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A.A. 2009-2010

1

studieremo un fenomeno d’urto elastico tra due punti materiali per il quale

assumeremo valide le leggi di conservazione della quantita’ di moto e dell’energia

Quantità di moto relativistica

per determinare l’espressione della quantita’ di moto relativistica

0p m v

secondo la definizione classica la quantita’ di moto di un punto materiale di massa m0 e’

supporremo che la quantita’ di moto relativistica sia strettamente collegata

ma postuleremo che la massa non sia una costante

supponiamo che l’urto avvenga nel piano xy

alla definizione classica di quantita’ di moto

0 ( )p m f v v

ma una qualche funzione della velocita’

dove m0 e’ la massa del punto materiale fermo, o “massa a riposo”

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2

1

2

2 1

supponiamo di avere due particelle di massa identica e di uguale modulo della velocita’

dopo l’urto le direzioni del moto dovranno essere esattamente opposte l’una all’altraaltrimenti non vi sarebbe conservazione della

la quantita’ di moto totale e’ nulla ad un certo istante le due particelle collidono elasticamente

supporremo anche che qualunque

1

2

2

2

1

2

in moto rettilineo uniforme lungo la stessa direzione ma in versi opposti

quantita’ di moto totale

sia possibileangolo di scattering

il medesimo urto puo’ essere visto in un sistemaruotato di meta’ dell’ angolo di scattering

se pretendiamo che quantita’ di moto totale si conserviprima dell’urto

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velocita’ della particella 1 nel sistema S’ deve essere uguale a v2y

1

2

S S’1 1(0, )v v

2 2( , )yv u v

'1 2( , )yv u v

'2 1(0, )v v

2 2'

' 2

1

1 /y yx

u cv v

v u c

' 2 21 ' 1 1yv v u c

2 22 1 1yv v u c

0 ( )up m v f

u u c

3

secondo le trasformazioni di Lorentz della velocita’

esistera’ un sistema S in moto relativo rispetto al primo e tale per cui si abbia

inoltre esistera’ un sistema S’ in moto relativo rispetto al primo e tale per cui si abbia

in generale quindi potremo supporre che

dato che vx = 0 in S

relazione che applicata

alla particella 1 fornira’ peraltro la componente y della

dove abbiamo posto

x

y

e21 1u ma la quantita’ di moto totale lungo l’asse y era nulla 0yp

1 1 2 1( ) ( ) 0uf v f v 0 1 1 2 2( ) ( ) 0ym f v f v

per cui si ha

1 2( ) ( ) uf f

se la velocita’ v1 della prima particella fosse molto piccola,

quindi

percio’ ossia

la sua quantita’ di moto dovrebbe ridivenire

0 1 1 0 1( )m f v m v pari alla quantita’ di moto classica, ossia e questo implica che 1( ) 1f

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00 2 21

mp m v v

v c

in conclusione

01lim

1 ( )u uf

( )u uf 1( ) 1f al limite per v1 tendente a zero

A.A. 2009-2010Dinamica Relativistica

5

dp dF mv

dt dt

0

2 2; lim

1 v c

mm massa relativistica m

v c

Meccanica Newtonianadv

F m madt

0

2 2Meccanica relativistica

1

mdF v

dt v c

1 22 2 2 2 4 40 0

1 31 1 ...

2 8m m v c m v c v c

20 0 2

1 1

2m m m v

c

00 2 21

mp m v v

v c

Cambi-Piccinini-Semprini-ZucchelliA.A. 2010-2011

A.A. 2009-2010Dinamica Relativistica

Energia

6

20 0 2

1 1

2m m m v

c

2 2 20 0

1

2mc m c m v

generalizzando si può definire l’energia totale E di un corpo dotato di massa a riposo m0 :

2 20E mc m c

2 2( ) 1 1v v c

m0c2 e’ l’ energia a riposo del corpo di massa m0 , necessaria per “costruirlo”


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teorema delle forze vive classico

Dinamica RelativisticaEnergia – Teorema delle Forze Vive

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Lavoro relativistico

teorema delle forze vive relativistico 20AB B AL E m c

AB ABL T

2 2 2B

AB B AAL d mc m c m c

rdFdL

dtvvmdt

d )(

)()(22 22vmdvmdvmmdL

20 0 2

1 1

2m m m v

c

per definizione di lavoro infinitesimo

rdFdL

dtvvc

vmm

dt

d

2

2

00 2

1

vdvm

0

2

02

1vmd

fisica newtoniana c quindi 0mm

rdFdL

dove

2

2

0

1cv

mm

202

22 )1( m

c

vm

22220

22 vmcmcm

)()()( 22220

2222 mdccmcmdvmd mdmcmdL 22 2 )( 2mcddL


A.A. 2009-2010Universo Quadridimensionaleil modulo di un quadrivettore non dipende dal sistema di riferimento nello spaziotempo: è invariante per roto-traslazioni nello spaziotempo.

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1 4'1 2 2

'2 2'3 3

4 1'4 2 2

1

1

x u ic xx

u c

x xx x

x u ic xx

u c

4'4 '

x ictx ict

formulazione alternativa che prescinde dai numeri immaginari:2

2

'1

''

'1

x ctx

y yz z

ct xct

invariante relativistico


A.A. 2009-2010Universo Quadridimensionale

9

2

2

'1

''

'1

x ctx

y yz z

ct xct

( , , , ) ( , )x ct x y z ct r

quadrivettore evento:

Parte temporale

Parte spaziale

Prodotto scalare:

1 2 1 2 1 2x x ct ct r r

invariante per T. L.

Possiamo pensare allo spazio fisico quadridimensionale come ad uno spazio in cui il prodotto scalare viene ottenuto sottraendo al prodotto delle componenti temporali i prodotti delle componenti spaziali. A questo spazio viene dato il nome di spazio di Minkowsky, in onore del matematico che per primo formalizzò la teoria di Einstein


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x ict

x ict

x ict

x ict

Universo Quadridimensionale

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Separazione tra due eventi

2 21 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )s x x ct ct r r r r

1 2 1 2:x e x x x x il suo modulo quadro, invariante di Lorentz, viene chiamato intervallo:

2 0s

2 0s

2 0s

Esiste un sistema di riferimento in cui i due eventi avvengono in istanti diversi ma nello stesso luogo: una persona può quindi assistere all'evento 1, e poi spostarsi in modo da essere presente anche all'evento 2. Si dice che i due eventi sono separati temporalmente: tra di essi può esistere un rapporto di causa ed effetto “intervallo di tipo tempo”

Esiste un sistema di riferimento in cui i due eventi avvengono contemporaneamente a distanza d = sqrt(-s2): nessun viaggiatore, per quanto rapido, potrà essere presente contemporaneamente ai due eventi. I due eventi non possono essere collegati da un rapporto di causa-effetto “intervallo di tipo spazio”

La distanza temporale tra di due eventi è pari al tempo necessario ad un fotone per percorrere la distanza spaziale tra i due eventi: quindi è possibile ad un fotone partire dal punto 1 all'istante t1 e giungere al punto 2 all'istante t2.



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Quadrivettori

Un quadrivettore v è una qualunque quaterna di grandezze fisiche (v0; v1; v2; v3) che nel passaggio da un sistema di riferimento inerziale all'altro si trasforma tramite una trasformazione di Lorentz. Chiamiamo v0 componente temporale del quadrivettore e v = (v1; v2; v3) componente spaziale. Dati due quadrivettori v e w, il prodotto scalare

è invariante, ovvero assume lo stesso valore in ogni sistema di riferimento.

0 0v w v w v w

Gruppo di Lorentz: è costituito da tutte le trasformazioni che lasciano invariato il prodotto scalare tra due quadrivettori. Le trasformazioni elementari che formano il gruppo sono date dai tre passaggi a sistemi di riferimento in moto lungo gli assi x; y; z, più le tre rotazioni intorno agli assi stessi: alle prime tre trasformazioni, dette anche trasformazioni di Lorentz proprie, viene dato il nome di spinte o boost. Una qualunque combinazione di queste sei trasformazioni appartiene al gruppo. Una qualsiasi trasformazione del gruppo può essere scritta come una rotazione, seguita da una spinta lungo l'asse x, seguita da una nuova rotazione.


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1 1

1 1 10 01

td dt t t

Universo Quadridimensionale

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Cinematica

Posizione: quadrivettore traiettoria di un punto: ( ) ( , ( ))x t ct r t

Intervallo corrispondente ad uno spostamento infinitesimo:

2 2 2 2( ) ( , ( ) ); 1dx t cdt v t dt ds c dt

nel sistema di riferimento del punto 2 2 2 ; tempods c od propri

2 2 2 2 2 21ds c dt c d dt d d Dilatazione dei tempi

Paradosso dei gemelli: un gemello parte dall’origine e vi ritorna dopo un tempo t1 misurato dal gemello sedentario. Per il viaggiatore è trascorso un tempo t1 che, rispetto al tempo misurato dal sedentario vale :



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Cinematica

Velocità: a differenza del vettore posizione ordinario, la velocità ordinaria non è la parte spaziale di un quadrivettore! (si trasforma in modo diverso dalle T.L.)

Si definisce la quadrivelocità come il rapporto (tra un quadrivettore e un quadriscalare):

( , ),

dx cdt vdtu c v

d dt

2 2 2 2 2 2u c v c

Accelerazione: in modo analogo si definisce la quadriaccelerazione, il cui legame con l’accelerazione è assai complicato:

2 2 2

, ( ),

d c d vdu v a v aa v a

d dt c c

210

2

duu a u

ddc

d



14

Dinamica

abbiamo discusso impulso ed energia relativistici …

0p m v

2 20E mc m c

… ma sono la parte spaziale e temporale del quadrivettore energia-impulso, ottenuto moltiplicando per m0 la quadrivelocità!

0 0 0 0, , ,p m u m c m v p p E c p



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Quadrimpulso

0 0 0 0, , ,p m u m c m v p p E c p

2 2 2 2 2 20p E c p m c

2 2 4 2 20

2

E m c p c

p v E c

se esistono portatori di energia/impulso privi di massa (m0 = 0), debbono avere velocità v = c

2 2 2 2 2 2 2 2 2 200 02 2

11

mm m v c m m c m c m v

v c

0 0E pc

se m v cp p c v



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Quadriforza

0 ,F F F

0 0 0 0, , ,p m u m c m v p p E c p

Partiamo dalla derivata invariante

00

1dp dEF

d c d 0

dEF

c dt Allora

200 0dp dpdu dp

u u c v v Fd d d d

Verifica di

consistenza:

2

0

d mcdLF v F

c c dt c dt

/c volte la potenza sviluppata dalla forza

0 0 0, , ,dp dp dpdp dp

Fd d dt dt dt


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Bibliografia

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- D. Halliday, R. Resnick, J. Walker : Fondamenti di Fisica, Casa Editrice Ambrosiana. Capitolo Relatività.

- R.P. Feynman, R,B. Leighton, M. Sands : La Fisica di Feynman – Vol.1 Meccanica, radiazione, calore – Zanichelli. Capitoli 15, 16 e 17.


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Dinamica Relativistica

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S S’1 1(0, )v v

2 2( , )yv u v

'1 2( , )yv u v

'2 1(0, )v v

2 2'

' 2

1

1 /y yx

u cv v

v u c

' 2 21 ' 1 1yv v u c

2 22 1 1yv v u c

1 1 2 1

1 2

( ) ( ) 0( ) ( )

u

u

f v f vf f

01lim

1 ( )u uf

0 ( )vp m v f

0 1 1 2 2( ) ( ) 0ym f v f v

0yp

( )u uf

Conservazione della Quantità di moto

21 1v vv c 19

1

2

00 2 21

mp m v v

v c

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studieremo un fenomeno d’urto elastico tra due punti materiali per il quale

assumeremo valide le leggi di conservazione della quantita’ di moto e dell’energia

Quantità di moto relativistica

per determinare l’espressione della quantita’ di moto relativistica

p mv

secondo la definizione classica la quantita’ di moto di un punto materiale di massa m e’

supporremo che la quantita’ di moto relativistica sia strettamente collegata

ma postuleremo che la massa non sia una costante

supponiamo che l’urto avvenga nel piano xz

alla definizione classica di quantita’ di moto

0 ( )p m f v v

ma una qualche funzione della velocita’

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2 1

supponiamo di avere due particelle di massa identica e di uguale modulo della velocita’

dopo l’urto le direzioni del moto dovranno essere esattamente opposte l’una all’altraaltrimenti non vi sarebbe conservazione della

la quantita’ di moto totale e’ nulla ad un certo istante le due particelle collidono elasticamente

supporremo anche che qualunque

1

2

2

2

1

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in moto rettilineo uniforme lungo la stessa direzione ma in versi opposti

quantita’ di moto totale

sia possibileangolo di scattering

il medesimo urto puo’ essere visto in un sistemaruotato di meta’ dell’ angolo di scattering

se pretendiamo che quantita’ di moto totale si conserviprima dell’urto

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velocita’ della particella 1 nel sistema S’ deve essere uguale a v2y

1

2

S S’1 1(0, )v v

2 2( , )yv u v

'1 2( , )yv u v

'2 1(0, )v v

2 2'

' 2

1

1 /y yx

u cv v

v u c

' 2 21 ' 1 1yv v u c

2 22 1 1yv v u c

0 ( )vp m v f

v v c

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secondo le trasformazioni di Lorentz della velocita’

esistera’ un sistema S in moto relativo rispetto al primo e tale per cui si abbia

inoltre esistera’ un sistema S’ in moto relativo rispetto al primo e tale per cui si abbia

in generale quindi potremo supporre che

dato che vx = 0 in S

relazione che applicata

alla particella 1 fornira’ peraltro la componente y della

dove abbiamo posto

x

y

e21 1v ma la quantita’ di moto totale lungo l’asse y era nulla

0yp 1 1 2 1( ) ( ) 0uf v f v 0 1 1 2 2( ) ( ) 0ym f v f v

per cui si ha

e dove e’ stato usato v al posto di u

1 2( ) ( ) uf f

01lim

1 ( )u uf

( )u uf portando la velocita’ della prima particella a zero 1( ) 1f

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00 2 21

mp m v v

v c

in conclusione

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