Indice

1. Regimi di capitalizzazione dei tassi di interesse e attualizzazione

2. Cosa sono i derivati

3. Esempio di futures e opzioni

4. Equazioni di Black, Scholes e Merton

5. Alcune complicazioni dei derivati reali: es. regole di day count

6. Panoramica sulle procedure realizzate da SiGrade

Regimi di capitalizzazione

N : capitale nozionale (es. 10.000€)

r : tasso di interesse annuo (es. 2%)

)1( rNrNN montante

TrN montante )1(

nT

n

rN montante

1

rTNe montante

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE

CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA n VOLTE

CAPITALIZZAZIONE CONTINUA

Dopo 1 anno:

Dopo T anni:

Ricapitalizzando n volte all’anno:

Facendo tendere n all’infinito:

Ogni importo è dipendente dal tempo:

Se oggi ho una quantità X di denaro, tra T anni essa varrà

Attualizzazione

rTXe

rTXe

Se di un contratto si conosce con esattezza l’importo pagato alla scadenza allora per valutarlo è sufficiente attualizzare l’importo.

Il tasso r da utilizzare dipende principalmente da:

• Andamento economico globale

• Durata T del contratto

• Rischio di insolvenza della controparte

Se un contratto scade tra T anni e mi fa incassare X, allora oggi esso vale

Contratti Derivati

Un derivato è un contratto finanziario il cui valore X al momento della scadenza t dipende dal valore in t di una certa attività finanziaria S, detta sottostante:

)( tt SfX

Derivati su tassi di interesse: il sottostante S è un tasso di interesse (Es. Euribor 3 mesi)

Derivati azionari: il sottostante S è un’azione (Es. azioni FIAT) o un’indice azionario (Es. indice SPMIB)

Derivati su commodity: il sottostante S è una materia prima (Es. acciaio, petrolio, oro, energia elettrica, ecc)

Derivati atmosferici: il sottostante S è rappresentato da una variabile atmosferica (Es. gradi di riscaldamento giorno, gradi di raffreddamento, ecc)

Le tipologie di derivati più note e diffuse sono:

Esempio 1: Future

KSSf tt )(

.tS

I Futures sono stati uno dei primi derivati ad essere stipulati (~1860).

• eseguire lo scambio ad una data t futura.

• fissare oggi il prezzo K a cui verrà acquistato il prodotto.

• sostituire il prodotto con il suo prezzo corrente

Il valore del future alla scadenza sarà:

Invece di acquistare oggi un certo prodotto (es. 10 tonnellate di grano) ci si accorda per:

: l’opzione sarà esercitata, comprando il sottostante al prezzo K ed eventualmente rivendendolo sul mercato al prezzo St.

: l’opzione sarà lasciata decadere, conviene acquistare il sottostante al prezzo di mercato St.

Esempio 2: Opzioni europee

KSt

KSt

Un’opzione è un contratto finanziario che dà il diritto - ma NON l’obbligo - al portatore

di comprare (opzione call) o vendere (opzione put) una certa quantità dell’attività

finanziaria sottostante ad un determinato prezzo K, in una precisa data futura t.

Il valore della call alla scadenza sarà:

Alla scadenza di un’opzione call, due casi possibili:

)0,max()( KSSf tt

Assunzione di Lognormalità

Ipotesi largamente diffusa nell’ambito del pricing di derivati è l’assunzione di

lognormalità per l’attività sottostante S:

SdzSdtdS

= tasso di rendimento atteso di S

= volatilità.

= processo di Wiener.

z E’ un processo stocastico a tempo continuo

e con incrementi indipendenti usato per

modellizzare il moto browniano e diversi

fenomeni casuali osservati nell’ambito della

fisica e della finanza.

Lemma di Itô

dztxbdttxadx ),(),(

Se x segue un processo di Itô, cioè vale

ed f è una funzione di x e t, allora

bdzx

fdtb

x

f

t

fa

x

fdf

22

2

2

1

dove z è sempre lo stesso processo di Wiener.

Applicando il lemma con si ottiene che la variazione di

ha legge normale.

)ln(),( StSf )ln(S

Equazione di Black, Scholes e Merton

rfS

fS

S

frS

t

f

2

222

2

1

Per l’ipotesi di lognormalità, S segue un processo di Itô.

Applicando il lemma con f generica, con alcuni passaggi, si ottiene

la famosa equazione di Black, Scholes e Merton:

è il valore al tempo t di un derivato è soluzione dell’equazione di B-S-M. ),( tSf Le condizioni al contorno sono date dal valore pagato dal derivato alla scadenza tfin

e stabilito dal contratto: .)),(( finfin ttSf

Storia dell’equazione B-S-M

L’equazione di Black, Scholes e Merton fu:

Pubblicata nel 1973 da F.Black e M.Sholes.

Risolta grazie ad una trasformazione che la riporta alla “heat equation” (equazione

di diffusione del calore, già risolta dalla Fisica).

R.Merton il primo ad espanderne i risultati.

Nel 1997 Merton e Scholes vincono il premio Nobel per l’economia (Black

deceduto nel 1995).

Il modello originale è stato successivamente espanso per coprire una vastissima

gamma di opzioni.

Valore atteso di un’opzione

)()( 210 dNKedNSFV rTcall

)()( 102 dNSdNKeFV rTput

T

TrKSd

)2/()/ln( 2

01

La soluzione dell’equazione (valore atteso o Fair Value), nel caso delle opzioni è

TdT

TrKSd

1

20

2

)2/()/ln(

dove:

N(x) è la distribuzione normale con media 0 e deviazione standard 1

Regole di day count

T è il tempo tra la data di valutazione t0 e la data di scadenza tfin misurato in anni.

365

),(. 0 finttggnumT

Quindi:

• Attenzione al numero di giorni di ogni mese. E se un anno è bisestile il denominatore è 365 o 366?

• Alcuni contratti invece adottano la convenzione per cui tutti i mesi hanno 30 giorni e l’anno 360.

• Altre volte vanno considerati solo i giorni lavorativi, dunque

annuilavggnum

ttlavggnumT fin

...

),(.. 0

• Ma giorni lavorativi secondo il calendario civile o commerciale? Inoltre ogni nazione considera festività diverse.

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Bibliografia

John C. Hull, Opzioni, futures e altri derivati, ed. Il Sole 24 Ore, 2003 M. Di Franco, Francesco Polimeni, Massimo Proietti, Opzioni e titoli strutturati, ed.

Il Sole 24 Ore, 2002 KPMG, Guida agli strumenti derivati, ed. Edibank Bancaria Editrice, 2001 Riccardo Cesari, Elisa Susini, Introduzione alla finanza matematica, ed. McGraw-

Hill, 2005 Alexander Lipton, Mathematical methods for foreign exchange, ed. World Scientific

Publishing, 2001 Damiano Brigo, Fabio Mercurio, Interest rate models - Theory and practice,

ed.Springer-Verlag, 2001 Espen Gaarder Haug, The complete guide to option pricing formulas, ed. McGraw-

Hill,1998 Mark Joshi, The concepts and practice of mathematical finance, ed. Cambridge

University Press, 2003

Grazie per l’attenzione !