Calibration of Stochastic Models for Energy Futures

Mercati energeticiMercati energetici a termine

CALIBRAZIONE DI MODELLI STOCASTICI PERMERCATI ENERGETICI A TERMINE

Carlo Montanari

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FERRARACorso di Laurea Magistrale in Matematica

21 marzo 2014

Carlo Montanari Calibrazione di modelli stocastici per mercati energetici a termine


SOMMARIO

1 MERCATI ENERGETICIContratti su commodityFutures su commodity energetiche di flusso

2 MERCATI ENERGETICI A TERMINEModello multi-commodity a due fattoriModelli di tipo 1 e 2Modelli cointegrati di tipo A e B



Contratti su commodityFutures su commodity energetiche di flusso

COMMODITY

DEFINIZIONE

Una commodity è un bene economico negoziabile dotato di valoreintrinseco e sufficientemente standardizzato da essere in parte o deltutto fungibile (i.e. ogni sua istanza, in uno scambio, si può sostituirecon un’altra senza modificarlo).

ESEMPIO

Alcune fondamentali categorie di commodity sono:- prodotti agricoli: avena, frumento, mais, . . .- metalli industriali: acciaio, alluminio, nichel, . . .- metalli preziosi: argento, oro, palladio, . . .- commodity energetiche: carbone, benzina, energia elettrica, gas

naturale, petrolio, . . .




CONTRATTI A PRONTI

DEFINIZIONE

Un contratto a pronti (o contratto spot) su una fissata commodity è uncontratto finanziario stipulato tra due controparti, il venditore V el’acquirente A, che alla data di stipula t stabilisce:

- nella data t il venditore consegna fisicamente all’acquirente laquantità x della commodity;

- nella data t l’acquirente paga l’importo S(t) al venditore;La quantità S(t) è detta prezzo spot della commodity in t .

V Ax, t

S(t), t




CONTRATTI A TERMINE

DEFINIZIONE

Un contratto a termine (o contratto forward) su una fissata commodityè un contratto finanziario stipulato tra due controparti, il venditore V el’acquirente A, che alla data di stipula t stabilisce:

- nella data T > t il venditore consegna all’acquirente la quantità xdella commodity;

- nella data T > t l’acquirente paga l’importo F (t ,T ) al venditore;La quantità F (t ,T ) è detta prezzo forward della commodity in t conconsegna in T e la durata T − t è chiamata time to maturity (TTM).

V Ax, T

F (t, T ), T

t T

−x −S(T )V : V :

Consegna fisica Consegna per differenziale

t T

0 0F (t, T )F (t, T )




CONTRATTI SWAP

DEFINIZIONE

Un contratto swap su una fissata commodity è un contratto finanziariostipulato tra due controparti, il venditore V e l’acquirente A, che alladata di stipula t stabilisce per ciascuna delle date future T di uninsieme J ⊆ (t ,+∞):

- nella data T il venditore consegna all’acquirente la quantità xdella commodity;

- nella data T l’acquirente paga l’importo F (t , J) al venditore;La quantità F (t , J) è detta prezzo swap della commodity in t conconsegna in J e la durata min J − t è chiamata time to delivery (TTD).

tV :

0

T2T1

−x

F (t, J)

TNTN−1

· · ·

· · ·

−x

F (t, J)

−x

F (t, J)

−x

F (t, J)




COMMODITY ENERGETICHE DI FLUSSO

DEFINIZIONE

Una commodity energetica di flusso è una commodity energetica che,per le sue caratteristiche, può essere consegnata fisicamente sologarantendo il suo flusso regolare, dal venditore all’acquirente, in unintervallo di tempo. I contratti con consegna fisica prevedono, ingenere, l’erogazione di un flusso della commodity con potenzacostante durante un intervallo di tempo. L’unità di misura dei contrattiè il MWh, l’energia generata erogando la potenza di 1 MW per 1 ora(1 MWh ≈ 3.6 GJ ).

ESEMPIO (ENERGIA ELETTRICA E GAS NATURALE)

L’energia elettrica ed il gas naturale sono commodity energetiche diflusso, poiché la possibilità del loro stoccaggio è limitata. Il consumomedio per utenza residenziale di energia elettrica e gas naturale inItalia, nel 2011, è stato rispettivamente di circa 2.4 MWh e 7.8 MWh.




FUTURES SU COMMODITY ENERGETICHE DI FLUSSO

DEFINIZIONE

I futures su commodity energetiche di flusso sono contratti swapstipulati in mercati regolamentati. I futures sono standardizzati inrelazione a diverse proprietà, tra cui:

- sottostante- modalità di liquidazione- periodo di consegna- regole di negoziazione

Il prezzo swap F (t , J) è chiamato prezzo futures e si adotta laconvenzione:

- assumere una posizione corta→ vendere- assumere una posizione lunga→ acquistare

I futures sono utilizzati con tre finalità principali: copertura,speculazione, arbitraggio.




MERCATI ENERGETICI

DEFINIZIONE

Un mercato energetico è un mercato regolamentato in cui sonostipulati contratti su commodity energetiche. Ci limitiamo aconsiderare solo commodity energetiche di flusso. Un mercatoenergetico si compone di:

- mercato energetico a pronti→ contratti a pronti- mercato energetico a termine (MET)→ futures

ESEMPIO (EUROPEAN ENERGY MARKET)

European Energy Market (EEX) è un mercato energetico con sede aLipsia nel quale sono scambiati contratti su elettricità, gas naturale,carbone, diritti di emissione di CO2. Esempi di contratti:

- futures PHELIX base-load (Elettricità con consegna nell’areaGermania/Austria)

- futures NCG (Gas naturale con consegna in Germania)




MERCATI ENERGETICI A TERMINE

FIGURA: Esiti delle contrattazioni sui futures mensili, trimestrali ed annualiPhelix base-load svolte il 03-dic-2012 nel mercato EEX.




MERCATI ENERGETICI A TERMINE

FIGURA: Esempio di mercato energetico a termine osservato dal 01-ott-2012al 21-dic-2012.




PROPRIETÀ SPERIMENTALI

DEFINIZIONE (LOG-RENDIMENTO)

Consideriamo una fissata commodity C ed indichiamo con fi (t) ilprezzo del futures su C in t con consegna nell’intervallo Ji = [τi , θi ],per ogni i ∈ 1, . . . ,m e t ∈ [T0,T1]. SianoT0 = t0 < t1 < . . . < tN = T1 le date di osservazione degli m futures,definiamo il log-rendimento in tl del futures con consegna in Ji

∆xi (tl ) := log(

fi (tl )fi (tl−1)

)per ogni i ∈ 1, . . . ,m ed l ∈ 1, . . . ,N.Se tl − tl−1 = 1 giorno, ∆xi (tl ) è detto log-rendimento giornaliero.

T0

J1 Ji Jm

τi

I

θi

. . .. . .

∆T1 τ1 θ1∆ τm θm∆





NOTAZIONE

Dato n ∈ N+, sia n := 1, . . . ,n.

DEFINIZIONE (VOLATILITÀ STORICA)

Consideriamo una fissata commodity C ed indichiamo con fi (t) ilprezzo del futures su C in t con consegna nell’intervallo Ji = [τi , θi ],per ogni i ∈ m e t ∈ [T0,T1]. Siano T0 = t0 < t1 < . . . < tN = T1 ledate di osservazione degli m futures, definiamo la volatilità storica a20 giorni in tl del futures con consegna in Ji

si (tl ) :=

√√√√ 119

l∑p=l−19

(∆xi (tp)−mil )2

dove mil := 120

∑lp=l−19 ∆xi (tp), per ogni i ∈ m ed l ∈ N.





Si osserva sperimentalmente che i futures su commodity energetichedi flusso soddisfano due proprietà:

- effetto Samuelson: la volatilità di un futures è decrescenterispetto al tempo alla consegna, per cui è tanto più piccolaquanto più lontano è il periodo di consegna. Il decadimento,inoltre, è esponenziale e la volatilità tende ad un valore costantestrettamente positivo al convergere all’infinito del tempo allaconsegna.

- stagionalità della volatilità: le caratteristiche climatiche e socialidella regione in cui è consegnata la commodity sono tra i fattoriprincipali che guidano i suoi prezzi e presentano delle periodicitàsia sul breve che sul medio termine. Poiché queste ciclicità siriflettono sul flusso di informazioni che determina i prezzi deifutures, ci si aspetta che anche la volatilità le manifesti.





FIGURA: A sinistra, volatilità storica a 20 giorni dei log-rendimenti del futuresgen-2013. A destra, struttura a termine della volatilità osservata il03-dic-2012.



Modello multi-commodity a due fattoriModelli di tipo 1 e 2Modelli cointegrati di tipo A e B

MOTI BROWNIANI CORRELATI

NOTAZIONE (MATRICI)

Dati n,m ∈ N, sia Rnm l’algebra delle matrici reali n ×m, Rn := Rn

1,Rm := R1

m. Se A ∈ Rnm, indichiamo con Ai , Aj rispettivamente la

i-esima riga e la j-esima colonna di A, mentre con |A| la normaeuclidea di A.

DEFINIZIONE

Dato (Ω,F ,P) uno spazio di probabilità, diciamo che il processostocastico W = (W 1, . . . ,W d )T a valori in Rd è un vettored-dimensionale di moti browniani correlati o moto brownianod-dimensionale correlato su (Ω,F ,P) se esistonoW = (W

1, . . . ,W

d)T un moto browniano d-dimensionale e Γ una

matrice reale invertibile d × d tali che:C1 ∀i ∈ d :

∣∣Γi∣∣ = 1

C2 W = ΓW , i.e. ∀i ∈ d : W i =∑d

j=1 ΓijW

j




STRUTTURA DI CONSEGNA

DEFINIZIONE

Chiamiamo C = Jii∈m struttura di consegna posteriore adI = [T0,T1] se, per ogni i ∈ m, si ha Ji = [τi , θi ] e valgono le seguentiproprietà:

- τ1 ≥ T1- ∀i ∈ m : θi − τi = ∆- ∀i ∈ m − 1 : θi = τi+1

Ci riferiamo a Ji come all’i-esimo periodo di consegna di C.

T0

J1 Ji Jm

τi

I

θi

. . .. . .

∆T1 τ1 θ1∆ τm θm∆




MODELLO DI MET

NOTAZIONE

Siano I = [T0,T1] ⊆ [0,+∞) ed n,m ∈ N, n,m ≥ 2.

DEFINIZIONE (MET)

Diciamo cheM = (Ω,F , Ftt∈I ,P,Q,W , F hh∈n) è un mercatoenergetico a termine con struttura di consegna C osservato in I (oC-MET su I) se valgono le seguenti proprietà:M1 (Ω,P) := (Ω,F , Ftt∈I ,P) è uno spazio di probabilità filtrato

standard con F = FT1 , W = (W11,W

12, . . . ,W

n1,W

n2)T è un

2n-moto browniano correlato su (Ω,F ,P) ed Ft = FWt per ogni

t ∈ I. Chiamiamo P misura oggettiva o misura del mondo realediM.




MODELLO DI MET

DEFINIZIONE (MET - CONTINUA)

Diciamo cheM = (Ω,F , Ftt∈I ,P,Q,W , F hh∈n) è un C-MET su Ise valgono le seguenti proprietà:M2 Per ogni h ∈ n, la funzione F h = (F h

1 , . . . ,Fhm)T è un processo

stocastico vettoriale a valori in (R+)m definito su I × Ω. Per ogni(h, i) ∈ n ×m, chiamiamo F h

i il prezzo del futures sullacommodity h-esima con consegna in Ji . Chiediamo che F h

i sia ilprocesso di Itô che soddisfa

dF hi (t)

F hi (t)

= µhi (t) dt + σh

i1(t) dWh1(t) + σh

i2(t) dWh2(t) in I

dove µhi ∈ L1

loc(I,Ω) e σhi1, σ

hi2 ∈ L2(I) sono funzioni

deterministiche. Poniamo ρh := Cor(Wh1,W

h2).




MODELLO DI MET

DEFINIZIONE (MET - CONTINUA)

Diciamo cheM = (Ω,F , Ftt∈I ,P,Q,W , F hh∈n) è un C-MET su Ise valgono le seguenti proprietà:M3 Q è una misura di probabilità su (Ω,F) tale che

- Q ∼F P- F h

i è una martingala su (Ω,F , Ftt∈I ,Q), per ogni(h, i) ∈ n ×m

Chiamiamo Q misura neutrale al rischio o misura martingalaequivalente diM.

La proprietà M3 si giustifica osservando che, se il mercato è libero daarbitraggi, deve esistere Q ∼F P tale che

F hi (t) = EQ

(1

θi − τi

∫ θi

τi

Sh(u) du∣∣∣∣Ft

)in I

per ogni (h, i) ∈ n ×m.Carlo Montanari Calibrazione di modelli stocastici per mercati energetici a termine



PROPRIETÀ ELEMENTARI DI UN MET

DEFINIZIONE

SiaM un C-MET su I. Per ogni (h, i) ∈ n ×m definiamo la volatilitàlocale di F h

i come

Σhi :=

√(σh

i1)2 + 2ρhσhi1σ

hi2 + (σh

i2)2 ∈ RI

Poniamo X hi := log(F h

i ) e lo chiamiamo log-prezzo del futuresh-esimo con consegna in Ji . Per ogni h, k ∈ n, siano

ρhkab := Cor(W h

a ,Wkb ) ∈ R, per ogni a,b ∈ 2

ρhk := Cor(W h,W k ) = (ρhkab)a,b∈2 =

(ρhk

11 ρhk12

ρhk21 ρhk

22

)∈ R2

2

ρ := Cor(W ) = (Cor(W h,W k ))h,k∈n = (ρhk )h,k∈n ∈ R2n2n




PROPOSIZIONE (DINAMICA DI F hi NEUTRALE AL RISCHIO)

SeM è un C-MET su I ed (h, i) ∈ n ×m, allora vale

dF hi (t)

F hi (t)

= σhi1(t) dW h

1(t) + σhi2(t) dW h

2(t) in I

dove W h := (W h1 ,W

h2 )T è un moto browniano 2-dimensionale

correlato su (Ω,F ,Q) con ρh = Cor(W h1 ,W

h2 ).

PROPOSIZIONE (DINAMICA DI X hi )

SeM è un C-MET su I, (h, i) ∈ n ×m ed ηhi (t) := µh

i (t)− Σhi (t)2

2 in I,allora

dX hi (t) = ηh

i (t) dt + σhi1(t) dW

h1(t) + σh

i2(t) dWh2(t) in I

dX hi (t) = −Σh

i (t)2

2dt + σh

i1(t) dW h1(t) + σh

i2(t) dW h2(t) in I




COVARIAZIONE QUADRATICA

DEFINIZIONE (COVARIAZIONE QUADRATICA)

SianoM un C-MET su I ed (h, i), (k , j) ∈ n ×m. Dataπ = (t0, . . . , tN) ∈ Prt(I) ed l ∈ N, definiamo

∆X hi (tl ) := X h

i (tl )− X hi (tl−1) = log

(F h

i (tl )F h

i (tl−1)

)il log-rendimento del futures h-esimo con consegna in Ji in [tl−1, tl ].Chiamiamo covariazione quadratica di X h

i ed X kj in I rispetto ad (Ω,P)

〈X hi ,X

kj 〉I := lim

|π|→0π∈Prt(I)

∑l∈N

∆X hi (tl )∆X k

j (tl ) q.c. in (Ω,P)

Chiamiamo variazione quadratica di X hi in I rispetto ad (Ω,P)

〈X hi 〉I := 〈X h

i ,Xhj 〉I





DEFINIZIONE (STRUMENTI PER LA RAPPRESENTAZIONE INTEGRALE)

SeM è un C-MET su I ed (h, i), (k , j) ∈ n ×m, allora siano

Rhk :=

(ρhh ρhk

ρkh ρkk

)=

1 ρh ρhk

11 ρhk12

ρh 1 ρhk21 ρhk

22ρkh

11 ρkh12 1 ρk

ρkh21 ρkh

22 ρk 1

∈ R44

σhkij := (σh

i1, σhi2, σ

kj1, σ

kj2) ∈ (R4)I

Σhkij :=

√σhk

ij Rhk (σhkij )T ∈ RI , Σh

ij := Σhhij ∈ RI

Λhkij :=

12

[(Σhkij )2 − (Σh

i )2 − (Σkj )2] ∈ RI , Λh

ij := Λhhij ∈ RI





PROPOSIZIONE (RAPPRESENTAZIONE DI Λhkij )

SeM è un C-MET su I ed (h, i), (k , j) ∈ n ×m, allora

Λhij = σh

i1σhj1 + ρh(σh

i1σhj2 + σh

i2σhj1) + σh

i2σhj2

Λhkij = ρhk

11σhi1σ

kj1 + ρhk

12σhi1σ

kj2 + ρhk

21σhi2σ

kj1 + ρhk

22σhi2σ

kj2

PROPOSIZIONE (RAPPRESENTAZIONE INTEGRALE DI 〈X hi ,X

kj 〉I )

SeM è un C-MET su I ed (h, i), (k , j) ∈ n ×m, allora

〈X hi 〉I =

∫IΣh

i (s)2 ds

〈X hi ,X

kj 〉I =

∫IΛhk

ij (s) ds




MET DI TIPO 1

DEFINIZIONE (MET DI TIPO 1)

SianoM un C-MET su I ed (h, i) ∈ n ×m. Sappiamo

dF hi (t)

F hi (t)

= σhi1(t) dW h


2(t) in I

Diciamo cheM è di tipo 1 se

σhi1(t) :=

[αh

0 + αh1 cos(ωτi + ϕh)

]e−λ

h(τi−t) in I

σhi2(t) := αh

2 in I

con ω := 2π/365, αh0, α

h1, α

h2, ϕ

h ∈ R e λh ∈ R+.Chiamiamo ph := (αh

0, αh1, α

h2, ρ

h, ϕh, λh) ∈ R6 il vettore dei parametridiM relativi alla commodity h-esima e ρ = (ρhk )h.k∈n ∈ R2n

2n lamatrice dei parametri diM relativi alle correlazioni tra commodity.




PROPOSIZIONE (COVARIAZIONE QUADRATICA)

SeM è un C-MET di tipo 1 su I ed (h, i), (k , j) ∈ n ×m, allora

〈X hi ,X

hj 〉I = ah

ij (αh0)2 + bh

ij (αh1)2 + ch

ij (αh2)2+

+ dhij α

h0α

h1 + eh

ij ρhαh

0αh2 + f h

ij ρhαh

1αh2

〈X hi ,X

kj 〉I = Ahk

ij ρhk11 + Bhk

ij ρhk12 + Chk

ij ρhk21 + Dhk

ij ρhk22

dove ahij ,b

hij , c

hij ,d

hij ,e

hij , f

hij dipendono solo dai parametri ϕh, λh ed

Ahkij ,B

hkij ,C

hkij ,D

hkij dipendono solo dai parametri ph,pk .

Dimostrazione: (Idea)

〈X hi ,X

kj 〉I =

∫IΛhk

ij (s) ds =

∫Iρhk

11σhi1(s)σk

j1(s) + ρhk12σ

hi1(s)σk

j2(s)+

+ ρhk21σ

hi2(s)σk

j1(s) + ρhk22σ

hi2(s)σk

j2(s) ds




PROPOSIZIONE (VARIANZA DEI LOG-RENDIMENTI)

SeM è un C-MET di tipo 1 su I, (h, i) ∈ n ×m e (t0, . . . tN) ∈ Prt(I, ε),allora

∀l ∈ N : VarP(∆X hi (tl )

)= uh

i e−2λh(τi−tl ) + vhi e−λ

h(τi−tl ) + whi

dove uhi , v

hi ,w

hi non dipendono da tl .




FIGURA: Struttura a termine osservata il 03-dic-2012 della volatilitàannualizzata dei log-rendimenti.




CALIBRAZIONE DI MET DI TIPO 1

DEFINIZIONE (OSSERVAZIONE DI UN MET)

DatiM un C-MET su I e π = (t0, t1, . . . , tN) ∈ Prt(I), chiamiamof := (f h)h∈n un’osservazione diM in π se per ogni h ∈ n

f h :=(f h1 , . . . , f

hm)

:=

f h1 (t0) · · · f h

m(t0)...

...f h1 (tN) · · · f h

m(tN)

∈ RN+1m

matrice con le realizzazioni delle variabile casuali F h(tl )l=0,...,N deiprezzi dei futures sulla commodity h-esima osservati nelle date di π.Per ogni (h, i) ∈ n ×m ed l ∈ N, chiamiamo

∆xhi (tl ) := log

(f hi (tl )

f hi (tl−1)

)log-rendimento del futures h-esimo con consegna in Ji osservato in tl .




DEFINIZIONE (COVARIAZIONE QUADRATICA EMPIRICA)

SianoM un C-MET su I ed (h, i), (k , j) ∈ n ×m. Data fun’osservazione diM in π ∈ Prt(I), chiamiamo

cvhkij (π) :=

∑l∈N

∆xhi (tl )∆xk

j (tl )

covariazione quadratica empirica di X hi ed X k

j osservata in π eponiamo cvh

ij (π) := cvhhij (π).

Idea della calibrazione:

〈X hi ,X

kj 〉I = lim

|π|→0π∈Prt(I)

∑l∈N

∆X hi (tl )∆X k

j (tl ) q.c. in (Ω,P)

〈X hi ,X

kj 〉I ≈ cvhk

ij (π) se T1 − T0 |π|

Cerchiamo phh∈n e ρ che soddisfino la precedente per ognih, k ∈ n ed i , j ∈ m.




CALIBRAZIONE DI ph

SianoM un C-MET di tipo 1 su I, π ∈ Prt(I) con T1 − T0 |π| ed fun’osservazione diM in π. Fissato h ∈ n, per ogni i , j ∈ m si ha

〈X hi ,X

hj 〉I = ah

ij (αh0)2 + bh

ij (αh1)2 + ch

ij (αh2)2 + dh

ij αh0α

h1 + eh

ij ρhαh

0αh2 + f h

ij ρhαh

1αh2

〈X hi ,X

hj 〉I ≈ cvh

ij (π)

Otteniamo un sistema di m2 equazioni nelle 6 incognite scalaricomponenti del vettore ph = (αh

0, αh1, α

h2, ρ

h, ϕh, λh).

DEFINIZIONE (CALIBRAZIONE)

ph ∈ R6 è un vettore dei parametri relativi alla commodity h-esima diM calibrato su f se è soluzione del problema di ottimizzazione

minph∈Ph

∑i,j∈m

[〈X h

i ,Xhj 〉I − cvh

ij (π)]2

= minph∈Ph

∑i,j∈m

[Φh

ij (ph)− cvh

ij (π)]2

Ph := (α0, α1, α2, ρ, ϕ, λ) ∈ R6 | − 1 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ ϕ < 2π, λ > 0




CALIBRAZIONE DI ρ

SianoM un C-MET di tipo 1 su I, π ∈ Prt(I) con T1 − T0 |π| ed fun’osservazione diM in π. Per ogni h, k ∈ n ed i , j ∈ m si ha

〈X hi ,X

kj 〉I = Ahk

ij ρhk11 + Bhk

ij ρhk12 + Chk

ij ρhk21 + Dhk

ij ρhk22 =: Φhk

ij (ρ)

〈X hi ,X

kj 〉I ≈ cvhk

ij (π)

Il nostro obiettivo è risolvere le n2m2 equazioni nell’incognitavettoriale ρ ∈ R2n

2n. Poiché ρ è simmetrica e ρhh11 = ρhh

22 = 1, ρhh12 = ρh

per ogni h ∈ n, le sue componenti indipendenti restano gli elementidelle sottomatrici ρhk ∈ R2

2 con h, k ∈ n ed h < k . Otteniamo unsistema di n2m2 in 2n(n − 1) incognite scalari indipendenti.

DEFINIZIONE (INSIEME AMMISSIBILE)

Sia R l’insieme delle matrici ρ = (ρhk )h,k∈n = (ρhkab)

h,k∈na,b∈2 ∈ R2n

2n tali che:

R1 ρ è simmetrica e semidefinita positivaR2 ∀h, k ∈ n : ∀a,b ∈ 2 : ρhk

ab ∈ [−1,1]R3 ∀h ∈ n : ρhh

11 = ρhh22 = 1, ρhh

12 = ρh





ρ ∈ R2n2n è una matrice di correlazione diM calibrata su f se è

soluzione del problema di ottimizzazione

minρ∈R

∑h,k∈n

∑i,j∈m

[〈X h

i ,Xkj 〉I − cvhk

ij (π)]2

= minρ∈R

∑h,k∈n

∑i,j∈m

[Φhk

ij (ρ)− cvhkij (π)

]2

Questo è un problema di programmazione semidefinita non standard,dispendioso da un punto di vista computazionale. Per semplificarlodefiniamo:

DEFINIZIONE (INSIEME AMMISSIBILE)

Sia L l’insieme delle matrici T ∈ R2n2n tali che:

L1 T è triangolare inferioreL2 ∀l ∈ 2n :

∣∣T l∣∣ = 1

L3 ∀h ∈ n : 〈T 2h−1,T 2h〉 = ρh




PROPOSIZIONE (DECOMPOSIZIONE DI CHOLESKY)

Se A è una matrice reale n × n simmetrica e semidefinita positiva,allora esiste una matrice reale n × n triangolare inferiore L, conelementi non negativi sulla diagonale principale, tale che A = LLT.

Sfruttando la decomposizione di Cholesky di ρ, abbiamo dimostratoche

ρ ∈ R ↔ ∃T ∈ L : ρ = TT T

Si ottiene così che ρ ∈ R2n2n è una matrice di correlazione diM

calibrata su f se e solo se è soluzione del problema di ottimizzazionecon vincoli quadratici

minρ∈R

∑h,k∈n

∑i,j∈m

[Φhk

ij (ρ)− cvhkij (π)

]2= min

T∈L

∑h,k∈n

∑i,j∈m

[Φhk

ij (TT T)− cvhkij (π)

]2




TEST DI CALIBRAZIONE - DATI SIMULATI

FIGURA: Confronto tra volatilità storica a 20 giorni (in blu) e volatilità teoricacalibrata (in verde) dei log-rendimenti giornalieri di futures simulati.




TEST DI CALIBRAZIONE - DATI REALI

FIGURA: Confronto tra volatilità storica a 20 giorni (in blu) e volatilità teoricacalibrata (in verde) dei log-rendimenti giornalieri di futures su gas naturaleHenry Hub.




MET DI TIPO 2

DEFINIZIONE (MET DI TIPO 2)

SianoM un C-MET su I ed (h, i) ∈ n ×m. Sappiamo

dF hi (t)

F hi (t)

= σhi1(t) dW h


2(t) in I

Diciamo cheM è di tipo 2 se

σhi1(t) :=

[αh

0 + αh1 cos(ω(τi − t) + ϕh)

]e−λ

h(τi−t) in I

σhi2(t) := αh

2 in I

con ω := 2π/365, αh0, α

h1, α

h2, ϕ

h ∈ R e λh ∈ R+.Chiamiamo ph := (αh

0, αh1, α

h2, ρ

h, ϕh, λh) ∈ R6 il vettore dei parametridiM relativi alla commodity h-esima e ρ = (ρhk )h.k∈n ∈ R2n

2n lamatrice dei parametri diM relativi alle correlazioni tra commodity.




PROPOSIZIONE (COVARIAZIONE QUADRATICA)

SeM è un C-MET di tipo 2 su I ed (h, i), (k , j) ∈ n ×m, allora

〈X hi ,X

hj 〉I = ah

ij (αh0)2 + bh

ij (αh1)2 + ch

ij (αh2)2+

+ dhij α

h0α

h1 + eh

ij ρhαh

0αh2 + f h

ij ρhαh

1αh2

〈X hi ,X

kj 〉I = Ahk

ij ρhk11 + Bhk

ij ρhk12 + Chk

ij ρhk21 + Dhk

ij ρhk22

dove ahij ,b

hij , c

hij ,d

hij ,e

hij , f

hij dipendono solo dai parametri ϕh, λh ed

Ahkij ,B

hkij ,C

hkij ,D

hkij dipendono solo dai parametri ph,pk .

Possiamo dunque applicare la stessa tecnica di calibrazione diphh∈n e ρ su una osservazione diM descritta per i MET di tipo 1.




FIGURA: Volatilità annualizzata dei log-rendimenti giornalieri di futuressimulati.




TEST DI CALIBRAZIONE - DATI SIMULATI

FIGURA: Confronto tra volatilità storica a 20 giorni (in blu) e volatilità teoricacalibrata (in verde) dei log-rendimenti giornalieri di futures simulati.




TEST DI CALIBRAZIONE - DATI REALI

FIGURA: Confronto tra volatilità storica a 20 giorni (in blu) e volatilità teoricacalibrata (in verde) dei log-rendimenti giornalieri di futures su gas naturaleHenry Hub.




INTERPOLAZIONE DEI DATI

Fissata C una commodity e t una data di apertura del mercato, siano- C = Jii∈m = [τi , θi ]i∈m la struttura di consegna dei futures su

C disponibili in t , con J :=⋃

i∈m Ji un intervallo di R- f (t , Ji )i∈m i prezzi dei futures su C in t con consegna nei

periodi di C- C∗ = J∗i i∈m∗ = [τ∗i , θ∗i ]i∈m∗ una struttura di consegna

differente da C, con⋃

i∈m J∗i ⊆ JSi vogliono derivare f (t , J∗i )i∈m∗ i prezzi dei futures su C in t , macon consegna nei periodi di C∗.

t γ0 γ1 γ2 γ3 γ4 γ5 γ6 γ7

Jiτi θi

J∗iτ∗i θ∗iC∗

C




Sia γ0 < γ1 < · · · < γq la partizione di J che si ottiene ordinando gliestremi degli intervalli Ji ed eliminando eventuali ripetizioni.

t γ0 γ1 γ2 γ3 γ4 γ5 γ6 γ7

Jiτi θi

ASSUNZIONE: Esiste g(t , s)s∈J la funzione dei prezzi forward su Cin t tale cheA1 g(t , ·) ∈ C2(J)A2 Per ogni j ∈ q ed s ∈ [γj−1, γj ]

g(t , s) = ajs4 + bjs3 + cjs2 + djs + ej

dove aj ,bj , cj ,dj ,ej ∈ R.A3 ∂g

∂s (t , γq) = 0A4 ∀i ∈ m : f (t , Ji ) = 1

τi−θi

∫ θi

τig(t ,u) du

A5∥∥∥∂2g∂2s (t , ·)

∥∥∥2

= min ‖h′′‖2 | h soddisfa A1-A4Carlo Montanari Calibrazione di modelli stocastici per mercati energetici a termine



Abbiamo determinato g(t , s)s∈J la funzione dei prezzi forward su Cin t che soddisfa le ipotesi A1-A5 riducendo il problema a quello dirisolvere un sistema lineare.

Possiamo quindi derivare i prezzi dei futures su C in t con consegnanei periodi di C∗ per arbitraggio. Per ogni i ∈ m∗

f (t , J∗i ) =1

τ∗i − θ∗i

∫ θ∗i

τ∗i

g(t ,u) du




PROCESSI STOCASTICI COINTEGRATI

DEFINIZIONE (AUTOCOVARIANZA, DIFFERENZA PRIMA)

Dati Ω uno spazio di probabilità, t0 ∈ N, I = t ∈ N | t ≥ t0 edX = Xtt∈I un processo stocastico reale su Ω tale cheXtt∈I ⊆ L2(Ω), indichiamo per ogni t ≥ t0 con µt := E(Xt )l’aspettazione di X in t . Dato j ∈ N, definiamo per ogni t ≥ t0 + j

γjt := Cov(Xt ,Xt−j ) = E((Xt − µt )(Xt−j − µt−j ))

l’autocovarianza j-esima di X in t . In particolare, dunque,γ0t := Var(Xt ) è la varianza di X in t . Indichiamo con ∆ l’operatoredifferenza prima definito ponendo per ogni t ≥ t0 + 1

∆Xt := Xt − Xt−1




DEFINIZIONE (PROCESSI INTEGRATI DI ORDINE 0 E 1)

Dati Ω uno spazio di probabilità, t0 ∈ N, I = t ∈ N | t ≥ t0 edX = Xtt∈I un processo stocastico reale su Ω tale cheXtt∈I ⊆ L2(Ω), diciamo che X è debolmente stazionario se

- ∃µ ∈ R : ∀t ≥ t0 : µt = µ- ∀j ∈ N : ∃γj ∈ R : ∀t ≥ t0 + j : γjt = γj

Chiamiamo X integrato di ordine 0 su Ω se X è debolmentestazionario ed indichiamo l’insieme di questi processi con I0(Ω).Chiamiamo X integrato di ordine 1 su Ω se ∆Xtt≥t0+1 ∈ I0(Ω) edindichiamo l’insieme di questi processi con I1(Ω).

ESEMPIO (PASSEGGIATA ALEATORIA CON DERIVA)

Il processo εtt∈N è detto rumore bianco gaussiano se le εt sonoi.i.d. con εt ∼ N(0, σ2) per ogni t ∈ R. Il processo X = Xtt∈N è dettopasseggiata aleatoria con deriva δ ∈ R se X0 := x0 ∈ R eXt := Xt−1 + δ + εt per ogni t ∈ N+. Si dimostra X ∈ I1(Ω) \ I0(Ω).




DEFINIZIONE

Dati Ω uno spazio di probabilità edX = (X 1 = X 1

t t∈N, . . . ,X n = X nt t∈N)T un processo stocastico a

valori in Rn su Ω, definiamo

Coi(X ) := β ∈ Rn | βTX ∈ I0(Ω)

lo spazio di cointegrazione di X . Un vettore β ∈ Coi(X ) è dettovettore di cointegrazione di X , mentre la relazione βTX è dettarelazione di cointegrazione. Chiamiamo X un processo cointegratosu Ω se

- X 1, . . . ,X n ∈ I1(Ω)- Coi(X ) 6= 0n

ed indichiamo con CI(Ω) l’insieme di questi processi.




MET COINTEGRATI DI TIPO A

DEFINIZIONE (MET COINTEGRATI DI TIPO A)

SianoM un C-MET su I ed (h, i) ∈ n ×m. Ricordiamo che

dF hi (t)

F hi (t)

= µhi (t) + σh

i1(t) dWh1(t) + σh

i2(t) dWh2(t) in I

e W = (W11,W

12, . . . ,W

n1,W

n2)T, W = (W 1

1 ,W12 , . . . ,W

n1 ,W

n2 )T sono

moti browniani correlati rispettivamente su (Ω,F ,P) ed (Ω,F ,Q).Diciamo cheM è cointegrato di tipo A se esistono ξ ∈ R2n e Π ∈ R2n

2ntali che

dW (t) = [ξ + ΠW (t)] dt + dW (t) in I

Chiamiamo ξ fattore centrante diM e Π matrice di cointegrazione diM. Diciamo infine cheM è un C-MET cointegrato di tipo A1 seM èanche di tipo 1, mentre è cointegrato di tipo A2 se è anche di tipo 2.




DEFINIZIONE

SiaM un C-MET cointegrato di tipo A su I. Poiché ξ ∈ R2n, possiamoscrivere ξ = (ξ1

1 , ξ12 , . . . , ξ

n1 , ξ

n2)T e definire ξh := (ξh

1 , ξh2)T per ogni

h ∈ n. Fissati h, k ∈ n ed a,b ∈ 2, indichiamo con Πhkab l’elemento di Π

di riga 2h − 2 + a e colonna 2k − 2 + b e consideriamo

Πhk := (Πhkab)a,b∈2 =

(Πhk

11 Πhk12

Πhk21 Πhk

22

)∈ R2

2

Πh := (Πhkab)

k∈na,b∈2 =

(Πh1

11 Πh112 · · · Πhn

11 Πhn12

Πh121 Πh1

22 · · · Πhn21 Πhn

22

)∈ R2

2n

Π = (Πhkab)

h,k∈na,b∈2 = (Πhk )h,k∈n =

Π1

...Πn

∈ R2n2n

Definiamo infine σhi := (σh

i1, σhi2) ∈ (R2)I per ogni h ∈ n, i ∈ m.




PROPOSIZIONE

SeM è un C-MET cointegrato di tipo A su I, allora

µhi (t) = σh

i (t)[ξh + ΠhW (t)

]in I

dF hi (t) = F h

i (t)σhi (t)

[ξh + ΠhW (t)

]dt + F h

i (t)σhi (t) dW

h(t) in I

per ogni (h, i) ∈ n ×m.

Se π = (t0, . . . , tN) è una partizione equispaziata di I di passo pari ad1 giorno con T1 − T0 1, allora il moto browniano W soddisfa

∆Wt ≈ ξ + ΠWt−1 + ∆W t

per ogni t ∈ t1, . . . , tN, dove abbiamo posto ∆Wt := Wt −Wt−1 e∆W t := W t −W t−1.




CALIBRAZIONE DI MET COINTEGRATI DI TIPO A

SianoM un C-MET cointegrato di tipo A su I, π = (t0, . . . , tN) unapartizione equispaziata di I di passo pari ad 1 giorno con T1 − T0 1ed f un’osservazione diM in π.PASSO 1: Ricostruiamo w1, . . . ,wN i valori osservati in t1, . . . , tN di Wcon una stima ai minimi quadrati. Fissiamo h ∈ n ed l ∈ N. Sappiamoche

∀i ∈ m :dF h

i (tl )F h

i (tl )= σh

i1(tl ) dW h1 (tl ) + σh

i2(tl ) dW h2 (tl )

Se definiamo ∆f hi (tl ) := f h

i (tl )− f hi (tl−1) per ogni i ∈ m e

∆wha (tl ) := wh

a (tl )− wha (tl−1) per ogni a ∈ 2, valgono le m relazioni

approssimate

∀i ∈ m :∆f h

i (tl )f hi (tl−1)

≈ σhi1(tl−1)∆wh

1 (tl ) + σhi2(tl−1)∆wh

2 (tl )

nelle 2m incognite uhl1 := ∆wh

1 (tl ) ed uhl2 := ∆wh

2 (tl ). Questo sistemaè dunque sovradeterminato.




Utilizziamo allora una stima ai minimi quadrati risolvendo il problemadi ottimizzazione convessa

minuh

l1,uhl2∈R

∑i∈m

(∆f h

i (tl )f hi (tl−1)

− σhi1(tl−1)uh

l1 − σhi2(tl−1)uh

l2

)2

Se (uhl1, u

hl2) è l’unica soluzione del problema per ogni h ∈ n ed l ∈ N,

possiamo definire

ul := (u1l1, u

1l2, . . . , u

nl1, u

nl2)T ∈ R2n

per ogni l ∈ N. Siamo così in grado di ricavare w1, . . . ,wN i valoriosservati in t1, . . . , tN di W , poiché

wl = w(tl ) = ∆w(tl )+∆w(tl−1)+· · ·+∆w(t1)+w(t0) = ul +ul−1+· · ·+u1

per ogni l ∈ N.




PASSO 2: Stimiamo il fattore centrante ξ e la matrice dicointegrazione Π. Definiamo per ogni l ∈ N

Wl := W (tl ), W l := W (tl )

∆Wl := Wl −Wl−1, εl := ∆W l := W l −W l−1

Ricordiamo che W soddisfa approssimativamente, per ogni l ∈ N,l’equazione

∆Wl = ξ + ΠWl−1 + εl

dove εl ∼ N(02n,ρ) e le v.c. εl sono stocasticamente indipendenti.Definiamo

Φ := δ2n + Π ∈ R2n2n, Λ := (ξ,Φ)T ∈ R2n+1

2n

Per ogni l ∈ N, W soddisfa approssimativamente

Wl = ξ + ΦWl−1 + εl

ed il nostro obiettivo è determinare la matrice dei parametri Λ.Carlo Montanari Calibrazione di modelli stocastici per mercati energetici a termine



Utilizziamo allora una stima di massima verosimiglianza:- Calcoliamo fW1,...,WN (w1, . . . ,wN ;Λ) il valore assunto dalla

densità di probabilità congiunta delle variabili casuali W1, . . . ,WNin w1, . . . ,wN , una grandezza funzione della matrice Λ.

- L’applicazione

Λ 7→ fW1,...,WN (w1, . . . ,wN ;Λ)

è detta funzione di verosimiglianza. Il nostro obiettivo è trovareun valore di Λ che la massimizzi. Indichiamo conL(Λ) := log (fW1,...,WN (w1, . . . ,wN ;Λ)) la log-funzione diverosimiglianza.


Λ = (ξ, Φ)T ∈ R2n+12n è una matrice dei parametri di cointegrazione di

M calibrata su f se è soluzione del problema di ottimizzazione

maxΛ∈R2n+1

2n

log (fW1,...,WN (w1, . . . ,wN ;Λ)) = maxΛ∈R2n+1

2n

L(Λ)




Abbiamo provato che per ogni Λ ∈ R2n+12n

L(Λ) = −Nn log(2π) +N2

log (det(ρ−1))− 12

∑l∈N

〈wl −ΛTxl ,ρ−1(wl −ΛTxl )〉

dove xl := (1,wTl−1)T ∈ R2n+1 per ogni l ∈ N.

Abbiamo infine dimostrato che

Λ :=

∑

l∈N

wlxTl

∑l∈N

xlxTl

−1

T

∈ R2n+12n

è l’unico punto di massimo di L, i.e. la matrice dei parametri dicointegrazione diM calibrata su f . Se ξ ∈ R2n, Φ ∈ R2n

2n sono tali cheΛ = (ξ, Φ)T, allora ξ e Π := Φ− δ2n sono il fattore centrante e lamatrice di cointegrazione diM calibrati su f .




MET COINTEGRATI DI TIPO B

DEFINIZIONE (MET COINTEGRATI DI TIPO B)

SianoM un C-MET su I ed (h, i) ∈ n ×m. Ricordiamo che

dF hi (t)

F hi (t)

= µhi (t) + σh

i1(t) dWh1(t) + σh

i2(t) dWh2(t) in I

ed F h = (F h1 , . . . ,F

hm)T è il processo dei prezzi dei futures sulla

commodity h-esima.Diciamo cheM è cointegrato di tipo B se per ogni (h, i) ∈ n ×mesistono ξh

i ∈ R e Πhi ∈ Rm tali che

µhi (t) =

ξhi + Πh

i F h(t)F h

i (t)in I




DEFINIZIONE (MET COINTEGRATI DI TIPO B - CONTINUA)

Definiamo per ogni h ∈ n

σh :=

σh1...σh

m

∈ (Rm2 )I , ξh :=

ξh1...ξh

m

∈ Rm, Πh :=

Πh1

...Πh

m

∈ Rmm

Chiamiamo ξh e Πh rispettivamente fattore centrante e matrice dicointegrazione relativi alla commodity h-esima diM. Diciamo infinecheM è un C-MET cointegrato di tipo B1 seM è anche di tipo 1,mentre è cointegrato di tipo B2 se è anche di tipo 2.

Se v = (v1, . . . , vn)T ∈ Rn è un vettore colonna, definiamo

D(v) :=

v1 0 · · · 00 v2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · vn

∈ Rnn




PROPOSIZIONE

SeM è un C-MET cointegrato di tipo B su I, allora

dF hi (t) =

[ξh

i + Πhi F h(t)

]dt + F h

i (t)σhi (t) dW

h(t) in I

dF h(t) =[ξh + ΠhF h(t)

]dt + D(F h(t))σh(t) dW

h(t) in I

per ogni (h, i) ∈ n ×m.

Se π = (t0, . . . , tN) è una partizione equispaziata di I di passo pari ad1 giorno con T1 − T0 1, allora per ogni h ∈ N il processo F h

soddisfa

∆F ht ≈ ξh + ΠhF h

t−1 + D(F ht−1)σh

t−1∆Wht

per ogni t ∈ t1, . . . , tN, dove abbiamo posto ∆F ht := F h

t − F ht−1 e

∆Wht := W

ht −W

ht−1.




CALIBRAZIONE DI MET COINTEGRATI DI TIPO B

SianoM un C-MET cointegrato di tipo B su I, π = (t0, . . . , tN) unapartizione equispaziata di I di passo pari ad 1 giorno con T1 − T0 1ed f un’osservazione diM in π. Fissiamo h ∈ n e definiamo

Λh := (ξh,Πh) ∈ Rmm+1

Determiniamo Λh attraverso una stima di massima verosimiglianza.Per semplificare la notazione omettiamo la dipendenza dall’indiceh ∈ n. In particolare sia FΛ := F h.Fissiamo una matrice dei parametri di riferimento Λ0 := 0m

m+1 echiamiamo F 0 := FΛ0 . I processi F 0 ed FΛ soddisfano le equazioni

dF 0(t) = D(F 0(t))σ(t) dW (t) in I

dFΛ(t) =[ξ + ΠFΛ(t)

]dt + D(FΛ(t))σ(t) dW (t) in I

dove ricordiamo che W := Wh

= (Wh1,W

h2)T è il vettore

bidimensionale di moti browniani correlati su (Ω,F ,P) relativo allacommodity h-esima.




I processi F 0 ed FΛ inducono sullo spazio delle traiettorie continueC(I;Rm) due misure di probabilità che chiamiamo rispettivamente PΛ

e P0, definite per ogni A sottoinsieme misurabile di C(I;Rm) da

P0(A) := P(F 0· ∈ A), PΛ(A) := P(FΛ

· ∈ A)

dove P è la misura di probabilità oggettiva su (Ω,F). Per un corollariodel Teorema di Girsanov che abbiamo dimostrato, le misure PΛ e P0sono equivalenti e sappiamo calcolare le densità di Radon-Nikodymdi una rispetto all’altra.Sia ψ ∈ C(I;Rm) una traiettoria continua di FΛ che interpolal’osservazione f , ovvero per cui f h(tl ) = ψ(tl ) per ogni l ∈ N.L’applicazione

Λ 7→ f0(ψ;Λ) :=dPΛ

dP0(ψ)

è detta funzione di verosimiglianza ed il nostro obiettivo è individuareun valore di Λ che la massimizzi. Indichiamo conL(Λ) := log (f0(ψ;Λ)) la log-funzione di verosimiglianza.





Λh = (ξh, Πh) ∈ Rmm+1 è una matrice dei parametri di cointegrazione

per la commodity h-esima diM calibrata su f se è soluzione delproblema di ottimizzazione

maxΛ∈Rm

m+1

log (f0(ψ;Λ)) = maxΛ∈Rm

m+1

L(Λ)

Abbiamo provato che per ogni Λ ∈ Rmm+1

L(Λ) =∑l∈N

(BlΛxl )T Bl ∆fl −

12

∑l∈N

|BlΛxl |2

dove, per ogni l ∈ N, abbiamo posto fl := f h(tl )T = (f h1 (tl ), . . . , f h

m(tl ))T,∆fl := fl − fl−1 e

Bl := Γ−1 (σ(tl−1)Tσ(tl−1))−1

σ(tl−1)TD(fl−1)−1 ∈ R2m

xl := (1, f Tl−1)T ∈ Rm+1




Abbiamo infine dimostrato che l’unico punto critico di L è la soluzioneΛh ∈ Rm

m+1 di un opportuno sistema lineare

LΛ = v

Se la matrice L associata al sistema è invertibile, poiché L è concaval’unica soluzione Λh = L−1v è anche l’unico punto di massimo di L,i.e. la matrice dei parametri di cointegrazione per la commodityh-esima diM calibrata su f .Se ξh ∈ Rm, Πh ∈ Rm

m sono tali che Λh = (ξh, Πh), allora ξh e Πh

sono il fattore centrante e la matrice di cointegrazione diM calibratisu f .


Calibration of Stochastic Models for Energy Futures

Economy & Finance

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