia potenziale di certi Pesi

per spostare (compiere lavoro) su altri Pesi

Macchine

F2

L

l

2

1

Fappl

F1

2 2U F LΔ = −

LavoroFappl ,

l( ) = Fappl l

Fappl l = −ΔU2

1 1U F lΔ =

• Macchine ideali • Le Macchine ideali sono reversibili

Ll LlF2

F1

F1

2

2

1

1

ΔU1 = LavoroFappl ,

l( ) = −ΔU2

1 2 0U UΔ +Δ =

Verifica Sperimentale: il moto perpetuo NON ESISTE

Una macchina reale migliore di una ideale consentirebbe il moto perpetuo! (I specie)

I.  Le macchine ideali (reversibili) sono “le migliori” II.  Tutte le macchine reversibili producono lo stesso effetto a

parita’ di condizioni III.  Si torna esattamente alla situazione di partenza

indipendentemente dal “cammino” IV.  La non esistenza del moto perpetuo di I specie equivale alla

Conservazione Energia V.  Tutte le forze fondamentali sono conservative

reale idealel l≤

1 2 0U UΔ +Δ =

1 2 0M g l M g L− =

Es1: Le leve

F2

L

l

2

1 1b

2b

F1

M1 b1 sinθ =M 2 b2 sinθ

O

Legge di Archimede sulle leve

θ θ

M1 b1 =M 2 b2(Equilibrio di corpi rigidi)

Es.2 Su un piano inclinato liscio (senza attrito) di lati assegnati e filo inestensibile, qual e’ il rapporto delle masse perche’ si abbia l’equilibrio (reversibilita’)?

4l

5l 3l

M

m ?

4l

5l 3l

M

m ?

5l

( ) ( ) 053 =− lmglMg Mm53

=

L’epitaffio di Stevino

pLRFLMg π2=

FMg

=p

2π R

Es.3 Il martinetto a vite (senza attrito): quale forza F debbo applicare al braccio per mantenere in equilibrio il martinetto carico con la massa M?

Torricelli: tanto si guadagna in forza quanto si perde in cammino

M

R

p

F ?

L

F ? pL

π2

Momento della Forza

NB Lo spostamento L e’ un parametro , che definisce i possibili mutamenti del sistema, ma non interviene nel risultato finale

Pressione di un torchio : Sapendo che un torchio a mano compie degli avanzamenti di un angolo φ= n/m π attorno ad una vite di passo p , che il suo braccio e’ di lunghezza R , sul quale e’ applicata una forza costante ortogonale di intensita’ F, calcolare la pressione P esercitata sulla superficie compressa di area A.

FR nmπ = PA n

mp

P = π FRAp

Energia cinetica

O

h0

h1

201 2

1 gthh −=− Fmv

mgmv

gvt ===

Fvm

Fmv

mF

Fmvghh

222

01 221

21

−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=−

( )1 0finale inizialeF h h U U U− = − = Δ

( ) ( ) ( )2 2

2 2finale iniziale

iniziale finalem mv v U Lavoro P P− = −Δ = →

( ) ( )2 2

2 2finale finale iniziale inizialem mv U v U+ = +

1.  Energia cinetica 2.  Conservazione dell’energia meccanica

2

21mvT =

E T U const= + =

h0

h1 X

γ1

γ2

v1(X)=v2(X)

constmghvm =+221 !

Es. 1 Romeo vuole passare a Giulietta, che si trova affacciata al balcone di altezza h dal suolo, una rosa di massa m: qual e’ la velocita’ minima di lancio?

( ) ( ) 02

02

22 +=+ inizialevmmghmh

ghviniziale 2=

Es 2 Una massa m sospesa con una fune ideale trascina una seconda massa M, posta su un piano senza attrito e inizialmente con velocita’ V0. Quanto vale la velocita’ del sistema se m scende di h? M

m

h

( ) ( ) 20

20

22

2222VMVmmghVMvm finalefinale +=−+

vV =20

2 VMm

mghVv finfin ++

==

L

Es.3 :

M

m

La massa sospesa (m = 300 g) e’ trattenuta da una massa sul tavolo (M=800 g) tramite fili e carrucole ideali e senza attriti. Qual e’ la velocita’ delle masse se M si sposta di L=60 cm partendo da ferma?

m2v finale( )

2+M2V finale( )

2−mg L

2= 0

L/2

V finale = 2v finale

v finale = 2 mgL4M +m

Particella su piano orizzontale con attrito radente: se inizialmente ha velocita’ v0, quanto spazio percorre prima di fermarsi?

v0 attrF!

Teorema dell’Energia cinetica ( ) ( ) ( )finaleinizialeForza

inizialefinale PPLavorovmvm→=−

22

22

L ?

vfin =0

( ) attrfinaleiniziale LFPPLavoro −=→ ( ) ( ) 20

20

2

220

2vmvmmT −=−=Δ

attrFvmL20

2=

Es1

l

h

m

F ? ( ) ( )2 2

2 002 2m mT v F lΔ = − = −

( ) ( )2 21 0 02 2m mT v mghΔ = − =

lmghF =

Es2 Una massa inizialmente ferma cade da un’altezza h su un terreno, affondando per una profondita’ l: determinare la resistenza offerta dal terreno

Es3 La massa m giace su un piano orizzontale liscio e vincolata da una fune ideale, che si puo’ avvolgere attorno ad un cilindro rigido di raggio R. Se inizialmente si muove con velocita’ angolare ωin, quale sara’ la sua velocita’ dopo un dato numero di avvolgimenti?

0=Δ⋅=Δ⋅=Δ tvFrFL TT!"""

( ) ( ) ( )2 2

, 02 2

finale inizialeT

m mv v Lavoro F γ− = =

ωlv =ininfinfin ll ωω =

Es4 La massa m giace su un piano orizzontale liscio e vincolata da una fune ideale, che attraversa un foro centrale e tirata da una forza F. Se inizialmente si muove con velocita’ angolare ωin, quale sara’ la sua velocita’ dopo aver accorciato la fune di Δr ?

v FT

11 2 /

fin ininNR l

ω ωπ

=−

v FT

F

ΔL =FT ⋅ Δ

r = FΔr ( ) ( )2 2

2 2finale inizialem mv v F r− = Δ

( )( )

( )( )

2 2

2 21 2

1 /fin in

in in

r Fmr l l

ω ω⎛ ⎞Δ⎜ ⎟= +⎜ ⎟− Δ ⎝ ⎠

Es5 Un grave m e’ sospeso con un filo inestensibile ad un disco di raggio R, libero di ruotare attorno ad un asse orizzontale senza attriti. Abbandonato da fermo il disco impega un tempo T per scendere di un’altezza h. Determinare il momento di inerzia del disco

2 212 2

mI v mghω + =

h

R /v Rω =2

2

2mgv hI mR

=⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

2

2

12

mgv a T h a T aI mR

= = =⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

221

2g TI m Rh

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

Forza di gravitazione universale r

rMmGF ˆ2−=

!

F!rrr ˆ=

!

M

m

0=chiusocammL( )

0

200

1 1

P

grav P

r

r

U P F dl

MmG du GMmu r r

= − ⋅ =

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫

∫

rr

Forza di Coulomb

rrqqkF ˆ221=

!

0=ΔL

01 <ΔL

012 >Δ−=Δ LL

( ) 1 20

1 1CoulU P kq q

r r⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

Es1 Calcolare la velocita’ iniziale necessaria ad una particella per sfuggire all’attrazione gravitazionale della Terra

0121 2 =−=

TrGMmmvE

sec/1022 4 mgrrGMv TT

≈==

Es2 Sapendo che per l’atomo di idrogeno il potenziale di ionizzazione dell’ elettrone e’ di Eion =21.8 x 10-19 J , facendo l’ipotesi che la sua orbita attorno al protone abbia un raggio aB = .5 x 10-10 m, trovare la velocita’ dell’elettrone.

22

0

12 4 Ion

B

eE mv Eaπε

= − = −

25

0

2 15 10 / sec4 Ion

B

ev E mm aπε⎛ ⎞

= − ≈ ×⎜ ⎟⎝ ⎠

a0

T

Eion

Forza di richiamo elastica (Oscillatore Armonico)

xxkF ˆ−=!

Uel P( ) = −F ⋅dl

P0

P∫ = k u

x0

x∫ du = 1

2k x2 − x0

2( )22

21

21 kxmvEmecc +=

02 meccExk

=

Emecc

T

Uel

-x0 x0

mEv mecc2

max =

( ) ( ) ( ) ( )φωωφω +−=+= txtvtxtx sincos 00

mk

=2ω

( )221

ωRmT =

Pendolo semplice

( )1 cosgravU mgR α= −dtdα

ω =mecc gravE T U= +

2

211cos αα −≈

1<<α 222

21

21

αω mgRmREmecc += Oscillatore Armonico

Rg

=20ω

Piccole Oscillazioni α

Ugrav

Emecc

α h

( )2 21 1 cos2meccE mR mgRω α= + −

Orbite chiuse ed aperte

Diagramma nel piano delle fasi per il pendolo

Forza di Lorentz BvqFL!!!

×=

0=Δ⋅=Δ⋅=Δ tvFrFL LL!"""

2

21mvEmecc =

B!

Uniforme e costante v Costante e orbite circolari (elicoidali)

Come inserire i campi magnetici nell’espressione dell’energia?

meccEmgyyxkvm =+++ 222

21

21 !

x

y

el grav meccT U U E+ + + =KPiu’ forze

Piu’ particelle S T M S T M

S T S M T M mecc

T T T U U U

U U U E− − −

+ + + + + +

+ + =

∑==++i

iitotMTS vmTTTT 2

21

( )tot i i ji ij

U U U −= + +∑ ∑ L

1.  E’ una legge SPERIMENTALE , verificata senza eccezione al meglio delle conoscenze attuali

2.  L’ENERGIA si presenta sotto molte forme diverse :

3.  Per ogni forma di energia esiste una appropriata formula per calcolarla a partire da alcune grandezze fisiche fondamentali: massa, posizione, velocita’, …

4.  Esprime la capacita’ del sistema a compiere Lavoro (ma per I sistemi macroscopici si deve introdurre anche l’Entropia )

5.  Le interazioni fondamentali sono sempre conservative

6.  Contiene tutta l’informazione relativa ad un sistema conservativo

Gravitazionale Cinetica Elettrica Elastica Termica Radiante Chimica Nucleare di Massa …..

In un SISTEMA ISOLATO l’ENERGIA Totale rimane

costante