TERMODINAMICA - Corsi di Laurea a...

SISTEMI ENERGETICI 5

CAPITOLO 1 TERMODINAMICA

SISTEMI CHIUSI E APERTI

Un sistema termodinamico, o semplicemente un sistema, è definito come una quan-tità di materia o una regione nello spazio. La massa o la regione esterne al sistemaviene chiamato esterno. La superficie reale o immaginaria che separa il sistemadall’esterno si chiama confine.Il sistema può essere considerato chiuso o aperto, a seconda che si scelga una massafissa o un volume fisso. Un sistema chiuso (chiamato anche massa di controllo) con-siste di una quantità fissa di massa, e nessuna massa può attraversare il suo confine.Ma l’energia, sotto forma di calore o lavoro, può attraversare il confine, e il volumedel sistema chiuso non necessariamente deve essere fisso.Un sistema aperto, o un volume di controllo, come viene spesso chiamato, èun’opportuna regione scelta nello spazio. Sia la massa che l’energia possono attraver-sare il confine del volume di controllo, che viene chiamato superficie di controllo.Le relazioni termodinamiche applicabili ai sistemi chiusi e aperti sono differenti.

FORME DI ENERGIA

L’energia può esistere sotto forme diverse come energia termica, meccanica, cinetica,potenziale, elettrica, magnetica, chimica e nucleare e la loro somma rappresental’energia totale E di un sistema . L’energia totale di un sistema riferita all’unità dimassa si indica con e ed è definita come

La termodinamica non fornisce informazioni sul valore assoluto dell’energia totale diun sistema. Essa si occupa solo di variazioni di energia perchè è ciò che serve neiproblemi ingegneristici. Così all’energia totale di un sistema si può assegnare un

valore nullo ( ) in un conveniente punto di riferimento. La variazione di ener-gia di un sistema è indipendente dal punto di riferimento scelto. Per esempio, la dimi-nuzione di energia potenziale nella caduta di un grave dipende solo dalla differenzadi quota e non dalla quota di rifermento scelta.

Nell’analisi termodinamica può essere utile distinguere le varie forme di energia inmacroscopiche e microscopiche. Le forme di energia macroscopiche sono quelle cheun sistema possiede nel suo insieme rispetto a un sistema di riferimento esterno,come l’energia cinetica e l’energia potenziale. Le forme microscopiche di energiasono quelle legate alla struttura molecolare di un sistema e al grado di attività mole-colare e sono indipendenti da sistemi di riferimento esterni. La somma di tutte leforme microscopiche di energia si chiama energia interna di un sistema e si indicacon U Le forme macroscopiche di energia di un sistema sono legate al movimento eall’influenza di effetti esterni come la gravità, il magnetismo, l’elettricità, la tensionesuperficiale. L’energia che un sistema possiede come risultato del moto relativo a un

eEm---- (kJ/kg)=

E 0=

TERMODINAMICA

6

riferimento esterno si chiama energia cinetica . Quando tutto il sistema si muove

alla stessa velocità l’energia cinetica è espressa da

oppure, riferita all’unità di massa,

dove rappresenta la velocità del sistema relativa a un sistema di riferimento fisso.L’energia che un sistema possiede come risultato della sua posizione in un campogravitazionale si chiama energia potenziale e si esprime come

oppure, riferita all’unità di massa

dove è l’accelerazione di gravità e è la quota del centro di gravità di un sistemarispetto a un piano di riferimento arbitrariamente selezionato.Gli effetti magnetici, elettrici, ecc., sono significativi solo in alcuni casi specializzatie verranno considerati solo quando è necessario. In assenza di questi effetti l’energiatotale di un sistema è rappresentata dalla somma delle energie interna, cinetica epotenziale

oppure, riferita all’unità di massa

(1)

L’energia interna può essere vista come la somma delle energie potenziale e cinetiticadelle molecole.La parte dell’energia interna di un sistema associata all’energia cinetica delle mole-cole (traslazionale, rotazionale e vibrazionale) viene chiamata energia sensibile. In ungas la velocità media e il grado di attività delle molecole sono proporzionali alla tem-peratura. Quindi a più alte temperature le molecole possiederanno più alte energiecinetiche e il sistema avrà energia interna più alta.L’energia interna è anche associata alle forze intermolecolari fra le molecole di unsistema. Queste sono le forze che legano le molecole tra di loro e, come ci si potrebbeaspettare, esse sono più forti nei solidi e più deboli nei gas. Se energia sufficienteviene fornita alle molecole di un solido o di un liquido le forze intermolecolari ven-gono superate e il sistema si trasforma in un gas. Questo è un cambiamento di fase.L’energia interna associata al cambiamento di fase di un sistema si chiama energialatente (nascosta).Le variazioni descritte possono avvenire senza variazioni della composizione chi-mica di un sistema. Molti problemi di termodinamica cadono in questa categoria enon bisogna quindi preoccuparsi delle forze che legano gli atomi all’interno dellemolecole. L’energia interna associata con i legami atomici nelle molecole si chiamaenergia chimica. Durante una reazione chimica, come in un processo di combustione,alcuni legami chimici vengono distrutti mentre altri vengono formati e l’energiainterna varierà. Occorre anche menzionare le tremende quantità di energia interna associata con ilegami all’interno del nucleo stesso. Questa energia è chiamata energia nucleare eviene rilasciata con le reazioni nucleari. Ovviamente non bisogna preoccuparsidell’energia nucleare in termodinamica se non ci occupa di reazioni di fusione o fis-sione nucleari.Le forme di energia discusse sopra che costituiscono l’energia totale di un sistemapossono essere contenute o immagazzinate in un sistema e così possono essere vistecome forme statiche di energia. Le forme di energia che non sono immagazzinate in

Ec

Ecmc2

2--------- (kJ)=

ecc2

2----- (kJ/kg)=

c

Eg mgz (kJ)=

eg gz (kJ/kg)=

g z

E U Ec Eg (kJ)+ +=

e u ec eg+ + uc2

2----- gz (kJ/kg)+ += =


un sistema possono essere viste come forme dinamiche di energia o come interazionienergetiche. Le forme di energia dinamiche si evidenziano al confine del sistema per-chè l’attraversano e rappresentano l’energia ricevuta o perduta da un sistema duranteuna trasformazione. Le uniche due forme di interazione di energia associate a unsistema chiuso sono lo scambio di calore e il lavoro. Una interazione energetica ècalore scambiato se “la forza motrice” è una differenza di temperatura, altrimenti èlavoro.L’energia sensibile e latente di un sistema si chiama energia termica o calore da nonconfondere con il calore scambiato, che è una energia in transito, mentre la prima èposseduta dal sistema.

PROPRIETA’ DI UN SISTEMA

Qualsiasi caratteristica di un sistema si chiama proprietà. Alcuni esempi familiari

sono sono la pressione , la temperatura , il volume e la massa . Continuandocon termini meno famigliari, la viscosità, la conducibilità termica, il modulo di elasti-cità, il coefficiente di espansione termica, la resistività elettrica, e anche la velocità el’altezza.Alcune proprietà dipendono da altre. La densità è la massa per unità di volume

mentre il volume specifico, che è l’inverso della densità, è il volume per unità dimassa

Le proprietà di un sistema possono essere intensive o estensive. Le proprietà inten-sive sono quelle indipendenti dalla dimensione del sistema come la temperatura, lapressione e la densità. Le proprietà estensive sono quelle i cui valori dipendono dalla

dimensione - o estensione - del sistema. La massa , il volume e l’energia totale

sono alcuni esempi di proprietà estensive.

STATO E EQUILIBRIO

Consideriamo un sistema che non è soggetto a cambiamenti. A questo punto tutte leproprietà possono essere misurate o calcolate ottendo un insieme di proprietà chedescrivono completamente le condizioni, o lo stato, del sistema. In un dato stato tuttele proprietà del sistema quindi hanno dei valori costanti. Se anche una sola proprietàcambia il sistema evolve verso un altro stato.La termodinamica si occupa di stati di equilibrio. Equilibrio implica uno stato dibilanciamento e manca una “forza motrice” all’interno del sistema. Un sistema che èin equilibrio non subisce variazioni quando è isolato dall’ambiente circostante. Cisono molti tipi di equilibrio e un sistema non è in equilibrio termodinamico se nonsono soddisfatti tutti. Si può avere equilibrio termico (uguaglianza delle tempera-ture), equilibrio meccanico (costanza delle pressioni), equilibrio delle fasi (costanzadella massa di ogni fase), equilibrio chimico (costanza della composizione no rea-zioni chimiche).

PROCESSI E CICLI

Qualunque cambiamento che il sistema subisce da uno stato di equilibrio ad un altroviene chiamato processo o trasformazione e la serie di stati che il sistema attraversa sichiama percorso della trasformazione. Per descrivere un processo completamenteoccorre specificare gli stati iniziale e finale nonchè il percorso che segue e le intera-zioni con l’esterno.Quando la trasformazione procede in maniera tale che il sistema rimane infinitamentevicino a uno stato di equilibrio la trasformazione si chiama di quasi-equilibrio. Unatale trasformazione può essere vista come un trasformazione sufficientemente lenta

p T V m

ρ mV---- (kg/m3)=

vVm----

m3

kg------

� �� =

m V

E

TERMODINAMICA

8

da permettere al sistema di adattarsi internamente in maniera che le proprietà si man-tegano uniformi. Va detto che una trasformazione di quasi equilibrio è una trasforma-zione ideale e non è la vera rappresentazione di trasformazioni reali. L’ingegnere ècomunque interessato a questi processi per due motivi. Innanzitutto sono più facili daanalizzare rispetto ai processi reali, poi, molti dispositivi presentano il massimo delleprestazioni quando si fa riferimento a un processo di quasi-equilibrio e ciò rappre-senta un riferimento con cui confrontare i processi reali.Le trasformazioni possono essere rappresentate graficamente in diagrammi che uti-lizzano come assi coordinati alcune proprietà termodinamiche come temperatura T,pressione p e volume V (o volume specifico).In alcune trasformazioni una particolare proprietà può rimanere costante. Si possonocosì avere trasformazioni isoterme (T=cost), isobare (p=cost), isocore (v=cost), ecc.Un sistema percorre un ciclo se la trasformazione percorsa ritorna al suo stato ini-ziale. Un ciclo può essere costituito da trasformazioni di tipo diverso (isobare, ico-core, ecc).

PRIMO PRINCIPIO PER I SISTEMI CHIUSI

L’energia non può essere creata nè distrutta; essa può solo cambiare forma. Questoprincipio è basato su osservazioni sperimentali ed è noto come primo principio dellatermodinamica o principio di conservazione dell’energia. Il primo principio puòessere espresso nella maniera seguente: durante una interazione tra un sistema el’esterno la quantità di energia ricevuta dal sistema deve essere esattamente ugualealla quantità di energia ceduta dall’esterno.

L’energia può attraversare i confini di un sistema chiuso in due forme distinte: Caloree lavoro. E’ importante distinguere queste due forme di energia.

CALORE

L’esperienza ci dice che una lattina ghiacciata di coca lasciata su un tavolo si riscaldae che una tazza di caffè caldo lasciata sullo stesso tavolo si raffredda. Cioè, quandoun corpo viene lasciato in un mezzo a temperatura diversa si ha un trasferimento dienergia tra il corpo e l’ambiente fino a quando non si raggiunge un equilibrio ter-mico, ovvero il corpo e l’ambiente raggiungono la stessa temperatura. La direzionedella trasmissione di energia è sempre dal corpo a più alta temperatura a quello a tem-peratura più bassa. Nei processi descritti energia viene trasferita sotto forma dicalore.

Si definisce calore la forma di energia che viene trasmessa tra due sistemi (o tra ilsistema e l’esterno) in virtù di una differenza di temperatura. In assenza di una diffe-renza di temperatura non può esserci un trasferimento di calore tra due sistemi. Nellinguaggio comune indichiamo le forme di energia sensibile e latente dell’energiainterna con il termine calore (sensibile e latente) e parliamo anche di calore contenutoin un corpo. In termodinamica si indicano queste forme di energia come energia ter-mica in maniera da evitare confusioni con il calore scambiato o trasmesso, che èenergia termica “in transito”.Un processo che si svolge senza trasmissione di calore viene chiamato processo adia-batico. Ci sono due modi per rendere adiabatico il processo: o il sistema è bene iso-lato oppure la differenza di temperatura tra il sistema e l’esterno è nulla. Ciò nonimplica che il processo sia anche isotermo. Infatti il contenuto di energia di unsistema, e quindi la temperatura, può cambiare per effetto di altre interazioni energe-tiche diverse dal calore (per esempio per scambio di lavoro con l’esterno).Essendo una forma di energia, il calore ha la stessa unità di misura dell’energia e

cioè o . Il calore scambiato per unità di massa o calore massico è

Q

J kJ

qQm----

kJkg------

� �� =



Talvolta è desiderabile conoscere il calore scambiato nell’unità di tempo che si

misura in che è equivalente a e rappresenta quindi una potenza termica scam-

biata. La potenza scambiata, che è una grandezza istantanea, può poi essere ricon-dotta a una quantità di calore integrando nell’intervallo di tempo del processo.Il calore è una grandezza direzionale ed è necessario adottare una convenzione disegno per stabilirne la direzione. La convenzione universalmente accettata è di consi-derare il calore positivo se ricevuto dal sistema e negativo se ceduto dal sistema.Il calore può essere trasmesso in tre modi diversi: conduzione, convezione e irraggia-mento e verranno trattati più avanti.

LAVORO

Il lavoro, come il calore, è una interazione tra un sistema e l’esterno. Come dettoprima, l’energia attraversa i confini di un sistema sotto forma di calore e lavoro. Per-ciò, se l’energia che attraversa i confini di un sistema chiuso non è calore, allora deveessere lavoro. Più specificatamente il lavoro è l’energia trasmessa con una forza cheagisce per una distanza (spostamento). Lo stelo di uno stantuffo, un albero rotante e ifili elettrici che attraversano i confini del sistema sono tutti associati con scambi dilavoro.

Il lavoro è anche una forma di energia come il calore e si misura in . Il lavoroper unità di massa è

Il lavoro scambiato nell’unità di tempo si chiama potenza e l’unità di misura è

o .Anche per il lavoro è necessaria una convenzione del segno. Utilizziamo inizialmentela stessa convenzione utilizzata per il calore: il lavoro è positivo se ricevuto dalsistema, negativo se fatto dal sistema sull’esterno.Calore e lavoro sono interazioni tra un sistema e l’esterno e ci sono alcune similaritàtra i due:

1. Entrambi si evidenziano al confine del sistema e l’attraversano

2. I sistemi possiedono energia ma non calore o lavoro. Cioè, calore e lavoro sono fenomeni in transito.

3. Entrambi sono associati a una trasformazione e non a uno stato del sistema. Diversamente dalle proprietà di un sistema, calore e lavoro non hanno significato in uno stato.

4. Entrambi sono funzioni di linea (cioè essi dipendono dal percorso della trasfor-mazione, compresi gli stati iniziale e finale).

Le funzioni di linea hanno differenziali inesatti che vengono indicati con il simbolo. Così, una quantità differenziale di calore e lavoro viene indicata con o ,

ripsettivamente, invece di o . Le proprietà, comunque, sono funzioni di puntoo di stato (cioè, essi dipendono soltanto dallo stato, e non da come il sistema rag-giunge quello stato) ed hanno differenziali esatti indicati con il simbolo . Una pic-

cola variazione di volume, per esempio, viene rappresentata da e la variazione

totale di volume lungo una trasformazione tra gli stati e è

Cioè, la variazione di volume in una trasformazione è sempre il volume nello

stato meno il volume nello stato , indipendentemente dal percorso seguito. Il

lavoro totale durante la trasformazione , comunque, è

Q·

kJs

----- kW

L J

lLm----

Jkg------

� �� =

PkJs

-----

kW

δ δQ δL

dQ dL

d

dV

1 2

Vd

1

2

� V2 V1– ∆V= =

1 2–

2 1

1 2–

TERMODINAMICA

10

Cioè, il lavoro totale si ottiene seguendo la linea di trasformazione e sommando lequantità differenziali di lavoro ( ) fatte via via. L’integrale di non è

(cioè, il lavoro nello stato meno il lavoro nello stato ), che è senza significatoperchè il lavoro non è una proprietà del sistema e i sistemi non possiedono lavoro inuno stato.

LAVORO MECCANICO

Ci sono diversi modi di fare lavoro, ciascuno in qualche modo è legato a una forzache agisce per un certa distanza. Nella meccanica elementare il lavoro fatto da una

forza costante su un corpo che viene spostato per una distanza nella direzionedella forza è dato da

Se la forza non è costante, il lavoro si ottiene sommando (cioè integrando) le quantità

differenziali di lavoro (forza moltiplicata per lo spostamento differenziale ):

Ovviamente occorre conoscere come la forza varia con lo spostamento per potereffettuare l’integrazione.Affinchè un sistema termodinamico abbia una interazione energetica sotto forma dilavoro è quindi necessario che una forza sia applicata sul confine del sistema e che

quella parte del confine si sposti di una certa distanza .Una forma di lavoro meccanico che si incontra frequentemente in pratica è associatacon l’espansione e la compressione di un gas in un dispositivo stantuffo-cilindro.Durante questo processo parte del confine (la faccia interna dello stantuffo) si muoveavanti e indietro. Considerando il gas racchiuso nel dispositivo, sia la pressione iniziale del gas,

il volume totale e la sezione dello stantuffo. Se lo stantuffo si muove molto lenta-mente, senza attriti e in maniera che il sistema sia sempre in equilibrio, per una

distanza il lavoro fatto durante questa trasformazione sarà

Cioè il lavoro scambiato con l’esterno in forma differenziale è uguale al prodotto

della pressione per il volume . Poiche la pressione è sempre positiva il segno del

lavoro verrà determinato dal segno di . Se il volume aumenta, come nel caso della

figura, è positivo e il lavoro anche. Per rispettare la convenzione stipulata prece-

dentemente è necessario anteporre un segno meno al prodotto in maniera daottenere un lavoro negativo perchè è il sistema che fa lavoro sull’esterno:

(2)

Il lavoro totale fatto durante l’intera trasformazione si ottiene integrando illavoro elementare dallo stato iniziale a quello finale

L’integrale può essere calcolato solo se si conosce la relazione funzionale tra e

durante la trasformazione. Cioè la funzione deve essere disponibile. Da

δL

1

2

� L12=

δL δL L2 L1–

2 1

F s

L Fs kJ( )=

ds

F s kJ( )d

1

2

�

s

p

dA pdV=

1

2

V1 V2 V

dV

p

p1 V1

A

ds

δL Fds pAds pdV= = =

dV

dV

dV

pdV

δL pdV–=

1 2–

L p Vd

1

2

�–=

p V

p f V( )=



notare che è semplicemente l’equazione della trasformazione in un dia-

gramma . Su questo stesso diagramma rappresenta l’area sottesa dalla

curva di trasformazione e quindi anche il lavoro scambiato con l’esterno, anche se inun processo idealizzato come quello descritto.

I PRINCIPIO SISTEMI CHIUSI

Il I principio esprime una relazione tra l’energia posseduta da un sistema e le intera-zioni energetiche che il sistema ha con l’esterno sotto forma di calore e lavoro. Ilprimo principio o principio di conservazione dell’energia, non può essere dimostratomatematicamente ma nessun processo in natura ha mai violato il I principio e ciòdeve essere considerato come prova sufficiente. Il I principio si basa quindi su osser-vazioni sperimentali.

Individuato un sistema termodinamico, come una porzione di massa che scambiaenergia, sotto forma di calore e di lavoro, con l’esterno passando dallo stato termodi-namico I a II, il principio di conservazione dell’energia afferma che

(3)

Il sistema che subisce la trasformazione è chiuso nel senso che esso non scambiamassa con l’esterno.Chiariamo la natura della funzione energia interna E. Chiaramente essa comprende

l’energia gravitazionale e cinetica , ma comprende anche l’energia interna ter-

mica , cioè quella che risulta dall’energia cinetica delle molecole della sostanzache compone il sistema e viene usualmente evidenziata da una maggiore o minoretemperatura del sistema. Ma potremmo anche considerare l’energia chimica intrin-

seca di una sostanza o l’energia nucleare , ecc.

In conclusione quindi

(4)

dove è sottinteso che le energie elettrica, magnetica, ecc., possono anche essereincluse quando è il caso.Le lettere maiuscole indicano le proprietà totali di un intero sistema mentre quelleminuscole (e ed u) verranno usate per indicare le proprietà per unità di massa delsistema.Supponiamo adesso che il sistema percorra un ciclo, cioè una continua serie di tra-sformazioni, cosicchè il sistema ritorni periodicamente al suo stato iniziale. Se consi-deriamo una trasformazione elementare del sistema, allora il primo principio puòessere scritto in forma differenziale

(5)

Chiaramente, poiché l’energia interna E è una funzione di stato, la sua variazionedeve essere nulla in un ciclo completo, e abbiamo

(6)

dove il segno di integrale indica un processo ciclico.Si deve rilevare che, in generale, calore e lavoro sono funzioni di linea e, così, pervalutare la loro grandezza dobbiamo considerare il tipo di trasformazione seguita.D’altra parte, l’energia interna è una funzione di stato ed è caratterizzata matematica-mente da

p f V( )=

p V– p Vd�

Q ∆E se L 0= =

L ∆E se Q 0= =

I

II

Q

L

Efinale

Einiziale

Q L+ ∆E Efinale Einiziale–= =

Eg Ec

U

Ech Enu

E U Eg Ec Ech Enu …+ + + + +=

dQ dL+ dE=

dQ dL�°+�° 0=

TERMODINAMICA

12

Quindi può essere descritto, in linguaggio matematico, come un differenziale

esatto, mentre e sarebbero chiamati differenziali inesatti. D’ora in avanti uti-

lizzeremo i simboli modificati e per indicare il fatto che i differenziali caloree lavoro sono, in generale, funzioni di linea

E’ importante notare che il calore è solamente quello scambiato dal sistema attra-verso i suoi confini, per effetto di una differenza di temperatura, e il lavoro è quellodovuto all’azione di forze esterne sul sistema. Per queste ragioni introdurremo ilpedice e, per esterno, a Q e L

(7)

LAVORO ESTERNO

Il lavoro effettuato sul sistema dalle forze superficiali esterne è dato, nel caso piùgenerale, da

(8)

come potrebbe dimostrarsi applicando la seconda legge della dinamica ad un ele-

mento di fluido, e in cui rappresenta l’incremento di lavoro che le forze di superfi-

cie compiono su ciascun elemento del sistema a causa delle resistenze passive.Il primo principio della termodinamica per un sistema chiuso assume allora la forma

ovvero

(9)

e, ancora, in forma differenziale, cioè per una trasformazione elementare

Riferendoci all’unità di massa

(10)

Il termine rappresenta l’energia persa e non convertita in lavoro a causa di attriti,

cioè azioni viscose, che si manifestano all’interno del fluido e tra fluido e pareti.Occorre pensare al fluido dotato di moti interni che portano le molecole a muoversicon velocità diverse fra di loro generando quindi degli scorrimenti delle une rispettoalle altre. Questo strisciamento dissipa energia che viene convertita in calore. E’come se ci fosse una sorgente interna di calore. Il calore netto che un sistema riceve èper questa ragione dato dalla somma algebrica tra il calore scambiato con l’esterno

, e che attraversa i confini del sistema, e il calore conseguente all’energia persa per

attrito, chiamato impropriamente lavoro di attrito . Indicando con il calore netto

che il calore riceve la (10) diventa

(11)

A questo punto introduciamo una nuova proprietà che useremo più avanti e che èmolto utilizzata nella pratica. Si tratta dell’entalpia che è definita come:

oppure in unità massiche

dE�° 0=

dE

dQ dL

δQ δL

δQ δL+ dE=

δQe δLe+ dE=

Le

Le p Vd�– ∆Ec Lw ∆Eg …+ + + +=

lw

Qe p Vd�– ∆Ec Lw ∆Eg …+ + + + ∆U ∆Ec ∆Eg …+ + +=

Qe Lw+ ∆U p Vd�+=

δQe δLw+ dU pdV+=

δqe δlw+ du pdv+=

lw

qe

lw q

δq du pdv+=

H U pV J[ ]+=



(12)

Differenziando questa relazione otteniamo

da cui si evince che il secondo membro della (11) equivale a per cui

(13)

CALORE E CALORE SPECIFICO

Abbiamo visto che il calore è un’interazione energetica tra il sistema termodinamicoe l’esterno; attraverso questa interazione il sistema può aumentare o diminuire la suaenergia interna termica e quindi la sua temperatura. Ci domandiamo allora quantocalore è necessario introdurre per aumentare di una certa quantità la temperatura diun sistema. Dall’esperienza sappiamo che per aumentare la temperatura di di

ferro da a sono necessari circa di energia mentre servono

di energia per aumentare della stessa quantità la temperatura di diacqua. E’ quindi necessaria una proprietà che sia in grado di esprimere la capacità diimmagazzinare energia delle varie sostanze. Questa proprietà è il calore specifico.

Definizione: se una quantità di calore viene ceduta a un sistema, che varierà la

sua temperatura di , allora il calore specifico viene definito come

(14)

in cui non è il differenziale di una funzione che non esiste, ma semplicemente la

piccola quantità di calore occorrente ad ottenere il piccolo aumento di tempera-tura. C’è da osservare che per ottenere un dato incremento di temperatura possonooccorrere quantità di calore molto diverse secondo le circostanze nelle quali la tra-sformazione avviene. Può, per esempio, l’incremento di temperatura ottenersi in unatrasformazione a volume costante o a pressione costante (fornendo nei due casi quan-tità di calore diverse) oppure mediante una compressione adiabatica (senza fornituradi calore!) oppure ancora con una compressione refrigerata (con sottrazione dicalore).Il calore specifico acquista significato soltanto quando si definisce la trasformazionepercorsa dal sistema nel variare di temperatura.Nello studio degli aeriformi sono di particolare interesse i calori specifici (o capacitàtermiche massiche) a pressione costante ed a volume costante

, (15)

Se si utilizza l’equazione dell’energia, scritta nella forma

si ottengono delle relazioni per i calori specifici a volume costante e a pressionecostante molto utili nelle applicazioni

o meglio (16)

in quanto, in generale, non è solo funzione della temperatura.Analogamente

o meglio (17)

Risulta in tal modo che i calori specifici rappresentano proprietà del sistema.

h u pv J

kg------+=

dh du pdv vdp+ +=

dh vdp–

δq du pdv+ dh vdp–= =

1 kg

20°C 30°C 4.5 kJ

41.8 kJ 1 kg

qδdT c

cqδ

dT------

kJkgK----------=

qδdT

cpqδ

dT------

� ��

p= cv

qδdT------

� ��

v=

qδ du pdv+ dh vdp–= =

cvqδ

dT------

� ��

v

dudT------

� ��

v= = cv T∂

∂u� ��

v=

u

cpqδ

dT------

� ��

p

dhdT------

� ��

p= = cp T∂

∂h� ��

p=

TERMODINAMICA

14

I calori specifici, al pari di altre proprietà termodinamiche, possono variare forte-mente con la temperatura e la pressione di una sostanza, e devono essere impiegatidati sperimentali per ottenere risultati affidabili. Per variazioni di temperature mode-ste i valori possono essere assunti costanti in calcoli di prima approssimazione.

Nei liquidi e lei solidi e sono circa uguali, mentre c’è un’apprezzabile diffe-

renza per i gas

EQUAZIONE DI STATO DEI GAS

Una mole è una quantità di sostanza che ha una massa numericamente uguale alla suamassa molecolare. Una di ossigeno ha, per esempio, una massa di 32 kg.

Se indichiamo con la massa molecolare e con il numero di moli, la massa diuna sostanza sarà

Sia il volume totale occupato da una sostanza. Sarà:- volume specifico = volume per unità di massa

- volume molare = volume per mole

.

Supponiamo di condurre una serie di esperimenti con diversi gas. Se misuriamo lapressione, il volume e la temperatura di 1 mole di ciascun gas sottoposto a varie pres-sioni e temperature, riportando i risultati su un diagramma si trova che, indipendente-mente dal gas, le linee a temperatura costante convergono tutte in un punto quando lapressione tende a zero. Questo valore viene definito costante universale dei gas

Con buona approssimazione molti gas si comportano in accordo all’equazione

(18)

per un campo abbastanza esteso di temperature e pressioni. Questa equazione è chia-mata equazione di stato di un gas perfetto. Il termine equazione di stato significa cheessa stabilisce una relazione tra le proprietà termodinamiche necessarie a definire lostato del sistema. In particolare, note due proprietà tra le tre necessarie a definire lo

stato del sistema la terza è determinata univocamente dall’equazione di stato.

Al 0.896

Cu 0.383

Fe 0.452

4.18

Olio minerale 1.9

Hg 0.14

Aria 1.005 0.718

14.32 10.17

0.846 0.653

cp cv

cp kJ

kgK---------- cv

H2O

H2

CO2

kgmole

M n

m nM=

V

vVm----

m3

kg------=

vVn---

m3

kgmole-------------------=

pvT------

p

RT

R pvT------

p 0→lim 8314.14

Jkgmole K-------------------------= =

pv R T=

p v T,,



Si può scrivere l’equazione di stato in molti modi diversi. Poiché abbiamo

Ancora, poiché , abbiamo

ma , cosicchè

in cui il rapporto è chiamato costante del gas.

Possiamo anche scrivere

oppure ancora, essendo

(19)

Un gas che soddisfa l’equazione di stato viene chiamato gas perfetto. Adifferenza del gas ideale, che anch’esso soddisfa l’equazione di stato precedente, ilgas perfetto ha viscosità non nulla in modo che in seno ad esso possano esplicarsiquelle azioni viscose che conducono al lavoro di irreversibilità .

Si chiama gas quasi-perfetto un gas che soddisfa l’equazione di stato mache ha le capacità termiche massiche dipendenti dalla temperatura.Un gas reale, oltre che essere viscoso, soddisfa una equazione di stato del tipo

in cui è il fattore di comprimibilità. per un gas perfetto o quasi-perfetto.

CALORI SPECIFICI DEI GAS IDEALI

Si dimostra che, se un gas obbedisce all’equazione di stato allora l’energiainterna e l’entalpia risultano funzioni della sola temperatura, per cui si può scrivere

Inoltre, se i calori specifici sono costanti, si hanno i seguenti risultati

Per gas a basse pressioni i calori specifici sono circa costanti e non variano, perristretti campi di temperatura. Spesso, nelle applicazioni, ci si riferisce ad un gas per-

fetto, che obbedisce all’equazione di stato , con calori specifici costanti.

Una utile relazione tra e per un gas ideale si può derivare nel modo seguente.

Poiché

e (20)

sottraendo queste espressioni

ma

cosicchè

e

. (21)

Una analoga relazione si ottiene se si utilizzano grandezze molari, infatti moltipli-cando tutti i termini per la massa molecolare si ha

vVn---=

pV nR T=

V mv= pvnm----R T=

m nM= pvRM----- T RT= =

RM----- R=

pV mRT= ρ mV----

1v---= =

Pρ--- RT=

pv RT=

lw

pv RT=

pvRT------- Z p T,( )=

Z Z 1=

pv RT=

u∆ u2 u1– cv TdT1

T2

�= = h∆ h2 h1– cp TdT1

T2

�= =

u2 u1– cv T2 T1–( )= h2 h1– cp T2 T1–( )=

pv RT=

cp cv

dh cpdT= du cvdT=

dh du– cp cv–( )dT= dh du d pv( )+ du RdT+= =

RdT cp cv–( )dT=

R cp cv–=

M

TERMODINAMICA

16

A questo punto introduciamo un’altra proprietà dei gas ideali chiamato rapporto dei

calori specifici , definito come

(22)

Anche il rapporto dei calori specifici varia con la temperatura anche se in maniera

contenuta. Per i gas monoatomici è essenzialmente costante e vale . Molti

gas biatomici, inclusa l’aria, hanno un rapporto dei calori specifici pari a atemperatura ambiente.

LE TRASFORMAZIONI TERMODINAMICHE

Un fluido, inizialmente in un certo stato termodinamico (I), si porta ad uno stato ter-modinamico diverso (II), mediante una trasformazione termodinamica.

TRASFORMAZIONE POLITROPICA. É la trasformazione più generale che sipuò avere. Dal 1º principio

si ha

Dividendo membro a membro si ottiene il rapporto

(23)

mediante il quale si può scrivere

e, se n è costante o tale può ritenersi quale valor medio in una ristretta gamma di tem-perature, integrando

ossia

L’equazione ottenuta è l’equazione di una generica trasformazione, la quale, se e

sono costanti, o possano considerarsi tali nell’escursione di temperatura interes-

sata, ha la prerogativa di congiungere due diversi stati del fluido (caratterizzanti

l’esponente e la ) mantenendo invariato il calore specifico durante l’evolu-zione. A siffatta trasformazione si dà il nome di politropica.

Se il fluido obbedisce all’equazione di stato , l’equazione della politropicasi può anche esprimere come segue

Osservazione. La trasformazione politropica consente di calcolare il calore comples-

sivo che un sistema riceve , e un termine importante del lavoro

oppure . Per esempio , essendo da cui ,

vale

R cp cv–=

γ

γcp

cv----=

γ 1.667=

γ 1.4=

qδ dh vdp–= cdT cpdT vdp–=

qδ du pdv+= cdT cvdT pdv+=

n vdppdv---------–

cp c–

cv c–-------------= =

n pdv vdp+ 0= ndvv

------dpp

------+ 0=

n vln pln+ tcos= pvn tcos=

cp

cv

n tcos

pv RT=

pRTv

-------=RTv

------- vn tcos= T vn 1– tcos=

vRTp

-------= pRTp

-------� ��

n

tcos=T

pn 1–

n------------

----------- tcos=

qδ cdT= p vd�–

v pd� v pd1

2

� p1v1n pvn= v p1

1 n/ v1 p 1 n/–=

PRIMO PRINCIPIO PER I SISTEMI APERTI


(24)

che, se il fluido è un gas perfetto, si può scrivere

(25)

TRASFORMAZIONE ADIABATICA REVERSIBILE . In questo caso risulta

per cui

L’equazione caratteristica è dunque

(26)

Per l’aria e per molti gas poliatomici mentre per i gas monoatomici vale

Inoltre, sostituendo semplicemente ad risulta

calcolato lungo un’adiabatica reversibileAltri casi particolari di politropica sono i seguenti- isobara

- isocora

- isoterma


Abbiamo visto che il sistema chiuso non ammette trasferimenti di massa attraverso isuoi confini; il sistema può solo scambiare energia come esso passa da uno stato adun altro. Adesso consideriamo il sistema aperto, nel quale la massa può entrare eduscire da un certo volume nello spazio.

IL VOLUME DI CONTROLLO. Per studiare i sistemi aperti, introduciamo il con-cetto di volume di controllo. Questo volume è una regione dello spazio da osservarerispetto alla materia e all’energia che attraversano i suoi confini.Consideriamo dapprima il principio di conservazione della massa, che si può scrivere

massa entrante in = massa uscente da + incremento di massa in

p11 n/ v1 p 1 n/– pd

1

2

� p11 n/ v1

11n---– 1+

-----------------p1n---– 1+

1

2

nn 1–------------p1

1 n/ v1p1

n 1–n

------------ p2

p1-----

� ��

n 1–n

------------1–= =

v pd1

2

�n

n 1–------------p1v1

p2

p1-----

� ��

n 1–n

------------1–=

v pd1

2

�n

n 1–------------RT1

p2

p1-----

� ��

n 1–n

------------1–=

cqδ

dT------ 0= = n

cp c–

cv c–-------------

cp

cv---- γ= = =

pvγ pργ----- tcos= =

γ 1.4=

γ 1.6=

γ n

v pd1

2

�γ

γ 1–-----------RT1

p2

p1-----

� ��

γ 1–γ

-----------1–=

p tcos= c cp= n 0=

v tcos= c cv= n ∞=

T tcos= pv tcos= c ∞= n 1=

σ σ σ m· i

me·

dmdτ-------

� ��

σ

σ

m· i m· e τddm

� ��

σ+=

TERMODINAMICA

18

dove è la massa entrante nell’unità di tempo nel volume di controllo, è la

massa uscente nell’unità di tempo dal volume di controllo e indica l’accu-

mulo di massa nell’unità di tempo all’interno del volume di controllo. Nel caso diingressi e uscite multiple, occorre eseguire una sommatoria estesa a tali flussi perdeterminare il bilancio di massa

(27)

Prima di passare all’analisi energetica di un volume di controllo, consideriamo quali-tativamente cosa accade a una data quantità di massa che attraversa il volume di con-trollo, cioè, il comportamento di un sistema termodinamico chiuso che subisce unprocesso che lo porta ad attraversare il volume di controllo. Il sistema termodinamicochiuso potrà subire effetti di pressione dalle vicinanze, trasmettere calore attraverso isuoi confini, e subire l’azione di forze che producono lavoro. L’energia interna E delsistema chiuso potrebbe cambiare come risultato del suo spostamento da una posi-zione ad un’altra e, forse, per una variazione della sua velocità. Indipendentementeda ciò, possiamo certamente analizzare il sistema mediante il principio di conserva-zione dell’energia. Inoltre la massa totale entrante e uscente dal volume di controllo

può essere pensata come un gruppo di elementi di massa , ovvero, un gruppo dipiccoli sistemi termodinamici chiusi. Possiamo perciò considerare che le masseentrante e uscente dal volume di controllo trasportino energia interna attraverso i con-fini del volume di controllo.Così il principio di conservazione dell’energia per questo tipo di sistema è

(28)

dove ed rappresentano l’energia trasportata nell’unità di tempo

all’ingresso e all’uscita, rispettivamente, e indica la variazione di energia

all’interno di

LAVORO SI SPOSTAMENTO DEL FLUIDO. L’equazione precedente puòessere utilizzata per analizzare i sistemi aperti, ma il termine lavoro viene usualmenteespresso in una forma più utile. Come passo intermedio per sviluppare tale espres-sione, consideriamo di nuovo il volume di controllo. É da notare che, affinché lamassa attraversi il volume di controllo, ci deve essere una forza che la spinga. Questaforza è fornita dalla pressione del sistema. Immaginiamo una massa contenuta in unvolume di area e lunghezza . Per spostare questa massa, dentro e fuori il

volume di controllo, dobbiamo esercitare una forza per la distanza . Indipen-

dentemente dalla quantità di massa, sarà dato da

cosicchè il lavoro di spostamento è

m· i m· e

τddm

� ��

σ

Σ im· i τddm

� ��

σΣem· e+=

dm

dEdτ-------

� ��

σ

e-------Leδ

dτ--------

m· e

ee

σ

energia interna entrante in σ +

calore scambiato da σ con l esterno +

lavoro fatto su tutt i gli elementi che attraversano σ

=

incremento di energia interna in σ +

energia interna uscente da σ

τd

dmi ei

Qeδτd

---------Leδτd

--------+ +dEdτ-------

� ��

σ=

dme

dτ--------- ee+

m· iei m· eee

dEdτ-------

� ��

σ

σ

A s∆

∆s

pAV A

pA s∆s∆

s∆ VA---=

L F sd� F s∆ pA VA--- pV= = = =



Il lavoro netto fatto sul sistema che si sposta dalla sezione di ingresso a quella di

uscita , a meno del lavoro esterno, è

(29)

dove il termine è il lavoro fatto sul fluido per forzarlo dentro il volume di con-

trollo e il termine il lavoro per forzare il fluido fuori dal volume di controllo.

Il termine viene chiamato lavoro di spostamento, ed è prassi considerarlo separa-tamente dal lavoro scambiato con oggetti esterni al volume di controllo.L’equazione dell’energia può allora essere scritta nella forma

dove è il lavoro fornito al volume di controllo da forze esterne. Questa quantità

viene anche chiamata lavoro interno (oppure shaft work) ed è frequentemente scam-biata attraverso un albero rotante (ad esempio una turbina).Ricordiamo ancora una volta che l’energia interna si compone dell’energia interna

termica , dell’energia potenziale gravitazionale, dell’energia cinetica, ecc. Per con-

venienza introduciamo l’entalpia, definita come per cui l’equazionegenerale dell’energia per un sistema aperto si può scrivere

e nel caso di ingressi e uscite multipli

Per fortuna in molti problemi questa formulazione generale si semplifica notevol-mente.

FLUSSO STAZIONARIO. Se il sistema aperto si trova in condizioni stazionarie,allora non ci sono variazioni all’interno del volume di controllo con il tempo; così

e . In questa circostanza la portata in massa non cambia con

il tempo, per cui , cosicchè

(30)

Dividendo, entrambi i membri, per la portata in massa , si ha

(31)

Per una trasformazione elementare

É possibile trovare ancora una espressione del primo principio, che mette in evidenzale perdite che si hanno in una trasformazione, ricorrendo di nuovo al principio di con-servazione dell’energia in un sistema chiuso. Si è già visto che

ma, per la definizione di entalpia, è

per cui

i

e

Lnet to piVi peVe–=

piVi

peVe

pV

m· i ei pivi+( )Qeδτd

---------Liδτd

-------+ +dEdτ-------

� ��

σm· e ee peve+( )+=

Li

e

u

h u pv+=

m· i h eg ec ech ....+ + + +( )i

Qeδτd

---------Liδτd

-------+ +dEdτ-------

� ��

σm· e h eg ec ech ....+ + + +( )e+=

Σi m· i h eg ec ech ....+ + + +( )i

Qeδτd

---------Liδτd

-------+ +dEdτ-------

� ��

σΣe m· e h eg ec ech ....+ + + +( )e+=

dEdτ-------

� ��

σ0=

dmdτ-------

� ��

σ0=

m· i m· e m·= =

Qeδτd

---------Liδτd

-------+ m· h eg ec ech ....+ + + +( )e h eg ec ech ....+ + + +( ) i–[ ]=

m·

qe li+ h∆ eg∆ ec∆ ...+ + +=

qeδ lδ i+ dh deg dec ...+ + +=

qδ e lwδ+ du pdv+=

dh d u pv+( ) du pdv vdp+ += =

qeδ lwδ+ dh vdp–=

TERMODINAMICA

20

Eliminando il termine si ottiene

e integrando

(32)

Questa formulazione del 1º principio, valida per i sistemi aperti in moto stazionario,ha il pregio di presentare un bilancio di grandezze tutte meccaniche.

N.B. La somma dei termini calore massico scambiato con l’esterno, e lavoro

dissipato in attrito e quindi in calore, rappresenta il calore netto che un sistema riceve

. (33)

Nel caso in cui il sistema si trovi allo stato liquido l’espressione (32) si può semplifi-care. Infatti i liquidi, in prima approssimazione, si possono considerare incompressi-

bili cioè oppure . In tal caso il volume specifico può essereportato fuori dal segno di integrale e l’equazione (32) diventa

(34)

(35)

CICLO TERMODINAMICO

É una sequenza di trasformazioni (con scambio di calore e lavoro con l’esterno) cheriportano una data massa di fluido al suo stato iniziale.Applicando il 1º principio per i sistemi chiusi all’unità di massa che percorre il cicloritornando al suo stato iniziale

Se invece si applica il 1º principio per i sistemi aperti, a un volume di controllo checontenga l’impianto che realizza il ciclo, dall’inizio alla fine del ciclo si ottiene

Risulta quindi che il lavoro esterno e quello interno coincidono in quanto il lavoro dispostamento è nullo. Scriveremo

(36)

Se ora, contrariamente alla convenzione adottata, consideriamo positivo il lavoroottenuto dal sistema termodinamico, si ha

(37)

Le sommatorie vanno estese a tutte le fasi del ciclo in cui si ha scambio di calore e dilavoro. In generale in un ciclo vi è una somministrazione di calore da una sorgente

esterna e una cessione di calore ad un’altra sorgente esterna a temperatura più

bassa . Per cui il lavoro netto ottenuto in un ciclo per unità di massa che l’attra-

versa è

(38)

Se si moltiplica per la portata in massa che percorre il ciclo si ottiene la relazione fra

la potenza ottenuta dal ciclo e le potenze termiche fornita e sottratta

(39)

dh

liδ lwδ vdp deg dec ...+ + + +=

li v pd� lw eg∆ ec∆ ...+ + + +=

qe lw

qe lw+ qe qw+ q= =

v cost= ρ cost=

li v∆p lw eg∆ ec∆ ...+ + + +=

li v p2 p1–( ) lw g z2 z1–( )c2

2 c12–

2---------------- ...+ + + +=

Σqe Σle+ e∆ 0= =

Σqe Σli+ h∆ ec∆ eg∆+ + 0= =

Σqe Σl+ 0=

Σqe Σ l– 0=

q1

q2

l q1 q2–=

m· q1 m· q2

P m· q1 q2–( )=

SECONDO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA


DIAGRAMMI TERMODINAMICI

DIAGRAMMA DI CLAPEYRON. pressione - volume massicoConsente di rappresentare il lavoro scambiato con l’esterno lungo una trasforma-zione. Consideriamo una compressione reversibile 1-2. L’area sottesa dalla trasfor-

mazione sull’asse delle ascisse è pari a , per cui rappresenta il lavoro esterno

. L’area sottesa dalla trasformazione sull’asse delle ordinate è pari a , per cui

rappresenta il lavoro interno . La differenza tra i due lavori è il lavoro di sposta-

mento del fluido

(40)

Nel caso in cui la trasformazione ritorna alle condizioni iniziali, percorrendo un ciclo,il lavoro di spostamento si annulla ed coincide con

(41)


INTRODUZIONE

Finora abbiamo applicato il I principio della termodinamica, o principio di conserva-zione dell’energia, a trasformazioni di sistemi chiusi e aperti. Come sappiamo, l’ener-gia é una proprietà che si conserva (può trasformarsi da una forma all’altra) e nessunprocesso può aver luogo in violazione del primo principio. Perciò, si dice, ragione-volmente, che affinché una trasformazione avvenga deve soddisfare il primo princi-pio. Comunque, come vedremo subito, soddisfare solamente il primo principio nonassicura che una trasformazione abbia effettivamente luogo.

L’esperienza comune é che una tazza di caffè caldo posta in una stanza più fredda allafine si raffredda. Questa trasformazione soddisfa il primo principio perché la quantitàdi energia persa dal caffè é uguale alla quantità guadagnata dall’aria circostante.Adesso consideriamo il processo inverso - il caffè caldo diventa sempre più caldo inuna stanza più fredda per effetto della trasmissione di calore dall’aria della stanza allatazza. Sappiamo che questo processo non avrà mai luogo. Tuttavia, facendo così nonsi violerebbe il primo principio fintantochè la quantità di energia perduta dall’aria éuguale alla quantità guadagnata dal caffè.Come altro esempio, consideriamo il riscaldamento di una stanza mediante il passag-gio di corrente attraverso una resistenza elettrica. Di nuovo, il primo principio dettache la quantità di energia elettrica fornita alla resistenza sarà uguale alla quantità dienergia trasmessa alla stanza come calore. Adesso tentiamo di invertire il processo.Non sarà una sorpresa scoprire che trasferendo del calore alla resistenza non genereràun’equivalente quantità di energia elettrica, anche se non viene violato il primo prin-cipio.É chiaro dagli esempi riportati che le trasformazioni avvengono in una certa dire-zione e non in direzione opposta. Il primo principio non pone restrizioni sulla dire-zione di una trasformazione, ma soddisfare il primo principio non assicura che quellatrasformazione si realizzerà. Questa inadeguatezza del primo principio a identificarese un processo può aver luogo viene rimediata introducendo un altro principio gene-rale, il secondo principio della termodinamica.

p vd1

2

�–

le v pd1

2

�li

p

v

1

2A

B

C DO

le li p1v1 p2v2–+=

p vd1

2

�– v pd1

2

� p1v1 p2v2–+= C21D A21B OB1D OA2C–+=

le li

pdv�°– vdp�°=

p

v

TERMODINAMICA

22

Comunque l’utilità del secondo principio non è sono nell’identificare la direzionedelle trasformazioni ma, come vedremo, anche nello stabilire che l’energia possiedequalità e non solo quantità. Il I principio si occupa di quantità di energia e delle tra-sformazioni di energia da una forma a un’altra senza riguardo alla loro qualità. Il II principio è anche utilizzato per determinare i limiti teorici delle prestazioni deisistemi ingegneristici come le macchine termiche e le macchine frigorifere.

RISERVE DI ENERGIA TERMICA

Nel trattare il II principio della termodinamica è conveniente disporre di un corpoipotetico con una grande capacità termica che sia in grado di fornire o assorbire quan-tità finite di calore senza cambiare di temperatura. Tale corpo viene chiamato unariserva (reservoir) di energia termica. In pratica, grandi masse di acqua, come il mare,i laghi, i fiumi, come pure l’aria atmosferica possono essere considerate delle riservedi energia termica.Una riserva che fornisce energia sotto forma di calore viene chiamata sorgente ter-mica mentre una riserva che riceve energia sotto forma di calore si chiama pozzo ter-mico.La traduzione di reservoir con riserva non è molto felice, sarebbe più corretto tra-durre con serbatoio che però non è utilizzato nel nostro linguaggio con questo signifi-cato. Si preferisce riferirsi a queste grandi capacità termiche con il termine disorgente, intendendo sia la sorgente vera e propria che il pozzo, e distinguendo tra ledue come sorgente termica ad alta temperatura e sorgente termica a bassa tempera-tura.

MACCHINE TERMICHE

Il lavoro può essere convertito facilmente in altre forme di energia ma convertire altreforme di energia in lavoro non è così facile. Per esempio, se introduciamo un frulla-tore in un liquido, il lavoro fatto sul liquido andrà ad aumentare la sua energiainterna. Vicerversa se aumentiamo l’energia interna del liquido attraverso un trasferi-mento di calore dall’esterno non per questo il frullatore si metterà a girare. La conclu-sione è che il lavoro si può convertire direttamente e completamente in energiatermica mentre per convertire quest’ultima in lavoro occorrono dispositivi speciali.Questi dispositivi sono le macchine termiche.Le macchine termiche sono molto diverse tra di loro ma tutte possono essere caratte-rizzate nella maniera seguente:

1. Ricevono calore da una sorgente ad alta temperatura (energia solare, combustione di un combustibile, reattore nucleare)

2. Convertono parte di questo calore in lavoro (usualmente nella forma di un albero rotante).

3. Scaricano il calore rimanente a una sorgente a bassa temeperatura (l’atmosfera, un fiume, ecc.)

4. Operano in un ciclo.Le macchine termiche usualmente fanno uso di un fluido, che opera nel ciclo, cheviene chiamato fluido di lavoro.Come esempio consideriamo un impianto motore a vapore.Il fluido di lavoro è acquache passa dallo stato liquido a quello di vapore e viceversa. Una pompa fornendo

lavoro dall’esterno comprime il liquido inviandolo al generatore di vapore dove

appunto avviene il cambiamento di fase introducendo il calore per mezzo di una

sorgente esterna. Il vapore ad elevata temperatura e in pressione si espande in unaturbina che fornisce all’esterno il lavoro . Il vapore scaricato dalla turbina deve

essere inviato al condensatore, che sostanzialmente è uno scambiatore di calore, doveil vapore viene appunto condensato sottraendo il calore utilizzando come pozzo

termico l’aria atmosferica o l’acqua, per esempio, di un fiume.

Da notare che la direzione delle interazioni calore e lavoro sono state indicate con

per quelle in ingresso e per quelle in uscita e quindi sono grandezze positive.

L1

Q1

L2

Q2

1

2



Il lavoro netto che il sistema esegue sull’esterno è dato dalla differenza

Applichiamo il primo principio. E’ indifferenre applicare il I principio per i sistemiaperti o per i sistemi chiusi. Entrambi, trattandosi di un ciclo, portano alla stessa con-clusione:

(42)

Rendimento termico

rappresenta la quantità di calore trasferito all’esterno, e quindi dissipato, per

completare il ciclo ed esso è sempre diverso da zero. Quindi il lavoro ottenuto è sem-pre minore dell’energia termica ricevuta, cioè solo una parte del calore trasmessodalla sorgente termica può essere convertito in lavoro. La frazione del calore ricevutoche viene convertita in lavoro è una misura della prestazione della macchina termicae viena chiamato rendimento termico .

Il rendimento, in generale, è il rapporto tra l’uscita desiderata e l’ingresso richiesto.Nelle macchine termiche l’uscita desiderata è il lavoro netto e l’ingresso necessario èil calore introdotto. Quindi

(43)

che si può anche scrivere

(44)

Il rendimento termico nei moderni impianti motori al massimo arriva al 60% e ciòsignifica che nei casi migliori si dissipa il 40% dell’energia introdotta.

Si può risparmiare ?

Purtroppo no. Per rendersene conto lo dimostriamo utilizzando una macchina termicasemplice.Consideriamo il sistema chiuso contenuto nel cilindro illustrato in figura. Il gas si

trova inizialmente a . Successivamente viene posto in contatto con una sor-

gente termica a ricevendo di calore. Il sistema si espande, perché éaumentata la sua energia interna, sollevando lo stantuffo con il peso e compiendo,

quindi, lavoro sull’esterno, nella quantità di . Tolto il peso se si riesce a fartornare nelle condizioni iniziali il sistema si può ripetere il ciclo e sollevare un altro

peso. Per raggiungere lo scopo si potrebbero trasferire alla sorgente esterna a

facendo così ritornare il sistema a . Ciò, sappiamo dall’esperienza, èimpossibile per cui er tornare alle condizioni di partenza occorre allora introdurre

L L2 L1–=

L Q1 Q2–=

T

generatore

pompacondensatore

alternatore

turbina

a

b

c

d

ee

f

di vaporeL2

Q1

Q2

L1

Q2

ηter

ηterL

Q1------=

ηter 1Q2

Q1------–=

Q2

30°C

100°C 100 kJ

15 kJ

85 kJ

100°C 30°C

TERMODINAMICA

24

un’altra sorgente, a temperatura più bassa, per esempio a , a cui cedere gli

.

Postulato di Kelvin-Planck

L’impossibilità nelle macchine di utilizzare tutto il calore ricevuto forma la base delpostulato di Kelvin-Planck del II principio della termodinamica:

É impossibile che una macchina, che operi in un ciclo, scambi calore con una sin-gola sorgente termica e produca una quantità netta di lavoro.

Un altro modo per esprimere questo postulato è che nessuna macchina termica puòavere un rendimento del 100%Da notare che tale limitazione non è dovuta ad attriti o altri effetti dissipativi e siapplica quindi anche alle macchine termiche ideali.

MACCHINE FRIGORIFERE

L’esperienza ci dice che il calore si trasmette spontaneamente da un mezzo ad altatemperatura ad un altro a bassa temperatura. Il processo inverso, che non può svol-gersi da solo, richiede dispositivi speciali chiamati frigoriferi.I frigoriferi, come le macchine termiche, sono delle macchine cicliche. Il fluido dilavoro utilizzato nel ciclo frigorifero si chiama refrigerante. Il ciclo frigorifero piùusato è il ciclo frigorifero a compressione, costituito da 4 elementi: un compressore,un condensatore, una valvola di espansione e un evaporatore

20°C

85 kJ

GAS

30°C 90°C 30°C

30°C

100°C

20°C

GAS

GAS

GAS

100 kJNO

SI85 kJ

15 kJ

85 kJ

100°C

condensatore

evaporatore

compressorevalvola

espansione

Q2

Q1

L

800 kPa30°C

120 kPa25°– C

120 kPa20°– C

800 kPa60°C

ambiente refrigerato

aria ambiente



Il refrigerante entra nel compressore sotto forma di vapore dove viene compressofino alla pressione di condensazione. Il vapore lascia il compressore ad una tempera-tura relativamente alta ed attraversa il condensatore dove scambiando calore conl’ambiente esterno viene raffreddato e condensato. La condensa viene quindi espansain un tubo capillare (valvola di espansione) subendo una drastica riduzione di tempe-ratura. Il refrigerante a bassa temperatura entra quindi nell’evaporatore dove evaporaricevendo calore dall’ambiente refrigerato. Lasciando l’evaporatore e rientrando nelcompressore il refrigerante completa il suo ciclo.Nel frigorifero domestico, il comparto del ghiaccio dove il calore viene estratto dalrefrigerante, funge da evaporatore, e la serpentina dietro il frigorifero, dove il caloreviene trasmesso alla stanza, funge da condensatore.

è la quantità di calore rimossa dallo spazio refrigerato alla temperatura men-

tre è la quantità di calore scaricata nell’ambiente caldo alla temepratura . è

il lavoro firnito al ciclo.

Coefficiente di prestazione

Il rendimento di un frigorifero viene espresso in termini di coefficiente di prestazione

( ). Il compito del frigorifero è di rimuovere il calore dallo spazio raffred-

dato ricevendo dall’esterno il lavoro . Il COP del frigorifero si può esprimere come:

(45)

Il principio di conservazione dell’energia richiede che in un ciclo

per cui il COP si può anche scrivere

(46)

Da notare che COP può essere maggiore di uno, cioè la quantità di calore rimossodallo spazio refrigerato può essere più grande del lavoro assorbito. Questa è laragione per cui si utilizza la dizione COP invece di rendimento, per non avere il casosingolare di un rendimento maggiore di uno.

Pompe di calore

Un altro dispositivo che trasferisce calore da un mezzo a bassa temperatura a un altroad alta temperatura è la pompa di calore. I frigoriferi e le pompe di calore utilizzanolo stesso ciclo ma hanno obiettivi diversi. La pompa di calore ha l’obiettivo di mante-nere uno spazio riscaldato ad alta temperatura assorbendo calore da una sorgente abassa temperatura, come acqua di pozzo o aria fredda esterna, e fornendo questocalore a un ambiente ad alta temperatura come un’abitazione.Un frigorifero posto sulla finestra di una casa con la sua porta aperta all’aria freddaesterna funzionera come una pompa di calore perchè cerchera di raffreddare l’esternosottraendogli calore e trasferendolo all’abitazione.Anche le prestazioni di una pompa di calore vengono espresse attraverso il coeffi-

ciente di prestazione definito come:

(47)

che si può anche esprimere come

(48)

Q2 T2

Q1 T1 L

COPR Q2

L

COPRuscita desiderata

ingresso richiesto--------------------------------------------------

Q2

L------= =

L Q1 Q2–=

COPR

Q2

Q1 Q2–-------------------

1Q1

Q2------ 1–

---------------= =

COPHP

COPHPuscita desiderata

ingresso richiesto--------------------------------------------------

Q1

L------= =

COPHP

Q1

Q1 Q2–-------------------

1

1Q2

Q1------–

---------------= =

TERMODINAMICA

26

Dal confronto con la (46) risulta

(49)

per valori costanti di e . Ciò implica che il COP di una pompa di calore è sem-

pre maggione del COP di un frigorifero in quanto è una quantità positiva.

Postulato di Clausius.

É impossibile costruire un dispositivo, che operi in un ciclo, che abbia come unicoeffetto di trasferire calore da un corpo a più bassa temperatura a un corpo a più altatemperatura.Si può dimostrare l’equivalenza tra il postulato di Kelvin e quello di Clausius equindi entrambi possono essere considerati come espressione del secondo principiodella termodinamica che, in quanto principio, non viene dimostrato. Ma, al pari delprimo principio, nessuna osservazione sperimentale l’ha mai negato.Riprendendo l’esempio della macchina termica semplice il ciclo, oltre a presentareun rendimento del 100%, produrrebbe lavoro scambiando calore con una sola sor-gente termica e inoltre trasferirebbe calore dal sistema a temperatura più bassa allasorgente a temperatura più alta senza aver speso nulla.Vengono quindi contraddetti sia il postulato di Kelvin che quello di Clausius.Sono stati brevettati nel passato, anche se non mancano esempi recenti, motori conrendimenti del 100%, come ad esempio l’impianto motore a gas seguenteLa pretesa é che, una volta avviato il sistema, fornendo energia elettrica alla resi-stenza R per introdurre il calore al ciclo, l’impianto é in grado di funzionare auto-

nomamente (perpetuum mobile). In realtà l’impianto non può creare energia e quindinon può funzionare. Applicando il primo principio

che é impossibile in quanto in un ciclo. Si tratta, quindi, di un perpetuummobile di I specie perché viola il I principio della termodinamica.Un altro esempio di perpetuum mobile é rappresentato in figura

Il calore scambiato con l’esterno é questa volta positivo per cui risulta verificato il Iprincipio

che fornisce , ma viene violato il II principio perché il ciclo scambia calore

con una sola sorgente termica. Si parla allora di perpetuum mobile di II specie.

TRASFORMAZIONI REVERSIBILI E IRREVERSIBILI

Il secondo principio della termodinamica stabilisce che nessuna macchina termicapuò avere un rendimento del 100%. Allora ci può chiedere qual é il rendimento piùalto che si può ottenere. Prima di rispondere a questa domanda é necessario definirecos’è una trasformazione ideale o reversibile.

Una trasformazione (o processo) reversibile é quella trasformazione che può svol-gersi in senso inverso senza lasciare traccia sull’esterno (surroundings). Cioè, sia ilsistema che l’esterno ritornano al loro stato iniziale alla fine della trasformazioneinversa. Ciò é possibile solo se il calore e il lavoro netti scambiati con l’esterno sononulli per la trasformazione combinata (diretta e inversa).Una trasformazione che non é reversibile si dice irreversibile.Occorre sottolineare che un sistema può essere riportato al suo stato iniziale a seguitodi una trasformazione reversibile o irreversibile, con la differenza che nel primo casonon si verifica alcuna variazione netta sull’esterno, mentre nel secondo caso l’esternoscambia normalmente del lavoro con il sistema e perciò non ritorna al suo stato diorigine.

COPHP COPR 1+=

Q1 Q2

COPR

L

Q2

Q1

Q1

Q– 2 L– ∆E=

∆E 0=L

Q1

Q1 L– 0=

L Q1=



Le trasformazioni reversibili non si verificano in natura. Sono semplicemente idealiz-zazioni di processi reali. Possono essere interpretate come limiti teorici per le corri-spondenti trasformazioni irreversibili.I fenomeni che rendono un processo irreversibile si chiamano irreversibilità. Essiincludono l’attrito, il mescolamento di due gas, la trasmissione del calore con diffe-renze finite di temperatura, il riscaldamento di una resistenza elettrica, la deforma-zione anelastica dei solidi, le reazioni chimiche, le onde d’urto nei gas, ecc.

ESEMPI

ATTRITO. L’attrito é una familiare forma di irreversibilità associata a corpi inmovimento (solidi, liquidi o gassosi).

TRASMISSIONE DEL CALORE. Il sistema si può riportare alla temperatura diorigine ma occorre fornire del lavoro dall’esterno. Poiché solo il sistema, e nonentrambi, il sistema e l’esterno, é stato riportato alla sua condizione iniziale, la tra-smissione del calore attraverso una differenza finita di temperatura é un processoirreversibile.La trasmissione di calore può solo avvenire quando c’è una differenza di temperaturatra il sistema e l’esterno

Perciò é fisicamente impossibile un processo di trasferimento del calore reversibile.Può però essere pensato come un processo ideale in cui la differenza di temperatura

tende al limite ad annullarsi per .

PROCESSI INTERNAMENTE E ESTERNAMENTE REVERSIBILI

Un processo é un’interazione tra un sistema e l’esterno e un processo reversibile nonpresenta irreversibilità associate a ciascuno di essi.Una trasformazione si chiama internamente reversibile se non si manifestano irrever-sibilità all’interno dei confini del sistema durante la trasformazione.Una trasformazione é esternamente reversibile se non si manifestano irreversibilitàall’esterno dei confini del sistema durante la trasformazione.Una trasformazione si dice totalmente reversibile o semplicemente reversibile se nonvi sono irreversibilità all’interno del sistema e all’esterno durante la trasformazione.

IL CICLO DI CARNOT

A questo punto proviamo a riprendere in considerazione il problema di individuarequal è il rendimento massimo del ciclo percorso da una macchina termica.

GAS

attritocalore( ) attrito

calore( )

20°C5°C 5°C

20°C20°C

20°C

dT 0→

TERMODINAMICA

28

In base a quanto detto il ciclo che presenta il massimo rendimento sarà un ciclo rever-sibile cioè composto da trasformazioni tutte reversibili e quindi senza perdite.Probabilmente il ciclo reversibile più noto è il ciclo di Carnot eseguito in una mac-china teorica chiamata macchina termica di Carnot. Il ciclo di Carnot è costituito daquattro trasformazioni reversibili: due isoterme e due adiabatiche. In particolare abbiamo due trasformazioni di compressione: la 1-2 adiabatica e la 2-3isoterma; e due di espansione: la 3-4 isoterma e 4-1 adiabatica. Il lavoro netto fattodal ciclo è pari alla differenza tra i lavori di espansione e quelli di compressione ecorrisponde all’area, nel piano p-v, interna la ciclo.Il ciclo essendo reversibile può essere percorso anche in senso inverso (antiorarioanzichè orario) che quindi diventa il ciclo frigorifero di Carnot.

I PRINCIPI DI CARNOT

Partendo dai postulati di Kelvin e Clausius si possono trarre due conclusioni circa ilrendimento di cicli reversibili e cicli irreversibili. Queste conclusioni sono conosciutecome principi di Carnot e sono espressi nella maniera seguente:

1. Il rendimento di un ciclo irreversibile è sempre minore del rendimento di un ciclo reversibile che operi tra le stesse sorgenti termiche.

2. I rendimenti di tutti i cicli reversibili che operino tra due stesse sorgenti termiche sono gli stessi.

Questi due enunciati possono essere provati dimostrando che la violazione dell’uno odell’altro porta a violare il secondo principio della termodinamica.

LA SCALA TERMODINAMICA DELLE TEMPERATURE

Al fine di misurare la temperatura di un corpo si sfrutta la variazione di diverse pro-prietà, prevedibile e ripetibile, che presentano molti materiali al variare della tempe-ratura. Per esempio, il termometro a mercurio sfrutta la dilatabilità del mercurio conla temperatura. Utilizzando alcuni stati facilmente riproducibili, come il punto di con-gelamento e il punto di ebollizione dell’acqua, è quindi possibile costruire una scala,convenzionale, delle temperature. Nel sistema SI si usa la scala Celsius generataassegnando il valore 0 alla temperatura del ghiaccio fondente e il valore 100 alla tem-peratura di ebollizione dell’acqua, sempre alla pressione atmosferica, e suddividendoquesto intervallo in 100 parti. L’unità su questa scala viene definita grado Celsius che

ha il simbolo . Il problema con questa scala è che per temperature esterne a questointervallo non vi sono stati riproducili dell’acqua per cui la misura verrebbe determi-nata per estrapolazione.Un miglioramento si ottiene con il termometro a gas. Si tratta di un recipiente avolume costante, riempito di gas, usualmente idrogeno o elio, a bassa pressione. Sisfrutta il principio che a bassa pressione la temperatura di un gas è proporzionale allapressione se il volume è costante, cioè si ha

in cui le costanti e vengono determinate sperimentalmente. Utilizzando diversigas e gli stessi punti di riferimento del ghiaccio fondente e di ebollizione dell’acquasi ottengono i risultati presentati nella figura. Al si sotto di una certa temperatura nonsi riesce ad andare, a causa della condensazione del gas, ma per estrapolazione siindividua la temperatura a cui si azzera la pressione e quindi rappresenta la minimatemperatura che il termometro a gas sarebbe in grado di misurare se il gas fosse ide-ale. Si individua così una scala assoluta di temperatura e per individuarla basterrebbequindi un solo punto di riferimento, essendo l’altro fisso. Convenzionalmente si èscelto come riferimento il punto triplo dell’acqua (lo stato in cui coesistono in equili-

brio tutte e tre le fasi) cui è stato assegnato il valore .Da quanto esposto emerge che sarebbe desiderabile una scala delle temperature chefosse indipendente dalle sostanze usate per misurare la temperatura. Il gas infatti con-densa a bassissime temperature e si dissocia ad altissime temperature.Una scala delle temperature che è indipendente dalle proprietà delle sostanze usateper misurare la temperatura viene chamata scala termodinamica delle temperature.

2

3Q1

Q2

v

p

4

1

T2

T1

°C

T a bp+=

a b

273.15– 0 T °C[ ]

p gas A

gas B

0.01°C



Deriviamo tale scala utilizzando delle macchine termiche reversibili.In base al secondo principio di Carnot, due macchine termiche purchè reversibili,hanno lo stesso rendimento se lavorano tra due uguali sorgenti termiche. Cioè, il ren-dimento è indipendente dal fluido di lavoro e dal modo in cui il ciclo viene eseguito.Poichè le sorgenti termiche sono caratterizzate dalla loro temperatura, il rendimentotermico delle macchine termiche reversibili è funzione soltanto delle temperaturedelle sorgenti. In formule

ovvero

con il solito significato dei simboli. Si dimostra, utilizzando delle macchine termichereversibili, che la funzione si può ulteriomente specificare separando le

variabili

Diverse funzioni delle temperature delle sorgenti soddisfano questa relazione e la

scelta è completamente arbitraria. Kelvin propose semplicemente perdefinire una scala termodinamica delle temperature tale che

(50)

Questa scala viene chiamata scala Kelvin e la temperatura su questa scala viene chia-mata temperatura assoluta. Su questa scala il rapporto delle temperature dipende solodal calore scambiato e non dalle proprietà delle sostanze. Su questa scala la tempera-tura varia tra 0 e infinito.Poichè è determinato solo il rapporto delle temperature occorre definire il valore diun kelvin. Nel sistema di misura SI si è assegnato il valore 273.16 K al punto triplodell’acqua, definendo il kelvin come 1/273.16 dell’intervallo di temperatura tra zeroe il punto triplo dell’acqua. da notare che l’unità di temperatura sulle scale Kelvin eCelsius sono identiche e che le due scale differiscono di una costante pari a 273.15

RENDIMENTO DEL CICLO DI CARNOT

Il rendimento termico di qualsiasi motore termico, reversibile o irreversibile, é datoda

(51)

Per motori termici reversibili (motore di Carnot)

(52)

che rappresenta il più alto rendimento di un motore termico operante tra due sorgenti

di energia termica a temperature e .

Qualità dell’energia

Supponendo che il calore venga scambiato con una sorgente a temperatura

al variare di si ottengono i rendimenti indicati in tabella

ηter g T1 T2,( )=

Q1

Q2------ f T1 T2,( )=

f T1 T2,( )

f T1 T2,( )φ T1( )φ T2( )--------------=

φ T( ) T=

Q1

Q2------

� ��

rev

T1

T2-----=

η 1Q2

Q1------–=

ηC 1T2

T1-----–=

T1 T2

Q2

T2 300 K= T1

TERMODINAMICA

30

i quali mostrano che all’energia può essere associata una qualità, oltre che una quan-tità. Infatti, più é alta la temperatura più l’energia termica può essere convertita inlavoro. Perciò, più é alta la temperatura più elevata é la qualità dell’energia.

LA DISEGUAGLIANZA DI CLAUSIUS

Sempre Clausius stabilì la seguente diseguaglianza

(53)

L’integrale ciclico di é sempre minore o uguale a zero. Il segno di uguaglianza si

ha per cicli totalmente reversibili e la disuguaglianza per cicli irreversibili.Si dimostra che negando questa diseguaglianza, cioè che l’integrale ciclico sia mag-giore di zero, viene violato il postulato di Kelvin e quindi il secondo principio.

Clausius scoprì che per un processo internamente reversibile la quantità rappre-

senta una proprietà del sistema, nel senso che non dipende dal tipo di trasformazionema solo dallo stato del sistema. Questa proprietà si chiama entropia

(54)

La variazione di entropia di un sistema durante una trasformazione si può determi-nare integrando

Per calcolare l’integrale é necessario conoscere in funzione di lungo la trasfor-mazione. Questa relazione spesso non é disponibile e l’integrale si può calcolare soloin pochi casi.

L’integrale di fornisce l’entropia solo se la trasformazione é internamente rever-

sibile. in una trasformazione irreversibile non é una proprietà. Perciò per tra-

sformazioni irreversibili la variazione di entropia si può calcolare ricorrendo aqualche conveniente trasformazione immaginaria internamente reversibile.Se la trasformazione internamente reversibile é isoterma

dove é la temperatura assoluta costante del sistema e la quantità di calore

scambiata.Da notare che la variazione di entropia di un sistema durante un processo interna-mente reversibile può essere positiva o negativa in ragione della direzione della tra-smissione del calore.

[K]

1000 70

800 62.5

700 57.1

500 40

350 14.3

T1 η

δQT

-------�° 0≤

δQT

-------

δQT

-------

dSδQT

-------� ��

int rev·

=kJK-----

∆S S2 S1–δQT

-------� ��

int rev1

2

�= =kJK-----

Q T

δQT

-------

δQT

-------�

∆S S2 S1–δQT0-------

� ��

int rev1

2

�1T0----- δQ( )int rev

1

2

�QT0-----= = = =

T0 Q



IL PRINCIPIO DELL’INCREMENTO DI ENTROPIA

Consideriamo un ciclo fatto di 2 processi: 1-2 qualsiasi e 2-1 internamente reversi-bile. Dalla disuguaglianza di Clausius

ma il secondo integrale é la variazione di entropia

da cui segue

(55)

questa equazione può essere vista come la formulazione matematica del II principio.In forma differenziale

dove l’uguaglianza vale per processi internamente reversibili e la disuguaglianza perprocessi irreversibili.La variazione di entropia di un sistema chiuso in una trasformazione irreversibile é

maggiore dell’integrale di . Nel caso limite di trasformazione reversibile le 2

quantità si uguagliano.

Da sottolineare che é la temperatura assoluta al confine dove il differenziale calore

viene trasmesso tra il sistema e l’esterno (surroundings).

La quantità rappresenta la variazione di entropia del sistema. Per un

processo reversibile é uguale a che rappresenta l’entropia trasferita

con il calore.

ANALOGIE CON IL PRIMO PRINCIPIO.

Il segno di disuguaglianza sta a ricordare che la variazione di entropia di un sistemachiuso in un processo irreversibile é sempre maggiore dell’entropia trasmessa. Cioèdell’entropia viene generata o creata in un processo irreversibile ed é solo dovuta alleirreversibilità. L’entropia generata in una trasformazione si chiama generazione dientropia oppure produzione di entropia

variazione entropia entropia trasmessa variazione energia energia trasmessa

solo processi reversibili qualsiasi processo

l’entropia viene trasmessa solo con il calore

l’energia si può trasmettere sotto forma di lavoro e calore

il calore scambiato é sempre accompa-gnato da un trasferimento di entropia

al lavoro scambiato non è associato un tra-sferimento di entropia

T

S

1

2

int rev

δQT

-------1

2

�δQT

-------� ��

int rev2

1

�+ 0≤

S1 S2–

δQT

-------1

2

� S1 S2–( )+ 0≤

∆S S2 S1–( ) δQT

-------1

2

�≥=

dSδQT

-------≥

δQT

-------

T

δQ

∆S S2 S1–=

δQT

-------� ��

int rev,1

2

�

∆S =δQT

-------� ��

int rev�

∆E = Q L–

Sgen sist, Sprod

TERMODINAMICA

32

in cui é una quantità positiva.

In un sistema isolato (sistema chiuso adiabatico) essendo si avrà

L’entropia di un sistema isolato durante una trasformazione aumenta sempre o, allimite, rimane costante (processo reversibile).Le relazioni viste possono essere scritte facendo riferimento a sistemi chiusi e aperti.Rimandando a corsi successivi tale studio, che prelude all’analisi di secondo princi-pio o exergetica dei sistemi, concludiamo questa parte sul secondo principio condelle relazioni, note come equazioni di Gibbs, molto utili per introdurre i diagrammientropici, quali il diagramma di Gibbs e quello di Mollier, di frequente uso nello stu-dio dei sistemi termodinamici.

EQUAZIONI DI GIBBS

Per determinare la variazione di entropia di un sistema occorre risolvere l’integrale

Se la trasformazione è anche isoterma l’integrazione è semplice, ma se la temperaturavaria occorre avere una relazione tra e per calcolare l’integrale.Per questo fine consideriamo l’equazione in forma differenziale della conservazionedell’energia applicata ad una trasformazione di quasi equilibrio internamente reversi-bile

ma e e quindi

oppure

(56)

per unità di massa. Questa è la prima equazione di Gibbs. La seconda equazione siottiene eliminando utilizzando la definizione di entalpia

(57)

Queste equazioni sono molto importanti perchè legano la variazione di entropia di unsistema alla variazione di altre proprietà del sistema. A differenza della (54), che valesolo per un processo internamente reversibile, le equazioni di Gibbs sono relazionifra proprietà e perciò sono indipendenti dal tipo di trasformazione. Quindi, sebbene la variazione di entropia sia stata valutata lungo una trasformazionereversibile, i risultati ottenuti sono validi sia per processi reversibili che irreversibilipoichè l’entropia è una proprietà e la variazione di una proprietà tra due stati è indi-pendente dal tipo di trasformazione che il processo subisce. Le equazioni di Gibbssono relazioni tra proprietà dell’unità di massa di un sistema comprimibile che subi-sce un cambiamento di stato ed esse sono applicabili sia che il sistema sia chiuso siache il sistema sia aperto.

Ricordando le equazioni (10) e (13) si ha

(58)

che mostra come la variazione di entropia di un sistema dipenda dal calore scambiatocon l’esterno e dal calore conseguente a fenomeni irreversibili interni al sistema

S2 S1–δQT

-------1

2

� Sgen sist,+=

Sgen sist,

δQT

-------� 0=

∆Sisol 0≥

∆S S2 S1–δQT

-------� ��

int rev1

2

�= =

δQ T

δQint rev δLint rev+ dU=

δQint rev TdS= δLint rev pdV–=

TdS dU pdV+=

Tds du pdv+=

du

Tds dh vdp–=

δqe δlw+ du pdv+ dh vdp–= =

Tds δqe δlw+=



VARIAZIONI DI ENTROPIA DEI GAS IDEALI

Utilizzando le equazioni di Gibbs si possono esprimere le variazioni di entropiaquando il sistema è un gas ideale. Utilizzando la prima equazione di Gibbs si ha:

e integrando tra stati estremi

. (59)

Utilizzando la seconda equazione si perviene al risultato

(60)

nel caso in cui si possano ritenere costanti e e pari a opportuni valori medi il

calcolo degli integrali è immediato.

DIAGRAMMA DI GIBBS. Temperatura - entropia

Si presta bene a rappresentare le quantità di calore in quanto . Una caratte-

ristica del diagramma entropico è che la sottotangente in un punto alla curva della tra-sformazione rappresenta la capacità termica massica, infatti

(61)

La trasformazione isoterma è rappresentata da una retta parallela all’asse delle entro-pie e una adiabatica isentropica da una retta parallela all’asse delle temperature.L’isocora e l’isobara del gas perfetto sono invece rappresentate da curve logaritmichela cui pendenza pertanto aumenta al crescere della temperatura

A parità di temperatura le isocore mostrano pendenza maggiore delle isobare,

dovendo essere la sottotangente delle prime inferiore a quella delle seconde

Giacché per i gas, anche se reali, ma lungi dall’isoterma critica, i calori specifici e

sono pressoché indipendenti dalla pressione, l’intera famiglia delle isobare - così

come quella delle isocore - incontra una stessa isoterma con una pendenza uguale pertutti gli elementi della famiglia. Ne consegue che tutte le curve isobare sono tra lorocongruenti (vale a dire sovrapponibili per semplice traslazione) e così pure tutte lecurve isocore.

In alcuni casi, sul diagramma , si può rappresentare anche il lavoro scambiatolungo una trasformazione. Consideriamo una compressione adiabatica reversibile, etrascuriamo, per semplicità, la variazione di energia cinetica. Il 1º principio ciinforma che il lavoro è allora pari alla variazione di entalpia

che essendo una funzione di stato dipende solo dagli estremi della trasformazione e

non dal percorso. Infatti, abbiamo visto che è comodo esprimere come

ds cvdTT

------ Rdvv

------+=

s2 s1– cv Td

T------

1

2

� Rv2

v1----ln+=

s2 s1– cp TdT

------1

2

� R– p2

p1-----ln=

cv cp

q T sd�=

T

s

P

αc

cT

tgα---------

TdTds------------

TdsdT---------

qδdT------= = = =

v tcos= dsqδ

T-----

duT

------= =pdv

T---------+ cv

dTT

------= s∆ cv

T2

T1-----ln=

s∂∂T

� ��

v

Tcv----=

p tcos= dsqδ

T-----

dhT

------= =vdp

T---------– cp

dTT

------= s∆ cp

T2

T1-----ln=

s∂∂T

� ��

p

Tcp----=

cv cp

cp

cv

T s, T

s

1

2

p1

p2

li T sd1′

2

�=

1′

qe li+ h∆=

h∆

h2 h1– cp T2 T1–( )=

TERMODINAMICA

34

cioè, come la quantità di calore che occorre fornire all’unità di massa, in una trasfor-

mazione a pressione costante, per aumentare la sua temperatura da a .

Nulla vieta di supporre inoltre che la trasformazione sia anche reversibile, per la

quale che rappresenta l’area cercata. Infatti, riassumendo, l’area sot-

tesa dal tratto di isobara compreso tra le temperature e , rappresenta la quantità

di calore che occorre fornire a per aumentare la temperatura dell’unità di

massa da a . Questa stessa quantità di calore è equivalente all’incremento di

entalpia tra e , e, per il 1º principio della termodinamica al lavoro di compres-

sione. Si procede in maniera del tutto analoga nel caso di compressione adiabaticanon reversibile.

IL DIAGRAMMA h, s. Un altro diagramma comunemente utilizzato è il dia-gramma entalpia-entropia, che è molto utile nell’analisi di sistemi in moto stazionario

come turbine, compressori, ugelli, ecc. Le coordinate di un diagramma rappre-sentano due proprietà di grande interesse: l’entalpia, che è una proprietà primarianell’analisi secondo il 1º principio di sistemi in moto stazionario e l’entropia che è laproprietà che tiene conto delle irreversibilità nei processi adiabatici. Nell’analizzareil flusso stazionario di vapore attraverso una turbina adiabatica, per esempio, la

distanza verticale tra gli stati di ingresso e di uscita ( ) è una misura del lavoro

della turbina e la distanza orizzontale ( ) è una misura delle irreversibilità associateal processo.

Il diagramma viene anche chiamato diagramma di Mollier dallo scienziato tede-sco (triestino?) R. Mollier. Il diagramma di Mollier per l’acqua si presenta come nellafigura a lato. Le curve limiti individuano la zona del vapore saturo. La curva limiteinferiore (c.l.i.) separa la regione del liquido da quella del vapor saturo; la curvalimite superiore (c.l.s.) separa la regione del vapore saturo da quella del vapore surri-

scaldato. Le due curve confluiscono nel punto critico a e

. Nella regione del vapore saturo sono tracciate linee a titolo x

costante

(62)

Le isobare nel piano hanno una pendenza che è pari alla temperatura. Infatti

per cui (63)

Nella regione del vapor saturo le isobare sono quindi rette (in quanto anche isoterme)con pendenza tanto più elevata quanto maggiore è la temperatura (e quindi anche lapressione). Nella regione del vapore surriscaldato, invece, esse piegano verso leentalpie crescenti, perché all’aumentare dell’entalpia (vale a dire con cessione dicalore dall’esterno) il fluido aumenta la sua temperatura a pressione costante. In cor-rispondenza della curva limite inferiore le rette isoterme-isobare del vapore saturo siraccordano dolcemente alle isobare della regione del liquido.A causa della scarsa comprimibilità del liquido, quest’ultime si confondono pratica-mente con la curva limite inferiore, fino a che la pressione non assume valori elevati.Tranne che in prossimità del punto critico, dunque, la famiglia delle isobare, nellaregione del vapor saturo, inviluppa con ottima approssimazione la c.l.i.Altra caratteristica del piano di Mollier è che il punto critico non si trova nel punto diordinata massima della curva limite, come avviene evidentemente nei piani e

, ma notevolmente più in basso. Ciò appare logico se si pensa che l’isobara el’isoterma critiche devono ammettere tangente comune (il punto critico appartieneanche alla regione del vapor saturo) e che tale tangente, che ha la massima pendenzae pari alla temperatura critica, deve essere tale per entrambe le curve limiti.

T1 ′ T1= T2

q T sd1′

2

�=

T1 T2

p tcos=

T1 T2

T1 T2

h s,

h∆s∆

h s,

h

s

c.l.i.

c.l.s.

p tcos=v tcos=

T tcos=

p tcos=

T tcos=

x tcos=

pc 221.3 bar=

Tc 647.4 K=

xmvap

mvap mliq+---------------------------=

h s,

Tds dh vdp–=h∂s∂

-----� ��

pT=

p v,T s,



POLITECNICO DI TORINO - DIPARTIMENTO DI ENERGETICA

ESERCITAZIONE N. 1 DI SISTEMI ENERGETICI

1. Sia un manometro a molla (tubo di Bourdon) che un manometro a U sono colle-gati ad un recipiente per misurare la pressione del gas all’interno. Se la lettura del

manometro a molla è , determinare la distanza tra tra i due livelli del liq-

uido del manometro ad U se il fluido è (a) mercurio ( ) o è (b)

acqua .

2. Un manometro ad U contenente olio ( ) è attaccato a un reci-pente contenente aria. Se la differenza di livello dell’olio tra le due colonne è

e la pressione atmosferica è determinare la pressione assoluta dell’aria nel recipiente. [101.75 kPa]

3. La metà inferiore di un contenitore cilindrico alto 10 m contiene acqua

( ) mentre la metà superiore olio ( ). Determi-nare la differenza di pressione tra il fondo e la sommità del cilindro. [90.7 kPa]

4. Una pentola a pressione cuoce più velocemente di una pentola normale perchè mantiene all’interno una pressione e una temperatura più elevate. Il coperchio della pentola è ben sigillato e il vapore può fuoriuscire solo attraverso un’apertura praticata sul coperchio. Un pezzo separato, di una certa massa, la valvola, siede su questa apertura e impedisce al vapore di sfuggire fino a quando la forza della pressione supera il peso della valvola. La fuoriuscita di vapore previene in tal modo aumenti di pressione potenzialmente pericolosi e mantiene la pressione all’interno della pentola a un valore costante. Determinare la massa della valvola di una pentola a pressione la cui pressione di funzionamento relativa è 100 kPa ed

ha una sezione di apertura sul coperchio di . Assumere una pressione

atmosferica di .

5. Un tubo trasparente verticale e aperto all’ambiente è collegato a un condotto in

cui fluisce acqua. Se la pressione dell’acqua è di e la pressione atmosfe-

rica è di determinare l’altezza a cui si porterà la colonna d’acqua nel tubo

trasparente. Assumere e .

6. La pressione in un pneumatico automobilistico dipende dalla temperatura

dell’aria contenuta nel pneumatico. Quando la temperatura dell’aria è la

pressione relativa all’ambiente è . Se il volume del pneumatico è

determinare l’aumento di pressione quando la temperatura dell’aria nel

pneumatico sale a . Determinare anche la quantità di aria che deve essere spillata per ripristinare la pressione al suo valore originale a questa temperatura. Assumere che la pressione ambiente sia .

7. L’aria in un pneumatico di automobile con un volume di e a e

di pressione relativa. Determinare la quantità di aria da introdurre per

aumentare al valore raccomandato di relativi. Assumere che la pres-

sione atmosferica sia e che la temperatura e il volume rimangano costanti. [0.0086 kg]

8. La pressione relativa in recipiente di contenente ossigeno è di .

Determinare la quantità di ossigeno nel recipiente se la temperatura è di e

la pressione atmosferica è

9. Un recipente di contenente aria a e è collegato attraverso

una valvola a un altro recipiente contenente di aria a e . Aperta la valvola si attende che l’intero sistema raggiunga l’equilibrio termico

con l’ambiente esterno a : Determinare il volume del secondo recipiente e la pressione di equilibrio finale dell’aria. [284.1 kPa]

80 kPa

ρ 13600 kg m3⁄=

ρ 1000 kg m3⁄=

ρ 850 kg m3⁄=

45 cm 98 kPa

ρ 1000 kg m3⁄= ρ 850 kg m3⁄=

4 mm2

101 kPa

115 kPa

92 kPa

g 9.8 m s2⁄= ρ 1000 kg m3⁄=

25°C

210 kPa

0.025 m3

50°C

100 kPa

0.015 m3 30°C

150 kPa

200 kPa

98 kPa

1.2 m3 500 kPa

24°C

97 kPa

1 m3 25°C 500 kPa

5 kg 35°C 200 kPa

20°C

TERMODINAMICA

36

10. Un contenitore rigido contiene aria a e . A seguito di uno scam-

bio termico con l’esterno la pressione e la temperatura si riducono a e

. Determinare il lavoro scambiato con l’esterno assumendo una trasfor-mazione di quasi-equilibrio.

11. Un dispositivo stantuffo-cilindro contiene aria inizialmente a e . In questo stato lo stantuffo poggia su degli arresti, come mostrato in figura, e il volume racchiuso è . La massa dello stantuffo è tale che una pres-

sione di è richiesta per muoverlo. L’aria viene quindi scaldata fino a

raddoppiarne il volume . Determinare la temperatura finale, il lavoro

fatto dall’aria e la quantità di calore introdotto. Assumere per l’aria i seguenti

valori medi: , .

12. Una stanza di 4x5x7 metri viene riscaldata da un radiatore del sistema di riscalda-

mento. Il radiatore trasferisce una potenza termica di , e un ventilatore

che assorbe una potenza di viene utilizzato per distribuire l’aria calda nella stanza. La potenza termica persa dalla stanza verso l’esterno è stimata pari a

. Se la temperatura iniziale della stanza è di , determinare quanto

tempo occorre per innalzare la temperatura dell’aria fino a . Assumere

,

13. Aria a e entra nel diffusore di un motore a reazione con una velo-

cità di . La sezione di ingresso del diffusore è di . L’aria lascia il diffusore con velocità trascurabile. Determinare (a) la portata in massa dell’aria e

(b) la temperatura di uscita. [ , ]

14. Aria a e viene compressa in condizioni stazionarie a e

. La portata in massa dell’aria è e il calore ceduto

all’esterno ammonta a . Assumendo trascurabili le variazioni

di energia potenziale e cinetica, calcolare la potenza assorbita dal compressore.

15. Una portata di 40 kg/min di acqua a 40 °C (densità 992 kg/m3) viene compressa adiabaticamente e reversibilmente da 7 bar a 70 bar in un processo stazionario. Calcolare la potenza assorbita dalla pompa assumendo che l’acqua sia all’incirca incompressibile. {P = 4.234 kW}

16. Un compressore aspira aria a 1 atm e 20 °C e la invia, a 3.5 atm e 7 m/s, in un condotto di 1 cm di diametro. Assumendo la compressione reversibile e adiaba-tica, calcolare la potenza assorbita dal compressore. [Velocità in ingresso al com-pressore trascurabile. Massa molecolare dell’aria = 28.97] {P = 205.3 W}

17. Elio viene espanso adiabaticamente e reversibilmente in una turbina da 400 kPa e 260 °C a 100 kPa. La velocità in ingresso alla turbina è trascurabile e la velocità

di uscita è 200 m/s. Calcolare il lavoro massico fornito.[

] { }

18. Aria [ ] viene espansa adiabaticamente e reversibil-mente in un condotto convergente da 1.5 MPa e 150 °C a 0.75 MPa. La velocità di ingresso è molto piccola, e il processo avviene in condizioni stazionarie. Calco-lare la velocità di uscita dal condotto. {c = 390.8 m/s}.

19. Una turbina espande elio [ ] adiabaticamente da

400 kPa e 260 °C a 100 kPa e 60 °C. La velocità di ingresso alla turbina è trascu-rabile, quella di uscita è 200 m/s. Calcolare il lavoro delle resistenze passive

.{ }.

20. Una turbina espande aria [ ] dalle condizioni 10 bar, 150 °C e 30 m/s alle condizioni 3 bar e 2 °C. Il diametro del condotto in cui sono state effettuate le misure è di 0.15 m, tanto per l’ingresso che per l’uscita. Ammet-

500 kPa 150°C

65°C

400 kPa

150 kPa 27°C

V1 200 l=

350 kPa

V3 2 V1=

R 287 J kgK⁄= cp 1.1 kJ kgK⁄=

1

2

V1 V3 V

p3

10 MJ h⁄100 W

5 MJ h⁄ 10°C

20°C

R 287 J kgK⁄= cp 1.005 kJ kgK⁄=

80 kPa 10°C

200 m s⁄ 0.4 m2

m· 78.8 kg s⁄= T2 303.1 K=

100 kPa 280K 600 kPa

400K m· 0.02 kg s⁄=

qe 16 kJ kg⁄=

cp 5.234 kJ kgK⁄=

γ 1.667= li 1.163 MJ kg⁄–=

R 287 J kgK⁄= γ 1.4=

cp 5.234 kJ kgK⁄= γ 1.667=

lw lw 187.24 kJ kg⁄=

R 287 J kgK⁄= γ 1.4=



tendo il flusso stazionario attraverso la macchina calcolare (I) la quantità di calore scambiata con l’esterno, sapendo che la potenza sviluppata è di 500 kW. Valutare

inoltre (II) l’entità delle resistenze passive. {

}

21. Aria viene compressa da e a in un compressore refrige-

rato (calore sottratto pari a ). La portata in volume all’ingresso del

compressore è e la potenza interna è . Determinare (a) la portata in massa dell’aria e (b) la temperatura all’uscita del compressore. [(a)

(b) ]

22. In un riscaldatore d’aria, ammettendo il flusso stazionario, le condizioni d’ingresso sono 5 bar e 210 °C con velocità di 50 m/s. Supponendo politropica la trasformazione, note le condizioni di uscita pari a 4.5 bar, 850 °C e velocità di 120 m/s, trovare il calore massico fornito al fluido, l’entità delle resistenze passive

{ }

23. Una pompa solleva acqua da un pozzo fino ad un serbatoio aperto posto 20 m sopra il pelo libero dell’acqua del pozzo. Il condotto in cui è inserita la pompa ha diametro di 10 cm e l’acqua vi presenta la velocità di 2 m/s. Ammettendo che le resistenze passive complessive circuito/pompa ammontino a 4 m in colonna d’acqua, calcolare la potenza del motore che aziona la pompa (rendimento mecca-nico ). { }

24. 10 kg/s di vapor d’acqua entrano in una turbina a 40 bar e 400 °C con una velocità di 250 m/s. Il vapore lascia la turbina a 2 bar e 150 °C con una velocità di 30 m/s. La trasformazione si può assumere adiabatica. Calcolare la potenza della turbina nell’ipotesi che il flusso sia stazionario. {P = 4.78 MW}

25. In un impianto motore a vapore il fluido di lavoro riceve una potenza di

nel generatore di vapore. Le perdite di calore dal vapore all’ambiente

esterno ammontano a . Se la potenza termica trasmessa nel condensatore

all’acqua di raffreddamento ammonta a determinare (a) la potenza netta fornita dall’impianto e (b) il rendimento termico dell’impianto. [(a)

, (b) %]

26. Un impianto motore a vapore fornisce una potenza di consumando

di carbone che ha un potere calorifico di (il potere

calorifico indica la quantità di energia termica liberata dalla combustione dell’unità di massa del combustibile). Determinare il rendimento termico di que-

sto impianto. [ %].

27. Il motore di un’automobile consuma di combustibile e sviluppa una

potenza di . Se il combustibile ha un potere calorifico di

e una densità di , determinare il rendimento del

motore. [ %]

28. Un condizionatore d’aria rimuove da una abitazione calore che nell’unità di

tempo ammonta a mentre assorbe una potenza di . Determi-nare (a) il COP del condizionatore e (b) il calore scaricato nell’unità di tempo all’ambiente esterno. [(a) , (b) ].

29. Un frigorifero domestico, che assorbe una potenza di e ha un COP di ,

deve raffreddare 5 angurie, di ciascuno, fino a . Se le angurie sono

inizialmente a determinare quanto tempo impiegherà il frigorifero a raf-freddarli. Le angurie, per il loro elevato contenuto d’acqua, possono essere assi-

milati all’acqua il cui calore specifico è . [ la risposta è

realistica o ottimistica?]

qe 32.58– kJ kg⁄=

lw 2.6 kJ kg⁄=

100 kPa 22°C 1 MPa

16 kJ kg⁄150 m3 min⁄ 500 kW

2.95 kg s⁄ 174°C

qe 648.8 kJ kg⁄= lw 17 kJ kg⁄=

ηm 0.97= Pa 3.8= kW

280 GJ h⁄8 GJ h⁄

145 GJ h⁄

35.5 MW 45.4

150 MW

60 t h⁄ Hi 30 MJ kg⁄=

30

20 l h⁄60 kW

Hi 44 MJ kg⁄= 800 kg m3⁄

30.7

750 kJ min⁄ 6 kW

2.08 1110 kJ min⁄

450 W 2.5

10 kg 8°C

20°C

cp 4.2 kJ kgK⁄= 2240 s

TERMODINAMICA

38

30. Una abitazione viene scaldata per mezzo di radiatori elettrici consumando

di energia elettrica in un mese invernale. Se l’abitazione venisse

riscaldata da una pompa di calore con un COP medio di calcolare il risparmio conseguibile sulla bolletta. Assumere un costo di 10 c€/kWh.

31. Una macchina termica di Carnot ha un rendimento del 55%. Il calore nell’unità di tempo ceduta a lago a è di . Determinare (a) la potenza fornita dalla macchina e (b) la temperatura della sorgente ad alta temperatura. [(a)

, (b) ]

32. Un inventore pretende di aver scoperto una macchina termica che riceve

di calore da una sorgente a producendo di lavoro netto e cedendo

calore ad una sorgente a . E’ una pretesa ragionevole?

33. Durante un’esperimento condotto in una stanza a , un assistente di laborato-

rio misura che un frigorifero, che assorbe di potenza, ha rimosso

di calore dallo scomparto refrigerato, che viene mantenuto a . Il tempo di funzionamento del frigorifero durante l’esperimento è stato di 20 min. Stabilire se queste misure sono ragionevoli.

34. Le prestazioni di una pompa di calore si degradano (cioè il suo COP diminuisce) al diminuire della temperatura della sorgente di calore esterna. Ciò rende l’uso della pompa di calore nei climi molto rigidi non favorevole. Si consideri una casa

che viene riscaldata e mantenuta a da una pompa di calore durante l’inverno. Qual’è il massimo COP della pompa di calore se il calore viene estratto dall’aria esterna a (a) , (b) e (c) ?

35. Due macchine termiche di Carnot operano in serie. La prima riceve calore da una sorgente a e cede calore a un’altra sorgente alla temperatura . La seconda riceve il calore scaricato dalla prima, ne converte una parte in lavoro, e

cede il rimanente a una sorgente a . Se il rendimento termodinamico delle

due macchine è lo stesso determinare la temperatura .

36. Un cilindro, chiuso da uno stantuffo senza attrito, contiene acqua in equilibrio con il suo vapore a . Durante una trasformazione a pressione costante

di calore vengono trasmessi all’aria esterna che é a . Come conseguenza parte del vapor d’acqua condensa. Determinare (a) la variazione di entropia dell’acqua, (b) la variazione di entropia dell’aria e (c) se la trasformazione é reversibile, irreversibile o impossibile.

37. Un compressore da comprime aria da a . Durante la trasformazione

la temperatura dell’aria si mantiene costante per effetto dello scambio termico con l’ambiente circostante a . Determinare la variazione di entropia nell’unità di tempo (a) dell’aria e (b) dell’ambiente circostante. Rispetta questa trasformazione il secondo principio?

1200 kWh

2.4

15°C 800 kJ min⁄

16.3 kW 640 K

800 kJ

400 K 250 kJ

300 K

25°C

2 kW 30000 kJ

30– °C

20°C

10°C 5°– C 30°– C

1200 K T

300 K

T

100°C 600 kJ

25°C

100°CTsurr 25°C=

600 kJ

8 kW p1 p2

10°C



38. Un compressore comprime aria da e a . Determinare la minima potenza richiesta dal compressore nel caso che la trasformazione sia (a) adiabatica (b) isoterma.

39. Aria entra in un compressore bistadio (due compressori in serie) a e

e viene compressa a . Il rapporto delle pressioni è uguale nei due

stadi. All’uscita del primo stadio l’aria viene raffeddata nuovamente a prima di rientrare nel secondo stadio. Assumendo che le trasformazioni di com-pressione sono isentropiche determinare la potenza interna se la portata in massa è . Determinare la potenza nel caso che la stessa compressione venga

effettuata utilizzando un solo stadio. [ , ]

40. Un impianto motore a vapore opera tra i due livelli di pressione di e

. Il fluido di lavoro entra nella pompa come liquido saturo ed esce dalla turbina come vapore saturo. Determinare il rapporto tra il lavoro fornito dalla tur-bina e il lavoro richiesto dalla pompa. Assumere che il ciclo sia interamemente reversibile e che pompa e turbina possano essere considerate adiabatiche.

41. Una portata di di vapore a e entra in una turbina bista-dio (due turbine in serie) adiabatica. Dieci percento del vapore viene estratto

all’uscita del primo stadio a una pressione di per altri usi. La parte rima-

nente viene ulteriomente espansa nel secondo stadio e lascia la turbina a . Determinare la potenza interna della turbina assumendo trasformazioni reversi-

bili. [ ]

42. Un compressore d’aria adiabatico è collegato meccanicamente, attraverso un albero, ad una turbina a vapore adiabatica che fornisce potenza anche ad un gene-

ratore elettrico. Una portata di di vapore a e entra in

turbina ed esce alle condizioni e . Una portata di di

aria a e entra nel compressore e esce a e . Deter-minare la potenza interna netta fornita dalla turbina al generatore e la generazione di entropia all’interno della turbina e del compressore durante queste trasforma-zioni stazionarie.

http://thermal.sdsu.edu/testcenter/indexstates.html

100 kPa 17°C 700 kPa

100 kPa

27°C 900 kPa

27°C

0.02 kg s⁄4.44 kW 5.26 kW

10 MPa

20 kPa

15 kg s⁄ 7 MPa 500°C

1 MPa

50 kPa

14.928 kW

25 kg s⁄ 12.5 MPa 500°C

10 kPa x 0.92= 10 kg s⁄98 kPa 22°C 1 MPa 277°C

TERMODINAMICA

40

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