I.P.S.S.C.T.P.Sandro Pertini

Crotone

DISEQUAZIONI DI PRIMO

GRADOE

PROBLEMI DI SCELTATutor prof.ssa Anna

ALFIERIDocenti : Gavino CERRELLI – Abramo GENTILE – Enrico PANICONI

DIGI SCUOLA

Citazioni sulla matematica

Walter Robert Fuchs (1937-1976)La matematica è un grandioso e vasto paesaggio aperto a tutti gli uomini a cui il pensare arrechi gioia, ma poco adatto a chi non ami la fatica del pensare.

Alfréd Rényi

Se mi sento triste, faccio matematica per essere felice. Se sono felice, faccio matematica per restare felice

Operazioni in R Operazioni fondamentali del calcolo letterale Equazioni lineari Risoluzione problemi di primo grado Intervalli numerici

Prerequisiti

Contenuti

Disequazioni: definizione, soluzioni, grado Classificazione Disequazioni equivalenti Principi di equivalenza Risoluzione di disequazioni lineari Rappresentazione grafica delle soluzioni Problemi riconducibili a disequazioni lineari

Definire una disequazione Il significato dell’aggettivo lineare Enunciare i dei due principi di equivalenza Distinguere tra disequazioni sempre verificata

e disequazione impossibile

Applicare i principi di equivalenza Eseguire la verifica delle soluzioni Risolvere disequazioni lineari Rappresentare graficamente le soluzioni Rappresentare sotto forma di intervallo le soluzioni Risolvere problemi applicando disequazioni lineari

Sapere

Saper fare

MODULO :disequazioni di primo grado e problemi di sceltaUD-1- Introduzione alle disequazioni. Disequazioni: definizione,grado,classificazioneUD-2- Principi di equivalenza e loro conseguenzeUD-3- Risoluzione di disequazioni di primo grado Rappresentazione grafica e simbolica delle soluzioniUD-4- Risoluzione di problemi riconducibili a disequazioni di primo grado

ANDIAMO AD INCOMINCIARE

Smatematica.url

Incontro delle disequazioni nella vita quotidiana

hKmVelocita /50

anniEtà 18Visione consentita

La tua velocità non deve superare

I 50 km orari

VIETATO AI MINORI DI 18 ANNI

VIETATO AI MINORI DI 18 ANNI

Problema 1 - Uno studente ha riportato nei primi tre compiti

di matematica i seguenti voti 4,5; 5,5; e 7. Quale voto deve conseguire per ottenere una media aritmetica superiore a 6 ?

A cosa servono le disequazioni?

Le disequazioni servono a risolvere

un gran numero di problemi

Problema 2 - Un automobilista si ferma ad un distributore per mettere nel motore mezzo litro di olio, che costa €16,00 al litro e della benzina che costa € 1,40 al litro. Quanti litri riesce a mettere al massimo nel serbatoio se possiede solo € 36,00 ?

PROBLEMA 3

Per effettuare delle telefonate, due gestori telefonici offrono le seguenti tariffe:

Canone mensile di abbonamento € 12,00 Costo al minuto di conversazione 10 cent Nessun canone di abbonamento Costo al minuto di conversazione 20 cent

Quale gestore conviene scegliere ?

Disequazioni e problemi di scelta

Gestore 1)

Gestore 2)

Io ho scelto laragazza

Disequazioni e problemi di scelta

Due amici vogliono imparare a ballare. Nella loro città ci sono due scuole di ballo che si possono frequentare alle seguenti condizioni:

Scuola 1 - € 320,00 annue di iscrizione più € 5,00 per ogni ora di utilizzo

Scuola 2 - € 240,00 annue di iscrizione più € 6,00 per ogni ora di utilizzo

Quale scuola conviene scegliere ?

Scuola 1 scuola 2PROBLEMA 4

DisuguaglianzeDue espressioni numeriche, di diverso valore, separate da

un segno di disuguaglianza, formano una disuguaglianza numerica

Simboli di disuguaglianza sono:

Maggiore

Minore

Maggiore od uguale

Minore od uguale

Esempi di disuguaglianze

253 217 04

Definizione disequazione

Si definisce disequazione in una sola incognita una disuguaglianza tra due espressioni, di cui una almeno letterale, verificata solo per particolari valori attribuiti all’incognita

xx 274

xx

x

4

12

3

xxxx 332 2

xx 312

1)

2)

3)

4)

Esempi di

disequazioni

Soluzioni di una disequazioneSi dice SOLUZIONE di una disequazione ogni numero che sostituito all’incognita rende vera la disuguaglianza

71 22 xx Esempio: data la disequazione verificare se e rappresentano delle soluzioni2x 5x

5xVERO

E’ SOLUZIONE

711

72536

72526

725215

5

7221

x

xxVERIFICAVERIFICA

75

749

7423

722212

2

7221

x

xx

FALSO 2x NON E’ SOLUZIONE

Grado di una disequazione

1)

023 2 xx Disequazione di secondo grado2)

52 x Disequazione di primo grado

432 25 xx Disequazione di quinto grado3)

Esempi

Si definisce grado di una disequazione razionale intera il massimo esponente con cui compare l’incognita

Le disequazioni 1° GRADO si dicono anche disequazioni LINEARI

Classificazione delle disequazioni

TIPO disequazione Disequazione con ESEMPI

Intera Incognita solo al numeratore

Fratta Incognita almeno al denominatore

Numerica Coefficienti numerici

Letterale Coefficienti letterali

Determinata Soluzioni sottoinsieme di R

Indeterminata Soluzioni coincidenti con R

Impossibile

Non ha soluzioni

03

03

7

052

51

3

4312

2

2

3

2

2

x

x

x

cbxax

xx

xx

x

xx

E’ chiaro o devo ripetere

Disequazioni EQUIVALENTIEQUIVALENTI

Due disequazioni si dicono EQUIVALENTIEQUIVALENTI se possiedono le stesse soluzioni

esempio

423)1 x soluzioni 2x

914)2 x soluzioni 2xFacile!

Pertanto, qualsiasi numero più grande di 2 soddisfa sia la prima che la seconda disequazione perciò esse si dicono equivalenti

x

Utilità dei principi di equivalenza

I principi di equivalenza, applicati alle disequazioni, consentono di trasformare una disequazione in un’altra più semplice avente le stesse soluzioni

Sottrazione

• ADDIZIONANDO o SOTTRAENDO ai due membri di una disequazione la stessa espressione si ottiene una disequazione EQUIVALENTE a quella data

Primo Principiodi equivalenza

Addizione

Disequazioni equivalenti5532

32

xx

xx

xxxx

xx

127

127

Conseguenze del PRIMO PRINCIPIO

1) Regola del trasporto

Si può trasportare un termine da un membro all’altro di una disequazione purché gli venga cambiato il segno(Tale regola viene impiegata per trasportare le incognite al primo membro ed i numeri al secondo membro)

Esempio

3

1234

2314

x

xx

xx

Conseguenze del

Primo Principio

2) Regola della cancellazione

a) se uno stesso termine figura in entrambi i membri può essere cancellatoEsempio

b) se due termini opposti si trovano nello stesso membro essi possono essere cancellatiEsempio

552

552

x

xxx

xx

xx

54

5774

Che bello!!

Conseguenze del

Primo Principio

5442434

523

xx

xx

a) Moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per uno stesso numero positivo si ottiene una disequazione equivalente alla data

Esempio:

b) Moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per uno stesso numero negativo, si ottiene una disequazione equivalente a quella data solo se si inverte il verso della disuguaglianza

Esempio:

Secondo Principiodi equivalenza

5442434

523

xx

xx

Disequazioni equivalenti

Disequazioni equivalenti

maggiore

minore

VERSOINVERTITO

1) Eliminazione di denominatori numerici

E’ possibile eliminare i denominatori numerici di una disequazione moltiplicando tutti i termini per il loro m.c.m.

Esempio

961222

36626

3

16

2

32

3

1

xx

xx

xx

m.c.m = 6

2 3

Disequazione condenominatore

Disequazione senzadenominatore

Conseguenze del

Secondo Principio

Conseguenze del SECONDO PRINCIPIO

2) Eliminazione del coefficiente dell’incognita

E’ possibile liberare l’incognita dal suo coefficiente dividendo primo e secondo membro della disequazione per tale coefficiente

Coefficiente dell’incognita

Esempio

5

25

2

5

5

25

x

x

x

Conseguenze del

Secondo Principio

3) Regola del cambiamento del segno

Il segno di un termine di una disequazione si può cambiare solo quando si cambiano i segni dei restanti termini e si inverte il verso della disequazione

Esempio

524

524

xx

xx

MINORE

MAGGIORE

Conseguenze del

Secondo Principio

Risoluzione di disequazioni

di primo grado:Per risolvere le disequazioni lineari si procede nel modo seguente:

1) Si eseguono le operazioni che vengono indicate nella disequazione ( potenze, moltiplicazioni, divisioni,addizioni e sottrazioni )

Sembra tutto facile

2) Quando al primo ed al secondo membro non è più possibile eseguire operazioni, si passa all’applicazione delle conseguenze dei principi di equivalenza (cancellazione,trasporto,

cambiamento di segno,ecc.) per passare a disequazioni equivalenti sempre più semplici

43

12

3

3

123

4162

1642

16312

1613122

2

x

x

x

xx

xx

xxxx

xxx Operazioni indicate (potenza,prodotto)

1° principio (cancellazione)

1° principio (Trasporto)

Operazioni indicate (somma e differenza)

2° principio (Eliminazione coefficiente dell’incognita)

Soluzioni della disequazione

Operazioni indicate (divisioni)

Risoluzione guidata di disequazioni

• Esempio 1

Risoluzione guidata di disequazioni• Esempio 2

3

3

1454

4541

144

544

4

14

14

5

4

1

14

5

4

1

14

5

2

1

22

2

x

x

xx

xx

xx

xx

xxxx

xxx Operazioni indicate (potenza-prodotto)

1° principio (cancellazione)

2° principio (Eliminazione denominatore numerico)

1° principio (Trasporto)

Operazioni indicate (differenze)

2° principio (cambiamento di segno)

Soluzioni della disequazione

Operazioni indicate (divisioni-prodotti)

2

141

3

56)5

123

1)4

3274634225)3

4362)2

621)12

22

xx

xx

x

xxxx

xxxx

xxxxx

Risolvi le disequazioni

Prova tu

Rappresentazione GRAFICARappresentazione GRAFICAdelle soluzioni: delle soluzioni: retta orientata

Per rappresentare graficamente le soluzionile soluzioni di una

disequazione si fa uso di una retta orientata i cui punti

corrispondono a numeri reali.

I due simboli (meno infinito) e (più infinito) posti agli estremi della retta non rappresentano nessun numero reale, essi stanno solo ad indicare che la retta risulta illimitata (senza fine) sia a sinistra che a destra.

. . . . . . . -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 ORIGINE

1

Per rappresentare graficamente le soluzionile soluzioni di una disequazione si fa uso delle seguenti convenzioni:

1.1. linea continualinea continua per rappresenta l’insieme delle soluzioni della disequazione ( )

2.2. linea tratteggiatalinea tratteggiata per rappresenta l’insieme dei valori che non sono soluzioni ( )

3.3. cerchietto pienocerchietto pieno per indicare che il valore corrispondente è una soluzione ( )

4.4. cerchietto vuotocerchietto vuoto per indicare che il valore corrispondente non è una soluzione.( )

Rappresentazione GRAFICARappresentazione GRAFICAdelle soluzioni: delle soluzioni: convenzioniconvenzioni

2

Rappresentazione GRAFICA Rappresentazione GRAFICA delle soluzioni: delle soluzioni: procedimentoprocedimento3

1) Si scrive l’equazione associata alla disequazione e si determina il valore che l’annulla

2) si riporta tale valore sulla retta orientata3) da esso si riporta un segmento verticale al cui estremo si disegna

un cerchietto vuoto quando non fa parte delle soluzioni4) si traccia la linea continua in corrispondenza dei valori che

costituiscono l’insieme delle soluzioni e dalla parte opposta una linea tratteggiata a rappresentare l’intervallo dei numeri che non sono soluzioni

Per la rappresentazione si procede nel modo seguente

prof. non hocapito

Non ti preoccuparegli esempi

chiariranno tutto

Rappresentare graficamente le soluzioni della disequazione x > 2

. . . . . . . 0

Equazione associata alla disequazione X = 2

2x

Linea pienaSOLUZIONI

Linea tratteggiataNON SOLUZIONI 2 escluso dalle

SoluzioniCERCHIO

VUOTO

2

Esempio 1

. . . . . . . 0 Equazione associata alla disequazione X = -3

3xLinea piena

SOLUZIONI

Linea tratteggiataNON SOLUZIONI-3

incluso nellesoluzioni

CERCHIOPIENO

-3

Rappresentare graficamente le soluzionidella disequazione x < - 3

Esempio 2

Definizione di Intervallo numerico

Dati due numeri a e b con a < b, si definisce INTERVALLO NUMERICO, l’insieme di tutti i numeri compresi tra a e b.I numeri a e b prendono il nome di

ESTREMO INFERIORE ed ESTREMOSUPERIORE dell’intervallo e possono o meno appartenere all’insieme

Per la rappresentazione simbolica degli intervalli numerici si fa uso di parentesi tonde e quadre entro cui vengono scritti gli estremi inferiore e superiore a e b separati da punto e virgola

Il tipo di parentesi ci indica se l’estremo risulta incluso oppure escluso dall’intervalloParentesi tonda estremo escluso. Parentesi quadra estremo incluso

2 3 4 5 6 7 8 9

a b

Intervallo numerico

Estremosuperiore

Estremoinferiore

Esempi

Rappresentazione simbolica

di intervalli numerici

Rappresentazione grafica

-2 7

-2 7

-2 7

-2 7

7;2

7;2La rappresentazione simbolica indica che

gli estremi -2 e 7 fanno parte dell’intervallo

7;2

7;2

La rappresentazione simbolica indica che

gli estremi -2 e 7 sono esclusi dall’intervallo

La rappresentazione simbolica indica che

-2 è escluso mentre 7 è incluso nell’intervallo

La rappresentazione simbolica indica che

-2 è incluso mentre 7 è escluso dall’intervallo

Utilizzo di simboli diversi

per gli stessi concetti

10;3

10;3

10;3

10;3

10;3

10;3

10;3

10;3

10;3

10;3

10;3

10;3

Stessosignificato

Alcuni testi di matematica per rappresentare simbolicamenteun intervallo numerico usano esclusivamente parentesi quadre, rivolte verso l’esterno per indicare che l’estremo non appartieneall’insieme, rivolte verso l’interno per esprimere che l’estremo fa parte dell’insieme.

0

0;esempio0x1)

Rappresentare graficamente le soluzioni delle disequazioni e scriverle anche sotto forma di intervallo

6x 41 x4

7x2) 3) 4)

Chi vuol provare

esercizi

PROBLEMA

Per effettuare delle telefonate, due gestori telefonici offrono le seguenti tariffe:

Canone mensile di abbonamento € 5,00 Costo al minuto di conversazione 10 cent

Nessun canone di abbonamento Costo al minuto di conversazione 20 cent

Quale gestore conviene scegliere ?

PROBLEMI DI SCELTA

Gestore 1)

Gestore 2)

FASE 1: dal problema alla disequazione FASE 2: risoluzione della disequazione FASE 3: rappresentazione grafica delle soluzioni

Il problema verrà risolto secondo le tre fasi:

Indichiamo con X i minuti di conversazione

Calcoliamo quanto ci costa WindCOSTO WIND = canone + costo conversazione =

Calcoliamo quanto ci costa VodafoneCOSTO VODAFONE = costo conversazione =

FASE 1: dal problema alla disequazione FASE 2: risoluzione della disequazioneFASE 3: rappresentazione grafica delle soluzioni

X 1,05

Espressione che traduce in disequazione il problema dato

COSTO WIND deve essere MINORE del COSTO VODAFONE

X2,0

Per risultare più conveniente Wind rispetto a Vodafone deve accadere che:

XX 2,015,05

120

05,0

6

05,0

05,0

605,0

605,0

62,015,0

2,015,06

X

X

X

X

XX

XX

FASE 1: dal problema alla disequazione

FASE 2: risoluzione della disequazioneFASE 3: rappresentazione grafica delle soluzioni

Il risultato ci dice che la scelta di Wind risulta conveniente solo se facciamo più di 120 minuti di telefonate mensili

prof. mi esce X maggiore

di 120e’ giusto?

Risolviamo la disequazione

Trasporto

Cambiamento di segno

Eliminazione del coefficientedell’incognita

soluzioni

FASE 1: dal problema alla disequazione FASE 2: risoluzione della disequazione

FASE 3: rappresentazione grafica delle soluzioni

0 20 40 60 80 100 120 140 Minuti di

conversazione

120X

Intervallo di convenienza WIND

Intervallo di convenienza VODAFONE

120X

Due amici vogliono imparare a ballare. Nella loro città ci sono due scuole di ballo che si possono frequentare alle seguenti condizioni:

Scuola 1 - € 320,00 annue di iscrizione più € 5,00 per ogni ora di utilizzo

Scuola 2 - € 240,00 annue di iscrizione più € 6,00 per ogni ora di utilizzo

Quale scuola conviene scegliere ?

PROBLEMA

Va bene prof. ci provo io

ISTITUTO PROFESSIONALE DI STATO PER I SERVIZI COMMERCIALI, TURISTICI E DELLA PUBBLICITA’

“ S. PERTINI “ – CROTONEClasse 2a Sezione A A.S. 2007/2008

1)Cognome e nome ______________________________ Data ________

VERIFICA DI MATEMATICA(Argomento: disequazioni)

3) Risolvi la disequazione e rappresenta graficamente e simbolicamente le soluzioni.

3331 2 xxxx

4) Risolvi il problema Il noleggio di una macchina costa 50 € al giorno più 40 cent per ogni Kmpercorso, quanti Km si riescono a percorrere ogni giorno se non si vuole spenderepiù di 200?

2) Per la seguente disequazione scrivi le disequazioni ad essa equivalenti ottenute operando come indicato a lato.

xaggiungi

sottrai

3)2

4)1xx 31064 3)4

1)3

perdividi

permoltiplica

1) Della seguente disequazione, verificare se i valori a lato sono soluzioni.

021 x3

1

2

520 xxxx

Collegamenti ipertestuali1. Copertina2. Citazioni3. Prerequisiti - contenuti4. Sapere – Saper fare5. Unità didattiche6. Inizio modulo7. Disequazioni nella vita8. Impiego disequazioni9. Problema 310. Problema 411. Disuguaglianze12. Definizione disequazione13. Soluzioni disequazioni 14. Grado disequazioni15. Classificazione16. Disequazioni equivalenti17. Utilità principi di equiv.18. Primo principio19. Regola del trasporto20. Regola cancellazione21. Secondo principio22. Eliminazione denominatore

23. Eliminazione coefficiente24. Cambiamento di segno25. Risoluzione disequazioni26. Esempio 127. Esempio 228. Prova tu29. Retta orientata30. Convenzione31. Rappresentazione grafica32. Esempio 133. Esempio 234. Definizione intervallo35. Rappresentazione intervallo36. Utilizzo simboli diversi37. Prova tu38. Problema di scelta39. Fase 140. Fase 241. Fase 342. Prova tu43. Verifica44. Collegamenti ipertestuali